Xây dựng chuyên đề lượng giác theo hướng phát triển năng lực học sinh của chương trình phổ thông tổng thể

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TỐN - - KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐỀ TÀI: XÂY DỰNG CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC HỌC SINH CỦACHƯƠNG TRÌNH PHỔ THƠNG TỔNG THỂ Giảng viên hướng dẫn : TS HỒNG NHẬT QUY Sinh viên thực : NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THẢO Lớp : 15ST ĐÀ NẴNG – năm 2019 ĐÀ NẴNG – NĂM 2019 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN - - KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐỀ TÀI: XÂY DỰNG CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC HỌC SINH CỦACHƯƠNG TRÌNH PHỔ THƠNG TỔNG THỂ Giảng viên hướng dẫn : TS HOÀNG NHẬT QUY Sinh viên thực : NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THẢO Chuyên ngành : Sư phạm Toán Lớp : 15ST ĐÀ NẴNG – năm 2019 ĐÀ NẴNG – NĂM 2019 Luận văn tốt nghiệp GVHD: T.S Hồng Nhật Quy LỜI CẢM ƠN Tơi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến quý thầy, cô giáo trường đại học Đại học sư phạm – Đại học Đà Nẵng nói chung, thầy, giáo khoa tốn nói riêng tận tình dạy dỗ tơi suốt thời gian học tập trường Tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo hướng dẫn: tận tình hướng dẫn, giúp đỡ bảo cho suốt trình làm luận văn Đà Nẵng, tháng năm 2019 Sinh viên thực Nguyễn Thị Phương Thảo Luận văn tốt nghiệp GVHD: T.S Hoàng Nhật Quy MỤC LỤC 2: Mục đích nghiên cứu: .1 3: Nhiệm vụ nghiên cứu: .2 4: Phương pháp nghiên cứu: .2 5: Cấu trúc luận văn: CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Năng lực phát triển lực học sinh theo chương trình phổ thơng tổng thể: 1.1.1 Khái niệm lực: .3 1.1.2 Các lực chung: 1.2 Năng lực toán học 1.2.1 Năng lực toán học: 1.2.2 Năng lực giải toán: 10 1.3 Lý luận dạy học mơn tốn: 15 1.3.1: Mục đích, vị trí, vai trị ý nghĩa tập tốn trường phổ thơng: 15 1.3.2: Vị trí vai trị tập tốn: 16 1.3.3: Ý nghĩa: 17 1.3.4 Chức tập toán: 17 1.4 Nội dung lượng giác chương trình toán THPT: 18 1.4.1: Khái quát nội dung chương trình lượng giác: 18 1.4.2: Mục tiêu: 18 1.4.3: Phương pháp dạy học chương trình lượng giác: 19 1.4.4: Kiểm tra, đánh giá theo lực học sinh: 19 CHƯƠNG 2: XÂY DỰNG MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ VỀ LƯỢNG GIÁC NHẰM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC HỌC SINH THEO CHƯƠNG TRÌNH PHỔ THƠNG TỔNG THỂ MỚI: 22 2.1 Chuyên đề hàm số lượng giác lượng giác: 22 2.1.1 Một số phép biến đổi đồ thị: 22 2.1.2 Các hàm số lượng giác: 23 2.1.3 Sơ lược hàm lượng giác ngược: 28 2.2 Chuyên đề phương trình lượng giác: 32 2.2.1 Xây dựng hệ thống tốn gốc cho dạng tốn sau đề xuất toán nâng cao nhằm phát triển lực cho học sinh: 36 2.2.2 Xây dựng hệ thống tập nhằm giúp học sinh khắc phục, sửa chữa sai lầm thường gặp nội dung phương trình lượng giác: 47 2.3 Một số ứng dụng lượng giác vật lý: 52 SVTH: Nguyễn Thị Phương Thảo Trang Luận văn tốt nghiệp GVHD: T.S Hoàng Nhật Quy 1: Lí chọn đề tài: Trong thời đại cơng nghệ khoa học phát triển nhanh chóng việc phát triển phẩm chất lực người học định hướng trội nhiều nước tiên tiến thực từ kỉ XXI đến Các nước ý hình thành, phát triển lực cần ý cho việc học gắn bó với sống ngày Đảng nhà nước ta nhận định rõ tình hình đưa định hướng đổi bản, toàn diện giáo dục đào tạo Điều thể rõ Hội nghị lần thứ 8, Ban chấp hành Trung Ương Đảng khóa XI vừa qua đổi mục tiêu giáo dục: Chuyển mạnh từ chủ yếu trọng trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện lực phẩm chất người học Đặc trưng mơn Tốn học mơn học nhiều lý thuyết, có tính trừu tượng cao, đòi hỏi học sinh nhiều lực học tập để học sinh tư duy, phân tích, tổng hợp có khả tìm tịi, sáng tạo để nắm vững kiến thức Nhưng thời gian dạy học lớp cịn hạn hẹp, khơng phải học sinh có đủ thời gian để thấu hiểu, ghi nhớ vận dụng kiến thức mà giáo viên truyền thụ Vì thế, thực trạng việc giảng dạy nay, nhiều điểm tồn tại, giáo viên chủ yếu tập trung cung cấp khối lượng kiến thức xác định lên lớp mà chưa quan tâm mức đến đổi phương pháp dạy học để phát triển lực dạy học cho học sinh Chủ đề lượng giác học sinh trường THPT coi chủ đề khó quan trọng chương trình phổ thơng, nhiên chưa gây ý hứng thú học tập học sinh Học sinh với tâm lý ngại sợ học chủ đề dẫn tới hiệu dạy học không cao Để cải thiện tình hình nói trên, giáo viên cần phải có biện pháp tích cực việc thay đổi phương pháp dạy học theo hướng tích cực phù hợp với lực học sinh cấp thiết Thay đổi phương pháp dạy học toán khó cần nhiều thời gian cơng sức tìm tòi giáo viên, nhiên quan trọng sử dụng phương pháp dạy học theo lực cho hiệu Với lí trên, tơi chọn nghiên cứu luận văn “Xây dựng chuyên đề lượng giác theo hướng phát triển lực học sinh chương trình phổ thơng mới” 2: Mục đích nghiên cứu: Nghiên cứu số vấn đề giải toán; lực lực toán học SVTH: Nguyễn Thị Phương Thảo Trang Luận văn tốt nghiệp GVHD: T.S Hoàng Nhật Quy Nghiên cứu sở lý luận thực tiễn Xây dựng chuyên đề lượng giác theo hướng phát triển lực học sinh chương trình phổ thông tổng thể nhằm nâng cao hiệu dạy học Đại số giải tích lớp 11 trường THPT, hình thành phát triển kĩ giải dạng toán phát triển lực học toán cho học sinh 3: Nhiệm vụ nghiên cứu: Để đạt mục tiêu trên, thấy luận văn cần thực nhiệm vụ sau: 1: Tổng quan phẩm chất, lực, lực toán học 2: Đưa hệ thống tập giúp học sinh rèn luyện lực trí tuệ phát triển phẩm chất, kĩ học toán 3: Bài tập củng cố lý thuyết, ví dụ, số tập nâng cao, hướng giải rút nhận xét cho loại 4: Tìm hiểu số ứng dụng lượng giác vật lý 4: Phương pháp nghiên cứu: Nghiên cứu lí luận: - Nghiên cứu tài liệu lí luận (chương trình phổ thơng tổng thể mới, triết học, giáo dục học, tâm lí học, lí luận dạy học mơn tốn) có liên quan tới đề tài luận văn - Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo, tạp chí tốn học, tài liệu nước có liên quan nội dung lượng giác, giải tốn lượng giác bồi dưỡng lực giải toán cho học sinh trung học phổ thông 5: Cấu trúc luận văn: Luận văn gồm phần “Mở đầu”, “Kết luận” hai chương Chương 1: Cơ sở lý luận thực tiễn Chương 2: Xây dựng số chuyên đề lượng giác theo định hướng phát triển lực học sinh theo chương trình phổ thơng tổng thể Danh mục tham khảo phụ lục SVTH: Nguyễn Thị Phương Thảo Trang Luận văn tốt nghiệp GVHD: T.S Hoàng Nhật Quy CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Năng lực phát triển lực học sinh theo chương trình phổ thơng tổng thể: 1.1.1 Khái niệm lực: Các khái niệm khoa học thường có nhiều định nghĩa tùy theo cách tiếp cận phạm trù khác Để phù hợp với nội dung khóa luận, số khái niệm trích tài liệu hội thảo Chương trình Giáo dục phổ thơng [1, tr.5]  Năng lực khả thực thành công hoạt động bối cảnh định nhờ huy động tổng hợp kiến thức, kỹ thuộc tính cá nhân khác hứng thú, niềm tin, ý chí, Năng lực cá nhân đánh giá qua phương thức kết hoạt động cá nhân giải vấn đề sống  Năng lực chung lực bản, thiết yếu mà người cần có để sống, học tập làm việc Các hoạt động giáo dục (bao gồm môn học hoạt động trải nghiệm sáng tạo), với khả khác nhau, hướng tới mục tiêu hình thành phát triển lực chung học sinh  Năng lực đặc thù môn học (của môn học nào) lực mà mơn học (đó) có ưu hình thành phát triển (do đặc điểm mơn học đó) Một lực lực đặc thù nhiều môn học khác 1.1.2 Các lực chung: ● Năng lực tự học: Xác định mục tiêu học tập: - Xác định nhiệm vụ học tập có tính đến kết học tập trước định hướng phấn đấu tiếp, mục tiêu học đặt chi tiết, cụ thể, đặc biệt tập trung nâng cao khía cạnh cịn yếu Lập kế hoạch thực cách học: - Đánh giá điều chỉnh kế hoạch học tập; hình thành cách học tập riêng thân; tìm nguồn tài liệu phù hợp với mục đích, nhiệm vụ học tập khác nhau; thành thạo sử dụng thư viện, chọn tài liệu làm thư mục phù hợp với chủ đề học tập tập khác nhau; ghi chép thông tin đọc hình thức phù hợp, thuận lợi cho việc ghi nhớ, sử dụng, bổ sung cần thiết; tự đặt vấn đề học tập Đánh giá điều chỉnh việc học: SVTH: Nguyễn Thị Phương Thảo Trang Luận văn tốt nghiệp - GVHD: T.S Hoàng Nhật Quy Tự nhận điều chỉnh sai sót, hạn chế thân trình học tập; suy ngẫm cách học mình, đúc kết kinh nghiệm để chia sẻ, vận dụng vào tình khác; sở thông tin phản hồi biết vạch kế hoạch điều chỉnh cách học để nâng cao chất lượng học tập ● Năng lực giải vấn đề: Phát làm rõ vấn đề: - Phân tích tình học tập, sống, phát nêu tình có vấn đề học tập sống Đề xuất, lựa chọn giải pháp: - Thu thập làm rõ thông tin có liên quan đến vấn đề; đề xuất phân tích số giải pháp giải vấn đề; lựa chọn giải pháp phù hợp Thực đánh giá giải pháp giải vấn đề: - Thực đánh giá giải pháp giải vấn đề; suy ngẫm cách thức tiến trình giải vấn đề để điều chỉnh vận dụng bối cảnh ● Năng lực sáng tạo: - Đặt câu hỏi có giá trị để làm rõ tình ý tưởng trừu tượng; xác định làm rõ thông tin, ý tưởng phức tạp từ nguồn thông tin khác nhau; phân tích nguồn thơng tin độc lập để thấy khuynh hướng có độ tin cậy ý tưởng - Xem xét vật với góc nhìn khác nhau; hình thành kết nối ý tưởng; nghiên cứu để thay đổi giải pháp trước thay đổi bối cảnh; đánh giá rủi ro có dự phịng Lập luận q trình suy nghĩ, nhận yếu tố sáng tạo quan điểm trái chiều; phát điểm hạn chế quan điểm mình; áp dụng điều biết hồn cảnh - Say mê; nêu nhiều ý tưởng học tập sống; không sợ sai; suy nghĩ khơng theo lối mịn; tạo yếu tố dựa ý tưởng khác ● Năng lực tự quản lí: - Đánh giá ảnh hưởng yếu tốt tác động đến hành động, việc làm mình, học tập sống hàng ngày; làm chủ cảm xúc thân học tập sống - Bước đầu biết làm việc độc lập theo thời gian biểu; nhận tình an tồn hay khơng an tồn học tập sống ngày SVTH: Nguyễn Thị Phương Thảo Trang Luận văn tốt nghiệp - GVHD: T.S Hoàng Nhật Quy Nhận tự điều chỉnh số hạn chế thân học tập, lao động sinh hoạt, nhà, trường - Diễn tả số biểu bất thường thể; thực số hành động vệ sinh chăm sóc sức khỏe thân; nhận không tiếp cận với yếu tố ảnh hưởng xấu tới sức khỏe, tinh thần gia đình trường ● Năng lực giao tiếp: Sử dụng tiếng Việt: - Đọc lưu loát, ngữ điệu biết thay đổi theo đặc điểm văn mục đích giao tiếp; đọc hiểu văn phức tạp chương trình học đời sống, phù hợp với tâm lí lứa tuổi; phản hồi cách tích cực hiệu nội dung đọc; ln có ý thức tìm tịi, mở rộng phạm vi đọc… - Viết sáng tạo dạng văn phức tạp chủ đề học tập đời sống (kết hợp có hiệu ngơn ngữ với hình ảnh, đồ thị minh họa); biết tóm tắt nội dung văn phức tạp; trình bày cách thuyết phục quan điểm cá nhân, có tính đến quan điểm người khác… - Có vốn từ vựng phong phú; sử dụng linh hoạt có hiệu kiểu câu khác nhau; nói rõ ràng, mạch lạc, xác, tự tin ngữ điệu; thuyết trình nội dung chủ đề thuộc chương trình học tập; biết trình bày bảo vệ quan điểm cá nhân cách chặt chẽ, có sức thuyết phục; kết hợp cách hiệu lời nói với động tác thể phương tiện hỗ trợ khác… - Nghe hiểu chắt lọc thông tin quan trọng, bổ ích từ đối thoại, chuyện kể, lời giải thích, thảo luận, tranh luận phức tạp; có thái độ tích cực nghe; có phản hồi linh hoạt phù hợp… Sử dụng ngoại ngữ: - Đạt lực bậc ngoại ngữ Xác định mục đích giao tiếp: - Xác định mục đích giao tiếp phù hợp với đối tượng, bối cảnh giao tiếp; dự kiến thuận lợi, khó khăn để đạt mục đích giao tiếp Thể thái độ giao tiếp: - Chủ động giao tiếp; tơn trọng, lắng nghe có phản hồi tích cực giao tiếp Lựa chọn nội dung phương thức giao tiếp: SVTH: Nguyễn Thị Phương Thảo Trang Luận văn tốt nghiệp GVHD: T.S Hoàng Nhật Quy - Lựa chọn nội dung, ngôn ngữ phù hợp với ngữ cảnh đối tượng giao tiếp; biết kiềm chế; tự tin nói trước nhiều người ● Năng lực thẩm mỹ: Nhận đẹp - Đánh giá giá trị bản, phổ biến văn hoá, tryền thống đạo đức Việt Nam, giá trị nhân văn nhân loại Diễn tả, giao lưu thẩm mỹ: - Phân tích, đánh giá tính thẩm mỹ, giá trị vật liệu, giá trị văn hoá vật, tượng, trình tự nhiên, đời sống xã hội nghệ thuật Tạo đẹp - Đề xuất ý tưởng, sáng tạo sản phẩm có tính thẩm mỹ mang dấu ấn cá nhân ● Năng lực thể chất: Sống thích ứng hài hịa với môi trường: - Nêu sở khoa học biện pháp bảo vệ môi trường sống không bị ô nhiễm, giữ cân sinh thái; điều chỉnh chế độ học tập sinh hoạt phù hợp với thể trạng thân; thực hành hoạt động cải thiện mơi trường sống; thích ứng với hoạt động xã hội Rèn luyện sức khoẻ thể lực: - Đánh giá thể trạng sức khoẻ thân; đọc hiểu số sức khoẻ qua kiểm tra y tế; nhận biểu phản ứng thân với số bệnh thơng thường; có thói quen, biết lựa chọn hình thức tập luyện thể dục, thể thao phù hợp để cải thiện chức thể Nâng cao sức khoẻ tinh thần: - Biết cải thiện mối quan hệ để đem lại niềm vui, hạnh phúc cho thân người; hài hoà hoạt động học tập, lao động, giải trí; tinh thần thoải mái; tham gia tích cực hoạt động xã hội ● Năng lực hợp tác: Xác định mục đích phương thức hợp tác: - Chủ động đề xuất mục đích hợp tác để giải vấn đề thân người khác đề xuất; lựa chọn hình thức làm việc nhóm với quy mơ phù hợp với yêu cầu nhiệm vu SVTH: Nguyễn Thị Phương Thảo Trang Luận văn tốt nghiệp GVHD: T.S Hoàng Nhật Quy Phương trình cho biến đổi trở thành phương trình bậc ba theo cost Để tìm t học sinh cần áp dụng thuật toán giải phương trình bậc ba theo cost Kiểm tra điều kiện t kết hợp với bước đặt t  x suy nghiệm phương trình (cost  1)(4 cos t  3)   (cost  1)(2 cos t  1)  4x  cos   2x 4x  (cos  1)(2 cos  1)    3 cos x    x  k 3  ;(k  )  x     3k   Vậy pt có nghiệm là: x  3k ; x     3k (k  ) sin x  cos x  cos 4 x(15) Ví dụ 4: Giải phương trình:   tan(  x) tan(  x) 4 Phương trình cho có mẫu hàm tan, trước giải học sinh cần ý đến điều kiện Đối với tốn mẫu hàm tan nên lưu ý kiểm tra đầy đủ điều kiện để tránh nhận nghiệm ngoại lai Điều kiện:     tan(  x) tan(  x)   cos(   x) cos(   x)   4 Đối với điều kiện giải theo cách thông thường nhiều thời gian, học sinh phải linh hoạt việc giải điều kiện toán Ta thầy tan(   x) tan(   x)   sin(   x) sin(   x)  4 4 Do đó, hệ điều kiện ban đầu tương đương với       1 (cos x  cos ) sin   x  sin   x           cos x   2  cos    x  cos    x    (cos x  cos  )        2  4  SVTH: Nguyễn Thị Phương Thảo Trang 45 Luận văn tốt nghiệp GVHD: T.S Hoàng Nhật Quy Vậy điều kiện toán cos x  Nhận thấy phương trình (15) phức tạp Cho nên điều kiện cần thiết phải làm rút gọn gọn tốt     tan   x  tan   x   ? 4  4           +Ta thấy   x     x   nên   x  ;   x  góc phụ 4  4  4  4  +Dựa vào mối quan hệ cung phụ ta điều gì?         tan   x  tan   x   tan   x  cot   x   4  4  4  4  Sau rút gọn ta phương trình tương đương sin x  cos x  cos 4 x Có mối liên hệ cung 2x cung 4x? 1 sin x  cos x   2sin 2 x.cos 2 x   sin x   1  cos x  2 Khi PT (*) *  cos 4 x  cos x   phương trình trùng phương lưu ý điều kiện PT có nghiệm cos x   sin x  (năng lực so sánh) sin x   sin x    cos x  Kết hợp điều kiện cos x  ta nhận nghiệm sin x   x  k  , k  Trình bày bước giải kết luận nghiệm: Qua tập ta thấy tính linh hoạt, tính độc lập trí tuệ trình tìm phương hướng giải vấn đề, trình giải đối chiếu điều kiện thơng qua lực phân tích, tổng hợp Chắc hẳn bạn ngạc nhiên cách giải ngắn gọn này, khơng có nhận xét tổng hai cung mà quy đồng biến đổi không? -Việc giải điều kiện đối chiếu với điều kiện đặc biệt phương trình lượng giác có dạng phân thức khơng khơn khéo phức tạp -Với ý tưởng nhận xét tổng cung ta làm tương tự toán sau:   sin x  cos x  cot( x  ) cot(  x) SVTH: Nguyễn Thị Phương Thảo Trang 46 Luận văn tốt nghiệp KQ: x   GVHD: T.S Hoàng Nhật Quy    k ,k  12 2.2.2 Xây dựng hệ thống tập nhằm giúp học sinh khắc phục, sửa chữa sai lầm thường gặp nội dung phương trình lượng giác: Khi giải phương trình lượng giác học sinh thường gặp số sai lầm: không đặt điều kiện để loại nghiệm, không thống kí hiệu số đo độ, radian trình giải tập… sau số tập nhằm giúp học sinh khắc phục sai lầm Ví dụ 1: (SGK- Đại số giải tích 11- Nâng cao/ trang 40)   Giải phương trình cot x  cot  x   (15) 2  Xét giải     cot x  cot  x    x  x   k  x   k , k  2 2  Vậy PT có nghiệm x    k , k  Lời giải sai lầm chỗ: Đây phương trình đơn giản, hầu hết em lại mắc lỗi giải quên đặt      x    k  sin x      điều kiện:    ; k  (15) nên dẫn đến kết luận sai 2  sin x  x  k   Kết hợp với điều kiện (15) phương trình cho vơ nghiệm Ví dụ 2: (SGK-Đại số giải tích 11- Nâng cao/42) Giải phương trình tan(2 x  10)  cotx  Xét lời giải sau đây: tan(2 x  10)  cotx   tan(2 x  10)   cot x    tan  x  10   tan  x   2    k  x  80  k , k   x  10  x  Lời giải sai lầm chỗ: Khơng tìm điều kiện tồn phương trình là: SVTH: Nguyễn Thị Phương Thảo Trang 47 Luận văn tốt nghiệp cos(2x+10)  0; sinx  nên GVHD: T.S Hoàng Nhật Quy không đối chiếu kiểm tra nghiệm: tan  x  10   cotx   tan  x  10    cot x  tan  x  10   tan  x  90   x  10  x  90  k180  x  80  k180, k  Nghiệm phương trình x  80  k180, k  Một số tập đề xuất: x  1) tan  x  45  tan 180    2  2)2sin x  cos x  *Xây dựng hệ thống tập toán nhằm phát triển lực tìm tịi lời giải, biến đổi đưa cách giải biết:     4 Ví dụ 1: Giải phương trình cos x  sin x  cos  x   sin  x     0(16) 4  4  Mới nhìn phương trình ta chưa thể định hướng hướng giải cho tốn Nhưng quan sát kỹ tìm mối quan hệ cung biến đổi đưa yếu tố phức tạp đơn giản việc xác định hướng giải đơn giản     Từ đẳng thức: sin x  cos x   sin 2 x hiệu hai cung  3x     x    x 4  4  Từ ta định hướng đưa PT cung 2x để giải     Làm để đưa cos  x   sin  3x   cung 2x? 4 4           +Ta thấy  x     x    x Do để đưa cos  x   sin  3x   cung 2x, ta 4 4 4  4    áp dụng cơng thức biến đổi tích thành tổng     1     cos  x   sin  3x     sin 2x  sin 4x    4  4 2        Biến đổi sin  x   theo cung 2x nào? Để biến đổi sin  x   theo cung 2x 2 2   trước tiên ta dựa vào mối quan hệ cung lượng giác  biến SVTH: Nguyễn Thị Phương Thảo Trang 48 Luận văn tốt nghiệp GVHD: T.S Hoàng Nhật Quy   sin  x     cos x Để phân tích cos4x cung 2x ta cần sử dụng công thức nhân 2  đôi cos x   sin 2 x Tổng hợp bước phân tích ta biến đổi PTLG cho PT bậc sin2x Giải tìm x, kết luận nghiệm Lời giải: Phương trình 1    (16)  2sin x.cos x  sin  x    sin x    2  2  2   sin x  cos x  sin x    sin 2 x  sin x    sin x   x    k , k  Vậy PT có nghiệm x    k , k  Qua tốn thơng qua việc phân tích đề, tìm mối quan hệ yếu tố phương trình, biến đổi tốn dạng phương trình bậc hàm sin ta phát triển lực tìm lời giải, biến đổi đưa tốn từ phương trình phức tạp phương trình dạng mẫu mực biết (phương trình bậc hàm sin2x)  3 x    3x  Ví dụ 2: sin     sin    (17)  10   10  Nhìn vào phương trình ta nghĩ dùng công thức biến đổi sin tổng,nhưng giải theo hướng khó hơn, ta xem cung 3  x   3x có mối liên hệ với 10 10  3x    3x    9 x   3 x  Thật sin     sin       sin     sin     10   10   10   10  Từ ta đặt t  3  x phương trình cho (2)  sin t  sin 3t 10 Để giải phương trình 2sin t  sin 3t ta tìm mối liên hệ sin 3t sin t (16)  2sin t  sin 3t  2sin t  3sin t  4sin t Đến việc giải phương trình quy giải phương trình bậc ba hàm sin t (lưu ý kiểm tra điều kiện hàm sin t   4sin t  sin t   (4sin t  1)sin t  SVTH: Nguyễn Thị Phương Thảo Trang 49 Luận văn tốt nghiệp GVHD: T.S Hoàng Nhật Quy Từ ta thấy phương trình sin t   có hướng giải: Hướng 1) 4sin t    sin t   Hướng 2) Hạ bậc 4sin t     cos 2t   cos 2t  Qua ta thấy giải theo hướng nhanh hay  (1  cos 2t ) sin t   t  k t  k sin t       ,k   2t     k 2 t     k cos 2t     Sau tìm t, ta đặt t  3  x , giải tìm nghiệm x tương ứng kết luận nghiệm 10 phương trình Vậy phương trình có nghiệm: x 3 4 14  k 2 ; x   k 2 ; x   k 2 (k  ) 5 15 Ví dụ 3: Giải PT cos x  sin 5x  Đây phương trình khó theo cách giải thơng thường Chú ý: Trong q trình giải lượng giác dạng ta cần lưu ý giá trị không âm sau: 1  s inx  ; 1  cos x  ; 1  s inx  ; 1  cos x  Ngoài ra, ta biết hàm sinx cosx có tập giá trị  1;1 nên lũy thừa lên giá trị nhỏ Ta thấy cos4x, sin5x hàm lượng giác nên chúng có miền giá trị lớn hay 1-cos4x; 1-sin5x giá trị khơng âm Theo đề tốn cos x  sin 5x  nên ta nghĩ đến việc biến đổi phương trình cho tổng giá trị không âm để giải: cos x  sin x   1  cos x   1  sin x   Vì 1  cos 4x  1  sin 5x  giá trị không âm nên 1  cos x  1  sin x  1  cos x   1  sin x     Đến việc giải phương trình quy giải hệ hàm bậc SVTH: Nguyễn Thị Phương Thảo Trang 50 Luận văn tốt nghiệp GVHD: T.S Hoàng Nhật Quy   xk 4 x  k 2  cos x      (k  )     x   k  sin x   x   k   10  Ở ta cần lưu ý học sinh, nghiệm phương trình nghiệm hệ trên, ta phải tìm nghiệm chung phương trình hệ kết luận Do thói quen giải phương trình lượng giác không ý, em dễ dàng đến kết luận sai Kết luận ta nghiệm PT cho x    k 2  k   Ví dụ 4: Giải PT sin x  cos x  2sin x   cos x(1  s inx  2cos x)  0(17) Hướng dẫn: Ban đầu phương trình phức tạp, bạn để ý phân phối vào ta điều  sin lý thú Đó xuất hạng tử x  cos x  ;  sin x cos x  cos x sin x  Do đó, việc cần làm trước tiên phân phối vào Sau phân phối vào phương trình trở thành: sin x cos x  sin x  cos x  cos x sin x  cos x  2 Ta thấy phương trình có chứa sin x cos x; cos x sin x 2sin x; 2cos x để giải tốn ta cần phải nhóm hạng tử với để xuất cơng thức, tính đặt chất biệt lượng giác  sin x cos x  cos x sin x   sin x  cos x   cos x  sin x cos x  cos x sin x dạng khai triển hàm sin(ax+b) ,  sin x cos x  cos x sin x   sin x Mặt khác  sin x  cos x   tổng hợp bước phân tích phương trình cho trở thành sin 5x  cos x  + Giải PT sin 5x  cos x  Đến việc giải PT đơn giản, để ý đến tập giá trị sin x  1; cos x  việc giải tốn đơn giản nhiều SVTH: Nguyễn Thị Phương Thảo Trang 51 Luận văn tốt nghiệp GVHD: T.S Hoàng Nhật Quy sin x  sin x  cos x    cos x  Khi giải x ta kết hợp nghiệm tìm kết luận nghiệm PT Sau lời giải cụ thể 18   sin x cos x  cos x sin x    sin x  cos x   cos x   sin x  cos x    sin x  5 x   k 2   cos x  4 x  k 2   2   x  10  k    x   k 2 (k  ) x  k   Vậy PT có nghiệm là: x    k 2 (k  ) Qua việc phân tích tốn ta định hướng trình tìm lời giải chuyển phương trình từ phương trình phức tạp dạng đơn giản vận dụng kiến thức biết để giải Một số tập đề nghị : 1) cos x  4cos x  x sin x  x   2)4cos x  2cos x  cos x  2.3 Một số ứng dụng lượng giác vật lý: Ứng dụng đường trịn lượng giác tốn dao động điều hịa: Dao động điều hịa: ● Phương trình động lực học dao động nghiệm nó: Dao động học chuyển động qua lại quanh vị trí cân Xét dao động vật nặng (m) gắn với lị xo có độ cứng k - Phương trình động lực học vật: x ''  x  với   k - Nghiệm phương trình x ''  x  có dạng x  A cos t    A,  ,  m số, gọi phương trình dao động ● Các đại lượng đặc trưng dao động điều hòa: x li độ vật tính từ VTCB A biên độ dao động, A>0 xmax = A SVTH: Nguyễn Thị Phương Thảo Trang 52 Luận văn tốt nghiệp GVHD: T.S Hoàng Nhật Quy t   pha dao động thời điểm t  pha ban đầu, tức t   thời điểm t =  tần số góc dao động, đơn vị rad/s ● Chu kỳ tần số dao động điều hòa Chu kỳ T khoảng thời gian vật thực dao động toàn phần T t  ( s) với t khoảng thời gian vật thực N dao động N f Tần số f số dao động vật thực giây f  ( Hz ) T ● Vận tốc gia tốc dao động điều hòa:   Vận tốc vật: v  x '   A sin t      A cos  t     2  Khi x   A  v  vị trí biên Khi x   v max   A vị trí cân Vận tốc nhanh pha li độ lượng  ● Gia tốc vật: a   A cos t      A cos t      a   x Gia tốc nhanh pha vận tốc lượng  Gia tốc ngược pha so với li độ có độ lớn tỉ lệ với li độ Khi biên x   A  a max   A Khi VTCB x   a  ● Tổng hợp hai dao động phương, tần số: Ta có hai dao động điều hịa phương, tần số có dạng sau: -Dao động thứ có dạng: x1  A1 cos t  1  -Dao động thứ hai có dạng: x2  A2 cos t  2  -Dao động tổng hợp có dạng là: x  x1  x2  A cos t    SVTH: Nguyễn Thị Phương Thảo Trang 53 Luận văn tốt nghiệp GVHD: T.S Hoàng Nhật Quy ● Biên độ pha ban đầu dao động tổng hợp: -Biên độ tổng hợp xác định là: A  A12  A22  A1 A2 cos 2  1  Pha ban đầu xác định: tan   A1 sin 1  A2 sin 2 A1 cos 2  A2 cos 2 *Nếu hai dao động thành phần: - Cùng pha:   2n  A  A1  A2   1   2 -Ngược pha:    2n  1   A  A1  A2   1  A1  A2  ,   2  A1  A2  -Vuông pha:    2n  1   A  A12  A2 2 -Độ lệch pha thì: A1  A2  A  A1  A2 ● Mối liên hệ dao động điều hòa chuyển động tròn đều, biểu diễn dao động điều hòa vecto quay Phương pháp đường tròn lượng giác: *Chuyển động tròn đại lượng đặc trưng: - Chuyển động tròn là: “Chuyển động chất điểm cung tròn khoảng thời gian nhau” - Các đại lượng đặc trưng chuyển động tròn đều: +Chu kỳ T khoảng thời gian chất điểm hết vòng đường tròn + Tần số f số vòng chất điểm quay đơn vị thời gian +Liên hệ chu kỳ tần số T  SVTH: Nguyễn Thị Phương Thảo f Trang 54 Luận văn tốt nghiệp GVHD: T.S Hồng Nhật Quy +Tốc độ góc chuyển động trịn đều: Tốc độ góc  góc quay bán kính đơn vị thời gian    Đơn vị rad/s t ●Sự tương giao dao động điều hòa chuyển động tròn Biểu diễn dao động điều hòa vecto quay Một dao động điều hịa có dạng x  A cos t    biểu diễn tương ứng với chuyển động có: -Bán kính đường tròn với biên độ dao động: R=A -Vị trí ban đầu vật đường trịn với chiều dương trục Ox góc  -Tốc độ quay vật đường tròn  - Chiều quay vật ngược chiều kim đồng hồ -Ta có hình vẽ biểu diễn chất điểm dao động điều hòa x  A cos t    vecto quay OM hình vẽ - Độ dài đại số hình chiếu trục x vecto quay OM biểu diễn dao động điều hịa li độ x dao động -Khi vecto OM quay với tốc độ góc  quanh góc tọa độ O hình chiếu P điểm M dao động điều hịa trục Ox, thuộc mặt phẳng quỹ đạo M với li độ tọa độ hình chiếu M +Biên độ A độ dài vecto OM +Tốc độ góc tần số góc  pha ban đầu  góc xOM thời điểm t = -Một dao động điều hịa coi hình chiếu vật chuyển động trịn nằm mặt phẳng quỹ đạo Bài tập: Bài 1: Tìm thời gian ngắn vật từ A  B SVTH: Nguyễn Thị Phương Thảo Trang 55 Luận văn tốt nghiệp GVHD: T.S Hồng Nhật Quy Ví dụ: Một vật dao động điều hòa với T Hãy xác định thời gian ngắn để vật từ vị trí cân đến A Bài 2: Xác định thời điểm vật vị trí M cho trước Ví dụ: Một vật dao động điều hịa với phương trình x  cos(6 t   ) cm a Xác định thời điểm vật qua vị trí x = cm theo chiều dương lần thứ kể từ thời điểm ban đầu b Thời điểm vật qua vị trí x  theo chiều âm lần thứ kể từ t=2s Hướng dẫn: Vật qua vị trí x=2cm (+)  6 t    6 t   t      k 2  k 2 k  36 t 2t  k  2 36 Vậy k = 7,8,9, … t k     2,97 s 36 36 Bài 3: Xác định quãng đường Loại 1: Bài toán xác định quãng đường vật khoảng thời gian t   Ví dụ: Vật dao động điều hịa theo phương trình x  10cos   t   cm Xác định quãng 2  đường vật khoảng thời gian t1  1,5 đến t2  13 s? Loại 2: Bài toán xác định Smax ; Smin vật khoảng thời gian t ( t  T )   Ví dụ: Vật dao động điều hịa với phương trình x  5cos  4 t   Tìm quãng đường vật 6  khoảng thời gian T SVTH: Nguyễn Thị Phương Thảo Trang 56 Luận văn tốt nghiệp GVHD: T.S Hoàng Nhật Quy Loại 3: Tìm Smax ; Smin vật khoảng thời gian t ( T  t  T ) Ví dụ: Vật dao động điều hịa với biên độ A Tìm quãng đường nhỏ vật khoảng thời gian 2T SVTH: Nguyễn Thị Phương Thảo Trang 57 Luận văn tốt nghiệp GVHD: T.S Hoàng Nhật Quy KẾT LUẬN Trong thời gian viết khóa luận tốt nghiệp, hướng dẫn nhiệt tình thầy Hoàng Nhật Quy cố gắng, nỗ lực thân, tơi nghiên cứu trình bày việc xây dựng chuyên đề lượng giác theo hướng phát triển lực học sinh chương trình phổ thơng tổng thể Qua nghiên cứu đề tài này, luận văn rút số kết luận sau: - Luận văn góp phần làm rõ vấn đề lực, lực toán học; biểu lực chung thành tố lực tốn học; mục đích, vai trị, ý nghĩa, chức tập toán - Luận văn xây dựng hệ thống tập toán vận dụng kiến thức giải phương trình lượng giác lớp 11 - Việc xây dựng sử dụng hệ thống tập toán luận văn mang lại cho học sinh tri thức cần thiết đầy đủ nội dung “Hàm số lượng giác phương trình lượng giác” Vì thời gian khả có hạn, khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót, mong q thầy bạn đọc thơng cảm đóng góp ý kiến Hy vọng đề tài tài liệu tham khảo hữu ích cho giáo viên để nâng cao chất lượng dạy học thông qua nội dung chuyên đề lượng giác SVTH: Nguyễn Thị Phương Thảo Trang 58 Luận văn tốt nghiệp GVHD: T.S Hoàng Nhật Quy TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Bộ Giáo dục đào tạo – (2018) - Chương trình giáo dục phổ thơng mơn Tốn Hà Nội [2] Bộ Giáo dục đào tạo – (2014) - Dạy học kiểm tra, đánh giá kết học tập theo định hướng phát triển lực học sinh - Hà Nội [3] Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan – (2008) – Đại số giải tích 11 (Nâng cao) – Nhà xuất giáo dục [4] Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan – (2008) – Đại số giải tích 10 (Nâng cao) – Nhà xuất giáo dục [5] Đặng Việt Đơng – (2014) - Cơng phá tốn – Nhà xuất đại học quốc gia Hà Nội [6] Tài liệu mạng https://www.wikipedia.org/ https://tailieu.vn/ http://thuvien.ued.udn.vn/ Nhiều tài liệu quý Internet SVTH: Nguyễn Thị Phương Thảo Trang 59 ... 19 CHƯƠNG 2: XÂY DỰNG MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ VỀ LƯỢNG GIÁC NHẰM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC HỌC SINH THEO CHƯƠNG TRÌNH PHỔ THƠNG TỔNG THỂ MỚI: 22 2.1 Chuyên đề hàm số lượng giác lượng giác: ... Hoàng Nhật Quy CHƯƠNG 2: XÂY DỰNG MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ VỀ LƯỢNG GIÁC NHẰM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC HỌC SINH THEO CHƯƠNG TRÌNH PHỔ THƠNG TỔNG THỂ MỚI: 2.1 Chun đề hàm số lượng giác lượng giác: 2.1.1 Một...ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TỐN - - KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐỀ TÀI: XÂY DỰNG CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC HỌC SINH CỦACHƯƠNG TRÌNH PHỔ THƠNG TỔNG THỂ