Pt bpt daiso

Giải và biện luận phương trình bậc nhất:.. 1..[r]

Chuyên đề 1: PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ & BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ

TÓM TẮT GIÁO KHOA

CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC CƠ BẢN

1 (a b )2a22ab b 2 a2b2 (ab)2 2ab

2 (a b )2 a2 2ab b 2 a2b2 (a b)22ab

3 a2 b2 ( a b a b)(  )

4 (a b )3a33a b ab2 3 2b3 a3b3(ab)3 3ab(ab) 5 (a b )3a3 3a b ab2 3 2 b3

6 a3b3 (a b a)( 2 ab b 2) 7 a3 b3 (a b a)( 2ab b 2)

A PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ

I Giải biện luận phương trình bậc nhất:

1 Dạng : ax + b = (1)

  

soá tham : b a,

số ẩn : x

2 Giải biện luận:

Ta có : (1)  ax = -b (2)

Biện luận:

 Nếu a 0 (2) 

a b x 

 Nếu a = (2) trở thành 0.x = -b

* Nếu b 0 phương trình (1) vơ nghiệm

* Nếu b = phương trình (1) nghiệm với x

Tóm lại :

 a 0 : phương trình (1) có nghiệm

a b

x

 a = b 0 : phương trình (1) vơ nghiệm  a = b = : phương trình (1) nghiệm với x

3 Điều kiện nghiệm số phương trình:

 (1) có nghiệm  a 0  (1) vô nghiệm 

  

 

0 0

b a

 (1) nghiệm với x    

 

0 0

b a

II.Giải biện luận phương trình bậc hai:

1 Dạng: ax2 bx c 0

   (1)   

soá tham : c , b a,

số ẩn : x

2 Giải biện luận phương trình :

Xét hai trường hợp

Trường hợp 1: Nếu a 0 (1) phương trình bậc : bx + c =

 b 0 : phương trình (1) có nghiệm

b c

x

 b = c 0 : phương trình (1) vơ nghiệm

 b = c = : phương trình (1) nghiệm với x Trường hợp 2: Nếu a0 (1) phương trình bậc hai có

Biệt số b2 4ac

   ( ' '2 với b'

2

b

b ac

    )

Biện luận:

 Nếu  0 pt (1) vơ nghiệm

 Nếu  0 pt (1) có nghiệm số kép 1 2

2

b

x x

a

  (

'

b

x x

a

  )

 Nếu  0 pt (1) có hai nghiệm phân biệt 1,2

2

b x

a   

 (

' '

1,2

b x

a   

Định lý : Xét phương trình : ax2 bx c 0

   (1)

 Pt (1) vô nghiệm 

    

   0 0 0

c b a

  

 



0 0

a

 Pt (1) có nghiệm kép    

 



0 0

a

 Pt (1) có hai nghiệm phân biệt    

 



0 0

a

 Pt (1) có hai nghiệm 

  

 



0 0

a

 Pt (1) nghiệm với x 

    

   0 0 0

c b a

Đặc biệt

Nếu pt(1) có hệ số a,c thoả a.c < pt(1) ln có hai nghiệm phân biệt 4 Định lý VIÉT phương trình bậc hai:

 Định lý thuận: Nếu phương trình bậc hai : ax2bx c 0 ( a0) có hai nghiệm x1, x2

     

 

   

a c x x P

a b x x S

2

2

.

 Định lý đảo : Cho hai số  , Khi chúng nghiệm phương trình

x2 - Sx + P = với S =  P =   (S2 4P)



Cho phép tính giá trị biểu thức đối xứng nghiệm ( tức biểu thức chứa x1, x2 không thay đổi giá trị ta thay đổi vai trị x1,x2 cho Ví dụ: 2

2 2

2 2

1 1

x x x x

x x

A    ) mà không cần giải pt tìm x1, x2 , tìm hai số biết tổng tích chúng …

Chú ý:

 Nếu pt (1) có hệ số thoả mãn a+b+c=0 pt (1) có hai nghiệm 1 vaø x2

c x

a

 

 Nếu pt (1) có hệ số thoả mãn a-b+c=0 pt (1) có hai nghiệm 1 vaø x2

c x

a

 

5 Dấu nghiệm số phương trình bậc hai: Dựa vào định lý Viét ta suy định lý sau:

Định lý: Xét phương trình bậc hai : ax2 bx c 0

   (1) ( a0)

 Pt (1) có hai nghiệm dương phân biệt

> P > S >

  

 

 

 Pt (1) có hai nghiệm âm phân biệt

> P > S <

  

 

   Pt (1) có hai nghiệm trái dấu  P <

II Phương trình trùng phươngï:

1.Dạng : ax4bx2  c ( a ) (1)

2.Cách giải:

 Đặt ẩn phụ : t = x2 (t 0) Ta phương trình:   bt c

at (2)

Giải pt (2) tìm t Thay t tìm vào t = x2 để tìm x

Tùy theo số nghiệm phương trình (2) mà ta suy số nghiệm phương trình (1)

III Phương trình bậc ba:

Dạng: ax3 bx2 cx d 0

    (1) (a0)

Cách giải: Áp dụng biết nghiệm phương trình (1) Bước 1: Nhẩm nghiệm phương trình (1) Giả sử nghiệm x = x0

Bước 2: Sử dụng phép CHIA ĐA THỨC sơ đồ HOÓCNE để phân tích vế trái thành nhân

Trong đó: aA, x A  b B, x B0  c C, x0.C d (1)  (x-x0)(Ax2+Bx+C) =

2

0 (2)

x x

Ax Bx C

   

  



Bước 3: Giải phương trình (2) tìm nghiệm cịn lại ( có)

Chú ý

Ta áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử kỷ thuật sử dụng sơ đồ HCNE, để giải phương trình đa thức bậc cao (với điều kiện nhẩm nghiệm đa thức)

B BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ

I Bất phương trình bậc nhất:

1 Dạng : axb 0 (1) (hoặc ,,) 2 Giải biện luận:

Ta có : (1)  axb (2) Biện luận:

 Nếu a0

a b x  ) (

 Nếu a0

a b x  ) (

 Nếu a0 (2) trở thành : 0.xb * b0 bpt vơ nghiệm

* b0 bpt nghiệm với x

II Dấu nhị thức bậc nhất:

1 Dạng: f(x)axb (a0) 2 Bảng xét dấu nhị thức:

x





a b



 

III Dấu tam thức bậc hai:

1 Dạng: f(x)ax2bxc (a0)

2 Bảng xét dấu tam thức bậc hai:

3 Điều kiện không đổi dấu tam thức:

Định lý: Cho tam thức bậc hai: f(x)ax2bxc (a0)



  

      

0 a

0 R x 0 )(

x f



  

      

0 a

0 R x 0 )(

x f



  

      

0 a

0 R x 0 )(

x f



  

      

0 a

0 R x 0 )(

x f

IV Bất phương trình bậc hai:

1 Dạng: ax2bxc0 ( ,,)

2 Cách giải:Xét dấu tam thức bậc hai vế trái chọn nghiệm thích hợp

x f(x) Cùng dấu a Trái

dấu a Cùng dấu a

ac b2  4

 

x f(x)

Cùng dấu a Cùng dấu a

x f(x) Cùng dấu a

0

 

0

 

0

V So sánh số  (hai số  ; ) với nghiệm tam

thức bậc hai f(x) ax 2bx c (a 0 )

Định lý:

 

1

1

Tam thức co ùhai nghiệm x thỏa

a.f( ) x

0 Tam thức co ùhai nghiệm x thỏa

a.f( ) x

S

2

2

, x x

, x x

0

 

  

 

  

 

    

 

  

   

 

  

  

    



 

1

1

0 Tam thức co ùhai nghiệm x thỏa

a.f( ) x

S Tam thức co ùhai nghiệm x thỏa

một nghiệm thuộc khoảng ( ; ) nghiệm

2

2

, x x

0 , x

       

 

  

    

 

  

   

   

 



 

    cịn lại nằm ngồi đoạn [ ; ]

f( ).f( )

 

 

   

 

   

 