Tạp chí Pi Tạp chí của hội toán học Việt Nam, Đây là một tạp chí chuyên sâu dành riêng cho môn toán rất phù hợp với các bạn học sinh sinh viên yêu thích môn toán Mọi người hãy tải về và cùng nhau nghiên cứu nhé
Tập Số Tháng 1.2017 Tạp chí Pi Trong số này: Đơi điều Tạp chí Pi Ngơ Bảo Châu Tốn học từ cổ điển đến đại Phép biến hình mặt phẳng Ngơ Bảo Châu Toán học Đời sống Ứng dụng Toán học mật mã – Những giải pháp bất ngờ (Phần 1) Phạm Huy Điển Giải toán bạn Phương pháp quy nạp: làm ăn lớn cần vay nợ nhiều! Hà Huy Khối Một số tốn phân tích đa thức Lưu Bá Thắng Định lý không điểm tổ hợp ứng dụng Vũ Thế Khơi Thách thức tốn học Lịch sử Toán học Vài nét Lịch sử Toán học Việt Nam Hà Huy Khoái Đấu trường Toán học Cuộc thi tốn thành phố Trần Nam Dũng Góc STEM Khoa học, tuổi trẻ dấn thân Nguyễn Thành Công Trạm thiên văn Từ đề thi quốc tế thiên văn học vật lý thiên văn 2016 Phạm Vũ Lộc Quán Toán Toán Bi Đối thoại tốn học Trị chuyện với Giáo sư Hồng Tuỵ Mi Ly thực Điểm sách Sách Cơ sở Euclid Ngô Bảo Châu Thư bạn đọc Tập Số Tháng 1.2017 Tạp chí Pi Giáo sư Ngô Bảo Châu Ảnh: Việt Thanh Đôi điều Tạp chí Pi Đã từ lâu nhiều người cộng đồng tốn học Việt Nam, có tơi, mong ước có tờ báo phổ biến tốn học, tờ Kvant Liên Xô cũ, tờ American Mathematical Monthly Hội Toán học Mỹ, hay tờ Toán học tuổi trẻ năm 60-80 Những trang báo bạn đồng hành chúng tơi q trình học tập trưởng thành từ đặt chân vào đường toán học Sự đời Tạp chí Pi thể nỗ lực cộng đồng yêu toán muốn biến mong ước thành thực Trong bối cảnh khó khăn chung báo giấy, việc thành lập tờ báo giấy bao hàm nhiều rủi ro Tuy vậy, chúng tơi kiên trì làm báo giấy, mong ước chúng tơi nhìn thấy em học sinh thấp chờ ngày có số báo mới, nhìn thấy số báo cũ nhầu nát quăn bìa nằm lăn lóc bàn nước phịng họp giáo viên Chúng tơi tin định không tuý lãng mạn ý chí, số báo với 64 trang mang đến cho bạn đọc thông tin mới, chọn lọc, thú vị bổ ích, có khả khơi dậy niềm đam mê toán học bạn trẻ Hy vọng Tạp chí Pi đồng hành lâu dài với bạn đọc yêu toán Giáo sư Hà Huy Khối ln tự nhận “lãn nhân” Ông tâm đắc với học thuyết lãn nhân, định không sức để làm việc mà người khác làm Trong số vơ vàn khó khăn cho đời Pi, khó khăn lớn thuyết phục Giáo sư Hà Huy Khoái, tuổi 70, đảm đương trách nhiệm Tổng biên tập Có lẽ Giáo sư Hà Huy Khối nhận rằng, việc mà người khác khơng làm Sự đời Pi khơng hồn tồn sn sẻ, riêng thủ tục xin phép xuất kéo dài gần ba năm Trong lúc chờ đợi giấy phép cho Pi, anh Trần Nam Dũng, người thừa lượng nhiệt tình, cho đời Epsilon, chun san khơng thức, lưu hành mạng Tờ Epsilon mười hai số, số 150 trang bạn đọc Tập Số Tháng 1.2017 Tạp chí Pi cộng tác viên chào đón nồng nhiệt Thành công Epsilon nguồn cổ vũ lớn cho nhóm sáng lập Pi Tiến sĩ Trần Nam Dũng, với trách nhiệm Phó tổng biên tập, phụ trách số chuyên mục quan trọng Pi, có Thách thức tốn học Chúng ta biết bạn đọc tờ Pi mong chờ tốn mới, hóc búa thú vị nội dung chuyên mục Thách thức toán học Tôi kể hết tên thành viên Ban biên tập đây, hầu hết thành viên phụ trách chuyên mục Pi Nhưng thiếu sót tơi khơng nêu cá nhân, tổ chức giúp đỡ cho đời Pi từ thời kỳ thai nghén Tiến sĩ Nguyễn Thành Nam ln người nhiệt tình cổ vũ cho hoạt động phổ biến khoa học toán học, anh vận động Funix mentor xây dựng trang web cho Pi đảm nhiệm vai trò Tổng biên tập trang Pi online Trung tâm Violympic đối tác giúp phát hành hỗ trợ cho Pi tổ chức kiện Anh Trần Trọng Thành công ty Alezaa giúp phát hành Pi định dạng phù hợp với ứng dụng thiết bị di động Anh Đỗ Hoàng Sơn công ty Long Minh, người đầy tâm huyết cho phong trào học STEM Việt Nam phụ trách chuyên mục STEM cho Pi Tiến sĩ Chu Cẩm Thơ phụ trách chuyên mục Toán Bi, dành riêng cho học sinh năm cuối tiểu học trung học sở Pi tổ chức hoạt động cổ động niềm đam mê toán học bé Công ty Sputnik, gần đây, đối tác chiến lược Pi, với kinh nghiệm việc làm sách tốn, giúp Pi việc lên trang in ấn Anh Lê Thống Nhất, người có nhiều kinh nghiệm việc xây Tốn tuổi thơ có nhiều gắn bó với Pi thời kỳ thai nghén Mạn phép thay mặt cho cộng đồng tốn học, tơi xin ghi nhận đóng góp anh chị, tổ chức nói cho đời Pi xin cảm ơn Cảm ơn bạn đọc đón chào Pi nhiệt tình Ngô Bảo Châu Tập Số Tháng 1.2017 Tạp chí Pi TỐN HỌC TỪ CỔ ĐIỂN ĐẾN HIỆN ĐẠI PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG ■ NGƠ BẢO CHÂU Đối tượng hình học Euclid điểm, đường thẳng, đường trịn mặt phẳng vị trí tương đối chúng Vào cuối kỷ 19, hình học trải qua lột xác sâu sắc hình thức lẫn nội dung ảnh hưởng tư tưởng cách mạng F Klein, B Riemann, H Poincaré Đối tượng hình học khơng cịn điểm đường mà nhóm phép biến hình đại lượng bất biến Trong giáo trình tốn cao cấp, người ta thường bỏ qua mối liên hệ toán quen thuộc đường thẳng, đường trịn hình học Euclid tốn phép biến hình Mục đích viết giải thích mối liên hệ Để hiểu viết này, bạn đọc cần trang bị số khái niệm sở đại số tuyến tính biết định nghĩa nhóm Phép biến hình affine Mặt phẳng hình học Euclid mơ khơng gian vector hai chiều ℝ2 trường số thực Mỗi điểm P mặt phẳng xác định toạ độ (x, y) với x, y hai số thực Gốc toạ độ ký hiệu O Đường thẳng tương ứng với tập ℝ2, xác định phương trình có dạng ax +by = c, với a,b, c số thực Đường thẳng có phương trình ax+by = c chạy qua gốc toạ độ c = Phép biến hình mà quan tâm song ánh f: ℝ2 → ℝ2 biến đường thẳng thành đường thẳng Các phép biến hình lập thành nhóm ta có hợp thành f o g hai phép biến hình f g cho trước Theo định nghĩa, hai đường thẳng song song khơng cắt nhau, ảnh chúng qua phép biến hình hai đường thẳng song song Cũng mà Tập Số Tháng 1.2017 Tạp chí Pi phép biến hình biến hình bình hành thành hình bình hành khác Nếu f cố định gốc toạ độ nghĩa f(O) = O, f phải biến đổi tuyến tính ℝ2 Biến đổi tuyến tính ℝ2 có dạng: với a,b, c,d số thực thoả mãn ad −bc ≠ Tập ma trận vng cỡ × với hệ số a,b, c,d ∈ ℝ lập thành nhóm GL2(ℝ) Hợp thành hai phép biến hình tương ứng với tích hai ma trận Một phép biến hình f : ℝ2 → ℝ2, không thiết cố định gốc toạ độ, hợp thành ánh xạ tuyến tính với ma trận vng a,b, c,d phép tịnh tiến theo vector (e, f) ∈ ℝ2 đó: đường trịn tương ứng với nhóm A bao gồm phép biến hình bảo giác Phép biến hình bảo giác mặt phẳng Hình học phẳng trở nên thực thú vị có thêm khái niệm khoảng cách Khoảng cách từ điểm P = (x, y) đến gốc toạ độ O cho công thức Pythagore: Như vậy, phép biến hình f xác định ma trận g ∈ GL2(ℝ) vector u ∈ ℝ2 theo công thức: f(v) = gv+u Bên cạnh toạ độ Descartes P = (x, y) ta cịn xác định điểm P ≠ O mặt phẳng toạ độ cực (r,φ) với r = OP φ ∈ [0,2π) góc định hướng từ tia Ox đến tia OP Để chuyển từ toạ độ cực sang toạ độ Descartes ta có cơng thức: (x, y) = r(cosφ,sinφ) với v ∈ ℝ2 Vì vậy, tập A phép biến hình đơn giản tích trực tiếp GL2(R) × ℝ2 Chú ý phép hợp thành phức tạp chút ít: f1(v) = g1v+u1 f2(v) = g2v+u2 ta có Phép biến hình f ∈ A cố định gốc toạ độ, bảo tồn khoảng cách, góc định hướng, bắt buộc phải phép quay quanh gốc toạ độ Phép quay quanh gốc toạ độ ρθ với góc quay θ biến đổi tuyến tính: f1 o f2(v) = g1g2(v) +u1 +g1u2 Cơng thức cho thấy nhóm A phép biến hình affine tích nửa trực tiếp mà phần tử cặp (g,u) với G ∈ GL2(ℝ) u ∈ ℝ2 luật hợp thành cho công thức (g1,u1)(g2,u2) = (g1g2,u1 +g1u2) Các định lý hình học phẳng có điểm, đường thẳng, đường thẳng song song định lý Thales, Ceva, Melenaus quy cấu trúc nhóm phép biến hình affine A Ta suy đẳng thức lượng giác quen thuộc: từ công thức hợp thành phép quay Ở này, bỏ qua phần để tiếp đến phần thú vị hình học phẳng với diện góc đường trịn Sự diện góc Tập Số Tháng 1.2017 Tạp chí Pi Mỗi phần tử tác động lên ℂ theo công thức g(z) = az+b Sau đồng mặt phẳng Euclid với tập số phức ℂ, nhóm phép biến hình bảo giác với nhóm , ta xem lại tính chất hình học phẳng qua lăng kính lý thuyết bất biến Đại lượng bất biến tác động B lên ℂ tỉ số đơn cách thực phép nhân ma trận Nhóm ma trận quay ρθ ký hiệu SO2(ℝ), đẳng cấu với nhóm S1 điểm đường trịn đơn vị Tổng qt hơn, phép biến hình f ∈ A cố định gốc toạ độ bảo tồn góc có định hướng, hợp thành phép quay ρθ phép vị tự với tỉ số vị tự số thực dương r ∈ ℝ+ Ta thấy nhóm phép biến hình bảo giác cố định gốc toạ độ Thật vậy, với g ∈ B, sử dụng công thức g(z) = az+b ta dễ thấy Các tính chất đường điểm biểu đạt gọn gàng nhờ vào tỉ số đơn: • z1,z2,z3 ba điểm thẳng hàng tỉ số đơn (z1;z2,z3) số thực: (z1;z2,z3) ∈ ℝ Tác động phép biến hình bảo giác lên mặt phẳng mô tả cách tiện lợi nhờ vào số phức Ta đồng mặt phẳng thực ℝ2 với tập số phức ℂ cách gán điểm có toạ độ (x, y) ∈ ℝ2 với số phức z = x+iy Khi tập phép biến hình bảo giác cố định gốc toạ độ • Hai tia z1z2 z1z3 tạo thành góc vng tỉ số đơn (z1 : z2 : z3) số ảo: (z1;z2,z3) ∈ iℝ • Ba điểm z1,z2,z3 đỉnh tam giác xếp theo chiều kim đồng hồ (z1;z2,z3) = -j phép quay quanh gốc toạ độ ρθ với góc quay **θ tương ứng với số phức eiθ, phép vị tự tỉ số r ∈ ℝ+ tương ứng với số thực r ∈ ℂ× hợp thành chúng tương ứng với số phức reiθ Tác động ℂ× ℂ cho phép nhân số phức (a,z) ⟼ az Ta thấy nhóm B tất phép biến hình bảo giác nhóm Tập Số Tháng 1.2017 Tạp chí Pi với j = e2iπ/3 bậc ba nguyên thuỷ đơn vị Dễ thấy điều tương đương với z1+ jz2+ j2z3 = Ta thử nghiệm ứng dụng quan sát để chứng minh số định lý hình học đơn giản số phức Một ví dụ tiêu biểu định lý đường thẳng Euler chạy qua trực tâm, trọng tâm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Sử dụng phép biến hình ta giả sử ba đỉnh tam giác ba số phức z1,z2,z3 nằm đường trịn đơn vị Khi tâm đường trịn ngoại tiếp số phức ∈ ℂ Trọng tâm tam giác số phức (z1 +z2 +z3)/3 Sử dụng tiêu chuẩn tỉ số đơn cho góc vuông, ta thấy trực tâm tam giác số phức z1 +z2 +z3 Ta nhận thấy trọng tâm, trực tâm tâm đường tròn ngoại tiếp ba điểm thẳng hàng, trọng tâm nằm tâm đường tròn ngoại tiếp trực tâm theo tỉ lệ : Tỉ số chéo Còn quan trọng tỉ số đơn khái niệm tỉ số chéo, tức tỉ số hai tỉ số đơn: Có thể chứng minh tỉ số chéo (z1,z2;z3,z4) số thực bốn điểm z1,z2,z3,z4 thẳng hàng, nằm đường tròn Thật vậy, tuỳ vào z1,z2 nằm phía hay nằm hai phía so với đường thẳng chạy qua z3 z4, tiêu chuẩn tỉ số chéo tương đương với việc góc nhìn từ z1 z2 xuống đoạn thẳng z3z4 hai góc hai góc đối Nếu hoán vị điểm z1,z2,z3,z4, tỉ số chéo λ = (z1,z2;z3,z4) biến thành số phức λ,λ−1 ,1 − λ,(1 − λ)−1 ,1 − λ−1,(1 − λ−1) −1 Rõ ràng sáu số số thực năm số cịn lại số thực Tuy nhận xét tầm thường, bạn đọc nên lưu ý mẹo phổ biến tốn hình học phẳng sử dụng dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp cho cặp góc khác Mẹo tương ứng với việc tính tỉ số kép sau hốn đổi vị trí điểm Tập Số Tháng 1.2017 Tạp chí Pi Tỉ số chéo bất biến phép biến hình tổng quát biến hình bảo giác mặt phẳng, điển hình phép nghịch đảo hình học sơ cấp Các phép nghịch đảo biến đường tròn thành đường tròn đường thẳng, cơng cụ thú vị hình học sơ cấp Một đặc thù phép nghịch đảo biến tâm phép nghịch đảo thành điểm vô hạn Ánh xạ z ⟼ z−1 phép nghịch đảo điển hình Các phép nghịch đảo phần tử nhóm G phép biến hình Moebius Nhóm tác động lên đường thẳng xạ ảnh phức ℙ1(ℂ) (ℂ) = ℂ∪{∞} Nhóm G chứa B=ℂ× x ℂ nhóm phần tử g ∈ G cố định điểm ∞ ℙ1(ℂ) B tác động lên ℂ biết Ta hiểu điểm ℙ1(ℂ) không gian vector chiều không gian vector hai chiều ℂ2 trường số phức Mỗi đường thẳng phức sinh vector (x, y) ∈ ℂ2 khác không Như điểm ℙ1(ℂ) xem lớp tương đương vector (x, y) ∈ ℂ2 − {(0,0)} theo quan hệ tương đương: (x1, y1) ∼ (x2, y2) tồn t ∈ ℂ× cho x2 = tx1 y2 = ty1 Ta ký hiệu lớp tương đương Nếu toạ độ y ≠ 0, ta có (x, y) ~ (xy−1 ,1) điểm ℙ1(ℂ) với toạ độ y ≠ tương ứng với số phức z = xy−1 ∈ C Điểm lại điểm với toạ độ y = mà ta ký hiệu điểm ∞ Nhóm biến đổi tuyến tính ℂ2 nhóm ma trận khả nghịch với hệ số phức Nhóm tác động lên ℙ1(ℂ) theo công thức Do ma trận dạng với a ∈ ℂ× tác động tầm thường ℙ1(ℂ), nhóm biến hình Moebius nhóm Nhóm G cố định điểm ∞ tương ứng với ma trận cóℂ= nhóm B =ℂ× o C Nhóm G = PGL2(ℂ) nhóm biến đổi bảo giác đường thẳng xạ ảnh phức ℙ1(ℂ) Tập Số Tháng 1.2017 Tạp chí Pi Kết luận Các tốn hình học mặt phẳng phát biểu lại thành toán tỉ số đơn, đại lượng bất biến nhóm B biến đổi bảo giác đường thẳng phức ℂ, tỉ số chéo, đại lượng bất biến nhóm G biến đổi bảo giác đường thẳng xạ ảnh phức ℙ1(ℂ) Trên ngun tắc tốn hình học chuyển tốn lý thuyết bất biến, giải lý thuyết bất biến thuật tốn Lời giải đơi đơn giản hơn, thường cồng kềnh hơn, thú vị so với lời giải hình học Thực phiên dịch lời giải hình học sơ cấp sang lý thuyết bất biến dịch dãy tính tốn bất biến nhiều lắt léo Lời giải tất nhiên gọn gàng so với lời giải máy móc thuật toán Tuy nhiên việc tồn thuật toán máy móc để giải tất tốn hình học sơ cấp làm chuyên ngành sức hút mà vốn có Hình học đại nghiên cứu nhiều nhóm Lie, nhóm PGL2(ℂ), khơng gian nhất, đường thẳng xạ ảnh phức ℙ1(ℂ), với tác động bắc cầu nhóm Lie cầu thoả mãn chừng mực chấp nhận (Bài toán khơng khó tốn học, mà đời: hy vọng đạt cách cao mục tiêu, mà vấn đề phải cho hài hồ mục tiêu đó!) Để giải toán đặt ra, năm gần xuất nhiều kết thú vị Một phương pháp dùng mã hình học đại số vào lí thuyết thơng tin Phương pháp thực bất ngờ xưa nay, hình học đại số ngành trừu tượng toán học, nghĩ lại dùng vào vấn đề thực tiễn Việc dùng hình học đại số để tìm biên giới thích hợp lí thuyết thơng tin góp phần xố biên giới tốn học lí thuyết tốn học ứng dụng Cịn điều mà tơi chưa nói đến kể hệ thống truyền tin bà vợ nói trên, vấn đề bảo mật Nếu có anh chàng biết điều giao hẹn vợ chồng nhà muốn phá vỡ hạnh phúc họ, hay để trêu chọc thơi, gây nhiễu cách giật dây thật nhanh, để dù bà vợ có “tăng độ thừa” đến đâu, dứt bỏ tiếng xấu tham ăn chồng Vì thế, truyền tin, thiết phải đặt vấn đề bảo mật Một lần nữa, tốn học đại lại giúp ích cho bà vợ cách cung cấp phương pháp mã hoá đại Về chủ đề này, bạn tìm hiểu thêm Toán học mật mã Phạm Huy Điển, số báo Kho tàng văn học dân gian vô phong phú Trên nhiều ví dụ mối liên hệ văn học dân gian toán học đại Các bạn thử tìm thêm ví dụ khác nhé! Danh ngơn toán học “Do not worry about your difficulties in Mathematics I can assure you mine are still greater” Đừng lo lắng bạn thấy Tốn khó Tơi khẳng định tơi cịn thấy khó Albert Einstein Tập Số Tháng 1.2017 Tạp chí Pi 52 TỐN CỦA BI Xếp hình mong manh Lưu Thanh Hà∗ Mời bạn xem số hình ảnh sau: Sau đây, bạn đọc tìm hiểu phần “kì diệu” gỗ KAPLA thông qua thử thách với hình “mong manh” Mong manh nào, tác giả xin giới thiệu ví dụ sau: Những hình ảnh thật hấp dẫn phải khơng nào! Bạn có biết chúng tạo thành từ gỗ KAPLA (Kabouter Plankjes)? Đó gỗ với tỉ lệ 1:3:15 phát minh năm 1987 Tom van der Bruggen (người Hà Lan) Điều đáng nói gỗ đơn giản đến mức tối giản xây dựng nhiều kiến trúc đáng kinh ngạc Chúng gắn kết với lực hấp dẫn cân bằng, không keo dán, khơng ốc vít, khơng chỉnh sửa kích thước Tập Số Tháng 1.2017 Tạp chí Pi Bình luận: Quan sát hình 1, ta thấy có 12 gỗ chồng lên theo qui luật bên dịch chuyển sang phải khoảng so với mà khối 12 cân không bị đổ Vậy xếp thêm lên khối 12 này? 53 Và khối đánh trạng thái cân bằng? Câu trả lời số lượng gỗ xếp thêm phụ thuộc vào biên độ dịch chuyển sang phải lần xếp Ta biết rằng, vật có mặt chân đế giữ trạng thái cân giá trọng lực phải qua mặt chân đế hay trọng tâm rơi mặt chân đế Ở đây, lần xếp thêm gỗ, trọng tâm khối lại có xu hướng dịch chuyển lên cao dịch chuyển sang bên phải Do đó, trọng tâm rơi bên ngồi mặt chân đế (chính diện tích bề mặt gỗ cùng) khối đánh trạng thái cân Quan sát hình 2, ta thấy có thêm khối tương tự hình xếp tiếp lên lại dịch chuyển sang trái Bằng cách này, trọng tâm tiếp tục đưa lên cao (nghĩa khả cân bị giảm đi) trọng tâm kéo trở lại để rơi mặt chân đế Cứ vậy, ta xếp khối tiếp tục cao (hình 3) dù diện tích mặt chân đế nhỏ, trọng tâm cao làm ảnh hưởng đến cân khối Dĩ nhiên, cân bị ảnh hưởng chất liệu gỗ, ngoại lực bên ngồi kể bình tĩnh, tập trung, khéo léo người xếp Một ý tưởng đặt là: Nếu nâng khối 12 (Hình 1), đặt lên hai (làm cột chống) khối có cịn giữ cân bằng? Câu trả lời có Vì thực chất mặt chân đế khơng thay đổi (Bạn đọc tự quan sát, tìm hiểu) Bây giờ, ta bớt chống (nghĩa diện tích chân đế giảm cịn nhỏ) khối có cịn cân bằng? Câu trả lời có có, câu chuyện khó nhiều Để giữ cân bằng, trọng tâm bắt buộc phải rơi mặt chân đế nhỏ Và thế, việc giữ cân hay không thực “mong manh” Thử thách cho bạn đọc Dùng gỗ KAPLA, bạn đọc xếp lại hình sau cảm nhận “mong manh” đồng thời thử thách tập trung, kiên nhẫn nhé! Dành cho bạn từ đến tuổi: Tập Số Tháng 1.2017 Tạp chí Pi 54 Que tính kỳ diệu Vũ Anh Tuấn† a) Có thể xếp tam giác giống từ que tính hay khơng? b) Có thể xếp tam giác giống từ que tính hay khơng? Bình luận: Câu trả lời có, tinh ý quan sát chút thấy hàng ngày, gặp đáp án câu hỏi nhiều, hình ngơi cánh: Que tính hay vật tương tự (que tăm, đũa, mảnh củi, cành cây, ) quen thuộc Dùng que tính xếp gì? Hình 1, với 13 que tính xếp chó Hình 2, với que tính xếp cá Hình 3, có mơ hình tàu vũ trụ với 16 que tính, hình 4, ti vi mơ que tính b) Tương tự xếp tam giác giống từ que tính (ngồi tam giác khơng có tam giác khác) Chúng ta xem xét số toán thú vị sau: Bài 1: Tập Số Tháng 1.2017 Tạp chí Pi 55 Câu hỏi đặt là, với que tính, xếp nhiều tam giác giống nhau? Tác giả tìm đáp án có 14 tam giác giống hình vẽ? Đáp án bạn bao nhiêu, 14 có phải đáp án cuối cùng? Di chuyển que tính, bạn tạo hình vng? Bình luận: Chú ý rằng, đề yêu cầu xuất hình vng mà khơng nhắc đến kích thước hình có phải hay khơng, điểm giúp ta đột phá tốn này, chăm chăm xếp hình vng có kích thước dẫn đến ngõ cụt mà thơi Bài 2: Quan sát hình vẽ bên, thấy xuất hình vng Câu đố cho bạn: 1) Trong hai ý (a) (b) trên, với que tính xếp tam giác, với que tính xếp tam giác (và nhiều nữa), số que tính Tập Số Tháng 1.2017 Tạp chí Pi 56 để xếp số tam giác với số que tính? 2) Hình mơ ngựa dạo chơi Di chuyển que tính, bạn làm cho ngựa quay đầu nhìn hướng khác? 5) Hình vng sau xếp từ que tính: 3) Xếp lại hình cá H2, tìm cách di chuyển que tính để cá bơi theo hướng khác 4) Bạn dùng 16 que tính để mơ hình bướm bay? Tập Số Tháng 1.2017 Tạp chí Pi Sử dụng que tính khác, chia hình vng thành hai phần giống nhau, ý khơng "thừa" phần que tính Lời giải xin gửi về: chuyên mục Toán Bi 57 ĐỐI THOẠI TỐN HỌC TRỊ CHUYỆN VỚI GIÁO SƯ HOÀNG TỤY ■ Mi Ly (thực hiện) Nổi danh giới tốn học giới có vai trị tiên phong xây dựng tốn học nước, GS Hồng Tụy chọn nhân vật chuỗi đối thoại tạp chí Pi Ở tuổi 90, ơng vừa mắt sách “Convex Analysis and Global Optimization” (Giải tích lồi Tối ưu hóa tồn cục), viết cơng trình quan trọng đời Giới tốn học giới coi ơng “cha đẻ tối ưu toàn cục”, người mở đường cho chuyên ngành toán học chuyên ngành hoi có “quê hương” Việt Nam Người ta nói, GS Hồng Tụy danh giới toán học quốc tế quê nhà – nơi coi toán học ngành xa lạ, phần dành cho trí thức tinh hoa Mãi biết ơn người anh, người thầy Lê Văn Thiêm Thưa GS Hồng Tụy, Ban biên tập tìm nhân vật cho chuỗi chân dung nhân vật tốn học Việt Nam cho tạp chí Pi, GS Ngơ Bảo Châu nói khơng có lựa chọn khác ngồi ơng, GS Hồng Tụy, đóng góp to lớn ơng cho tốn học nước nhà Ơng có suy nghĩ điều này? Trước hết tơi cảm ơn GS Ngơ Bảo Châu lựa chọn Cơng lao xây dựng tốn học Việt Nam, công đầu thuộc anh Lê Văn Thiêm Giáo sư, Tiến sĩ Khoa học Việt Nam Anh xây dựng nên toán học Việt Nam từ thời đất nước cịn nghèo lạc hậu Tốn lại ngành khoa học trừu tượng xa lạ với thực tế đất nước Anh Lê Văn Thiêm nguồn động viên to lớn tất chúng tôi, thần tượng hệ Từ cịn học trung học, tơi biết tiếng anh học tập nhiều từ anh Tiếc đời anh không gặp may mắn, gặp phải nhiều bi kịch Nhờ cơng lao anh nhà tồn học hệ sau, toán học Việt Nam phát triển đạt trình độ tương xứng với phát triển đất nước Toán học Việt Nam tự khẳng định giới thông qua thành tựu công bố nhà toán học thành danh trường quốc tế Chúng ta cần nhiều nhà toán học thành danh Cơng trình “Tối ưu hóa tồn cục” ơng thành tựu tốn học Việt Nam giới cơng nhận Ơng chia sẻ thêm trình làm nên thành tựu này? "Dù không hiểu cần tôn trọng giá trị Tốn học" Hồng Tụy Tập Số Tháng 1.2017 Tạp chí Pi 58 Về mặt cơng bố quốc tế anh Lê Văn Thiêm nhà toán học Việt Nam làm điều năm 1947 sau anh bảo vệ luận án Tiến sĩ Đức vào năm 1945 Nhưng nước, hồn cảnh xã hội đó, anh phải làm cơng tác đào tạo cán khơng có nhiều thời gian làm khoa học Cịn tơi, cơng bố quốc tế viết tiếng Nga vào năm 1987 - 1988, đăng tải tạp chí Liên Xơ Khi đó, tốn học Liên Xô phát triển hàng đầu giới nên sách báo Liên Xô dịch sang tiếng Anh giới tốn học phương Tây tiếp cận Ban đầu, tơi nghiên cứu hàm thực, lĩnh vực đà xuống nên ý Sau đó, chuyển dần sang lý thuyết tối ưu, đơn giản tơi nghĩ lý thuyết áp dụng nước chưa phát triển Việt Nam Việc công bố Tối ưu hàm lõm khởi đầu cho Tối ưu hóa tồn cục Sang thập niên 1990, có tạp chí riêng Tối ưu hóa tồn cục giới Và tơi bắt đầu viết sách từ năm 1990 Tơi có may mắn nhờ theo đuổi ngành có ứng dụng thực tế nên có vị trí tốn học Kỷ niệm đẹp nghiệp lần dự hội thảo quốc tế quy hoạch toán học Budapest (Hungary) vào năm 1976 Lần đó, tơi mời sang Pháp tháng trình bày tiếng Anh chương trình hội thảo khán phịng kín đặc nhà toán học tài đến từ khắp nơi giới Lúc bước lên bục để trình bày cơng trình mình, cử tọa ý Chắc hẳn người ta tị mị nhà tốn học Việt Nam xa xơi Lúc tơi phát biểu xong, Tổng biên tập mơt tờ tạp chí đến gặp mời tham gia Ban biên tập tờ tạp chí Quá bất ngờ vui sướng, tơi nhận lời ln Đó thực kỷ niệm đẹp đời làm toán tơi “Người thầy trung bình biết nói, người thầy giỏi biết giải thích, người thầy xuất chúng biết minh họa, người thầy vĩ đại biết cách truyền cảm hứng.”Các học trị dùng câu để nói ơng, ý ông người thầy biết truyền cảm hứng Khi dạy, ơng có ý thức việc truyền cảm hứng cho học trị khơng? "Trong giảng tơi mà học trị ngủ gật khơng xong rồi" Tơi yêu nghề dạy học Từ dạy trung học, tơi trọng truyền niềm say mê tốn học cho học trị khơng truyền đạt kiến thức thơng thường Khi giảng, phát học trị lơ đãng với học, tơi tìm cách để đưa hứng thú họ quay lại Trong giảng tơi mà học trị ngủ gật khơng xong (cười) GS Hồng Tụy Ảnh: Mi Ly Ông kể vài kỷ niệm đẹp ơng với tốn học? Tập Số Tháng 1.2017 Tạp chí Pi Tơi có nhiều người học trị đáng q, sau thành cơng tốn học Hà Huy Khối, Hồng Xn Phú, Ngơ Việt Trung, Nguyễn Minh Chương 59 Nhà báo Hồng Thanh Quang nhận xét ông “thanh niên”, quan tâm đến vấn đề thời đại mới, hay góp ý dẫn dắt cho hệ sau chun mơn Ơng nghĩ lời nhận xét đó? Lời nhận xét nói cách 15 năm rồi, 75 tuổi Bây 90, khơng cịn niên thời (cười) Nhưng kể lớn tuổi, say sưa với Dù làm ngành tốn ứng dụng, tơi quan tâm đến tốn lý thuyết khuyến khích nhiều nhà toán học hệ sau theo đuổi lý thuyết phạm trù Còn sau tuổi cao hơn, quỹ thời gian đời dần eo hẹp, trở với mối quan tâm lớn đời tối ưu hóa tồn cục chun tâm viết sách mới, “Convex Analysis and Global Optimization” - Giải tích lồi Tối ưu hóa tồn cục Giới tốn học quy tụ nhiều trí thức tinh hoa đất nước, tính “tinh hoa” có mâu thuẫn với đại chúng, khiến đại chúng nghĩ toán ngành tinh hoa số người? Điều khơng có Việt Nam mà nước Tốn học ln Tập Số Tháng 1.2017 Tạp chí Pi ngành tri thức tinh hoa mà đại chúng khó hiểu khó tiếp cận Mặc dù vậy, nước, dù không hiểu người ta coi trọng tốn học Cịn Việt Nam, khơng hiểu khơng tin vào tốn học nên coi thường Đó lối suy nghĩ ấu trĩ Người ta cần trân trọng giá trị vẻ đẹp toán học Xin cảm ơn giáo sư! Cùng với Giáo sư Lê Văn Thiêm, ông hai người tiên phong xây dựng toán học Việt Nam Năm 2011, GS Hoàng Tụy trở thành người giới nhận Giải thưởng toán học Con- stantin Caratheodory Hội Tối ưu Toàn cục Quốc tế trao tặng Ông coi cha đẻ lý thuyết tối ưu toàn cục toàn giới Bên cạnh đó, GS trao Giải thưởng Hồ Chí Minh đợt vào năm 1996 giải thưởng Phan Châu Trinh năm 2010 Cuốn sách tiếng Anh “Convex Analysis and Global Optimization” - Giải tích lồi Tối ưu hóa tồn cục, in lần GS Hoàng Tụy vừa NXB Springer ấn hành vào cuối năm 2016 60 ĐIỂM SÁCH LTS Pi mong muốn giới thiệu thường xuyên đến độc giả sách hay, có ích cho người Lựa chọn cho chuyên mục thật dễ dàng: “Cơ sở” Euclid Bởi “Theo nghĩa đó, Cơ sở sách tuý toán học nhân loại tờ giấy khai sinh tốn học mơn độc lập, phận triết học” Cũng lý mà, bạn thấy, hình ảnh Euclid lấy làm ảnh bìa cho Pi số Sách Cơ sở Euclid Ngô Bảo Châu tư đạt đến mức tinh t, có lẽ tính bay bổng thời kỳ trước Socrates sức mạnh tư Plato, Socrates Euclid viết sách Cơ sở Alexandria khoảng 300 năm trước Công nguyên Đây thời kỳ Hellenistic triết học cổ đại, thời kỳ mà triết học cổ đại lan toả tới vùng đất chịu ảnh hưởng văn hoá Hy Lạp mà tiêu biểu thành Alexandria bên bờ Phi Địa Trung Hải Nét chung triết học thời kỳ Hellenistic, phần thể sách Cơ sở, Tập Số Tháng 1.2017 Tạp chí Pi Người ta cho hầu hết nội dung sách Cơ sở truyền lại từ tiền nhân Pythagoras, Plato, Eudoxus Tuy nhiên, khác với Pythagoras Plato, Euclid loại bỏ triệt để yếu tố siêu hình gán cho số hình Các số hữu tỉ khơng cịn coi minh chứng cho hài hoà vũ trụ, khối khơng gian khơng cịn coi ý niệm tốn học nấp đằng sau phạm trù siêu kim thuỷ hoả thổ Hệ thống suy luận logic xuất phát từ hệ tiên đề Plato Euclid sử dụng cách triệt để, tiêu tính chặt chẽ chứng minh áp dụng cách không khoan nhượng Theo nghĩa đó, Cơ sở sách t tốn học nhân loại tờ giấy khai sinh tốn học mơn độc lập, phận triết học Cách Euclid xây dựng hệ thống kiến thức 61 cao vút dưa số tiên đề lấy luật logic làm chất gắn kết, hình mẫu cho phát triển toán học ngày hôm Trải qua 2400 năm, mệnh đề phát biểu chứng minh sách Cơ sở cịn tươi tắn cách đáng ngạc nhiên Từ hình học tam giác mà học năm cấp hai, chứng minh tuyệt đẹp phản chứng cho tồn vô hạn số nguyên tố, từ thuật tốn Euclid tìm ước số chung lớn mà phải học giáo trình sở toán học tin học, chứng minh khơng tồn khối khác ngồi năm khối Platon, nội dung triển khai cách đầy đủ sách Cơ sở hưởng tới phát triển văn minh nhân loại Sách tái hàng ngàn lần, số lần tái có lẽ thua Kinh thánh Từ thời kỳ Phục Hưng đầu kỷ hai mươi, sách Euclid coi sách mà người có học phải đọc Lớn lên từ Cơ sở, Toán học bước xa Bây bạn tìm vơ số sách tốn với nhiều nội dung hơn, trình bày sáng sủa sách Euclid Tuy vậy, tin người có học cần đọc Euclid vào thời điểm đời mình, cần có Cơ sở đặt giá sách Cảm ơn nhà xuất Trí thức, Alpha books nhóm dịch giả đem sách Cơ sở Euclid đến với độc giả Việt Nam Đấy có lẽ lý Cơ sở coi sách có ảnh Tập Số Tháng 1.2017 Tạp chí Pi 62 THƯ BẠN ĐỌC LTS Pi vui số mắt, Pi nhận nhiều trao đổi bạn đọc Đặc biệt, Pi cám ơn nhà giáo Hồng Quang (Hà Nội) gửi cho Pi thư dài, mà Pi trích đăng Ngồi ra, bạn Phan Dương Hiệu (giáo sư đại học Limoge, Pháp) vừa hài hước, vừa khoa học có đơi lời “bếp núc” Pi Pi cảm nhận tình cảm ấm áp bạn, xin đăng “Bức thư” giáo sư Phan Dương Hiệu xem tốn để bạn đọc tính tốn, suy nghĩ! Trong “lời bình” thư đó, Giáo sư Đàm Thanh Sơn (đại học Chicago, Hoa Kỳ) có nói rằng, việc diễn “trên mặt cầu, khơng cần làm trịn”, nhỉ? Thư nhà giáo Hồng Quang "Kính chào BBT Tạp chí π Tơi giáo viên (GV) nghỉ hưu, có giải thích giúp số học sinh u thích Tốn Hơm trước tơi có giới thiệu với em Tạp chí π khuyên em nên độc giả tích cực Tạp chí Nhân tiện giới thiệu với em tốn ĐI XE BT mà Tạp chí vừa đề cập Tối hôm Noel em lại đến chơi Trong câu chuyện tơi có hỏi em giải xong tốn chưa Các em bảo xong nói mấu chốt chỗ khoảng thời gian (T) từ lúc xe khởi hành Sư phạm đến lúc xe khởi hành Kinh tế Quốc dân 10 phút Biết em hiểu chất vấn đề nên nhắc thêm toán sống ta cần nắm bắt liệt kê tất giả thiết (tuy không nêu rõ Bài tốn, mặc định cơng nhận) để sở chuyển tốn sống thành tập mơn Tốn (Để dễ hiểu tơi xin lược ghi thoại) GV: Chẳng hạn, toán này, ta phải mặc định khung thời gian buổi chiều xác suất để anh sinh viên xuất bến xe thời điểm Chính xác hơn, xác suất để anh sinh viên xuất bến xe khoảng thời gian phải Em Z: Người ta yêu cầu đưa lý hợp lý, tức cần đưa mơ hình phân bố chạy xe, không cần mô tả tất mô hình cho xảy kết tốn Kính thưa Ban Biên tập, Bác cháu tơi cho tập hay, có hướng mở để xét với giả thiết khác Qua tìm hiểu, biết em trăn trở buổi chiều Cái khó KHUNG THỜI GIAN buổi chiều không xác định Các em nói, Bài Tập Số Tháng 1.2017 Tạp chí Pi 63 tốn sau cụm từ “ Chiều thứ hàng tuần” có thêm đoạn “từ 14h đến trước 15h”, tức khung thời gian buổi chiều xác định, chúng cháu cần 10 phút Một khó tốn thực tế giả thiết phải công nhận chưa thể cách rõ ràng Đây điều bác cháu tơi lo lắng phải tiếp xúc với toán thực tế đề thi tuyển sinh Đây thơng điệp mà chúng tơi muốn qua Tạp chí gửi đến thầy đề thi Kính chào Ban Biên tập." "Thư" GS Phan Dương Hiệu RÙA, BÁC K VÀ PI "Nghe nói hồ Hồn Kiếm có hình trịn xoe bán kính R mét, có thần Rùa Bác K gấp rút cho tờ báo Toán, vốn lười nên muốn dùng trí khơn để gỡ gạc thời gian Rõ có thần Rùa hợp với phần bù cả, nên ngày cuối năm bác K đến thỉnh giáo Rùa: có cách làm nhanh khơng? Rùa bảo: Bác K khơng cần làm đâu, cần tập chạy cho khoẻ, chạy ngày mà hết vịng hồ Hồn Kiếm tự khắc tờ báo Bác K bảo: đại lãn, kể cố tập chạy đỡ cặm cụi ngày đêm Nhưng hôm tất niên thử rồi, chạy ngày có R mét thơi Sức thế, chạy vịng hồ? Rùa chơi khó Rùa đợi liền rút bảo kiếm trao cho bác K nói: bác cầm kiếm này, từ mai sang năm 2017 rồi, hôm bác chạy nhanh thêm 20.17% so với hôm trước Bác cố tập, thành chánh quả, đời Pi hồn lại kiếm cho tơi Bác K nghe nói thích, cảm ơn Rùa Đúng ngày Tết đầu năm, bác rủ vợ lững thững bộ, y 1.2017R mét Bác K khơn lắm, nghĩ: đằng ngày thần cho chạy nhanh lên 20.17%, tội tập luyện, nghỉ ngơi cho khoẻ Y đến ngày thứ X∗, bác rủ vợ dạo, hai vợ chồng bác dắt lững thững, đến 23h59’ đêm chưa hết vòng hồ, bác K lo lắng Nhưng bác tin vào tài tính nhẩm nên chẳng thèm tăng tốc, không ngờ, đến giây thứ 59 phút cuối hai vợ chồng bác bước tròn vòng hồ† Bỗng lúc, tờ báo Pi nóng hổi rơi xuống tay hai bác từ Dream Tree (chắc Dream Team trồng trộm) Rùa lên đón chào hoan hô, hai bác trả lại bảo kiếm khuyến mại thêm cho Rùa tờ báo Pi để tăng thêm trí khơn." Tập Số Tháng 1.2017 Tạp chí Pi 64 Thể lệ gửi đặt báo Bạn đọc thân mến, Đây số đầu tiên, nên bạn thấy, tác giả phần lớn thành viên Ban Biên tập, cộng tác viên thường xuyên Pi Hy vọng từ số tiếp theo, nhận nhiều ủng hộ bạn Sau số điều cần biết làm việc với Pi Thể lệ gửi bài: • Bài gửi đăng Tạp chí cần ghi rõ dự định vào chuyên mục gì, khơng theo chun mục Các đề đề xuất cần kèm theo lời giải gợi ý trước khối lớp • Cần ghi rõ họ tên tác giả, địa chỉ, e-mail điện thoại để tiện liên hệ Bản dịch hay sưu tầm cần ghi rõ nguồn Bản thảo gửi theo định dạng latex word, với file định dạng pdf Tạp chí nhận chưa đăng báo nước Địa gửi bài: • Qua email: bbt@pi.edu.vn • Qua bưu điện đến: Tịa soạn Tạp chí Pi P705 - B8, Tầng 7, Tòa nhà Thư viện Tạ Quang Bửu, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, Số Đại Cồ Việt, Q Hai Bà Trưng Hà Nội Thể lệ đặt báo: Bạn đọc quan tâm đặt báo theo hình thức sau: • Đặt tất bưu cục nước Mã Tạp chí Pi C057 • Đặt trực tiếp với Tòa soạn cách gửi email đến địa info@pi.edu.vn với nội dung: Họ tên, Địa chỉ, Điện thoại, Số lượng kỳ đặt, Số lượng báo đặt kỳ • Đặt website www.pi.edu.vn: chọn nút Đặt tạp chí Đọc trực tuyến làm theo hướng dẫn Tập Số Tháng 1.2017 Tạp chí Pi 65 BAN BIÊN TẬP Hà Huy Khoái (Tổng Biên tập) Trần Nam Dũng (Phó Tổng Biên tập) Nguyễn Thị Lê Hương (Thư ký Tịa soạn) Ngơ Bảo Châu, Phạm Huy Điển, Nguyễn Khắc Minh, Nguyễn Thành Nam, Trần Văn Nhung, Nguyễn Duy Thái Sơn, Chu Cẩm Thơ, Ngô Việt Trung, Vũ Hà Văn, Nguyễn Ái Việt, Lê Anh Vinh CỘNG TÁC VIÊN THƯỜNG XUYÊN Hạ Vũ Anh, Võ Quốc Bá Cẩn, Phạm Ngọc Điệp, Lưu Thị Thanh Hà, Trần Minh Hiền, Phan Thanh Hồng, Trần Quang Hùng, Hà Duy Hưng, Đậu Hồng Hưng, Nguyễn Văn Huyện, Vũ Thế Khơi, Nguyễn Duy Liên, Phạm Vũ Lộc, Trần Quốc Luật, Lê Phúc Lữ, Kiều Đình Minh, Nguyễn Thị Nhung, Đặng Căn Sơ, Đỗ Hoàng Sơn, Lê Xuân Sơn, Lưu Bá Thắng, Đào Mạnh Thắng, Nguyễn Tất Thu TÒA SOẠN Tầng Thư viện Tạ Quang Bửu, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội Số 1, Đại Cồ Việt, P Bách khoa, Quận Hai Bà Trưng, Hà Nội Email gửi bài: bbt@pi.edu.vn Giao dịch: info@pi.edu.vn Điện thoại: 04 3215.1407 Fax: 04.36231543 Website: www.pi.edu.vn Giấy phép số 484/GP-BTTTT ngày 25.10.2016 In tại: Công ty In Hà Nội Tạp chí hàng tháng Giá: 25.000 đồng Tập Số Tháng 1.2017 Tạp chí Pi Phụ trách Truyền thông Phát hành: Trung tâm Violympic – Đại học FPT Ảnh bìa 1: Euclid Nguồn: Internet Các ảnh hình minh họa khác: nguồn Interne 66 ... thấy deg(P) = 10 0 P chứa đơn thức x1x2 ··· x100 với hệ số Như theo Định lý KĐTH phải tồn (c1, c2,··· , c100) ∈ A1 × A2 × ··· × A100 cho P(c1,··· , c100) ≠ Tập Số Tháng 1. 2 017 Tạp chí Pi Chứng minh... với (a1, ,an) ∈ Tập Số Tháng 1. 2 017 Tạp chí Pi f ≡ 19 Chứng minh Quy nạp theo số biến n Trường hợp n = Định lý 1? ?? Ta viết fj đa thức theo x1, , xn? ?1 degxi(fj) ≤ di với i = 1, ,n? ?1 j = 0 ,1, ,dn... mục Đại Việt sử ký tồn thư, tốn học đưa vào kỳ thi Quốc tử Tập Số Tháng 1. 2 017 giám vào năm 10 77, 11 79, 12 61, 13 63, 13 94, 14 37, 14 72 15 05 Như nói rằng, mơn tốn đưa vào thi cử Việt Nam sớm (sớm