Giai toan bang cach lap phuong trinh

Hai ngêi cïng nhau s¬n bøc têng míi trong 4 giê th× ngêi thø nhÊt ®i lµm viÖc kh¸c cßn ngêi thø hai ph¶i lµm thªm 2 giê 40 phót n÷a míi xong bøc têng nµy.. Hái mçi ngêi thî lµm riªng mét[r]

Chuyên đề :

Gi¶i toán cách lập ph ơng trình hệ ph ơng

trình

Các bớc giải to¸n :

B ớc : Gọi ẩn đặt điều kiện thích hợp cho ẩn B ớc : Lập phơng trình (dẫn đến hệ phơng trình)

+, Thiết lập mối liên hệ qua ẩn đại lợng biết +, Lập phơng trình (dẫn đến hệ phơng trỡnh)

B ớc : +, Giải phơng trình (hệ phơng trình) +, Đối chiếu điều kiện ban đầu +, Kết luận toán

Một số vấn đề cần l u ý :

Mỗi phơng trình lập đợc từ tốn ngơn ngữ đại số biểu thị tơng quan đại

lợng tốn thơng qua số biết (ẩn số) Để có đợc phơng trình (hệ ph-ơng trình)

tơng ứng với toán (sau hiểu rõ đề toán) ta tiến hành nh sau : 1 , Gọi ẩn số:

Ân cha biết , cần phải tìm Trong toán thông thờng toán yêu cầu tìm

(nhng cỏi gỡ) ta gọi ẩn (những ẩn) Tuy nhiên chọn ẩn nh mà phơng trình

lập đợc lại phức tạp khó khăn cho khâu giải phơng trình (hệ phơng trình) , ta cần thay đổi cách gọi ẩn chọn thêm ẩn ; ẩn có liên quan đến cần tìm tốn cho phép ta lập phơng trình dễ dàng giải

Ví dụ : Một ơtơ dự định quãng đờng AB dài 60 km thời gian định Trên nửa quãng đờng đầu đờng xấu nên thực tế ôtô với vận tốc vận tốc dự định km/h

Để đến B dự định ôtô phải quãng đờng lại 10 km Tính thời gian ơtơ dự định hết quóng ng AB ?

Phân tích cách gọi ẩn :

Nếu ta gọi cần tìm làm Èn

Gọi x (giờ ) thời gian ôtô dự định hết quãng đờng AB ( điều kiện : x > )

 Vận tốc ôtô dự định quãng đờng AB : 60x ( km/h ) Ta có nửa quãng đờng đầu ôtô với vận tốc : 60 6

x  ( km/h )  Thời gian ôtô nửa quãng đờng đầu :

30

60 6x  ( giê )

Ta có nửa quãng đờng sau ôtô vơi vận tốc : 60 10

x  ( km/h )  Thời gian ôtô hết nửa quãng đờng sau :

30

60 10x  ( giê )

Theo ta có phơng trình :

30

60 10x  +

30

60 6x  = x

Ta thấy với cách gọi ẩn , ta giải tìm đợc thời gian ơtơ dự định Nhng phơng trình lập đợc cồng kềnh Ta thay cỏch gi n

Bài giải :

Gi vận tốc ôtô dự định hết quãng đờng AB x ( km/h ) ( điều kiện : x > )

 Thời gian ôtô dự định hết quãng đờng AB : 60

x ( giê )

Ta có vận tốc ôtô nửa quãng đờng đầu : x – ( km/h )

 Thời gian ôtô nửa quãng đờng đàu : 30 6

x ( giê )

Ta có vận tốc ơtơ nửa quãng đờng sau : x + 10 ( km/h )

 Thời gian ôtô nửa quãng đờng sau : 30 10

x ( giê )

Theo ta có phơng trình : 30

6 x +

30 10 x =

60 x

Giải phơng trình ta đợc x = 30 > ( t/m )

Vậy thời gian ôtô dự định hết quãng đờng AB : 60

30 = giê 2 , Lập ph ơng trình :

+ Hỡnh dung thật cụ thể , rõ ràng điều kiện tốn ( quan hệ cần tìm , cha biết cho )

+ Tách phần phiên dịch ngôn ngữ đại số

+ Kết hợp phần phiên dịch ngôn ngữ đại số để biểu diễn đại lợng hai cách khác thành đẳng thức , ta có ph-ơng trình

*, Thơng thờng ta đa ẩn ta cần lập nhiêu phơng trình ( trừ trờng hợp ngoại lệ : đa thêm ẩn phụ vào , sau tìm cách khử hoặc phơng trình dẫn đến phơng trình nghiệm ngun … )

Ví dụ : Một đoàn học sinh tổ chức tham quan ôtô Ngời ta nhận thấy , xe chở 22 học sinh cịn thừa học sinh Nếu bớt ôtô phân bố học sinh ơtơ cịn lại Hỏi lúc đầu có ôtô , biết ôtô chở đợc khụng quỏ 32 hc sinh

Bài giải :

Gọi x số ôtô lúc đầu ( ®iỊu kiƯn : x ; x2 )

Gäi y số học sinh ôtô phải chở sau bớt ôtô ( điều kiện : y ;

22 y 32)

Theo bµi ta có phơng trình : 22x + = y.( x – 1)  22 1 22 23

1 1

x y

x  x

  

 

Do : x – ớc nguyên dơng  1 1 1 23

x x   

 

  

2.( ) 24

x loai x

 

Vậy lúc đầu cã 24 «t«

*, Chú ý : Trong toán giải toán cách lập phơng trình , hệ phơng trình có đại lợng liên quan mật thiết chặt chẽ với ( gần nh nói đến đại lợng phải nghĩ tới quan hệ với đại lợng khác dù đề khơng nói đến đại lợng quan hệ ấy) Chẳng hạn :

+ Bài toán chuyển động : Quãng đờng = Vận tốc Thời gian + Bài toán suất : Sản lợng = Năng suất Thời gian + Bài tốn diện tích :

- , Diện tích hình chữ nhật : Diện tÝch = ChiỊu dµi ChiỊu réng - , DiƯn tÝch tam gi¸c : DiƯn tÝch = 1

2 Chiều cao Cạnh đáy …

A Toán quan hệ số :

1 , Các kiến thức cần nhớ :

+ BiĨu diƠn sè cã hai ch÷ sè : ab = 10a +b ®iỊu kiƯn : < a  ;  b  ; a , b  

+ Số a lớn số b p đơn vị : a = b + p + Số a gấp q số b : a = q.b

+ Số a chia số b ( b  ) đợc thơng số p số d r : a = b.q + r + Tổng hai số a b : a + b

+ TÝch cña hai sè a vµ b : a.b

+ Tỉng bình phơng hai số a b : a2+ b2

+ Bình phơng tổng hai số a vµ b : ( a + b )2

+ Số phơng bình phơng sè …

2 , Bµi tËp vËn dơng :

a , Bài toán bậc :

Bài : Hai số 12 đơn vị Nếu chia số nhỏ cho số lớn cho5 thì thơng thứ nhỏ thơng thứ hai đơn vị Tìm hai số ?

Bài giải :

Gọi x lµ sè nhá , y lµ sè lín

Ta có hai số 12 đơn vị , suy : y = x + 12 (1) Ta có : Thơng số nhỏ chia cho :

7x

Th¬ng cđa sè lín chia cho :

5y

Do thơng thứ nhỏ thơng thứ hai đơn vị  Ta có PT :

5y  7x =  7y – 5x = 140 (2)

Tõ (1) vµ (2) ta cã hƯ PT : 12 7 5 140

y x y x 

   

 

  

12 7( 12) 5 140

y x

x x

    

 

   

28 40

x y     

 

Vëy hai số cần tìm : 28 40

Bài : Cho số có hai chữ số , chữ số hàng chục nửa chữ số hàng đơn vị Nếu đặt số xen vào hai số ta đợc số lớn số cho là 370 đơn vị Tìm số ó cho ?

Bài giải :

Gọi số có hai chữ số cần tìm : ab ( đk : a  ;  b  ; a , b 

 )

Ta có chữ số hàng chục nửa chữ số hàng đơn vị , suy b = 2.a (1) Khi đặt số xen hai số cho ta đợc số : a b1

Theo ta có số lớn số cho 370 đơn vị Suy ta có phơng trình : a b1 - ab = 370

 100a + 10 + b – ( 10a + b ) = 370  90a = 360  a = ( tho¶ m·n ) (2)

Thay (2) vào (1) ta đợc b = 2.4  b = ( thoả mãn ) Vậy số có hai chữ số cần tìm : 48

Bài : Tìm tổng hai số biết : Tích hai số khơng đổi tăng số thứ thêm đơn vị bớt số thứ hai đơn vị giảm số thứ 3 đơn vị tăng số thứ hai đơn vị

Bài giải :

Gọi số thứ số thứ hai lần lợt x y ( đk : x > ; y > )

Khi số thứ tăng đơn vị số thứ hai giảm đơn vị tích vânx khơng đổi

 Ta cã PT : ( x + 1).(y – 1) = x.y  y – x = (1)

Mặt khác số thứ giảm đơn vị số thứ hai tăng thêm đơn vị tích khơng đổi Suy ta có PT : ( x – ).( y + ) = x.y 

2x – y = (2)

Từ (1) (2) ta có hệ phơng tr×nh 1

2 9

y x x y 

   

 

  

5 6

x y     



 ( tháa

m·n )

VËy tỉng cđa hai số cần tìm : x + y = + =11

Bài : Tích hai số 630 Nếu thêm vào số nhân tích 798 Tìm hai s ú ?

Bài giải :

Gọi x , y hai số cần tìm

Ta cã tÝch cđa hai sè lµ 630  x.y = 630 (1)

Khi thêm vào số nhân tích hai số míi lµ : x.( y + ) = 798 (2) Từ (1) (2) ta có hệ phơng tr×nh : . 630

.( 4) 798

x y x y     



  

15 42

x y     

 

( tháa m·n )

VËy hai số cần tìm : 15 42

b , Các toán bậc hai :

Bài : Tìm hai số biết tổng chúng 17 tổng bình phơng chúng là 157

Bài giải :

Gọi x , y hai số cần tìm ( đk : x , y   )

Ta cã tæng hai sè b»ng 17 Suy ta cã PT : x = 17 – y (1)

Ta có tổng bình phơng hai sè lµ 157 Suy ta cã PT : x2+ y2= 157

(2)

Thế (1) vào (2) ta đợc : ( 17 – y )2+ y2 = 157  y2- 17y + 66 = 0

 ( y – ).( y – 11 ) =  6 0 11 0

y y    

 

  

6 11

y y    



 ( tháa m·n )

Vậy hai số cần tìm 11

Bài : Tìm số có hai chữ ? Biết đem chia số cho tổng chữ số đợc thơng d , đem chia số cho tích chữ số của đợc thng l v d

Bài giải :

Gọi số có hai chữ cần tìm xy ( đk : x , y  ; x , y   )

Ta có chia số cho tổng chữ số đợc thơng d  xy = 4.( x + y ) +  10x + y = 4x + 4y +  y = 2x – (1)

Mặt khác chia số cho tích chữ số đợc thơng d  xy = 3.x.y +  10x + y = 3xy + (2)

Thế (1) vào (2) ta đợc : 10x + 2x – = 3x.( 2x – ) +  6x2- 15x + =  ( x – )( 6x – ) = 

2 1 2

x x     

Đối chiếu điều kiện suy x = ( tháa m·n )  y = VËy sè cã hai chữ số cần tìm 23

Bài : T×m hai sè biÕt r»ng ? BiÕt r»ng trung b×nh cộng chúng nhỏ số lớn 24 , trung bình nhân chúng lớn số nhỏ 12

Bài giải :

Gọi x , y hai số cần tìm ( ®k : x > y > )

Ta cã trung b×nh céng cđa hai số lớn số lớn 24

Suy 24

2

x y x

   x = y + 24 (1)

Ta có trung bình nhân hai số lớn số nhỏ 12

Suy x y y.  12  ( x y. )2 = ( y + 12 )2  x.y = y2+ 24y +

144 (2)

Thế (1) vào (2) ta đợc : y.( y + 48 ) = y2+ 24y + 144  24.y = 144

Suy y = ( tháa m·n )  x = 54 ( tháa m·n ) VËy hai số cần tìm 54

Bi : Tìm số có hai chữ số ? Biết tổng bình phơng hai chữ số đó bằng số cộng thêm tích hai chữ số Ngồi lấy số cộng thêm 36 đợc số gồm hai chữ số vit theo th t ngc li

Bài giải :

Gäi sè cã hai ch÷ sè cần tìm xy ( đk : x , y  ; x , y   )

Ta có tổng bình phơng hai chữ số số cộng với tích hai chữ số

Suy ta có phơng trình : x2+ y2= xy + x.y  x2+ y2= 10.x + y + x.y

(1)

Mặt khác số cần tìm cộng với 36 đợc số có hai chữ số viết theo thứ tự ng-ợc lại

Suy ta có phơng trình : xy + 36 = yx  10x + y + 36 = 10y + x 

y = x + (2)

Thế (2) vào (1) ta đợc : x2+ ( x + )2= 10x + x + + x.( x + )

 x2- 7x + 12 =  ( x – )( x – ) =  4 0

3 0

x x   

    

4 3

x x   

  

7 8

y y    

 

Thử lại ta đợc : 3; 7 4; 8

x y

x y

    

 

  ( tháa m·n )

VËy sè cã hai chữ số cần tìm : 37 48

Bài : Tìm số có hai chữ số ? Nếu đem số chia cho tổng số hai chữ số đợc thơng Nếu đem cộng tích hai chữ số với 25 ta có đợc số có hai chữ số viết theo th t ngc li

Bài giải :

Gọi x chữ số hàng đơn vị , y chữ số hàng chục số có hai chữ số cần tìm

(®k :  x , y  ; x , y   )

Ta cã xy = 10x + y ; yx = 10y + x

Theo ta có hệ phơng trình :

10 6

. 25 10

y x x y

x y x y

      

  

  

 x2- 9x + 20

=

 ( x – )( x – ) =  4 0 5 0

x x   

 

  

4 5

x x   

 

Víi x =  y = ( tháa m·n ) Víi x =  y = 25

4 ( kh«ng tháa m·n ) VËy sè cã hai chữ số cần tìm 54

3 , Bài tËp tù luyÖn :

Bài : Tổng hai số 136 Nếu lấy số nhỏ chia cho số lớn chia cho 6 tổng hai thơng 28 Tìm hai số ?

H

íng dÉn :

Gọi x số lớn , y số nhỏ cần tìm ( đk : x , y   ) Hệ phơng trình lập đợc :

136 28 4 6

x y y x     

 

  

64 72

x y     

 

Bài : Chữ số hàng chục số có hai chữ số lớn chữ số hàng đơn vị là Nếu đổi chỗ hai chữ số cho đợc có hai chữ số 5

6 sè ban

đầu Tìm số có hai chữ số ban đầu ? H

íng dÉn :

Gọi x , y lần lợt chữ số hàng chục hàng đơn vị số có hai chữ số cần tìm

(®k :  x , y  ; x , y  )

Hệ phơng trình lập đợc :

1 5. 6 x y yx xy        

 5

4 x y       

Bài : Tìm hai số biết tổng chúng 156 Nếu lấy số lớn chia số nhỏ đợc thơng số d

H

íng dÉn :

Gọi x , y lần lợt số lớn số nhỏ hai số cần tìm ( < y < x < 156 ; x , y   )

Hệ phơng trình lập đợc : 156 3 4 x y x y           118 38 x y       

Bài : Tìm số có hai chữ số ? Biết chữ số hàng chục gấp đôi chữ số hàng đơn vị Nếu đổi chữ số hàng chục hàng đơn vị cho đợc số mới có hai chữ số nhỏ số ban đầu 36 đơn vị

H

íng dÉn :

Gọi xy số có hai chữ số cần tìm (đk : x , y ; x , y  

)

Hệ phơng trình lập đợc : 2 36 x y xy yx          8 36 x y       

Bµi : T×m hai sè biÕt r»ng tỉng cđa hai số 13 tổng bình phơng chúng bằng 97

H

íng dÉn :

Gọi x số thứ hai số cần tìm ( đk : x < 13 ) Phơng trình lập đợc : x2+ ( 13 – x )2= 97  4

9 x x     

Bài : Tìm số có hai chữ số ? biết số gấp lần tổng hai chữ số của thêm 13 vào tích hai chữ số đợc số viết theo thứ tự ngợc lại

H

íng dÉn :

Gäi sè có hai chữ số cần tìm xy (đk :  x , y  ; x , y  

)

Hệ phơng trình lập đợc : 8( ) . 13

xy x y x y yx           7 2 x y       

Bài : Tìm số có hai chữ số ? Biết chữ số hàng chục hai lần chữ số hàng đơn vị cộng thêm tổng hai chữ số số nguyên tố nhỏ có hai chữ số

H

ớng dẫn :

Gọi số cần tìm có hai chữ số cần tìm ab ( đk :  a  ;  b  ; a , b  )

Bài : Một phân số có tổng tử số mẫu số 107 Nếu lấy mẫu số trừ đi hai lần tử số đợc 11 Tìm phân số ?

H

íng dÉn :

Gọi x tử số , y mẫu số phân số cần tìm ( đk : y  ) Hệ phơng trình lập đợc : 107

2 11

x y y x 

   

 

  

32 75

x y     

 

Bài : Tìm số ó hai chữ số ? Biết tổng hai chữ số 12 và khi thay đổi thứ tự hai chữ số cho ta đợc số lớn số cũ 18 H

íng dÉn :

Gọi số có hai chữ số cần tìm : xy (đk : x , y  ; x , y   )

Hệ phơng trình lập đợc : 12 18

x y yx xy 

   

 

  

5 7

x y     

 

Bµi 10 : Tìm hai số , biết hai lần số thứ nhiều lần số thứ hai là 5 hiệu bình phơng chúng 351

H

íng dÉn :

Gọi hai số cần tìm x y ( đk : x > y ; x , y  * ) Hệ phơng trình lập đợc :

2 5 5 2 2 351

x y x y 

   

   

 20 7

x y    

B Toán làm chung , làm riêng công việc

1 , Các kiến thức cần nhớ :

*, Tốn làm chung , làm riêng có ba đại lợng tham gia :

+ Toàn công viÖc

+ Phần làm việc đơn vị thời gian ( suất ) + Thời gian

*, Năng suất làm việc : Đa đơn vị thời gian ( chẳng hạn : ngày , 1 giờ , … )

*, Nếu đội làm xong công việc a (đơn vị thời gian) (đơn vị thời gian) đội làm đợc 1

a c«ng viƯc

*, Nếu tốn đối tợng hồn thành cơng việc với nội dung chung nh : công việc , đào mơng , làm cánh đồng , nớc chảy vao một bể nớc … ta hiểu hồn thành cơng việc

2 , Bµi tập vận dụng :

a , Các toán bậc :

*, Bài tập tổng quát :

Hai đội A B làm chung cơng việc thời gian a hồn thành Nếu hai đội làm chung với b thời gian ( b < a ) , đội A chuyển làm công việc khác, đội B làm cơng việc cịn lại thời gian c hồn thành Hỏi đội làm sau hồn thành cơng việc ?

*, Lêi gi¶i mÉu :

Gọi thời gian để đội A đội B làm hồn thành cơng việc lần l ợt x y

( ®iỊu kiÖn : x , y > a )

Trong đơn vị thời gian : Đội A làm đợc 1

x (công việc) , đội B làm đợc 1y

(công việc) hai đội làm đợc 1

a (c«ng viƯc)

Suy ta có phơng trình : 1

x + 1y = 1a (1)

Trong b thời gian : Đội A làm đợc b

x (công việc) , đội B làm đợc by (công việc)

Trong c thời gian đội B làm đợc cy (công việc) Theo ta có phơng trình : b

x + by + cy = (2)

Từ (1) (2) ta có hệ phơng trình :

1 1 1

x y a b b c

x y

      

  

 

 …  x y

      

 

Đối chiếu điều kiện : x

y

     



 ( tháa m·n )

Vậy đội A làm xong cơng việc sau  thời gian , cịn đội B làm xong cơng việc sau  thời gian

Bài : Hai máy cày làm việc cánh đồng Nếu hai máy cày cùng làm sau 10 ngày xong công việc Nhng thực tế hai máy làm việc 7 ngày đầu , sau máy thứ nghỉ , máy thứ hai làm tiếp ngày mới xong Hỏi máy làm cày xong cánh đồng ? Bài giải :

Gọi thời gian để máy thứ nhất, máy thứ hai làm xong cánh đồng lần lợt x y

Điều kiện : x , y > 10 ngày Trong ngày : Máy thứ làm đợc 1

x cánh đồng, máy thứ hai làm đợc

1

y cánh đồng

hai máy làm đợc 1

10 cánh đồng Suy ta có PT : 1x + 1y = 101

(1)

Trong ngày: Máy thứ làm đợc7

xcánh đồng, máy thứ hai làm đợc7y

cánh đồng

ngày máy thứ hai đợc 9

y cánh đồng Suy ta có PT : 7x +

7 9

y

 =

Tõ (1) vµ (2) ta cã hƯ PT :

1 1 1 10 7 16 1

x y x y 

     

   



7 7 7 10 7 16 1

x y x y 

     

   



15 30

x y     



 (tháa m·n)

Vậy máy thứ làm 15 ngày , máy thứ hai làm 30

ngày xong cánh đồng

Bài : Hai ngời thợ đợc giao sơn tờng Hai ngời sơn , sau ngời thứ hai nghỉ , ngời thứ tiếp tục làm xong tồn tờng Ngày hơm sau họ lại đợc giao sơn tờng lần trớc Hai ngời sơn tờng ngời thứ làm việc khác ngời thứ hai phải làm thêm 40 phút xong tờng Hỏi ngời thợ làm riêng thời gian sơn xong cả tờng ? Biết suất làm việc ngời thợ không thay đổi Bài giải :

Gäi thêi gian ngêi thỵ thø nhÊt , ngêi thỵ thứ hai làm sơn xong tờng

lần lợt x y (giờ) ( điều kiện : x , y >5 ) Trong ngời thứ sơn đợc 1

x tờng , ngời thứ hai sơn đợc 1y

bøc têng

Suy ngời thứ sơn đợc 5

x tờng , ngời thứ hai sơn đợc 5y

bøc têng

Theo bµi ta cã PT : 5

x + 5y + 1x =  6x + 5y = (1)

Trong ngời thứ sơn đợc 4

x tờng , ngời thứ hai sơn đợc 4y

bøc têng

Trong giê 40 = 8

3 ngời thứ hai làm đợc 38y tờng

Theo bµi ta cã PT : 4

x + 4y + 38y =  4x + 203x = (2)

Tõ (1) vµ (2) ta cã hƯ PT :

6 1 4 20 13

x y x y            

12 10 2 12 20 3

x y x y             10 1 12 20 3

y x y            10 12 y x       

Đối chiếu điều kiện suy 10 12 y x      

 ( tháa m·n )

VËy ngời thứ sơn xong tờng 12 giờ, ngời thứ hai sơn xong

tờng 10

Bài : Hai đội công nhân sửa đờng sau ngày hồn thành Nếu hai đội làm ngày đội I nghỉ , để đội II làm thì phải 10 ngày hồn thành cơng việc Hỏi đội làm một mình ngày xong đờng ?

Bµi gi¶i :

Gọi x , y lần lợt số ngày mà đội I đội II làm xong cơng việc

Điều kiện : x > ; y > 12 Trong ngày đội I làm đợc 1

x đờng, đội II làm đợc 1y đờng

hai đội làm đợc 1

6 đờng Suy ta có PT : 1x + 1y = 16 (1)

Trong ngày đội I làm đợc 2

x đờng , đội II làm đợc 2y đờng

Trong 10 ngày đội II làm đợc 10y công việc Suy ta có PT : 2

x + 2y + 10y =  2x + 12y = (2)

Tõ (1) vµ (2) ta cã hÖ PT :

1 1 6 2 12 1

x y x y            

2 1 3 2 12 1

x y x y             10 2 3 2 12 1

y x y          

 10

§èi chiÕu ®iỊu kiƯn suy 10 15

x y     



 tháa m·n

Vậy đội I làm xong đờng 10 ngày , đọi II làm xong

đờng 15 ngày

*, Bµi tËp tỉng qu¸t :

Hai vịi nớc chảy vào bể cạn khơng có nớc sau a bể đầy Nếu để vòi I chảy b tắt vịi I , mở vịi II chảy c cả hai vòi chảy đợc m

n bể Hỏi để vịi chảy sau bao lõu b

đầy ?

*, Lời giải mẫu :

Gọi x , y ( giờ) lần lợt thời gian vòi I vòi II chảy đầy bể ( đk : x , y > a )

Trong vòi I chảy đợc 1

x bể , vòi II chảy đợc 1y hai vòi chảy đợc 1a bể

Suy ta có phơng trình : 1

x + 1y = 1a (1)

Trong b vòi I chảy đợc b

x bể , c vòi II chảy đợc c y b

Theo ta có phơng trình : b

x + c

y = mn (2)

Từ (1) (2) ta có hệ phơng tr×nh :

1 1

x y a b c m

x y n 

     

   

 …  x

y 

     

 

Đối chiếu điều kiện , suy x

y 

     



 tháa m·n

VËy thêi gian vòi I chảy đầy bể , vòi II chảy đầy bể

Bài : Nếu cho hai vòi nớc chảy vào bể sau 20 phút bể đầy Nếu mở vòi thứ chảy 10 phút vòi II chảy 12 phút thì đầy bể

15 Hỏi vòi chảy bể đầy ? Bài giải :

Gọi x , y (giờ) lần lợt thời gian vòi I vòi II chảy đầy bĨ §iỊu kiƯn : x , y > giê 20 =

3 giê

Trong vòi I chảy đợc 1

x bể, vòi II chảy đợc 1y bể hai vòi chảy

đợc 1 4 3

Suy ta cã ph¬ng tr×nh : 1

x + 1y = 34 (1)

Trong 10 = 1

6 vòi I chảy đợc 61x bể, 12 phút = 15 vòi II chảy đợc 51y bể Suy ta có phơng trình : 1

6x + 51y = 152

(2)

Tõ (1) vµ (2) ta có hệ phơng trình :

1 3 4 1 1 2

5

6 15

x y y x       

   



1 3 4 1 6 4

5 5

x y x y 

     

     2

4

x y     

 

§èi chiÕu ®iỊu kiƯn suy 2 4

x y     



 tháa m·n

VËy vßi I chảy đầy bể giờ, vòi II chảy đầy bể

Bài : Hai vòi nớc chảy vào bể lớn 10 bể đầy Nếu vòi I chảy vòi II chảy hai vịi chảy đợc 2

5 bể Hỏi mỗi vòi chảy sau bể đầy ?

Bài giải :

Gọi x , y lần lợt thời gian vòi I vòi II chảy đầy bể ( đk : x , y > 10 )

Trong vòi I chảy đợc 1

x bể, vòi II chảy đợc 1y bể hai vòi chảy

đợc 1 10 bể

Suy ta có phơng trình : 1

x + 1y = 101 (1)

Trong vòi I chảy đợc 6

x bể , vòi II chảy đợc 3y bể

Theo ta có phơng trình : 6

x + 3y = 52 (2)

Tõ (1) vµ (2) ta có hệ phơng trình :

1 1 1 10 6 2

5 x y x y            

6 3 5 6 2 5 x y x y             30

15 x y      

Đối chiêu điều kiện suy 30 15 x y      

 tháa m·n

Vậy chảy vòi I chảy 30 , vòi II chảy 15

Bài : Hai vòi nớc chảy vào bể sau 20 phút bể đầy Ngời ta cho vòi thứ chảy , vòi thứ hai chảy hai vòi chảy đầy bể Hỏi vòi chảy sau bể đầy ? Bài giải :

Gọi x , y lần lợt thời gian vòi I vòi II chảy đầy bể (®k : x > 10

3 , y > 4)

Trong vòi I chảy đợc 1

x bể , vòi II chảy đợc 1y bể hai vòi

chảy đợc

1 10

3

= 3

10 bÓ Suy ta cã phơng trình : 1x + 1y = 103 (1)

Trong vòi I chảy đợc 3

x bể , vòi II chảy đợc 4y bể

Theo bµi ta có phơng trình : 3

x + 4y = (2)

Tõ (1) vµ (2) ta có hệ phơnh trình :

1 1 3 10 3 1

x y x y            

3 3 9 10 3 1

x y x y             5

10 x y    

Đối chiếu điều kiện suy 5 10 x y      

 tháa m·n

Vậy chảy vòi I chảy , vòi II chảy 10 đầy bể

*, Bài tập tổng quát :

Hai tổ dự định sản xuất đợc a sản phẩm thời gian định Do áp dụng kỹ thuật nên tổ I làm vợt mức b% tổ II làm vợt mức c% , thời gian quy định hai tổ làm

đợc d sản phẩm ( d > a ) Hỏi theo kế hoạch tổ phải sản xuất sản phẩm ?

*, Lêi gi¶i mÉu :

Gäi x , y lần lợt số sản phẩm mà tổ I tổ II phải sản xuất theo kế hoạch §iỊu kiªn : < x , y < a ; x , y  

Ta có theo kế hoạch hai tổ sản xuất đợc a sản phẩm Suy ta có PT : x + y = a (1)

Trong thực tế:Tổ I làm vợt mức b% Suy tổ I làm đợc số sản phẩm là: x+x.b% = (100 ).

100b x

còn tổ II làm vợt mức c% Suy tổ II làm đợc số sản phẩm : y + y.c% = (100 ).

100c y

Theo ta có phơng trình : (100 ).

100b x + (100100c y). = d (2)

Tõ (1) (2) ta có hệ phơng trình : (100 ). (100 ).

100 100

x y a

b x c y d

    

 

     …

 x

y 

     



Đối chiếu điều kiện suy x

y 

     



 ( tháa m·n )

Vậy theo kế hoạch tổ I phải làm  sản phẩm , tổ II phải làm  sản phẩm Bài : Theo kế hoạch hai tổ phải sản xuất 600 sản phẩm thời gian nhất định Do áp dụng kỹ thuật nên tổ I làm vợt mức 18% , tổ II làm vợt mức 21% , thời gian định hai tổ làm đợc 720 sản phẩm Hỏi theo kế hoạch tổ sản xuất đợc sản phm ?

Bài giải :

Gọi x , y lần lợt số sản tổ mà I tổ II phải sản xuất theo kế hoạch Điều kiện : < x , y < 600 ; x , y  

Theo kế hoạch hai tổ sản xuất phải sản xuất đợc 600 sản phẩm Suy ta có phơng trình : x + y = 600 (1)

Trong thực tế : Tổ I sản xuất đợc x + x.18% = 118

100x sản phẩm , tổ II sản xuất đợc : y + y.21% = 121

100y sản phẩm Theo ta có phơng trình : 118

100x + 121100y = 720 (2)

Tõ (1) (2) ta có hệ phơng trình :

600 121

118 720

100 100

x y y x

    

 

 



600 118 121 72000

x y

x y

    

 

  

200 400

x y     



 Đối chiếu điều kiện suy

ra 200

400

x y     



 ( tháa m·n )

Vậy số sản phẩm phải làm theo kế hoạch tổ I 200 sản phẩm, tổ II phải làm 400 sản

phẩm

Bài : Theo kế hoạch hai tổ lao động phải làm 110 chi tiết máy Nhng cải tiến kỹ thuật nên tôt I làm vợt mức 14% kế hoạch , tổ II làm vợt mức 10% kế hoạch , nên hai tổ làm đợc số sản phẩm vợt mức dự định là 13 sản phẩm Hỏi theo kế hoạch tổ phải làm chi tiết máy ? Bài giải :

Gọi x , y lần lợt số chi tiết máy mà tổ I tổ II phải làm theo kế hoạch Điều kiện : < x , y < 110 ; x , y  

Theo kÕ ho¹ch hai tổ phải làm 110 chi tiết máy Suy ta cã PT : x + y = 110 (1)

Trong thùc tÕ: Tỉ I lµm vợt mức 14

100x chi tiết máy, tổ II làm vợt mức 10100y chi tiết máy

Suy ta có phơng trình : 14

100x + 10100y = 13  14x + 10y = 1300

(2)

Tõ (1) vµ (2) ta có hệ phơng trình : 110 14 10 1300

x y

x y

    

 

  

50 60

x y    

Đối chiếu điều kiÖn suy 50 60

x y     



 ( tháa m·n )

VËy sè chi tiÕt m¸y làm theo kế hoạch tổ I 50 chi tiết máy , tổ II 60 chi tiết

m¸y

Bài : Trong tháng đầu , hai tổ sản xuất đợc 500 chi tiết máy Trong tháng hai , tổ I làm vợt mức 10% , tổ II làm vợt mức 15% , cuối tháng hai tổ sản xuất đợc 560 chi tiết máy Tính xem tháng đầu tổ sản xuất đợc bao nhiêu chi tiết máy ?

Bài giải :

Gi x số chi tiết máy tổ I làm đợc tháng đầu ( đk : < x < 500 ; x   )

Suy tháng đầu tổ II làm đợc 500 – x chi tiết máy

Số chi tiết máy làm vợt mức tổ I tháng hai 10

100x ( chi tiÕt m¸y )

Sè chi tiÕt m¸y làm vợt mức tổ II tháng hai 15(500 )

100 x

( chi tiÕt m¸y )

Số chi tiết máy hai tổ làm vợt mức tháng hai 560 500 = 60 chi tiÕt m¸y

Theo bµi ta cã PT : 10

100x + 15(500100 x) = 60  10x + 15( 500

– x ) = 6000

 5x = 1500  x = 300 §èi chiÕu ®iỊu kiƯn suy x = 300 tháa m·n

Vậy tháng đầu tổ I làm đợc 300 chi tiết, tổ II làm đợc 500 – 300 = 200 chi tiết

L

u ý : Trong toán ta cã thĨ gi¶i theo lêi gi¶i nh bµi tËp ; vµ

b , Các toán bậc hai :

*, Bài tËp tỉng qu¸t :

Hai đội cơng nhân làm chung cơng việc sau a ( ngày … ) hoàn thành Nếu đội làm để xong cơng việc tổng thời gian hai đội phải làm b ( ngày … ) Tính xem đội làm xong công việc ?

*, Lêi gi¶i mÉu :

Gọi x thời gian đội I làm xong cơng việc ( đk : a < x < b )

Do tổng thời gian đội I đội II làm xong cơng việc b ( ngày )

…

Suy thời gian đội II làm xong cơng việc : b – x ( ngày … ) Trong ( ngày … ) đội I làm đợc 1

x công việc , đội làm đợc b x1 công việc

và hai đội làm đợc 1

a công việc Suy ta có phơng trình : 1x + b x1 = 1 a

Giải phơng trình ta đợc : x =  , x =

Đối chiếu điều kiện suy : x = … , x = … ( tháa m·n )

Vậy thời gian đội I làm xong cơng việc … ( ngày … ) , cịn đội II làm xong công việc … ( ngày … )

Bài : Hai đội công nhân đào chung mơng cơng việc hồn thành sau Nếu đội làm mơng tổng thời gian hai đội phải làm 25 Hỏi đội làm xong mơng bao lâu ?

Bµi gi¶i :

Gọi x thời gian đội I làm xong mơng ( đk : < x < 25 )

Do tổng thời gian đội I đội II làm xong mơng 25

Suy thời gian đội II làm xong mơng 25 – x

Trong đội I làm đợc 1

x mơng , đội II làm đợc 251 x mơng

và hai

lm c 1

6 m¬ng

Suy ta có phơng trình : 1

x + 251 x = 1

6  x2- 25x + 150 =

 ( x – 10 ).( x – 15 ) =  10

15

x x   



Đối chiếu điều kiện suy

10 15

x x   



 tháa m·n

Vậy đội I làm xong mơng 10 đội II làm

xong mơng 15 ngợc lại

Bài : Hai đội công nhân làm chung cơng việc sau 12 ngày sẽ hồn thành Nếu để đội làm đội thứ làm xong cơng việc ít đội thứ II 10 ngày Hỏi đội II làm xong cơng việc bao lâu ?

Bài giải :

Gi x (ngy) thời gian đội II làm xong cơng việc ( đk : x > 12 ; x  )

Ta có thời gian đội I làm thời gian đội II 10 ngày Suy thời gian đội I làm xong cơng việc x – 10 ngày Trong ngày đội I làm đợc 1

xcông việc, đội II làm đợc x110 công việc hai đội

làm đợc 1

12 c«ng viƯc

Theo ta có phơng trình : 1

x + x110 = 1

12  x2 - 34x + 120 =

0

 ( x – ).( x – 30 ) =  4 30

x x   

Đối chiếu điều kiện suy x

= 30 tháa m·n

Vậy thời gian đội II làm xong cơng việc 30

Bài : Hai đội công nhân làm chung công việc ngày đợc

5

6 cơng việc Nếu làm riêng đội II hồn thành công việc sớm hơn

đội I ngày Hỏi đội I làm xong cơng việc ? Bài giải :

Gọi x(ngày) thời gian đội I làm để hồn thành cơng việc.(đk : x > 5; x  )

Ta có thời gian đội II làm để hồn thành cơng việc thời gian đội I làm

xong công việc ngày

Suy thời gian đội II làm để hồn thành cơng việc x – ngày

Trong ngày đội I làm đợc 1

x công việc, đội II làm đợc x1 5 công việc Suy ngày đội I làm đợc 5

x công việc, đội II làm đợc x5 5 cơng việc

Theo bµi ta có phơng trình : 5

x + x5 5 =

5

6  x2- 17x + 30 =  ( x – ).( x – 15 ) =  2

15

x x   



Đối chiếu điều kiện suy x =

15 tháa m·n

Vậy đội I hồn thành cơng việc 15 ngày

*, Bài tập tổng quát :

Hai vòi nớc chảy vào bể sau a bể đầy Nếu vòi chảy cho đầy bể vòi I cần nhiều thời gian vòi II b Hỏi vòi chảy sau bể đầy ?

*, Lời giải mẫu :

Gọi x (giờ) thời gian vòi II chảy đầy bể ( điều kiện : x > a )

Do thời gian vòi I chảy đầy bể nhiều thời gian vòi II chảy đầy bể b

Suy thời gian vịi I chảy đẩy bể x + b ( ) Trong vòi I chảy đợc 1

x bể , vòi II chảy đợc x b1 bể hai vòi chảy đợc

1

a bÓ

Suy ta có phơng trình : 1

x + x b1 =

1 a

Giải phơng trình ta đợc : x =  ; x = 

Đối chiếu điều kiện suy : x = … ; x = … tháa m·n

VËy thêi gian vòi I chảy đầy bể , vòi II chảy đầy bể lµ … giê

Bài : Hai vịi nớc lúc chảy vào bể sau 12 bể đầy Nếu để vòi chảy cho đầy bể vịi I chảy đầy bể thời gian vịi II 10 Hỏi vịi chảy sau bao lõu thỡ b y ?

Bài giải :

Gọi x (giờ) thời gian vòi I chảy đầy bể ( điều kiện : x > 12 )

Do thêi gian vòi I chảy đầy bể thời gian vòi II chảy đầy bể

10 Suy thời gian vịi II chảy đầy bể x + 10 Trong vòi I chảy đợc 1

x bể, vòi hai chảy đợc x110 bể hai vòi

chảy đợc 1

12 bÓ Suy ta cã PT : 1x + x110 =

1

12  x2- 14x – 120 =

 ( x + ).( x – 20 ) =  6 20

x x   



Đối chiếu điều kiện suy x

= 20 tháa m·n

VËy thêi gian vòi I chảy đầy bể 20 , vòi II chảy đầy bể lµ

30 giê

Bµi : Hai vòi nớc chảy vào bể sau bể đầy vòi chảy cho đầy bể vòi thứ II cần thời gian vòi I Hỏi thời gian vòi chảy đầy bể ?

Bài giải :

Gäi x (giê) lµ thêi gian vòi II chảy đầy bể ( ®k : x > ) Do thêi gian vòi chảy vòi II cần thời gian vòi I

Suy thời gian vòi I chảy đầy bể x + Trong vòi I chảy đợc 1

5

x bể, vòi II chảy đợc

1

x bể hai vòi

chy c 1

6 bÓ Suy ta có phơng trình : x15 + 1

x = 16 

x2- 7x – 30 =0

 ( x + ).( x – 10 ) =  3 10

x x   



 Đối chiếu điều kiện suy x

= 10 tháa m·n

VËy thêi gian ch¶y đầy bể vòi I 15 , vòi II 10

Bài : Hai vòi nớc chảy vào bể sau 12 phút bể đầy Nếu vòi I chảy đầy nửa bể vòi II chảy tiếp cho đầy bể tổng thời gian hai vòi chảy 25 phút Hỏi vòi chảy đầy bể bao nhiêu thời gian ?

Bài giải :

Gọi x (phút) thời gian vòi I chảy đầy bể ( điều kiện : 12 < x < 50 )

Do tổng thời gian vòi I chảy nửa bể vòi II chảy nửa bể 25

Suy thời gian vịi II chảy đầy bể 50 – x phút Trong phút vòi I chảy đợc 1

x bể, vòi II chảy đợc 501 x bể hai vòi

chảy đợc 1

12 bÓ Suy ta cã phơng trình : 1x + 501 x = 1

12  x2- 50x + 600 =

 ( x – 20 ).( x – 30 ) =  20 30

x x   



Đối chiếu điều kiện

20 30

x x   



 tháa m·n

VËy thêi gian vòi I chảy đầy bể 20 phút , vòi II chảy đầy bể

30 phút ngợc lại

3 , Bµi tËp tù lun :

Bài : Hai máy cày làm chung cày xong cánh đồng Nếu máy thứ cày máy thứ hai cày tiếp hai máy cày đợc 14

15 cánh đồng Hỏi để máy làm riêng trong bao lâu cày xong cánh đồng ?

H

íng dÉn :

Gäi x , y (giờ) thời gian lần lợt máy thứ máy thứ hai cày

xong cánh đồng ( đk : x , y > )

Hệ phơng trình lập đợc :

1 1 5 2 14

15

x y x y       

   



15 2 15

x y     

 

Bài : Hai máy cày có cơng suất khác làm việc cày đợc 1

6 cánh đồng 15 Nếu máy thứ làm 12 , máy thứ hai làm 20 hai máy cày đợc 20% cánh đồng Hỏi nếu mỗi máy làm việc riêng cày xong cánh đồng ?

H

íng dÉn :

Gäi x, y (giờ) lần lợt thời gian máy thứ máy thứ hai làm việc cày

xong cánh đồng ( điiêù kiện : x , y >15 )

Hệ phơng trình lập đợc :

15 15 1 6 12 20 1 5

x y x y 

     

   

 300 200

x y     

 

Bài : Hai ngời làm chung ơng việc tong ngày hồn thành Nếu ngời thứ làm ngày , ngời thứ hai đến ùng làm 1 ngày xong Hỏi ngời làm sau hồn thành cơng việc ?

H

íng dÉn :

Gäi x , y ( ngµy ) lần lợt thời gian ngời thứ ngời thứ hai làm

xong công việc ( điều kiện : x , y > ; x , y   )

Hệ phơng trình lập đợc :

1 1 4 10 1

x y x y 

     

   

 12 6

x y     

 

Bài : Trong tháng giêng hai tổ sản xuất đợc 720 chi tiêt máy Trong tháng hai tổ I làm vợt mức 12% , tổ II làm vợt mức 15% nên hai tổ làm đợc 819 chi tiiết máy Hỏi tháng giêng tổ sản xuất đợc chi tiết máy ? H

íng dÉn :

Gọi x , y lần lợt số chi tiết máy mà tổ I tổ II sản xuất đợc tháng giêng

Điều kiện : x , y   Hệ phơng trình lập đợc :

720 115.

112. 819

100 100

x y y x

    

 

 



300 420

x y     

 

Bài : Hai ngời thợ làm chung cơng việc 16 hồn thành Nếu ngời thứ làm ngời thứ hai làm thì họ làm đợc 25% công việc Hỏi ngời làm cơng việc trong bao lâu xong cơng việc ?

H

íng dÉn :

Gäi x , y ( giê ) lần lợt thời gian ngời thứ ngời thứ hai làm

xong công viƯc ( ®iỊu kiƯn : x , y > 16 )

Hệ phơng trình lập đợc :

1 1 1 16 3 1

4

x y x y 

     

   

 24 48

x y     

 

Bài : Hai lớp 9A 9B lao động trồng , cơng việc hồn thành trong 4 Hỏi làm riêng cơng việc lớp phải bao nhiêu thời gian , biết lớp 9A hồn thành cơng việc sớm lớp 9B 6 giờ

H

íng dÉn :

Gäi x (giê) lµ thêi gian líp 9A lµm mét xong công việc trồng ( đk : x > 4)

Phơng trình lập đợc : 1 1 1

6 4

x x    x =

Bài : Hai xe tải phải chuyên chở số hàng Nếu sau xe thứ nhất chở đợc 3

5 sè hµng , xe thứ hai chở nốt số hàng lại phải 12 giờ xong Hỏi xe chở hết số hàng ?

H

íng dÉn :

Gọi x , y (giờ) lần lợt thời gian xe I xe II chở hết số hàng

Điều kiện : x , y >

Hệ phơng trình lập đợc :

1 1 6 12 2

5

x y y       

  



15 2 30

x y     

 

Bài : Hai ngời làm chung việc dự định 12 xong Trong thực tế , họ

chỉ làm chung với ngời thứ nghỉ , ngời thứ hai tiếp tục làm Do cố gắng tăng suất gấp đôi , nên ngời thứ hai làm xong phần việc lại 20 phút Hỏi ngời thợ làm mình với suất dự định phải làm xong cơng việc nói ? H

íng dÉn :

Gọi x , y (giờ) lần lợt thời gian ngời thứ ngời thứ hai làm với suất dự kiến để xong cơng việc nói

§iỊu kiƯn : x , y > 12

Hệ phơng trình lập đợc :

1 1 1 12 2 10 1.

3 3

x y y       

  

 30 20

x y     

Bài : Trong dịp đầu xuân , hai lớp 9A 9B tổ chức trồng 170 xanh quanh bờ ao Mỗi học sinh lớp 9A trồng , học sinh 9B trồng Biết học sinh lớp 9A nhiều số học sinh lớp 9B em Tính số học sinh lớp ?

H

íng dÉn :

Gọi x , y lần lợt số học sinh lớp 9A lớp 9B ( đk : x > y > ; x , y   )

Hệ phơng trình lập đợc : 5 3 2 170

x y x y 

   

 

  

36 31

x y     



Bài 10 : Hai vòi nớc chảy vào bể cạn nớc chảy đầy bể trong 55 phút Nếu chảy riêng vòi thứ chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai Hỏi chảy riêng vòi chảy đầy bể trong bao l©u ?

H

íng dÉn :

Gäi x , y (giê) lÇn lợt thời gian vòi thứ vòi thứ hai chảy đầy bể

Điều kiện : x > y > 35 12 Hệ phơng trình lập đợc :

2 1 12

35

x y x y       

 

  

5 7

x y     

 

Bài 11 : Để chào mừng ngày thành lập đoàn 26-3 , hai chi đoàn học sinh tham gia lao động đào đắp đờng Mỗi chi đoàn phải làm 240 m đờng trong một thời gian quy định Mỗi ngày chi đoàn I làm đợc nhiều chi đoàn II là 8 m hoàn thành cơng việc sớm chi đồn II ngày Hỏi thời gian quy định cho chi đoàn ?

H

íng dÉn :

Gọi x (ngày) thời gian quy định cho chi đồn để hồn thành cơng việc

§iỊu kiƯn : x > ; x  

Phơng trình lập đợc : 240 240 8

3 2

x  x   x =

Bài 12 : Có hai tổ sản xuất tham gia lao động Nếu làm riêng tổ I làm xong công việc trớc tổ II Xác định thời gian tổ làm riêng để xong

cơng việc ? Biết tổng bình phơng cơng việc tổ làm đợc 1 giờ 5

16

H

íng dÉn :

Gäi x (giê) lµ thêi gian tỉ I lµm xong công việc ( đk : x > )

Phơng trình lập đợc : 1 2

x      

+ 1 2

2

x       

= 5

16  x = Bài 13 : Hai đội công nhân làm chung ngày đợc 16

21 c«ng

việc Nếu làm riêng đội I làm xong công việc trớc đội II ngày Tính thời gian đội làm riêng xong cơng việc ?

H

íng dÉn :

Gọi x ( ngày) thời gian đội I làm xong cơng việc ( đk : x   )

Phơng trình lập đợc : 3 3 16 2 21

x x    x =

Bài 14 : Hai tổ làm chung cơng việc 15 xong Nếu tổ I làm , tổ II làm hai tổ làm đợc 25% công việc Hỏi mỗi tổ làm riêng hồn thành cơng việc ? H

íng dÉn :

Gäi x , y (giê) lần lợt thời gian tổ I tổ II làm xong công việc

§iỊu kiƯn : x , y > 15

Hệ phơng trình lập đợc :

1 1 1 15 3 1

4

x y x y 

     

   

 24 40

x y     

 

Bài 15 : Hai ngời thợ làm chung công việc 18 xong Nếu ngời thứ làm nghỉ ngời thứ hai tiếp tục làm giờ thì họ làm đợc 1

3 công việc Hỏi làm ngời hoàn thành

cụng vic ú ? H

íng dÉn :

Gọi x , y ( ) lần lợt lµ thêi gian ngêi thø nhÊt vµ ngêi thø hai làm

cụng vic ú ( điều kiện : x , y > )

Hệ phơng trình lập đợc :

1 1 1 18 4 1

3

x y x y 

     

   

 54 27

x y     

 

Bài 16 : Trên cánh đồng ngời ta cấy 30 giống lúa 20 giống lúa cũ thu hoạch đợc 230 thóc Hỏi suất loại lúa bao nhiêu ? Biết 1,5 trồng lúa thu hoạch đợc trồng lúa cũ là 0,5

H

íng dÉn :

Gäi x , y ( tấn/ ) suất lần lợt giống lúa giống lúa cũ

Điều kiện : < x , y < 230 Hệ phơng trình lập đợc : 30 20 230

2 1,5 0,5

x y

y x

    

 

  

5 4

x y     

 

Bài 17 : Hai tổ học sinh tham gia vệ sinh sân trờng sau 30 phút sẽ xong Nếu tổ I làm 20 phút , tổ II làm 15 phút hai tổ làm đợc 1

5 sân trờng Hỏi tổ làm riêng sau vệ sinh xong cả sân trờng ?

H

íng dÉn :

Gọi x , y (giờ) lần lợt thời gian tỉ I vµ thêi gian tỉ II lµm mét vệ xong sân

trng ( điều kiện : x , y > 3 2 ) Hệ phơng trình lập đợc :

1 2 3 1 1 1

5 3 4

x y x y 

     

   

 2,5 3,75

x y     

 

Bài 18 : Trong tháng đầu , hai tổ sản xuất đợc 1500 quần áo Sang tháng hai tổ I làm vợt mức 25% , tổ II làm giảm mức 18% nên tháng hai hai tổ sản xuất đợc 1617 Hỏi tháng đầu tổ sản xuất đợc bộ quần áo ?

H

íng dÉn :

Gọi x , y lần lợt số quần áo mà tổ I tổ II làm đợc tháng đầu

Điều kiện : < x , y < 1500 ; x , y   Hệ phơng trình lập đợc :

1500 82.

125. 1617 100 100

x y y x

    

 

 



900 600

x y     





Bµi 19 : Hai ngêi A vµ B cïng lµm chung công việc sau ngày hoàn thành NÕu ngêi A lµm ngµy , råi ngời B làm ngày hoàn thành 2

5 công việc Hỏi ngời làm hoàn thành công việc

ú ? H

íng dÉn :

Gäi x , y lÇn lợt số ngày mà ngời A ngời B làm xong công việc

§iỊu kiƯn : x , y > ; x , y  

Hệ phơng trình lập đợc :

1 1 6 2 2 5

x y x y       

   

 10 15

x y     

 

Bài 20 : Hai đội công nhân làm chung công việc Thời gian để đội I làm xong cơng việc thời gian để đội II làm xong cơng việc Tổng thời gian để gấp 4,5 lần thời gian hai đội cùng làm chung để xong cơng việc Hỏi đội làm phải bao lâu xong cơng việc ?

H

íng dÉn :

Gọi x (giờ) thời gian đội I làm xong cơng việc ( điều kiện : x > )

Phơng trình lập đợc : 2 4 9. ( 4) 2 2x x 4

x  x

  x =

Bài 21 : Hai máy xúc A B làm việc 12 xúc xong khối đất bùn lịng hồ Nếu máy A xúc 10 ngày , máy B xúc tiếp một ngày hai máy làm xong 70% công việc Hỏi làm máy phải làm ngày xong cơng việc ?

H

íng dÉn :

Gäi x , y (ngày) lần lợt số ngày mà máy A máy B làm xúc xong bùn

lòng hồ ( điều kiện : x , y > 12 ; x , y   )

Hệ phơng trình lập đợc :

1 1 1 12 10 6 7 10

x y x y 

     

   

 20 30

x y     

 

Bài 22 : Hai vòi nớc chảy vào bể cạn bể đầy sau 12 phút Nếu vòi thứ chảy 30 phút vịi thứ hai chảy 40 phút cả hai vịi chảy đợc 17

36 bĨ Hái vòi chảy vòi chảy trong

bao l©u thêi gian ? H

íng dÉn :

Gäi x , y (giờ) lần lợt thời gian vòi thứ vòi thứ hai chảy đầy bể

Điều kiện : x , y > 6 5 Hệ phơng trình lập đợc :

1 5 6 1 2 17 2 3 36

x y x y 

     

   

 2 3

x y     

 

Bài 23 : Hai ngời làm chung công việc dự định làm xong 7 giờ 12 phút Nếu ngời thứ làm ngời thứ hai làm giờ

thì hai ngời làm đợc 3

4 cơng việc Hỏi đội làm sau bao lõu

xong công việc ? H

íng dÉn :

Gọi x , y ( ) lần lợt thêi gian ngêi thø nhÊt vµ ngêi thø hai lµm mét m×nh

xong cơng việc ( điều kiện : x , y > 36 5 ) Hệ phơng trình lập đợc :

1 1 5 36 5 3

4

x y x y 

     

   

 12 18

x y     

 

Bài 24 : Hai phân xởng nhà máy theo kế hoạch phải làm 300 dụng cụ Nhng thực tế phân xởng I làm vợt mức kế hoạch 10% , phân x-ởng II làm vợt mức kế hoạch 20% Do hai phân xx-ởng trong thực tế làm đợc 340 dụng cụ Tính số dụng cụ mà phân xởng phải làm theo kế hoạch ?

H

íng dÉn :

Gäi x , y lÇn lợt số dụng cụ mà phân xởng I II phải làm theo kế hoạch

§iỊu kiƯn : < x ; y < 300 ; x , y  

Hệ phơng trình lập đợc :

300 120.

110. 340

100 100

x y y x

    

 

 



200 100

x y     

 

Bài 25 : Hai tổ học sinh lớp 9A trờng tham gia trồng hoa Theo kế hoạch hai tổ phải trồng 90 hoa Trong thực tế tổ I trồng vợt mức 15% kế hoạch , cịn tổ II trồng vợt mức 12% kế hoạch Do cả hai tổ trồng đợc 102 hoa Hỏi tổ thực tế trồng bao nhiêu cây hoa ?

H

íng dÉn :

Gọi x , y lần lợt số hoa mà tổ I tổ II phải trång theo kÕ ho¹ch

Điều kiện : < x , y < 90 ; x , y   Hệ phơng trình lập đợc:

90 112.

115. 102

100 100

x y y x

    

 

 



40 50

x y     

 

Trong thực tế : Tổ I trồng đợc 40 + 15%.40 = 46 Tổ II trồng đợc 50 + 12%.50 = 56

Bài 26 : Hai công nhân phải làm theo thứ tự 810 900 dụng cụ cùng một thời Trong thực tế ngày ngời thứ hai làm đợc nhiều ngời thứ nhất là dụng cụ Kết ngời thứ hoàn thành trớc thời hạn ngày , cịn ngời thứ hai hồn thành trớc thời hạn ngày Tính số dụng cụ ngời phải làm trong ngày thực tế ?

H

íng dÉn :

Gäi x số dụng cụ mà ngời thứ phải làm thực tế Điều kiện : < x < 810 ; x  

Phơng trình lập đợc : 810

x  3 = x9004  6  x = 20 Bài 27 : Hai vòi nớc chảy vào bể chảy đợc

10 bể Nếu vòi I chảy vịi II chảy hai voi chảy đợc 4

5 bÓ Tính thời gian vòi chảy

một ®Çy bĨ ? H

íng dÉn :

Gäi x , y ( giê ) lÇn lợt thời gian vòi I vòi II chảy đầy bể

Điều kiện : x > ; y >

Hệ phơng trình lập đợc :

1 1 3 10 3 4

5

x y x y 

     

   

 5 10

x y     

 

Bài 28 : Hai máy bơm làm việc bơm hết lợng nớc cần bơm Ngời ta cho máy I bơm chuyển làm việc chỗ khác , máy II làm trong 20 ohút hai máy làm đợc 40% cơng việc Hỏi làm riêng thì máy làm xong cơng việc ?

H

íng dÉn :

Gäi x, y(giê) lần lợt thời gian máy I máy II làm việc xong công việc

§iỊu kiƯn : x , y >

Hệ phơng trình lập đợc :

1 1 3 1 4 2

5 3

x y x y 

     

   

 7,5 5

x y     

 

C To¸n suất :

1 , Các kiến thức cần nhớ :

*, Sản lợng công việc = Năng suất Thời gian

*, Trong bi toỏn cần ý : Năng suất , thời gian tăng hay giảm so với dự định

*, Nếu thời gian để hồn thành cơng việc a đơn vị thời gian làm đ-ợc 1

a c«ng viƯc

*, Trong tốn đối tợng hịn thành cơng việc mang tính chất chung chung , thì ta hiểu hồn thành cơng việc

2 , Bµi tËp vận dụng :

a , Các toán bậc :

*, Bài toán tổng quát :

Để làm công việc cần huy động số ngời làm ngày Nếu bổ sung thêm a ngời thời gian hồn thành rút ngắn đợc b ngày Nếu rút bớt c ngời thời gian hồn thành cơng việc phải thêm d ngày Tính số ngời dự định huy động số ngày dự định làm ?

*, Lêi gi¶i mÉu :

Gọi x số ngời dự định huy động , y số ngày dự định làm để hồn thành cơng việc

§iỊu kiƯn : x > c , y > b ; x , y  

Ta cã khèi lợng công việc cần làm : x.y

+ Số ngời sau tăng a ngời : x + a ( ngêi )

Sè ngày hoàn thành sau tăng ngời : y - b ( ngµy )

 Ta cã phơng trình : ( x + a ).( y – b ) = x.y  - b.x + a.y = a.b (1) + Sè ngêi sau gi¶m c ngêi lµ : x – c ( ngời )

Số ngày hoàn thành sau tăng ngêi lµ : y + d ( ngµy )

Ta có phơng trình : ( x – c ).( y + d ) = x.y  d.x – c.y = c.d (2) Tõ (1) (2) ta có hệ phơng trình : . . .

. . .

b x a y a b d x c y c d 

   

  

   …  x y

      

 

§èi chiÕu ®iỊu kiƯn suy : x

y 

     



 tháa m·n

Vậy số ngời dự định huy động  ngời, số ngày dự định hồn thành cơng việc là ngày

Bài : Để sửa chữa quãng đờng , cần huy động số ngời làm một số ngày Nếu bổ sung thêm ngời thời gian hồn thành rút ngắn đợc 2 ngày Nếu rút bớt ngời thời gian hàon thành phải thêm ngày Tính số ngời dự định huy động số ngày dự định hồn thành cơng việc ?

Bài giải :

Gi x , y lần lợt số ngời dự định huy động số ngày dự định hàon thành công việc

§iỊu kiƯn : x > , y > ; x , y  

Ta có quãng đờng cần làm : x.y

+, Số ngời sau tăng lµ : x + ( ngêi )

Số ngày hoàn thành công việc sau tăng số ngời : y ( ngµy )

 Ta cã phơng trình : ( x + ).( y ) = x.y  - 2x + 3y = (1) +, Số ngời sau giảm : x – ( ngêi )

Số ngày hoàn thành công việc sau giảm sè ngêi lµ : y + ( ngµy ) Ta có phơng trình : ( x – ).( y + ) = x.y  x = y + (2) Tõ (1) (2) ta có hệ phơng trình : 2 3 6

3

x y x y 

   

     

2( 3) 3 6 3

y y

x y 

   

   

  

15 12

x y     

 

§èi chiÕu ®iỊu kiƯn suy 15 12

x y     



 tháa m·n

Vậy : Số ngời dự định huy động 15 ngời, số ngày dự định hoàn thành 12 ngày

Bài : Một công nhân phải làm số dụng cụ thời gian định Nếu ngày làm thêm dụng cụ , nhng số ngày làm giảm ngày số dụng cụ làm giảm 54 Nếu ngày làm giảm dụng cụ , nhng số ngày làm tăng thêm ngày số dụng cụ tăng thêm 32 Hỏi số dụng cụ mà ngời công nhân phải làm ?

Bài giải :

Gi x , y lần lợt số dụng cụ mà ngời công nhân làm ngày số ngày dự định

xong sè dông cô ( ®iỊu kiƯn : x > , y > ; x , y   ) Suy số dụng cụ ngời công nhân phải làm : x.y ( dông cô )

NÕu ngày làm thêm dụng cụ số ngày làm giảm ngày số dụng cụ làm

đợc : ( x + ).( y – ) ( dụng cụ )

Theo ta có phơng tr×nh : ( x + ).( y – ) = x.y – 54  - 3.x + 8.y = 30 (1)

Nếu ngày làm giảm dụng cụ số ngày làm tăng thêm ngày số dụng cụ làm

đợc : ( x – ).( y + ) ( dụng cụ )

Theo ta có phơng trình : ( x – ).( y + ) = x.y + 32  4.x – 8.y = 80 (2)

Tõ (1) vµ (2) ta cã hệ phơng trình : 3 8 30 4 8 80

x y x y 

   

  

  

50 15

x y     

 

( tháa m·n )

Vậy số dụng cụ mà ngời công nhân phải làm : 50.15 = 750 dụng cụ Bài : Một tổ công nhân lâm trờng dự định trồng 540 tràm Nếu thêm hai công nhân công nhân trồng giảm với dự định tổ cơng nhân trồng thêm đợc 20 tràm Hỏi ban đầu tổ có bao nhiờu cụng nhõn ?

Bài giải :

Gọi x số công nhân tổ lúc đầu , y số mà công nhân phải trồng

Điều kiện : x , y  

Ta có số mà tổ cơng nhân dự định trồng : x.y = 540 (1) Số công nhân sau tăng : x + ( công nhân )

Số công nhân giảm : y – ( ) Số mà tổ công nhân trồng đợc : 540 + 20 = 560 Suy ta có phơng trình : ( x + ).( y – ) = 560 (2) Từ (1) (2) ta có hệ phơng trình : . 540

( 2).( 2) 560

x y

x y

    



   

18 30

x y     

 

( thỏa mÃn )

Vậy lúc đầu tổ công nhân có 18 công nhân

b , Các toán bậc hai :

*, Bài tập tổng quát :

Một đội công nhân dự định làm xong a sản phẩm thời gian định Trong b ngày đầu họ thực tiến độ , ngày sau ngày làm vợt mức c sản phẩm nên hoàn thành trớc kế hoạch d ngy ( gi ,

) mà v

… ợt mức m sản phẩm Tính suất dự kiến đội công nhân ?

*, Lêi gi¶i mÉu :

Gọi x suất dự kiến đội công nhân ( điều kiện : < x < a )

 Số ngày mà đội dự kiến hoàn thành cộng việc : a

x ( ngµy )

Ta có suất thực tế là: x + b (sản phẩm); số sản phẩm làm đ ợc là: a + m (sản phẩm)

S ngy đội công nhân làm thực tế : a m

x b ( ngµy )

Do đội cơng nhân hồn thành kế hoạch trớc d ngày Suy ta có phơng trình : a

x - a mx b = d 

x x

    



 Đối chiếu điều kiện x

= thỏa m·n

Vậy suất dự kiến đội công nhân … sản phẩm/ ngày

Bài : Một đội công nhân sửa quãng đờng dài 15 km Sau làm đợc 1 ngày theo suất dự kiến đội cơng nhân tăng suất thêm km/ ngày trong ngày lại Do đội cơng nhân hồn thành cơng việc sớm hơn ngày so với dự định Tính suất dự định đội cơng nhân ?

Bài giải :

Gi x ( km/ngày ) suất dự định đội công nhân ( điều kiện : < x < 15 )

 Số ngày mà đội cơng nhân dự định hồn thành cơng việc : 15

x

( ngµy )

Trong ngày đội làm đợc x km Suy số km đờng lại đội phải làm là:15 – x (km)

Trong ngày lại đội công nhân làm với suất : x + ( km/ ngày )

 Số ngày lại đội làm với suất x +1 km/h : 15 1x

x

( ngµy )

Do đội cơng nhân hồn thành kế hoạch sớm dự định ngày Suy ta có phơng trình : 15 1 15 1

1x

x   x   x

2+ 2x – 15 =

 ( x – ).( x + ) =  3 5

x x   



 §èi chiÕu ®iỊu kiƯn suy x

= tháa m·n

Vậy suất dự kiến đội công nhân km/ngày

Bài : Một xí nghiệp đặt kế hoạch sản xuất 3000 sản phẩm thời gian nhất định Trong ngày đầu họ thực tiến độ , ngày sau đó mỗi ngày họ làm vợt mức 10 sản phẩm , nên hoàn thành sớm đợc 1 ngày mà vợt mức kế hoạch 60 sản phẩm Tính suất dự kiến ca xớ nghip ?

Bài giải :

Gọi x (sản phẩm/ ngày) suất dự kiến xí nghiệp ( ®k : < x < 3000 )

 Sè ngµy mµ xÝ nghiƯp dù kiÕn hoàn thành công việc : 3000

x

( ngµy )

Trong ngày đầu xí nghiệp sản xuất đợc : 6.x ( sản phẩm )

Do số sản phẩm xí nghiệp làm đợc thực tế : 3000 + 60 = 3060 ( sản phẩm )

 Số ngày cịn lại xí nghiệp làm đợc : 3060 – 6.x ( sản phẩm )

Ta có ngày cịn lại xí nghiệp làm ngày đợc : x + 10 ( sản phẩm )

 Số ngày lại làm x + 10 sản phẩm/ ngày : 3060 6. 10 x

x

( ngµy )

Do xí nghiệp hồn thành kế hoạch sớm ngày so với dự định Suy ta có phơng trình : 3000 6 3060 6. 1

10 x

x   x   x

2 +

130.x – 3000 =

 ( x – 120 ).( x + 250 ) =  120

250

x x   

Đối chiếu điều kiện suy x

= 120 tháa m·n

VËy suất dự kiến xí nghiệp : 120 sản phẩm / ngày

Bi : Mt xởng máy đợt sản xuất đợc 200 sản phẩm Để bảo đảm kế hoạch sản xuất có thêm ngày nghỉ , xởng sản xuất thêm ngày thêm 5 sản phẩm Hỏi theo kế hoạch ngày xởng sản xuất đợc sản phm ?

Bài giải :

Gọi x số sản phẩm mà xởng sản xuất ngày theo kế hoạch Điều kiện : < x < 200 ; x  

 Số ngày mà xởng dự định làm xong 200 sản phẩm : 200

x

( ngµy )

Trong thực tế ngày xởng sản xuất đợc : x + ( sản phẩm )  Số ngày mà xởng làm thực tế : 200

5

x ( ngµy )

Do xởng hồn thành kế hoạch trớc ngày so với dự định Suy ta có phơng trình : 200 200 2

5

x  x   x

2+ 5.x – 500

=

 ( x – 20 ).( x + 25 ) =  20 25

x x   



 §èi chiÕu ®iỊu kiƯn suy

x = 20 tháa m·n

Vậy theo kế hoạch ngày xởng sản xuất đợc 20 sản phẩm

*, Bài tập tổng quát :

Mt xớ nghiệp dự định điều động số xe để chuyển a hàng từ nơi sản xuất đến nơi tiêu thụ Hơm làm việc có b xe phải điều nơi khác ( có bổ sung thêm b xe ) nên xe phải chở thêm c hàng ( xe chở c

tấn hàng ) Hỏi lúc đầu xí nghiệp dự định điều động xe để chở hết số hàng ?

*, Lêi gi¶i mÉu :

+, Trờng hợp số xe đợc điều nơi khác

Gọi x số xe mà xí nghiệp dự định điều động vận chuyển hàng ( điều kiện : x > b ; x  )

Suy : Mỗi xe dự định chở : a

x ( tÊn )

Ta cã sè xe tham gia vËn chun hµng thùc tÕ lµ : x – b ( xe ) Suy xe thực tế chở số tÊn hµng lµ : a

x b ( tÊn )

Do xe lại phải chở số hàng dự định c hàng Suy ta có phơng trình : a a c

x x b    … 

x x

    

 

Đối chiếu điều kiện suy x = … thỏa mãn Vậy số xe lúc đầu đội …

+, Trờng hợp số xe đợc điều thêm để vận chuyển hàng

Phơng trình ta lập đợc : a a c

x x b  

Bài : Một đội xe cần vận chuyển 120 hàng Hôm làm việc có xe phải điều nơi khác làm việc , nên xe lại phải chở thêm 16 Hỏi lúc đầu đội có xe ?

Bài giải :

Gi x số xe đội lúc đầu ( điều kiện : x > ; x   ) Suy xe đội phải chở số hàng dự định : 120

x ( tÊn

hµng )

Ta có số xe đội tham gia vận chuyển hàng thực tế : x – ( xe )

Suy thực tế xe phải chở số hàng : 120 2

x ( tÊn hµng )

Do xe thực tế chở hàng nhiều dự định 16 Suy ta có phơng trình : 120

x = x120 2 - 16  x

2- 2x –

15 =

 ( x + ).( x – ) =  3 5

x x 

Đối chiếu điều kiÖn suy

x = tháa m·n

Vậy lúc đầu đội có xe

Bài : Một đoàn xe cần chở 480 hàng Khi khởi hành có thêm xe bổ sung , nên xe chở dự định Hỏi lúc đầu mi xe cú bao nhiờu chic ?

Bài giải :

Gọi x số xe đội lúc đầu ( điều kiện : x   )

Suy dự định xe phải chở : 480

x ( tÊn hµng )

Ta cã sè xe cđa déi vËn chun hµng thùc lµ : x + ( xe ) Suy thực tế xe chở : 480

3

x ( tÊn hµng )

Do thực tế xe chở dự định hàng Suy ta có phơng trình : 480

x = x4803 8  x

2+ 3x – 180 =

0

 ( x – 12 ).( x + 15 ) =  12 15

x x   



Đối chiếu điều kiện x =

12 tháa m·n

Vậy lúc đầu đội có 12 xe

Bài : Một xí nghiệp dự định điều động số xe để chuyển 120 tạ hàng Nếu mỗi xe chở thêm tạ so với dự định số xe giảm Hỏi số xe mà xí nghiệp dự nh iu ng ?

Bài giải :

Gọi x số xe mà xí nghiệp dự định điều động ( điều kiện : x > ; x   )

 Số tạ hàng mà xe dự định chở l : 120

x ( tạ hàng )

Nếu xe chở thêm tạ hàng , suy xe chở 120

x 1 tạ hàng

Ta có số xe giảm xe , suy số xe tham gia vËn chun lµ x – ( xe )

 Khi xe phải chở : 120 4

x ( tÊn hµng )

Suy ta có phơng trình : 120 1 120 4

x  x  x

2- 4x –

480 =

 ( x + 20 ).( x – 24 ) =  20 24

x x   



Đối chiếu điều kiện suy

x = 24 tháa m·n

Vậy số xe xí nghiệp dự định điều động 24 xe

L

u ý : +, §èi với toán ta giải cách khác cách gọi số hàng mà xe

dự định chở

+, Ví dụ ta giải nh sau :

Gọi x số hàng xe dự định chở ( điều kiện : x > )  Số xe đội dự định điều động : 480

x ( xe )

Ta có số hàng xe chở thực tế : x – ( )  Số xe đội tham gia vận chuyển hàng thực tế : 480

8

x ( xe

)

Do số xe vận chuyển hàng thực tế nhiều dự định xe

Ta có phơnh trình : 480

x = x480 8  3  x

2- 8x – 1280 = 0

 (x – 40)(x + 32) =  40

32

x x   



Đối chiếu điều kiện suy

x = 40 tháa m·n

Vậy số xe đội lúc đầu : 480 12

40  xe

3 , Bµi tËp tù lun :

Bài : Một đội thuyền đánh cá , dự định ngày bắt đợc 30 cá Đội đã đánh bắt đợc 40 tán cá ngày , nên hoàn thành kế hoạch trớc thời hạn 3 ngày , ngồi cịn đánh bắt thêm đợc 20 cá Tính số cá mà đội thuyền phải đánh bắt theo kế hoạch ?

H

íng dÉn :

Gọi x số cá mà đội dự định đánh bắt theo kế hoạch ( điều kiện : x > )

Phơng trình lập đợc : 20 3

30x  x40   x = 42

Bài : Một xí nghiệp đóng dày dự định hồn thành kế hoạch 26 ngày Nhng nhờ cải tiến kỹ thuật theo quy trình cơng nghệ , nên ngày làm v -ợt mức 6000 đơi dày Do xí nghiệp hoàn thành kế hoạch đã định 24 ngày mà cịn làm vợt mức 104000 đơi dày Tính số đơi dày mà xí nghiệp phải làm theo kế hoạch ?

H

íng dÉn :

Gọi x số đơi dày mà xí nghiệp dự đinh làm ( điều kiện : x 



 )

Phơng trình lập đợc : 104000 6000

24 26

x  x   x =

520000

Bài : Một đội công nhân dự định hồn thành cơng việc với 500 ngày cơng thợ Hãy tính số ngời đội cơng nhân , biết bố sung thêm công nhân số ngày hồn thành cơng việc giảm ngày ?

H

íng dÉn :

Gọi x số ngời công nhân đội ( điều kiện : x  *  )

Phơng trình lập đợc : 500 500 5 5

x  x  

25 20

x x   

 

Bài : Một công nhân sản xuất 120 sản phẩm thời gian định Khi làm đợc nửa cơng việc thấy ngời làm đợc suất quy định cho ngày Sau ngời tăng suất , ngày làm đợc nhiều suất dự định sản phẩm Vì ngời hồn thành cơng việc sớm ngày so với dự định Hỏi thời gian quy định để ngời đó hồn thành công việc ngày ?

H

íng dÉn :

Gọi thời gian quy định để ngời làm xong 120 sản phẩm x(ngày) (đk: x  *)

Khi suất dự định : 120

x ( sản phẩm/ ngày )

Khi tăng suất ngày làm đợc : 120 3 120 3x

x   x (

s¶n phÈm )

Thời gian làm 60 sản phẩm lµ :

2x ( ngµy )

Thời gian làm 60 sản phẩm lại lµ : 60

120 3x x ( ngµy )

Vì ngời cơng nhân làm xong sớm thời gian quy định ngày nên ta có phơng

tr×nh : x – =

2x + 120 360x x  x

2- 2.x – 80 = 

10 8

x x   

 

Bài : Một xí nghiệp muốn sản xuất 5000 sản phẩm thời gian quy định Tuy nhiên công nhân lại muốn có thêm ngày nghỉ , nên xí nghiệp yêu cầu công nhân làm tăng thêm sản phẩm ngày Do cơng việc đ ợc hồn thành sớm ngày cịn vợy mức 48 sản phẩm so với quy định Tính số sản phẩm mà xí nghiệp dự định sản xuất ngày ?

H

íng dÉn :

Gọi x số sản phẩm mà xí nghiệp dự định sản xuất ngày (đk : x  )

Phơng trình lập đợc : 5000

x - 5048x2 = 1  x = 50

Bài : Một công ty may mặc dự định may 35000 áo thời gian nhất định Khi thực công ty yêu cầu công nhân may thêm 50 áo mỗi ngày , khơng hồn thành cơng việc trớc 10 ngày mà cịn vợt đợc 1000 chiếc áo Tính số áo mà cơng ty dự định may ngày ?

H

íng dÉn :

Gọi x số áo mà công ty dự định may ngày ( điều kiện : x   )

Phơng trình lập đợc : 35000

x - 36000x50 = 10  x =350

Bài : Một đội xe cần chở 36 hàng Trớc làm việc đội đợc bổ sung thêm xe , nên xe chở hàng so với dự định Hỏi đội xe lúc đầu có ? Biết số hàng chở xe bằng nhau

H

íng dÉn :

Gọi x số xe đội lúc đầu ( điều kiện : x   ) Phơng trình lập đợc : 36

x - x363 = 1  x =

Bài : Theo kế hoạch đội lâm trờng phải ca 216 m3 gỗ thời gian

nhất định Trong ngày đội hoàn thành kế hoạch ngày Sau ,

đội ca vợt mức kế hoạch ngày m3 Vì đội ca đợc 232 m3gỗ mà còn

hoàn thành kế hoạch trớc ngày Hỏi đội cụng nhõn phi ca bao nhiờu m3

gỗ ngày theo kế hoạch ? H

ớng dÉn :

Gọi x ( m3) số m3 gỗ mà đội công nhân phải ca ngy theo k

hoạch

Điều kiÖn : x >

Phơng trình lập đợc : ( 216

x - 3 ) - 232 3x8 x = 1  x

= 24

Bài : Một lâm trờng dự định trồng 75 rừng số tuần lễ Trong thực tế tuần lâm trờng trồng vợt mức so với kế hoạch , nên chẳng những trồng đợc 80 mà cịn hồn thành sớm tuần Hỏi tuần lâm trờng dự định trồng rừng ?

H

íng dÉn :

Gọi x(ha) số rừng mà lâm trờng dự định trồng tuần (đk : < x < 80)

Phơng trình lập đợc : 75

x = x805 + 1  x = 15 Bài 10 : Một đội cơng nhân xây dựng hồn thành nhà với 480 ngày công thợ Khi thực đội tăng cờng thêm công nhân , nên số ngày hồn thành cơng việc giảm ngày làm Tính số cơng nhân ban đầu đội cơng nhân xây dựng ?

H

íng dÉn :

Gọi x số công nhân đội ban đầu ( điều kiện : x   ) Phơng trình lập đợc : 480

x - x4803 =  x = 12 Bài 11 : Một công nhân có kế hoạch làm 315 sản phẩm với suất thời gian định Ba ngày đầu ngày ngời làm dự định sản phẩm , trong ngày sau ngày làm thêm 10 sản phẩm Vì ngời hoàn thành kế hoạch sớm dự định ngày Hỏi theo dự định ngời làm mỗi ngày sản phẩm ?

H

íng dÉn :

Gọi x số sản phẩm ngời dự định làm ngày ( điều kiện : x > , x  )

Phơng trình lập đợc : 315

x - 1 = 3  315 3x10x 5 

x = 70

Bài 12 : Một xí nghiệp dệt thảm đợc giao làm số thảm xuất 20 ngày Xí nghiệp tăng suất 20% nên sau 18 ngày làm xong số thảm đợc giao mà cịn làm thêm đợc 24 Tính số thảm xí nghiệp 18 ngày ?

H

íng dÉn :

Gọi x số thảm mà xí nghiệp sản xuất đợc 18 ngày ( điều kiện : x  )

Phơng trình lập đợc :

18x = 1,2.x2024  x = 324

Bài 13 : Một tổ sản xuất , có kế hoạch làm 720 sản phẩm theo suất dự kiến Nếu tăng suất 10 sản phẩm ngày hoàn thành sớm ngày so

với giảm suất 20 sản phẩm ngày so với dự định Tính suất dự kiến theo kế hoạch ?

H

íng dÉn :

Gäi x lµ số sản phẩm làm ngày theo dự kiến ( điiêù kiện : x )

Phơng trình lập đợc : 720 20

x -

720 10

x = 4  x =

80

Bài 14 : Một đội cơng nhân hồn thành công việc với 420 ngày công thợ Hãy tính số cơng nhân đội , biết đội cơng nhân tăng thêm ngời thì số ngày đội cơng nhân hồn thành cơng việc giảm ngày

H

íng dÉn :

Gọi số công nhân đội x ( điều kiện : x  * ) Phơng trình lập đợc : 420

x - x4205 = 7  x = 15 Bài 15 : Một nhóm học sinh đợc giao trồng 60 Nhng thực nhóm đó đợc tăng cờng thêm học sinh , nên học sinh trồng cây so với dự định Hỏi lúc đầu nhóm học sinh có học sinh , biết số cây học sinh trồng đợc nh

H

íng dÉn :

Gọi x số học sinh nhóm lúc đầu : ( điều kiện : x  * ) Phơng trình lập đợc : 60

x - x603 = 1  x = 12 Bài 16 : Lớp 9A đợc phân công trồng 480 xanh dịp tết trồng đầu xuân Lớp dự định chia số cho số học sinh Nhng lao động có 8 học sinh vắng mặt , nên học sinh lại phải trồng thêm mới xong Tính số học sinh lớp 9A ?

H

íng dÉn :

Gọi x số học sinh lớp 9A ( đièu kiện : x > ; x   ) Phơng trình lập đợc : 480

8

x -

480

x = 3  x = 40

Bài 17 : Một đội công nhân dự tính làm 720 m đờng số ngày nhất định Nhng thời tiết xấu không thuận tiện nên thực tế ngày họ làm đợc dự định 10 m , họ phải kéo dài thời gian làm việc thêm 6 ngày Hỏi dự định đội công nhân ngày làm đợc mét đ-ờng ?

H

íng dÉn :

Gọi x ( m) độ dài đoạn đờng mà đội công nhân dự định làm đợc ngày

Điều kiện : x > 10 Phơng trình lập đợc : 720

10

x -

720

x = 6  x = 40

Bài 18 : Một nhóm học sinh tham gia lao động chuyển 105 thùng sách th viện nhà trờng Đến buổi lao động có hai bạn bị ốm khơng tham gia lao động đợc , bạn phaỉ chuyển thêm thùng sách xong Hỏi số học sinh nhóm ?

H

íng dÉn :

Gäi sè häc sinh cña nhóm x ( điều kiện : x  ; x > )

Phơng trình lập đợc : 105 105 6 2

x  x   x =

D Toán chuyển động :

1 , Các kiến thức cần nhớ : *, Quãng đờng = Vận tốc Thời gian

*, Trong toán chuyển động cần ý đại lợng : + Quãng đờng vật chuyển động cố định hay thay đổi + Vận tốc vật tăng hay giảm so với dự định

+ Thời gian so với dự định hay sớm , muộn + Trong q trình chuyển động vật ó nghỉ hay khơng

*, Đối với tốn chuyển độngtrên sông ta cần ý :

+ Vận tốc thực ca nô (tàu thuỷ ) vận tốc nớc yên lặng ca nô (tàu thuỷ ) + Vận tốc ca nô xuôi dòng vận tốc thực ca nô (tàu thủ ) céng víi vËn tèc

cđa dßng níc

+ VËn tèc cđa ca n« ngợc dòng vận tốc thực ca nô (tàu thủ ) trõ víi vËn tèc

cđa dßng níc

*, Đa phần tốn thờng cho cụ thể vận tốc dòng nớc , nhiên một số tốn lại cho vận tốc dòng nớc ẩn dới dạng cho biết đám bèo , chiếc bè nứa trôi quãng sông thời gian biết trớc số tr-ờng hợp khác …

2 , Bµi tËp vËn dơng :

a , Các toán bậc :

*, Bài toán tổng quát :

Cho hai ôtô chuyển động tai hai bến A B ngợc chiều , sau a gặp nhau Tính vận tốc xe , biết xe từ A có vận tốc lớn xe từ B b km/ h quãng đờng AB dài c km

*, Lêi gi¶i mÉu :

Gọi x , y ( km/h) lần lợt vận tốc ôtô từ A ôtô ®i tõ B ( ®iiªï kiƯn : < y < x < c )

Ta cã vËn tốc xe từ A lớn vận tốc xe ®i tõ B lµ b km/h Suy ta có phơng trình : x = y + b (1)

Sau a ôtô từ A đợc a.x (km) , ôtô từ B đợc a.y (km)

Do sau a giê hai ôtô gặp Suy ta có phơng trình : a.x + a.y = c (2)

Tõ (1) (2) ta có hệ phơng trình :

. .

x y b a x a y c 

   

 

   …  x

y 

    

Đối chiếu điều kiện suy x

y 

     



 tháa m·n

Vậy vận tốc xe từ A km/h , vận tốc xe từ B km/h

Bài : Hai ôtô từ hai thành phố A B cách 210 km , ngợc chiều nhau , sau hai ôtô gặp Tìm vận tốc «t« , biÕt r»ng vËn tèc «t« ®i tõ A vận tốc ôtô từ B 25 km/h

Bài giải :

Gọi x , y (km/h) lần lợt vận tốc xe từ thành phố A thành phố B

Điều kiện : y > x >

Ta cã vËn tèc xe ®i tõ A kÐm vËn tèc xe ®i tõ B lµ 25 km/h Suy ta có phơng trình : y = x + 25 (1)

Sau ôtô từ thàh phố A đợc 2x km , ôtô từ thành phố B 2y km

Do sau hai ôtô gặp : 2x + 2y = 210  x + y = 105 (2)

Từ (1) (2) ta có hệ phơng trình : 25 105

y x x y     

 

  

25 25 105

y x x x     

      40

65

x y     

 

§èi chiÕu ®iỊu kiƯn suy 40 65

x y     



 tháa mÃn

Vậy vận tốc ôtô từ thành phố A 40km/h , vận tốc ôtô ®i tõ thµnh B lµ 65

km/h

Bài : Hai địa điểm A B cách 220 km Lúc sáng xe ôtô từ A đến B Lúc phút xe ôtô từ B A Hai xe ôtô gặp lúc 9 giờ Tính vận tốc xe ơtơ , biết vận tốc xe từ B vận tốc xe đi từ A 12,5 km/h

Bài giải :

Gọi x , y ( km/h ) lần lợt xe từ A xe từ B ( ®iỊu kiƯn : x > y > )

Ta cã vËn tèc cña xe ®i tõ B kÐm vËn tèc xe ®i tõ A 12,5 km Suy ta có phơng tr×nh : x = y + 12,5 (1)

Quãng đờng xe từ A đợc từ lúc xuất phát đến nơi gặp : x( – ) = 3x (km)

Q.đờng xe từ B đợc từ lúc xuất phát đến nơi gặp là: y(9 – 8 60) = 112

60 y ( km )

Do quãng đơng AB dài 220 km Suy ta có PT : 3x  112

60 y = 220 (2)

Tõ (1) (2) ta có hệ phơng trình :

12,5 112

3 60 220

x y

x y

    

 

 

 … 

50 37,5

x y     

 

§èi chiÕu ®iỊu kiƯn suy 50 37,5

x y     



 tháa m·n

VËy vËn tèc xe ®i từ A 50 km/h , vận tốc xe ®i tõ B lµ 37,5 km/h Bµi : Hai xe ôtô khởi hành lúc từ A hai phía khác Sau hai ôtô cách 380 km Tính vận tốc ôtô , biết vận tốc xe thø hai kÐm xe thø nhÊt km/h

Bài giải :

Gọi x , y ( km/h ) lần lợt vận tốc xe ôtô thứ xe ôtô thứ hai §iỊu kiƯn : x > y >

Ta cã vËn tèc xe «t« thứ lớn xe ôtô thứ hai km/h Suy ta có phơng trình : x = y + (1)

Ta có sau xe ơtơ thứ đợc 4x km , cịn xe ơtơ thứ hai đợc 4y km

Do sau hai xe ôtô cách 380 km Suy ta cã PT : 4x + 4y = 380 (2)

Tõ (1) vµ (2) ta có hệ phơng trình : 5 4 4 380

x y x y 

   

 

   … 

50 45

x y     

 

§èi chiÕu ®iỊu kiƯn suy 50 45

x y     



 tháa m·n

VËy vËn tèc xe ôtô thứ 50 km/h , xe ôtô thø hai lµ 45 km/h

*, Bµi tËp tỉng qu¸t :

Hai xe khởi hành lúc từ hai địa điểm A B cách a km , ng-ợc chiều sau b hai xe gặp Ngay từ đầu xuất phát , xe đi từ A tăng vận tốc lên c lần sau d ( d < b ) hai xe gặp Tính vận tốc xe ?

*, Lêi gi¶i mÉu :

Gäi x ( km/h ) lµ vËn tèc xe thø nhÊt , y ( km/h ) lµ vËn tèc xe thø hai ( điiêù kiện : x > y > )

Sau b ôtô thứ đợc b.x (km), xe thứ hai b.y (km)

Do sau b hai ôtô gặp , suy ta có phơng trình : b.x + b.y = a (1) Khi xe thứ tăng lên c lần , suy sau d xe thứ đợc : c.x.d (km) Sau d xe thứ hai đợc : y.d (km)

Ta cã sau d giê hai xe gỈp , suy ta cã phơng trình : cd.x + d.y = a (2) Từ (1) (2) ta có hệ phơng trình : . .

. .

b x b y a cd x d y a 

   

 

   …  x

y 

     

 

§èi chiÐu ®iỊu kiƯn suy x

y 

     



 tháa m·n

VËy vËn tèc cña xe thứ km/h , vận tốc xe thø hai lµ  km/h

Bài : Hai ôtô khởi hành lúc từ hai địa A B cách 525 km , sau 30 phút hai ôto gặp Nếu từ lúc xuất phát , ôtô từ A tăng vận tốc gấp đơi sau 15 phút hai ơtơ gặp Tính vận tốc ban đầu của hai ơtơ ?

Bµi gi¶i :

Gäi x, y (km/h) lần lợt vận tốc ban đầu ôtô thứ ôtô thứ hai (đk: x > y > 0)

Sau giê 30 = 15

2 ơtơ thứ đợc 152 x km , ôtô thứ hai

đợc 15

2 y km

Do sau 15

2 hai ôtô gặp , suy ta cã PT : 152 x + 152 y =

525 (1)

Sau giê 15 = 21

4 ôtô thứ hai đợc 214 x ( km )

Ta có vận tốc ơtơ thứ tăng vận tốc gấp đôi , suy sau 21

4 giê «t« thø

hai đợc 21

4 2x (km) Do sau 214 hai ôtô gặp nhau, suy ta có PT : 214 2x + 21

4 y = 525 (2)

Tõ (1) vµ (2) ta cã hệ phơng trình :

15. 15. 525

2 2

21.2 21. 525

4 4

x y

x y

      

 

 

 … 

30 40

x y     

 

Đối chiếu điều kiện suy 30 40

x y     



 tháa m·n

VËy vËn tèc ban đầu ôtô thứ 30 km/h , ôtô thứ hai 40 km/h

Bi : Một ôtô xuất phát từ bến A , lúc xe máy xuất phát từ bến B , hai xe ngợc chiều sau gặp Nếu từ lúc đầu ôtô tăng vận tốc lên 1,2 lần sau 40 phút hai xe gặp Tính vận tốc xe , biiết quãng đờng AB dài 80 km

Bài giải :

Gọi x , y (km/h) lần lợt vận tốc ôtô xe máy ( điều kiện : x > y > )

Sau ôtô đợc 4.x ( km ) , xe máy đợc 4.y ( km )

Do hai xe cách 80 km sau giê gỈp nhau, suy ta cã PT : 4.x + 4.y = 80 (1)

Nếu ôtô tăng vận tốc 1,2 lần từ đầu , vận tốc ơtơ lúc 1,2.x ( km/h )

Sau giê 40 = 8

3 ơtơ đợc 83.1,2x (km) , xe máy đợc 83

.y (km)

Theo bµi ta có phơng trình : 8

3.1,2x + 83.y = 80 (2)

Tõ (1) vµ (2) ta có hệ phơng trình :

4. 4. 80 8.1,2 8. 80

3 3

x y

x y

    

 

 

 …

 50

30

x y     

 

§èi chiÕu ®iỊu kiƯn suy 50 30

x y     



 tháa mÃn

Vậy vận tốc lúc đầu ôtô 50 km/h , vận tốc xe máy 30 km/h

Bi : Hai ôtô xuất phát lúc từ hai tỉnh A B , ôtô thứ đến B trớc ôtô thứ hai Nếu từ đầu ôtô thứ hai tăng vận tốc gấp đôi , thì ơtơ thứ hai đến B trớc ơtơ thứ Tìm vận tốc ơtơ , biét rằng quãng đờng AB dài 120 km

Bài giải :

Gọi x , y (km/h) lần lợt vận tốc ôtô I ôtô II ( đk : x > y > )

Thời gian hết quãng đờng AB ôtô I 120

x ( ) , ôtô II

120

y ( giê )

Do ôtô thứ đến B sớm ôtô thứ hai Suy ta có phơng trình : 120

x = 120y - 1 (1)

Ta có vận tốc ôtô thứ hai sau tăng vận tốc gấp đôi 2.y ( km/h ) Thời gian ôtô thứ hai hết quãng đờng AB sau tăng vận tốc 120

2y (

giê )

Theo ta có phơng trình : 120

2y = 120x - 1 (2)

Tõ (1) vµ (2) ta có hệ phơng trình :

120 120 1 120 120 12

x y

x y       

   

 … 

40 30

x y     

Đối chiếu điều kiện suy 40 30

x y     



 tháa m·n

Vậy vận tốc ôtô thứ 40 km/h , vận tốc ôtô thứ hai 30 km/h

*, Bài tập tổng quát :

Một ca nơ xi dịng khúc sơng dài a km b Khi quay ngợc dịng , ca nơ tăng vận tốc gấp c lần lúc xi dịng , b mà ca nô vẫn cách nơi đến d km Tính vận tốc riêng ca nơ vận tốc cảu dòng nớc ? *, Lời giải mẫu :

Gäi x , y ( km/h ) lÇn lợt vận tốc riêng ca nô vận tốc dòng nớc ( đk : x > y > )

VËn tèc cđa ca n« xuôi dòng : x + y = a

b ( km/h ) (1)

Vận tốc ca nô ngợc dòng : 2x – y = a d

b

 ( km/h ) (2)

Tõ (1) (2) ta có hệ phơng trình : 2.

a x y b

a d x y

b 

     

    

 …  x

y 

     

 

Đối chiếu điều kiện suy x

y

     



 tháa m·n

Vậy vận tốc riêng ca nơ  km/h , cịn vận tốc dòng nớc  km/h Bài : Một ca nơ xi dịng sơng dài 60 km Khi quay trở ngợc dịng sơng , ca nô tăng vận tốc gấp 1,2 lần xi dịng , 3 giờ mà ca nơ cách nơi đến 1,2 km Tính vận tốc riêng ca nô vận tốc của dũng nc ?

Bài giải :

Gäi x , y ( km/h ) lÇn lợt vận tốc riêng ca nô vận tốc dòng n-ớc

Điều kiện : x > y >

VËn tốc ca nô xuôi dòng sông 60 km lµ : x + y = 60

3  x + y = 20 (1)

Vận tốc ca nô ngợc dòng sông 60 1,2 = 58,8 km : 1,2.x – y = 58,8

3 (2)

Từ (1) (2) ta có hệ phơng tr×nh : 20 1,2. 19,6

x y x y 

   

 

   … 

18 2

x y     



Đối chiếu điều kiện suy 18 2

x y     



 tháa m·n

Vậy vận tốc riêng ca nô 18 km/h , vận tốc dòng nớc km/h

Bài : Một thuyền xuôi dòng từ bến sông A 108 km hết Khi quay trë vỊ thun gi¶m vËn tèc xng nửa lúc , thuyền 10 giờ mà vận cách bến A 18 km TÝnh vËn tèc thùc cđa thun vµ vËn tèc cđa dòng nớc ?

Bài giải :

Gọi x , y ( km/h ) lần lợt vận tốc dòng nớc vận tốc thực cđa thun

§iỊu kiƯn : y > x > VËn tèc cña thuyền xuôi dòng 108 km : x + y = 108

4  x + y = 27 (1)

VËn tèc thuyền ngợc dòng 108 18 = 90 km lµ : 1

2.y – x = 90

10 (2)

Tõ (1) (2) ta có hệ phơng trình : 27 2 18

x y y x 

   

 

   … 

3 24

x y     

 

Đối chiếu điều kiện suy 3 24

x y     



 tháa m·n

VËy vận tốc thực thuyền 24 km/h , vận tốc dòng nớc km/h

Bi : Một canơ xi dịng từ bến sơng A đến bến sông B cách 84 km mất 4 Một lần khác canơ xi dịng với vận tốc nh lần trớc , nhng vận tốc dịng nớc tăng gấp đơi nên sau 3,5 canơ tới đợc bến B Tính vận tốc thực canơ vận tốc dịng nớc ?

Bài giải :

Gọi x , y (km/h) lần lợt vận tốc thực canô vận tốc dòng nớc lần lúc đầu

§iỊu kiƯn : x > y >

Vận tốc canô xuôi dòng lần đầu lµ : x + y = 84

4  x + y = 21 (1)

Vận tốc canô xuôi dòng lần sau : x + 2y = 3,584  x + 2y = 24 (2)

Tõ (1) vµ (2) ta cã hƯ phơng trình : 21 2 24

x y x y 

   

 

   … 

18 3

x y     

Đối chiếu điều kiện suy 18 3

x y     



 tháa m·n

Vậy vận tốc canô 18 km/h , vận tốc dòng nớc km/h

b , Bài toán bậc hai :

*, Bài toán tổng quát :

Mt ôtô dự kiến từ A đến B thời gian định Trong thực tế ôtô đã tăng vận tốc thêm c km/h (giảm c km/h) nên ôtô đến B sớm dự địng d giờ muộn dự định d ) Tính vận tốc dự định ôtô , biết rằng quãng đờng AB dài a km

*, Lêi gi¶i mÉu :

Gọi x ( km/h ) vận tốc ôtô dự định quãng đờng AB ( đk : x > )

Thời gian ôtô dự định hết quãng đờng AB : a

x ( giê )

Vận tốc ôtô thực tế tăng vận tốc thêm c km/h : x + c ( km/h ) Suy thời gian ôtô hết quãng đờng AB thực tế : a

x c ( giê )

Do thời gian ôtô thực tế dự định d Suy ta có phơng trình : a

x - x ca = d  …  x =  ; x = 

Đối chiếu điều kiện suy x = thỏa m·n

Vậy vận tốc dự định ôtô dự định x = … km/h

Bài : Một ôtô dự định từ tỉnh A đến tỉnh B dài 180 km thời gian nhất định Trong thực tế ôtô tăng vận tốc thêm km/h , nên ôtô đến B sớm dự định 24 phút Tính vận tốc ôtô dự định từ tỉnh A đến tỉnh B ? Bài giải :

Gọi x ( km/h ) vận tốc ôtô dự định ( điều kiện : x > ) Ta có thời gian ơtơ dự định hết quãng đờng AB : 180

x ( )

Vận tốc ôtô thùc tÕ lµ : x + ( km/h ) Suy thời gian ôtô thùc tÕ lµ : 180

5

x ( giê )

Do thời gian ơtơ thực tế dự định 24 phút =

5 giê

Suy ta có phơng trình : 180

x - x1805 = 2

5  x2+ 5x –

2250 =

 ( x – 45 ).( x + 50 ) =  45 0 50 0

x x   

 

  

45 50

x x   





Đối chiếu điều kiện suy x = 45 thỏa mãn Vậy vận tốc ôtô dự định 45 km/h

Bài : Môt ngời dự định quãng đờng 105 km thời gian định Nhng đờng xấu nên thực tế ngời với vận tốc dự định 5 km/h , ngời đến nơi muộn dự định 30 phút Tính vận tốc mà ngời dự định ?

Bài giải :

Gi x ( km/h ) vận tốc ngời dự định ( điều kiện : x > ) Suy thời gian ngời dự định hết quãng đờng : 105

x ( giê )

Vận tốc ngời thực tế : x – ( km/h ) Suy thời gian ngời thực tế : 105

5

x ( giê )

Do thực tế ngời đến nơi muộn so với dự 30 phút =

2 giê

Suy ta có phơng trình : 105

5 x -

105

x = 12  x2- 5x –

1050 =

 ( x – 35 ).( x + 30 ) =  35 0 30 0

x x   

 

  

35 30

x x   

 

Đối chiếu điều kiện suy x = 35 thỏa mãn Vậy vận tốc ngời dự định 35 km/h

Bài : Một xe máy dự định hết quãng đờng AB dài 80 km thời gian định Xe máy 1

4 quãng đờng đầu với vận tốc định , quãng

đờng lại xe máy tăng vận tốc thêm 10 km/h so với vận tốc định , vì vậy xe máy đến nơi sớm dự định 18 phút Tính vận tốc xe máy dự định i ?

Bài giải :

Gọi x ( km/h ) vận tốc xe máy dự định ( điều kiện : x > )

Suy thời gian xe máy dự định hết quãng đờng AB : 80

x ( giê )

Thời gian xe máy hết

4 quóng đờng AB với vận tốc dự định :

20

x

( giê )

Vận tốc xe máy quãng đờng lại : x + 10 ( km/h ) Suy thời gian xe máy quãng đờng lại : 60

10

x ( giê )

Do xe máy đến nơi sớm dự định 18 phút = 3

10 giê Suy ta có phơng trình : 80

x - 103 = 20x + x6010  x

2+ 10x

– 2000 =

 ( x – 40 ).( x + 50 ) =  40 0 50 0

x x   

 

  

40 50

x x   

 

Đối chiếu điều kiện suy x = 40 thỏa mãn Vậy vận tốc xe máy dự định 40 km/h

*, Bµi tËp tỉng qu¸t :

Một canơ xi dịng từ bến sông A đến bến sông B cách a km , canô tới B rồi quay trở lại A hết tổng cộng b ( thời gian lúc xi dịng ít hơn thời gian ngợc dòng b

giê ) TÝnh vËn tốc canô xuôi dòng , biết vận tốc canô khi xuôi dòng lớn

vận tốc ngợc dòng c km/h *, Lêi gi¶i mÉu :

Gäi x ( km/h ) vận tốc canô xuôi dòng ( ®iỊu kiƯn : x > c ) Suy thời gian canô xuôi dòng hết khúc sông AB lµ : a

x ( giê )

Ta có vận tốc canô ngợc dòng lµ : x – c ( km/h ) Suy canô ngợc dòng hết khúc sông BA : a

x c ( giê )

Do tæng thời gian lẫn b Suy ta cã PT : a

x  x ca = b

 x

x 

   



Đối chiếu điều kiện suy x = … tháa m·n VËy vËn tèc cđa can« xuôi dòng km/h

Bài : Một thuyền xuôi dòng khúc sông 75 km ngợc dòng trở về thì tổng thời gian ®i lÉn vỊ hÕt giê 30 TÝnh vËn tèc cđa chiÕc thun lóc ®i , biÕt r»ng vận tóc lúc lớn vận tốc lúc km/h

Bài giải :

Gäi x ( km/h ) lµ vận tốc thuyền xuôi dòng ( điiêù kiÖn : x > )

Suy thời gian thuyền xuôi dòng hết khúc sông 75 km : 75

x

( giê )

VËn tèc cña thuyền ngợc dòng sông : x ( km/h ) Suy thêi gian chiÕc thuyền ngợc dòng 75 km : 75

5

x ( giê )

Do tổng thời gian thuyền lẫn giê 30 = 11 2 giê Suy ta có phơng trình : 75

x  x75 5 = 11

2  11x2- 355x +

750 =

 ( x – 30 ).( 11x – 25 ) =  30 0 11 25 0

x x   

 

  

30 25 11

x x     

Đối chiếu điều kiÖn suy x = 30 tháa m·n

VËy vËn tèc cđa chiÕc thun xu«i dòng 30 km/h

Bi : Mt canơ xi dịng từ bến sơng A đến bến sơng B cách 135 km , tới bến B canô quay lại bến A Thời gian lúc thời gian lúc là 18 phút vận tốc xi dịng lớn vận tốc ngợc dịng km/h Tính vận tốc ca canụ i ngc dũng ?

Bài giải :

Gäi x ( km/h ) vận tốc canô ngợc dòng sông ( điêù kiện : x > )

Suy thời gian canô ngợc dòng sông 135 km : 135

x ( )

Vận tốc canô xuôi dòng sông : x + ( km/h ) Suy thời gian canô xuôi dòng sông 135 km : 135

5

x ( giê )

Do thêi gian can« xuôi dòng thời gian canô ngợc dòng 18 phút = 3

10

Suy ta có phơng trình : 135

x - x1355 = 3

10  x2+ 5x –

2250 =

 ( x – 45 ).( x + 50 ) =  45 0 50 0

x x   

 

  

45 50

x x   

 

Đối chiếu điều kiện suy x = 45 tháa m·n VËy vËn tèc cđa can« ngợc dòng 45 km/h

Bài : Một thuyền máy xuôi khúc sông dài 210 km , quay trở thấy rằng thời gian lâu 48 phút Tính vận tốc thuyền máy xuôi dòng , biết quÃng sông thuyền xuôi dòng lớn quÃng sông thuyền ngợc dòng km

Bài giải :

Ta có quÃng sông thuyền máy xuôi dòng lớn quÃng sông thuyền

ngợc dòng lµ km , suy vËn tèc cđa thun xuôi dòng lớn vận

tốc ngợc dòng km/h

Gäi x ( km/h ) lµ vËn tèc cđa thun xuôi dòng ( điều kiện : x > )

Suy thêi gian cña thuyền xuôi dòng 210 km : 210

x ( giê )

VËn tèc cña thuyền ngợc dòng : x ( km/h ) Suy thêi gian cđa thun ngợc dòng 210 km : 210

8

x ( giê )

Do thêi gian thuyền xuôi dòng thời gian ngợc dòng 48 phút = 4

5

Suy ta có phơng trình : 210

8 x -

210

x = 45  x2- 8x –

2100 =

 ( x – 50 ).( x + 42 ) =  50 0 42 0

x x   

 

  

50 42

x x   

 

§èi chiÕu ®iỊu kiƯn suy x = 50 tháa m·n

VËy vËn tèc cđa thun ®i xuôi dòng 50 km/h

*, Bài tập tỉng qu¸t :

Một canơ xi dịng từ bến sông A đến bến sông B cách a km , sau đó trở A Thời gian xi dịng thời gian kh ngợc dịng b Tìm vận tốc thực canơ , biết vận tốc dịng nớc c km/h

*, Lêi gi¶i mÉu :

Gäi x ( km/h ) lµ vËn thùc canô ( điều kiện : x > c ) Vận tốc canô xuôi dòng lµ : x + c ( km/h ) Suy thời gian canô xuôi dòng a km lµ : a

x c ( km/h )

Vận tốc canô ngợc dòng : x – c ( km/h ) Suy thêi gian cảu canô ngợc dòng a km : a

x c ( km/h )

Do thời gian canô xuôi dòng thời gian canô xuôi dòng b Suy ta có phơng trình : a

x c -

a

x c = b  … 

x x

    

 

Đối chiếu điều kiện suy x = tháa m·n

VËy vËn tèc thực canô km/h

Bi : Một canơ xi dịng từ bến sơng A đến bến sơng B dài 60 km , sau đó trở bến sông A Thời gian xuôi dịng ngợc dịng 30 phút. Tìm vận tốc thực canô,

biÕt r»ng vËn tốc dòng nớc km/h Bài giải :

Gäi x ( km/h ) lµ vận tốc thực canô ( điều kiện : x > ) VËn tèc cđa can« xuôi dòng : x + ( km/h )

Suy thời gian canô xuôi dòng 60 km : 60 3

x ( giê )

VËn tèc cđa can« ngợc dòng : x ( km/h ) Suy thời gian canô ngợc dòng 60 km lµ : 60

3

x ( giê )

Do thêi gian can« xu«i dòng thời gian canô ngợc dòng 30 = 1

2 giê

Suy ta có phơng trình : 60

3 x -

60 3 x =

1

2  x2- 729 = 

x = 27

Đối chiếu điều kiÖn suy x = 27 tháa m·n Vậy vận tốc thực canô 27 km/h

Bài : Một thuyền máy xi dịng từ bến sông A đến bến sông B dài 69 km , rồi đi ngợc dịng từ bến sơng C dài 52,25 km Thời gian thuyền từ bến sông B đến bến sơng C thời gian thuyền từ bến sông A đến bến sông C 15 phút Tìm vận tốc thực canơ , biết vận tốc dòng nớc km/h và vận tốc thuyền nhỏ 45 km/h

Bài giải :

Gọi x ( km/h ) vận tốc thực thuyền máy ( ®iỊu kiƯn : < x < 45 )

Vận tốc thuyền máy xuôi dịng từ bến sơng A đến bến sơng B : x + ( km/h )

Suy thời gian thuyền máy xuôi dòng hết quÃng sông AB : 69 2

x

( giê )

Vận tốc thuyền máy ngợc dịng từ bến sơng B đến sông C : x – ( km/h )

Suy thời gian thuyền máy ngợc dòng hết quÃng sông CB : 52,25 2

x

( giê )

Do thời gian thuyền máy hết quÃng sông CB thời gian hết quÃng sông AB

15 = 1 4 giê

Suy ta có phơng trình : 69

2 x -

52,25 2 x =

1

4  x2- 67x +

966 =

 ( x – 21 ).( x – 46 ) =  21 0 46 0

x x   

 

  

21 46

x x   

 

Đối chiếu điều kiện suy x = 21 tháa m·n VËy vËn tèc thực thuyền máy 21 km/h

Bài : Một canô xuôi dòng 81 km , ngợc dòng 78,75 km Thời gian canô đi xuôi dòng thời gian canô ngợc dòng 45 phút Vận tốc canô khi xuôi dòng lớn vận tốc canô khhi ngợc dòng km/h Tìm vận tốc thực canô ?

Bài giải :

Ta có : V(xuôi dòng) = V(ngợc dòng) + 2.Vn =  Vn= km/h

Gäi x ( km/h ) vận tốc thực canô ( ®iỊu kiƯn : x > ) Vận tốc canô xuôi dòng : x + ( km/h )

Suy thời gian canô khhi xuôi dòng 81 km : 81 3

x ( giê )

Vận tốc canô khhi ngợc dòng 78,75 km : 78,75 3

x ( giê )

Do thời gian canô xuôi dòng thời gian ngợc dòng 45 phút = 3

4 giê

Suy ta có phơng trình : 78,75

3 x -

81 3 x =

3

4  x2+ 3x –

648 =

 ( x – 24 ).( x + 27 ) =  24 0 27 0

x x   

 

  

24 27

x x   

 

Đối chiếu điều kiện suy x = 24 tháa m·n VËy vËn thùc cđa can« lµ 24 km/h

3 , Bµi tËp tù luyện :

Bài : Một canô xuôi dòng khúc sung dài 90 km , ngợc dòng 36 km Tổng thời gian xuôi dòng ngợc dòng 10 vận tốc xuôi dòng lớn vận tốc ngợc dòng km/h Hỏi vận tốc canô xuôi dòng là ?

H

ớng dẫn :

Gäi x ( km/h ) lµ vận tốc canô xuôi dòng ( ®iỊu kiƯn : x > )

Phơng trình lập đợc : 90

x  x36 6 =  x = 15 Bài : Một xe khởi hành từ thành phố A đến thành phố B cách 150 km Khi từ B A xe tăng vận tốc vận tốc lúc 25 km/h Tính vận tốc lúc xe , biết tổng thời gian lẫn

H

íng dÉn :

Gọi x ( km/h ) vận tốc xe lúc ( điều kiện : x > ) Phơng trình lập đợc : 150

x  x15025 = 5  x = 50

Bài : Quãng đờng AB dài 90 km Có hai ôtô khởi hành lúc , ôtô thứ nhất từ A đến B , ôtô thứ hai từ B đến A Sau chúng gặp tiếp tục Xe ôtô thứ hai tới A trớc xe ôtô thứ đến B 27 phút Tìm vận tốc xe ôtô ?

H

íng dÉn :

Sau hai ôtô gặp nên tổng vận tổng vận tốc hai xe 90 km/h

Gäi x ( km/h ) vận tốc xe ôtô từ A ( ®iỊu kiƯn : < x < 90 )

Phơng trình lập đợc : 90 x

x - 90x x =

9

20 

40 450

x x   

 

Bµi : Hai xe khëi hµnh cïng mét lóc tõ hai tØnh A B cách 60 km , nếu ngợc chiều sau hai xe gặp Nếu chiều xe đi nhanh đuổi kịp xe sau Tìm vận tốc xe ?

H

ớng dÉn :

Gäi x , y (km/h) lần lợt vận tốc xe nhanh xe ®i chËm ( ®k : x > y > )

Hệ phơng trình lập đợc : 60 3 3 60

x y x y 

   

 

  

40 20

x y     

 

VËy vËn tèc xe ®i nhanh 40 km/h , vận tốc xe chËm lµ 20 km/h

Bài : Một xe ôtô 161,75 km 30 phút Trong đoạn đờng đầu xe đi với vận tốc 28,5 km/h , đoạn đờng lại xe với vận tốc 30,5 km/h Tính độ dài đoạn đờng ?

H

íng dÉn :

Gọi x, y (km) lần lợt độ dài đoạn đờng đầu đoạn đờng lại (đk: x, y > )

Hệ phơng trình lập đợc :

161,75 5,5 28,5 30,5

x y y x

    

 

  

85 76,75

x y     

 

Bài : Để đoạn đờng xe ơtơ I cịn xe ơtơ II Quãng đờng mà xe II 36 phút nhiều quãng đờng mà xe I đi trong 140 km Tìm vận tốc xe ơtơ ?

H

íng dÉn :

Gäi x , y ( km/h ) lần lợt vận tốc ôtô I «t« II ( ®iỊu kiƯn : x , y > )

Hệ phơng trình lập đợc : 5. 6. 7,6. 4. 140

x y

x y

    



  

60 50

x y     

 

Bµi : Mét chiÕc thuyền xuôi dòng ngợc dòng khúc sông dµi 40 km hÕt giê 30 Cho biết thời gian thuyền ngợc dòng km thời gian thuyền ngợc dòng km HÃy tính vận tốc thực thuyền vận tốc của dòng níc ?

H

íng dÉn :

Gäi x , y ( km/h ) lÇn lợt vận tốc thực thuyền vận tốc dòng nớc

Điều kiện : x > y >

Hệ phơng trình lập đợc :

5 4

40 40 9 2

x y x y x y x y 

     

  

 

 



18 2

x y     

 

Bài : Một canô xuôi dòng quÃng sông dµi 12 km råi trë vỊ mÊt giê 30 phút Nếu quÃng sông canô xuôi dòng km ngợc dòng km thì hết giê 20 TÝnh vËn tèc thùc cđa canô vận tốc dòng nớc ? H

íng dÉn :

Gäi x , y ( km/h ) lần lợt vận tốc thực canô vận tốc dòng nớc

§iỊu kiƯn : x > y >

Hệ phơng trình lập đợc :

12 12 5 2

4 8 4

3

x y x y x y x y 

     

 

 

 

 



10 2

x y     

 

Bài : Một thuyền máy xi dịng 40 km Khi quay ngợc dịng , tăng vận tốc gấp đơi lúc , mà thuyền máy vẫn cách nơi đến km Tính vận tốc riêng thuyền máy vận tốc dòng nớc ?

H

íng dÉn :

Gọi x , y ( km/h ) lần lợt vận tốc thực thuyền máy vận tốc dòng nớc

Điều kiện : x > y >

Hệ phơng trình lập đợc :

40 2 40 8

2 2

x y x y 

     

    



12 8

x y     

 

Bài 10 : Một chuyến tàu tốc hành từ thành phố A đến thành phố B cách nhau 80 km Tàu khởi hành chậm 16 phút so với dự kiến ban đầu , nên ngời lái tàu phải tăng vận tốc thêm 10 km/h so với dự định Vì tàu đến B giờ quy định Hỏi vận tốc dự kiến tàu thời

gian tàu từ A đến B ? H

íng dÉn :

Gọi x ( km/h ) vận tốc dự kiến tàu ( điều kiện : x > ) Phơng trình lập đợc : 80

x - x8010 = 4

15 

50 60

x x   

 

Thời gian tàu chạy : 80

50 10 =

4 3 giê

Bài 11 : Một ngời xe đạp dự định từ tỉnh A đến tỉnh B dài 72 km một thời gian định Sau đợc 24 km với vận tốc định , trên qng đờng cịn lại ngời tăng vận tốc thêm km/h , nên đến B sớm dự định 48 phút Tính vận tốc ngời dự định ?

H

íng dÉn :

Gọi x ( km/h ) vận tốc dự định ngời xe đạp ( điều kiện : x > )

Phơng trình lập đợc : 24

x  x483 = 72

x  45  x =

12

Bài 12 : Hai xe lửa từ A B cách 650 km ngợc chiều để gặp nhau Nếu chúng khởi hành lúc gặp sau 10 Nh ng nếu xe lửa thứ hai khởi hành sớm xe lửa thứ 20 phút chúng gặp nhau sau từ lúc xe lửa thứ khởi hành Tính vận tốc xe lửa ? H

íng dÉn :

Gäi x , y ( km/h ) lần lợt vận tốc cđa xe lưa thø nhÊt vµ xe lưa thø hai

Điều kiện : x , y > Hệ phơng trình lập đợc :

10. 10. 650 37

8. 3 . 650

x y

x y

    

 

  

35 30

x y     

 

Bài 13 : Một ngời xe máy khởi hành từ A , dự định với vận tốc trung bình 50 km/h đến B lúc 30 phút Sau khởi hành ng ời đó chỉ với vận tốc 24 phút , cịn sau với vận tốc trung bình 40

km/h , ngời xe đến B lúc 48 phút Hỏi quãng đờng AB dài bao nhiêu km ?

H

íng dÉn :

Ta có ngời xe máy đến B muộn dự định là: 48 phút – 30 phút =

18 = 3

10 giê

Gọi x ( km ) độ dài quãng đờng AB ( điều kiện : x > 20 ) Phơng trình lập đợc :

50x = 25  x4020  103  x =

80

Bµi 14 : Mét canô chạy sông , xuôi dòng 84 km ngợc dòng 44 km 5 giờ Nếu canô xuôi dòng 112 km ngợc dòng 110 km Tính vận tốc riêng canô vận tốc dòng nớc ?

H

íng dÉn :

Gäi x, y (km/h) lần lợt vận tốc riêng canô dòng nớc (đk : x > y > )

Hệ phơng trình lập đợc :

84 44 5 112 110 9

x y x y x y x y 

     

 

 

 

 



25 3

x y     

 

Bài 15 : Một ngời đoạn đờng dài 640 km với ôtô tàu hỏa Hỏi vận tốc ôtô tàu hỏa ? Biết vận tốc ôtô lớn vận tốc của tàu hỏa km/h

H

íng dÉn :

Gäi x , y ( km/h ) lần lợt vận tốc tàu hỏa vận tốc ôtô ( ®k : x > y > )

Hệ phơng trình lập đợc : 5 4 7 640

x y x y 

   

 

  

60 55

x y     

 

Bài 16 : Một ngời xe đạp đoạn đờng dài 126 km Trong 90 km đầu tiên ngời dừng lại nghỉ 15 phút đoạn đờng lại ngời với vận tốc vận tốc ban đầu km/h Biết thời gian đoạn đ ờng đầu tiên nhiều thời gian đoạn đờng lại Tính thời gian ngời hết đoạn đờng nói ?

H

íng dÉn :

Gọi x ( km/h ) vận tốc mà ngời đoạn đờng đầu ( đk : x > )

Phơng trình lập đợc : 90

x  x36 6 = 2  15

18

x x   

 

Bài 17 : Một ôtô quãng đờng dài 60 km thời gian định Trong thực tế , ôtô nửa quãng đờng đầu với vận tốc lớn dự định 10 km/h và

nửa quãng đờng sau với vận tốc thấp dự định km/h , nhng ơtơ đến nơi dự định Tính vận tốc ôtô dự định ?

H

íng dÉn :

Gọi x ( km/h ) vận tốc ôtô dự định ( điều kiện : x > ) Phơng trình lập đợc : 30

10

x 

30 6

x =

60

x  x =

30

Bài 18 : Một ôtô quãng đờng AB Đầu tiên ôtô với vận tốc 40 km/h , sau ơtơ với vận tốc 60 km/h Tính thời gian ơtơ với vận tốc 40 km/h , 60 km/h ? Biết ơtơ với vận tốc 45 km/h ôtô cũng hết quãng đờng AB

H

íng dÉn :

Ta có quãng đờng AB dài : 45.8 = 360 ( km )

Gäi x , y ( ) lần lợt thời gian ôtô víi vËn tèc 40 km/h vµ 60 km/h

§iỊu kiƯn : < x ; y <

Hệ phơng trình lập đợc : 8 40. 60. 360

x y

x y

    

 

  

6 2

x y     

 

Bài 19 : Hai thành phố A B cách 720 km Hai xe khởi hành từ hai thành phố ngợc chiều để gặp gặp trung điểm quãng đờng Tìm vận tốc ơtơ ? Biết ơtơ thứ hai xuất phát sau , nh -ng vận tốc nố lớn ôtô thứ km/h

H

íng dÉn :

Gọi x ( km/h ) vận tốc ôtô thứ ( điều kiện : x > ) Phơng trình lập đợc : 360

x  x3604 = 1  x = 36 Bài 20 : Một canơ xi dịng từ bến sơng A đến bến sơng B cách 24 km , cùng lúc từ A đến B mmột bè nứa trôi với vận tốc dòng nớc km/h Khi đến B canô quay lại A gặp bè nứa địa điểm C cách A km Tính vận tốc thực canô ?

H

íng dÉn :

Gäi x ( km/h ) vận tốc thực canô ( ®iỊu kiƯn : x > ) Ta cã thời gian bè nứa trôi : 8

4 = Phơng trình lập đợc : 24

4

x 

24 8 4

x = 2  x = 20

Bài 21 : Một ôtô chuyển động với vận tốc định để hết quãng đờng 120 km Đi đợc nửa quãng đờng , xe ôtô nghỉ phút , để đến nơi thì xe ơtơ phải tăng vận tốc thêm km/h đoạn đờng cịn lại Tính thời gian xe ôtô chạy quãng đờng thực tế để đến nơi ?

H

íng dÉn :

Gọi x ( km/h ) vận tốc ôtô dự định ( điều kiện : x > ) Phơng trình lập đợc : 120

x = 60x  x602  1

20  x = 48

Bài 22 : Hai tỉnh A B cách 180 km Cùng lúc , ôtô từ A đến B xe máy từ B A Hai xe gặp thị trấn C Từ C đến B ơtơ đi hết cịn xe máy từ C A hết 30 phút Tính vận tốc xe , biết đoạn đờng AB vận tốc xe không thay đổi

H

íng dÉn :

Gäi x , y ( km/h ) lần lợt vận tốc ôtô xe máy ( điều kiện : x ; y > )

Ta cã : CB dµi 2.x km ; AC dµi 4,5.y km Suy : 2x + 4,5 y = 180 (1)

Thời gian ôtô hết quãng đờng AC : 4,5.y

x ( giê )

Thời gian xe máy hết quãng đờng CB : 2x

y ( giê )

Do hai xe xuÊt ph¸t lúc suy ta có phơng trình : 4,5.y

x =

2x y (2)

Từ (1) (2) ta có hệ phơng trình :

2 4,5 180 4,5 2

x y

y x

x y

      

 

 

36 24

x y     

 

Bµi 23 : Một canô xuôi dòng sông 39 km , ngợc dòng 28 km hết thời gian thời gian 70 km hồ nớc yên lặng TÝnh vËn tèc thùc cđa can« , biÕt r»ng vận tốc nớc chảy km/h

H

íng dÉn :

Gäi x ( km/h ) vận tốc canô ớc yên lặng ( điều kiện : x > )

Phơng trình lập đợc : 39 3

x 

28 3

x =

70

x  x =

10

Bài 24 : Một ôtô từ A đến B theo dự tính Nhng đợc 56 km nó dừng lại nghỉ 10 phút Để đến B thời gian dự tính , ơtơ phải tăng vận tốc thêm km/h Tính độ dài quãng đờng AB ?

H

íng dÉn :

Cách : Gọi x ( km ) chiều dài quãng đờng AB ( điều kiện : x > 56 ) Ta có vận tốc dự định :

5x ( km/h )

Thêi gian ôtô 56 km đầu : 56.5

x = 280x ( giê )

Thời gian đoạn đờng lại : 5  1

6  280x = 29xx1680

( giê )

Vận tốc ơtơ đoạn đờng cịn lại : 6 ( 56)

29x xx1680 ( km/h )

Suy ta cã phơng trình : 6 ( 56)

29x xx 1680 = 5

x

 2 

210 80

x x   

 

Cách : Gọi x ( km/h ) vận tốc ôtô dự định ( điều kiện : x > ) Phơng trình lập đợc : 56

x  16 5xx 562 = 5  42

16

x x   

 

Bµi 25 : Mét chiÕc thun dòng sông dài 60 km Thời gian xuôi dòng ít thời gian ngợc dòng lµ giê TÝnh vËn tèc cđa thun xuôi dòng , biết vận tốc xuôi dòng lớn vận tốc ngợc dòng km/h

H

íng dÉn :

Gäi x ( km/h ) lµ vËn tèc cđa chiÕc thun xuôi dòng ( điều kiện : x > )

Phơng trình lập đợc : 60 5

x 

60

x = 1  x = 20

Bài 26 : Hai ôtô khởi hành lúc từ A B cách 180 km ®i ngỵc chiỊu , sau giê 40 hai xe gặp Tính vận tốc riêng của ôtô , biết vận tốc xe xuất phát từ A lớn vận tốc xe xuất phất tõ B lµ 10 km/h

H

íng dÉn :

Gäi x , y (giờ) lần lợt thời gian ôtô từ A ôtô từ B ( điều kiện : x > y > )

Hệ phơng trình lập đợc :

10 5 5

.3 .3 180

x y

x y

    

 

 

 59 49

x y     

 

Bài 27 : Một canơ chạy xi dịng từ bến A đến bến B , quay trở lại bến A ngay tổng cộng Biết qng sơng AB dài 30 km vận tốc dịng nớc là km/h Tính vận tốc canơ nớc yên lặng ?

H

íng dÉn :

Gäi x ( km/h ) vận tốc canô nớc yên lặng ( ®iỊu kiƯn : x > )

Phơng trình lập đợc : 30 4

x 

30 4

x = 4  x = 16

Bài 28 : Một ôtô từ A đến B , lúc xe máy từ B A Vận tốc ôtô lớn vận tốc xe máy 10 km/h , nên ôtô đến B sớm hơn xe máy đến A Tính vận tốc xe , biết quãng đ ờng AB dài 120 km

H

íng dÉn :

Gọi x ( km/h ) vận tốc ôtô ( điều kiện : x > 10 ) Phơng trình lập đợc : 120

x = x12010 - 1  x = 40 Bài 29 : Một ôtô quãng đờng AB với vận tốc 50 km/h , tiếp tục từ B đến C với vận tốc 45 km/h Biết quãng đờng tổng cộng 165 km thời gian

đi AB thời gian BC 30 phút Tính thời gian ôtô mỗi đoạn đờng ?

H

íng dÉn :

Gọi x , y (km/h) lần lợt thời gian ôtô đoạn đờng AB , BC ( đk : x ; y > )

Hệ phơng trình lập đợc :

50. 45. 165 1 2

x y

y x 

   

 

  

3 2 2

x y     

 

Bài 30 : Một ôtô dự định từ A đến B với vận tốc không đổi Sau đợc nửa quãng đờng , xe tăng vận tốc thêm 10 km/h quãng đờng lại nên đến B sớm dự định 30 phút Tính vận tốc dự định ôtô , biết rằng quãng đờnh AB dài 120 km

H

íng dÉn :

Gọi x ( km/h ) vân tốc ôtô dự định ( điều kiện : x > ) Phơng trình lập đợc : 60

x  x6010 = 1

2  x = 30 Bài 31 : Hai ôtô lúc từ A đến B cách 60 km , ôtô thứ đến B trớc ôtô thứ hai đến B 30 phút Nếu từ đầu ôtô thứ hai tăng vận tốc gấp đơi ơtơ thứ hahhi đến B sớm ôtô thứ 30 phút Tính vận tốc của ơtơ ?

H

íng dÉn :

Gọi x, y (km/h) lần lợt tốc ôtô thứ ôtô thứ hai Điều kiện : x > y >

Hệ phơng trình lập đợc :

60 60 2 60 60

2 2

x y

x y

      

   

 40 30

x y     

 

Bài 32 : Hai ngời xe đạp xuất phát lúc từ A đến B Vận tốc của ngời thứ lớn ngời thứ hai km/h Ngời thứ đến B trớc ngời thứ hai 30 phút Tính vận tốc ngời , biết quãng đờng AB dài 30 km

H

íng dÉn :

Gọi x ( km/h ) vận tốc ngời thứ ( điều kiện : x > ) Phơng trình lập đợc : 30

3

x 

30

x = 12  x = 15 Bài 33 : Hai thành phố A B cách 50 km Một ngời xe đạp từ A đến B. Sau 30

phút , ngời xe máy từ A đến B trớc ngời xe đạp Tính vận tốc ngời , biết vận tốc ngời xe máy 2,5 lần vận tốc của ngời xe đạp

H

íng dÉn :

Gọi x ( km/h ) vận tốc ngời xe đạp ( điều kiện : x > )

Phơng trình lập đợc : 50

x  2,5.50x = 2,5  x = 12

Vận tốc ngời xe đạp 12 km/h ; vận tốc ngời xe máy 30 km/h

E Một số dạng tập khác

1 , Các tập có lời giải :

Bµi : Trong mét kú thi chun cÊp , hai trêng A vµ B cã tỉng céng 350 häc sinh dù thi KÕt qu¶ hai trêng cã tỉng céng 338 häc sinh tróng tun TÝnh ra trêng A cã 97% vµ trêng B cã 96% sè học sinh dự thi trúng tuyển Hỏi tr-êng cã bao nhiªu häc sinh dù thi ?

Bài giải :

Gọi x, y lần lợt số HS trờng A B tham gia dù thi c.cÊp (®k: < x, y < 350 ; x,y  )

Tæng số HS dự thi hai trờng A B lµ 350  Ta cã PT : x + y = 350 (1)

Sè häc sinh tróng tun trêng A lµ 97 .

100 x (häc sinh) , trêng B lµ 96

. 100 y (häc sinh)

Do tæng số học sinh hai trờng A trờng B lµ 338 häc sinh  Ta có phơng trình : 97 .

100 x + 96

.

100 y = 338 (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã hƯ phơng trình :

350 97 96

. . 338

100 100

x y

x y

  

 

 

 

 …

200 150

x y

  

 

(t/m)

VËy sè häc sinh trêng A B tham gia dự thi chuyển cấp lần lợt 200 150 học sinh

Bi : Để vận chuyển số gạch đến cơng trình xây dựng , dùng loại xe lớn chở 10 chuyển dùng loại xe nhỏ chở 15 chuyến Khi vận chuyển, ngời ta dùng hai loại xe Biết tổng cộng có tất 11 chuyến xe vừa lớn vừa nhỏ Hỏi loại xe chở chuyến ?

Bài giải :

Gọi x , y lần lợt số chuyến xe nhỏ xe lín (®iỊu kiƯn : < x , y < 11 ; x , y  )

Tổng số chuyến xe hai loại xe lµ 11  Ta cã PT : x + y = 11 (1)

Mỗi chuyến xe lớn chở đợc 1

10 số gạch , xe nhỏ chở đợc 1

15 sè g¹ch Suy ta có phơng trình :

15

x

+ 10

y

= (2)

Từ (1) (2) ta có hệ phơng trình :

11 1 15 10

x y

x y

  

 

  



 … 

3 8

x y

  

 

(t/m)

VËy cã xe lín vµ xe nhá tham gia vËn chun g¹ch

Bài : Có hai loại quặng sắt : quặng loại A chứa 60% sắt , quặng loại B chứa 50% sắt Ngời ta trộn lợng quặng loại A lợng quặng loại B đợc hộn hợp chứa 8

15 sắt Nếu lấy tăng lúc đầu 10 quặng loại A lấy

gim hn lúc đầu 10 loại quặng B đợc hộn hợp quặng chứa 17

30 s¾t

TÝnh khối lợng sắt có loại quặng đem trộn ban đầu ? Bài giải :

Gọi x , y ( ) lần lợt khối lợng lúc đầu quặng A B ( ®k : x > ; y > )

Khối lợng sắt có quặng A lµ 60 100

x

tÊn ; cã quặng B 50 100

y

tấn hộn hợp hai quặng 8  

15 x y tÊn  ta cã PT :

 

6 5 8

10 10 15

x y

x y

   (1)

Khèi lỵng sắt có A sau tăng 10 60  10

100 x ; qng B

sau giảm 10

50 10

100 y  ta cã PT :

     

6 5 17

10 10 10 10

10 x 10 y 30 x  y (2)

Tõ (1) vµ (2) ta cã hệ phơng trình :

   

6 5 8

10 10 15

6 5 17

10 10

10 10 30

x y

x y

x y x y



  

  

     

 

 …  10 20

x y

  

 

§èi chiÕu ®iỊu kiƯn suy 10

20 x y

  

 

tho¶ m·n

Vậy khối lợng lúc đầu quặng A 10 , quặng B 20 Bài : Một hình chữ nhật có chu vi 24 m Nếu tăng chiều rộng thêm m và giảm chiều dài m diên tích hình chữ nhật khơng thay đổi Tính diện tích hình chữ nhật ú ?

Bài giải :

Ta có chu vi hình chữ nhật 24 m , suy nửa chu vi hình chữ nhật lµ 12 m

Gäi x ( m ) chiều rộng hình chữ nhật ( ®iỊu kiƯn : < x < 12 ) Suy chiều dài hình chữ nhật lµ : 12 – x ( m )

Suy diện tích hình chữ nhật : x(12 – x) ( m )

Ta có chiều rộng hình chữ nhật sau tăng m : x + (m) , chiều dài sau

giảm m lµ : 12 – x – = 10 – x ( m )

Suy diện tích hình chữ nhật sau thay đổi : (x + 2)(10 – x) ( m2)

Theo ta có phơng trình : x(12 – x) = (x + 2)(10 – x)  x = ( t/m )

VËy diện tích hình chữ nhật : 5(12 5) = 35 ( m2)

Bài : Để chở đoàn khách 320 ngời tham quan , công ty xe khách đã cho thuê hai loại xe Loại xe thứ có 40 chỗ ngồi , loại xe thứ hai có 12 chỗ ngồi Tính số xe loại , biết loại xe thứ loại xe thứ hai 5 chiếc số ngời ngồi đủ số ghế xe

Bài giải :

Gọi x , y lần lợt số xe loại I số xe loại II ( điều kiện : y > x > ; x , y   )

Ta cã sè xe lo¹i I loại II Suy ta cã PT : y = x + (1)

Số khách ngồi xe loại I 40.x ( ngời ) , ngồi xe loại II 12.y ( ngời )

Ta có tổng số khách hai loại xe chở đợc 320 ngời số ngời ngồi đủ xe

Suy ta có phơng trình : 40.x + 12.y = 320 (2)

Từ (1) (2) ta có hệ phơng trình : 5 40. 12. 320

y x

x y

  



 



 …

5 10

x y

  

 

( t/m )

VËy sè xe loại I só xe loại II 10

Bài : Hai giá s¸ch cã 450 cn s¸ch NÕu chun 50 cn từ giá thứ nhất sang giá thứ hai số s¸ch gi¸ thø hai b»ng 4

5 sè s¸ch giá thứ Tìm số

sách giá ? Bài giải :

Gọi x , y lần lợt số sách giá I giá II ( điều kiện : < y < x ; x , y   )

Tỉng sè s¸ch hai giá sách 450 ta cã PT : x + y = 450 (1)

Khi chuyển 50 từ giá I sang giá II số sách giá I lúc x – 50(cuốn) số sách

giá II lúc y + 50(cuốn) Theo ta có PT : y + 50 = 4

5( x – 50 ) (2)

Từ (1) (2) ta có hệ phơng tr×nh :

 

450 4

50 50

5

y x

y x

  

 

   



 …

300 150

x y

  

 

( t/m )

VËy sè s¸ch giá I 300 , giá II 150

Bài : Một phòng họp có số dÃy ghế có tổng cộng 40 chỗ ngồi Do phải xếp 55 chỗ ngồi nên ngời ta phải kê thêm dÃy ghế dÃy ghế thêm chỗ ngồi Hỏi lúc đầu có dÃy ghế phòng ?

Bài giải :

Gäi x lµ sè d·y ghế có phòng học lúc đầu ( ®iỊu kiƯn : x  *



)

Suy lúc đầu dÃy ghế có 40

x chỗ ngồi

Ta có số dÃy ghế sau tăng dÃy x + Suy dÃy ghế có 55

1

x chỗ ngồi

Do dÃy ghế thêm chỗ ngồi Suy ta có phơng trình : 55

1 x 

40 x =

 x2 14x 40 0

    x 4  x 10 0 

4 10

x x

    

( t/m )

Vậy phòng họp có dÃy ghế cã 10 d·y ghÕ

Bµi : Cho tam giác vuông Nếu tăng cạnh góc vuông lần lợt thêm 4 cm cm , diện tích tam giác tăng thêm 110 cm2 Nếu giảm cạnh góc

đi cm , diện tích tam giác giảm 100 cm2 Tính hai cạnh góc vuông

ca tam giỏc vuụng ú ? Bài giải :

Gäi x , y ( cm ) lần lợt chiều dài cạnh góc vuông thứ cạnh góc vuông thứ hai

§iỊu kiƯn : x , y >

DiÖn tích tam giác : 1

2.x.y ( cm

2)

Theo bµi ta cã PT :

   

   

1 1

4 5 110

2 2

1 1

5 5 100

2 2

x y xy

x y xy



   

  

    

 

 … 

20 25

x y

  

 

( t/m )

Vâỵ chiều dài hai cạnh góc vuông tam giác vuông lần lợt 20 cm vµ 25 cm

2 , Bµi tËp tù luyÖn :

Bài : Trong phịng họp có 360 ghế đợc xếp thành dãy số ghế trong mỗi dãy Có lần phịng họp phải xếp thêm dãy ghế mỗi dãy ghế thêm ghế ( số ghế dãy ) để đủ chỗ cho 400 đại biểu Hỏi bình thờng phịng họp có dãy ghế ?

H

íng dÉn :

Gäi x số dÃy ghế có phòng họp lúc bình thêng ( ®iỊu kiƯn : x  *

 )

Phơng trình lập đợc : 400 360 1 1

x  x  

14 25

x x

    

Bài : Hai số tiền đợc gửi tiết kiệm , số tiền thứ đợc gửi tháng với lãi suất 6% năm ( 12 tháng ) , số tiền thứ hai đ ợc gửi tháng với lãi suất 5% năm ( 12 tháng ) ; sau thời gian gửi tiết kiệm, số tiìen lãi phát ssinh Tổng hai số tiền kể lãi 9215000

đồng Hỏi số tiền ? H

íng dÉn :

Gäi x , y lần lợt số tiền gửi thứ thø hai ( ®iỊu kiƯn : < x , y < 9215000 )

Các PT lập đợc : 9 12

6 100

x

= 7 12

5 100

y

(1) vµ

54 35

9215000 1200 1200

x y

x  y  (2)

Bài : Trong kỳ tuyển sinh vµo líp 10 THPT , hai trêng A vµ B cã tÊt c¶ 450 häc sinh dù thi BiÕt sè häc sinh tróng tun trêng A b»ng 3/4 sè häc sinh trêng A dù thi Sè häc sinh tróng tun cđa trêng B b»ng 9/10 sè häc sinh dù thi cña trêng B TÝnh sè häc sinh dù thi trờng , biết có tất 4/5 sè häc sinh dù thi cđa c¶ hai tróng tun

H

íng dÉn :

Gọi x , y lần lợt sè häc sinh cđa trêng A vµ trêng B tham gia dự thi Điiêù kiện : x , y < 450 ; x , y  ¢

Hệ phơng trình lập đợc :

450

3 9 4

.450 4 10 5

x y

x y

  

 

 

 



300 150

x y

  

 

Bài : Tính chu vi tam giác vuông có cạnh góc vuông cạnh góc vuông m cạnh huyền m

H

íng dÉn :

Gäi x ( m ) lµ chiỊu dµi cạnh góc vuông nhỏ tam giác ( điều kiÖn : < x < )

Phơng trình lập đợc : x2 x12 52  x =

Bµi : Hai rỉ cam cã 180 qu¶ NÕu chun 30 qu¶ cam tõ rỉ thø nhÊt sang rỉ thø hai th× sè cam ë rỉ thø hai b»ng 15

8 sè cam ë ræ thø nhÊt TÝnh sè cam có

trong rổ ? H

ính dÉn :

Gäi x , y lần lợt số cam có rổ thứ rổ thứ hai Điều kiện : x , y  ¢ ; x > 30

Hệ phơng trình lập đợc :

 

180 5

30 1 30 8

x y

y x

  

 

  

 



80 100

x y

  

 

Bài : Để chở số vật liệu đến công trờng xây dựng , phải điều động 30 xe nhỏ làm xe lớn làm chở đợc 13/15 số vật liệu Hỏi 30 xe nhỏ , xe lớn chở hết số vật liệu tong ?

H

íng dÉn :

Gäi x , y ( giê ) lần lợt thời gian 30 xe nhỏ , xe lín chë mét m×nh hÕt sè vËt liƯu

§iỊu kiƯn : x , y >

Hệ phởngình lập đợc :

8 6 1 6 13

15

x y x y 

  

 

   



 10 30

x y

  

 

Bài : Một đoàn gồm 50 học sinh qua sông lúc hai loại ghe Loại thứ ghe chở đợc em học sinh , loại thứ hai ghe chở đợc em Hỏi số ghe loại để chở hết số học sinh , biết số ghe loại hai nhiều hơn số ghe loại thứ

H

íng dÉn :

Gäi x , y lÇn lợt số ghe loại thứ loại thứ hai ( ®iỊu kiƯn : x , y  ¢)

Hệ phơng trình lập đợc : 2 5 7 50

y x

x y

  



  

 3 5

x y

  

 