Thông tin tài liệu
Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co h tGIẢI t pNHANH : / / wPHƯƠNG w w tTRÌNH a i l LƯỢNG i e u pGIÁC ro.co h t t p BẰNG : / / wMÁY w TÍNH w tBỎ a TÚI i l iCASIO eupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Tài liệu soạn để tặng bạn học sinh lớp 12A2 (khóa 2010 – 2013), trường THPT Thái Lão Mong với tài liệu bạn có số kỹ để làm tốt thi kỳ thi đại học tới! Giải nhanh số dạng phương trình lượng giác – Tài liệu ôn tập lớp 12A2 THPT Thái Lão Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://ww w t a i l ie u p r o c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c I Sơ lược số chức máy tính CASIO 570ES CASIO 570MS: Trong phần xin đƣợc khất chức máy tính CASIO 570MS máy có tính tƣơng tự Thế nhƣng khi sử dụng chức thứ hai số loại máy CASIO 570MS khơng hãng gây rắc rối: nhiều lúc khơng thể thao tác đƣợc Vì thân tơi khuyến khích bạn sử dụng máy tính CASIO 570ES Plus để thao tác đƣợc thật nhanh tiện dụng Chức 1: Tính giá trị biểu thức với nhiều giá trị khác biến: Ví dụ, ta vẽ đồ thị hàm số, ta cần đƣợc biết đƣợc điểm đặc biệt đồ thị nhƣ điểm cực trị, điểm uốn,… ta cần tìm thêm số điểm khác khơng đặc biệt để vẽ đồ thị cho xác Khi để tính nhanh ta dùng chức CALC máy tính bỏ túi Chức đơn giản với bƣớc thực nhƣ sau: Bƣớc 1: Nhập biểu thức cần tính giá trị Thƣờng biểu thức có biến X, ví dụ nhƣ: P x4 x3 8x2 26 x Q sin x cos x cos x Nhƣng lƣu ý cách áp dụng đƣợc với biểu thức hai, ba hay biến (có thể biến X, Y, A, B, C, …), ví dụ nhƣ: S 227 x2 134 y 195x2 y 262 x 155 y 221x 1611y Bƣớc 2: Bấm nút CALC , lúc hình xuất hộp hỏi giá trị biến Ta nhập (các) giá trị biến nhấn dấu = để lấy giá trị biểu thức Bƣớc 3: Sau nhận đƣợc giá trị biểu thức, ta lại bấm CALC để tiếp tục nhập thêm giá trị khác biến Làm tƣơng tự nhƣ Bƣớc Áp dụng cụ thể cho tốn: Ví dụ 1: Tính giá trị biểu thức y x4 2x2 giá trị x = ; x = ; x = –5 Đầu tiên ta nhập biểu thức vào máy tính: X4 + 2X2 + Bấm nút CALC hình xuất hộp hỏi giá D Math X? trị biến nhƣ hình bên Ta nhập giá trị vào bấm = Màn hình kết nhƣ hình bên D Math Để tiếp tục với giá trị x = ta cần bấm tiếp X4 + 2X2 + nút CALC bấm tiếp = Màn hình kết 101 Tiếp tục với giá trị x = –5, ta cần bấm thêm CALC – = Màn hình kết 677 Lƣu ý: Ta nên áp dụng cách tính nhƣ để tính giá trị biểu thức với giá trị biến giá trị biến số dài (ví dụ nhƣ: 2207 ; 9.10–9 ; …) Chức 2: Dò nghiệm gần phương trình biến X bất kỳ: Giả sử nhƣ có phƣơng trình ẩn x mà ta chƣa biết đƣợc nghiệm Đó phƣơng trình bậc hai, bậc ba (với phƣơng trình bậc hai bậc ba có chức giải riêng máy tính) hay bậc 4, phƣơng trình vơ tỷ, cung phƣơng trình Giải nhanh số dạng phương trình lượng giác – Tài liệu ôn tập lớp 12A2 THPT Thái Lão Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c lƣợng giác Với phƣơng trình dạng hữ tỉ ta nhẩm đƣợc nghiệm dùng sơ đồ Hooc – ne (hoặc chia đa thức) để làm phân tích thành phƣơng trình tích làm giảm bậc phƣơng trình Vì chức hữu dụng với việc tìm nghiệm phƣơng trình bậc cao có nghiệm khơng dễ nhẩm Chức đƣợc thực nhƣ sau: Bƣớc 1: Nhập phƣơng trình cần dò nghiệm vào Phƣơng trình nhập vào máy thiết ẩn phải ẩn X, nhập phƣơng trình ẩn Y hay ẩn A, B, C máy báo lỗi) Ví dụ: Nếu muốn dò nghiệm phƣơng trình x4 x2 30 x 104 Thì ta nhập: X4 – 2X2 – 30X – 104 = (dấu = biểu thức đƣợc nhập phím bấm ALPHA CALC ) Nếu muốn dò nghiệm phƣơng trình sin x cos x cos2 x sin x Thì ta nhập: + sin(X) = – cos(X) – cos(2X) – sin(2X) Nếu muốn dò nghiệm phƣơng trình y 15 y3 30 y 148 (*) Thì ta nhập: 2X4 – 15X3 – 30X + 148 = (nghiệm phƣơng trình nghiệm (*), ta thay đổi ẩn) Bƣớc 2: Bấm SHIFT SOLVE , lúc hình xuất hộp hỏi giá trị khởi tạo ẩn X Ta nhập vào giá trị bấm nút = Thực việc nhập giá trị khởi tạo cho X quan trọng Vì thƣờng máy tính dò nghiệm khoảng lân cận X Vì vậy, phƣơng trình hữu tỉ thơng thƣờng việc quan trọng Nếu giá trị khởi tạo không phù hợp nhiều lúc máy báo khơng dò đƣợc nghiệm (mặc dù có nghiệm) Còn phƣơng trình lƣợng giác tính chất tuần hồn hàm lƣợng giác nên có nhiều giá trị nghiệm đủ “phân bố” nhiều trục số Vì nên việc tạo giá trị khởi đầu thực không cần quan trọng Thế nhƣng để tiện cho việc nhìn nghiệm lƣợng giác ta nên tạo giá trị khởi đầu nằm đoạn [0 ; 180] (đối với chế độ độ D ) 0; (nếu dùng chế độ rađian R ) Đến ta việc chờ kết dò nghiệm D Math +) Nếu dò nghiệm thành cơng hình có ba X= dòng nhƣ sau: L–R= – Dòng 1: Phƣơng trình ta nhập – Dòng 2: X = Đây nghiệm phƣơng trình (giá trị nghiệm gần nghiệm đúng) – Dòng 3: L – R = Khi tìm đƣợc nghiệm, hình L – R = (L Left, tức vế trái phƣơng trình, R vế phải phƣơng trình) nghiệm tìm đƣợc nghiệm xác phƣơng trình Còn L – R khác tức vế trái chƣa vế phải, nên nghiệm gần phƣơng trình +) Nếu việc dò nghiệm q lâu, máy lên hình hỏi có nên dò nghiệm tiếp hay khơng Lúc hình có ba dòng: Giải nhanh số dạng phương trình lượng giác – Tài liệu ơn tập lớp 12A2 THPT Thái Lão Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c w w tailieupro.c h t t p : / / w http://ww w t a i l i e u p r o c http://w w w t a i l i e u p r o c / w w t ph :t /t /pw: /w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c – Dòng 1: Continue: [ = ] D Math Continue : [ = ] Nếu muốn tiếp tục việc dò nghiệm, ta bấm phím = X= – Dòng 2: Giá trị X L–R= – Dòng 3: L – R = Nếu khơng muốn tiếp tục việc dò nghiệm ta bấm phím AC +) Nếu máy khơng thể dò đƣợc nghiệm Lúc D Math Can’t Solve hình Can’t Solve : Cancel Điều có hai nguyên nhân Thứ phƣơng [AC] trình nhập ln vơ nghiệm Thứ hai [◄] [►] : Goto giá trị khởi tạo không đƣợc phù hợp Vì ta tiếp tục cơng việc dò nghiệm cách hai nút điều chỉnh ◄ ► để trở lại bƣớc nhập phƣơng trình cho giá trị khởi tạo phù hợp Ví dụ 2: Giải phƣơng trình sau: x4 19 x3 47 x2 180 Đầu tiên ta nhập phƣơng trình vào máy: 2X4 + 19X3 + 47X2 – 180 = Bấm SHIFT SOLVE , sau nhập giá trị khởi tạo D Math chẳng hạn bấm nút = , hình kết 2X +19X +47X –180=0 X= 1.5 X = 1,5 với độ sai lệch L–R= Vậy phƣơng trình có nghiệm x Dùng sơ đồ Hooc–ne chia đa thức ta phân tích đƣợc phƣơng trình thành: x 3 x x 11x 40 x 60 2 x 11x 40 x 60 (1) Bây ta giải phƣơng trình bậc ba Bấm máy tính ta đƣợc nghiệm X = –6 nên ta phân tích (1) thành: x x2 5x 10 x (dễ thấy x2 5x 10 ) Lƣu ý: Khi nhập phƣơng trình dạng f x ta khơng nhập phần “= 0” phƣơng trình mà cần nhập f x Và khuyên bạn nên bỏ phần “=0” phƣơng trình, khơng nên nhập phần Một phƣơng trình dạng f x g x (ví dụ x2 3x 3x3 ) ta nên chuyển dạng f x g x để nhập (và không nhập phần “=0”) Một mẹo để không cần viết nháp giai đoạn chuyển vế f x g x , ta nhập kiểu: f x ( g x ) bấm SHIFT SOLVE Nguyên nhân lại nên nhập nhƣ tơi xin trình bày nhƣ sau: – Khi nhập phƣơng trình dạng f x hay f x g x chứa dấu = nên ta nhập sai sót mà lỡ bấm SHIFT SOLVE khơng sửa đƣợc, tức thêm thời gian nhập lại Thời gian nhập phƣơng trình (nếu phƣơng trình phức tạp phƣơng trình lƣợng giác) khơng phải ngắn, thời gian sửa phƣơng trình Giải nhanh số dạng phương trình lượng giác – Tài liệu ôn tập lớp 12A2 THPT Thái Lão Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c – Khi ta nhập phƣơng trình mà khuyết dấu “=” ta hồn tồn sửa đƣợc Cụ thể ta dùng thêm bƣớc nhƣ sau: Sau nhập phƣơng trình, ta bấm nút = để tính giá trị biểu thức vừa nhập với giá trị biến X giá trị thời đƣợc lƣu Lúc máy tính lƣu lại nhớ biểu thức vừa nhập Máy tính kết tính đƣợc (ta khơng cần quan tâm kết này) mà tiếp tục bấm SHIFT SOLVE nhƣ thƣờng Nếu sau bấm SHIFT SOLVE mà ta biết nhập sai phƣơng trình bấm liên tục nút AC xuất hình trắng (chú ý khơng bấm ON , bấm ON tất nhớ tạm thời biểu thức nhập “bay” hết!) Sau bấm nút ◄ phƣơng trình lại cho Trên bƣớc sở để thực phép dò nghiệm phù hợp cho phƣơng trình lƣợng giác – chủ đề mà ta đề cập đến II Áp dụng vào việc giải phương trình lượng giác: Một số kiến thức kết luận cần nắm được: Thực việc sử dụng máy tính bỏ túi nhiều lúc cho kết không nhƣ ý ta phƣơng trình lƣợng giác có nghiệm “khơng đẹp chút nào” Vì bạn đừng nên dựa dẫm vào máy tính cầm tay mà trang bị kiến thức thật vững chắc! Đề thi đại học năm gần thiên việc phân tích nhân tử chung để giải phƣơng trình lƣợng giác Và “lợi dụng” việc có nghiệm đẹp phƣơng trình thi đại học nên ta sử dụng cách bấm máy tính đốn nhân tử chung để giải phƣơng trình lƣợng giác Đầu tiên ta nhớ lại số tính chất phƣơng trình lƣợng giác – Phƣơng trình sin x = có nghiệm x k 2 (biểu diễn đƣờng tròn lƣợng giác điểm B) – Phƣơng trình sin x = –1 có nghiệm x k 2 (biểu diễn đƣờng tròn lƣợng giác điểm B’) – Phƣơng trình sin x = có nghiệm x k (biểu diễn đƣờng tròn lƣợng giác hai điểm A A’) – Phƣơng trình cos x = có nghiệm x k 2 (biểu diễn đƣờng tròn lƣợng giác điểm A) – Phƣơng trình cos x = –1 có nghiệm x k 2 (biểu diễn đƣờng tròn lƣợng giác điểm A’) – Phƣơng trình cos x = có nghiệm x k (biểu diễn đƣờng tròn lƣợng giác hai điểm B B’) Giải nhanh số dạng phương trình lượng giác – Tài liệu ôn tập lớp 12A2 THPT Thái Lão Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p : / / w w w.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c – Phƣơng trình cos x = m (với –1 < m < 1) có hai nghiệm đối (biểu diễn đƣờng tròn lƣợng giác hai điểm đối xứng qua trục ngang) – Phƣơng trình sin x = m (với –1 < m < 1) có hai nghiệm bù (biểu diễn đƣờng tròn lƣợng giác hai điểm đối xứng với qua trục dọc) – Phƣơng trình tan x = m có hai họ nghiệm lƣợng (biểu diễn đƣờng tròn lƣợng giác hai điểm đối xứng qua gốc O Từ nhận xét tƣởng chừng nhƣ đơn giản mà rút số kinh nghiệm giải phƣơng trình lƣợng giác nhƣ sau: – Nếu phƣơng trình lƣợng giác có hai điểm biểu diễn điểm A A’ có nhân tử chung (sin x – 0) sin x – Nếu phƣơng trình có điểm biểu diễn A (mà khơng có A’) có nhân tử chung (cos x – 1) – Nếu phƣơng trình có điểm biểu diễn A’ (mà khơng có A) có nhân tử chung (cos x + 1) – Nếu phƣơng trình lƣợng giác có điểm biểu diễn điểm B B’ có nhân tử chung (cos x – 0) cos x – Nếu phƣơng trình có điểm biểu diễn B (mà khơng có B’) có nhân tử chung (sin x – 1) – Nếu phƣơng trình có điểm biểu diễn B (mà khơng có B’) có nhân tử chung (sin x + 1) – Nếu phƣơng trình có hai điểm biểu diễn đối xứng với qua trục dọc có nhân tử chung (sin x – m) (với m giá trị lƣợng giác sin ứng với hai điểm đó) – Nếu phƣơng trình có hai điểm biểu diễn đối xứng với qua trục ngang có nhân tử chung (cos x – m) (với m giá trị lƣợng giác cos ứng với hai điểm đó) – Nếu phƣơng trình có hai điểm biểu diễn đối xứng với qua gốc O có nhân tử chung (tan x – m) (với m giá trị lƣợng giác tan ứng với hai điểm đó) Thành thạo việc tƣ đƣờng tròn lƣợng giác nhƣ giúp việc giải phƣơng trình lƣợng giác đơn giản mà không cần vẽ đƣờng tròn lƣợng giác! Các cách để giải nhanh phương trình lượng giác máy tính bỏ túi: Hai cách làm sau thực giống nhau, muốn sử dụng cách đƣợc Với bạn sử dụng tơi khun bạn dùng cách thứ nhất, máy tính nên để chế độ độ D (bởi việc nhập giá trị rađian lâu tí) Cách 1: Giải chức CALC cách thông dụng Bƣớc 1: Nếu phƣơng trình có hai vế chuyển hết vế để đƣợc phƣơng trình f x Sau nhập f x vào máy Bƣớc 2: Lần lƣợt thử giá trị lƣợng giác đặc biệt vào biểu thức trình chức CALC Giá trị làm giá trị f x nghiệm phƣơng trình (Các giá trị đặc biệt +) ; 30 ; 45 ; 60 ; 90 ;120 ;135 ; 150 ; 180 giá trị đối (nếu máy chế độ độ D ) Giải nhanh số dạng phương trình lượng giác – Tài liệu ơn tập lớp 12A2 THPT Thái Lão Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co h t t p : / / w w w tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c 5 3 5 ; ; ; ; ; ; ; giá trị đối (nếu máy chế độ 6 rađian R )) Bƣớc 3: Giá trị nghiệm phƣơng trình đánh dấu đƣờng tròn lƣợng giác Bƣớc 4: Từ kết luận rút mục II.1 ta nhận định nhân tử chung (có thể nhận định đƣợc nhiều cách phân tích) Bƣớc 5: Thử phân tích phƣơng trình thành nhân tử chung Nếu phân tích đƣợc việc giải phƣơng trình thành cơng Nếu việc phân tích q khó khăn ta lại chuyển hƣớng phân tích nhân tử chung khác Sử dụng Cách lâu Cách 2: Dùng chức CALC tối ƣu Bƣớc 1: Giống Bƣớc cách Bƣớc 2: Lần lƣợt thử giá trị lƣợng giác đặc biệt vào biểu thức trình chức CALC Giá trị làm giá trị f x nghiệm phƣơng trình ta +) ; dừng lại Giả sử nghiệm vừa tìm đƣợc α Bƣớc 3: Thử giá trị sau: +) Giá trị ĐỐI với α, tức (– α) Nếu (– α) thỏa mãn (làm giá trị biểu thức 0) ta nghĩ đến nhân tử chung (cos x – cos α) (α xác định nên cos α số) +) Giá trị BÙ với α, tức (1800 – α) Nếu (1800 – α) thỏa mãn ta nghĩ đến nhân tử (sin x – sin α) +) Giá trị NGƢỢC PHA với α, tức (α + 900) Nếu (α + 900) thỏa mãn nghĩ đến nhân tử chung (tan x – tan α) (sin x – tan α cos x) (tùy trƣờng hợp mà ta sử dụng nhân tử chung cho hợp lý) Riêng trƣờng hợp α có biểu diễn điểm A, B, A’, B’ việc làm “thừa” Cụ thể ba giá trị ĐỐI, BÙ NGƢỢC PHA khơng thỏa mãn phƣơng trình tùy giá trị α mà ta nghĩ đến nhân tử chung khác (ví dụ nhƣ α điểm A nhân tử chung Nếu α có biểu diễn khác tất điểm A, B, A’, B’ mà giá trị ĐỐI, BÙ NGƢỢC PHA khơng thỏa mãn ta phải quay Bƣớc để thử giá trị khác Bƣớc 4: Thử phân tích thành nhân tử chung Cách phù hợp với ngƣời quen sử dụng máy, thao tác kĩ thuật nhanh Cách 3: Sử dụng chức SOLVE (thƣờng sử dụng chế độ độ D ) Bƣớc 1: Nhập phƣơng trình vào máy Bƣớc 2: Nhập giá trị khởi tạo [ ; 360 ] dò nghiệm Sở dĩ ta khơng dùng chế độ rađian nghiệm hiển thị lẻ, khơng dạng hay , … mà lại dạng số thập phân 1,570796327 hay 1,047917551, … nên khó nhận biết đƣợc nghiệm Bƣớc 3: Đến làm tiếp bƣớc tƣơng tự nhƣ Bƣớc 3, Bƣớc Cách Giải nhanh số dạng phương trình lượng giác – Tài liệu ôn tập lớp 12A2 THPT Thái Lão Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Cách áp dụng tốn có nghiệm khơng giá trị lƣợng giác đặc biệt mà chúng lại khó nhẩm (chẳng hạn nhƣ ; ; ; ) 12 Sau ví dụ cụ thể giúp bạn luyện tập đƣợc bấm máy: Ví dụ 3: (Đề thi Đại học Khối B năm 2005) Giải phƣơng trình lƣợng giác: sin x cos x sin x cos2 x Cách 1: Thử giá trị đặc biệt ta thấy giá trị thỏa mãn 1200 , 1350 , 450 , 1200 Thấy 120 –120 hai giá trị đối nhau, 135 –45 giá trị ngƣợc pha Vậy nên ta nghĩ đến hai nhân tử chung có phƣơng trình là: ( cos x cos1200 ) ( tan x tan1350 ) Hay ( cos x ) ( sin x cos x ) (phƣơng trình chứa sin cos nên ta ƣu tiên lấy dạng ( sin x cos x ) lấy dạng ( tan x 1)) Thử phân tích theo nhân tử ( cos x ) Ta ƣu tiên nhóm sin2x trƣớc (ln phƣơng trình dạng này) Số hạng mà nhóm với sin2x mà xuất nhân tử chung nhƣ sin x (Thực ngồi nháp ta làm nhƣ sau: 1 1 sin x 2sin x cos x 2sin x cos x 2sin x cos x sin x 2 2 Nhƣ “phần thiếu” sinx) Với hƣớng ta phân tích phƣơng trình nhƣ sau: sin x sin x cos2 x cos x 1 2sin x cos x 2cos x cos 2 1 1 1 2sin x cos x 2cos x cos x cos x sin x cos x 2 2 2 Đến việc giải trở nên đơn giản Và nhận thấy hai nhân tử chung mà ta dự đoán đúng! Một câu hỏi nho nhỏ đặt ra: Ta phải dùng công thức nhân đôi số hạng cos2x nhƣ ba công thức: cos2 x 2cos2 x 2sin x cos2 x sin x cho hợp lý? Xin đƣợc trả lời nhƣ sau: Các bạn phải xác định nhân tử chung chứa hàm gì? – Nếu nhân tử chung CHỈ chứa hàm cos (ví dụ nhƣ nhân tử chung ( cos x )) 2 ta quy cos2x 2cos x (tức quy cos2x cosx) – Nếu nhân tử chung CHỈ chứa hàm sin ta quy cos2x 2sin x (tức quy cos2x sinx) – Nếu nhân tử chung chứa CẢ HAI hàm sin cos (hay chứa hàm tan) ta quy cos2 x cos2 x sin x Giải nhanh số dạng phương trình lượng giác – Tài liệu ôn tập lớp 12A2 THPT Thái Lão Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c Cách 2: Thử giá trị đặc biệt từ 00 trở đi, ta dừng lại giá trị α = 1200 Bấm thấy giá trị –1200 thỏa mãn nên ta đoán nhân tử chung ( cos x ) Tiếp tục cách giải nhƣ Cách 3: Nhập phƣơng trình sử dụng chức SOLVE với giá trị khởi tạo (ở chế độ độ) sau khoảng gần 20s máy tính cho kết –450 Thực lấy giá trị góc ĐỐI (450), BÙ (2250) đến giá trị NGƢỢC PHA thấy thỏa mãn Nhƣ đoán đƣợc nhân tử chung ( tan x tan(450 ) ) ( sin x cos x ) Vẫn ƣu tiên nhóm sin2x trƣớc Làm nháp: sin x 2sin x cos x sin x cos x cos x 2cos x sin x cos x cos x cos x 1 Vì nên để hợp lý ta nhóm sin2x với (cos2x + 1) Nếu phân tích theo cách: sin x 2sin x cos x sin x cos x sin x 2sin x Thì ta lại thêm bớt phƣơng trình lƣợng 2sin x để nhóm cho đủ: sin x 2sin x cos2 x 2sin x sin x cos x sin x cos x sin x 2cos x 2sin x sin x cos x Đến khơng khó để phân tích thành nhân tử chung ( sin x cos x ) Ví dụ 4: (Đề thi chọn lớp 12 năm 2012 – 2013 THPT Thái Lão) 2sin x 3cos x 11sin x 2cos x Giải phƣơng trình: 2cos x Với dạng phƣơng trình cách giải lại đƣợc rút ngắn nữa! Thấy thật khơng đẹp chút cho mẫu vào Vì bình thƣờng ta cần giải phƣơng trình tử = đƣợc Suy luận nhƣ cho thấy việc cho mẫu nhƣ để loại nghiệm mà thơi Vì nên giá trị thỏa mãn để mẫu = có giá trị nghiệm phƣơng trình tử = k 2 x k 2 x 6 Phƣơng trình cho tƣơng đƣơng: 2sin x 3cos2 x 11sin x 2cos x Điều kiện cos x (*) k 2 thỏa mãn phƣơng trình Áp dụng cách 5 ta thử thấy giá trị bù với x thỏa mãn phƣơng trình Nhƣ ta dự đốn phƣơng trình có nhân tử chung ( sin x ) 1 Ta phân tích đƣợc ngay: 2sin x 4sin x cos x sin x cos x 2cos x 2 Nhƣ ta nhóm 2sin2x với (–2cosx) Trình bày lời giải nhƣ sau: (*) 2sin x 2cos x 3cos2 x 11sin x Dùng máy tính thử ta thấy x Giải nhanh số dạng phương trình lượng giác – Tài liệu ơn tập lớp 12A2 THPT Thái Lão Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w w w ww t.at ial ii lei u h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p :/ / w w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c w w t a i l i e u p r o c o m t ph :t /t /pw : / / w w t a i l i e u p r o c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c 2cos x 2sin x 2sin x 11sin x 2cos x 2sin x 6sin x 11sin x 2cos x 2sin x 2sin x 3sin x 2sin x 2cos x 3sin x (dễ thấy phƣơng trình 2cos x 3sin x vô nghiệm) 5 x k 2 x k 2 k 6 sin x Kết hợp với điều kiện ta tìm đƣợc phƣơng trình có họ nghiệm x 5 k 2 Qua việc giải hai phƣơng trình ta rút ý sau: Khi giải phƣơng trình dạng: a sin x b cos2 x c sin x d cos x e biến dạng (thay sin2x sinx.cosx ; thay cos2x sin x hay cos2 x ) việc ta nên làm nhóm asin2x với csinx nhóm với dcosx Bởi việc nhóm nhƣ dễ làm xuất nhân tử chung! Ví dụ 5: (Đề thi Đại học Khối D năm 2012) Giải phƣơng trình: sin 3x cos3x sin x cos x cos x (**) Phƣơng trình khơng khó với rành công thức lƣợng giác Thế nhƣng ta thử ứng dụng cách giải vào giải phƣơng trình xem Thử nghiệm từ trở Ta thấy giá trị 450 thỏa mãn Tiếp tục thử giá trị đối, bù ngƣợc pha với 450 tất giá trị thỏa mãn Ghép cặp (450 –1350), (–450 1350) (các cặp ngƣợc pha nhau) ta nhận thấy phƣơng trình có hai nhân tử (sinx – cosx) (sinx + cosx) Ta chọn nhân tử chúng (sinx – cosx) Thấy phƣơng trình cho (– sinx + cosx) cos 2x chứa (sinx – cosx) Nhƣ (sin3x + cos3x) phải chứa (sinx – cosx) Thực phép hạ bậc thấy nhân tử chung sin3x cos3x 3sin x 4sin x 4cos3 x 3cos x cos3 x sin x sin x cos x cos x sin x cos2 x sin x cos x sin x sin x cos x sin x cos x 1 4sin x cos x Vậy phƣơng trình cho biến đổi tƣơng đƣơng nhƣ sau: (**) sin x cos x 1 4sin x cos x sin x cos x cos x sin x cos x 2 4sin x cos x cos x cos x sin x sin x cos x cos x cos2 x sin x sin x cos cos2 x 2cos x sin x cos x cos x Giải nhanh số dạng phương trình lượng giác – Tài liệu ơn tập lớp 12A2 THPT Thái Lão Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) 10 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Đến chuyện trở nên đơn giản nhiều Lưu ý: Bài giải ta chọn cách phân tích nhân tử chung (sinx – cosx) Thế nhƣng mạnh dạn “dám” chọn hai nhân tử chung phƣơng trình có nhân tử GỌN HƠN là: (sinx – cosx) (sinx + cosx) = sin x cos2 x cos2 x Từ ta cố biến đổi vế trái phƣơng trình xuất cos2x xong Ở ta ghép cặp (450 –1350), (–450 1350) (các cặp ngƣợc pha nhau) nhƣng ta ghép cặp theo cách khác kết nhƣ vậy: +) Các cặp đối (450 –450), (1350 –1350) hai nhân tử chung dự đốn phải 1 (cosx – ) (cosx + ) Ta lại có: 2 1 cos x cos x cos x cos x 2 2 Từ ta lại dự đoán nhân tử chung gọn cos2x +) Các cặp bù (450 1350), (–450 –1350) hai nhân tử chung dự đốn 1 (sinx – ) (sinx + ) Ta lại có: 2 1 sin x sin x sin x cos x 2 Nên ta lại dự đoán nhân tử chung gọn lại cos2x Từ kết ta nhận xét với cách dự đoán nhân tử chung đa dạng phong phú, nhƣng dƣờng nhƣ cách cho kết quả! Ví dụ 6: (Đề thi Đại học Khối B năm 2011) Giải phƣơng trình lƣợng giác: sin x cos x sin x cos x cos2 x sin x cos x Thử đến giá trị 600, ta dừng lại thử thấy –600 thỏa mãn phƣơng trình nên nhân tử chung phƣơng trình (cosx – ) Bởi nhân tử chung chứa hàm cos nên ta cố ý GIỮ NGUYÊN hàm độc lập (hoặc quy hàm độc lập) cos cos2x cosx (chỉ chứa cosx mà không chứa sinx) Vậy nên ta biến đổi ba số hạng lại phƣơng trình sin2x.cosx, sinx.cosx, sinx cho phù hợp để xuất nhân tử chung (cosx – ) 1 1 sin x Nhận thấy sin x cos x sin x cos x sin x nên ta nhóm sinx.cosx với 2 Thực lời giải nhƣ sau: sin x cos x sin x cos x cos2 x sin x cos x 1 sin x cos x sin x sin x cos x cos x cos x 2 1 sin x cos x sin x cos x sin x 2cos x cos x 2 Giải nhanh số dạng phương trình lượng giác – Tài liệu ôn tập lớp 12A2 THPT Thái Lão Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) 11 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c o h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p : / / w w w t ai l i e u p r o c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c t ph :t /t /pw: /w/ w w t w a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c 1 1 sin x cos x 2sin x cos x 2cos x cos x 2 4 1 1 1 sin x cos x 2sin x cos x cos x cos x cos x 2 2 2 1 1 sin x cos x 2cos x cos x cos x 2 2 cos x 1 x k 2 1 cos x cos x 2sin x cos x x k 2 2 sin x x k 2 Ví dụ 7: (Đề thi Đại học Khối A năm 2007) k Giải phƣơng trình lƣợng giác: sin x cos x cos2 x sin x sin x Phƣơng trình khơng khó, nhìn ta nhận thấy tính đối xứng hai vế phƣơng trình Chúng chứa nhân tử chung (sinx + cosx) Thế nhƣng thử giải phƣơng trình hƣớng khác xem nhé! Còn bạn chƣa tinh ý ta thử giá trị lƣợng giác 00 Giá trị thỏa mãn 00 Thử giá trị bù với (tức 1800) ta thấy khơng thỏa mãn Nhƣ phƣơng trình có nhân tử chung (cosx – 1) Để thay đổi cách giải chút, ta áp dụng cách thêm bớt sau: “Ta thêm cho đủ nhân tử chung trừ lượng vừa thêm”, cụ thể ta thực hiện: sin x cos x sin x cos2 x 2cos x sin x 2sin x cos x 2sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos x 1 sin x cos x sin x cos x sin x cos2 x cos x 1 sin x sin x cos x sin x cos x cos x cos x sin x sin x cos x sin x cos x cos x sin x cos x sin x x k 2 cos x sin x cos x x k 2 k sin x x k 2 Vậy ta giải xong! Nhận xét: Với toán dùng cách phƣơng trình cho gần nhƣ bị “lộ tẩy” hoàn toàn: Giải nhanh số dạng phương trình lượng giác – Tài liệu ơn tập lớp 12A2 THPT Thái Lão Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) 12 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co t a i l i e u p r o c o h t t p : / / w w w h t t p : / / w w w.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c Các giá trị nghiệm đặc biệt: 00 (điểm A) ; 900 (điểm B) ; 1350 –450 (ngƣợc pha nhau) Từ thấy phƣơng trình có nhân tử chung (cosx – 1), (sinx – 1) nhân tử (sinx + cosx)! Ví dụ 8: Giải phƣơng trình lƣợng giác: 4sin x cos x 3sin x tan x 3tan x (1) Điều kiện x k k Lần lƣợt thử giá trị 0, ta dừng lại giá trị 1350 Thử giá trị đối, bù ngƣợc pha có giá trị ngƣợc pha thỏa mãn phƣơng trình Vậy phƣơng trình có nhân tử chung (tanx + 1) (sinx + cosx) Ta thêm bớt cho đủ nhân tử chung (tanx + 1): (1) 4sin x cos x 3sin x tan x 1 3sin x tan x 1 sin x cos x 3sin x tan x tan x cos x tan x 3sin x tan x tan x tan x cos x 3sin x tan x 1 cos x 3sin x Đến bạn giải đƣợc tìm đƣợc nghiệm phƣơng trình Ví dụ 9: Giải phƣơng trình lƣợng giác: sin x cos8x cos7 x cos6 x sin x (1) Với toán mà chứa số hạng với giá trị lƣợng giác bội số lớn ẩn (nhƣ tốn 6x , 7x , 8x) ta nên sử dụng Cách (có thể phối hợp thêm cách 3) Bởi ta có nhìn bao qt nghiệm phƣơng trình chọn đƣợc nhân tử chung phù hợp Ta thƣờng giải phƣơng trình nhƣ áp dụng cơng thức biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng cho thật hợp lý để làm giảm đƣợc bội số x để dễ dàng nhìn nhận nhân tử chung Các giá trị lƣợng giác thỏa mãn phƣơng trình 450, 1200, –1200, –1350 Nhóm cặp nghiệm ta thấy có cặp đối (1200 –1200) cặp ngƣợc pha (450 –1350) Vì ta dự đốn phƣơng trình có nhân tử chung (cosx + ) (tanx – 1) Nếu nhân tử chung (cosx + ) Lúc ta nhóm đƣợc sin2x sinx để xuất nhân tử chung Vậy lại tổng ba số hạng lại: cos8x cos7 x cos6 x Dùng cơng thức biến đổi tổng thành tích: cos8x cos6 x 2cos7 x cos x , ta thấy đƣợc nhân tử: cos8x cos6 x cos7 x 2cos7 x cos x cos7 x 2cos x cos7 x Vì nên ta trình bày lời giải nhƣ sau: (1) sin x sin x cos8 x cos6 x cos7 x Giải nhanh số dạng phương trình lượng giác – Tài liệu ơn tập lớp 12A2 THPT Thái Lão Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) 13 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) w w t a i l i e u p r o c o thttpt :p/://w/ w w w t a i l i e u p r o c o m h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c o http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c h t t p : / / w w w t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c 2sin x cos x sin x 2cos7 x cos7 x sin x 2cos x cos7 x 2cos x 2cos x sin x cos7 x Đến tiếp tục giải đƣợc phƣơng trình Với toán trên, ta nhận xét bội số x lớn làm chu kỳ tuần hoàn giảm có “kha điểm” phân bố đƣờng tròn lƣợng giác Các điểm trùng với điểm lƣợng giác đặc biệt gây rắc rối cho ngƣời phụ thuộc máy tính Nhƣ với tốn trên, nhìn nhận nhân tử chung (tanx – 1) hƣớng phức tạp khó nhận đƣợc kết III Kết luận: Phƣơng pháp đƣợc áp dụng cho phần lớn tốn giải phƣơng trình lƣợng giác mà chứa bội số x, cụ thể 3x dạng nhƣ: a cos2 x b sin x c cos x d sin x e a cos3x b sin3x c cos2 x d sin x e cos x f sin x g (Với a, b, c, d, e, f, g số) Và hữu dụng việc giải phƣơng trình lƣợng giác cho kỳ thi tới, gần phƣơng trình lƣợng giác đề thi đại học chủ yếu dạng phƣơng trình tích! Với phƣơng trình lƣợng giác chứa bội số cao bắt biến đổi thơng minh việc giải cách hạn chế Sau số tập áp dụng: Giải phƣơng trình lƣợng giác sau: (Khối A, A1 năm 2012): sin x cos x 2cos x sin x 2cos x sin x (Khối D năm 2011): tan x 3 (Thi thử đại học THPT Thái Lão năm 2012): 6sin x sin x 15cos x cos x 2 2cos x cos3x sin 3x (Khối A năm 2002): sin x cos x 2sin x cos x (Khối A năm 2003): cot x sin x sin x tan x 2 (Khối B năm 2004): 5sin x sin x tan x (Khối D năm 2008): 2sin x cos2 x sin x 2cos x Giải nhanh số dạng phương trình lượng giác – Tài liệu ơn tập lớp 12A2 THPT Thái Lão Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) 14 ... Sơ lược số chức máy tính CASIO 570ES CASIO 570MS: Trong phần xin đƣợc khất chức máy tính CASIO 570MS máy có tính tƣơng tự Thế nhƣng khi sử dụng chức thứ hai số loại máy CASIO 570MS khơng hãng gây... rắc rối: nhiều lúc thao tác đƣợc Vì thân tơi khuyến khích bạn sử dụng máy tính CASIO 570ES Plus để thao tác đƣợc thật nhanh tiện dụng Chức 1: Tính giá trị biểu thức với nhiều giá trị khác biến:... máy tính) hay bậc 4, phƣơng trình vơ tỷ, cung phƣơng trình Giải nhanh số dạng phương trình lượng giác – Tài liệu ơn tập lớp 12A2 THPT Thái Lão Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều
Ngày đăng: 17/04/2019, 00:46
Xem thêm:
