Ph−¬ng tr×nh bËc bèn.[r]
(1)Giải kỳ trớc
Bài 1.Giải hệ phơng trình a)
+ =
− = − −
2
5 2
2 x xy y
y x
x y xy
0
b) − + =
− − =
2
2
3
5
x xy y
x xy y
Gi¶i a)
+ − =
− = − −
2
5 2
2 x xy y
y x
x y xy
Điều kiện: x π 0; y π Viết lại hệ cho d−ới dạng:
2
2
5
2
2
x xy y x xy y
+ − =
− + + = −
Đây hệ ph−ơng trình đẳng cấp bậc hai, giải theo hai cách dạng
Đáp số: (thoả mÃn điều kiện)
2
x y x y
=
=
= − = −
b) − + =
− − =
2
2
3
5
x xy y
x xy y
0
Đây hệ ph−ơng trình đẳng cấp bậc hai +) Nếu x=0 hệ có dạng:
2
4
0
6
y
y y
=
⇔ =
− =
VËy (0,0) lµ mét nghiƯm cđa hƯ phơng trình +) Nếu x Đặt y=kx, thay vµo hƯ ta cã:
2
2
2
2
(3 ) (5 )
3
2
5
x k k
x k k
k k
k k k
− + =
− − =
− + =
⇔ ⇔
− − =
=
víi
k = suy
y = x , thay vào hệ ban đầu ta thấy hệ Vậy nghiệm hệ )
2
t t ∀ ∈t R
( ,
(2)a) = +
= +
3
2
x x y
y y x
b) − = +
− = +
2 2
2
2
x y x y
y x y x
c)
+ = +
+ = +
3
3
2
2
x x y
y y x
Các hệ hệ đối xứng loại II a) = +
= +
3
2 (
2 (
x x y
y y x
1) 2)
Trừ hai phơng trình cho ta đợc: x3 -y3=2(x-y)+(y-x)=x-y
Ô (x-y)(x2+y2+xy-1)=0
+) x=y thay vào (1) ta có: x3=2x+x=3x Ô
0
3
x x x
=
= = −
+) x2+y2+xy-1=0, kết hợp với phơng trình (1)ta đợc:
⇔ 2
3
3
2 3
3
6
3
2
3
2
1
2
( ) ( )
2
3
2
( 1)
2
1
x y xy x x y
y x x
x x x x x x
y x x
x x x
y x x x
y x x x
y x
+ + − =
= +
= −
⇔
+ − + − − =
= −
− + − =
= −
⇔
− =
= − = ±
⇔ ⇔ =
=
∓
0
Vậy nghiệm hệ phơng trình : (0,0);(1, 1);( 1,1),( 3, 3);(− − − 3− 3) b) − = +
− = +
2 2
2
2
x y x y
y x y x
Đáp số: (0,0); (-3,-3)
c)
+ = +
+ = +
3
3
2
2
x x y
y y x
(3)3
3 2
3
(1)
2 3
3
( )( 5) 2
y x x x y
x x x y x y xy
=
+ = +
⇔
+ =
− + + + =
Giải phơng trình (1): Đặt x= 2t (1) có dạng:
+ =
⇔ + = −
⇔ = −
3
3 3
4
4
1
4 (2
2
1
( )
2
t t t t t
)
VËy hÖ cã nghiÖm nhÊt:
= −
= −
3 3
3
1
2
2 x
y
Chú ý: Nếu phơng trình bËc ba cã d¹ng: 4 3 1( 13
2
x x a
a
+ = )
thì phơng trình cã nghiƯm nhÊt lµ 1( 1)
2
x a
a
= −
Bµi 3
a) Xác định a để ph−ơng trình sau có nghiệm chung + + + =
+ + − − =
3 2
3
( 2)
vµ x (3 )
x a x x
x a x a
b)Xác định m để hai ph−ơng trình sau có nghiệm chung: x2+mx+1=0 x2+x+m=0
c) Chøng minh r»ng nÕu hai ph−¬ng trình x2+ax+b=0 x2+cx+d=0
cú nghim chung thỡ: (b-d)2+(a-c)(ad-bc)=0 d)Xác định m để hai ph−ơng trình sau có nghiệm chung x(x-1)=m+1 x4+(x+1)2=m2
Gi¶i a) + + + =
+ + − − =
3 2
3
( 2) (1)
vµ x (3 ) (2)
x a x x
x a x a
Nếu a=0 phơng trình 91) vµ (2) cã nghiƯm chung lµ x=0 VËy a=0 giá trị cần tìm
Xét a Vì x=-2 không nghiệm (1) (2) nªn
+ +
⇔ = − ⇔ = −
+ +
+ +
⇔ ⇔ = + −
+ +
3
2
3
(3 4) (1)
( 2) ( 2)
4
(2) ( 2)
2
x x x x
a a
x x x
x x x x
a x x
(4)Đặt = +2 x
y x (3)
khi (2) có dạng x(x+2)=y+a (1) có dạng y(y+2)=x+a
Vậy điều kiện để ph−ơng trình có nghiệm chung hệ: + = +
+ = +
( 2)
(4)
( 2)
x x y a
y y x a
ph¶i cã nghiƯm
(4 ⇔ + = +
+ = +
2
2 )
2
x x y a
y y x a
đây hệ ph−ơng trình đẳng cấp bậc hai
Trõ hai phơng trình cho ta đợc hệ tơng đơng:
=
+ − =
+ = + ⇔
− + + + = = − −
+ + − =
2
2
0
( )( 3)
3
y x x x a
x y a
x y x y y x
x x a
Kết hợp với (3) ta đợc phơng trình (1) vµ (2) cã nghiƯm chung vµ chØ mét hai hƯ sau ph¶i cã nghiƯm:
=
= =
+ − = ⇔
=
+
= − −
= −
+ + − = ⇔
=
=
+
∓ ∓
2
1,2
0; lo¹i
0
x=-1;a=0 lo¹i
3
3
3
6 3
2
y x
x a
x x a
x y x
y x
x
x x a
a x
y x
kết luận: với a=0;a=6∓3 3thì ph−ơng trình (1) (2) có nghiệm chung b)Xác định m để hai ph−ơng trình sau có nghiệm chung:
x2+mx+1=0 x2+x+m=0
Xem cách giải ví dụ 1, dạng Đáp số: m=-2 c) Chứng minh hai phơng trình
x2+ax+b=0 x2+cx+d=0
có nghiệm chung thì: (b-d)2+(a-c)(ad-bc)=0
đặt x2=y, y ≥ 0, ta cần hệ sau có nghiệm ( với y ≥ 0) + + =+ + =
0
y ax b
y cx d
= −
= −
= − y x D c a D ad bc
D b d
(5)+)NÕu D π 0, ta cã −
=
−
−
=
−
ad bc
y
c a
b d
x
c a
Tõ ®iỊu kiÖn y=x2 ta cã: − = − ⇔ − + − −
− −
2
( ) ( ) ( )( )
ad bc b d
b d a c ad bc
c a c a =0
2
1
2
d)Xác định m để hai ph−ơng trình sau có nghiệm chung x(x-1)=m+1 (1)và x4+(x+1)2=m2 (2)
Đặt x2=u, x+1=v fi u=(v-1)2 (3) Khi
Từ (1) (2) có: u-v=m; u2+v2=m2 Xét hệ đối xứng loại
− = − =
⇔
+ = + + − =
− =
− =
⇔ ⇔ + = ±
+ + =
2 2 2
2 2
( ) ( )
( )
u v m u v m
u v m u v u v m
u v m u v m
u v m
m u v m
1) + =− = ⇔ ==
u v m u m
u v m v
ThÕ vµo (3) ta đợc m=(0-1)2=1
Với m=1 hai phơng trình có nghiệm chung x=-1 2) =+ = tơng tự ta đợc m=-1
u v m
u v m
Víi m=-1 ta đợc x=0 nghiệm chung (1) (2)
Kết luận: Hai phơng trình có nghiệm chung m=1
Bài 4 Giải hệ phơng trình
a) 2
2 2 x y z
x y xy z + + =
+ − + =
b) + + = + ≥
+ =
2 4
2
(víi a 0)
x y xy a a
x y a
c)
+ + =
+ + =
+ + =
2 2 3 3
x y z a
x y z a
x y z a
a) 2
2 2 x y z
x y xy z + + =
+ − + =
Coi z nh− tham số, ta đ−ợc hệ đối xứng loại I x y
+ = − + = −
⇔
+ − = − = − − − =
2
1
1 1
1
2
x y z x y z
z z
x y xy xy z − +
2
2
z z
(6)
− +
− − ≥
⇔ − − ≥ ⇔ =
2
2
1
(1 )
2
(1 )
z z
z
z z
VËy z hệ vô nghiệm Với z=1 thay vµo hƯ ta cã x=y=0 VËy hƯ chØ cã nghiÖm x=0, y=0,z=1 b)
+ + = + ≥
+ =
2 4
2
(víi a 0)
x y xy a a
x y a
NhËn xÐt : NÕu x, y lµ nghiƯm cđa hƯ th× x4 +y4≥ 2x2y2
hay 2a4 ≥ 2x2y2 fi xy £ a2
Do (x+y)2 Ê 2(x2+y2) nên (x+y)4Ê [2(x2+y2)]2Ê 4.2(x4+y4)=16a4 Khi ta có: + ≤
≤
2
x y a
xy a
VËy a x+y+xy Ê a2+2a, kết hợp với phơng trình hệ ta đợc hệ cã nghiÖm nhÊt x=y=a
c)
+ + =
+ + =
+ + =
2 2 3 3
x y z a
2
x y z a
x y z a
Đặt xy+yz+zx=b xyz=c
Ta cú ng thức + + = − ⇒ =
+ + = − + ⇒ =
2 2
3 3
2
( )
x y z a b b
x y z a a b c c
Do
+ + =
⇔ + + =
=
(1)
0 x y z a xy yz zx xyz
từ hệ có nghiệm (a,0,0), (0,a,0), (0,0,a) Bài
Phơng trình bậc ba Phơng trình bậc bốn I Phơng trình bậc ba
Trong phần nêu phơng pháp giải phơng trình bậc ba tỉng qu¸t ax3 +bx2+cx+d=0 (1)
Dạng1. Giải phơng trình biết nghiệm x=x0
Theo giả thiết x=x0 nghiệm nên ax03+bx
02+cx0+d=0 (1) Ô ax3+bx2+cx+d= ax03+bx02+cx0+d
Ô a(x3-x03)+b(x2-x02)+c(x-x0)=0
Ô (x-x0)[ax2+(ax0+b)x+ax02+bx0+c]=0 1)NÕu D =(ax0+b)2-4a(ax
(7)
0
0
( )
2
x x
ax b x
a =
− + ±
=
∆
0
*NhËn xÐt:
1)Nếu biết tr−ớc x0 nghiệm ph−ơng trình (1) điều kiện cần đủ để ph−ơng trình (1) có ba nghiệm phân biệt là:
2
0 0 0
2
0 0
( )
( ) ( )
ax ax b x ax bx c ax b a ax bx c
+ + + + + ≠
∆ = + − + + >
2) NÕu x0 lµ mét nghiệm phơng trình (1) phân tích ax3+bx2+cx+d=(x-x0).f(x) (2)
Trong f(x) tam thức bậc hai
3) Nếu x1;x2;x3 nghiệm phơng trình (1) ta cã ph©n tÝch ax3+bx2+cx+d=a(x-x
1)(x-x2)(x-x3), từ ta có cơng thức Viet cho ph−ơng
tr×nh bËc ba:
1
1 2 3
1
b x x x
a c x x x x x x
a d
x x x a + + = −
+ + =
=
Dạng 2.Phơng trình hồi quy bậc ba
Đó phơng tr×nh ax3+bx2+cx+d (3) víi ac3=bd3 (a ,d
π
0) (4)Tõ (4) suy
1) Nếu c=0 fi b=0 , ph−ơng trình (3) trở thành ax3+d=0Ơ x d a = − 2) Nếu c π 0fi b π d ( )c
a = b Đặt
c x
b = − th× c=-bx0, d=-ax0
Thay vào phơng trình (3) ta đợc ax3+bx2-bx
0x-ax03=0 Ô a(x3-x
03)+bx(x-x0)=0
Ô (x-x0)[ax2+(ax0+b)x+ax02]=0 Vậy x x0 c
b
= = lµ mét nghiƯm NÕu D =(ax0+b)2-4a2x
0
2 phơng trình cßn cã nghiƯm ( )
2
ax b x
a
− + ±
=
Nhận xét:Nếu phơng trình bậc ba hồi quy có nghiệm x0 c
b =
D¹ng
Phơng trình có dạng =
(8)Đặt m= cosa =cos(a±2p )
Khi α = α = 3α − α
cos cos(3 ) cos cos
3 3
Do ph−ơng trình có ba nghiệm 1 =cosα; 2,3 =cosα ±2π
3
x x
D¹ng
Phơng trình dạng = >
4x 3x mvíi m Tr−íc hÕt dƠ thÊy r»ng ph−¬ng tr×nh
3− = 3+ ≠
1
4 ( )(*) (
2
x x a a
a )
luôn có nghiệm =1( +1)
x a
a
Mặt khác phơng trình = > víi
x x m m
4 chØ cã mét nghiÖm nhÊt
Thậ vậy, ph−ơng trình khơng có nghiệm [-1,1] trái lại x=x0Œ [-1,1] nghiệm đặt x= cos a Khi
3− = α ≤ ≠ >
4x 3x cos3 m (v× m 1)
Giả sử ph−ơng trình có nghiệm x=x1 với x1 >1 Khi 4x13-3x
1=m VËy ta cã ph−¬ng trình: 4x3-3x=4x13-3x1
Ô 4(x3-x
13)-3(x-x1)=0
Ô (x-x1)[4x2+4x1x+4x12-3]=0
Cã D' =4x12-4(4x12-3)=12-12x12< x1 >1
VËy phơng trình có nghiệm x=x1 ( ý phơng trình bậc ba có nghiệm
Đặt = 3+ =
3
1
( ) víi
2
m a a m m
a
2
1
Khi theo (*) nghiệm x1 ph−ơng trình là:
=1 +1 =1 + − +3 − 2−
( ) (
2
x a m m m m
a )
D¹ng 5:
Phơng trình dạng: 4x3+3x=m
Nhn xét x=x0 nghiệm ph−ơng trình nghiệm Thậy vậy, xét x>x0, ú
4x3+3x>4x03+3x0=m nên x không nghiệm Tơng tự với x<x0 không nghiệm
Đặt =1(
x a
a) , dễ dạng kiểm tra rằng: + = −
3
3
1
4 ( ) (**)
2
x x a
a
Từ suy cách giải nh− sau:
Đặt = 3 = +
3
1
( ) víi a
2
m a m m
a
2
1
(9)
=1 −1 = + 2+ + − 2+
( ) (
2
x a m m m m
a )
Dạng 6: Dạng tổng quát at3+bt2+ct+d=0
Bằng cách chia hai vế cho a, ta coi a=1 Viết lại phơng trình dới dạng t3+at2+bt+c=0
1) Đặt = −
3 a
t y , viết ph−ơng trình d−ới dạng:
− + − + − + =
⇔ − =
− = − + −
3
3
2
( ) ( ) ( )
3 3
a
p= ;
3 27
a a a
y a y b y c
y py q
a ab
b q c
0
NÕu p=0 th× phơng trình có nghiệm nhất: x =3 q
Nếu p>0.Đặt =2 p
y x
Khi ph−ơng trình có dạng :4x3-3x=m với 3
2 q m
p p
= ph−ơng trình dạng
Nếu p<0, đặt
3 p
y= x − , ph−ơng trình có dng: 4x3+3x=m ú l phng
trình dạng
II Phơng trình bậc bốn
Trong phần đ−a ph−ơng pháp giải ph−ơng trình bậc bốn với hệ số tuỳ ý Các dạng ph−ơng trình đặc biệt đ−ợc đề cập tr−ớc đ−a cách giải ph−ơng trình tổng quỏt hn
1.Phơng trình x4=ax2+bx+c (1)
Vit lại ph−ơng trình cho d−ới dạng: (x2+ a )2=(a+2a)x2+bx+c+a2 (2)
Chọn a để vế phải có D =0 tức b2-4(a+2a)(c+a2)=0 Ln có số a nh− ph−ơng trình bậc ba ẩn a Khi vế phải bình ph−ơng nhị thức ta đ−a ph−ơng trình (2) tích hai ph−ơng trình bậc hai
2 Phơng trình tổng quát :t4+at3+bt2+ct+d=0 Đặt
4
a
t= −x , thay vào ph−ơng trình, sau biến đổi ta đ−ợc ph−ơng trình dạng x4=Ax2+Bx+C áp dụng cách giải ta tìm đ−ợc nghiệm ph−ơng trình cho
III Bài tập tự giải
Bài a) Giải phơng trình x4=3x2+10x+4 b) x3=6x2+1
Bài Giải phơng trình a(ax2+bx+c)2+b(ax2+bx+c)+c=x
Bài (ĐH Ngoại thơng-2000).Giải phơng trình (x2+3x-4)2+3(x2+3x-4)=x+4
(10)a)
3
2
2
x y
y x
= −
= −
b)
3
3
3
3
x y
y x
= −
= −
c)
0
8
x y z xy yz zx xyz
+ + = + + = −
=
Bài Giải phơng tr×nh a) 4x -3x=3
2 b)4 3
4
x + x= c)x4=4x+1