NW359 360 DẠNG 29 xác SUẤT GV

DẠNG TOÁN 29: XÁC SUẤT I KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Định nghĩa phép thử không gian mẫu ♦ Phép thử thí nghiệm hay hành động mà kết khơng đốn trước xác định tập hợp tất kết xảy phép thử đó, thường kí hiệu T chữ ♦ Tập hợp tất kết xảy phép thử gọi không gian mẫu phép thử, W T người ta kí hiệu chữ Hi lạp (đọc ô – mê – ga) Khi người ta nói phép thử W mô tả tập hợp W Như ta hiểu khơng gian mẫu tập hợp, kí hiệu kí hiệu tập hợp W n ( W) W ♦ Số phần tử tập hợp gọi số phần tử không gian mẫu, kí hiệu Việc đếm số phần tử tập hợp không gian mẫu quan trọng với tốn mà ta khơng thể tự liệt kê hết tất phần tử có tập không gian mẫu, chẳng hạn tập hợp gồm số 50 tự nhiên gồm chữ số khác nhau, tập hợp số cách hoàn thành đề thi trắc nghiệm gồm câu – câu gồm phương án trả lời, có phương án đúng,… Định nghĩa biến cố A T A ♦ Biến cố liên quan đến phép thử biến cố mà việc xảy hay không xảy phụ thuộc T vào kết phép thử T A A ♦ Mỗi kết phép thử làm cho biến cố xảy ra, gọi kết thuận lợi cho WA A A ♦ Tập hợp tất kết thuận lợi cho kí hiệu Khi người ta nói biến cố đượcmơ tả tập hợp WA WA Ì W Như ta có nhận xét ♦ Số phần tử tập hợp WA , gọi số phần tử biến cố A , kí hiệu WA hay n ( A) ♦ Biến cố đối A Cho A biến cố Khi biến cố “Khơng xảy A”, kí hiệu TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA , gọi biến cố đối A Trang1 Nếu ΩA tập hợp kết thuận lợi cho A tập hợp kết thuận lợi cho nói A A A Ω \ ΩA Ta hai biến cố đối Chú ý Hai biến cố đối hai biến cố xung khắc hai biến cố xung khắc chưa hai biến cố đối Định nghĩa xác suất T A T A Xét phép thử biến cố liên quan đến phép thử , xác suất xảy biến cố số P ( A) = P ( A) ♦ ♦ ΩA Ω kí hiệu xác định theo cơng thức Từ định nghĩa ta có: ≤ P ( A) ≤ P ( Ω ) = 1; P ( ∅ ) = Cho biến cố A Xác suất biến cố đối Định lí II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ A P( A) = − P( A) BÀI TẬP MẪU 15 (ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Chọn ngẫu nhiên số số nguyên dương Xác suất để chọn số chẵn 7 8 15 15 A B C D Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN:Đây dạng tốn tính xác suất chọn số chẵn – lẻ HƯỚNG GIẢI: B1: Tìm số phần tử không gian mẫu B2: Liệt kê sử dụng tổ hợp chỉnh hợp hoán vị để đếm số phần tử biến cố B3: Áp dụng cơng thức tính xác suất Cách khác: Sử dụng biến cố đối để tính Từ đó, ta giải toán cụ thể sau: Lờigiải Chọn C P= 15 Xác suất cần tính là: Bài tập tương tự phát triển:  Mức độ Câu Gieo hai súc sắc, tính xác suất để tổng số chấm mặt xuất hai súc sắc TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang2 A B 36 C Lờigiải D 36 ChọnA Ω = 36 Câu Câu Câu Không gian mẫu có số phần tử là: A Gọi : “tổng số chấm mặt xuất hai súc sắc 7” A = { ( 1, ) ; ( 2,5 ) ; ( 3, ) ; ( 4,3 ) ; ( 5, ) ; ( 6,1) } P ( A) = = 36 Xác suất cần tính là: Gieo xúc sắc cân đối đồng chất Xác suất để xuất mặt có số chấm số nguyên tố 1 3 A B C D Lờigiải ChọnB Ω =6 Khơng gian mẫu có số phần tử là: A Gọi : “xuất mặt có số chấm số nguyên tố” A = { 2;3;5} P ( A) = = Xác suất cần tính là: X Gieo hai xúc sắc cân đối đồng chất Gọi biến cố “ Tích số chấm xuất hai mặt xác sắc số lẻ” 1 1 A B C D Lời giải Chọn B n ( Ω ) = 6.6 = 36 Số phần tử không gian mẫu n ( A ) = 3.3 = P( X ) = = 36 Do 1; 2;3; 50 50 A: Chọn ngẫu nhiên số số tự nhiên Tính xác suất biến cố số có số bội 0, 08 0,19 0,18 0.09 A B C D Lời giải TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang3 Chọn A n ( Ω ) = C503 Câu Câu A Gọi :”trong số có số bội ” n ( A ) = C102 C40 n ( A) P ( A) = = ≈ 0, 09 n ( Ω ) 98 Vậy 5 Có hai rương, rương chứa thẻ đánh số tự đến Rút ngẫu nhiên từ rương thẻ Xác suất để thẻ rút ghi số lẻ 3 10 25 A B C D Lời giải Chọn D n ( Ω ) = 25 Số phần tử không gian mẫu: n ( C ) = 3.3 = C Gọi biến cố: “ thẻ rút ghi số lẻ” n( C) P( C) = = n ( Ω ) 25 Vậy Gieo hai súc sắc cân đối đồng chất Tính xác suất để hiệu số chấm xuất hai súc sắc 5 36 18 A B C D Lời giải Chọn C n ( W) = 6.6 = 36 Số phần tử không gian mẫu A Gọi biến cố hiệu số chấm xuất hai súc sắc A = { ( 1; 2) , ( 2;1) , ( 2;3) , ( 3; 2) , ( 3; 4) , ( 4;3) , ( 4;5) , ( 5; 4) , ( 5; ) , ( 6;5) } Þ n ( A) = 10 Þ P ( A) = Câu 10 = 36 18 Có hai hòm, hòm chứa thẻ đánh số từ đến Rút ngẫu nhiên từ hòm thẻ Xác suất để thẻ rút ghi số lẻ là: 3 25 10 A B C D Lời giải Chọn A TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang4 A, B A, B Gọi lầ lượt biến cố rút thẻ ghi số lẻ hịm thứ thứ hai Ta có biến cố độc lập Khi đó, xác suất để thẻ ghi số lẻ là: 3 P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) = = 5 25 30 10 10 20 Câu Một hộp chứa cầu gồm cầu đỏ đánh số từ đến màu xanh 20 đánh số từ đến Lấy ngẫu nhiên cầu từ hộp Tính xác suất cho chọn màu xanh ghi số lẻ 3 A B C D Lời giải Chọn C C30 = 30 Số cách lấy ngẫu nhiên cầu từ hộp: (cách) Có cách chọn cầu ghi số lẻ có 20 cách để chọn cầu màu xanh + 20 P= = 30 Vậy xác suất cần tìm:  Mức độ 27 Câu Chọn ngẫu nhiên hai số khác từ số nguyên dương Xác suất để chọn hai số có tổng số chẵn 13 14 365 27 27 729 A B C D Lờigiải ChọnA C272 = 351 Khơng gian mẫu có số phần tử là: Hai số có tổng số chẵn hai số hai số chẵn hai số hai số lẻ ta có C132 + C142 = 78 + 91 = 169 cách chọn 169 13 P= = 351 27 Xác suất cần tính là: Câu Gọi S E = { 1; 2;3; 4;5} tập số tự nhiên có bốn chữ số khác tạo từ tập Chọn S ngẫu nhiên số từ tập Tính xác suất để số chọn số chẵn? 3 5 A B C D Lờigiải ChọnB E = { 1; 2;3; 4;5} 5! = 120 Số số tự nhiên có bốn chữ số khác tạo từ tập là: 120 S Do tập có số phần tử là: TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang5 Khơng gian mẫu có số phần tử là: C120 = 120 E = { 1; 2;3; 4;5} Câu 2.4! = 48 Số số chẵn có bốn chữ số khác tạo từ tập là: C 48 P = 48 = = 120 120 Xác suất cần tính là: 11 11 Một hộp đựng viên bi đánh số từ đến Lấy ngẫu nhiên viên bi, cộng số bi lại với Xác suất để kết thu số lẻ bằng? 16 31 11 21 32 32 33 32 A B C D Lời giải Chọn C C114 = 330 Khơng gian mẫu có sốp phần tử là: Để tổng bốn số số lẻ bốn số phải có số lẻ, ba số chẵn ba số lẻ, số chẵn ta có: Câu C63 C51 + C61 C53 = 160 cách lấy bốn số có tổng số lẻ 160 16 P= = 330 33 Xác suất cần tính là: 3 14 14 Cho thẻ đánh số từ đến Chọn ngẫu nhiên thẻ Xác suất để tích số 3 ghi thẻ chia hết cho bằng? 31 30 61 12 91 91 91 17 A B C D Lời giải Chọn B C143 = 364 Khơng gian mẫu có sốp phần tử là: 3 Để tích ba số ghi thẻ chia hết cho ba số phải có số chia hết cho ta có: chia hết cho C41 C102 + C42 C101 + C43 = 244 P= Câu cách lấy ba số để tích ba số ghi thẻ 244 61 = 364 91 Xác suất cần tính là: 0,1, 2,3, 4,5, S Gọi tập số tự nhiên gồm hai chữ số khác lập từ Chọn ngẫu nhiên S hai số từ tập Tính xác suất để tích hai số chọn số chẵn? 6 A B C D Lời giải Chọn C TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang6 Câu 0,1, 2,3, 4,5, 6.6 = 36 Số số tự nhiên có hai chữ số khác tạo từ tập là: 36 S Do tập có số phần tử là: C362 = 630 Không gian mẫu có số phần tử là: 0,1, 2, 3, 4,5, 3.5 = 15 Số số lẻ có hai chữ số khác tạo từ tập là: số C 105 P = − 15 = − = 630 630 Xác suất cần tính là: Trong hộp có 50 viên bi đánh số từ1 đến 50 Chọn ngẫu nhiên viên bi hộp, tính xác suất để tổng ba số viên bi chọn số chia hết cho A 816 1225 B 409 1225 289 1225 C Lời giải D 936 1225 Chọn B Ω C503 = 19600 Số phần tử không gian mẫu = Gọi A biến cố “3 viên bi chọn số chia hết cho 3”.Trong 50 viên bi chia thành loại gồm: 16 viên bi có số chia hết cho 3; 17 viên bi có số chia cho dư 1; 17 viên bi cịn lại có số chia cho dư Để tìm số kết thuận lợi biến cố A, ta xét trường hợp TH1: viên bi chọn loại, có ( C163 + C173 + C173 TH2: viên bi chọn có viên loại, có Suy số phần tử biến cố A P ( A) = Câu ΩA Ω ΩA = 6544 = 16 17 ) cách C C C173 cách 6544 409 = 19600 1255 Vậy xác suất cần tìm là: 10 Một hộp đựng thẻ đánh số từ đến Lấy ngẫu nhiên thẻ, tính xác 3 suất để chữ số thẻ lấy ghép thành số chia hết cho 15 15 5 A B C D Lời giải Chọn A n ( Ω ) = C103 = 120 Số phần tử không gian mẫu 3 A Gọi biến cố ‘‘ chữ số thẻ lấy ghép thành số chia hết cho ’’ TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang7 Để biến cố A xảy tìm số phần tử biến cố có thẻ mang chữ số A thẻ lấy phải có thẻ mang chữ số , tức ( ) chữ số thẻ lấy khơng có thẻmang chữ số Ta không n A = C83 ⇒ n ( A ) = C103 − C83 = 64 Ta có P ( A) = n ( A) 64 = = n ( Ω ) 120 15 Vậy xác suất cần tìm 20 20 Câu Một hộp đựng thẻ đánh số từ đến Chọn ngẫu nhiên hai thẻ, tính xác suất để tích hai số hai thẻ số chẵn 29 9 10 38 38 19 19 A B C D Lời giải Chọn A n ( Ω ) = C202 = 190 Số phần tử không gian mẫu A Gọi biến cố: “ Chọn ngẫu nhiên hai thẻ, mà tích hai số hai thẻ số chẵn” n ( A ) = C101 C101 + C102 = 145 Khi n( A) 29 P( A) = = n(Ω) 38 Do xác suất cần tìm Câu Gieo hai súc sắc đồng chất, tính xác suất để tổng số chấm mặt xuất hai 10 súc sắc 1 1 12 18 36 A B C D Lời giải Chọn A 36 Gieo hai súc sắc cân đối, số phần tử không gian mẫu 10 A Đặt biến cố “tổng số chấm mặt xuất hai súc sắc ” { ( 4; ) , ( 6; ) , ( 5;5 ) } A Tập tất kết thuận lợi cho biến cố , suy số kết thuận lợi P ( A) = = 36 12 Suy Câu 10 Gieo hai súc sắc cân đối cách độc lập Tính xác suất để tổng số chấm mặt xuất hai súc sắc TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang8 A 36 B 12 18 C Lời giải D Chọn A Không gian mẫu Ω Ω = 62 = 36 ,với Số chấm mặt xuất hai súc sắc số ( a; b ) , a + b = 8, ≤ a ≤ 6,1 ≤ b ≤ Khi ( a; b ) ∈ { ( 2;6 ) ; ( 6; ) ; ( 3;5) ; ( 5;3) ; ( 4; ) } Số cách chọn để tổng số chấm mặt xuất hai súc sắc cách P= 36 Xác suất cần tìm  Mức độ P Câu Chọn ngẫu nhiên số có chữ số Gọi xác suất để tổng chữ số số số P lẻ Khi 11 100 21 189 15 A B C D Lời giải Chọn B 9000 Chọn ngẫu nhiên số có chữ số có: (cách) ( a+b+c+d) abcd a ≠ Gọi số có bốn chữ số ( ) thỏa mãn số lẻ ( a + b + c) d d +) Nếu lẻ chẵn, nên có: (cách chọn ) ( a + b + c) d d +) Nếu chẵn lẻ, nên có: (cách chọn ) a b c d Vậy trường hợp , , ln có cách chọn b 10 a 10 c Có cách chọn , cách chọn , cách chọn 5.9.10.10 P= = 9000 Vậy A = { 0;1; 2;3; 4;5;6; 7} A Câu Cho tập hợp Từ tập lập số tự nhiên có chữ số khác đôi cho số số lẻ chữ số đứng vị trí thứ ln chia hết cho ? 5400 5040 5004 4500 A B C D Lời giải Chọn B Gọi số cần tìm là: n = a1a2 a3 a4 a5 a6 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang9 S n cú tớnh cht: ị a6 ẻ {1;3;5;7} + Lẻ + a3 chia hết cho Þ a3 Ỵ { 0; 2; 4;6} a3 = * Trường hợp : a6 có cách a1 có cách Chọn A53 A53 chữ số cịn lại có a3 = * Trường hợp : a6 có cách a1 có cách Chọn Câu cách chữ số cịn lại có cách a3 = a3 = a3 = * Trường hợp : tương tự trường hợp 4.6 A53 + 3.4.5 A53 = 5040 Vậy: số 18 X Cho tập hợp số tự nhiên có chữ số đôi khác mà tổng chữ số X Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên thuộc tập Tính xác suất để chọn số lẻ 16 29 32 43 45 45 75 75 A B C D Lời giải Chọn C { a; b; c; d ; e; f } abcdef 18 Gọi số có chữ số khác , mà tổng chữ số nên tập { 0;1; 2;3; 4;8} { 0;1; 2;3;5;7} { 0;1; 2; 4;5; 6} tập hợp sau: ; ; a 5! Ứng với trường hợp có cách chọn chữ số , chữ số cịn lại có cách chọn 3.5.5! = 1800 18 số tự nhiên có chữ số khác mà tổng Suy có Þ n ( W) = 1800 Gọi A biến cố “Số tự nhiên chọn số lẻ” a, b, c, d , e, f Î { 0;1; 2;3; 4;8} Þ 2.4.4! = 192 TH1: có (số) a, b, c, d , e, f Ỵ { 0;1; 2;3;5;7} Þ 4.4.4! = 384 TH2: có (số) TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang10 Câu a, b, c, d , e, f Ỵ { 0;1; 2; 4;5;6} Þ 2.4.4! = 192 có (số) n ( A) 32 Þ P ( A) = = n ( A) = 768 n ( W) 75 Suy 1, 2,3, 4,5,6,7,8,9 3× Cho bảng vng Điền ngẫu nhiên số vào bảng (mỗi ô A điền số khác nhau) Gọi biến “mỗi hàng, cột có số lẻ” A Xác suất biến cố 10 P ( A) = P ( A) = P ( A) = P ( A) = 21 56 A B C D TH3: Lời giải Chọn C n ( Ω ) = 9! Ta có A Gọi biến cố “tồn hàng cột gồm tồn số chẵn” 2, 4,6,8 Do có số chẵn nên có hàng cột gồm toàn số chẵn + Chọn hàng cột: có cách + Chọn thêm ô: có cách 2, 4,6,8 4! + Điền số chẵn vào vừa chọn: có cách 5! + Điền số cịn lại vào cịn lại: có cách ⇒ n ( A) = 6.6.4!.5! ( ) P ( A) = − P A = − Xác suất cần tính Câu 6.6.4!.5! = 9! 35 Chọn ngẫu nhiên số khác từ số nguyên dương Xác suất để chọn số lập thành cấp số cộng có cơng sai số lẻ 17 30 385 385 385 112019 A B C D Lời giải Chọn A n ( Ω ) = C353 Ta có a, b, c d ≤ a < b < c ≤ 35 Gọi số theo thứ tự lập thành cấp số cộng có cơng sai ( ) d b Nhận thấy ứng với trường hợp lẻ, cách chọn có cách chọn cặp a, c TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang11 d = 17 ⇒ b = 18 b , có cách chọn d = 15 ⇒ 16 ≤ b ≤ 20 b TH2: , có cách chọn d = 13 ⇒ 14 ≤ b ≤ 22 b TH3: , có cách chọn ……………………………………………… d = ⇒ ≤ b ≤ 32 29 b TH8: , có cách chọn d = ⇒ ≤ b ≤ 34 33 b TH9: , có cách chọn ( + 33) = 153 ⇒ n ( A ) = + + + + 29 + 33 = TH1: ⇒ P ( A) = Câu 153 = C35 385 Chọn ngẫu nhiên hai số tự nhiên có chữ số khác Tính xác suất để chọn số chẵn ( kết làm trịn đến hàng phần nghìn) 0, 652 0, 256 0, 756 0,922 A B C D Lời giải ChọnC A93 = 4536 Số số tự nhiên có chữ số khác Ω = C4536 Ω Gọi không gian mẫu, A Gọi biến cố “ chọn số chẵn” A biến cố “ chọn hai số lẻ” Số số tự nhiên lẻ có chữ số khác 5.8 A82 = 2240 A = C2240 Suy Xác suất để chọn số chẵn ( ) P ( A) = − P A = − Câu Gọi S A Ω = 1− C2240 ≈ 0, 756 C4536 43200 Lấy ngẫu nhiên hai phần tửthuộc Tính xác suất lấy hai phần tử hai số không chia hết cho A C122 C842 tập hợp ước số nguyên dương số B C82 C842 C Lời giải C62 C842 D C102 C842 S Chọn A 43200 = 26.33.52 Ta có TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang12 Mỗi ước số nguyên dương số Câu 43200 , i ∈ { 0;1; 2;3; 4;5; 6} , j ∈ { 0;1; 2;3} k ∈ { 0;1; 2} 43200 7.4.3 = 84 , , suy số ước nguyên dương Ω = C84 Ω Gọi không gian mẫu, 43200 20.3 j.5k Mỗi ước số nguyên dương số mà khơng chia hết cho có dạng , suy số 43200 4.3 = 12 ước nguyên dương số không chia hết cho A A = C12 Gọi biến cốchọn hai số không chia hết cho , A C12 P ( A) = = Ω C842 Vậy xác suất cần tìm A = { 0;1; 2;3; 4;5;6} X Cho tập hợp Gọi tập số tự nhiên có chữ số khác A X lập từ Chọn số từ , tính xác suất cho số chọn có chữ số chẵn 17 17 35 30 A B C D Lời giải Chọn C Ω = A64 = 2160 Ω Gọi không gian mẫu, A Gọi biến cố “số chọn có chữ số chẵn” +TH1: chữ số chẵn khơng có số { 2; 4;6} A53 A32 = 360 Xếp vào vị trí, sau xếp số lẻ vào vị trí cịn lại Số số thỏa { 0; 2; 4} { 0; 2;6} { 0; 4;6} +TH2: chữ số chẵn có số , gồm nhóm , , Ứng với nhóm, số xếp vào vị trí ( trừ vị trí đầu), xếp số chẵn, số lẻ vào vị trí A42 A32 = 288 cịn lại Số số thỏa A = 360 + 3.288 = 1224 Suy P ( A) = Câu có dạng 2i.3 j.5k A = 1224 17 = 2160 30 Ω Vậy xác suất cần tìm 18 X Cho tập hợp số tự nhiên có chữ số đơi khác mà tổng chữ số X Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên thuộc vào tập Tính xác suất để chọn số chẵn 43 32 16 75 75 75 25 A B C D TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang13 Lời giải Chọn A Có tập hợp có { 0;1; 2; 4;5;6} phần tử mà tổng 18 { 0;1; 2;3; 4;8} { 0;1; 2;3;5;7} , , 5! Ứng với tập hợp, vị trí có cách chọn, chữ số cịn lại có cách 18 3.5.5! = 1800 Suy số số có chữ số khác mà có tổng Ω = 1800 Ω Gọi không gian mẫu, A Gọi biến cố “ chọn số chẵn” A biến cố “ chọn số lẻ” { 0;1; 2;3; 4;8} 2.4.4! = 192 +TH1: Số số lẻ có chữ số khác { 0;1; 2;3;5; 7} 4.4.4! = 384 +TH2: Số số lẻ có chữ số khác { 0;1; 2; 4;5;6} 2.4.4! = 192 +TH3: Số số lẻ có chữ số khác A = 768 Suy ( ) P ( A) = − P A = − A Ω =1− 768 43 = 1800 75 Xác suất cần tìm là: Câu 10 Gọi S tập hợp tất số tự nhiên có chữ số phân biệt lấy từ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, Chọn ngẫu nhiên số từ S Xác suất chọn số chứa số lẻ là? P= A 16 21 P= B 10 21 P= C Lời giải 16 42 P= D 23 42 Chọn D Ω S = 9.8.7.6.5.4 Ta có Sáu chữ số 1; 3; 5; 2; 4; lập 6! số thỏa mãn Tương tự Như cố định Tương tự với 1;3;5 ( 1;3;5;2; 4;8) , ( 1;3;5;2;6;8 ) , ( 1;3;5;4;6;8 ) có 6!.4 số thỏa mãn ( 1;3;7 ) , ( 1;3;9 ) , ( 1;5;7 ) , ( 1;5;9 ) , ( 1;7;9 ) , ( 3;5;7 ) , ( 3;5;9 ) , ( 3;7;9 ) , ( 5;7;9 ) Xác suất cần tìm  Mức độ 6!.4.10 10 = 9.8.7.6.5.4 21 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang14 Câu K K tập hợp số tự nhiên có bốn chữ số Chọn ngẫu nhiên số từ Tính xác suất để số chọn có tổng chữ số bội 2249 2243 11 49 9000 9000 45 9000 A B C D Lời giải ChọnA K = 9.103 = 9000 Cho Ta có: A Gọi tập hợp số tự nhiên có bốn chữ số mà tổng chữ số chia hết cho { } A = abcd ∈ ¥ : ( a + b+ c + d) M4 Xét b+ c + d = 4k + r ( ≤ r ≤ 3) cho ( a + b+ c+ d) M4 giá trị a { cho (đó Nếu r ∈ { 0;1;2} giá trị a = − r, a = − r ( a + b+ c + d) M4 (đó ) Nếu r =3 a = 1, a = 5, a = } r có hai giá trị giá trị r a có ba ) B = bcd ∈ ¥ : ≤ b, c, d ≤ 9, b + c + d = 4k + r, ≤ r ≤ Gọi { } , C = bcd ∈ ¥ : ≤ b, c, d ≤ 9, b+ c + d = 4k + Khi đó, ta có: Xét tập hợp A = B + C = 2( B + C ) + C = 2.103 + C C với c + d = 4m+ n Nếu n∈ { 0;1} giá trị n có hai giá trị b n∈ { 2;3} b+ c + d = 4k + b n cho Nếu giá trị có ba giá trị cho b+ c + d = 4k + { } D = cd ∈ ¥ : ≤ c, d ≤ 9, c + d = 4m+ n, ≤ n ≤ Gọi { } , E = cd ∈ ¥ : ≤ c, d ≤ 9, c + d = 4m+ n, ≤ n ≤ C = D + E = 2( D + E ) + E = 2.102 + E E = 25+ 24 = 49 Khi đó, ta có: , với A = 2.10 + 2.10 + 49 = 2249 Suy ra: X Gọi biến cố : “Số chọn có tổng chữ số bội 4” Khi đó, xác suất biến cố X P( X) = là: 2249 9000 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang15 Câu 6 7 1 Một hộp đựng bi xanh đánh số từ đến , bi vàng đánh số từ đến bi đỏ đánh 3 số từ đến Lấy ngẫu nhiên bi từ hộp Tính xác suất để ba bi lấy có số khác khác màu 108 108 116 109 775 665 565 785 A B C D Lời giải ChọnB Ω = C21 Số phần tử không gian mẫu là: A Gọi biến cố ba bi lấy có số khác màu khác Cách Ta có trường hợp sau: Trường hợp Bi đỏ chọn ghi số Khi có hai khả sau: Khả Bi vàng chọn ghi số Khi có cách chọn bi xanh Khả Bi vàng chọn ghi số bé Khi bi vàng có cách chọn, bi xanh có cách chọn + 6.5 = 36 Trường hợp có cách chọn 6 Trường hợp Bi đỏ chọn ghi số Khi bi vàng có cách chọn (từ đến ) bi 6.5 = 30 xanh có cách chọn (vì ghi số phải khác số bi vàng) Trường hợp có cách chọn Trường hợp Bi đỏ chọn ghi số bé Bi đỏ có cách chọn Khả Bi vàng chọn ghi số Khi bi xanh có cách chọn (ghi số khác bi đỏ) Khả Bi vàng chọn ghi số bé khác số bi đỏ Khi bi vàng có cách chọn bi xanh có cách chọn 6( 5+ 5.4) = 150 Trường hợp có cách chọn A = 36 + 30 = 150 = 216 A Vậy số phần tử biến cố là: 216 108 P ( A) = = C21 665 Vậy xác suất cần tìm là: Cách Có cách chọn bi xanh Với cách chọn bi xanh có cách chọn bi vàng để bi vàng ghi số khác với bi xanh Với cách chọn bi xanh bi vàng có cách chọn bi đỏ ghi số khác với bi vàng, bi xanh A = 63 A Vậy số phần từ biến cố là: TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang16 63 108 P ( A) = = C21 665 Câu Xác suất cần tìm là: A = { 0;1;2;3;4;5;6} S Cho tập Gọi tập hợp gồm chữ số khác chọn từ phần tử S 15 A tập Chọn ngẫu nhiên số từ tập Tính xác suất để số chọn chia hết cho 97 43 31 37 360 360 360 360 A B C D Lời giải Chọn D S 6.6.5.4.3 = 2160 Số phần tử tập n( Ω ) = 2160 Ω Gọi không gian mẫu Khi 15 B Gọi biến cố: “Số chọn chia hết cho ” 15 A số có chữ số khác chia hết cho chọn từ phần tử tập 15 = 3.5, ( 3,5) = abcdeM 15 ⇔ abcdeM5 abcdeM3 Ta có Do Gọi abcde e= TH1 Khi a, b, c, d∈ { 1;2;4;5} a, b, c, d∈ { 3;6;4;1} abcdeM3 ⇔ ( a + b+ c + d) M3 a, b, c, d∈ { 3;6;2;1} a, b, c, d∈ { 3;6;2;5} hoặc hoặc a, b, c, d∈ { 3;6;4;5} Vậy trường hợp có e= TH2 Khi a, b, c, d∈ { 3;2;4;1} a, b, c, d∈ { 3;6;0;2} 5.4! = 5! = 120 số tự nhiên abcdeM3 ⇔ ( a + b+ c + d + 5) M3 ⇔ a + b+ c + d : dư a, b, c, d∈ { 6;2;4;1} a, b, c, d∈ { 0;2;4;1} hoặc hoặc a, b, c, d∈ { 3;6;0;4} 2.4!+ 3.3.3.2.1 = 102 Vậy trường hợp có n( B ) = 120 + 102 = 222 Do P ( B) = Câu số tự nhiên n( B ) 222 37 = = n( Ω ) 2160 360 Vậy xác suất cần tìm là: 8 Một hộp đựng viên bi màu xanh đánh số từ đến , viên bi màu đỏ 10 10 1 đánh số từ đến viên bi màu vàng đánh số từ đến Một người chọn ngẫu 3 nhiên viên bi hộp Tính xác suất để viên bi chọn có số đơi khác TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang17 A 772 975 B 209 225 C Lời giải 512 2925 D 2319 2915 Chọn A Cách (Cô Nguyễn Thắm) Số phần tử không gian mẫu Ω = C27 = 2925 A Để đếm số phần tử không gian thuận lợi cho biến cố ta chia nhiều trường hợp theo số màu viên bi chọn TH 1: màu C83 + C93 + C10 = 260 Trường hợp có phần tử (ứng với màu xanh, đỏ, vàng) TH 2: hai màu C81.C82 + C82.C71 + C81.C92 + C82.C81 + C91.C92 + C92.C81 = 1544 44 43 44 43 44 43 Trường hợp có phần tử (ứng với cặp màu xanh-đỏ, đỏ-vàng, xanh-vàng) TH 3: ba màu C81.C81.C81 = 512 Trường hợp có phần tử (ứng với màu xanh, đỏ, vàng) Ω A = 2316 Như 2316 772 P= = 2925 975 A Vậy xác suất biến cố Cách (Thầy Nguyễn Thanh Hải) X = { 1; 2; 3; ; 8} Nhận thấy số viên bi mang số thuộc tập hợp , có 10 viên bi mang số viên bi mang số Vì để đếm số phần tử khơng gian thuận A lợi cho biến cố ta chia nhiều trường hợp theo việc ba viên bi có viên mang số 10 số hay không X TH 1: có viên bi mang số thuộc tập hợp C81.3.2 = 48 X Trường hợp có phần tử (chọn số tập , chọn viên bi mang số 10 này, chọn viên bi mang số , viên bi lại viên bi mang số ) X TH 2: có hai viên bi mang số thuộc tập hợp C82.3.3.3 = 756 X Trường hợp có phần tử (chọn hai số tập , chọn viên bi mang số thứ nhất, chọn viên bi mang số thứ hai, chọn viên bi ba viên bi mang số 10 số X TH 3: ba viên bi mang số thuộc tập hợp TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang18 C83.3.3.3 = 1512 Trường hợp có mang số này) Ω A = 2316 Như P= Câu phần tử (chọn ba số tập X , chọn viên bi 2316 772 = 2925 975 A Vậy xác suất biến cố Từ hộp đựng 100 thẻ đánh số thứ tự từ đến 100 lấy ngẫu nhiên thẻ Xác suất biến cố: A=”Số ghi thẻ số đo cạnh tam giác” là: 95 65 35 55 132 132 236 236 A B C D Lờigiải Chọn B n(Ω) = C100 = 161700 Gọi x,y, z số ghi thẻ lấy thỏa mãn yêu cầu toán A k = { (x;y;z)/x,y,z ∈ { 1,2, ,100} ,1≤ x < y < z=k, (x+y)>z} Đặt: ⇒ n(A) = A + A + A + + A 100 Tính Ak với (4 ≤ k ≤ 100) Dễ thấy rằng: A1 = A = A = k = 2m (m≥ 2) TH1 :k chẵn, ⇒ k = 2m ≥ 2x ⇒ (k − x) ≥ x (x + y) > z ⇒ y>(k-x) ≥ x ⇒ (k-x+1) ≤ y ≤ (z − 1) 1≤ x ≤ m , ; Xét (k − 1) − (k − x + 1) + = (x − 1) Ta có số cách chọn y là: ⇒ (x + 1) ≤ y ≤ (z-1)=(2m-1) x > m ⇒ (x + y) > 2x > 2m = z Xét , (thỏa mãn đk) (2m− 1) − (x + 1) + = (2m− x + 1) Ta có số cách chọn y là: Vậy,với k = 2m m 2m−1 x=1 x= m+1 A k = ∑ (x − 1) + ta có: ∑ (2m− x − 1) = (m− 1)2 k = (2m+ 1) (m ≥ 2) TH2 :k lẻ, ⇒ k = (2m + 1) > 2x ⇒ (k − x) > x 1≤ x ≤ m Xét , (x + y) > z ⇒ y>(k-x)>x ⇒ (k-x+1) ≤ y ≤ (z − 1) (k − 1) − (k − x + 1) + = (x − 1) Ta có số cách chọn y là: ∀y (x + 1) ≤ y ≤ (z − 1) x> m Xét ,ta thấy : cho ta có: (x + y) ≥ x + (x + 1) = (2x + 1) > (2m+ 1) = z (thỏa mãn đk) (2m+ 1− 1) − (x + 1) + = (2m− x) Ta có số cách chọn y là: TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang19 m A k = ∑ (x − 1) + k = (2m +1) x=1 2m ∑ (2m− x) = m(m− 1) x= m+1 Vậy,với ta có: ⇒ n(A) = A + A + A + + A 100 = ( A + A + + A 99 ) + ( A + A + + A 100 ) 49 50 m= m=1 ⇒ n(A) = ∑ m(m− 1) + ∑ (m− 1)2 = 39200 + 40425 = 79625 ⇒ P(A) = Câu n(A) 79625 65 = = n(Ω) 161700 132 A = {1; 2; 3; ;2019} Cho tập hợp số Lấy ngẫu nhiên hai số, tính xác suất để lấy hai số mà bình phương số cộng ba lần số số phương 2 C2009 C2009 C2009 A B C D Lời giải Chọn B A Gọi hai số lấy đồng thời từ tập thỏa mãn yêu cầu toán x, y ( x, y ẻ Â *+, x y) Khụng lm mt tớnh tổng quát giả sử x> y x2 + 3y = k2 ( k ẻ Â *+, k > x) k = x + t( t ³ 1) 4x > 3x > 3y Ta thấy Đặt x2 + 2xt + t2 = k2 Þ 2xt + t2 = 3y Þ 3y ³ 2xt ³ 4x t³ Nếu (Vơ lý) 3y- 9y- 2x +1= 2y Þ x = , 3x = < 6y t < Þ t =1 2 Nên Khi đó, (*) y2 + 3x = m2 ( mỴ ¢ *+ ,m > y) Tương tự: Nếu z³ m= y + z Đặt m = y + 2yz + z Þ 3x = 2yz + z2 Þ 3x ³ 2yz ³ 6y 2 z < Þ z = {1,2} ( Vơ lý với (*)) Nên z = 1Þ Với z = 2Þ Với 9y- = 2y +1Þ y = 1, x = (loại) 9y- = 4y + Þ y = 11, x = 16 ( x; y) = ( 16;11) Suy ra: Số phần tử biến cố C2019 Vậy xác suất biến cố Đáp án B TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang20 Câu tập tất số tự nhiên có chữ số đôi khác Chọn ngẫu nhiên số S 45 thuộc Tính xác suất để chọn số chia hết cho 53 53 53 2268 2520 252 324 A B C D Lời giải Chọn A Ω = A108 − A97 Số phần tử không gian mẫu B = { 0,1, 2, 3, 4,5, 6, 7,8,9} 45 A Gọi biến cố chọn số chia hết cho Gọi Số chia hết cho 45 + + + + = 45M số chia hết cho chia hết cho Do nên ta có Gọi S B \ { 0,9} ; B \ { 1,8} ; B \ { 2, 7} ; B \ { 3, 6} ; B \ { 4,5} số mà tổng chia hết cho là: B \ { 0,9} a8 = a1a2 a3a4 a5 a6 a7 a8 TH1: Số có chữ số lấy từ tập có dạng chia hết 7! , suy có số B \ { 4,5} a8 = a1a2 a3a4 a5 a6 a7 a8 TH2: Số có chữ số lấy từ tập có dạng chia hết 7! , suy có số B \ { 1,8} a1a2a3a4a5a6 a7 a8 TH3 :Số có chữ số lấy từ tập có dạng chia hết có trường hợp : a8 = 7! * có số a8 = 6.6! * có số B \ { 2, 7} , B \ { 3, 6} 7!+ 6.6! Suy trường hợp có số Tương tự trường hợp 7!+ 6.6! trường hợp có số ΩA = 2.7!+ ( 7!+ 6.6!) = 38160 A Số kết thuận lợp cho biến cố Vậy xác suất biến cố A p ( A) = ΩA Ω = 38160 53 = A10 − A9 2268 A = { 0;1; 2;3; 4;5;6} Câu Cho tập Gọi X tập số tự nhiên có chữ số khác lập từ A X Chọn số từ , tính xác suất cho số chọn có chữ số chẵn 17 281 35 540 A B C D Lời giải Chọn C TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang21 A Þ n ( X ) = 2160 chữ số khác lập từ , n ( W) = 2160 X Chọn số từ , số phần tử không gian mẫu B Gọi biến cố “chọn số có chữ số chẵn” Có A64 = 2160 Xét: abcde số tự nhiên có số tự nhiên có chữ số khác có chữ số chẵn TH1: Xét có số có 4.4! Ứng với có số 2 C3 C3 4.4! = 864 Suy có: số TH2: Xét có số có 5! Ứng với có số C3 5! = 360 Suy có: số Câu 3 chữ số chẵn có mặt số chữ số chẵn khơng có số số lẻ Có tất C32 C32 chữ số lẻ Có tất C32 n ( B ) = 1224 B - Vậy số phần tử biến cố n ( B ) 281 P ( A) = = n ( W) 540 Xác suất {0,1; 2;3; 4;5, 6} Từ chữ số viết ngẫu nhiên số tự nhiên gồm chữ số khác có dạng a1a2 a3 a4 a5 a6 Tính xác suất để viết số thỏa mãn điều kiện a1 + a2 = a3 + a4 = a5 + a6 A 158 B 135 C Lời giải 85 D 20 Chọn B n ( Ω ) = 6.6.5.4.3.2 = 4320 Để viết số có chữ số khác ta có số a1 + a2 = a3 + a4 = a5 + a6 A Gọi biến cố số thỏa mãn điều kiện a1 + a2 = a3 + a4 = a5 + a6 = + =1+ = + = TH1: , ta có ( a1 ; a2 ) = ( 0;5 ) ⇒ ( a1; a2 ) - Nếu có cách chọn ( a3 ; a4 ) Có cách chọn , hai số đổi vị trí cho nên có cách chọn ( a5 ; a6 ) Tương tự có cách chọn 1.4.2 = Suy có số thỏa mãn TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang22 ( a1 ; a2 ) ≠ (0;5) ⇒ - Nếu cách chọn có cách chọn ( a1; a2 ) , số đổi vị trí cho nên có ( a3 ; a4 ) Có cách chọn , hai số đổi vị trí cho nên có cách chọn ( a5 ; a6 ) Tương tự có cách chọn 4.4.2 = 32 Suy có số thỏa mãn + 32 = 40 Vậy TH1 có: số thỏa mãn a1 + a2 = a3 + a4 = a5 + a6 = + = 1+ = + = TH2: ta có Tương tự TH1 có 40 số thỏa mãn a1 + a2 = a3 + a4 = a5 + a6 = 1+ − + = + = TH3: , ta có ( a1; a2 ) Có cách chọn , hai số đổi chỗ cho nên có cách chọn ( a3 ; a4 ) ( a5 ; a6 ) Tương tự có cách chọn cách chọn 6.4.2 = 48 Vậy TH3 có số thỏa mãn n ( A ) = 40 + 40 + 48 = 128 a1 + a2 = a3 + a4 = a5 + a6 số có chữ số khác thỏa mãn 128 P ( A) = = 4320 135 Vậy Câu 10 Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên có năm chữ số Tính xác suất để số chọn có dạng 1≤ a ≤ b ≤ c ≤ d ≤ e ≤ A 143 10000 B 138 1420 C Lời giải 11 200 D abcde Chọn A Cách Lập số tự nhiên có chữ số có 9.104 (số) ⇒ n(Ω) = 9.104 abcde 1≤ a ≤ b ≤ c ≤ d ≤ e ≤ Biến cố A:"Số chọn có dạng " Ta có 1≤ a ≤ b ≤ c ≤ d ≤ e ≤ ⇒ 1≤ a < b + 1< c + < d + 3< e+ ≤ 13 { a;b + 1;c + 2;d + 3;e+ 4} C13 Như chọn có (cách) 5 ⇒ n(A) = C13 { a; b;c; d;e} C13 ⇒ Chọn có (cách) C n(A) 143 P(A) = = 13 = n(Ω) 9.10 10000 Vậy TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang23 Cách Lập số tự nhiên có chữ số có 9.104 Biến cố A:"Số chọn có dạng (số) abcde ⇒ n(Ω) = 9.104 1≤ a ≤ b ≤ c ≤ d ≤ e ≤ TH1: Số có chữ số giống (Số lập từ chữ số, ví dụ 11111) ⇒ " có C91 số 4.C92 ⇒ TH2: Số lập từ chữ số (Ví dụ {1; 2} có 11112, 11122, 11222, 12222) có số TH3: Số lập từ chữ số (Ví dụ {1; 2; 3} có 11123; 11223; 11233; 12223; 12233; 12333) ⇒ có 6.C93 số TH4: Số lập từ chữ số (Ví dụ {1; 2; 3; 4} có 11234; 12234; 12334; 12344) 4.C94 có số ⇒ TH5: Số có chữ số khác (VD: 12568) Bộ số số thỏa mãn ⇒ n(A) = C91 + 4.C92 + 6.C93 + 4.C94 + C95 = 1287 P(A) = Vậy ⇒ n(A) 1289 143 = = n(Ω) 9.10 10000 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA ⇒ có C95 số Trang24 ... khắc chưa hai biến cố đối Định nghĩa xác suất T A T A Xét phép thử biến cố liên quan đến phép thử , xác suất xảy biến cố số P ( A) = P ( A) ♦ ♦ ΩA Ω kí hiệu xác định theo công thức Từ định nghĩa... Cho biến cố A Xác suất biến cố đối Định lí II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ A P( A) = − P( A) BÀI TẬP MẪU 15 (ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Chọn ngẫu nhiên số số nguyên dương Xác suất để chọn số... tính xác suất Cách khác: Sử dụng biến cố đối để tính Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau: Lờigiải Chọn C P= 15 Xác suất cần tính là: Bài tập tương tự phát triển:  Mức độ Câu Gieo hai súc sắc, tính xác