Đáp án đề thi tuyển sinh đại học môn Toán (năm 2012) là đề chính thức của Bộ giáo dục và đào tạo. Đáp án và thang điểm gồm có 4 trang dành cho các bạn học sinh khối A và A1. Hy vọng tài liệu là nguồn thông tin hữu ích cho quá trình học tập và nghiên cứu của các bạn.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2012 Mơn: TỐN; Khối A khối A1 (Đáp án – thang điểm gồm 04 trang) Câu Đáp án Điểm a) (1,0 điểm) (2,0 điểm) Khi m = 0, ta có: y = x − x • Tập xác định: D = \ • Sự biến thiên: 0,25 − Chiều biến thiên: y ' = x3 − x; y ' = ⇔ x = x = ±1 Các khoảng nghịch biến: (− ∞; −1) (0; 1); khoảng đồng biến: (−1; 0) (1; + ∞) − Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu x = ±1, yCT = −1; đạt cực đại x = 0, yCĐ = − Giới hạn: lim y = lim y = + ∞ x→−∞ − Bảng biến thiên: 0,25 x→+∞ x −∞ y' –1 – 0 + +∞ +∞ – + +∞ 0,25 y –1 –1 • Đồ thị: y 0,25 –1 O –2 x –1 b) (1,0 điểm) Ta có y ' = x − 4( m + 1) x = x ( x − m − 1) Đồ thị hàm số có điểm cực trị m + > ⇔ m > −1 (*) Các điểm cực trị đồ thị A(0; m ), B(− m + 1; − 2m − 1) C ( m + 1; − 2m − 1) JJJG JJJG Suy ra: AB = ( − m + 1; − ( m + 1) ) AC = ( m + 1; − ( m + 1) ) JJJG JJJG Ta có AB = AC nên tam giác ABC vng AB AC = ⇔ ( m + 1) − ( m + 1) = Kết hợp (*), ta giá trị m cần tìm m = Trang 1/4 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu Đáp án Điểm Phương trình cho tương đương với ( sin x + cos x − 1) cos x = (1,0 điểm) π • cos x = ⇔ x = + kπ (k ∈ ]) π π • sin x + cos x − = ⇔ cos x − = cos 3 2π + k 2π (k ∈ ]) ⇔ x = k 2π x = π 2π + k 2π (k ∈ ]) Vậy nghiệm phương trình cho x = + kπ, x = k 2π x = 3 3 ⎧( x − 1) − 12( x − 1) = ( y + 1) − 12( y + 1) (1) ⎪ (1,0 điểm) Hệ cho tương đương với: ⎨ 12 12 + y+ = (2) ⎪⎩ x − 2 1 1 Từ (2), suy −1 ≤ x − ≤ −1 ≤ y + ≤ ⇔ − ≤ x − ≤ − ≤ y + ≤ 2 2 2 3 Xét hàm số f (t ) = t − 12t ⎡⎢− ; ⎤⎥ , ta có f '(t ) = 3(t − 4) < , suy f(t) nghịch biến ⎣ 2⎦ Do (1) ⇔ x – = y + ⇔ y = x – (3) 2 3 + x− = ⇔ x − x + = ⇔ x = x = Thay vào (2), ta x − 2 2 3 Thay vào (3), ta nghiệm hệ ( x; y ) = ; − ( x; y ) = ; − 2 2 dx dx Đặt u = + ln( x + 1) dv = , suy du = v = − (1,0 điểm) x +1 x x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( + ln( x + 1) I=− + x = + ln + 3 ∫( ( ) dx ∫ x( x + 1) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 ) + ln x 1 + ln dx = − x +1 x x +1 0,25 2 = + ln − ln 3 (1,0 điểm) 0,25 0,25 S n góc SC (ABC), suy SCH n = 60o Ta có SCH a a Gọi D trung điểm cạnh AB Ta có: HD= , CD = , a a 21 HC = HD + CD = , SH = HC.tan60o = 3 0,25 1 a 21 a a = VS ABC = SH S ∆ABC = 3 12 0,25 Kẻ Ax//BC Gọi N K hình chiếu vng góc H Ax SN Ta có BC//(SAN) BA = HA nên d ( SA, BC ) = d ( B,( SAN )) = d ( H ,( SAN )) Ta có Ax ⊥ ( SHN ) nên Ax ⊥ HK Do HK ⊥ ( SAN ) Suy d ( H ,( SAN )) = HK 0,25 K A x N D C H B AH = 2a a , HN = AH sin 60o = , HK = 3 SH HN SH + HN Trang 2/4 = a 42 a 42 Vậy d ( SA, BC ) = 12 0,25 Câu Đáp án Điểm Ta chứng minh 3t ≥ t + 1, ∀t ≥ (*) (1,0 điểm) Xét hàm f (t ) = 3t − t − , có f '(t ) = 3t ln − > 0, ∀t ≥ f (0) = , suy (*) 0,25 Áp dụng (*), ta có | x− y | + | y− z | + | z− x | ≥ 3+ | x − y | + | y − z | + | z − x | Áp dụng bất đẳng thức | a | + | b | ≥ | a + b | , ta có: (| x − y | + | y − z | + | z − x |) = | x − y |2 + | y − z |2 + | z − x |2 + | x − y |(| y − z | + | z − x |) + | y − z |(| z − x | + | x − y |) ( 2 ) 0,25 + | z − x |(| x − y | + | y − z |) ≥ | x − y | + | y − z | + | z − x | ( ) Do | x − y | + | y − z | + | z − x | ≥ | x − y |2 + | y − z |2 + | z − x |2 = x + y + z − ( x + y + z ) 2 0,25 Mà x + y + z = 0, suy | x − y | + | y − z | + | z − x | ≥ x + y + z Suy P = | x− y | + | y−z | + | z−x | − x + y + z ≥3 Khi x = y = z = dấu xảy Vậy giá trị nhỏ P Gọi H giao điểm AN BD Kẻ đường thẳng qua H 7.a song song với AB, cắt AD BC P Q (1,0 điểm) Đặt HP = x Suy PD = x, AP = 3x HQ = 3x A B Ta có QC = x, nên MQ = x Do ∆AHP = ∆HMQ, suy AH ⊥ HM Hơn nữa, ta có AH = HM M 10 Do AM = MH = 2d ( M ,( AN )) = H Q P A∈AN, suy A(t; 2t – 3) C D 11 45 10 N + 2t − = MA = ⇔ t− 2 2 ) ( ( ) ⇔ t − 5t + = ⇔ t = t = Vậy: A(1; −1) A(4;5) ) JJJG JJJG JJG 2 IH ⊥ AB ⇔ IH a = ⇔ t − + 4t + t − = ⇔ t = ⇒ IH = − ; ; − 3 3 Tam giác IAH vuông cân H, suy bán kính mặt cầu (S) R = IA = IH = Do phương trình mặt cầu cần tìm ( S ): x + y + ( z − 3)2 = 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 9.a n(n − 1)(n − 2) n −1 (1,0 điểm) 5Cn = Cn ⇔ 5n = 0,25 ⇔ n = (vì n nguyên dương) n 0,25 0,25 JJG 8.a Véc tơ phương d a = (1; 2; 1) Gọi H trung điểm AB, suy IH ⊥ AB JJJG (1,0 điểm) Ta có H ∈d nên tọa độ H có dạng H (t −1; 2t ; t + 2) ⇒ IH = (t −1; 2t ; t −1) ( 0,25 0,25 7 2 ⎞ ⎛ x2 ⎞ ⎛ nx ⎛x ⎞ Khi ⎜ − ⎟ =⎜ − ⎟ = C7k ⎜ ⎟ x⎠ ⎝ x ⎠ k =0 ⎝ ⎠ ⎝ 14 ∑ 7−k (− 1x ) = ∑ (−21)7−kC7 x14−3k k k k 0,25 k=0 Số hạng chứa x5 tương ứng với 14 − 3k = ⇔ k = Do số hạng cần tìm (−1)3 C73 35 x = − x5 16 Trang 3/4 0,25 Câu Đáp án 7.b (1,0 điểm) Điểm Phương trình tắc (E) có dạng: y O x2 a2 + y2 b2 = 1, 0,25 với a > b > 2a = Suy a = A x Do (E) (C) nhận Ox Oy làm trục đối xứng giao điểm đỉnh hình vng nên (E) (C) có giao điểm với tọa độ dạng A(t ; t ), t > 0,25 A∈(C) ⇔ t + t = 8, suy t = 0,25 A(2;2) ∈ ( E ) ⇔ 16 4 + = ⇔ b2 = 16 b Phương trình tắc (E) 8.b (1,0 điểm) M thuộc d, suy tọa độ M có dạng M(2t – 1; t; t + 2) x2 y + = 16 16 0,25 0,25 MN nhận A trung điểm, suy N(3 – 2t; – – t; – t) 0,25 N∈(P) ⇔ − 2t − − t − 2(2 − t ) + = ⇔ t = 2, suy M(3; 2; 4) 0,25 Đường thẳng ∆ qua A M có phương trình ∆ : x −1 y + z − = = 9.b Đặt z = a + bi (a, b ∈ \), z ≠ −1 (1,0 điểm) 5( z + i ) = − i ⇔ (3a − b − 2) + (a − 7b + 6)i = Ta có z +1 0,25 0,25 ⎧3a − b − = ⎧a = ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ ⎩ a − 7b + = ⎩b = 0,25 Do z =1+i Suy w = + z + z =1+1+ i + (1+ i )2 = + 3i 0,25 Vậy w = + 3i = 13 0,25 - HẾT - Trang 4/4 ...Câu Đáp án Điểm Phương trình cho tương đương với ( sin x + cos x − 1) cos x = (1,0 điểm) π • cos x = ⇔... = AH sin 60o = , HK = 3 SH HN SH + HN Trang 2/4 = a 42 a 42 Vậy d ( SA, BC ) = 12 0,25 Câu Đáp án Điểm Ta chứng minh 3t ≥ t + 1, ∀t ≥ (*) (1,0 điểm) Xét hàm f (t ) = 3t − t − , có f '(t ) =... tương ứng với 14 − 3k = ⇔ k = Do số hạng cần tìm (−1)3 C73 35 x = − x5 16 Trang 3/4 0,25 Câu Đáp án 7.b (1,0 điểm) Điểm Phương trình tắc (E) có dạng: y O x2 a2 + y2 b2 = 1, 0,25 với a > b > 2a