NW359 360 DẠNG 29 xác SUẤT GV

DẠNG TOÁN 29: XÁC SUẤT I KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Định nghĩa phép thử không gian mẫu  Phép thử thí nghiệm hay hành động mà kết khơng đốn trước xác định tập hợp tất kết xảy phép thử đó, thường kí hiệu chữ T  Tập hợp tất kết xảy phép thử gọi không gian mẫu phép thử, người ta kí hiệu chữ Hi lạp W (đọc ô – mê – ga) Khi người ta nói phép thử T mơ tả tập hợp W Như ta hiểu khơng gian mẫu tập hợp, kí hiệu W kí hiệu tập hợp  W n ( W) Số phần tử tập hợp W gọi số phần tử không gian mẫu, kí hiệu Việc đếm số phần tử tập hợp không gian mẫu quan trọng với tốn mà ta khơng thể tự liệt kê hết tất phần tử có tập không gian mẫu, chẳng hạn tập hợp gồm số tự nhiên gồm chữ số khác nhau, tập hợp số cách hoàn thành đề thi trắc nghiệm gồm 50 câu  – câu gồm phương án trả lời, có phương án đúng,… Định nghĩa biến cố Biến cố A liên quan đến phép thử T biến cố mà việc xảy hay không xảy A phụ thuộc vào kết phép thử T Mỗi kết phép thử T làm cho biến cố A xảy ra, gọi kết thuận lợi cho A  Tập hợp tất kết thuận lợi cho A kí hiệu WA Khi người ta nói biến cố A  đượcmô tả tập hợp WA Như ta có nhận xét WA �W  W Số phần tử tập hợp WA , gọi số phần tử biến cố A , kí hiệu A hay n ( A)  Biến cố đối Cho A biến cố Khi biến cố “Khơng xảy A”, kí hiệu Nếu A , gọi biến cố đối A A tập hợp kết thuận lợi cho A tập hợp kết thuận lợi cho A  \ A Ta nói A A hai biến cố đối Chú ý Hai biến cố đối hai biến cố xung khắc hai biến cố xung khắc chưa hai biến cố đối Định nghĩa xác suất Xét phép thử T biến cố A liên quan đến phép thử T , xác suất xảy biến cố A số kí hiệu P  A xác định theo cơng thức TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA P  A  A  Trang1  Từ định nghĩa ta có: �P  A  �1  P     1; P  �  Cho biến cố A Xác suất biến cố đối A P( A)   P( A) Định lí II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ BÀI TẬP MẪU (ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Chọn ngẫu nhiên số 15 số nguyên dương Xác suất để chọn số chẵn 7 A B 15 C 15 D Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN:Đây dạng tốn tính xác suất chọn số chẵn – lẻ HƯỚNG GIẢI: B1: Tìm số phần tử không gian mẫu B2: Liệt kê sử dụng tổ hợp chỉnh hợp hoán vị để đếm số phần tử biến cố B3: Áp dụng cơng thức tính xác suất Cách khác: Sử dụng biến cố đối để tính Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau: Lờigiải Chọn C P 15 Xác suất cần tính là: Bài tập tương tự phát triển:  Mức độ Câu Gieo hai súc sắc, tính xác suất để tổng số chấm mặt xuất hai súc sắc 7 A B 36 C D 36 Lờigiải ChọnA   36 Khơng gian mẫu có số phần tử là: Gọi A : “tổng số chấm mặt xuất hai súc sắc 7” A    1,  ;  2,5  ;  3,  ;  4,3  ;  5,  ;  6,1  P  A   36 Xác suất cần tính là: Câu Gieo xúc sắc cân đối đồng chất Xác suất để xuất mặt có số chấm số nguyên tố 1 A B C D Lờigiải ChọnB Khơng gian mẫu có số phần tử là: TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA  6 Trang2 Câu Gọi A : “xuất mặt có số chấm số nguyên tố” A   2;3;5 P  A   Xác suất cần tính là: Gieo hai xúc sắc cân đối đồng chất Gọi X biến cố “ Tích số chấm xuất hai mặt xác sắc số lẻ” 1 1 A B C D Lời giải Chọn B Số phần tử không gian mẫu n  A   3.3  P X    36 Do Câu n     6.6  36 Chọn ngẫu nhiên số 50 số tự nhiên 1; 2;3; 50 Tính xác suất biến cố A : số có số bội A 0.09 B 0, 08 C 0,19 D 0,18 Lời giải Chọn A n     C503 Câu Gọi A :”trong số có số bội ” n  A   C102 C40 n  A P  A   �0, 09 n    98 Vậy Có hai rương, rương chứa thẻ đánh số tự đến Rút ngẫu nhiên từ rương thẻ Xác suất để thẻ rút ghi số lẻ 3 A B C 10 D 25 Lời giải Chọn D Số phần tử không gian mẫu: Câu n     25 n  C   3.3  Gọi C biến cố: “ thẻ rút ghi số lẻ” n C P C   n    25 Vậy Gieo hai súc sắc cân đối đồng chất Tính xác suất để hiệu số chấm xuất hai súc sắc 5 A 36 B C 18 D Lời giải Chọn C TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang3 n ( W) = 6.6 = 36 Số phần tử không gian mẫu Gọi A biến cố hiệu số chấm xuất hai súc sắc A = { ( 1; 2) , ( 2;1) , ( 2;3) , ( 3; 2) , ( 3; 4) , ( 4;3) , ( 4;5) , ( 5; 4) , ( 5; ) , ( 6;5) } � n ( A) = 10 � P ( A) = Câu 10 = 36 18 Có hai hịm, hịm chứa thẻ đánh số từ đến Rút ngẫu nhiên từ hòm thẻ Xác suất để thẻ rút ghi số lẻ là: 3 A 25 B C 10 D Lời giải Chọn A Gọi A, B lầ lượt biến cố rút thẻ ghi số lẻ hòm thứ thứ hai Ta có A, B biến cố độc lập Khi đó, xác suất để thẻ ghi số lẻ là: 3 P  AB   P  A P  B    5 25 Câu Một hộp chứa 30 cầu gồm 10 cầu đỏ đánh số từ đến 10 20 màu xanh đánh số từ đến 20 Lấy ngẫu nhiên cầu từ hộp Tính xác suất cho chọn màu xanh ghi số lẻ A B C D Lời giải Chọn C Số cách lấy ngẫu nhiên cầu từ hộp: C30  30 (cách) Có cách chọn cầu ghi số lẻ có 20 cách để chọn cầu màu xanh  20 P  30 Vậy xác suất cần tìm:  Mức độ Câu Chọn ngẫu nhiên hai số khác từ 27 số nguyên dương Xác suất để chọn hai số có tổng số chẵn 13 14 365 A 27 B 27 C D 729 Lờigiải ChọnA C  351 Khơng gian mẫu có số phần tử là: 27 Hai số có tổng số chẵn hai số hai số chẵn hai số hai số lẻ ta có C132  C142  78  91  169 cách chọn 169 13 P  351 27 Xác suất cần tính là: Câu E   1; 2;3; 4;5 Gọi S tập số tự nhiên có bốn chữ số khác tạo từ tập Chọn ngẫu nhiên số từ tập S Tính xác suất để số chọn số chẵn? A B TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA C D Trang4 Lờigiải ChọnB Số số tự nhiên có bốn chữ số khác tạo từ tập Do tập S có số phần tử là: 120 Khơng gian mẫu có số phần tử là: Câu C120  120 E   1; 2;3; 4;5 là: 5!  120 E   1; 2;3; 4;5 Số số chẵn có bốn chữ số khác tạo từ tập là: 2.4!  48 C1 48 P  48   120 120 Xác suất cần tính là: Một hộp đựng 11 viên bi đánh số từ đến 11 Lấy ngẫu nhiên viên bi, cộng số bi lại với Xác suất để kết thu số lẻ bằng? 16 31 11 21 A 32 B 32 C 33 D 32 Lời giải Chọn C Khơng gian mẫu có sốp phần tử là: C11  330 Để tổng bốn số số lẻ bốn số phải có số lẻ, ba số chẵn ba số lẻ, số chẵn Câu 1 ta có: C6 C5  C6 C5  160 cách lấy bốn số có tổng số lẻ 160 16 P  330 33 Xác suất cần tính là: Cho 14 thẻ đánh số từ đến 14 Chọn ngẫu nhiên thẻ Xác suất để tích số ghi thẻ chia hết cho bằng? 30 A 91 31 C 91 61 B 91 12 D 17 Lời giải Chọn B Khơng gian mẫu có sốp phần tử là: C14  364 Để tích ba số ghi thẻ chia hết cho ba số phải có số chia hết 2 cho ta có: C4 C10  C4 C10  C4  244 cách lấy ba số để tích ba số ghi thẻ chia hết cho P Câu 244 61  364 91 Xác suất cần tính là: Gọi S tập số tự nhiên gồm hai chữ số khác lập từ 0,1, 2,3, 4,5, Chọn ngẫu nhiên hai số từ tập S Tính xác suất để tích hai số chọn số chẵn? A B C D Lời giải Chọn C Số số tự nhiên có hai chữ số khác tạo từ tập 0,1, 2,3, 4,5, là: 6.6  36 Do tập S có số phần tử là: 36 Khơng gian mẫu có số phần tử là: C362  630 Số số lẻ có hai chữ số khác tạo từ tập 0,1, 2,3, 4,5, là: 3.5  15 số TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang5 Câu C152 105 P  1  1  630 630 Xác suất cần tính là: Trong hộp có 50 viên bi đánh số từ1 đến 50 Chọn ngẫu nhiên viên bi hộp, tính xác suất để tổng ba số viên bi chọn số chia hết cho 816 A 1225 409 B 1225 289 C 1225 936 D 1225 Lời giải Chọn B Số phần tử không gian mẫu  = C50  19600 Gọi A biến cố “3 viên bi chọn số chia hết cho 3”.Trong 50 viên bi chia thành loại gồm: 16 viên bi có số chia hết cho 3; 17 viên bi có số chia cho dư 1; 17 viên bi cịn lại có số chia cho dư Để tìm số kết thuận lợi biến cố A, ta xét trường hợp TH1: viên bi chọn loại, có ( C16  C17  C17 ) cách 3 3 3 TH2: viên bi chọn có viên loại, có C16 C17 C17 cách Suy số phần tử biến cố A A  6544 P ( A)  Câu A   6544 409  19600 1255 Vậy xác suất cần tìm là: Một hộp đựng 10 thẻ đánh số từ đến Lấy ngẫu nhiên thẻ, tính xác suất để chữ số thẻ lấy ghép thành số chia hết cho A 15 B 15 C Lời giải D Chọn A n     C103  120 Số phần tử không gian mẫu Gọi A biến cố ‘‘ chữ số thẻ lấy ghép thành số chia hết cho ’’ Để biến cố A xảy thẻ lấy phải có thẻ mang chữ số chữ số Ta tìm số phần tử biến cố A , tức thẻ lấy khơng có thẻmang chữ số khơng có thẻ mang chữ số Ta có   n A  C83 � n  A   C103  C83  64 P  A  Câu n  A 64   n    120 15 Vậy xác suất cần tìm Một hộp đựng 20 thẻ đánh số từ đến 20 Chọn ngẫu nhiên hai thẻ, tính xác suất để tích hai số hai thẻ số chẵn 29 9 10 A 38 B 38 C 19 D 19 Lời giải Chọn A n     C202  190 Số phần tử không gian mẫu Gọi A biến cố: “ Chọn ngẫu nhiên hai thẻ, mà tích hai số hai thẻ số chẵn” TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang6 Khi Câu n  A   C101 C101  C102  145 n( A) 29 P ( A)   n (  ) 38 Do xác suất cần tìm Gieo hai súc sắc đồng chất, tính xác suất để tổng số chấm mặt xuất hai súc sắc 10 A 12 B 18 C 36 Lời giải D Chọn A Gieo hai súc sắc cân đối, số phần tử không gian mẫu 36 Đặt A biến cố “tổng số chấm mặt xuất hai súc sắc 10 ” Tập tất kết thuận lợi cho biến cố A lợi P  A    4;  ,  6;  ,  5;5   , suy số kết thuận  36 12 Suy Câu 10 Gieo hai súc sắc cân đối cách độc lập Tính xác suất để tổng số chấm mặt xuất hai súc sắc 1 A 36 B 12 C 18 D Lời giải Chọn A   62  36 Không gian mẫu  ,với a; b  , a  b  8, �a �6,1 �b �6 Số chấm mặt xuất hai súc sắc số  Khi a; b  �  2;  ;  6;  ;  3;5  ;  5;3 ;  4;    Số cách chọn để tổng số chấm mặt xuất hai súc sắc cách P 36 Xác suất cần tìm  Mức độ Câu Chọn ngẫu nhiên số có chữ số Gọi P xác suất để tổng chữ số số số lẻ Khi P 11 100 A 21 B C 189 D 15 Lời giải Chọn B Chọn ngẫu nhiên số có chữ số có: 9000 (cách)  a  b  c  d  số lẻ Gọi số có bốn chữ số abcd ( a �0 ) thỏa mãn  a  b  c  lẻ d chẵn, nên có: (cách chọn d ) +) Nếu  a  b  c  chẵn d lẻ, nên có: (cách chọn d ) +) Nếu Vậy trường hợp a , b , c ln có cách chọn d Có cách chọn a , 10 cách chọn b , 10 cách chọn c TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang7 Vậy Câu P 5.9.10.10  9000 A = { 0;1; 2;3; 4;5;6;7} Từ tập A lập số tự nhiên có chữ số khác đơi cho số số lẻ chữ số đứng vị trí thứ ln chia hết cho Cho tập hợp 2? A 5400 B 5040 C 5004 Lời giải D 4500 Chọn B n = a1a2 a3a4 a5 a6 Gọi số cần tìm là: Số n có tính chất: � a6 �{1;3;5;7} + Lẻ � a3 �{ 0; 2; 4;6} + a3 chia hết cho * Trường hợp : a3 = a6 có cách a1 có cách Chọn chữ số cịn lại có A5 cách * Trường hợp : a3 = a6 có cách a1 có cách Chọn chữ số cịn lại có A5 cách * Trường hợp : a3 = a3 = tương tự trường hợp a3 = 3 Vậy: 4.6 A5 + 3.4.5 A5 = 5040 số Câu Cho X tập hợp số tự nhiên có chữ số đơi khác mà tổng chữ số 18 Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên thuộc tập X Tính xác suất để chọn số lẻ 16 29 32 43 A 45 B 45 C 75 D 75 Lời giải Chọn C { a; b; c; d ; e; f } Gọi số có chữ số khác abcdef , mà tổng chữ số 18 nên tập { 0;1; 2;3; 4;8} ; { 0;1; 2;3;5;7} ; { 0;1; 2; 4;5; 6} tập hợp sau: Ứng với trường hợp có cách chọn chữ số a , chữ số cịn lại có 5! cách chọn 3.5.5! = 1800 số tự nhiên có chữ số khác mà tổng 18 Suy có � n ( W) = 1800 Gọi A biến cố “Số tự nhiên chọn số lẻ” a, b, c, d , e, f �{ 0;1; 2;3; 4;8} � TH1: có 2.4.4! = 192 (số) a, b, c, d , e, f �{ 0;1; 2;3;5;7} � 4.4.4! = 384 TH2: có (số) a, b, c, d , e, f �{ 0;1; 2; 4;5;6} � 2.4.4! = 192 TH3: có (số) TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang8 Suy Câu n ( A) = 768 � P ( A) = n ( A) 32 = n ( W) 75 Cho bảng ô vuông �3 Điền ngẫu nhiên số 1, 2,3, 4,5,6,7,8,9 vào bảng (mỗi ô điền số khác nhau) Gọi A biến “mỗi hàng, cột có số lẻ” Xác suất biến cố A 10 P ( A) = P ( A) = P ( A) = P ( A) = 21 56 A B C D Lời giải Chọn C n     9! Ta có Gọi A biến cố “tồn hàng cột gồm toàn số chẵn” Do có số chẵn 2, 4,6,8 nên có hàng cột gồm toàn số chẵn + Chọn hàng cột: có cách + Chọn thêm ơ: có cách + Điền số chẵn 2, 4,6,8 vào vừa chọn: có 4! cách + Điền số cịn lại vào cịn lại: có 5! cách � n  A  6.6.4!.5! Xác suất cần tính Câu   P  A   P A   6.6.4!.5!  9! Chọn ngẫu nhiên số khác từ 35 số nguyên dương Xác suất để chọn số lập thành cấp số cộng có công sai số lẻ 17 30 A 385 B 385 C 385 D 112019 Lời giải Chọn A n     C353 Ta có Gọi a, b, c số theo thứ tự lập thành cấp số cộng có cơng sai d ( �a  b  c �35 ) Nhận thấy ứng với trường hợp d lẻ, cách chọn b có cách chọn cặp a, c TH1: d  17 � b  18 , có cách chọn b 15  16 b 20 , có cách chọn b TH2: d � 13  14 b 22 , có cách chọn b TH3: d � ……………………………………………… TH8: d �3 b 32 , có 29 cách chọn b 1 b 34 , có 33 cách chọn b TH9: d �   33  153 � n  A       29  33  TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang9 � P  A  Câu 153  C35 385 Chọn ngẫu nhiên hai số tự nhiên có chữ số khác Tính xác suất để chọn số chẵn ( kết làm tròn đến hàng phần nghìn) A 0, 652 B 0, 256 C 0, 756 D 0,922 Lời giải ChọnC Số số tự nhiên có chữ số khác A9  4536   C4536 Gọi  không gian mẫu, Gọi A biến cố “ chọn số chẵn” A biến cố “ chọn hai số lẻ” Số số tự nhiên lẻ có chữ số khác 5.8 A8  2240 A  C2240 Suy Xác suất để chọn số chẵn   P  A   P A   Câu A   1 C2240 �0, 756 C4536 Gọi S tập hợp ước số nguyên dương số 43200 Lấy ngẫu nhiên hai phần tửthuộc S Tính xác suất lấy hai phần tử hai số không chia hết cho C122 A C84 C82 B C84 C62 C C84 Lời giải C102 D C84 Chọn A Ta có 43200  i j k i � 0;1; 2;3; 4;5;6 Mỗi ước số nguyên dương số 43200 có dạng , , j � 0;1; 2;3 k � 0;1; 2 , , suy số ước nguyên dương 43200 7.4.3  84   C842 Gọi  không gian mẫu, j k Mỗi ước số nguyên dương số 43200 mà không chia hết cho có dạng , suy số Câu ước nguyên dương số 43200 không chia hết cho 4.3  12 A  C122 Gọi A biến cốchọn hai số không chia hết cho , A C12 P  A    C842 Vậy xác suất cần tìm A = { 0;1; 2;3; 4;5; 6} Cho tập hợp Gọi X tập số tự nhiên có chữ số khác lập từ A Chọn số từ X , tính xác suất cho số chọn có chữ số chẵn 17 17 A B 35 C 30 D Lời giải Chọn C   A64  2160  Gọi không gian mẫu, TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang10 Gọi A biến cố “số chọn có chữ số chẵn” +TH1: chữ số chẵn khơng có số  2; 4;6 vào vị trí, sau xếp số lẻ vào vị trí lại Số số thỏa A5 A3  360  0; 2; 4 ,  0; 2;6 ,  0; 4;6 +TH2: chữ số chẵn có số , gồm nhóm Ứng với nhóm, số xếp vào vị trí ( trừ vị trí đầu), xếp số chẵn, số lẻ vào vị trí Xếp Câu 2 lại Số số thỏa A4 A3  288 A  360  3.288  1224 Suy A 1224 17 P  A     2160 30 Vậy xác suất cần tìm Cho X tập hợp số tự nhiên có chữ số đơi khác mà tổng chữ số 18 Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên thuộc vào tập X Tính xác suất để chọn số chẵn 43 A 75 32 B 75 16 C 75 Lời giải D 25 Chọn A  0;1; 2;3; 4;8 ,  0;1; 2;3;5;7 , Có tập hợp có phần tử mà tổng 18  0;1; 2; 4;5;6 Ứng với tập hợp, vị trí có cách chọn, chữ số cịn lại có 5! cách Suy số số có chữ số khác mà có tổng 18 3.5.5!  1800   1800 Gọi  không gian mẫu, Gọi A biến cố “ chọn số chẵn” A biến cố “ chọn số lẻ”  0;1; 2;3; 4;8 Số số lẻ có chữ số khác 2.4.4!  192 +TH1:  0;1; 2;3;5; 7 Số số lẻ có chữ số khác 4.4.4!  384 +TH2:  0;1; 2; 4;5;6 Số số lẻ có chữ số khác 2.4.4!  192 +TH3: A  768 Suy   P  A   P A   A 1 768 43  1800 75  Xác suất cần tìm là: Câu 10 Gọi S tập hợp tất số tự nhiên có chữ số phân biệt lấy từ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, Chọn ngẫu nhiên số từ S Xác suất chọn số chứa số lẻ là? A P 16 21 B P 10 21 C Lời giải P 16 42 D P 23 42 Chọn D   9.8.7.6.5.4 Ta có S Sáu chữ số 1; 3; 5; 2; 4; lập 6! số thỏa mãn Tương tự  1;3;5;2; 4;8 ,  1;3;5;2;6;8  ,  1;3;5;4;6;8  TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang11 Như cố định 1;3;5 có 6!.4 số thỏa mãn Tương tự với  1;3;7  ,  1;3;9  ,  1;5;7  ,  1;5;9  ,  1;7;9  ,  3;5;7  ,  3;5;9  ,  3;7;9  ,  5;7;9  6!.4.10 10  Xác suất cần tìm 9.8.7.6.5.4 21  Mức độ Câu Cho K tập hợp số tự nhiên có bốn chữ số Chọn ngẫu nhiên số từ K Tính xác suất để số chọn có tổng chữ số bội 2249 2243 11 49 A 9000 B 9000 C 45 D 9000 Lời giải ChọnA K  9.103  9000 Ta có: Gọi A tập hợp số tự nhiên có bốn chữ số mà tổng chữ số chia hết cho   b c  d  4k  r  �r �3 Nếu A  abcd ��:  a  b c  d M4 Xét r � 0;1;2 giá trị r có hai giá trị a  a  b c  d M4 (đó a   r, a   r ) Nếu r  giá trị r a  b c  d M4 giá trị a cho  (đó a  1, a  5, a  ) cho Gọi  B Σ� bcd �:�� b, c, d 9, b c d 4k r, r  có ba ,  C Σ� bcd �: b, c, d 9, b c d 4k Khi đó, ta có: A  B  C  2 B  C   C  2.103  C n� 0;1 Xét tập hợp C với c  d  4m n Nếu giá trị n có hai giá trị b n� 2;3 cho b c  d  4k  Nếu giá trị n có ba giá trị b cho b c  d  4k  Gọi  , D Σ� cd  ��� : c, d 9, c d 4m n, n   E Σ� cd  ��� : c, d 9, c d 4m n, n C  D  E  2 D  E   E  2.102  E E  25 24  49 Khi đó, ta có: , với A  2.10  2.10  49  2249 Suy ra: Gọi biến cố X : “Số chọn có tổng chữ số bội 4” Khi đó, xác suất biến cố X là: Câu P X  2249 9000 Một hộp đựng bi xanh đánh số từ đến , bi vàng đánh số từ đến bi đỏ đánh số từ đến Lấy ngẫu nhiên bi từ hộp Tính xác suất để ba bi lấy có số khác khác màu 108 108 116 109 A 775 B 665 C 565 D 785 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang12 Lời giải ChọnB   C21 Số phần tử không gian mẫu là: Gọi A biến cố ba bi lấy có số khác màu khác Cách Ta có trường hợp sau: Trường hợp Bi đỏ chọn ghi số Khi có hai khả sau: Khả Bi vàng chọn ghi số Khi có cách chọn bi xanh Khả Bi vàng chọn ghi số bé Khi bi vàng có cách chọn, bi xanh có cách chọn Trường hợp có  6.5  36 cách chọn Trường hợp Bi đỏ chọn ghi số Khi bi vàng có cách chọn (từ đến ) bi xanh có cách chọn (vì ghi số phải khác số bi vàng) Trường hợp có 6.5  30 cách chọn Trường hợp Bi đỏ chọn ghi số bé Bi đỏ có cách chọn Khả Bi vàng chọn ghi số Khi bi xanh có cách chọn (ghi số khác bi đỏ) Khả Bi vàng chọn ghi số bé khác số bi đỏ Khi bi vàng có cách chọn bi xanh có cách chọn 5 5.4  150 Trường hợp có  cách chọn A  36  30  150  216 Vậy số phần tử biến cố A là: 216 108 P  A   C21 665 Vậy xác suất cần tìm là: Cách Có cách chọn bi xanh Với cách chọn bi xanh có cách chọn bi vàng để bi vàng ghi số khác với bi xanh Với cách chọn bi xanh bi vàng có cách chọn bi đỏ ghi số khác với bi vàng, bi xanh A  63 Vậy số phần từ biến cố A là: Câu 63 108 P  A   C21 665 Xác suất cần tìm là: A   0;1;2;3;4;5;6 Cho tập Gọi S tập hợp gồm chữ số khác chọn từ phần tử tập A Chọn ngẫu nhiên số từ tập S Tính xác suất để số chọn chia hết cho 15 97 A 360 43 B 360 31 C 360 Lời giải 37 D 360 Chọn D Số phần tử tập S 6.6.5.4.3  2160 n   2160 Gọi  khơng gian mẫu Khi   Gọi B biến cố: “Số chọn chia hết cho 15 ” Gọi abcde số có chữ số khác chia hết cho 15 chọn từ phần tử tập A 15  3.5,  3,5  15 � abcdeM5 abcdeM3 Ta có Do abcdeM TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang13 TH1 e Khi a, b, c, d� 1;2;4;5 a, b, c, d� 3;6;4;1 abcdeM3 �  a  b c  d M3 a, b, c, d� 3;6;2;1 a, b, c, d� 3;6;2;5 hoặc hoặc a, b, c, d� 3;6;4;5 Vậy trường hợp có 5.4!  5!  120 số tự nhiên TH2 e Khi a, b, c, d� 3;2;4;1 a, b, c, d� 3;6;0;2 Câu abcdeM3 �  a  b c  d  5 M3 � a  b c  d : dư a, b, c, d� 6;2;4;1 a, b, c, d� 0;2;4;1 hoặc hoặc a, b, c, d� 3;6;0;4 Vậy trường hợp có 2.4! 3.3.3.2.1  102 số tự nhiên n B  120  102  222 Do   n B  222 37 P  B    n   2160 360 Vậy xác suất cần tìm là: Một hộp đựng viên bi màu xanh đánh số từ đến , viên bi màu đỏ đánh số từ đến 10 viên bi màu vàng đánh số từ đến 10 Một người chọn ngẫu nhiên viên bi hộp Tính xác suất để viên bi chọn có số đơi khác 772 209 512 2319 A 975 B 225 C 2925 D 2915 Lời giải Chọn A Cách (Cô Nguyễn Thắm)   C27  2925 Số phần tử không gian mẫu Để đếm số phần tử không gian thuận lợi cho biến cố A ta chia nhiều trường hợp theo số màu viên bi chọn TH 1: màu 3 Trường hợp có C8  C9  C10  260 phần tử (ứng với màu xanh, đỏ, vàng) TH 2: hai màu C81.C82  C82.C71  C81.C92  C82.C81  C91.C92  C92.C81  1544 44 43 44 43 44 43 Trường hợp có phần tử (ứng với cặp màu xanh-đỏ, đỏ-vàng, xanh-vàng) TH 3: ba màu 1 Trường hợp có C8.C8.C8  512 phần tử (ứng với màu xanh, đỏ, vàng) Như  A  2316 P 2316 772  2925 975 Vậy xác suất biến cố A Cách (Thầy Nguyễn Thanh Hải) X   1; 2; 3; ; 8 Nhận thấy số viên bi mang số thuộc tập hợp 3, có viên bi mang số viên bi mang số 10 Vì để đếm số phần tử không gian thuận lợi cho biến cố A ta chia nhiều trường hợp theo việc ba viên bi có viên mang số số 10 hay khơng TH 1: có viên bi mang số thuộc tập hợp X TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang14 Trường hợp có C8.3.2  48 phần tử (chọn số tập X , chọn viên bi mang số này, chọn viên bi mang số , viên bi lại viên bi mang số 10 ) TH 2: có hai viên bi mang số thuộc tập hợp X Trường hợp có C8 3.3.3  756 phần tử (chọn hai số tập X , chọn viên bi mang số thứ nhất, chọn viên bi mang số thứ hai, chọn viên bi ba viên bi mang số số 10 TH 3: ba viên bi mang số thuộc tập hợp X Trường hợp có C8 3.3.3  1512 phần tử (chọn ba số tập X , chọn viên bi mang số này)   2316 Như A 2316 772 P  2925 975 Vậy xác suất biến cố A Câu Từ hộp đựng 100 thẻ đánh số thứ tự từ đến 100 lấy ngẫu nhiên thẻ Xác suất biến cố: A=”Số ghi thẻ số đo cạnh tam giác” là: 95 65 35 55 A 132 B 132 C 236 D 236 Lờigiải Chọn B n()  C100  161700 Gọi x,y, z số ghi thẻ lấy thỏa mãn yêu cầu toán A   (x;y;z)/x,y,z   1,2, ,100 ,1 x y z=k, (x+y)>z Đặt: k � n(A)  A  A  A   A 100 A  A2  A3  Tính Ak với (4 �k �100) Dễ thấy rằng: TH1 :k chẵn, k  2m (m�2) �  z 1�x �m, � k  2m �2x � (k  x) �x ; (x  y) Xét Ta có số cách chọn y là: (k  1)  (k  x  1)   (x  1) y>(k-x) x (k-x+1) y (z 1) Xét x  m, � (x  y)  2x  2m  z (thỏa mãn đk) � (x  1) �y �(z-1)=(2m-1) Ta có số cách chọn y là: (2m 1)  (x  1)   (2m x  1) Vậy,với k  2m ta có: m 2m1 x1 x m1 A k  �(x  1)  �(2m x  1)  (m 1) TH2 :k lẻ, k  (2m 1) (m�2) Xét 1�x �m, � k  (2m 1)  2x � (k  x)  x (x �� y)  z y>(k-x)>x (k-x+1) y (z 1) Ta có số cách chọn y là: (k  1)  (k  x  1)   (x  1) Xét x  m,ta thấy : y cho (x  1) �y �(z  1) ta có: (x  y) �x  (x  1)  (2x  1)  (2m 1)  z (thỏa mãn đk) Ta có số cách chọn y là: (2m 1 1)  (x  1)   (2m x) m Vậy,với k  (2m +1) ta có: A k  �(x  1)  TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA x1 2m �(2m x)  m(m 1) x m1 Trang15 � n(A)  A  A  A   A 100  ( A  A   A 99 )  ( A  A   A 100 ) 49 50 m m1 � n(A)  �m(m 1)  �(m 1)2  39200  40425  79625 � P(A)  Câu n(A) 79625 65   n() 161700 132 A = {1; 2; 3; ;2019} Cho tập hợp số Lấy ngẫu nhiên hai số, tính xác suất để lấy hai số mà bình phương số cộng ba lần số số phương 2 A B C2009 C C2009 D C2009 Lời giải Chọn B Gọi hai số lấy đồng thời từ tập A thỏa mãn yêu cầu toán x, y ( x, y ι �*+, x y) Khơng làm tính tổng qt giả sử x > y x2 + 3y = k2 ( k ��*+, k > x) k = x + t( t �1) Ta thấy 4x > 3x > 3y Đặt 2xt t2 k2 2xt t2 3y 3y 2xt 4x (Vơ lý) Nếu t �2 x �޳=+�=++ 3y- 9y- 2x +1= 2y � x = , 3x = < 6y 2 Nên t < � t = Khi đó, (*) y2 + 3x = m2 ( m��*+,m > y) Đặt m= y + z y2 2yz z2 3x 2yz z2 3x Nếu z�3 m �޳+=�++= z < � z = {1,2} Nên 9y- z = 1� = 2y +1� y = 1, x = Với (loại) Tương tự: Với Câu z = 2� 2yz 6y ( Vô lý với (*)) 9y- = 4y + � y = 11, x = 16 ( x; y) = ( 16;11) Suy ra: Số phần tử biến cố 1 C Vậy xác suất biến cố 2019 Đáp án B Gọi S tập tất số tự nhiên có chữ số đơi khác Chọn ngẫu nhiên số thuộc S Tính xác suất để chọn số chia hết cho 45 53 53 53 A 2268 B 2520 C 252 D 324 Lời giải Chọn A Số phần tử không gian mẫu   A108  A97 B   0,1, 2, 3, 4,5, 6, 7,8,9 Gọi A biến cố chọn số chia hết cho 45 Gọi Số chia hết cho 45 số chia hết cho chia hết cho Do      45M nên ta có số mà tổng chia hết cho là: TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA B \  0,9 ; B \  1,8 ; B \  2, 7 ; B \  3, 6 ; B \  4,5 Trang16 TH1: Số có chữ số lấy từ tập , suy có 7! số TH2: Số có chữ số lấy từ tập , suy có 7! số TH3 :Số có chữ số lấy từ tập trường hợp : a 0 * có 7! số a 5 * có 6.6! số B \  0,9 a 5 có dạng a1a2 a3a4 a5 a6 a7 a8 chia hết B \  4,5 a 0 có dạng a1a2 a3a4 a5 a6 a7 a8 chia hết B \  1,8 có dạng a1a2 a3a4 a5a6 a7 a8 chia hết có B \  2, 7 , B \  3, 6 Suy trường hợp có 7! 6.6! số Tương tự trường hợp trường hợp có 7! 6.6! số   2.7!  7! 6.6!  38160 Số kết thuận lợp cho biến cố A A Vậy xác suất biến cố A Câu p  A  A   38160 53  A10  A9 2268 A = { 0;1; 2;3; 4;5;6} Cho tập Gọi X tập số tự nhiên có chữ số khác lập từ A Chọn số từ X , tính xác suất cho số chọn có chữ số chẵn 17 281 A B 35 C 540 D Lời giải Chọn C � n ( X ) = 2160 số tự nhiên có chữ số khác lập từ A , n ( W) = 2160 Chọn số từ X , số phần tử không gian mẫu Gọi B biến cố “chọn số có chữ số chẵn” Có A64 = 2160 Xét: abcde số tự nhiên có chữ số khác có chữ số chẵn C C TH1: Xét có số có chữ số chẵn có mặt số số lẻ Có tất 3 Ứng với có 4.4! số Suy có: C32 C32 4.4! = 864 số C2 TH2: Xét có số có chữ số chẵn khơng có số chữ số lẻ Có tất Ứng với có 5! số Suy có: Câu C32 5! = 360 số n ( B ) = 1224 - Vậy số phần tử biến cố B n ( B ) 281 P ( A) = = n ( W) 540 Xác suất Từ chữ số {0,1; 2;3; 4;5, 6} viết ngẫu nhiên số tự nhiên gồm chữ số khác có dạng a1a2 a3 a4 a5 a6 Tính xác suất để viết số thỏa mãn điều kiện a1  a2  a3  a4  a5  a6 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang17 A 158 B 135 C 85 Lời giải D 20 Chọn B n     6.6.5.4.3.2  4320 Để viết số có chữ số khác ta có số a  a  a3  a4  a5  a6 Gọi A biến cố số thỏa mãn điều kiện a  a  a3  a4  a5  a6  TH1: , ta có       a ; a  0;5  � a ;a - Nếu    có cách chọn   a ;a Có cách chọn   , hai số đổi vị trí cho nên có cách chọn a ;a Tương tự   có cách chọn Suy có 1.4.2  số thỏa mãn a ; a �(0;5) � a ;a - Nếu   có cách chọn   , số đổi vị trí cho nên có cách chọn a ;a Có cách chọn   , hai số đổi vị trí cho nên có cách chọn a ;a Tương tự   có cách chọn Suy có 4.4.2  32 số thỏa mãn Vậy TH1 có:  32  40 số thỏa mãn a + a = a3 + a4 = a5 + a6 = TH2: ta có       Tương tự TH1 có 40 số thỏa mãn a  a  a3  a4  a5  a6  TH3: , ta có       a ;a Có cách chọn   , hai số đổi chỗ cho nên có cách chọn a ;a a ;a Tương tự có cách chọn   cách chọn   Vậy TH3 có 6.4.2  48 số thỏa mãn n  A   40  40  48  128 a  a  a3  a4  a5  a6 số có chữ số khác thỏa mãn 128 P  A   4320 135 Vậy Câu 10 Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên có năm chữ số Tính xác suất để số chọn có dạng abcde 1�a �b �c �d �e �9 143 A 10000 138 B 1420 11 C 200 Lời giải D Chọn A Cách 4 Lập số tự nhiên có chữ số có 9.10 (số) � n()  9.10 Biến cố A:"Số chọn có dạng abcde 1�a �b �c �d �e �9 " Ta có 1�a b c d �e����� a b c d e 13 a;b  1;c  2;d  3;e 4 C5 Như chọn  có 13 (cách) TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang18 5 � Chọn  a; b; c; d;e có C13 (cách) � n(A)  C13 C13 n(A) 143 P(A)    n() 9.10 10000 Vậy Cách 4 Lập số tự nhiên có chữ số có 9.10 (số) � n()  9.10 Biến cố A:"Số chọn có dạng abcde 1�a �b �c �d �e �9 " TH1: Số có chữ số giống (Số lập từ chữ số, ví dụ 11111) � có C91 số 4.C92 TH2: Số lập từ chữ số (Ví dụ {1; 2} có 11112, 11122, 11222, 12222) � có số TH3: Số lập từ chữ số (Ví dụ {1; 2; 3} có 11123; 11223; 11233; 12223; 12233; 6.C93 12333) � có số TH4: Số lập từ chữ số (Ví dụ {1; 2; 3; 4} có 11234; 12234; 12334; 12344) � có 4.C94 số C5 TH5: Số có chữ số khác (VD: 12568) � Bộ số số thỏa mãn � có số � n(A)  C91  4.C92  6.C93  4.C94  C95  1287 Vậy P(A)  n(A) 1289 143   n() 9.10 10000 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang19 ... Xác suất cần tìm là: A   0;1;2;3;4;5;6 Cho tập Gọi S tập hợp gồm chữ số khác chọn từ phần tử tập A Chọn ngẫu nhiên số từ tập S Tính xác suất để số chọn chia hết cho 15 97 A 360 43 B 360. .. tính xác suất Cách khác: Sử dụng biến cố đối để tính Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau: Lờigiải Chọn C P 15 Xác suất cần tính là: Bài tập tương tự phát triển:  Mức độ Câu Gieo hai súc sắc, tính xác. .. xanh  20 P  30 Vậy xác suất cần tìm:  Mức độ Câu Chọn ngẫu nhiên hai số khác từ 27 số nguyên dương Xác suất để chọn hai số có tổng số chẵn 13 14 365 A 27 B 27 C D 729 Lờigiải ChọnA C 