on thi tot nghiep hoc ky 1

Taâm maët caàu ngoaïi tieáp hình choùp laø giao cuûa truïc ñöôøng troøn ngoaïi tieáp ña giaùc ñaùy vaø maët phaúng trung tröïc cuûa moät caïnh beân.. Phöông phaùp tìm taâm maët caàu ngo[r]

ÔN TẬP HỌC KỲ I

CÁC QUY TẮC VÀ CƠNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM 1 Định nghĩa. Đạo hàm hàm số y = f(x) kí hiệu y’ hay f’(x).

o Nếu y = C (C số) thì: y’ = C’ =  Ví dụ. (2004)’ = (828676)’ = o Nếu y = x thì: y’ = x’ =  Hệ quả.(k.x)’ = k.(x)’ = k 2 Các quy tắc.

a) Quy tắc 1.Đạo hàm tổng tổng đạo hàm. (u + v + w)’ = u’ + v’ + w’

o Trong u, v, w hàm số theo x o Nếu C số (u  C)’ = u’

o Ví dụ. (x3 2x2 + 3)’ = (x3)’  (2x2)’ + (3)’ b) Quy tắc 2. (đạo hàm tích)

(u.v)’ = u’v + v’u

o Nếu C số (u.C)’ = C.u’ c) Quy tắc 3. (đạo hàm thương)

' u v ổửữ ỗ ữ ỗ ữ ỗố ø = ' '

u v v u v - ' v ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗố ø =  ' v v d) Quy tắc 4. (đạo hàm hàm số hợp)

o Nếu u = (x) có đạo hàm x là: u’x = ’(x)

o Hsố y = g(u) có đạo hàm u là: y’u = g’(u) hàm số hợp:

y = f(x)= g[(x)] có đạo hàm x là: y’x = f’(x)= g’(u).’(x) hay y’x= y’u.u’x 3.

Các cơng thức.

Nhóm

Nhóm Cơng thứcCơng thức Hệ quảHệ Lũy thừa

Lũy thừa

(x)’ = .x – ' x ổ ửữ ỗ ữ ỗ ữ

ỗố ứ = x 

( x)' = x 

(u)’ =

.u – 1.u’ ' u  ỉư÷ ç ÷ ç ÷ çè ø=  ' u u

( u)' = u'u 

Lượng giác Lượng giác

(sinx)’ = cosx (cosx)’ = sinx (tgx)’ =

x

2

cos

= + tg2x (cotgx)’= 

sin x 

= (1 + cotg2x)

(sinu)’ = u’.cosu (cosu)’ = u’.sinu (tgu)’ = '

cos

u u

 = u’(1 + tg2u) (cotgu)’ =  '

sin

u u



= u’(1 + cotg2u)

Hàm số Hàm số

mũ mũ

(ex)’ = ex

(ax)’ = ax.lna (e

u)’ = u’eu (au)’ = u’au.lna

Logarit Logarit

(ln x)’ = 1x

(loga x)’ =

a xln

1

(lnu)’ = uu' (logau)’=

a u

u

ĐẠI SỐ

A CÁC DẠNG TỐN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ I) DẠNG 1: Tính đơn điệu hàm số

Cho hàm số f có đạo hàm khoảng (a,b)

Nếu f’(x)> x (a,b) hàm số y = f(x) đồng biến (a,b)

Neáu f’(x)< x (a,b) hàm số y = f(x) nghịch biến (a,b)

(Nếu f’(x) =0 số hữu hạn điểm khoảng (a,b) định lý cịn đúng)

II) DẠNG 2: Cực trị hàm số

i) x0 điểm cực trị hàm số y f x    f x' đổi dấu qua x0  0

'

f x

 

ii) x0 điểm cực đại hàm số y f x   

    0 ' '' f x f x       

iii) x0 điểm cực tiểu hàm số y f x   

    0 ' '' f x f x       

Moät số lưu ý

 Hàm số bậc : y = ax3 + bx2 + cx + d (a  0)  khơng có cực trị có cực trị  Hàm số khơng có cực trị   y'

 Hàm số có cực trị (có hai cực trị)   y'

 Hàm số bậc dạng : y = ax4 + bx2 + c (a  0)  có cực trị cưc trị

3

'

y  ax  bx, y' 0  4ax3 2bx 0 2x ax b 0

 20

2 x ax b        2 (1) (2) x b x a        Hàm số có cực trị   2ba 0

 Hàm số có ba cực trị   2ba 0

 Hàm số biến dạng:y ax+bcx+d  tăng giảm khơng có cực trị  Hàm số hữu tỷ (2/1)dạng:

2 ax

' '

bx c y

a x b

 



  khơng có cực trị có cưc trị

III) DẠNG 3: G iá trị lớn nhỏ hàm số

Soá M gọi GTLN hàm số y=f(x) D neáu:

0

: ( ) : ( ) x D f x M x D f x M

  

   Kí hiệu: M = max f xD ( ) Số m gọi GTNN hàm số y=f(x) D nếu:

0

: ( ) : ( ) x D f x m x D f x m

  

   Kí hiệu: m = ( )D f x

2) Cách tìm GTLN-GTNN (a,b).( Lập bảng biến thiên) o Tìm TXĐ

o Tính y' Cho y' = tìm nghiệm x o Lập BBT khoảng (a, b)

 GTLN GTNN

3) Cách tìm GTLN-GTNN [a,b] (Không lập bảng biến thiên) o Tìm TXĐ

o Tính y' Cho y' = 0, tìm nghiệm xi [a, b] o Tính f(a), f(b), f(xi)

 GTLN GTNN

IV DẠNG 4: Phương trình tiếp tuyến

a) Phương trình tiếp tuyến M(x0 , y0 )  (C) () : y = f ’ (x0)(x–x0) + y0

 Tìm yếu tố x0, y0, f x' 0 Thế vào phương trình đường thẳng ()

b) Phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước

i) Tiếp tuyến song song với đường thẳng  d y ax b:  

o Phương trình tiếp tuyến có dạng (): y = f ’(x0)(x-x0) + y0 o Tiếp tuyến () song song với đường thẳng  d : f ’(x0) = a Giải phương trình tìm x0 suy y0 ? vào phương trình 

ii) Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng  d y ax b:  

o Phương trình tiếp tuyến có dạng () : y = f ’(x0)(x-x0) + y0 o Tiếp tuyến () song song với đường thẳng  d : f ’ (x0) a= –1 Giải phương trình tìm x0 suy y0 ? vào phương trình 

c) Phương trình tiếp tuyến qua A (xA,yA)

o Phương trình tiếp tuyến có dạng () : y = f ’(x0)(x-x0) + y0 o Đường thẳng () qua A(xA; yA) khi: yA = f ’(x0)(xA-x0) + f(x0) Giải phương trình tìm x0 suy y0 ? vào phương trình 

V DẠNG 5: Biện luận phương trình đồ thị

Cho hai đường cong (C1): y = f(x) (C2): y = g(x)

o Tọa độ giao điểm (C1) (C2) nghiệm hệ phương trình :

   

y f x y g x

   

  

o Như phương trình hồnh độ điểm (C1) (C2) là: f x  g x  (1) o Số nghiệm phương trình (1) số giao điểm đồ thị

1 KHẢO SÁT HÀM SỐ y = ax3 + bx + cx + d (a 2  0)

10 Tập xác định. 20 Sự biến thiên

 Giới hạn

 Bảng biến thiên

+ Tính y’, Cho y’= tìm nghiệm + Lập bảng biến thiên

+ Nhận xét 30 Đồ thị

+ Cho thêm điểm

+ Vẽ: Hệ trục oxy, cực trị, trung điểm hai cực trị, điểm khác

Có cực trị

CT CÑ

M

M'

U

CT

CĐ

M M'

U

Khơng có cực trị

M

M'

U

M

M' U

Giaûi

10 Tập xác định: D =  20 Sự biến thiên

 Giới hạn : xlim  y   xlim y  Bảng biến thiên

y’ = 3x2 + 6x , y’=  x = v x = -2

Hàm số đồng biến khoảng   ; 2 0; Hàm số nghịch biến khoảng 2;0

Hàm số đạt cực đại x 2; yCĐ y2 0

Hàm số đạt cực tiểu x 0; yCT y 0 4

30 Đồ thị

Cho x1 y0 Đồ thị qua điểm M1;0

Ví dụ 2. Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số y = –x3 + 3x2 x

y’ y

–  -2 + 

+ 

– 

0

0

-4

+

+ _

O -1 -2 -3 -4

4 -1

-2 -3 -

x y

M’

Giaûi

10 Tập xác định: D =  20 Sự biến thiên

 Giới hạn : xlim  y  xlim y    Bảng biến thiên

y’ = 3x2 – 6x , y’=  x = v x = 2

Hàm số đồng biến khoảng 0;2

Hàm số nghịch biến khoảng  ;0 2; Hàm số đạt cực đại x 2; yCĐ y 2 4

Hàm số đạt cực tiểu x 0; yCT y 0 0

30 Đồ thị

Cho x 3 y 0 Đồ thị qua điểmM3;0

2 KHẢO SÁT HÀM SỐ y = ax4 + bx2 + c (a  0)

x y’ y

–  + 

+ 

– 

0

0

4 +

_ _

O -1 -2 -3 -4

4 -1

x y

10 Tập xác định. 20 Sự biến thiên

 Giới hạn

 Bảng biến thiên

+ Tính y’, Cho y’= tìm nghiệm + Lập bảng biến thiên

+ Nhận xét

30 Đồ thị (Đồ thị đối xứng qua oy) + Cho thêm điểm ( x  )

+ Vẽ: Hệ trục oxy, cực trị, điểm khác

Có cực trị

y CĐ M'

CT CT

M CÑ y CÑ

M' CT M

Có cực trị

M'

CT

M

CĐ

M' M

Ví dụ 1. Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y x4 2x2

Giaûi

10 Tập xác định: D =  20 Sự biến thiên

 Giới hạn : xlim  y  xlim y   Bảng biến thiên

y’ = 4x3 – 4x, y’= 0  4x3 – 4x = 0  x = v x = 1

Hàm số đồng biến khoảng 1;0 1; Hàm số nghịch biến khoảng   ; 1 0;1 Hàm số đạt cực đại x 0; yCĐ y 0 0

Hàm số đạt cực tiểu x 1; yCT y 1

30 Đồ thị (Đồ thị đối xứng qua oy)

Cho x  y0, Đồ thị qua điểm M 2;0

Ví dụ 2. Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y x  2x2  3 x

y’ y

–  -1 + 

+  + 

0

-1

0 +

_ _ 10

-1

+

y

O

-1

-1

x

Giaûi

10 Tập xác định: D =  20 Sự biến thiên

 Giới hạn: xlim  y xlim y  Bảng biến thiên

y’ = 4x3 – 4x, y’= 0  4x3 – 4x = 0  x = v x = 1

Hàm số đồng biến khoảng 1;0 1; Hàm số nghịch biến khoảng   ; 1 0;1 Hàm số đạt cực đại x 0; yCĐ y 0 3

Hàm số đạt cực tiểu x 1; yCT y 1

30 Đồ thị (Đồ thị đối xứng qua oy)

Cho x  y4, đồ thị qua điểm M 2; 4 

Ví dụ 3. Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y x4 2x2 3

  

x y’ y

–  -1 + 

+  + 

0

-4

-3 +

_ _ 10

-4

+

y

O

-1

-1

-2 -3

-

x

Giaûi

10 Tập xác định: D =  20 Sự biến thiên

 Giới hạn: xlim  y xlim y  Bảng biến thiên

y’ = - 4x3 – 4x , y’= 0  - 4x3 – 4x =  x =

Hàm số đồng biến khoảng  ;0 Hàm số nghịch biến khoảng 0;

Hàm số đạt cực đại x 0; yCĐ y 0 3 30 Đồ thị (Đồ thị đối xứng qua oy)

Cho x 1  y0 Đồ thị qua1;0 y

x

-1 O

3 KHẢO SÁT HÀM SỐ NHẤT BIẾN y ax b cx d

 



x y’ y

–  + 

–  – 

0

10 Tập xác định. 20 Sự biến thiên

 Giới hạn ( Tiệm cận )  Bảng biến thiên

+ Tính y’ ( xét y’> hay y’< ) + Lập bảng biến thiên

+ Nhận xét

30 Đồ thị (Đồ thị đối xứng qua giao điểm hai tiệm cận) + Giao với trục tọa độ, điểm khác ( cần ) + Vẽ: Hệ trục oxy, tiệm cận, điểm khác

M' N'

I

M

N N'

M' I

M

N

Giải

10 Tập xác định: D =

\ 1 20 Sự biến thiên

 Giới hạn ( Tiệm cận )

lim

x  y limx y2  Tiệm cận ngang lày2

1 lim

x  y

   limx1 y  Tiệm cận đứng x1

 Bảng biến thiên

 2

'

1

y x D

x

   



Hàm số nghịch biến khoảng  ;1 1;

30 Đồ thị (Đồ thị nhận giao điểm hai tiệm cận làm tâm đối xứng) Cho x 0  y 1 Đồ thị cắt oy 0;1

Cho y 0 

x  Đồ thị cắt ox 1 ;02   

y

x I

2 1

O 1

BAØI TAÄP x y’ y

–  + 

2

2

– –

+ 

1) Cho hàm số y13x3 x2

a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số cho

b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số cho điểm có hồnh độ nghiệm phương trình f x"  0

2) Cho hàm số y x3 6x2 9x

  

a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số cho

b) Giải biện luận phương trình x3  6x2 9x m 0 3) Cho hàm số y 2x3 3x2 1

  

a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số cho

b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số cho giao điểm trục tung

4) Cho ham số y x3 3x2 2

  

a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số cho (*)

b) Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số đoạn 1;2 5) Cho hàm số y x4 2x2 1

  

a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số cho

b) Tìm m để đường thẳng y m tiếp xúc với đồ thị hàm số cho. 6) Cho hàm số y x4 2x2 3

  

a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số cho

b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số cho giao điểm với trục hồnh

7) Cho hàm soá y 2xx11 

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho

b) Tìm m để đường thẳng y x m  cắt đồ thị hàm số cho hai điểm phân biệt

8) Cho hàm số  

mx y

x m

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho m1 b) Xát định m để hàm số đồng biến khoảng xác định

O -1 -2 -3 -4

4

1

x y

M

M’

3

 1) Cho hàm số y 1x3 x2

3  

a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số cho

b) Viết PTTT đồ thị hàm số cho điểm có hồnh độ nghiệm PT f " x  0

Giaûi

a) y 1x x3  

10 Tập xác định: D =  20 Sự biến thiên

 Giới hạn : xlim y     xlim y    Bảng biến thiên

y’ = x2 – 2x , y’=  x = v x = 2

Hàm số đồng biến khoảng  ;0 2; Hàm số nghịch biến 0;2 Hàm số đạt cực đại x 0 ; yCĐ y 0  0

Hàm số đạt cực tiểu x 2 ; CT  

y y

3  

30 Đồ thị Cho x 3  y 0 Đồ thị hàm số qua M 0;3 

b) Phương trình tuyến cần tìm có daïng:y f x '  0 x x 0y0 y’ = x2 – 2x

y” = 2x –2, y” =  x 1 Vaäy x0 1  0 

3 y

 0   

' ' 1

f x f

Nên phương trình tiếp tuyến cần tìm là:   1

y x   1 y x 2) Cho hàm số y x3 6x2 9x

  

a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số cho x

y’ y

–  + 

+  – 

0

0

4 3



+

O -1 -2 -3 -4

4 -1 -2

x y

O’ y = m

b) Giải biện luận phương trình x3 6x2 9x m 0

   

Giaûi

a) y x3 6x2 9x

  

10 Tập xác định: D =  20 Sự biến thiên

 Giới hạn : xlim y     xlim y    Bảng biến thiên

y’ = 3x2 – 12x + , y’=  x = v x = 3

Hàm số đồng biến khoảng  ;1 3; Hàm số nghịch biến 1;3 Hàm số đạt cực đại x 1 ; yCĐ y 1  4

Hàm số đạt cực tiểu x 3 ; yCT y 3  0 30 Đồ thị

Cho x 0  y 0 Đồ thị qua góc tọa độ 0;0

b) Số nghiệm phương trình cho số giao điểm đồ thị (C) đường thẳng y = m Dựa vào đồ thị ta có:

+ Nếu m 4m 0 

 phương trình cho có một nghiệm + Nếu m 4m 0



 phương trình cho có hai nghiệm + Nếu m 4  phương trình cho có ba nghiệm 3) Cho hàm số 2 3 1

  

y x x

a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số cho x

y’ y

–  + 

+  – 

0

4

0

+

b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số cho giao điểm trục tung

Giaûi

a) 10 Tập xác định: D =  20 Sự biến thiên

 Giới hạn : xlim y     xlim y    Bảng biến thiên

y’ = 6x2 + 6x , y’=  x = v x = – 1

Hàm số đồng biến khoảng   ; 1 0; Hàm số nghịch biến 1;0 Hàm số đạt cực đại x1; yCĐ y 1  0

Hàm số đạt cực tiểu x 0 ; yCT y 0  1 30 Đồ thị Cho x 1

  y 4 Đồ thị hàm số qua M 1;4 

b) Phương trình tuyến cần tìm có dạng:y f x '  0 x x 0y0 Giao điểm đồ thị trục oy là: 1;0  x0 1, y0 0 y’ = 6x2 + 6x      2  

0

f ' x f ' 6

       

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y x 1     y1 4) Cho ham soá 3 2

  

y x x

a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số cho (*) x

y’ y

–  –1 + 

+  – 

0

0

–1

+

+ _

O -1 -2 -3 -4

4 -1 -2 -3 -

x y

M

b) Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số đoạn 2;2

Giaûi

a) 10 Tập xác định: D =  20 Sự biến thiên

 Giới hạn : xlim y    xlim y     Bảng biến thiên

y’ = –3x2 + 6x , y’=  x = v x = 2

Hàm số đồng biến khoảng 0;2 Hàm số nghịch biến  ;0và 2 : Hàm số đạt cực đại x 2 ; yCĐ y 2 2

Hàm số đạt cực tiểu x 0 ; yCT y 0  2 30 Đồ thị

Cho x1 y 2 Đồ thị hàm số qua M 1;2 

b) y’ = –3x2 + 6x , y’=   

 

x 2;2

x 2;2

    

   

 

y 2 18, y 2  2, y 0  2

Vaäy xmax y y 2  2;2    18 vaø xmin y y 0  2;2    2

5) Cho hàm số y x 4 2x21

a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số cho x

y’ y

–  + 

+ 

– 

0

-2

2 +

_ _

O -1 -2 -3 -4

4 -1 -2 -3

x y

M

b) Tìm m để đường thẳng y m tiếp xúc với đồ thị hàm số cho.

Giaûi

a) y x 4 2x21

10 Tập xác định: D =  20 Sự biến thiên

 Giới hạn : xlim  y xlim y  Bảng biến thiên

y’ = 4x3 – 4x, y’= 0  4x3 – 4x = 0 x = v x = 1

Hàm số đồng biến khoảng 1;0 1; Hàm số nghịch biến khoảng   ; 1 0;1

Hàm số đạt cực đại x0; yCĐ y 0 1 Hàm số đạt cực tiểu x1; yCT y 1 30 Đồ thị (Đồ thị đối xứng qua oy)

Cho x  y1, Đồ thị qua điểmM 2;1

b) Dựa vào đồ thị hàm số ta có đường thẳng y = m tiếp xúc với đồ thị m =

6) Cho hàm số yx4 2x23

a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số cho x

y’ y

–  -1 + 

+  + 

0

0

1 +

_ _

1

0

+

y

-1

1

0 x

b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số cho giao điểm với trục hồnh

Giải

a) yx4 2x23 10 Tập xác ñònh: D =

 20 Sự biến thiên

 Giới hạn : xlim  y xlim y  Bảng biến thiên

y’ = – 4x3 + 4x, y’= 0  – 4x3 + 4x = 0  x = v x = 1

Hàm số đồng biến khoảng   ; 1 0;1

Hàm số nghịch biến khoảng 1;0 1; Hàm số đạt cực đại x1; yCT y 1 Hàm số đạt cực tiểu x0; yCĐ y 0 3 30 Đồ thị (Đồ thị đối xứng qua oy)

Cho x  y3, Đồ thị qua điểmM 2;3

b) Đáp số : y8 x  3 y x   3 7) Cho hàm số  



2

1 x y

x

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho x

y’ y

–  -1 + 

–  – 

0

4

3

+ _ _

1 +

O -1

-2

2

2

1

x y

2

b) Tìm m để đường thẳng y x m  cắt đồ thị hàm số cho hai điểm phân biệt

Giaûi

a)  



2

1 x y

x

10 Tập xác định: D =

\ 1 20 Sự biến thiên

 Giới hạn ( Tiệm cận )

xlim y 2    vaø xlim y 2    Tiệm cận ngang lày 2

xlim y 1  xlim y 1    Tiệm cận đứng làx1

 Bảng biến thiên

 2

1

y ' x D

x

   



Hàm số nghịch biến khoảng  ;1 1;

30 Đồ thị (Đồ thị nhận giao điểm hai tiệm cận làm tâm đối xứng) Cho x 0  y 1 Đồ thị cắt oy 0;1

Cho y 0  x

2

 Đồ thị cắt ox 1;0

2

      

b) Đáp số: m 1 m 5 8) Cho hàm số 

 mx y

x m

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho m1 x

y’ y

–  –1 + 

2

2

+ +

+ 

– 

3

-2 -3 -4 -5

3 2 -1

-

x y

1

b) Xát định m để hàm số đồng biến khoảng xác định

Giải

a) Khi m = –    1

x y

x 10 Tập xác định: D =

\ 1 20 Sự biến thiên

 Giới hạn ( Tiệm cận )

xlim y   1 vaø xlim y  1  Tiệm cận ngang y1

x 1lim y   x 1lim y     Tiệm cận đứng làx 1

 Bảng biến thiên

 2

1

y ' x D

x

   



Hàm số nghịch biến khoảng  ;1 1;

30 Đồ thị (Đồ thị nhận giao điểm hai tiệm cận làm tâm đối xứng) Cho x 0  y 0 Đồ thị qua góc tọa độ 0;0 Cho x1  y

2

 Đồ thị qua điểm 1;

2

       

b) Đáp số: m 0

HÀM SỐ MŨ VÀ LÔGARIT

x y’ y

–  + 

–1

–1

+ +

+ 

– 

-1 -2 -3 -4 -

3

y

0 -1 -2 -3

5

2 x

HAØM SỐ LŨY THỪA

1) Lũy thừa với số mũ nguyên a) Định nghĩa

Cho a *

  , n  Ta định nghóa n

n lần

a    a a a a     n

n

a a 



Chuù yù: a0 1

  a 0, 00: không có nghóa b) Tính chất 1

1) a am. n am n

 2) a bn. n abn 3)

m n a

a am n

4)  am n amn 5) an a1n

c) Tính chất 2

i) Với a > 1: x1x2  ax1 ax2 Với < a <1: x1x2  ax1 ax2 ii) Cho < a < b thì:

Với x > 0: ax bx

 Với x < 0: ax bx



2) Lũy thừa với số mũ hữu tỉ a) Căn bậc n

n n a x a x

  

Chú ý:

i) a  a

ii) Căn bậc chẳn số âm nghóa

iii) Khi n số lẻ n an a

Khi n số chẳn n an a c) Tính chất bậc n

1) n ab n a b.n Với a0,b0 2) n a

b

n n

a b

 Với a0,b0

3) n am  n a m Với a0 b) Định nghĩa

m

m n n

a  a với n , m 

HÀM SỐ LÔGARÍT

log N

aM N  M a với 0a 1, M 0

Chú ý: logaM có nghóa khi

0

0

M a   

 



Logarit thập phân: log10 N logx( lgN)

Logarit tư nhiên ( logarit Nepe): loge N lnN

2)Tính chất

i) log 0a  logaa1 logaaN N alogaN N

ii) Với a > 1: 0 x1  x2  loga x1 loga x2

Với < a <1: 0 x1  x2  loga x1 loga x2

iii)Cho < a < b < a < b <1 thì:

Với x > 1: loga x logb x

Với < x < 1: loga x logb x

2)Qui tắc tính logarit

i) logaN N1. 2 loga N1loga N2

ii)

2

loga N

N

 

 

 

loga N loga N

 

iii) log α

a N αloga N

3)Đổi số

i) logaN

log

logbb

N a

 ii) loga N.logbalogb N

iii) logab

1

logba

 iv) logaα N

1 log

 aN

α

PHƯƠNG TRÌNH MŨ

1) Phương pháp đưa số Dạng 1: af x  ag x 

Ví dụ: Giải phương trình

Dạng 2: af x  b  f x  log

ab Ví dụ: Giải phương trình

2) Phương pháp lôgarit hóa Daïng : af x  bg x 

  f x  g x logab Ví dụ: Giải phương trình

3) Phương pháp đặt ẩn phụ Dạng 1: ma2f x  naf x  p 0

   đặt t a f x  0 Ví dụ: Giải phương trình

Dạng 2: maf x  na f x  p 0

   đặt t a f x  0 Ví dụ: Giải phương trình

Dạng 3:  

     

2f x f x 2f x 0

ma n ab b  đặt t a f x  0 Chia hai vế phương trình cho b2f x  ta được:

Ví dụ: Giải phương trình

PHƯƠNG TRÌNH LÔGARÍT

1) Phương pháp đưa số Dạng 1:loga f x  b  f x  ab Ví dụ: Giải phương trình

   

2

log x 3 log x 1 3 Đáp số: x 5 (loại x = - 1) Dạng 2:loga f x  logag x  ()

B1: Điều kiện f x  0 (hoặc g x  0) B2: Khi () f x  g x 

Ví dụ: Giải phương trình

   

5 5

log x log x 6   log x 2 Đáp số: x 2 (loại x = - 3)

2) Phương pháp đặt ẩn phụ Ví dụ: Giải phương trình

1) lo g x lo g x2 2 0

   Đáp số: x 10 v x 100 

2) 5 log x logx1  1

  Đáp số: x 100 v x 1000 

BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARÍT

Lưu ý: Khi giải bất phương trình mũ lơgarít cần nhớ hàm số y ax

 vaø loga

y x đồng biến a1, nghịch biến 0 a

a) Bất p hương trình mũ

Nếu a > thì: ax b  x log ab

 Nếu < a <1 thì: ax b  x log

ab



b) Bất p hương trình lôgarít

Nếu a > thì: loga x b  x ab

Nếu < a <1 thì: loga x b  0x ab 2) Đưa số

a) Bất p hương trình mũ

Nếu a > thì: af x  ag x 

  f x  g x  Nếu < a <1 thì: af x  ag x 

  f x  g x 

b) Bất p hương trình lôgarít

Nếu a > thì: loga f x  logag x   f x  g x  0

Nếu < a <1 thì: loga f x  logag x   0 f x  g x 

BÀI TẬP TỔNG HỢP CHƯƠNG 2

Bài Giải phương trình sau:

1) x2 3x 2

2  

 Đáp số: x v x 3 

2) x2 x 8 1 3x   4

3) x2 6x

2

2   16 Đáp số: x 1 v x 7

4) 3x 3x 2 3x 3 3x 4 88

    Đáp số: x 4

5) 2x 2x 1 2x 2 3x 3x 1 3x 2

     Đáp số: x 2

6) log x 32   log x 12   3 Đáp số: x 5 (loại x = - 1) 7) log x log x 65  5    log x 25   Đáp số: x 2 (loại x = - 3) 8) log x log 4x 54   Đáp số: x 4

9) log x 23   log x 23   log 53 Đáp số: x 3 (loại x = - 3) 10)log x log x 63   Đáp số: x 81

11)log x log x log x 63   27  Đáp số:

36 11

x 3 12)log x log x log5  25  0,2 Đáp số:

1 x

3



Baøi Giải phương trình sau:

1) 64x  8x  56 0 Đáp số: x 1

2) 4x 2x 1 3 0

   Đáp số: x log 3

3) 22x 6 2x 7 17 0

   Đáp số: x 3

4) 22x 2 9.2x 2 0

   Đáp số: x v x 2

5) 32x 1 9.3x 6 0

   Đáp số: x v x log 2 

6) lo g x lo g x2 2 0

   Đáp số: x 10 v x 100 

7) 2 x  1 x 

2

log 4.3  log  1 Đáp số: x 1

8) 2

3

log x log x 5  Đáp số: x 3  9)3.27x 1 13.3x 1 3 13.9x 1

   Đáp số: x v x v x 2  

10)

5 log x logx    Đáp số: x 100 v x 1000 

Bài Giải phương trình sau:

1) 2x 6.2x 5 0

   Đáp số: x v x log 3 

2) 3x 31 x 4 0

   Đáp số: x v x 1 

3) 7x 2.71 x 9 0

   Đáp số: x v x log 2 

4) x2 x 2 x x2

2   

5) 5 x 51 x 4 0

   Đáp số: x 0

6) 2 3 x  2 3x  0 Đáp số: x 1 7) 5 24 x  5 24x 10 Đáp số: x 1 8) 3 5x 16 3 5x 2x 3

    Đáp số:

2

x log 



9) 4log x log 39  x  Đáp số: x v x  10)1 log x 1 2   logx 1  Đáp số:

5 x v x

4

 

Baøi Giải phương trình sau:

1) 27x 12x 2.8x

  Đáp số: x 0

2) 6.9x 13.6x 6.4x 0

   Đáp số: x 1

3) 3.16x 2.81x 5.36x

  Đáp số: x v x

2

 

4) 2.41x 61x 91x Đáp số: x log23

2



5) x x x 1

2

4  

  Đáp số: 2

3

1

x log v x log

2

 

Bài Giải bất phương trình sau:

1) 3

2x  x

 Đáp số: x v x 2 

2)         2 7 9 x x

Đáp số: x

  

3) 22x 1 22x 2 22x 3 448

   Đáp số: x

2



3) 3x2 3x1 28

  Đáp số: x 1

4) 4x 3.2x

   Đáp số: x v x 1 

5) log 28  x 2 Đáp số: x  30

6) 1    1  

5

log 3x log x Đáp số:

x v x

 

7) log0,2x log5x 2 log 30.2 Đáp số: x 3

8)

3

log x 5log x  6 Đáp số: x 27 

Baøi Giải hệ phương trình: (Nâng cao)

1) 31

2

x y y x y y

         

 Đáp số:

2

3

x log log x

v

y y log

2) logxy 2x log1 2y 2

 

 Đáp số:

x 10 x v 10

y y 10 10              

Bài Tìm tập xác định hàm số:

1) y log 2x 2   Đáp số:

5 ;        

2)  

3

y log x  4x 3 Đáp số:  ;1 3;

3) 0,4 2x y log x       

  Đáp số:

3 ;1        4) 3x y 3 

 Đáp số:

1 x

3



5)  2x x 

3

y log e  4.e 3 Đáp số:  ;0ln3;

Bài Tính đạo hàm hàm số:

1) y 3x2 4ln x sin x

   Đáp số: y ' 6x 4cos x

x

  

2) y ln 2x    Đáp số: y '

1 2x

 



3) y 4 cos x lo g x Đáp số: y ' sin x.4cos x.ln

xln10

 

4) y log x 3 2x Đáp số:  

2x y '

x 2x ln3

 



5) y  25x  5x Đáp số:

x x

x x

25 ln25 ln5 y '

2 25

 



HÌNH HỌC 1) Định lí cosin

c b

a B

A

C

Định lí Hệ quả

2 2 2 cos

a b c  bc A

2 2

cos

2

b c a

A

bc

 



2 2 2 cos

b a c  ac B cos 2

2

a c b

B

ac

 

2 2 2 cos c a b  ab C

2 2

cos

2

a b c

C

ab

 



2) Công thức trung tuyến

c b a ma B A C

2 2

2

2

a

b c a

m   

2 2

2

2

b

a c b

m   

2 2

2

2

c

a b c

m   

3) Diện tích tam giác

c b a ha B A C

1) SABC = 12a.ha = 12b.hb = 12c.hc

2) SABC = 12absinC = 12bcsinA = 12casinB 3) SABC = abc4R

4) SABC = p.r

5) SABC = p p a p b p c(  )(  )(  )

4) Tam giác vuông

c b a h B A C

1) Diện tích S12bc

(Diện tích tam giác vuông 12 tích hai cạnh góc vuông )

2) Đường cao 2

1 1

h b c

5) Tam giác

a

B

A

C

1) Dieän tích

4 a S

2) Đường cao

2 a h

6) Hình vuông

a B

A D

O

C

1) Diện tích S a2



a b

A D

C B

1) Diện tích S ab

2) Đường chéo AC a2 b2

 

8)Thể tích

h A6

A5

A1

A2

A3 A4 S

Hình chóp: 1

3 đáy

V  S h

C'

B' A'

D

A B

C

D'

Lăng truï: V S h đáy

9)Diện tích thể tích mặt cầu

2

4

S  R

3

4 3

V  R

10) Hình chóp

Định nghĩa Hình chóp hình chóp có đáy đa giác đều, cạnh bên

O A

B

C S

A

B

C

D S

11) Cách xác định góc giũa đường phẳng mặt phẳng

  SH  

 AH hình chiếu SA lên mp()

 Góc SA mp() góc SA AH

Ví dụ Tính thể tích hình chóp SABCD có ABCD hình vng cạnh a, góc SA mp(ABCD) 60 0.

Giải

Gọi O tâm hình vuoâng ABCD

 SO đường cao khối chóp SABCD

S ABCD

V

3SABCDSO



 SABCD a2

 SO ?

 góc SA (ABCD) góc SAO  SAO 600

 SO AOtan600

2a



2 a



 VSABCD

3

a a



3 6 a



12) Cách xác định góc mặt phẳng

 Hai mặt phẳng (P) (Q) cắt theo giao

tuyến d

a b

d

 S

H A

D A

C B

S

 mà hai đường thẳng a b nằm hai

mặt (P) , (Q) vng góc với giao tuyến d

 nên góc hai mặt (P) (Q) góc hai

đường a b

Ví dụ

Tính thể tích hình chóp SABCD có ABCD hình vng cạnh a, góc (SAB) mp(ABCD) 450.

Giải

Gọi O tâm hình vuông ABCD

 SO đường cao khối chóp SABCD

S ABCD

V

3SABCDSO



 SABCD a2

 SO ?

Gọi I trung điểm CD, ta có :

Góc hai mặt (SCD) (ABCD) góc hai đường SI OI

 SIO 450

 SIOvuông cân O

 SO OI

2 a



 VSABCD

a a



3 a



13) Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

P

A B

M

D A

C B

S

O 450

Tính chất 1.Tập hợp điểm cách hai điểm AB mặt phẳng trung trực AB

Tính chất 2 Tập hợp điểm cách điểm A, B, C đường thẳng d qua tâm đường tròn ngoại tiếp ABC vng góc

với mp(ABC) (đường thẳng d gọi trục đường tròn ngoại tiếp ABC)

1 Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp mặt cầu chứa tất đỉnh hình chóp

2 Điều kiện cần đủ để hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp đáy có đường trịn ngoại tiếp

3 Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp cách tất đỉnh hình chóp

4 Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp giao trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy mặt phẳng trung trực cạnh bên

Phương pháp tìm tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC

Trường hợp 1 Các đỉnh nhìn cạnh với một góc vng

B

C A

O P

d

B C



A D

O M

S



ASB  ACB900 Các đỉnh S C nhìn AB góc vng Tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện trung điểm O AB

Trường hợp 2 SA SB SC 

+ Dựng đường cao SOABC(O tâm

đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC )

+ Trong tam giác ASO dựng đường trung trực SA cắt SO I, I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC

Trường hợp 3 SAABC

+ Trục đường tròn đường thẳng qua O song song với SA

+ Từ trung điểm M SA dựng MI // AO, I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

BÀI TẬP HÌNH HỌC 12 THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

Bài

A B

C O

S

M

I

A C

O M

S

B

Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vuông B, AB a , AC 2a,

( )

SA ABC , SA a Tính thể tích khối chóp SABC

Bài

Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vng B, AB a , BC2a,

( )

SA ABC , SB a Tính thể tích khối chóp SABC

Bài

Tích thể tích khối tứ diện có cạnh a

Bài

Tính thể tích khối chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a SA2a

Baøi

Tính thể tích hình chóp SABC biết ABC cạnh a, SAB vuông cân S, SAB  ABC

Bài

Cho hình chóp SABC có đáy tam giác vuông A, SA SB SC  2a, SBC 600,  300

ACB 

a) Xác định chiều cao SH hình chóp b) Tính thể tích hình chóp SABC

Bài

Cho khối chóp SABC có đường cao SA 2a, tam giác ABC vuông C, AB2a,  300

CAB Gọi H, K hình chiếu A lên SC SB a) Tính thể tích khối chóp HABC

b) Chứng minh AH SB SBAHK

c) Tính thể tích khối chóp SAHK ( tính thể tích khối đa diện HKABC )

Bài

Tính thể tích khối chóp SABCD, biết ABCD hình vuông cạnh a, SAABCD,

SB a

Bài

Tính thể tích khối chóp tứ giác SABCD có cạnh a

Bài 10

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a tâm O, SO(ABCD),

SA a Tính thể tích khối chóp SABCD

Bài 11

Tính thể tích hình bác diện có cạnh a

Tính thể tích hình chóp SABCD có ABCD hình vng cạnh a, góc SA mp(ABCD) 60 0.

Bài 13

Tính thể tích hình chóp SABCD có ABCD hình vng cạnh a, góc (SAB) mp(ABCD) 450.

Baøi 14

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SAB đều, SAB  ABCD Tính thể tích khối chóp SBCD

Bài 15

Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’, có đáy ABC tam giác vng cân A, AB a ,

'

AC a Tính thể tích khối lăng trụ ABCA’B’C’

Bài 16

Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’, có đáy ABC tam giác vng cân A, góc đường thẳng BC’ mp(AA’C’C) 30 0, AC a Tính thể tích khối lăng trụ ABCA’B’C’

Bài 17

Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có A’ABC tứ diện cạnh a Tính thể tích khối lăng trụ cho

Baøi 18

Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có đáy tam giác cạnh a, điểm A’ cách ba điểm A, B, C, cạnh bên AA’ tạo với đáy góc 60 0

a) Tính thể tích khối lăng trụ cho

b) Chứng minh BB’C’C hình chử nhật

Bài 19

Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’có cạnh a a) Chứng minh ACB’D’ tứ diện

b) Tính thể tích khối ABCDA’B’C’

Bài 20*

Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’có A’ABD khối tứ diện cạnh a Tính thể tích khối hộp ABCDA’B’C’D’

MẶT CẦU VÀ KHỐI CẦU

Bài

Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vuông B, AB a , AC 2a, SA(ABC),

Bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với đáy, cạnh bên SB a

Tìm tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD

Bài

Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác có tất cạnh a

Bài

Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện cạnh a

Baøi

Cho hình chóp OABC, có OA, OB, OC đôi vuông goùc nhau, OA2a, OB a ,

OC a Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp OABC

CÁC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP

Baøi (TN năm 2006)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với đáy, cạnh bên SB a

a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD

b) Chứng minh trung điểm cạnh SC tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD

Bài (TN năm 2007 lần 1)

Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vng đỉnh B, cạnh bên SA vng góc với đáy Biết SA = AB = BC = a Tính thể tích khối chóp S.ABC

Bài (TN năm 2007 lần 2)

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a , cạnh bên SA vng góc với đáy SA = AC Tính thể tích khối chóp S.ABCD

Bài (TN năm 2008 lần 1)

Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a, cạnh bên 2a Gọi I trung điểm cạnh BC

a) Chứng minh SA vng góc với BC b) Tính thể tích khối chóp S.ABI theo a

Bài (TN năm 2008 lần 2)

Cho hình chóp S.ABC, có đáy ABC tam giác vng B, đường thẳng SA vng góc với mp(ABC) Biết AB a , BC a 3, SA3a

1 Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a