BÀI 1 bất ĐẲNG THỨC

BÀI BẤT ĐẲNG THỨC MỤC TIÊU Kiến thức: -Hiểu khái niệm bất đẳng thức -Nắm tính chất bất đẳng thức, bất đẳng thức Cô-si, hệ bất đẳng thức Cô-si bất đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối -Biết cách giải toán chứng minh bất đẳng thức dựa vào tính chất định nghĩa Kĩ năng: -Biết cách chứng minh bất đẳng thức phương pháp biến đổi tương đương, sử dụng bất đẳng Cô-si -Vận dụng phương pháp chứng minh bất đẳng thức tốn cực trị LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Khái niệm bất đẳng thức - Các mệnh đề dạng "a  b "a  b gọi bất đẳng thức Bất đẳng thức hệ bất đẳng thức tương đương - Nếu mệnh đề "a  b  c  d  ta nói bất đẳng thức c < d bất đẳng thức hệ bất đẳng thức a < b viết a  b  c  d - Nếu bất đẳng thức a  b hệ bất đẳng thức c  d ngược lại ta nói hai bất đẳng thức tương đương với viết a  b  c  d Tính chất bất đẳng thức Tính chất Tên gọi Điều kiện Nội dung a b  ac bc Cộng hai vế bất đẳng thức với số Nhân hai vế bất đẳng thức với số Cộng hai bất đẳng thức chiều c0 c0 a  b  ac  bc a  b  ac  bc a  b  ac bd c  d a>0, c>0 a  b   ac  bd c  d Nhân hai vế bất đẳng thức lên lũy thừa a  b  a n1  b2 n1 Nâng hai vế bất đẳng thức lên lũy thừa n n , a 0 a>0 * a  b  a 2n  b2n ab a  b ab a  b Khai hai vế bất đẳng thức Bất đẳng thức Cô-sinh - Bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm ab  ab Dấu "=" xảy a = b - Hệ quả: Tống số dương nghịch đảo ln lớn a   2, a  a • Nếu x, y dương có tổng khơng đổi tích xy đạt giá trị lớn x  y Trang • Nếu x, y dương có tích khơng đổi tổng x  y đạt giá trị nhỏ x  y Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối Từ định nghĩa giá trị tuyệt đối, ta có tính chất sau Điều kiện Nội dung | x | 0,| x | x,| x |  x | x | a  a  x  a a0 x  a | x | a    x  a | a |  | b || a  b || a |  | b | Chứng minh: | a |  | b || a  b | (1) - Nếu |a|b, bình phương hai vế, ta a2  | ab | b2  a2  b2  2ab | ab | ab (bất đẳng thức đúng) Suy điều phải chứng minh Dấu "=" xảy ab  Chứng minh tương tự với bất đẳng thức | a  b || a |  | b | II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1, chứng minh bất đẳng thức dựa vào định nghĩa tính chất ►Phương pháp giải Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức A  B( A  B) 1.Chứng minh A  B  0( A  B  0) dùng phép biến đổi tương đương với bất đẳng thức Xuất phát từ bất đẳng thức Biến đổi vế bất đẳng thức A  C  A  B Sử dụng tính chất bắc cầu  C  B Ví dụ: Chứng minh bất đẳng thức a3  b3  a 2b  ab2 với a  0, b  Cách Xét hiệu a3  b3   a 2b  ab2    a3  a 2b    ab2  b3   a2 (a  b)  b2 (a  b)  (a  b)  a  b2   (a  b)2 (a  b) Mà (a  b)2  với a, b a  0, b  Nên (a  b)2 (a  b)  Dấu “=” xảy a  b Vậy a3  b3  a 2b  ab với a  0, b  Cách Biến đổi tương đương  a3  b3    a 2b  ab2  Trang   a3  a 2b    ab2  b3    a2 (a  b)  b2 (a  b)   ( a  b)  a  b    (a  b)2 (a  b)  (*) Lập luận tương tự Cách 1, ta suy bất đẳng thức (*) bất đẳng thức với a  0, b  Vì ta có bất đẳng thức cần chứng minh ►Ví dụ mẫu Ví dụ Cho a , b hai số thực thỏa mãn ab  1   Chứng minh 2  a  b  ab Hướng dẫn giải Bất đẳng thức cho tương đương với 1 1 1   0    0 2 2  a  b  ab  a  ab  b  ab ab  a ab  b   0 1  a  (1  ab) 1  b2  (1  ab)  a(b  a) b( a  b)  0 1  a2  (1  ab) 1  b2  (1  ab) ba  a b  b  a a  ab  b  a 2b    0  0  ab   a  b   ab 1  a 1  b   b  a (a  b)  ab(b  a) (b  a) (ab  1)      ab 1  a 1  b  (1  ab) 1  a 1  b  Ví dụ Cho a , b thỏa mãn a  b  Chứng minh a  b3  a  b   a  b        Hướng dẫn giải Ta có a  b3 2 2 2  a  b   a  b  (a  b)  a  ab  b   a  b   a  b                a  b   a  b   a  2ab  b   a  b  2  a  ab  b            (a  b)(a  b)2  ( ln a  b  (a  b)2  ) Dấu “=” xảy a  b a  b  Vậy a  b3  a  b   a  b    với a  b       Ví dụ Cho a, b, c  thỏa mãn a  b  c  Chứng minh 35 33 1 1    a b c abc Trang Hướng dẫn giải Ta có  (a  b  c)2  a2  b2  c2  2(ab  ac  bc)  2(ac  bc  ab)  a2  b2  c2  ac  bc  ab   a  b  c  35  ac  bc  ab   hay ac  bc  ab  66 Vì a b c>0 nên chia hai vế cho abc ta  ac  bc  ab  abc abc 1 1    ( điều phải chứng minh) a b c abc Ví dụ Chứng minh với a, b, c  ta có  a b c    ab bc ca Hướng dẫn giải 1 a a    (1) ab abc ab abc b b c c   (3) Tương tự ta có (2); bc abc ca abc Cộng theo vế bất đẳng thức (1), (2), (3) ta a b c    (*) ab bc ca Ta có a(a  b  c)  a2  ab  ac  a2  ab  ac  bc  (a  b)(a  c) Ta có a  b  a  b  c  a ac  (4) ab abc Tương tự ta có b ba  (5) bc abc  c cb  (6) ca abc Cộng theo vế bất đẳng thức (4), (5), (6) ta a b c    (**) ab bc ca a b c    ( điều phải chứng minh) Từ (*) (**) ta  ab bc ca Ví dụ Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn điều kiện a b c     bc  ca  ab a b c    Chứng minh  a  bc  b  ca  c  ab Hướng dẫn giải Ta có Trang a b c a b c 3      bc   ca   ab  a b c  a  bc  b  ca  c  ab 4 1 1 1  bc  ca  ab a b c ;y ;z  Đặt x   bc  ca  ca Suy x, y, z  thỏa mãn x+y+z=3 x y z    1 x 1 y 1 z x x y y z z Dễ thấy  ;  ;  1 x 1 x  y  z 1 y 1 y  x  z 1 z 1 z  x  y Cộng vế với vế bất đẳng thức, ta x y z x yz     ( x  y  z  ) 1 x 1 y 1 z 1 x  y  z Do bất đẳng thức ban đầu chứng minh Dấu “=” xảy số a, b, c có số hai số cịn lại Ví dụ Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn điều kiện x  y  z Ta cần phải chứng minh 1 1 1 1 Chứng minh y     ( x  z )     ( x  z ) x z y x z Hướng dẫn giải Bất đẳng thức cho tương đương với ( x  z )2 y( x  z ) x  z   xz xz y xz y     ( x  z  ) xz xz y  xy  yz  y2  xz   x( y  z )  y ( y  z )   ( x  y )( y  z )  Bất đẳng thức ln  x  y  z Vậy bất đẳng thức ban đầu chứng minh Dấu “=” xảy x  y y  z Ví dụ Cho abc  a  36 Chứng minh a2  b2  c2  ab  bc  ca Hướng dẫn giải Xét hiệu  a2  a2 a2  b  c  (ab  bc  ca)    b  c  ab  ca  2bc    3bc   12 a  a  36bc  a  a  36abc   b c    b c  12 12a 2  2  2 a  a  36   b c  12a 2  Trang Ta có a3  36  a  36  a3  36  nên a3  36  0; 12a a  Lại có   b  c   2  a  a  36  Do   b  c   12a 2  a2 a2  b2  c2  (ab  bc  ca)    b2  c2  ab  bc  ca 3 (điều phải chứng minh) Ví dụ Cho hai số thực dương a , b Bất đẳng thức sau đúng? Vậy a2 A  a 1 B a2  1  a2  2 Hướng dẫn giải ab  ab  C.Tất C a  1  a2 2a  a      0, a  Do A sai, D sai a4  2  a  1  a  1 ab ab  ab  ( ab  1)2 ab    0  , a, b  ab  2(ab  1) 2(ab  1) (ab  1) Do B sai a2  1 a2   a2  ( a   1) a2 1    0  , a a2  2 a 2 2  a2  2  a2  2 Do C Chọn C Ví dụ Nếu 0