Giải PT bậc 4 bằng CASIO đơn giản tập 3

Đây là tập 3 trong 3 tập của bộ tài liệu giải PT bậc 4 đơn giản được biên soạn bởi một Admin của VNCASIOer Team Team nghiên cứu những phương pháp sử dụng máy tính bỏ túi trong giải Toán. Bộ sách này gồm tất cả những phương pháp phân tích PT bậc 4 từ loại có 4 nghiệm đến vô nghiệm, được viết dành cho những người mới tìm hiểu về CASIO, do đó rất dễ hiểu và thú vị. Lưu ý: Tài liệu của Team chúng tôi share hoàn toàn miễn phí, do đó để không bị mất phí do người khác đăng lại, các bạn hãy theo dõi Web của chúng tôi để đón xem những tài liệu mới sớm nhất: vietnamcasioerteam.blogspot.com Thân chào

Giải PT bậc 4 đơn giản - Tập 3

Dành cho Newbie không biết gì! 

A PTB4 chỉ có 1 nghiệm

Cũng như Tập 2, ta sẽ xem nó có dạng như thế nào

Sở dĩ tôi luôn nói đến cái dạng là để bạn hiểu bản chất của phương pháp Tôi có thể viết cho bạn các bước bấm máy và tài liệu do đó sẽ ngắn hơn nhiều, nhưng sẽ biến bạn thành một con vẹt nếu bạn không chịu tìm hiểu bản chất

Toán học và Máy tính, cái nào hơn? Rõ ràng là Toán rồi, vì từ đó người ta chế tạo ra máy tính, còn máy tính, không những không bao giờ có thể thực hiện tất cả các phép tính toán, mà còn trục trặc do lỗi phần cứng (cộng thêm cả tá lỗi phần mềm đã và chưa được phát hiện ra) Do đó chúng ta cần Toán học để sửa chữa những lỗi đó, cụ thể là, nếu bạn hiểu bản chất, phương pháp giải PTB4 thì sẽ tự khắc phục được những vấn đề trong quá trình sử dụng máy để giải PTB4

Quay lại bài toán, PTB4 ( )f x 0 có 1 nghiệm thì có thể nhận 1 trong 2 dạng sau:

+ Dạng 1 (axb)4 0, chỉ có 1 nghiệm hữu tỉ là x b

a

  (do các hệ số của PT đều

là hữu tỉ) Khai triển biểu thức (axb)4 ta sẽ thấy hạng tử bậc 4 và hạng tử tự do của

PT lần lượt là a x và 4 4 b , do đó, một đặc điểm vô cùng rõ ràng là hệ số bậc 4 luôn 4

cùng dấu với hệ số tự do

+ Dạng 2 (axb) (2 mx2nx p)0 trong đó nhân tử (mx2nx p) vô nghiệm,

như vậy nó cũng chỉ có 1 nghiệm hữu tỉ x b

a

  như Dạng 1 Có một điều đặc biệt là,

nếu nhân tử (mx2nx p vô nghiệm thì m, p phải cùng dấu (vì nếu chúng trái dấu )

thì PT mx2 nx p0 luôn có 2 nghiệm phân biệt), do đó, PTB4 ban đầu luôn có hệ

số bậc 4 và hệ số tự do cùng dấu

Vậy ta không thể căn cứ vào hệ số đầu và cuối được, vì chúng đều cùng dấu cả rồi, chỉ còn đúng 1 cách để xác định được hướng phân tích thuộc dạng nào, đó là dùng phép thử

ax b ax b Như vậy khi thay x

nguyên vào biểu thức ( ) 3

(  )

f x

ax b , nếu nó là Dạng 1 thì kết quả thu được luôn là

nguyên (bằng axb mà), nhưng nếu nó rơi vào Dạng 2, thì nó bằng

x , bây giờ ta thử xem dạng nào

Trước tiên, từ nghiệm 3

Kết quả không nguyên, suy ra nó thuộc Dạng 2

Thấy PT chỉ có nghiệm duy nhất x 4, nghĩa là chắc chắn có nhân tử bình phương

Đây chính là loại khó phân tích nhất!

Mọi PTB4 luôn phân tích được thành 2 nhân tử bậc 2, nhưng vì không có một nghiệm thực nào, nên rất khó tìm: f x( ) 0 (a x1 2b x1 c1)(a x2 2 b x2 c2)0

PT vẫn có đủ 4 nghiệm phức, do đó nếu ra dạng này, thì chỉ có thể nằm ở câu số phức

mà thôi

Sau đây tôi xin giới thiệu với bạn 2 cách do tôi nghiên cứu ra, áp dụng cho mọi loại máy tính Cách thứ nhất rất là “củ chuối”, chỉ cần nghe tên là đã biết phải mò rồi, còn cách thứ 2 không có tí gì là mò cả, hoàn toàn chắc chắn, nhanh chóng, nhưng công thức lại hơi khó nhớ…

a x b x c có là số nguyên hay không khi X 1000, nếu nó

nguyên thì dùng xấp xỉ là ra ngay nhân tử còn lại (a x2 2 b x2 c2), còn nếu không, thì phải thay đổi a1, b1, c1 và thử tiếp!  Việc thử này được thực hiện trong TABLE

Phương pháp này, tuy nói là thử nhưng không phải là không có căn cứ, nếu không thì làm đến Tết Công-gô cũng không xong Căn cứ duy nhất chính là ở chỗ 2 nhân tử đều

có hệ số là nguyên (đề đẹp là phải như vậy), khi đó ta giới hạn được số giá trị của a

và c, và việc thử sẽ không lâu

e c c , như vậy a a1, 2 là ước của a (do chúng đều nguyên và

a cũng nguyên), c c1, 2 là ước của e

Như vậy, ta sẽ tìm các ước của a, e trước, sau đó lắp từng cặp giá trị vào phép chia

Xét hệ số bậc 4 và hệ số tự do, các ước của 6 là 1; 2; 3; 6 còn các ước của 4 là 1; 2; 4 (tất nhiên có tính cả các số âm nữa), điều đó nghĩa là trong nhân tử (a x1 2b x1 c , 1)

1 { 1;2;3;6}

a , còn c1 { 1;2;4}, như vậy a có thể nhận 8 giá trị, 1 c có 1

thể nhận 6 giá trị, do đó nếu ghép cặp chúng với nhau thì có đến 48 trường hợp để thử (!)

Nhưng không sao, chúng ta vẫn quyết tâm! Vì chúng ta có 1 số căn cứ để giảm bớt trường hợp như sau:

+ Thứ nhất, như phần A có nói, nếu tam thức a x1 2b x1 c10 vô nghiệm thì a phải 1

cùng dấu với c , do đó ta loại hết các giá trị trái dấu nhau đi, vậy chỉ còn lại cùng 1

dương mà thôi: a1{1; 2; 3; 6} và c1{1; 2; 4} (trường hợp cùng âm không phải xét nữa vì khi đó ta đặt hết dấu âm ra ngoài lại thành cùng dương) Như vậy chỉ có tối đa

12 trường hợp để thử

+ Thứ hai, có một bí mật mà phần lớn mọi người không tin, đó là thực tế chỉ cần thử

6 trường hợp thôi, không cần thử hết 12 đâu Sau VD1 này tôi sẽ nói rõ hơn

x b x , do kết quả phép chia phải là số nguyên, do đó bây giờ ta thử

tiếp các giá trị b1 xem giá trị nào thì kết quả phép chia là nguyên với x nguyên, bằng cách dùng MODE TABLE

Muốn dùng TABLE để dò b1, ta phải thay biến x ở trên thành biến khác, đồng thời thay b1 thành X vì TABLE chỉ dò với biến X của máy thôi, vậy ta sẽ thay đổi biến của phép chia trên thành:

Bây giờ ta gán A1000 rồi vào MODE TABLE (bấm MODE 7 ), nhập biểu thức trên vào:

Bấm  , máy sẽ hỏi một số giá trị, ta nhập như sau:

+ Start? (Bắt đầu) Cho Start  14 rồi 

+ End? (Kết thúc) Tương tự, cho End 14 rồi 

+ Step? (Bước nhảy) Mặc định nó là 1 ta cứ để thế bấm  , và một bảng hiện ra…

Giải thích sơ qua: khi ta nhập các giá trị trên như vậy nghĩa là ta muốn dò giá trị của

A XA với các giá trị X thuộc [ 14;14] và cách nhau một

lượng bằng 1 (nên gọi là bước nhảy)

Vì yêu cầu của ta là kết quả phép chia phải nguyên nên bây giờ ta tìm bên cột ( )F X

xem có giá trị nào nguyên hay không

Vâng, chạy hết cả bảng chỉ toàn giá trị thập phân mà thôi, suy ra ta giả sử

1 1

( , )a c (1;1) là sai, chuyển sang TH2

+ TH2: ( , )a c1 1 (1; 2), khi đó ta chỉ việc sửa lại

rồi để nguyên các giá trị ở trên và bấm  đến khi ra bảng mới:

Dò bảng này, vẫn không có giá trị ( )F X nào nguyên!

Vâng, vẫn chưa tìm được giá trị ( )F X nguyên, do đó quá trình sửa vẫn tiếp tục

+ TH3: ( , )a c1 1 (2;1) (nâng a1 lên), sửa:

ư? Vậy X 2 là không hợp lí rồi, vì hệ số nhân tử của chúng ta phải nguyên

Ta xoay sang (3)F 2999001, thì được:

Kết luận: 6x47x311x2   x 4 (2x2 3x4)(3x2 x 1)

Một bài giải bằng CASIO kéo dài hơn 4 trang và kết thúc bằng một kết quả rất đẹp! Nhưng tôi dám chắc còn nhiều “uẩn khúc” mà các bạn thấy chưa được làm sáng tỏ

trong cách làm trên, do đó, trước khi sang VD2, tôi sẽ giải thích chúng

Đầu tiên là về việc chỉ cần xét qua 6 TH là ra kết quả mà không cần cả 12 TH

hay a a đều là ước của a và 1, 2 c c đều là ước của e 1, 2

Giả sử trong số các ước của a, ta lấy ra ước a1, thì luôn tồn tại một ước a2 khác của

nó sao cho a a1 2 a, do đó nếu coi 2 ước bằng nhau cũng là 2 ước phân biệt thì số ước luôn là số chẵn Tương tự, e cũng như thế

Ta sắp xếp các ước của a theo thứ tự từ lớn đến bé, và chia nó làm 2 phần có số lượng bằng nhau, gọi là phần bé và phần lớn Như vậy nếu ta lấy các ước từ bé đến lớn (nghĩa là lấy ở phần bé trước) để thử thay vào làm hệ số a1 của nhân tử đầu tiên

đó Nếu may mắn thì vừa bắt đầu duyệt đã thành công, còn “đen đủi” thì phải thử đến

số cuối cùng của phần bé mới xong, nhưng kiểu gì thì cũng chỉ cần 1 phần là xong Điều đó có nghĩa là ta chỉ cần duyệt trong một nửa số ước của a mà thôi Từ đó suy ra nội dung cần chứng minh: ta chỉ cần duyệt trong một nửa số cặp giá trị của ( , )a c1 1 là

có kết quả! 

Bây giờ là một ý nhỏ nữa mà bạn có thể thắc mắc, đó là việc ta dò giá trị của

Thực ra trong giai đoạn tôi viết tập sách này, thì đấy là điều khá cơ bản mà dân

CASIOer nghiệp dư thừa hiểu, vì TABLE hiện là một tool rất mạnh, được dùng phổ biến, nhưng vì tôi viết 3 tập này cho Newbie, nên cần phải nói vài tí

X ở đây không dùng để thay cho biến x trong PTB4 ban đầu, vì ta dùng biến A thay cho x rồi, X ở đây thay cho hệ số b của biểu thức chia 1 (A2 XA1) (là một nhân tử của PT) Do ta đang dò b1 mà TABLE chỉ dò cho biến X, nên mới phải thay đổi như vậy Vì hệ số b không ai cho quá lớn, nhất là khi thấy hệ số của PTB4 ban đầu lại 1

nhỏ như thế, thông thường b1 [ 10;10], do đó ta cho X [ 14;14] để tận dụng hết dung lượng giới hạn của máy (có thể cho X [ 10;10] cũng như vậy)

Còn cho các giá trị của X cách nhau 1 khoảng là 1 (Step), là vì hệ số b nguyên (các 1

số nguyên cách nhau một khoảng là 1 đúng không?), đơn giản vậy thôi

Ta đi tiếp 2 VD nữa

VD2 6x4 17x334x231x200

Phương trình này vô nghiệm, vậy ta sẽ áp dụng cách trên để tách

Các ước dương của hệ số 6 và 20 lần lượt là {1; 2; 3; 6} và {1; 2; 4; 5;10; 20} , cho nên

về lí thuyết sẽ có tất cả là 4.624 cách kết hợp ( , )a c để dò ra nhân tử thứ nhất 1 1

2

(a x b xc , tuy nhiên theo chứng minh vừa rồi, ta chỉ cần quét trong vòng 1 nửa )

số cách đầu tiên (tức 12 cách) là có kết quả Điều đó có nghĩa là, nếu ta chia 4 ước của 6 thành phần bé {1; 2} và phần lớn {3; 6} thì chỉ cần chọn 1 trong 2 phần này để thử là xong Việc này cũng không phải là lâu la lắm, quen rồi thì chỉ mất tối đa là 10

phút thôi Ở đây tôi chọn phần bé cho nó nhỏ, tức a1{1; 2}, c1{1; 2; 4; 5;10; 20}, tiến hành thử nào!

, ta thu được

bảng đầu tiên:

Quét cột F(X) ta không thu được giá trị nguyên nào

+ TH2: giữ nguyên a1, tăng c1 lên ta được ( , )a c1 1 (1; 2) Chỉ cần quay lại sửa hệ số

Quét tiếp cột f(X) cũng không thu được giá trị nguyên nào cả!

+ TH3: lại tăng c1 lên ước mới: ( , )a c1 1 (1; 4)

Vẫn chưa kết thúc, vì mò không ra

Tương tự, các bạn tự thử với các trường hợp còn lại của c1: ( , )a c1 1 (1; 5), (1;10), (1; 20) , và đều nhận được kết cục như trên!

Phải cho đến khi ( ,a c1 1)(2; 4), tức

2

6 17 34 31 20( )

Vậy ta có:

2 2

Đầu tiên, gán A1000, rồi vào MODE TABLE nhập:

12 trường hợp của ( , )a c1 1 là: (1;1), (1; 3), (1; 5), (1;15), (2;1), (2; 3), (2; 5), (2;15), (4;1) ,

(4; 3), (4; 5), (4;15) Các bạn hãy thay lần lượt vào f(X) rồi tự quét bảng như 2 VD

trước, tôi không trình bày lại làm gì nữa

Kết quả đẹp sẽ đạt được tại cặp ( , )a c1 1 (4; 3): f(5)39970054A23A5

Vậy:

2 2

ban.html

vietnamcasioerteam.blogspot.com/2015/12/co-le-phai-gan-5-thang-sau-khi-xuat-Giả sử ta cần phân tích PTB4 ax4bx3cx2dx  vô nghiệm thành nhân tử e 0bằng cách áp dụng công thức đặc biệt, thì có 3 bước:

[bk2adbc] (ck) 4ae b 4ak tìm một nghiệm

nguyên k (đấy chính là công thức đặc biệt của tôi! )

+ Bước 2 Có k rồi, viết lại PT đã cho thành ax2bxk(ck xy) dyey2  0

Áp dụng kỹ thuật phân tích đa thức 2 ẩn thành nhân tử để phân tích PT mới này thành (mxn py ux)(  v qy) 0

vào 2 vế để triệt x dưới mẫu, ta được kết quả: (mx2 nx p ux)( 2vxq) 0

Ta sẽ làm lại các VD ở mục 1 bằng 3 bước này

Giải PT này ta được 1 nghiệm nguyên k   3

Viết lại PT ban đầu thành dạng ax2bxk(ck xy) dyey2 0, nghĩa là ta viết

lại thành 6x27x 3 14xyy4y2  Bây giờ ta phân tích PT 2 ẩn mới này 0thành nhân tử bằng CASIO

Đầu tiên nhập biểu thức vào máy (dùng 2 biến X, Y), sau đó SHIFT CALC

(Solve), cho Y 100 rồi giải tìm X:

Đem các hệ số của PT: a6,b 17,c34,d  31,e20 lắp vào công thức đặc

biệt, ta được PT: (206 17 ) k 2 (34k)2480 (289 24 )k , giải ra thu được 1

Để X thế này liệu có làm tiếp được không?

Ta phải chuyển nó về dạng phân số đẹp, bằng cách lợi dụng chức năng làm tròn của máy Cụ thể ta nhập lại số 165,(3) vào màn hình, nhập thật nhiều số 3 (ít nhất là 10 số), sau đó ấn  , kết quả đẹp hiện ra:

  ta sẽ được nhân tử còn lại

Đầu tiên quay lại sửa biểu thức thành như thế, sau đó cho 10000

100

X Y

Trước hết, mót ra các hệ số: a16,b8,c17,d 16,e15, sau đó, đem lắp vào

công thức đặc biệt, được PT bậc 3 ẩn k: (8k376)2 (17k)2960 (64 64 )  k

Dùng Solve, được nghiệm nguyên k  15 (nghiệm lẻ vứt hết nhé!), do đó, viết lại thành PT mới: 16x2 8x15 32 xy16y15y2  , quá dễ để phân tích PT này! 0

Cho Y 100, ta giải nghiệm X theo Y:

Truy ngược nhân tử: 4049740000 500 3  4X 5Y  3

Gần cuối cùng, là bài tập luyện tập dành cho các bạn:

Các bạn có biết vì sao đống bài tập này mới là gần cuối không? Vì cuối cùng, tôi xin giới thiệu đến các bạn cách thứ 3 dành cho phân tích PTB4 vô nghiệm, đây là nghiên

cứu của Diễn đàn Toán CASIO (facebook.com/DienDanToanCasio) Coi như là một bài đọc thêm giải trí! 

Cách này sử dụng chức năng phân tích thành thừa số nguyên tố, đó là chức năng FACT, mà từ dòng máy CASIO fx-570VN PLUS trở lên, và VINACAL, mới có chức năng này Do đó nó không áp dụng được với mọi máy, đấy là nguyên nhân tôi cho là bài đọc thêm và cho xuống cuối cùng! 

Giới thiệu về chức năng FACT:

+ Đối với máy CASIO fx-570VN PLUS, giả sử ta phân tích số 246 ra các thừa số nguyên tố, ta nhập 246, ấn  , sau đó ấn SHIFT o''' (chính là phím của biến B),

kết quả phân tích sẽ hiện ra:

+ Đối với VINACAL, nó làm hẳn một menu chức năng mới của riêng dòng máy này,

và đặt tên là VINACAL (các bạn thấy chữ VINACAL nằm ở phím 6 chứ? ) Do

đó, nhấn SHIFT 6 , ta sẽ thấy chức năng FACT, nhấn tiếp 4 để chọn nó và tính:

Đây là PT tôi đã đưa cho Admin Diễn đàn Toán CASIO để yêu cầu họ phân tích:

6x 7x 11x  x 4 , các bạn có thể lên Facebook của diễn đàn theo link trên, 0hoặc vào trang web của họ để xem xét và trao đổi thắc mắc:

http://www.bitex.com.vn/forum/showthread.php/3216-FACT-v%C3%A0-EQN-Trước khi chốt 3 tập PTB4 đơn giản này, tôi muốn nói với các bạn rằng đây chỉ là PTB4 đơn giản thôi nhé, còn phức tạp thì tôi không đưa vào đây, vì đề thi không mấy

Đôi khi chúng ta nghiên cứu nhiều thứ quá xa chỉ nhằm mỗi mục đích là rèn luyện tư duy, thỏa mãn ham muốn khám phá thôi!

Thân chào, hẹn gặp lại! 