Giải PT bậc 4 bằng CASIO đơn giản tập 2

Đây là tập 2 trong 3 tập của bộ tài liệu giải PT bậc 4 đơn giản được biên soạn bởi một Admin của VNCASIOer Team Team nghiên cứu những phương pháp sử dụng máy tính bỏ túi trong giải Toán. Bộ sách này gồm tất cả những phương pháp phân tích PT bậc 4 từ loại có 4 nghiệm đến vô nghiệm, được viết dành cho những người mới tìm hiểu về CASIO, do đó rất dễ hiểu và thú vị. Lưu ý: Tài liệu của Team chúng tôi share hoàn toàn miễn phí, do đó để không bị mất phí do người khác đăng lại, các bạn hãy theo dõi Web của chúng tôi để đón xem những tài liệu mới sớm nhất: vietnamcasioerteam.blogspot.com Thân chào

Giải PT bậc 4 đơn giản - Tập 2

Dành cho Newbie không biết gì! 

A Solve và chia đa thức

Nhắc lại 2 PT trong bài tập tự luyện ở Tập 1:

+ PT 4 3 2

4x 8x 33x 20x  có 4 nghiệm 3 0

1

2

3

4

1 2 3 2

0, 2360679775

4, 236067977

X A

X B

X C

X D



 





  



  



   



+ PT 15x453x350x24x  cũng có 4 nghiệm 8 0

1

2

3

4

2 1 0,3145198591 0,847853192

X A

X B

X C

X D

  



   



  



  

 Bạn có hiểu mục đích của việc lưu 4 nghiệm vào 4 biến A, B, C, D không?

Vì chúng ta sử dụng “Thuật toán tối ưu hóa Solve”, nên phải lưu 4 nghiệm vào 4 biến

như vậy để tối ưu hóa PT thành ( ) 0

f X

X  A X B X C X D  nhằm mục đích

Solve nghiệm được tốt hơn Tuy nhiên, mục đích thực sự lại không phải thế

Nếu chịu khó suy nghĩ bạn sẽ phát hiện ra, khi tối ưu hóa PT thứ nhất ở trên, ta có thể nhập là

thay vì

X A X B X C X D

phải lưu vào A, B làm gì, nhưng X3,X4 là 2 số vô tỉ (chứa căn) mà ta chưa biết được dạng đúng của nó, không thể nhập bằng tay ra được, cho nên cần phải lưu vào C, D

để tối ưu hóa

Như vậy, mục đích thực sự của việc lưu nghiệm từ X vào biến khác chỉ là để chống

số xấu mà thôi, số đẹp như X1, X2 ở trên không cần lưu làm gì cho phí biến

Ta nhận thấy 1 1; 2 3

X  X  chính là 2 nghiệm của phương trình

0

   , hay

2 (2X 1)(2X 3) 0 4X 8X   , như vậy 3 0

2

(4x 8x3) chính là 1 nhân tử của PT ban đầu, suy ra nhân tử còn lại g(x) chính là kết quả của phép chia:

2

( )

g X



Như vậy nếu Solve mà bắt được 2 nghiệm đẹp của PT rồi thì ta sẽ chia luôn, không cần quan tâm đến 2 nghiệm xấu hay Viet làm gì nữa

Cụ thể, trong PT thứ nhất ở trên, sau khi bắt được 2 nghiệm đẹp là 1 1; 2 3

X  X  , ta lập tức quay lại PT, sửa PT thành thế này:

Hết sức lưu ý: không được để phân số như

mà phải

nhân lên, vì các hệ số đều nguyên hết

Tiếp theo ta CALC gán X 1000, rồi bấm  , sẽ được một kết quả:

Đến đây, ta dùng phương pháp xấp xỉ như khai triển đa thức để tìm g(X):

2

1 003 999 1 000 000 X

3 9994 0004 X

(nhớ kiểm tra lại!)

Vậy

2

(2 1)(2 3)

  , nhân lên ta được kết quả:

4x 8x 33x 20x 3 (x 4x1)(4x 8x3)

Vâng, cách làm như vừa rồi đã không hề đả động đến 2 nghiệm xấu X3, X4, và làm như vậy được gọi là "phương thức Solve - Chia đa thức", một phương thức trong kỹ thuật CASIO giải PT bậc 4 có nghiệm

Vậy ta có thể tóm tắt phương thức này như sau:

+ Bước 1 Dùng tối ưu hóa để Solve các nghiệm của PT (nếu bị quên, quay lại Tập

+ Bước 2 Nếu bắt gặp 2 nghiệm hữu tỉ phân biệt (là dạng số nguyên hoặc phân số),

chẳng hạn X1 b; X2 n

  , nó là 2 nghiệm PT X b X n 0

  

  

   (aX b mX)( n) 0

    nên ta được nhân tử thứ nhất là (axb mx)( n)

+ Bước 3 Chia đa thức tìm nhân tử còn lại ( ) ( )

( )( )

f x

g x



  Ta quay lại sửa

PT thành ( )

f X

aX b mX n rồi cho X 1000 để sử dụng phương pháp xấp xỉ Từ

kết quả thu được dễ dàng truy ngược lại nhân tử g(X) như khai triển đa thức

Sau đây, ta làm 1 lần nữa với PT còn lại là 15x453x350x24x  để hiểu rõ 8 0 hơn

+ Bước 1 Solve các nghiệm giống như đã làm ở Tập 1, ra được các nghiệm của nó

Có tất cả 4 nghiệm, nhưng ta đã bắt gặp 2 nghiệm hữu tỉ là X1 2;X2   rồi thì sẽ 1 chia đa thức để tìm nhân tử

+ Bước 2 ta thấy 2 nghiệm trên là của PT (X 2)(X 1)X23X  , do đó ta 2 được nhân tử thứ nhất (x23x2)

+ Bước 3 Quay lại sửa PT trên màn hình:

Gán X 1000, rồi sử dụng phương pháp xấp xỉ để truy nhân tử còn lại:

Xấp xỉ: 15 007 996 15 000 000 15X  2

7 9968 0008X

Vậy

2

( 2)( 1)

  , nhân lên ta được kết quả phân tích là: 15x453x350x24x 8 (15x28x4)(x23x2)

Bài tự luyện còn lại trong số 3 bài ở Tập 1 là 6x432x343x24x10 , sau 0

khi phát hành Tập 1 tôi thấy vẫn có bạn chưa thực hành thạo, làm sai cả 3 câu trong

nháy mắt (!), nên tôi phải giải lại câu này theo thuật toán "Solve - Viet đảo" ở Tập

1 Nói thực là khá ngại vì viết rất dài, nhưng không sao

+ Bước 1 Nhập PT

+ Bước 2 Solve ra nghiệm SHIFT CALC 0  :

1 0,3874258867

X

+ Bước 3 Lưu PT:  

+ Bước 4 Lưu nghiệm vào A: Nhập X, SHIFT RCL ( ) ( ( ) là phím của A)

+ Bước 5 Tối ưu hóa PT: quay lại sửa

+ Bước 6 Chưa bị báo "Can’t Solve", nên lặp lại các bước từ 2 đến 5 cho PT đã tối

ưu hóa

Cứ lặp lại thêm 4 lần nữa như vậy (bạn tự làm nốt nhé), ta tìm được thêm 3 nghiệm,

lưu vào 3 biến:

2

3

4

0,775255128 1,72075922

3, 224744871





 Bây giờ sử dụng Viet đảo, trước hết ta tính tổng 2 nghiệm bất kì, nếu tổng mà đẹp (số hữu tỉ) thì chuyển sang tính tích của chúng luôn

Sau khi thử, ta thấy tổng 4

3

A C S  đẹp, như vậy tính tích của chúng luôn:

2

3

AC P  Do đó theo Viet đảo, A, C là 2 nghiệm phương trình x2SxP 0

hay 2 4 2 0 3 2 4 2 0

x  x   x  x  , vậy (3x24x2) là một nhân tử

Theo như phương thức Solve - Chia đa thức vừa học ở trên, một khi đã có 1 nhân tử thì luôn chia được PT ban đầu cho nhân tử đó để ra cái còn lại, nhưng ở đây tôi đang giảng lại theo phương thức Solve - Viet đảo ở Tập 1, nên sẽ dùng 2 nghiệm còn lại

B và D để suy nốt nhân tử kia chứ không chia

Ta thấy ngay

4 5 2

B D BD

  













B và D là 2 nghiệm PT 2 4 5 0

2

x  x 

2x 8x 5 0 (2x 8x 5)

       chính là nhân tử còn lại

Vậy: 6x4 32x343x24x10 0 (3x24x2)(2x28x5) 0

Cũng sau khi phát hành Tập 1, có bạn đã hỏi tôi là biết được kết quả này rồi thì sẽ

trình bày trong bài thi như thế nào?

Tôi lấy luôn PT vừa rồi để trả lời: chúng ta từ kết quả khai triển ngược lại, rồi lại lật ngược các bước khai triển, thì đấy chính là cách trình bày đơn giản nhất

(3 4 2)(2 8 5) 0

3 (2 8 5) 4 (2 8 5) 2(2 8 5) 0

(6 24 15 ) (8 24 20 ) (4 16 10) 0

Lật ngược lại chính là cách trình bày trong bài:

4 3 2

(6 24 15 ) (8 24 20 ) (4 16 10) 0

3 (2 8 5) 4 (2 8 5) 2(2 8 5) 0

(3 4 2)(2 8 5) 0

Nói chung loại PTB4 có nghiệm thì có 2 phương thức áp dụng là "Solve - Viet đảo" hoặc "Solve - Chia đa thức" vừa được học xong Bây giờ sẽ là bài luyện tập

Câu 1 Dùng phương thức Solve - Viet đảo để phân tích

1) 3x421x331x24x  2 0

2) 8x412x314x2 15x  5 0

3) 20x48x331x26x12 0

Câu 2 Dùng phương thức Solve - Chia đa thức để phân tích

1) 3x44x310x2 x 2 0

2) 2x47x331x228x  6 0

3) 663x4727x32780x2 2073x1863 0

Câu 3 Thích dùng phương thức nào thì dùng

1) 12x4 23x3124x2123x36 0

2) 15x432x318x232x150

3) 12x4 40x356x2316x2800

4) 24x414x3111x226x1200

Nộp lại các đáp án cho Admin qua message Facebook

B Dạng PTB4 chỉ có 2 hoặc 3 nghiệm

Trước hết ta xem xem khi nào PTB4 ( )f x  chỉ có 2 hoặc 3 nghiệm 0

Vì bất kì một PTB4 nào cũng phân tích được thành 2 nhân tử bậc 2, cho nên để xem PTB4 có mấy nghiệm, ta phải xem mỗi nhân tử bậc 2 có mấy nghiệm

I Khi PTB4 chỉ có 2 nghiệm

Nếu PTB4 chỉ có 2 nghiệm, thì nó nhận 1 trong 2 dạng sau:

+ Dạng 1: (axb) (2 mxn)2 0 2 nghiệm là

1

2

b x

b n a

n a m x

m



 



  



Vì PT có hệ số

hữu tỉ (nguyên hoặc phân số), nên cả a, b, m, n cũng phải hữu tỉ, dẫn đến 2 nghiệm trên đều là nghiệm hữu tỉ, đồng nghĩa với việc PT này không thể có nghiệm vô tỉ được Hơn nữa, ta lại thấy (axb) (2 mxn)2 (a x2 22abxb2)(m x2 22mnxn2) nên hệ số bậc 4 là a m phải cùng dấu với hệ số tự do là 2 2 b n2 2, bạn nên nhớ điều này

vì đôi lúc khá hữu ích

a x b xc a x b xc  trong đó a x1 2 b x1 c10 có 2

nghiệm phân biệt còn a x2 2b x2 c20 vô nghiệm (hoặc ngược lại) Khác với Dạng

1, PT có thể có cả nghiệm hữu tỉ lẫn vô tỉ, nằm chung trong 1 nhân tử

Như vậy nếu ta Solve ra 2 nghiệm vô tỉ thì chắc chắn nó là Dạng 2 rồi, nhưng 2 nghiệm hữu tỉ thì chưa chắc, vì cả 2 dạng đều có thể có, lúc đấy ta sẽ xem xét dấu hiệu của PT xem hệ số bậc 4 có cùng dấu với hệ số tự do hay không Nếu chúng khác

dấu, thì như đã nói, không thể là Dạng 1 được, còn nếu chúng cùng dấu, thì ta sẽ tiến hành các phép thử để xác định xem dạng nào (vì cùng dấu thì 2 dạng đều có thể có)

Nếu xác định được nó thuộc Dạng 1 thì quá dễ rồi phải không, từ

1

2

b x a n x

m



 





  



suy luôn

ra (axb) (2 mxn)2  và chấm hết Nhưng nếu nó thuộc Dạng 2 thì chúng ta sẽ áp 0 dụng một phương thức mới , gọi là “Solve - Viet đảo - Chia đa thức”, một sự kết hợp độc đáo của 2 phương thức ở phần A

3 bước để áp dụng phương thức này nằm ngay ở trên gọi của nó:

+ Bước 1 là Solve Sử dụng tối ưu hóa PT để dò ra 2 nghiệm, và nhận dạng được nó

là Dạng 2 nói trên

+ Bước 2 là Viet đảo Từ 2 nghiệm, tính tổng và tích ta tìm được 1 nhân tử chứa

chúng là  2 

a x b xc

+ Bước 3 là Chia đa thức Vì nhân tử còn lại vô nghiệm nên không còn cách nào khác

là phải chia 2

( )

f x

a x b xc để tìm ra Việc này giống hệt như khai triển đa thức, gán

1000

X  rồi dùng phương pháp xấp xỉ

Okay! 3 VD mẫu dưới đây sẽ cho bạn thấy rõ trực quan cách làm

VD1 2x46x33x2x  3 0

Đầu tiên ta Solve, bước này đã được học ở Tập 1 và nhắc lại ở phần A nên tôi không làm lại trong phần này nữa Ta được 2 nghiệm vô tỉ:

(X1A0,5811388301)

(X2 B 2,58113883) Lưu ý chút: bạn có thể gặp phải thông báo "Continue: [=]" trong quá trình dò nghiệm 2

X , ý nghĩa của nó là bị thất bại trong việc dò nghiệm vì giá trị ban đầu của X chưa

hợp lí, và máy hỏi vậy xem bạn có tiếp tục giải lại lần nữa không (nếu tiếp tục thì ấn

 Tuy nhiên bạn không nên ấn  mà hãy quay lại PT rồi SHIFT CALC cho

5

X   (A để nguyên), khi đó máy sẽ dò ra nghiệm như trên Để hiểu sâu hơn về

việc dò nghiệm này bạn có thể đọc trong phần đầu sách CASIO công phá Toán hoặc theo dõi file Những nguyên lí cơ bản của CASIO được Team phát hành trong tháng 1-2016

Rõ ràng đây là 2 nghiệm vô tỉ nên PT đã cho thuộc Dạng 2 rồi (Dạng 1 chỉ có hữu tỉ thôi), do đó ta đi tiếp phương thức Solve - Viet đảo - Chia đa thức

Bước 2 là Viet đảo, ta có

2 3 2

S A B

P AB

   









  



A, B là 2 nghiệm PT 2 2 3 0

2

x  x  ,

hay 2x24x  , đó là 1 nhân tử 3 0

Nhân tử còn lại buộc phải chia

2

  vì ta không còn nghiệm nào khác để dùng

Chia đa thức thực ra là phương pháp xấp xỉ vốn hay dùng để khai triển, gán

1000

X  rồi cứ thế thao tác:

Dùng xấp xỉ: 1001001 X2 X  1

Vậy

2 2

1

X X

Kết luận: 2x4 6x33x2  x 3 (2x24x3)(x2  x 1)

VD2 4x44x3x229x15 0

Solve ta được 2 nghiệm hữu tỉ:

1

2

1 2 5 2

X X









  



Nghiệm hữu tỉ thì cả Dạng 1 lẫn Dạng 2 đều có thể mắc nên ta không thể kết luận ngay cái này là Dạng 2 như VD1 được

Ta cần thêm thông tin từ hệ số bậc 4 và hệ số tự do của PT Chúng lần lượt là 4 và 15

 , trái dấu, trong khi đó ở Dạng 1 đã nói rằng 2 hệ số này phải dùng dấu, như vậy

nó không thuộc Dạng 1 Ok phải là Dạng 2 thôi

Đến đây thì bạn áp dụng phương thức Solve - Viet đảo - Chia đa thức giống hệt như VD1, tự thao tác tiếp nhé

VD3 36x484x311x270x25 0

Dễ dàng Solve ra

1

2

1 2 5 3

X X









  



, cho nên cũng chưa thể kết luận là Dạng 1 hay 2, cần

Nhưng nhìn vào PT, rất tiếc là hệ số bậc 4 (36) và hệ số tự do (25) lại cùng dấu Mà cùng dấu thì cả 2 dạng đó đều có thể có, nên vẫn chưa kết luận được rút cục là dạng nào cả

Okei! Đây là lúc để áp dụng phép thử của chúng ta

Phép thử hết sức đơn giản, đó là: loại trừ Ta sẽ giả sử một trong 2 dạng là đúng, rồi kiểm tra xem nó thỏa mãn hay không Nếu có, thì đó là đáp án, còn nếu không thỏa, thì dạng ta giả sử là sai, do đó nó bắt buộc phải thuộc dạng còn lại, không thể chạy đâu cho thoát được

Vì Dạng 1 trông đơn giản hơn Dạng 2, dễ dàng có được, nên ta sẽ giả sử là Dạng 1

đúng trước, khi đó 2 nghiệm trên lần lượt thuộc 2 nhân tử (2x 1)2 và (3x 5)2

Vấn đề còn lại là kiểm tra xem 36x4 84x311x2 70x25(2x1) (32 x5)2 có

đúng hay không, nếu đúng thì đó chính là kết quả luôn, còn không thì nó sẽ là Dạng 2 như 2 VD trước ta đã làm

Việc kiểm tra này rất đơn giản, ta phải chứng minh rằng với mọi x thì

36x 84x 11x 70x25 (2 x1) (3x5)  , muốn vậy, chỉ cần thay nhiều 0 giá trị X vào biểu thức hiệu này và thử, nếu tất cả kết quả bằng 0 thì là đúng

Để chỉ cần thay 1 lần mà kết luận được ngay, tôi khuyên bạn nên thay X , vì nó là

số siêu việt, không là nghiệm của bất kì PT nào Lí do này tôi viết rất rõ trong phần đầu cuốn sách CASIO công phá Toán nên nếu chưa hiểu bạn có thể đọc lại nó

Rất tốt! Ta đã giả sử đúng: 36x484x311x270x25(2x1) (32 x5)2

2 2

(2 1) (3 5) 0

(4 4 1)(9 30 25) 0

4 (9 30 25) 4 (9 30 25) (9 30 25) 0

(36 120 100 ) (36 120 100 ) (9 30 25) 0

Lật ngược tiến trình là xong:

36 84 11 70 25 0

(36 120 100 ) (36 120 100 ) (9 30 25) 0

4 (9 30 25) 4 (9 30 25) (9 30 25) 0

(4 4 1)(9 30 25) 0

(2 1) (3 5) 0

II Còn khi PTB4 có 3 nghiệm?

Nếu PTB4 cho ta 3 nghiệm, thì khác với 2 nghiệm, nó chỉ có 1 dạng duy nhất thôi:

Cụ thể, nhân tử thứ nhất a x1 2b x1 c1 sẽ cho ta 2 nghiệm phân biệt 0 x x1, 2, cộng

thêm với x3 n

m

  nữa là đủ 3 nghiệm (tất nhiên chúng phải khác nhau, nếu không thì

2 nghiệm trùng nhau chỉ xem là 1)

Như vậy, khi Solve PTB4 mà ta thu được 1 nghiệm hữu tỉ với 2 nghiệm vô tỉ, thì cái

nghiệm hữu tỉ đó chỉ có thể là x n

m

  và ta có được nhân tử bình phương (mxn)2,

còn 2 nghiệm vô tỉ kia là của nhân tử  2 

a x b xc và đem nhấn cái Viet đảo vào

là lòi ra ngay!

Nhưng, nếu Solve ra 3 nghiệm đều hữu tỉ cả thì sao? Lúc đấy làm sao biết chính xác được nghiệm hữu tỉ nào mới là của nhân tử (mxn)2?

Đơn giản, ta sẽ chia đa thức!

Cụ thể, ta có  

( )

f x

f x a x b x c mx n mx n

a x b x c mx n

trong đó  2 

a x b xc mxn chính là biểu thức được tạo thành từ 3 nghiệm hữu

tỉ ta đã dò được Bạn đã hiểu rồi chứ?

VD1 2x412x321x24x12 0

Solve PT ta được 3 nghiệm:

(X1A0,5811388301)

(X  2 2)

(X3B 2,58113883) Lưu ý: dù đã tối ưu hóa nhưng khi tìm nghiệm X3 bạn vẫn có thể gặp “Can’t Solve”

khiến nhầm tưởng là hết nghiệm rồi, thực ra là do máy không dò được Lúc đó, ta

quay lại SHIFT CALC rồi cho X  5 giải lại (các giá trị khác giữ nguyên), sẽ dò được nghiệm mới Thực tế, việc tối ưu hóa luôn được kết hợp với việc thay giá trị ban đầu của X phù hợp, nhưng để bạn đỡ rắc rối (dù nó thực chất chẳng rắc rối), tôi đã không nói đến trong 3 tập về PT bậc 4 này, bạn có thể đọc ở phần đầu sách CASIO

công phá Toán

Quay lại vấn đề, PT có 2 nghiệm vô tỉ và 1 nghiệm hữu tỉ, không bàn cãi gì nữa, chỉ

có nghiệm hữu tỉ X   kia là thuộc nhân tử bình phương 2 2 (mxn)2 mà thôi Cụ thể, nó thuộc nhân tử (x 2)2

2 nghiệm vô tỉ tất nhiên thuộc nhân tử còn lại nên ta Viet đảo phát là xong:

2

3

2

A B

AB

  









 



A, B thuộc PT 2 3 2

2

x  x   x  x 

Vậy: 2x412x321x24x12(x2) (22 x2 4x3)

VD2 18x475x3113x272x16 0

3 nghiệm đều hữu tỉ cả:

1

2

3

1 2 1 4 3

X X X





















Có một sự đặc biệt mà bạn có thể gặp phải khi máy hiển thị nghiệm thứ 3, nó có thể hiện là X 3 1,333332204, và ta dễ dàng lầm tưởng là nghiệm vô tỉ Thực tế, gần như không có số vô tỉ nào chúng ta gặp trong đề thi mà lại có dạng thập phân kì cục đến mức có tới 5 số 3 cạnh nhau như vậy cả Đây chỉ là sự sai số thôi, hãy tỉnh táo nhận ra

điều đó, nghiệm chính xác chính là 1,(3) 4

3



Vậy ta sẽ chia đa thức, rất nhẹ nhàng:

(2 1)( 1)(3 4)

Nhẹ nhàng vì kết quả phép chia chỉ là 1 nhị thức bậc nhất thôi, gán X 1000 rồi chơi xấp xỉ là ra: