Các dạng toán về hàm ẩn trong chương hàm số môn Toán lớp 12 có lời giải | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện

Đường thẳng d vuông góc v ới AB t ạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 36... Ch ọ n kh ẳng định đúng trong các khẳ ng đị nh sau..[r]

1 CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM ẨN TRONG CHƯƠNG HÀM SỐ

- Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến tốn xét tính đơn điệu của hàm số - Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến tốn tìm cực trị của hàm số

- Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến tốn tìm GTLN, GTNN của hàm số - Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến tốn tìm tiệm cận của hàm số

- Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến toán tiếp tuyến của đồ thị hàm số

- Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến tốn giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình

2 PHẦN A - CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM ẨN LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TỐN XÉT TÍNH ĐƠN

ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

  y f x PHẦN 1: Biết đặc điểm hàm số

Dạng toán Các tốn vềtính đơn điệu hàm ẩn bậc (dành cho khối 10)

Câu 1.Cho parabol  P : y f x ax2bx c , a0 biết: P qua M(4;3),  P cắt Oxtại N(3;0) Q cho INQ có diện tích đồng thời hồnh độđiểm Q nhỏhơn Khi hàm số f 2x1

đồng biến khoảng sau A 1;

2

 



 

  B 0;  C 5;  D ; 2

Lời giải Chọn C

Vì  P qua M(4;3)nên 16 a4b c (1)

Mặt khác  P cắt Oxtại N(3;0)suy 09a3b c (2),  P cắt Oxtại Qnên Q t ; , t3

Theo định lý Viét ta có 3 b t a c t a           

Ta có

2 INQ

S  IH NQvới Hlà hình chiếu ;

2 b I a a         

lên trục hoành Do

4 IH

a



  , NQ 3 tnên 1 3  INQ S t a                2 3

2

3 3

2

t

b c

t t t t

a a a a a



 

            

  (3)

Từ (1) (2) ta có 7a b  3 b 3 7a suy 3 a t t a a       

Thay vào (3) ta có 3 3 4  33 27 73 49

t

t  t t t t

        

Suy a 1 b   4 c

Vậy  P cần tìm y f x x24x3

Khi    2  

2 4 12

f x  x  x   x  x

Hàm sốđồng biến khoảng 3;

 



 

 

Câu 2.Cho hai hàm số bậc hai y f x y( ), g x( )thỏa mãn f x( ) (2 f x)4x210x10; (0) 9; (1) 10; ( 1)

g  g  g   Biết hai đồ thi hàm số y f x y( ), g x( )cắt hai điểm phân

biệt A B, Đường thẳng dvng góc với AB tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích 36

Hỏi điểm thuộc đường thẳng d?

A. M2;1 B N1;9 C P1; 4 D Q3;5

Lời giải

Chọn B

Gọi hàm số ( )

f x ax bx c ta có f x( ) (2 f x)4x210x10

2 2

3 (2 ) (2 ) 10 10

ax bx c a x b x c x x

3

1

2 12 10 ( )

12 10

a a

b a b f x x x

a b c c

                          Gọi hàm số

( )

g x mx nx pta có g(0)9; (1)g 10; ( 1)g  4ra hệ giải

2

2; 3; ( )

m  n p g x   x  x

Khi tọa độ hai điểm A, B thỏa mãn hệ phương trình

2

2

1 2 2

3 11

2 9

y x x y x x

y x

y x x y x x

                           

Do đường thẳng AB: 11 :

3

y x d y  xk Đường thẳng dcắt hai trục tọa độ

0; ; ; k E k F 

  Diện tích tam giác OEF

1

6

2

k

k  k 

Vậy phương trình đường thẳng d là: d y:  3x6, y-3 - 6x Chọn đáp án B

Câu 3.Biết đồ thị hàm số bậc hai yax2bx c a ( 0)có điểm chung với y  2, 5và cắt đường thẳng y2 hai điểm có hồnh độ 1và Tính Pa b c 

A. B C 1 D 2

Lời giải Chọn D

Gọi (P): yax2bx c a , 0 Ta có:

+)  P qua hai điểm 1; ; 5; 2  nên ta có

25 2

a b c b a

a b c c a

                

+)  P có điểm chung với đường thẳng y 2, 5nên

 

2

2

4

2,5 2,5 16 10 36 18

4

b ac

a a a a a a a

a a

 

            

Do đó: 2;

2 b  c 

Dạng tốn Dạng tốn tìm biểu thức cụ thể hàm số y f x  trong tốnkhơng chứa tham số

Câu 4.Cho hàm số y f x  liên tục  thỏa mãn f  1 0

   

3 ,

f x x f x x  x  x  x

 

   Hàm số g x  f x 2x2 đồng biến khoảng

A. 1;3  B. 0;1

3

 

 

  C.

1 ;1

 

 

  D. 1;

Lời giải

Chọn C

Ta có f x x f x  x6 3x42x2f x 2x f x  x63x42x2 0

Đặt t  f x  ta phương trình t2x t x63x42x2 0 Ta có  x24x63x42x24x612x49x2 2x33x2

Vậy

3 3 3 2

x x x

t x x

x x x

t x x

               

Suy    

3

2

f x x x

f x x x

  



   

4 Ta có

   

2 ' 1

3 g x  x  x  x g x   x  x   x

Câu 5.Cho đa thức f x  hệ số thực thỏa điều kiện 2f x  f1xx2, x R Hàm số

 

3

y x f x x  x đồng biến

A. R\ 1 B. (0;) C. R D. (;0)

Lời giải

Chọn C

Từ giả thiết, thay x x1 ta 2f1x f x   x1 2

Khi ta có    

     

2

2

2

3

2

f x f x x

f x x x

f x f x x x

                

Suy yx33x23x 1 y3x26x 3 0, x R Nên hàm sốđồng biến R

Câu 6.Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục 1;1 thỏa f  1 0,  

 2  

4 16

f x  f x  x  x Hàm số     3

g x  f x  x  x đồng biến khoảng nào?

A. 1; 2 B. 0;3  C. 0;  D. 2; 2

Lời giải

Chọn C

Chọn f x ax2bx c a0 (lý do: vế phải hàm đa thức bậc hai)  

f x ax b

  

Ta có:  

 2  

4 16

f x  f x  x  x 2ax b 24ax2bx c 8x216x8

    2

4a 4a x 4ab 4b x b 4c 8x 16x

        

Đồng vếta được:

2

2

4

4 16

4 a a ab b b c             a b c         

hoặc

2 a b c            Do f  1     0 a b c 0a1, b2 c 3

Vậy f x x22x3      

' '

2

x

g x x x g x x x g x

x                 Ta có bảng biến thiên

x  

  '

g x   

Vậy hàm sốđồng biến khoảng 0; 2

Câu 7.Cho hàm số y f x ax3bx2cxd có đồ thịnhư hình bên Đặt    

5

A. g x  nghịch biến khoảng 0;  B. g x  đồng biến khoảng 1; 0

C. g x  nghịch biến khoảng 1;



 

 

  D. g x 

đồng biến khoảng  ; 1

Lời giải Chọn C

Hàm số y f x ax3bx2cxd ; f x 3ax22bx c , có đồ thịnhư hình vẽ

Do x 0 d 4; x28a4b2c d 0; f 2  0 12a4b c 0; f 0   0 c Tìm a1;b 3;c0;d 4 hàm số yx33x24

Ta có    

2

g x  f x  x    

2

2

x x x x

      

  3     

2 3 2

2

g x x x x x x  x x 

             

 ;  

1

0

2 x

g x x

x

    

   

    

Bảng xét dấu hàm yg x :

x

y

y

 

0  



0

1/   





4

7 10



Vậy yg x  nghịch biến khoảng 1;



 

 

 

Câu 8.Cho hàm số y f x  liên tục có f  2 0 Đồ thị hàm số y f ' x hình vẽ

Khẳng định sau đúng?

A. Hàm số y f 1x2 nghịch biến  ; 2

B. Hàm số y f 1x2 đồng biến  ; 2

O x

y

6

C. Hàm số y f 1x2 nghịch biến 1; 0

D. Giá trị nhỏ hàm số f 2

Lời giải

Chọn A

Ta có bảng biến thiên hàm số y f x 

Ta có f 20;1x2  1 f 1x20. x 

     

       

2

1 ' 2;1 3;

0 ' ; ; 3;

t x f t t x

f t t x

         

          

           

 

2 2

2

4 '

1 ' xf t f t

g x f x g x f x

f t



     

Dạng toán Dạng toán tìm biểu thức cụ thể hàm số y f x  trong toánchứa tham số

Câu 9.Cho hàm số , có đồ thị Biết đồ thị

đi qua gốc tọa độ có đồ thị hàm số cho hình vẽ

Tính giá trị

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn A

Do hàm số bậc ba nên hàm số bậc hai

Dựa vào đồ thị hàm số có dạng với Đồ thịđi qua điểm

nên

Vậy

 

y f x ax bx cxd a b c d, , , ,a0  C

 C y f x

 4  2 H  f  f 58

H  H 51 H 45 H 64

 

f x f x

 

f x f x  

f x ax  a0 A1; 4

a  

3

f x  x 

       

4

2

2

4 d d 58

H  f  f  f x x x  x

O x

y

1



7

Câu 10.Cho hàm số f x ax4bx3cx2dxm, (với a b c d m, , , , ) Hàm số y f x có đồ thị hình vẽbên dưới:

Tập nghiệm phương trình f x 48axm có số phần tử là:

A. B. C. D.

Lời giải Chọn B

Ta có f x 4ax33bx22cxd  1

Dựa vào đồ thị ta có f x a x 1 4 x5x34ax313ax22ax15a  2 a0 Từ  1  2 suy 13

3

b a, c a d  15a

Khi đó:

  48

f x  axm  ax4bx3cx2dx48ax

 13 63

3

a x  x x  x

 

4

3x 13x 3x 189x

    

3 x x

    



Vậy tập nghiệm phương trình f x 48axm S 0;3

Câu 11.Cho hàm số f x x4bx3cx2dxm, (với a b c d m, , , , ) Hàm số y f x có đồ thịnhư

hình vẽbên dưới:

Biết phương trình f x nxm có nghiệm phân biệt Tìm số giá trị nguyên n

A. 15 B 14 C. D.

Lời giải Chọn B

Ta có f x 4x33bx22cxd  1

Dựa vào đồ thị ta có f  x  x1 4 x5x3

4x 13x 2x 15

   

Từ  1  2 suy 13

b , c 1 d 15

8  

f x nxm  x4bx3cx2dxnx

 3 2

0 13

15 13

3 15 (*)

3 x

x x x x nx

x x x n

  

    

    



Phương trình f x nxm có nghiệm phân biệt phương trình (*)có nghiệm phân biệt khác

Xét hàm số 13

( ) 15

3

g x x  x  x

'

3 26

( ) 1

3

9 x

g x x x

x

   

    

  

Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có phương trình (*)có nghiệm phân biệt khác biệt  1; 2; ; 14

n   

Câu 12.Cho hàm số y f x , hàm số f x x3ax2bx c a b c  , ,  có đồ thịnhư hình vẽ

Hàm số g x  ff x  nghịch biến khoảng đây?

A. 1;. B.  ; 2 C. 1; 0 D. 3;

3

 



 

 

 

Lời giải Chọn B

Vì điểm 1; , 0; , 1; 0     thuộc đồ thị hàm số y f x nên ta có hệ:

   

1 0

0 ''

1 0

a b c a

c b f x x x f x x

a b c c

     

 

 



         

 

      

 

9

Xét            

3 3

0 '

1

3

x x

x x

g x g x f f x f x f x x x

x x x                               1,325 1,325 3 x x x x x                  

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên g x  nghịch biến  ; 2

Dạng toán Biết đặc điểm hàm số đồ thị, BBT đạo hàm hàm f x , xét biến thiên hàm y f  x ; y f f x , y f f f  x  trong tốnkhơng chứa tham số

Câu 13.Cho hàm số y f x  có đạo hàm  có đồ thị hàm f x hình vẽdưới Hàm số

   

g x  f x x đồng biến khoảng nào?

A. 1;1

 

 

  B. 1;  C.

1 1;     

  D.  ; 1

Lời giải

Chọn C

   

g x  f x x      

2

g x x f x x

        2 1 2

2

0

0 2 x x x x

g x x x x

f x x

10

Từđồ thị f x ta có   2

0

1 x

f x x x x

x

 

       

  

, Xét dấu g x :

Từ bảng xét dấu ta có hàm số g x đồng biến khoảng 1;1

 



 

 

Câu 14.Cho hàm số y f x  Hàm số y f x có đồ thịnhư hình vẽ bên Hàm số y f 1x2 nghịch biến khoảng đây?

A.  3; B.  3; 1  C. 1; 3 D. 0;1

Lời giải Chọn C

Ta có  2  2

1

yf x  x f x 2

0 0

0

1

x x

y x x

x x

 

 

 



       



    

 

Mặt khác ta có

 2

1

1

x

f x x

x

   

        

  

Ta có bảng xét dấu:

Vậy hàm số  2

11

Câu 15.Cho hàm số y f x  có đạo hàm f x x2x2028x20232 Khi hàm số

 

( ) 2019

yg x  f x  đồng biến khoảng khoảng đây?

A. 2; 2 B. 0;3  C. 3;0 D. 2;

Lời giải Chọn C

Ta có yg x( ) f x 2019 yg x( )x22019 fx220192 x fx22019

Mặt khác   2  2

2028 2023

f x x x x Nên suy ra:

      

            

2

2 2

2 2 2 2

2 2

( ) 2019 2019 2019 2038 2019 2023

2 2019 2019 3 2

y g x x f x x x x x

x x x x x x x x x x



         

         

 2    2 2

0 ( )

3 ( )

2 2019 3 2 ( )

2 ( 2)

2 ( 2)

x nghiem don x nghiem don

y x x x x x x x nghiem don

x nghiem boi x nghiem boi

  

 

         

      

Ta có bảng biến thiên sau:

Từ bảng biến thiên suy hàm số  

( ) 2019

y g x  f x  đồng biến khoảng 3;0 3;

Câu 16.Cho hàm số y f x  liên tục  Biết hàm số y f x có đồ thịnhư hình vẽbên dưới:

Hàm số  

5

y f x  đồng biến khoảng khoảng sau đây? A.  ; 3 B.  5; 2 C. 3;

2

 

 

  D. 2;

Lời giải Chọn C

12

2

2

2

0

0 ( 3)

5

0

5

2

5

x x

x nghiem boi

x x

y x

x x

x

x x

 

 

 

 

    

 

      

     



   



    

 

Ta lại có: x 3 f x 0 suy ra: x2  5 x2 2 fx25 0 x fx250 Từđó ta có bảng biến thiên:

Từ bảng xét dấu ta có hàm sốđồng biến khoảng 2 2; ; 0; ; 2;     Mà 3; 0; 3

2

 



 

 

Dạng toán Biết đặc điểm hàm số BBT, BBT đạo hàm hàm f x , xét biến thiên hàm y f f x , y f f f  x  trong toánchứa tham số.

Câu 17.Cho hàm số y f x  có đạo hàm  Biết đồ thịhàm số y f ' x hình vẽ

Biết S tập tất giá trị nguyên tham số m thoả mãn m  2019; 2019 cho hàm số

   

g x  f x m đồng biến khoảng 2;0 Số phần tử tập S

A. 2017 B. 2019 C. 2015 D. 2021

Lời giải Chọn C

Ta có g x'  f 'x m 

Suy '  1

2

x m x m

g x

x m x m

    

 

  

   

 

Do từđồ thị hàm số y f ' x suy g x' 0 f 'xm0 x m 2xm2 Hàm số g x  f x m   đồng biến khoảng 2;0 g x' 0,  x  2; 0

2

m m

      

13

Câu 18.Cho hàm số y f x  có đạo hàm f x x2x2x2mx5 với  x  Số giá trị nguyên âm m để hàm số g x  f x 2 x 2 đồng biến 1;

A. B. C. D.

Lời giải Chọn B

Ta có      

2

g x  x f x  x

Hàm sốđồng biến 1; 2x1 fx2 x 20,  x 1;

 

2

f x x

    ,  x 1;   2   2  

2 2

x x x x  x x m x x 

          

 

  ,

1;  x

    1

Đặt t x2 x với t0, x1;   2  

1 t t2 t mt5 0,  t t2mt 5 0,  t m t t

 

    

 ,  t

2 4, 47 m

    

Do m nguyên âm nên m     4; 3; 2; 1

Câu 19.Cho hàm số f x   có đạo hàm  f  x  x1x3 Có giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn 10; 20 để hàm số  

3

y f x  xm đồng biến khoảng 0; 

A. 18 B. 17 C. 16 D. 20

Lời giải Chọn A

Ta có y fx23xm2x3fx23xm

Theo đề ta có: f  x  x1x3

suy  

1 x f x

x

  

   

 

f x 0  3 x1 Hàm sốđồng biến khoảng 0;  y 0, x 0; 2

     

2x f x 3x m 0, x 0;

      

Do x0; 2 nên 2x 3 0, x 0; 2 Do đó, ta có:

   

2

2

2

3 3

0, 0;

3

x x m m x x

y x f x x m

x x m m x x

        

         

     

 

   

   

2 0;2

2 0;2

max 3

13

min

m x x

m m

m x x

   

  

  

  

   



Do m  10; 20, m nên có 18 giá trị nguyên m thỏa yêu cầu đề

Dạng toán Biết đặc điểm hàm số BBT, đồ thị, đạo hàm hàm f x , xét biến thiên hàm ylnf x ,yef x ,sin f x c , os f x trong tốnkhơng chứa tham số

Câu 20.Cho hàm số f x  có bảng xét dấu đạo hàm sau

14

A. 1;  B. 1;3 C.  ; 2 D. 2 ;1 Lời giải

Chọn D

Ta có : y 3f2x e 3f2x1 f2x.3f2x.ln 3 f2x 3 e3f2x13f2x.ln 3

   

0 2

y  f x   f x 

1

x x

x x

   

 

 

     

 

Câu 21.Cho hàm số y f x  liên tục  có đồ thị hình vẽ bên

Hỏi hàm số yg x e2017f x 202020182019f x 2020 nghịch biến khoảng sau đây?

A. 2016; 2018  B. 2017; 2019  C. 2018; 2020  D. 2021; 2023 

Lời giải

Chọn C

+) Xét hàm số yg x e2017f x 202020182019f x 2020 xác định liên tục  Ta có

    2017  2020 2018   2019  2020

' 2017 ' 2020 f x 2019 ln ' 2020 f x

g x  f x e     f x  

    2017  2020 2018 2019  2020

' ' 2020 2017 f x 2019 f x ln ,

g x  f x  e        x

  

+) Do 2017e2017f x 2020201820192019f x 2020ln 0, x  nên

   

' ' 2020

g x   f x 

Hơn từđồ thị hàm số y f x , ta thấy hàm số y f x  nghịch biến khoảng 0;  4;  , suy f ' x 0,  x 0; 2  4; 

Khi bất phương trình ' 2020 0 2018 2018 2020

2018 2022

x x

f x

x x

    

 

   

  

 

+) Vậy g x' 0, x 2018; 2020  2022;  .Khi hàm số yg x  nghịch biến khoảng 2018; 2020  2022;  

15 Hàm số g x 20182019 2 f x 2f2 xf3 x nghịch biến khoảng đây?

A 2;0 B. 0;1  C. 1;  D. 2;3 

Lời giải Chọn D

Xét g x  f x 3 f2 x 4f x 2 2018 2019 2 f x 2f2 xf3 x.ln 2018

Có    

1

0

1 x x

g x f x

x x

   

 

     

  

 

, x1 nghiệm kép Bảng xét dấu g x :

Từ bảng, suy hàm số nghịch biến 2;3 ,  2;3  2;

Câu 23.Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục  có đồ thị y f ' x hình vẽ sau

Hỏi đồ thị hàm số g x  f e 3f x 12f x  nghịch biến khoảng sau đây? A.  ;  B 3;

4



 



 

  C  1;  D  3; 

Lời giải Chọn A

Ta có:

x y

2

16                 

            

3

3

' ' ' ln '

' ln '

f x f x f x f x

f x f x f x f x

g x f x e f x f e

f x e f e

 

 

  

  

 

'

ycbtg x  Mà ta thấy rằng:

       

       

 

3

3

3

3

3 ln

3 ln

'

2

f x f x f x f x

f x f x f x f x

e e

f e e

 

 

  

  

 



 

 

 

 

 

Suy    

0

5

' '

1 3;

4 x

g x f x

x x x

  



       

      

   



Vậy hàm số g x  nghịch biến  ; 5

Câu 24.Cho hàm số y fx1 có đồ thịnhư hình vẽ

Hàm số y 2 ( ) 4f x x

 đồng biến khoảng

A. ;0 B. 2;0 C. 0; D. 2;1 Lời giải

Chọn C

Tịnh tiến đồ thị hàm số y fx1 sang trái 1đơn vị, ta đồ thị hàm số y f x sau

Xét hàm số y 2 ( ) 4f x x

 Tập xác định D ( )

(2 ( ) 4) ln f x x

y   f x 

    

2

0 ( )

1 x

y f x x

x

   

     

   

17 Dựa vào bảng biến thiên, hàm sốđồng biến khoảng (0;)

Dạng toán Biết đặc điểm hàm số BBT, đồ thị, đạo hàm hàm f x , xét biến thiên hàm ylnf x ,yef x ,sin f x c , os f x trong toánchứa tham số

Câu 25.Cho hàm số y f x  có đạo hàm f x x x 12x2mx9 với x Có số nguyên dương m để hàm số g x ef x đồngbiến khoảng 0;?

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn B

Ta có g x  f x e'( ) f x 

Hàm số g x đồng biến khoảng 0; g x 0,  x 0;

  0, 0; 

f x x

     x x 12x2mx90,  x 0;

 

2

, 0;

x

m x

x



    

min0;   

m h x



  với h x  x 9, x (0; ) x

    

Ta có: h x  x x.9 6, x (0; )

x x

       nên m6mm1; 2;3; 4;5; 

Câu 26.Cho hàm số y f x có bảng biến thiên sau

Hàm số yef x m22nghịch biến khoảng đây?

A. 4; B. 1; 4 C. 1;  D. ;1

2

 



 

 

Lời giải

Chọn C

Xét hàm sốyg x ef x m22

Ta có g x  f x e f x m22, ef x m22   0 x 

   

1

0 0

4 x

g x f x x

x

   

      

   

18 Vậy hàm sốyg x ef x m22 nghịch biến khoảng  ; 1  0; 4

Câu 27.Cho hàm số y f x( ) có bảng biến thiên

Và hàm số yg x( ) có bảng biến thiên

Hàm số ( )  

2 y f x g x x

x

   

 chắn đồng biến khoảng nào? A. 2;1 B 1;1 C 3;1

2

 



 

  D 1; 

Lời giải Chọn B

Xét ( )  

2 y f x g x x

x

   



Tập xác định: 3;1 D  

  T

ừ tập xác định loại phương án A, D

Ta có:    

 2  

2

' '( ) ( ) ' 0, 1;1

2

y f x g x f x g x x

x x

       

 

Với phương án C, có g x' 0 3;

 

 

 

19 Giá trị nguyên nhỏ tham số m đểphương trình        

 

3 2 7 5

ef x f x f x ln f x m

f x

    

   

 

có nghiệm

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn B

Quan sát đồ thị ta thấy 1 f x 5, x , đặt t f x  giả thiết trở thành et3 2t2 7t ln t m t

    

   

 

Xét hàm: g t t32t27t5, t 1;5

         

3 1 145

g t  t  t    t g g t g  g t  Mặt khác   1,   12  1;5   26

5

h t t h t t h t

t  t

         

Do hàm u t  et3 2t2 7t ln t t

    

    

  đồng biến đoạn  1;5

Suy ra: Phương trình cho có nghiệm 145 26

e ln e ln

5 m

    

Vậy giá trị nguyên nhỏ m

Câu 29.Cho hàm số y f x  có bảng biến thiên sau

Hàm số yef x m22 nghịch biến khoảng đây?

A. 4; B. 1; 4 C. 1;  D. ;1

2

 



 

 

Lời giải

Chọn C

Xét hàm số yg x ef x m22       2

f x m

g x  f x e   , ef x m22   0 x 

   

1

0 0

4 x

g x f x x

x

   

      

20 Bảng biến thiên:

Vậy hàm số yg x ef x m22 nghịch biến khoảng  ; 1  0; 4 Dạng toán Các dạng khác với dạng đưa ra…

  ' y f x PHẦN 2: Biết biểu thức hàm số

Dạng toán Biết biểu thức hàm số y f x xét tính đơn điệu hàm số yg x  f x h x  trong tốnkhơng chứa tham số

Câu 30.Cho hàm số y f x  có f '( )x (x3)(x4)(x2) (2 x1), x  Hàm số

4

2

( ) ( ) 4

4

  x  x  

y g x f x x x nghịch biến khoảng đây?

A. ;1 B.  1; C.  3;5 D. 0;3

2        

Lời giải Chọn A

Ta có g x'( ) f '( )x  x3 5x28x 4 f '( )x  (x 1)(x2)2(x1)(x2) (2 x27x13)

Khi '( )

2

    

  

x g x

x

Bảng xét dấu hàm số g x'( ) sau

Vậy hàm số yg x( ) nghịch biến (;1)

Câu 31.Cho hàm số y f x  có   2  2 

'

f x x x x Hàm số    

g x  f x  x  đồng biến khoảng khoảng đây?

A. 0;  B. 2;

2

  

 

 

 

C. 5;

2

  

 

 

 

D. 0;

2

  

 

 

 

Lời giải

Chọn C

Ta có: g x  f x x2,

  2  2 

0

g x  x x x  x

  2 

0

0

2

5

1

3

2 x

x x

x

x x x

x x

x

  

 

  

     

   

   

  



   

21 Dựa vào bảng xét dấu g' x ta thấy khoảng 5;

2

  

 

 

 

thì hàm số yg x  đồng biến

Câu 32.Cho hàm số có đạo hàm Hàm số

đồng biến khoảng nào?

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn A

Bảng xét dấu

Kết luận: Hàm số đồng biến khoảng

Câu 33.Cho hàm số y f x  liên tục và f x x2(x1)(4x) Hàm số y g x( ) f x( ) f 1x đồng biến khoảng

A. 2;

 

 

 

  B. 0;1 C.

1 ; 2

 

 

  D. 1; 2

Lời giải

Chọn D

Ta có g x'( ) f '( )x  f '(1x) x x2( 1)(4x)(1x) (2 x x)( 3)

  

'( ) (4 ) ( 1)( 3) ( 1)(6 3)

g x x x x x  x x x x x

0 '( )

2 x

g x x

x

   

  

   

Ta có bảng biến thiên :

Dạng toán 10 Biết biểu thức hàm số y f x xét tính đơn điệu hàm số yg x  f x h x  trong toánchứa tham số

( )

y f x f x'( )x1x22 , x 

( ) ( )

yg x  f x  x  x

4;0 ;0 4;1 0;

  2     

'( ) '( ) 4 1

g x  f x  x  x x  x  x x  x , x  

2

1

'( ) 0

4

4 x x

g x x

x x

x

   

 

   



 

   



( )

22

Câu 34.Cho hàm số y f x  liên tục  có đạo hàm f x x x 12x2mx16 Có giá trị nguyên tham số m  2019; 2019 để hàm số    

2019

4

g x  f x  x  x  x 

đồng biến khoảng 5;?

A 2019 B. 2021 C. 2028 D. 4038

Lời giải Chọn C

Ta có g x'  f ' x x32x2x

 2   2

1 16

x x x mx x x

     

 2 

1 17

x x x mx

   

Để hàm số g x  đồng biến khoảng 5; g x'   0 x 5;

 2 2  2

1 17 17

x x x mx x x mx x

            

2 17

5 x

m x

x

 

   

Xét hàm số  

2

17 17

x

h x x

x x

 

    khoảng 5;

 

17

' 17

h x x

x

      

Từ bảng biến thiên suy 42 m 

Vậy có 2028 giá trị m thỏa mãn

Câu 35.Cho hàm số f x  có đạo hàm    2 

1

f x  x x  x với x Có số nguyên 100

m để hàm số g x  f x 28xmm21 đồng biến khoảng 4;?

A 18. B. 82. C. 83 D. 84

Lời giải Chọn B

Ta có    2 

1

2 x

f x x x x

x           

 Xét      

2

g x  x f x  xm Để hàm số g x  đồng biến khoảng 4;   0,

g x   x

   

 

   

2

2

2

2 0,

8 0,

8 0, 4;

18

8 2, 4;

x f x x m x

f x x m x

x x m x

m

x x m x



      



     

       

  

      

23

Câu 36.(VD) Tìm tất giá trị m để bất phương trình m1 x22x2x(2x)0 có nghiệm thuộc đoạn 0;1  3

 

A.

3

m B.

3

m C.

3

m D.

3 m Lời giải

Chọn B

Ta có:  

2

2

1 2 (2 )

1 2

x x

m x x x x m

x x



       

  

Đặt

2 , 0;1

t  x  x x   Khi đó:

2

,

2

x

t t x

x x



   

 

Bảng biến thiên:

0 1 t  +

t

2

Từ bảng biến thiên ta suy t1; 2 Khi bất phương trình trở thành:

2 2 t m t  

 có nghiệm    

2 1;2

2 1; max

1 t t m t          

Đặt  

2

( ) , 1;

1 t

f t t

t



 

 Khi đó:

   

2

2

( ) 0, 1;

1

t t

f t t

t

 

    



Bảng biến thiên:

t ( )

f t + ( ) f t 

Từ bảng biến thiên ta suy

 1;2

2 max ( )

3

f t  Vậy

3m hay m

Câu 37. (VDC) Có giá trị nguyên tham số mthuộc đoạn 10;10 để bất phương trình (m2)x m  x1 có nghiệm thuộc đoạn 2; 2

A. 14 B. 20 C. 16 D. 18

Lời giải Chọn C

24       2 2

( 2) ( 2)

1 ( 1)

1 1; 1 2;1

m x m x m x m x

x m x

x m m x x m m x                              nÕu nÕu

Do đó, bất phương trình cho có nghiệm thuộc đoạn 2; 2

      1;2 2;1 * max x m x x m x                          

Đặt  

2

( ) , 2;

1 x

f x x

x



  

 Khi đó:

  2 ( ) x x f x x     

, f x( ) 0 x22x  1 x 1

1

lim ( ) , lim ( )

x x

f x f x

 

     

Bảng biến thiên:

t  2 1 2 1  ( )

f t + +    +

( ) f t

22   

Từ bảng biến thiên ta có:

 * 5  10; 9; 8; ; 1;5; 6; 7;8;9;10

2 2 2

m m m m m                   Vậy Có 16 giá trị m thỏa đề

Câu 38.Biết bất phương trình m x  1x2 12 x2x4  x2  1x2 2 có nghiệm m  ;a 2b

, với a b,  Tính giá trị T  a b

A. T 3 B. T 2 C. T 0 D. T 1

Lời giải Chọn D

Điều kiện  1 x1

Xét hàm số   2

1

g x  x  x đoạn 1;1 Ta có :  

2

1

1 g x x

x x

 

    



 

, g x 0  x2  1x2 x

  

 

g x không xác định x0, x 1 Bảng biến thiên : x 1

2

25  

g x || +  || +  ||  

g x 2

1 1 Suy 1g x 

Đặt t  x2  1x2 , 1 t Bất phương trình trở thành :

 

1

m t t  t

1 m t

t

  

 (Do 1 t nên t 1 0)

Xét hàm số  

1 f t t

t

 

 đoạn 1;

 

 

Có  

 2

1 0, 1;

1

f t x

t

 

     

 

 B

ảng biến thiên : x

  g x +

  g x

2 1

Do đó,

Suy bất phương trình cho có nghiệm   1; max

m f t

 

 

 hay m2 1

Do đó, a2, b 1.Vậy T 1

Câu 39.Cho hàm số y f x  có đạo hàm f x' 3x2 6x   1, x R Có tất giá trị

nguyên thuộc khoảng 50;50 tham số m để hàm số g x  f x   m1x2 nghịch biến khoảng  0;2 ?

A 26. B. 25. C. 51. D. 50

Lời giải Chọn A

Ta có g x  f x   m1x 2 g x'  f x'   m1 Hàm số nghịch biến khoảng 0; 2

   

' 0,  0;

g x x (dấu ''''chỉ xảy hữu hạn điểm khoảng 0; 2)

     

' 0, 0;

 f x  m   x

   

2

3 , 0; *

 x  xm  x Xét hàm số  

3 ,

 

h x x x x0; 2 Ta có h x' 6x60, x 0; 2 Bảng biến thiên:

26 Do mZ, thuộc khoảng 50;50 nên m24; 50và mZ hay m24, 25, , 49

Vậy có 26 số nguyên m thỏa mãn

Dạng toán 11 Biết biểu thức hàm số y f x xét tính đơn điệu hàm số yg x  f u x   trong bài tốnkhơng chứa tham số

Câu 40.Cho hàm số y f x  có đạo hàm     

1

f x  x  x  x Hỏi hàm số    2

g x  f xx

đồng biến khoảng khoảng sau?

A. 1;1 B. 0;  C.  ; 1 D. 2;

Lời giải Chọn C

 

f x    

1

x  x x  

2 2 x x x          1 x x x          Bảng xét dấu f x

Ta có      2

1

g x   x f xx

     2

0

g x    x f xx 

 2

1

0 x

f x x

         2 2 1 x x x x x x x                  5 x x x              

Bảng xét dấu g x 

Từ bảng xét dấu suy hàm số    2

g x  f xx đồng biến khoảng  ; 1

Câu 41.Cho hàm số y f x  Đồ thị hàm số y f ' x  hình vẽ Hàm số yg x  f 3 2 x nghịch biến khoảng khoảng sau?

A.  ; 1 B.  1;  C. 0;  D. 1;3  Lời giải

27

 Từđồ thị  C : y f ' x ;   2

x f ' x

x           

 Mà g ' x  2 f '3 2 x  2

  1 ,  2 ;    

1

2 2

0 2

3

1

x x

g ' x f ' x

x x                      

 Vậy hàm số g x  nghịch biến khoảng 2;

 

 

   ; 1 Câu 42.Cho hàm số y f x  Hàm số y f ' x  có đồ thịnhư hình vẽ

Hàm số yg x  f x 2 nghịch biến khoảng

A.  ; 1 B. 1; 0 C. 0;1  D. 1;3 

Lời giải Chọn B

    2

2

g ' x  x f ' x

 Nhận xét:

+   1

4 t f ' t

t         

+  

1

t f ' t

t         

 Hàm số g nghịch biến       2 0 0 x

f ' x g ' x

x f ' x

                  2 2

1

1

0

1

1

x x x x x x x x x                                 

 Vậy hàm số yg x  f x 2 nghịch biến khoảng  ; 2, 1 0;  1 2; 

Dạng toán 12 Biết biểu thức hàm số y f x xét tính đơn điệu hàm số yg x  f u x   trong bài toánchứa tham số

Câu 43.Cho hàm số y f x  có đạo hàm   2  

2

f x x x x mx với  x  Số giá trị nguyên âm tham số m để hàm số g x  f x 2 x 2 đồng biến khoảng 1;

28

Lời giải Chọn C

Ta có g x   2x 1 fx2 x 2

Hàm số g x  f x  x 2 đồng biến khoảng 1;

  0, 1; 

g x x

     2x 1  fx2 x 20, x 1; fx2 x 20, x 1;

(vì 2x 0,   x 1;)

  2   2    

2 2 0, 1;

x x x x  x x m x x  x

             

 

 

 2    

2 0, 1;

x x m x x x

          

 

  (*)(vì )

Đặt t x2 x Khi x  1 t

(*) trở thành t2mt 5 0, t m t 5, t t

      Áp dụng bất đẳng thức Cơ – si ta có t 5

t

  t 5

t

     Dấu "" xảy

5 t t t         t  

0; 

5

max t

t



 

    

  m 2

Mà m nguyên âm nên m     4; 3; 2; 1 Vậy có giá trị mthỏa mãn toán

Câu 44.Cho hàm số f x  có đạo hàm f  x  x1x1x4 ;  x .Có số nguyên

2019

m để hàm số  

1

x

g x f m

x          

đồng biến 2; 

A. 2018 B. 2019 C. 2020 D. 2021

Lời giải Chọn A

Ta có:  

 2

3

1

x

g x f m

x x              Hàm số g x  đồng biến 2; 

 g x 0; x 2; 

 2  

3

0; 2;

1

x

f m x

x x                 

 0; 2; 

1

x

f m x

x             

Ta có: f x 0  x1x1x40 

1 x x       

Do đó: 0; 2; 

1

x

f m x

x                      

1; 2;

1

1 4; 2;

1 x m x x x m x x                        

  2   

2 0, 1;

29 Hàm số  

1

x

h x m

x



 

 ; x2;  có bảng biến thiên:

Căn bảng biến thiên suy ra: Điều kiện  2 khơng có nghiệm m thỏa mãn

Điều kiện  1  m 1  m1,kết hợp điều kiện m2019 suy có 2018 giá trị m thỏa mãn u cầu tốn

Nhận xét: Có thể mở rộng toán nêu sau:

Cho hàm số f x  có đạo hàm f  x  x1x1x4 ;  x .Có số nguyên

2019

m để hàm số    

1

x

g x f h m

x



 

   



  đồng biến 2; 

Câu 45.Cho hàm số f x  có đạo hàm f  x  x12x22x với x Có số nguyên 20

m để hàm số g x  f x 28xm đồng biến 4;

A. B. C.1 D.

Lời giải Chọn B

Ta có:      

2 8

g x  x f x  xm Hàm số g x  đồng biến 4;

  0, 4; 

g x x

    

   

8 0, 4;

f x x m x

       (vì 2x 8 0, x 4;)

Ta có    2   2  

0 2

0 x

f x x x x x x x

x

 

           

 

Do      

 

2

2

8 2, 4; (1)

8 0, 4;

8 0, 4; (2)

x x m x

f x x m x

x x m x

      

        

     



Xét h x x2 8xm

Ta có h x 2x8

Lập bảng biến thiên h x x28xm, ta

Dựa vào bảng biến thiên:

+ (2) vơ nghiệm x28xmm16, x 4; +  1 m162m18

30

Câu 46.Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm f x( )x x( 1) (2 x2mx9) với  x R Có số nguyên dương m để hàm số g x( ) f(3x) đồng biến khoảng (3;)?

A. B 6 C 7 D 8

Lời giải Chọn B

Từ giả thiết suy f(3x)(3x)(2x) [(32 x)2m(3x) 9].

Ta có g x( ) f(3x)

Hàm số g x( ) đồng biến khoảng (3;) ( ) 0, (3; )

g x   x 

(3 ) 0, (3; ) f x x

      

2

(3 x)(2 x) [(3 x) m(3 x) 9] 0, x (3; )

          

(3; ) x

   (3x)0, (2x)2 0,suy (3x)2m(3x) 9 0, x (3;)

(3 )

, (3; )

( 3) x

m x

x

 

    



2 (3; )

(3 )

( 3)

x m Min

x



 

 



Ta có

2

(3 ) 9

( 3) ( 3)

( 3) 3

x

x x

x x x

 

     

  

Suy m6

Vì m nguyên dương suy m1; 2;3; 4;5;  Chọn B

Câu 47.Cho hàm số f x  có đạo hàm  f  x  x1x3 Có giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn 10;20 để hàm số y f x 23xm đồng biến khoảng 0;2?

A. 18 B.17 C. 16 D. 20.

Lời giải Chọn A

Xét dấu f x  ta

Ta có:    

2 3

y x f x  xm

Vì 2x 3 0, x 0; 2 Do đó, để hàm số y f x 23xm đồng biến khoảng 0; 2

   

3 0, 0;

f x  x m   x (*)

Đặt t x23xm Vì x0; 2  t  m;10m (*) trở thành: f t 0,  t  m;10m

Dựa vào bảng xét dấu f x ta có:

13 20

10 13

10

1

m

m m

m

m m

m Z

  

   

  

    

     

  

 

 10; 9; ; 1;3;4; ;20}

m

    

Dạng toán 13 Biết biểu thức hàm số y f x xét tính đơn điệu hàm số

      

yg x  f u x h x trong tốnkhơng chứa tham số

31

A. 1;5  B. 2;  C. 1; 0 D.  ; 1

Lời giải Chọn B

Ta có: f x 1x2x5 suy fx31x3 2 x 3 5

   x4x2x2

Mặt khác: y3.fx33x212  3x4x2x2x24

   3x2x2x5

Xét y 0 3x2x2x50 2

x x

    

   

Vậy hàm số y3f x 3x312x nghịch biến khoảng 5; 2  2; 

Câu 49.Cho hàm số y f x  xác định  có đạo hàm f x thỏa mãn   1  2  

f x  x x g x  g x 0, x  Hàm số y f1x x nghịch biến khoảng nào?

A. 1; B. 0;3  C. ;3 D. 3;

Lời giải Chọn D

Ta có: f  x  1xx2  g x 1  f1xx3x g 1x1

Mặt khác: yf 1x  1 f1x  1 x 3 x g  1x11  x 3 x g  1x Ta có: y   0 x 3 x g  1x0 * 

Do g x 0, x g1x0, x   * 3  x

x x

x

 

     

 

Vậy hàm số y f 1x x nghịch biến khoảng ;0 3;

Câu 50.Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục  f x x2x1x232 Hàm số

3  2019

   

y f x x đồng biến khoảng khoảng sau?

A. 3;5  B. 2;5

2

 

 

  C.

5 ;3

 

 

  D.  ;3



Lời giải Chọn C

Ta có y f3x2

 

y  f3x 2 0 f3x2 3  2 3 13 23 2

  

x x x

3 5   2 3

     

 

x x x

Vì 3 230, 

 x  x 

Suy y 0 3x5 2 x0

 x Vậy hàm số y f3x2x2019 đồng biến khoảng 5;3

2

 

 

 

Câu 51.Cho hàm số y f x  liên tục  có đạo hàm f x thỏa mãn f  x  x1x1x4 Xét hàm số g x 12f x 2 2x615x424x2 2019 Khẳng định là:

A. Hàm số g x  nghịch biến khoảng 2 ; 1 

32

C. Hàm số g x đạt cực đại x0

D. Hàm số g x  đồng biến khoảng 2 ;

Lời giải Chọn D

Tập xác định hàm số g x  D

Ta có g x 24xf x2 12x560x348x12x2f x2 x45x24           

12x x x x x x  12x x x x

           

 

2

0

0

1

x x

g x x x

x x



  

 

      

      

Ta có bảng biến thiên hàm số g x  sau:

Qua bảng biến thiên ta có phương án Dlà phương án

Câu 52.Cho hàm số f x  có đạo hàm        

1

f x  x x x x

Hàm số y3f x 2x33x đồng biến khoảng đây?

A 1; B.  ; 1 C. 1; 0 D. 0; 

Lời giải Chọn C

Ta có bảng xét dấu

Xét y3f x 2x33x

Cách 1: y3.fx21x2

 

Ta có  2 1

2

x x

f x

x x

     

 

    

  

 

Ta có    

   

2

2 0, 1;1

0, 1;1

1 0, 1;1

f x x

y x

x x

     

 



    



    

 

Vậy ta chọn đáp án

C Cách 2:

Xét y3f x 2x33x

   2

3

y f x  x 

Ta có 3

2

y   f   

     

nên loại đáp án A,

D

 2  0

33 B

Vậy ta chọn đáp án

C

Dạng toán 14 Biết biểu thức hàm số y f x xét tính đơn điệu hàm số

      

yg x  f u x h x trong toánchứa tham số

Câu 53.Cho hàm số y f x  có đạo hàm f ' x x22x3, x  Có giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn 10; 20 để hàm số    

3

g x  f x  xm m  đồng biến 0; ? 

A. 16 B. 17 C. 18 D. 19

Lời giải Chọn C

Ta có '  2 3  * t

f t t t

t           

Có      

' '

g x  x f x  xm

Vì 2x 3 0, x 0; 2 nên g x  đồng biến 0; 2g x' 0, x 0; 2

   

' 0, 0;

f x x m x

              2 2

3 3, 0; 3, 0;

3 1, 0; 1, 0;

x x m x x x m x

x x m x x x m x

                             (**)

Có h x x23x ln đồng biến 0; nên t (**)  10 13

1

m m m m              

Vì m  10; 20 m          

Có 18 giá trị tham số m Vậy có 18 giá trị tham số m cần tìm

Câu 54.Cho hàm số y f x  có đạo hàm f '  x  x1ex, có giá trị nguyên tham số m

trong đoạn 2019; 2019 để hàm số yg x  f lnxmx2 mx2 nghịch biến 1;e2

A. 2018 B 2019 C 2020 D 2021

Lời giải Chọn B

Trên  2

1;e ta có g x'  ' lnf  x 2mx m lnx 2x 1m x

      

Để hàm sốy g x  nghịch biến 1;e2 g' x lnx 1 2x1m0, x 1;e2

   

 

2

2

ln 0, 1;

ln

, 1;

2

x x m x e

x

m x e

x

      



   



Xét hàm số   ln

2 x h x x  

 trên 

2

1;e , ta có  

   

2

1 ln

' 0, 1;

2

x x

h x x e

x

 

   



, từđây suy m1 Vậy có 2019 giá trị nguyên m thỏa toán

Câu 55.Cho hàm số y f x liên tục R có f x x x. 1  3 x1  4 x45 Giá trị tham số m để hàm số      

  

2

1

1

y g x f x

x mx m chắn đồng biến

34

A. m   2; 1 B. m   ; 2 C. m  1;0 D. m0;

Lời giải Chọn D

Điều kiện: x2 mx m 2 1 (ln         

 

2 2

2 1 1 0

2

m m

x mx m x )

   

 



     

  

2

2

1

x m

g x f x

x mx m

Đặt t 1 x x;   3; 0 t 1; 4 f1x x,   3; 0 f t t , 1; 4 Do

       

 

f t 0, t 1;  f 1x 0,  x 3; Ycbt

     



           

  

2

2

0, 3; 0, 3;

1

x m

x x m x

x mx m

    

 

          

3;0

2 , 3;

m x x m x m Vậy m0;

Câu 56.Cho hàm số y f x  có đạo hàm   2 x f x x    

,  x  Có số nguyên m thuộc khoảng 20; 20 để hàm số g x  f x 1mx1 đồng biến ?

A. 20 B. 19 C. 17 D. 18

Lời giải Chọn C

Ta có g x  f x m

Hàm số g x  f x 1mx1 đồng biến  g x 0x

 1

f x m

   x

2 2 x m x x      x  2 x m x x            (*)

Đặt   2 2 x h x x x     Ta có  

 

1

2 2

x h x

x x x x

   

   

Cho  

2

h x  x 

2

h 

  

 

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta thấy  * m 1 Vì m,m  20; 20 nên m  19; 18; 1  

Câu 57.Cho hàm số y f x  có đạo hàm f '  x  x1x2 Tìm m để hàm số

   2 x

35

A

4

m B 10

4 m

   C

4

m  D m10

Lời giải Chọn A

Ta có yg x  f x 2mx Suy g x'  f 'x2m

Để hàm số yg x  đồng biến   x  1; 2 g x' 0   x  1; 2

Hay f 'x2m   x  1; 2 m f 'x2   x  1; 2 mx x 3  x  1; 2

  

2

1;2 3x

x

m Min x

 

  Đặt h x x23x, '  2x 3, '  h x   h x  x Ta có bảng biến thiên sau

 1

 

  '

h x - +  

h x

2

 10

9



Dựa vào bảng biến thiên ta thấy

36

Câu 58.Cho hàm số y f x  có đạo hàm f ' x  1 x2 Có giá trịnguyên dương m để

hàm số y g x  f x 2x 2m ln x x

 

      

 nghịch biến khoảng 1;

A 8 B 7 C 9 D 1

Lời giải Chọn A

Ta có y g x  f x 2x 2m ln x x

 

      

  Suy      

 

2

2

2

' 2x ' m x

g x f x x

x



   

Để hàm số yg x  nghịch biến  x 1; g x' 0  x 1;

Hay 2x 2 f 'x2 2x m2 x 1;  f 'x2 2x m2 x 1; 

x x

 

              

  (vì

 

2x 2  x 1; )

Do x2 2x2 m2 x 1;  m x2x2 2x2 x2 x 1;  x

 

             

 

 

Đặt h x x2x22x2x2, h x' 2x 3 x54x46x38x21 , ' h x 0x0

Phương trình 3x54x4 6x38x2 1 khơng có nghiệm x1 Ta có bảng biến thiên

x  

  '

h x +

  h x

8 Từ bảng biến

1 Dạng toán 15 Biết biểu thức hàm số y f x , xét tính đơn điệu hàm số

         

yg x  f u x  f v x h x trong tốnkhơng chứa tham số Dạng toán 16 Biết biểu thức hàm số y f x , xét tính đơn điệu hàm số

         

yg x  f u x  f v x h x trong toánchứa tham số

Dạng toán 17 Biết biểu thức hàm số y f x xét tính đơn điệu hàm số yg x  f u x  k

trong tốnkhơng chứa tham số

Câu 1.Cho hàm số y f x( ) liên tục có đạo hàm f x( )x2x29x416  Hàm số

2019

( ) (2 )

yg x f xx  đồng biến khoảng khoảng sau đây?

A. 1 3;1 3 B. 3; C. 1; D. 1;3

Lời giải Chọn B

Ta có f x( )x2x29x416x3x2x3x22x24

   

2018 2018

2 2

( ) 2019 (2 ) (2 ) 2019 (2 ) 2

g x  f xx  f xx   f xx   x f xx

      2 2

2018

2 2 2

2019f(2x x ) 2x 2x x 2x x 2x x 2x x  2x x 4

              

 

 

  

1 x 2x x A

   

Trong đó:

 2 2018  2    2

2.2019 2 2 2 0,

A f xx  xx  x  x x  x  x  x    x

 

  

Khi g x( ) 0 1x2xx230  x  1;1  3;

 Hàm số yg x( )f(2xx2)2019 đồng biến khoảng 1;1và 3;

Câu 2.Cho hàm số y f x  xác định liên tục  có f  x  x2x5x1  5  2

f   f  Hàm số    

2 g x f x 

  đồng biến khoảng ?

A. ; 0 2; B.  2; 2

C. 0; D.  2; 0  2;

Lời giải Chọn D

Từ giả thiết ta có        

2

2 5

1 x

f x x x x f x x

x

  

          

    

Bảng biến thiên y f x 

Từ BBT suy f x 0  x 

1

2 -5

∞

+ + ∞

f(x) f(-1)

∞ ∞

0

+ +

f'(x) x

-1

2 Xét hàm số g x f x 2 2

 

    2 2 4    2 4  2 5 1  2 g x  f x  x f x f x  x x  x  x  f x

 

Do f x 0  x  f x 2 0 x 

Xét   0

2 x g x

x

 

   

  

BBT g x f x 2 2

 

Từ BBT ta chọn đáp án

D

Dạng toán 18 Biết biểu thức hàm số y f x xét tính đơn điệu hàm số yg x  f u x  k

trong toánchứa tham số

Dạng toán 19 Biết biểu thức hàm số y f u x   xét tính đơn điệu hàm số y f x  trong tốnkhơng chứa tham số

Câu 3.Cho hàm số y  f x( ) có 12

f  x  x  x

  Hàm số

( )

y  f x

nghịch biến khoảng

nào sau A. 9;

4

 

 

  B.

9 ;

 



 

  C.

5 ; 2

 



 

  D.

5 ;

2

 

 

 

 

Lời giải Chọn C

Ta cần giải bất phương trình f x( )0

Từ 12

2

f  x  x  x

 

7

2

2

f x  x

      

 

Đặt

2

t   x

4 t x 

  Khi ta có  

4 2

t

f t         t Vậy hàm số y  f x( ) nghịch biến khoảng 3;

2

 



 

 

Câu 4.Cho hàm số y  f x  xác định, liên tục R có đạo hàm f x thỏa mãn   1 xx 2   2018

f x    g x  với g x 0, x R

Khi hàm số y f 1x2018x2019 nghịch biến khoảng nào?

A 1;  B. 0;3 C. (;3) D. 4; 

Lời giải Chọn D

Xét hàm số y h x( ) f(1x)2018x2019

2 0

∞

+ + ∞

g(x)

∞ ∞

0

+ +

g'(x)

x - 2

3 Ta có h x'( ) f '(1x)2018 x(3x g) (1x)

Vì g x( )0, x R nên '( ) 0 x h x

x

    

 

Bảng biến thiên

Vậy hàm sốđã cho nghịch biến khoảng 4; .

Câu 5.Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục  Đồ thị hàm số y f3x5 hình vẽ Hàm số y f x  nghịch khoảng nào?

A. ;8 B. 7;

 

 

 

  C.

4 ;

 



 

  D. ;10

Lời giải Chọn A

Đặt x3t5 Khi g t  f 3t5g t 3f3t5 Ta có g t 0 f3t50 t

Khi  

3 x

f x      x Vậy hàm số nghịch biến khoảng 1;8

Câu 6.Cho hàm số f x  có đồ thịnhư hình vẽ Hàm số f 3x2 nghịch biến khoảng  ;  Khi

đó giá trị lớn  là:

A. B. C. D.

Lời giải Chọn D

Ta có: y f 3x2y3.f3x2

Hàm số y f 3x2 nghịch biến  y03.f3x20 f3x20 O

y

x   f x

1

4

1 3x x

      

Vậy khoảng  ;  lớn 1; 

Câu 7.Cho hàm số y f x  có đồ thị hàm số y f2x hình vẽ bên Hỏi hàm số y f x  đồng biến khoảng sau đây?

A. 2; 4 B. 1;3 C. 2; 0 D 0;1

Lời giải Chọn C

Đặt x 2 t ta có y f 2t y f2t

 

0

y  f t  2 t hay

Khi f x 0 2  2 x 4  2 x0 Vậy hàm sốđồng biến khoảng 2;0

Dạng toán 20 Biết biểu thức hàm số y f u x   xét tính đơn điệu hàm số y f x  trong toánchứa tham số

Câu 8.Cho hàm số g x  f 5x có đạo hàm g x'   5x2x2x2m10x5m41 với Có sốnguyên dương để hàm số f x  đồng biến khoảng  ; 1

A. B. C. D.

Lời giải Chọn B

Ta có g x'  f ' 5 x f ' 5 x g x'  Suy

      2  

' ' 10 41

f x  g x  x x x  m x m 

      2  2  

' 5 5 16

f x x x  x m x 

         

 

Hàm số f x  đồng biến khoảng  ; 1 f ' x 0,   x  ; 1 (Dấu “ ” xảy hữu hạn điểm)

 2   

3 16 0, ;

x x x mx x

         

 

2

16 0, ;

x mx x

        (vì x0 x32 0,   x  ; 1)

 

2 16

, ;

x

m x

x

 

     

min; 1  

m h x

 

 

Với    

2

16 16 16

2

x

h x x x

x x x

   

       

  , dấu “=” xảy x 4

, kết hợp với điều kiện nguyên dương ta suy Vậy có giá trị thỏa mãn

Dạng toán 21 Biết biểu thức hàm số y f x , xét tính đơn điệu hàm số yg x   .f x trong bài tốnkhơng chứa tham số

x m

7 10



min6;h x 8

 m8 m m1; 2;3; 4;5; ;7 ;8

5 Dạng toán 22 Biết biểu thức hàm số y f x , xét tính đơn điệu hàm số yg x   .f x trong bài toánchứa tham số

Dạng toán 23 Biết biểu thức hàm số y f x , xét tính đơn điệu hàm số yg x   .f x trong bài tốnkhơng chứa tham số

Dạng toán 24 Biết biểu thức hàm số y f x , xét tính đơn điệu hàm số yg x   .f x trong bài toánchứa tham số

Dạng toán 25 Biết biểu thức hàm số y f x , xét tính đơn điệu hàm số  

  g x y

f x

  

  f x y

g x

 trong tốnkhơng chứa tham số

Dạng tốn 26 Biết biểu thức hàm số y f x , xét tính đơn điệu hàm số  

  g x y

f x

  

  f x y

g x

 trong toánchứa tham số

  ' y f x PHẦN 3: Biết đồ thị hàm số

Dạng toán 27 Biết đồ thị hàm số y f x xét tính đơn điệu hàm số yg x  f x h x  trong bài tốnkhơng chứa tham số

Câu 9.Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục  Đồ thị hàm số y f x hình bên

Hàm số g x 2f x x2 đồng biến khoảng khoảng sau đây?

A.  ; 2 B. 2; 2 C. 2;  D. 2;

Lời giải Chọn B

Ta có g x 2f x 2xg x 0 f x x

Số nghiệm phương trình g x 0 sốgiao điểm đồ thị hàm số y f x đường thẳng :

6 Dựa vào đồ thị, suy  

2

0

4 x

g x x

x

   

   

  

Lập bảng biến thiên

 hàm số g x  đồng biến 2; 2 4; So sánh đáp án Chọn B

Câu 10.Cho hàm số y f x  có đạo hàm  Đồ thị hàm số y f x hình vẽbên

Hàm số    

3

2

x

g x  f x  x  x đồng biến khoảng khoảng sau?

A. 1; 0 B. 0; 2 C. 1; 2 D. 0;1

Lời giải Chọn D

Ta có g x  f x x22x1, g x 0 f  x  x12

7 Dựa vào đồ thị ta suy  

0

0

2 x

g x x

x

  

   

   

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên đối chiếu với đáp án, ta Chọn D

Lưu ý Cách xét dấu bảng biến thiên sau: Ví dụ khoảng ;0 ta thấy đồ thị hàm f x nằm

phía đường yx12 nên g x  mang dấu 

Nhận thấy nghiệm x0,x1,x2 nghiệm đơn nên qua g x  đổi dấu

Câu 11.Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục , đồ thị hàm số y f x hình vẽ

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

-6 -5 -4 -3 -2 -1

x y

Hỏi hàm số g x 2f x   x12 đồng biến khoảng khoảng sau?

A. 3;  B. 1;3  C. 3;1 D. ;3

Lời giải Chọn B

Tập xác định g x   Ta có g x 2f x  x 1

8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

-6 -5 -4 -3 -2 -1

x y

Từđồ thị ta có f x   x

1

x x

      



Chọn B

Câu 12.Cho hàm số y f x xác định liên tục 1; 5có đồ thị hàm y f x cho

hình bên Hàm số g x  2f x x24x4 đồng biến khoảng khoảng sau đây?

A. 1;  B 0;  C 2;3  D  2; 

Lời giải Chọn C

9    

g x   f x  x ;    

 

 

2

0;

0

4; x x

g x f x x x

x x

 

 

       

   

Bảng xét dấug x :

Từ bảng xét dấu suy hàm sốđồng biến khoảng 2;3

Câu 13.Cho hàm số y  f x  Đồ thị hàm số y f ' x hình vẽ Xét hàm số

    3

2018

3

    

g x f x x x x Hàm số yg x đồng biến khoảng đây?

A.  ; 2 B.  3; 1 C. 1;1 D. 1; 

Lời giải Chọn C

Ta có: '  '  3 '  3

2 2

 

        

 

g x f x x x f x x x

    3

' '

2

g x   f x x  x

Ta vẽđồ thị hàm số 3

2

  

y x x

Dựa đồ thị  

3

'

1

   

    

   

x

g x x

10 Dạng toán 28 Biết đồ thị hàm số y f x xét tính đơn điệu hàm số yg x  f x h x  trong bài toánchứa tham số

Câu 14.Cho hàm số y f x  có đồ thị hàm số y f x hình vẽ bên Các giá trị m để hàm số y f x   m1xđồng biến khoảng 0;3 

A. m4 B. m4 C. m4 D. 0m4

Lời giải

Chọn C

Ta có y f x   m1x y f x m1

Hàm số y f x   m1xđồng biến khoảng 0;3 

 y0,  x 0;3 f x m 1 0, x 0;3  , 0;3

1

m f x x

     

0;3  

x

m f x





     m   1 m4

Câu 15.Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục  đồ thị hàm số y f ' x hình vẽ

Đặt     1 12 2019

2

g x  f xm  xm  với m tham số thực Gọi S

tập giá trịnguyên dương m để hàm số yg x  đồng biến khoản 5;6  Tổng phần tử S bằng:

11

Lời giải Chọn C

Ta có g x'  f 'x m   x m 1

Đặt h x  f '  x  x1 Từ đồ thị y f ' x đồ thị y x hình vẽ ta suy

  1

3 x h x

x

   

    

Ta có '    1 1

3

x m m x m

g x h x m

x m x m

       

 

    

   

 

Do hàm số yg x  đồng biến khoảng m1;m1 m3;

Do vậy, hàm số yg x  đồng biến khoảng 5;6

1

5

1

2

3

m

m m

m m

  

 

 



        



Do m nguyên dương nên m1; 2;5;6, tức S1; 2;5;6 Tổng phần tử S 14

Câu 16.Cho hàm số yf x  có đạo hàm liên tục  Đồ thị hàm số y f x hình bên

Đặt hàm số   1   2 

2

x

g x f m x x mx, m tham số Hỏi có giá trị nguyên m thuộc

đoạn 2020; 0 để hàm số yg x nghịch biến khoảng 2;0?

A. 2016 B. 2017 C. 2019 D 2020

Lời giải

12 Ta có g x  0 fm 1 x  x m

Đặt tm 1 x, bất phương trình trở thành f t  t

Từđồ thị hàm số y f x đồ thị hàm số y x(hình vẽbên dưới) ta thấy đường thẳng y x cắt

đồ thị hàm số f' x ba điểm x 3; x1; x3

Quan sát đồ thị ta thấy                        

  

3

1 1

t m x x m

f t t

t m x m x m

Suy hàm sốyg x  nghịch biến khoảng 4m;  2 m m; 

Để hàm sốyg x  nghịch biến khoảng 2;0thì

   

   

      

 

   

4

6

2

0

m

m m

m m

Vậy đoạn 2020; 0có tất 2016 giá trị m thỏa mãn đề

Câu 17.Cho hàm số y f x  liên tục  có đồ thị hàm số y f x hình vẽ

Xét hàm số     1 2  

3

g x  f x  x m  xm Khi khẳng định sau đúng ?

A. Với giá trị tham số m g x  nghịch biến khoảng 2; 0 2;, đồng biến  ; 2 0; 2.

B. Chỉcó giá trị tham số m đểg x  nghịch biến khoảng 2; 0 2;, đồng biến  ; 2 0; 2.

C Với giá trị tham số m g x đồng biến khoảng 2; 0 2;, nghịch biến  ; 2 0; 2.

13

Lời giải Chọn C

Với giá trị tham số mta ln có: g x  f x  x

   

2

0

2 x

g x f x x x

x

   

       

  

Bảng biến thiên:

  g x

 đồng biến khoảng 2; 0 2;, nghịch biến  ; 2 0; 

Dạng toán 29 Biết đồ thị hàm số y f x xét tính đơn điệu hàm số yg x  f u x   trong bài tốnkhơng chứa tham số

Câu 18.Cho hàm số y f x có đạo hàm  Biết hàm số y f x liên tục  có đồ thịnhư

hình vẽ Tìm tất khoảng đồng biến hàm số y f  x21

A.  ; , 0; 3   B.  ; ,  3;

C.  3; ,  3; D.  ; , 0;  

Lời giải

14

Xét hàm số  

1

y f x   

2

1 x

y f x

x

 

  



  0 x y f x            2 2 1 1 1 x x x x x                    2 1 x x x           2 1 x x x           3 x x x         

Bảng biến thiên

Vậy hàm số y f  x21 đồng biến khoảng  3; ,  3;

Câu 19.Cho hàm sốy f x .Hàm sốy f x có đồ thịnhư hình bên Hàm sốy f 2xđồng biến khoảng:

A. 1;3  B. 2; C. 2;1 D. ; 2

Lờigiải

Chọn C

Ta có: f 2x 2x.f2x f2x

Hàm sốđồng biến khi 2  2 

1

x x

f x f x

x x                       

Câu 20.Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục  hàm số y f x có đồ thịnhư hình vẽdưới

đây Hàm số  2

15

A. 1;  B. 2;  C. 2; 1  D. 1;1 Lời giải

Chọn C

Đặt g x  f x 2    2

2

g x  x f x

Cách 1:Hàm số    2

g x  f x đồng biến g x 0(dấu xảy hữu hạn điểm)

          2 0 x f x x f x

x f x                          2 0

0 1 1 0 1

1 1

0 2

4

2 x x

x x x

x

f x x x

x x                                                  2 0 1

2

0 1 2 lo¹i x x x x x x

f x x

x x                                         

Vậy hàm sốđồng biến khoảng 2; , 0;1 , 2;       Cách 2:

Dựa vào đồ thị có  

1

0

4 x

f x x

x             Chọn f  x  x1x1x4

     

0

2 1

2 x

g x x x x x x

x                  Bảng xét dấu g x 

Vậy hàm sốđồng biến khoảng 2; , 0;1 , 2;      

Câu 21.Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm f( )x R đồ thị hàm số f( )x hình vẽ Hàm số

 

( 1)

g x  f x  x đồng biến khoảng đây?

16

Lời giải Chọn D

Ta có:g x' (2x2) '(f x2 2x1)

Lại có  

2

' 1

2

x

g x x x

x x

  

     

   



0 2; x

x x x

  

  



  



Ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm sốđồng biến 1; 0

Câu 22.Cho hàm số y f x  có đạo hàm  có đồ thị hàm số y f ' x hình vẽ Hàm số

   2

g x  f  x x nghịch biến khoảng đây?

A.  ; 1 B. 1;



 



 

  C.

1 ;



 

 

 

  D. 1; 0

Lời giải Chọn B

Từđồ thị hàm số y f ' x ta có: f ' x 00x4 '  0 x f x

x

    

 

Xét hàm số g x  f x x2 có g'  x   1 2x f ' x x2

Để hàm số g x  nghịch biến        

 

2

2

1

'

' '

1

'

x f x x

g x x f x x

x f x x

    

  



        

  

   

  

  

x y

O

2 4

4

17

2

2

1 1

2 2

0 1,

4

1

1

1

2

2

0

1

4

x x

x x x x

x x x x

x

x x

x x x

x x x

   

 

 

 

 

 

        

  

       

 

 

       

  

  

 

 



     



 

   

    



 

 



Suy hàm số g x  nghịch biến khoảng 1;



 



 

   

0;  Vậy B đáp án

Dạng toán 30 Biết đồ thị hàm số y f x xét tính đơn điệu hàm số yg x  f u x   trong bài toánchứa tham số

Dạng toán 31 Biết đồ thị hàm số y f x xét tính đơn điệu hàm số yg x  f u x  h x  trong tốnkhơng chứa tham số

Dạng tốn 32 Biết đồ thị hàm số y f x xét tính đơn điệu hàm số yg x  f u x  h x  trong toánchứa tham số

Dạng toán 33 Biết đồ thị hàm số y f x , xét tính đơn điệu hàm số

         

yg x  f u x  f v x h x trong tốnkhơng chứa tham số

Câu 23.Cho hàm số y f x  có đồ thị f x hình vẽ

Hỏi hàm số g x  f x 1 f 2xx26x3đồng biến khoảng cho

A. ;0 B. 0;3 C. 1; 2 D. 3;

Lời giải Chọn C

18

 

 

1

2

6

f x

f x

x

  

 

  

 

 



1

1

2

3 x x

x x

      

  

      

  

1 x

   đối chiếu đáp án ta tìm đáp án C

Dạng toán 34 Biết đồ thị hàm số y f x , xét tính đơn điệu hàm số

         

yg x  f u x  f v x h x trong toánchứa tham số

Dạng toán 35 Biết đồ thị hàm số y f x xét tính đơn điệu hàm số yg x  f u x  k trong bài tốnkhơng chứa tham số

Câu 24.Cho hàm số y f x  Đồ thị y f x hình bên

Hàm số g x f 2x13 nghịch biến khoảng khoảng sau

A. 1; 0 B. 0;1 C. 0;1

2

 

 

  D.

1 ;1

 

 

 

Lời giải Chọn C

Ta có g x 6f22x1  f2x1

Do 6f22x10 với  x  nên để hàm số nghịch biến f2x10 Dựa vào đồ thị hàm số y f x ta có

Để  

1

2 1

2 1

1 0

2 x

x

f x

x x

   

 

    



     





Câu 25.Cho hàm số y f x  Đồ thị y f x hình bên

19

A. 1;5. B. 2;1. C. 1;3. D. 3;5

Lời giải Chọn D

Ta có g x  2019f20181x f 1x

Do 2019f20181x0 với  x  nên để hàm số nghịch biến f1x0 Dựa vào đồ thị hàm số y f x ta có

Để f1x     0 x x3

Câu 26.Cho hàm số y f x  Đồ thị y f x hình bên f  1  f  2 0

Hàm số    

3 g x f x  

  đồng biến khoảng khoảng sau

A. 1; 2 B. 0;1 C. 1; 0 D.  2; 1

Lời giải Chọn C

Ta có g x 4xf x 23  f x23 Ta có bảng biến thiên hàm số y f x 

Do f  1  f  2 0 nên f x 230 với  x  để hàm sốđồng biến x f x230

TH1: x0  

2

2

3

1 3

3

3

5 x

x x

f x

x x

x

    

      

    

  

 

   

Vì x0 nên

x x

  

  

TH2: x0  

2

2

5

0

3

3

2

x x

f x x

x

x

    

   

      

   



  

20

Vì x0 nên

2

x x

    

  



Vậy hàm sốđã cho đồng biến khoảng  5; 3,  2; 0,  2; ,   5;

Câu 27.Cho hàm số y f x  xác định có đạo hàm  Đồ thị hàm số

 

'

y f x có dạng hình vẽ Hàm số yg x f x 23

nghịch biến khoảng sau

A. 1; 2 B 3; 4 C  ; 1 D 4; Lời giải

Chọn B

Ta có g' x 3f x 22 f 'x2, hàm số yg x f x 23 nghịch biến  

'

g x   f 'x20 1 x22  3 x4

Dạng toán 36 Biết đồ thị hàm số y f x xét tính đơn điệu hàm số yg x  f u x  k trong bài toánchứa tham số

Dạng toán 37 Biết đồ thị hàm số y f u x   xét tính đơn điệu hàm số y f x  trong tốn khơng chứa tham số

Câu 28.Cho hàm số y f x  có đồ thị hàm số y f x 

  hình vẽ bên

Hàm số y f x  đồng biến khoảng đây? A. 7;

2

 



 

  B.

5 ; 4

 



 

  C.

3 ;

 

 

 

  D.

1 ;

2

 

 

 

 

Lời giải Chọn A

Ta cần giải bất phương trình y f x 0 Dựa vào đồ thị

2 y f x 

  Ta có

1

3

2

3

x

f x

x

   

 

    

    *

Đặt

2

t  x 12 3

x x

21

Khi    

2

1

4 2

*

2 15

3 t t f t t t                         

Do hàm số y f x  đồng biến khoảng 7; 2

 



 

 

15 ;        

Câu 29.Cho hàm số y f x  có đạo hàm hàm số f x  Biết hàm số y f3x1 có

đồ thịnhư hình vẽbên Hàm số f x  đồng biến khoảng sau đây?

A.  ; 6 B. 1; 5 C. 2 ; 6 D.  ; 7 Lời giải

Chọn D

Dựa vào đồ thị hàm số y f3x1 ta có: f3x10

1 x x        

Đặt t 3x1 t

x 

 

Suy ra: f t 0

1 1 t t            

3

t t           t t        

Do đó: Hàm số f x  đồng biến khoảng  ; 7và 2 ; 5

Câu 30.Cho hàm số y f x  có đồ thị hàm số ' 2x 2 y f   

  hình bên

Hàm số y f x  nghịch biến khoảng sau đây? A. 9;

4

 

 

  B.

9 ;     

  C.

5 ; 2     

  D.

5 ;        

22

Quan sát đồ thị hàm số ' 2x 2 y f   

  ta có

7

2 2 3(*)

2

f x   f x    x

    (đồ thị hàm số nằm đường thẳng y2

và x1; )

Đặt 7

2

t

t   x x  (*) ( )

4 2

t

f t  t

        

điều chứng tỏ hàm số y f x  nghịch biến khoảng 3; 2

 



 

 

Câu 31.Cho đồ thị hàm số y fx31 hình vẽ Hàm số f x  nghịch biến khoảng khoảng sau?

A. 2 ; 2 B. 2 ; 5 C 5;10 D 10;  Lời giải

Chọn B

Từđồ thị suy  

1

1

x f x

x

   

    

  

Đặt 3

1

t x   x t Suy  

3

2

0

1

1

t t t

f t

t t

t

          

    

    

    



Vậy hàm số f x  nghịch biến khoảng 7 ;1 2 ; 9

Dạng toán 38 Biết đồ thị hàm số y f u x   xét tính đơn điệu hàm số y f x  trong toán chứa tham số

Câu 32.Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục , hàm số y fx2 có đồ thịnhư hình Có giá trị ngun tham sốđể hàm số g x  f x 28xm nghịch biến khoảng 4;9

2

 

 

 

A. B. C. D.

23

Ta có: đồ thị hàm số y fx2 phép tịnh tiến đồ thị hàm số y f x sang phải hai đơn vị Khi

đó hàm số y f x  có bảng biến thiên:

x  3 2 1 

 

f x +  + 

Mặt khác: g x  f x 28xmg x (2x8)fx28xm

   

(2 8) (4; )

2 g x  x f x  xm   x

2

2

9

8 ; (4; )

13

3 13

9 13, 75

8 ; (4; )

2

x x m x

m

x x m m

m

x x m x



     

  



         

 

     

 

Do có giá nguyên m để    

g x  f x  xm nghịch biến khoảng 4;9

 

 

 

Dạng toán 39 Biết đồ thị hàm số y f x , xét tính đơn điệu hàm số yg x   .f x trong tốnkhơng chứa tham số

Dạng tốn 40 Biết đồ thị hàm số y f x , xét tính đơn điệu hàm số yg x   .f x trong toánchứa tham số

Dạng toán 41 Biết đồ thị hàm số y f x , xét tính đơn điệu hàm số yg x   .f x trong tốnkhơng chứa tham số

Câu 33.Cho hàm số y f x ,y f ' x có đồ

thị hình vẽ Trên khoảng 0; , hàm s ố

  x

ye f x có khoảng đồng biến?

A. B.

. C. D.

Lời giải

Chọn C

      

' '

x x

ye f x y e f x  f x Dựa vào đồ thị ta có:

   

1 ,

2

' '

3 ,1

2

x a a

y f x f x

x b b



  



    

   



Suy hàm sốđồng biến khoảng 0;a , b; 2

Câu 34.Cho hàm số y f x( ), y f '( )x có đồ thị hình vẽ Trên khoảng 4; 3, hàm số

10 ( ) x

24

A. B. C. D.

Lời giải Chọn B

Ta có: 10 10 10 

' x ( ) '( ) x x ( ) '( )

y  e  f x  f x e  e  f x  f x Dựa vào đồ thị, ta có:

,

3

' '( ) ( ) ,

2

,

x a a

y f x f x x b b

x c c

     

 

       



   



Bảng biến thiên

x -4 a -3

2



b c

'

y + - - - + + -

y

Dựa vào bảng biến thiên suy hàm số ye x10f x( ) có hai khoảng nghịch biến ( , ); ( ;3)a b c

Dạng toán 42 Biết đồ thị hàm số y f x , xét tính đơn điệu hàm số yg x   .f x trong toánchứa tham số

Dạng toán 43 Biết đồ thị hàm số y f x , xét tính đơn điệu hàm số  

  g x y

f x

  

  f x y

g x

 trong tốnkhơng chứa tham số

Dạng toán 44 Biết đồ thị hàm số y f x , xét tính đơn điệu hàm số  

  g x y

f x

  

  f x y

g x

 trong toánchứa tham số

  ' y f x PHẦN 4: Biết BBT hàm số

25

Câu 35.Cho hàm số y f x  có bảng xét dấu đạo hàm sau:

x  2 

 

f x  +  +

Đặt

Khẳng định đúng?

A. Hàm số yg x  đồng biến khoảng ;1

B. Hàm số yg x  đồng biến khoảng 1; 2

C. Hàm số yg x  đồng biến khoảng 0 ;1

D. Hàm số yg x  nghịch biến khoảng 2 ;1 Lời giải

Chọn B

Tập xác định hàm số yg x   Ta có:

       

3

yg x  f x  x  x yg x  f x x x  

2

0

1 x

f x x

x

        

  

; 0

1 x

x x

x

     

  

Bảng xét dấu yg x như sau:

x  2 

 

f x  +  +

2

x x + +  +

 

yg x Chưa xác

định dấu

+  +

Từ bảng xét dấu yg x  suy ra:

Hàm số yg x  nghịch biến khoảng 0;1 

Hàm số yg x đồng biến khoảng 2;0 1; mà 1; 2  1;

nên đáp án B

Câu 36.Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục Rvà bảng xét dấu củay f ' x sau:

Hỏi hàm số    

( ) ln

g x  f x  x  x nghịch biến khoảng nào?

A. ; 0 B. 0;1  C.  1;  D. 1; 0

26 Tập xác định hàm g x( )là DR

Ta có '  '  22 x g x f x

x x



 

 

Đặt   22

1 x h x

x x

 

     

2

2

2

'

1

x x

h x

x x

  

 

 

Ta có  

3

'

3 x

h x

x

 

  

 

  

  

Bảng biến thiên hàm số yh x( ) sau:

Ta có  1 1;  0  1 1; h    h h  h 

 

Từ bảng biến thiên có h x   1, x 0;1 ; f ' x 0,   x  ; 1  0;1  Nên suy f ' x h x 0, x 0;1g x' 0, x 0;1 

Vậy hàm số g x nghịch biến 0;1 

Từ bảng biến thiên có ( )  1; ; '  0, 1; h x   f x    x   

 

1

'( ) ( ) 0, 1;

2 f x h x x   

      

  Do hàm số yg x đồng biến

1 1;

2



 



 

 

Lại có miền ; ;  1;  ; 1;0đều chứa miền 1;

 

 

 

 nên loại A,C,D

Câu 37.Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục  bảng biến thiên y f' x

sau:

Hàm số g x  f x 3x đồng biến khoảng nào?

A. 2; 2019 B. 2019; 2  C.  1; D. 1;1

Lời giải: Chọn A

Tập xác định hàm số  x

– -1 1 +

3 f’(x

–

3

-3

27 Ta có: g x'  f' x 3

Hàm số yg x  đồng biếng x' 0

   

' '

3

f x f x x

      

Dạng toán 46 Biết BBT hàm số y f x xét tính đơn điệu hàm số yg x  f x h x  trong bài toánchứa tham số

Câu 38.Cho f(x) có đạo hàm liên tục và bảng biến thiên y = f’(x) cho sau:

Có giá trịm nguyên dương để hàm số g(x) = f(x) -  

ln x 1 - mx đồng biến 1;1

A. B. C. D.

Lời giải Chọn C

Ta có: g(x) = f(x) -  

ln x 1 - mx có txđ D

g’(x) = f’ (x) - 22 x

x  - m

Hàm sốg(x) đồng biến 1;1 g’(x)    0 x  1;1

   

    

     

'

2 '

2 '

2

0 1;1

1

1;1 1

2

: 5( ) 1;1 ; 1;1

1 x

f x m x

x x

m f x x

x

x

do f x bbt x x

x

      



     



       



   

'

2

4 1;1

1 x

f x x

x

     

 dấu “=” xảy “x=1”

Vậy (1) m4

Dạng toán 47 Biết BBT hàm số y f x xét tính đơn điệu hàm số yg x  f u x   trong tốnkhơng chứa tham số

Câu 39.Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục  có bảng xét dấu đạo hàm hình vẽ sau

Hỏi hàm số yg x  f x 22x đồng biến khoảng

A. ;0 B. 2;1 C.  ; 2 D. 2;  Lời giải

Chọn C

Tập xác định D

Ta có yg x f x 22xx22x.fx22x 2x2  fx22x

28 Từđó y 0 2x2  fx22x0

2x x

      nên hàm sốđồng biến  ; 1 Mặt khác  ; 2   ; 1 nên phương án C thỏa mãn toán

Câu 40.Cho hàm số liên tục có bảng xét dấu đạo hàm sau:

Hàm số đồng biến khoảng khoảng đây?

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn D

Đặt   2 x

g x  f e , hàm số xác định  Ta có: g' x  e fx 2ex

 

'

g x 

2

2

2

x x x e e e

    

      

ln

2 ( )

x x x e

    

  

 vô nghiệm

Bảng xét dấu đạo hàm hàm số yg x  sau:

Suy hàm số yg x  đồng biến khoảng ; Vậy chọn phương án

D

Câu 41.Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục R có bảng biến thiên hình vẽdưới đây:

Hàm số g x  f x2 nghịch biến khoảng đây:

A. 3; B. 2;  C. 1; 2 D.  ; 1

Lời giải Chọn C

- Do h x  f  x hàm chẵn, đồ thị hàm số yh x  nhận trục tung làm trục đối xứng nên từ bảng biến thiên hàm số y f x suy bảng biến thiên hàm số

   

h x  f x sau:

 

y f x 

2 x y f e

;1 1; 4 0; ln 3 2;

29 - Tịnh tiến đồ thị hàm số h x  f  x sang phải (theo trục hoành) đơn vịta đồ thị hàm số

   2

g x  f x Suy bảng biến thiên hàm số g x  f x2:

Từ bảng biến thiên hàm sốg x  f  x2 ta thấy hàm số g x  f x2 nghịch biến 1; 2 5; nên ta chọn đáp án

C

Câu 42.Cho hàm số y f x  liên tục , có bảng biến thiên hình vẽ

Hàm số y f  f x  đồng biến khoảng sau đây?

A.  ; 2 B. 1;1 C. 2; D. 0; 

Lời giải

Chọn A

Đặt g x  f  f x             ' f x f x

g x f f x

f x

 

 

Do g x  khơng xác định f x 0 hay x0

              1

0 1

1

1 x

f x x

g x f x x

f x f f x

f x                              

Từ bảng biến thiên f x  ta có f x 0;1 ,  x  Suy f f x 0, x  Ta có bảng xét dấu g x'  sau:

x   f x

  f x

 1

0     0  0 x   f x

  f x

 1

0     0  0 x   f x

  f x

 1

0     0    g x

0  

  0     x   f x

  f x

 1

0     0    g x

0  

 

0

30 Từ suy g x  đồng biến khoảng  ; 1 0;1 

Câu 43.Cho hàm số y f x  liên tục  Biết hàm số y f x có bảng xét dấu sau

Hàm số g x  f2 cosx1 đồng biến khoảng đây? A 0;

6 

 

 

  B 3;

 

 

 

  C 2;

 

 

 

  D 2;

 

 

 

 

Lời giải

Chọn C

Nhận thấy tập hợp đáp án tập tập 0;nên ta xét khoảng 0;

Hàm số g x  đồng biến g x 0 g x 0 hữu hạn điểm

   

2sin x f cosx f cosx

       (do sinx0, x 0;)

1 2cosx

    cos

2

x  x 

     

Dạng toán 48 Biết BBT hàm số y f x xét tính đơn điệu hàm số yg x  f u x   trong toánchứa tham số

Câu 44.Cho hàm số y f x  cáo đạo hàm  có bảng xét dấu sau

Có giá trị nguyên m0 2020;  để hàm số g x  f x 2 x m nghịch biến khoảng 1 0; ?

A. 2017 B. 2018 C. 2016 D. 2015

Lời giải

Chọn C

     

2

' '

g x  x f x  x m

Hàm số g x  nghịch biến 1 0; g x' 0,  x  0;   *

Vì 2x 1 0,  x  0;  nên  *  f'x2 x m0,  x  0; 

 

 

2

1

4

, ;

, ;

x x m x

x x m x

                        2 2

1

4

1

4

1 4 , ; , ; , ; , ;

m x x x

m x x x

x x m x

x x m x

m m m m                                               

Vậy m4 6; ; ; ;2019 Chọn đáp số

C

Câu 45.Cho hàm số y f x( ) có đồ thịnhư bên

0 + + -0 0 +

+∞

-∞

31 Số giá trị nguyên tham số m để hàm số  

y f x  x m nghịch biến (0;1)

A. B.1 C. D.

Lời giải Chọn B

Ta có y(2x1)fx2 x m

Hàm số  

y f x  x m nghịch biến (0;1) y   0, x (0;1) Vì 2x 1 0, x (0,1) nên điều tương đương với

 

2

2

2

1, (0;1) , (0;1)

0, (0;1)

1, (0;1) , (0;1)

x x m x x x m x

f x x m x

x x m x x x m x

             

 

       

         

 

 

Ta có hàm số g x( )x2x đồng biến [0;1]; đó, ràng buộc tương đương với

1 (0)

1

1 (1)

m g

m

m g

   



  



  



Vậy có giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu toán

Câu 46.Cho hàm số f x  có đạo hàm f  x  x12x2 2x với x Có số nguyên 100

m để hàm số    

8

g x  f x  xm đồng biến khoảng 4;?

A. 18 B. 82 C. 83 D. 84

Lời giải Chọn B

Ta có    2 

1

2 x

f x x x x

x

 

      

 

Xét g x   2x8  fx28xm Để hàm số g x  đồng biến khoảng 4;   0,

g x   x

   

 

 

 

2

2

2 0,

8 0,

8 0, 4;

18

8 2, 4;

x f x x m x

f x x m x

x x m x

m

x x m x



      



     

      

  

     



Vậy 18m100

Câu 47.Cho hàm số y f x  có đạo hàm f x x x 12x2mx9 với x Có số nguyên dương m để hàm số g x  f3x đồng biến khoảng 3;?

A. B. C. D.

Lời giải Chọn B

Từ giả thiết suy f3x  3x2x 2 3x2 m3x9 

32 Ta có g x  f3x

Để hàm số g x  đồng biến khoảng 3; g x 0,  x 3;

                 2

3 0, 3;

3 3 0, 3;

3

, 3;

f x x

x x x m x x

x m x x                              

min3;   

m h x



  với    

2 x h x x    

Ta có        

2

3 9

3

3 3

x

h x x x

x x x

 

      

  

Vậy suy m 6 mm1;2;3; 4;5;6 

Câu 48.Cho hàm số y f x  có đạo hàm f x x2x1x2mx5 với x Có số

nguyên âm m để hàm số g x  f x 2 đồng biến 1;?

A. B. C. D.

Lời giải Chọn B

Từ giả thiết suy f x2 x4x21x4mx25  Ta có g x 2xf x2

Để hàm số g x  đồng biến khoảng 1; g x 0,  x 1;

 

  

2

4

4

4

2 0,

2 0,

5 0,

5

,

xf x x

x x x x mx x

x mx x

x m x x                        

1;    max

m h x



  với  

4 x h x x   

Khảo sát hàm   x h x x 

  1; ta

1;   

maxh x

  

Suy m 2 5mm     4; 3; 2; 

Câu 49.Cho hàm số y f x  có đạo hàm f x x x 123x4mx31 với x Có số nguyên âm m để hàm số    2

g x  f x đồng biến khoảng 0;?

A. B. C. D.

Lời giải Chọn B

Từ giả thiết suy f x2 x2x21 2 3x8mx61 

Ta có g x 2xf x2 Để hàm số g x  đồng biến khoảng 0;

     2  

0, 0; 0, 0;

33

     

 

 

2

2

8

8

2 0, 0;

3 0, 0;

3

, 0;

x x x x mx x

x mx x

x

m x

x

       

      



     

0;    max

m h x



  với  

8

3

x h x

x

  

Khảo sát hàm  

8 3x h x

x



  0; ta

0;    maxh x

  

Suy m  4 mm     4; 3; 2; 

Câu 50.Cho hàm số y f x  liên tục  có bảng xét dấu đạo hàm sau

Có giá trị nguyên tham số m để hàm số g x  f x m đồng biến khoảng 0 ; 

A. B. C. D.

Lời giải Chọn A

Từ giả thiết suy hàm số y f x  đồng biến khoảng 1;1, 1;3 liên t ục x1nên

đồng biến 1;3

Ta có g x  fxm x0; 2xmm m; 2  

g x đồng biến khoảng 0 ;   ;   1;3 1

2

m

m m m

m

  

        

 



Vì m nên m có giá trị m 1;m0;m1

Câu 51.Cho hàm số y f x  liên tục  có bảng xét dấu đạo hàm sau

Có giá trị nguyên tham số m để hàm số g x  f x m đồng biến khoảng 0 ; 

A. B. C. D.

Lời giải Chọn A

Từ giả thiết suy hàm số y f x  đồng biến khoảng 1;1, 1;3 liên t ục x1nên

đồng biến 1;3

Ta có g x  fxm x0; 2xmm m; 2  

g x đồng biến khoảng 0 ;   ;   1;3 1

2

m

m m m

m

  

        

 



Vì m nên m có giá trị m 1;m0;m1

34 Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y f( x2m) (1) nghịch biến khoảng

11; 25 

A. B. C. D.

Lời giải Chọn A

Đặt t  x2m, với x11; 25 t3m;5m, hàm số trở thành: y f t( ) (2)

Dễ thấy x t chiều biến thiên nên hàm (1) nghịch biến 11; 25 hàm  (2) nghịch biến 3m;5m

Dựa vào bảng xét dấu hàm f x suy hàm f t( ) nghịch biến khoảng 1;3 Do hàm f t( ) nghịch biến 3m;5m 2

5

m m

m

m m

   

 

   

 

   

 

Vậy có giá trị nguyên tham số thỏa mãn yêu cầu toán

Dạng toán 49 Biết BBT hàm số y f x xét tính đơn điệu hàm số yg x  f u x  h x  trong tốnkhơng chứa tham số

Câu 53.Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm liên tục R Bảng biến thiên hàm số f '( )x sau:

Hàm số    3

1

g x  f  x x   x x nghịch biến khoảng đây? A. 0;1

3

 

 

  B. ;0 C.

2 0;

3

 

 

  D.

2 ;

 



 

  Lời giải

Chọn C

Ta có 2

'( ) (3 ) '(1 )

g x  x  x f x x  x  x

2

'( ) (3 ) '(1 )

g x x x f x x 

       

Dựa vào bảng biến thiên hàm số f x'( ) f '( )x    1 x R

2

'(1 )

f x x x R

      

Xét '( ) 2 0

3 g x   x  x  x

Câu 54.Cho hàm sốy f x  có bảng xét dấu đạo hàm sau:

Hàm số g x  f 3x1x33x đồng biến khoảng đây? A. 1;

4

 

 

  B.

2 2;

3

 



 

  C.

2 ;

 

 

  D.  

2; Lời giải

Chọn A

Cách

35

 

0 1

y  f x x 

Ta có

1 1

x      x

 

1

3

' 2

1 3

3 x

x f x

x x

   

 

   



    





Suy với x

  f ' 3 x10x21

Suy hàm số y f 3x1x33x đồng biến khoảng 0;2

 

 

 

Mà 1; 0;2

4 3

   



   

    nên chọn đáp ánA

Cách

Ta có y3f3x13x2 3 3f3x1x21

Đặt 1

3 t t  x x 

 

0 1

y  f x x   

2

2

9

t t

f t  

 

Vẽđồ thị hàm số  

2

2

9

t t

g t   

Từ bảng biến thiên ta có đồ thị f t

Từđồ thị ta có  

2

9

t t

f t    3

3

t x x

        

Lời bình: Do hàm f x  chưa biết nên

+ Phương án B sai

+ Phương án C có thểđúng + Phương án D có thểđúng

Do đó, để chắn có phương án nên điều chỉnh phương án C, D thành

C. 1;1

 

 

 

D ; 

ĐỀ XUẤT SỬA LỜI GIẢI THÀNH

36

Có: 3 1 0; 1; 2;

3

f x   x x x x

2

1x 0x 1 Bảng xét dấu g x 

 1

3

2

3 

3 1

f x      

2

1x      

 

g x 

Khôn

g XĐ dấu

 

Khô ng

XĐ đượ

c dấu

Khôn

g XĐ dấu Vậy hàm sốđồng biến khoảng 1;1

3

 



 

 

1 ; 3

 

 

   Chọn A

Câu 55.Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục trên Bảng biến thiên hàm số f x hình vẽ

Hàm số  

2 x g x  f   x

  nghịch biến khoảng khoảng đây?

A.  4; 2 B. 2; 0 C. 0;  D. 2;  Lời giải

Chọn A

Xét ( )

2 x g x  f   x

  Ta có

1

'( ) ' 1

2

x g x   f   

 

Xét '( ) '

2 x g x   f   

 

Dựa vào bảng biến thiên hàm số f x ta có:

+) TH1: 2

2

x x

f         x 

  Do hàm số nghịch biến  4; 2

+) TH2: 1 2

2

x x

f       a     ax

  nên hàm số nghịch biến khoảng

2 ; 4 a  khơng nghịch biến tồn khoảng 2;  Vậy hàm số  

2 x g x  f   x

  nghịch biến  4; 

Chú ý: Từtrường hợp ta chọn đáp án A xét tiếp trường hợp xem thử

37 Dạng toán 51 Biết BBT hàm số y f x , xét tính đơn điệu hàm số

         

yg x  f u x  f v x h x trong tốnkhơng chứa tham số Dạng toán 52 Biết BBT hàm số y f x , xét tính đơn điệu hàm số

         

yg x  f u x  f v x h x trong toánchứa tham số

Dạng toán 53 Biết BBT hàm số y f x xét tính đơn điệu hàm số yg x  f u x  k trong bài tốnkhơng chứa tham số

Câu 56.Cho hàm số yf x  có đạo hàm  có bảng xét dấu hàm số y = f x sau:

Biết f  2 f 2 0, hỏi hàm số g x f3x2 nghịch biến khoảng khoảng sau?

A.  2;  B. 1;  C. 2;  D. 5;

Lời giải

Chọn C

Dựa vào bảng xét dấu hàm số y = f x suy bảng biến thiên hàm số y = f x  sau:

Ta có g x  2.f3x f  3x Xét g x 0 f3x f  3x0  1 Từ bảng biến thiên suy f3 x 0,  x 

Do (1) 3 

3

x x

f x

x x

 

 

  

 

     



   

  

Suy hàm số g x  nghịch biến khoảng ;1 , 2; 

Dạng toán 54 Biết BBT hàm số y f x xét tính đơn điệu hàm số yg x  f u x  k trong bài toánchứa tham số

Câu 57.Cho hàm số f x  có đạo hàm  f x' có bảng biến thiên hình vẽ, đồ thị y f x'  cắt trục hoành hai điểm có hồnh độ 3; Có giá trị nguyên tham số m thuộc

đoạn  10; 20 để hàm số yf x 23x m 3 đồng biến khoảng 0; 2

A 20. B. 17. C. 16. D. 18

38 Ta có y3 2 x3f x 23x m .f x 23x m 2

Theo đề ta có: f x   x1x3 suy        

3

1

x f x

x f x 0  3 x1

Hàm sốđồng biến khoảng 0; 2 y 0, x 0; 2

        

 

y 3 2x3 f x23x m f x2 3x m 2 0, x 0;

Do x0; 2 nên 2x 3 0, x 0; 2 f x 23x m 2 0, x  Do đó, ta có:

          

       

     

 

 

2

2

2

3 3

0

3

x x m m x x

y f x x m

x x m m x x

   

   

   

  

  

 

   



2 0;2

2 0;2

max 3

13

m x x

m m

m x x

Do m  10; 20 nên có 18 giá trị nguyên m thỏa yêu cầu đề

Dạng toán 55 Biết BBT hàm số y f u x   xét tính đơn điệu hàm số y f x  trong tốn khơng chứa tham số

Câu 58.Cho hàm số y f x 2 có đạo hàm  có bảng biến thiên hình vẽ

Hàm số y f x  nghịch biến tên khoảng sau

A. 0; 2 B. 2;5  C. 2;0 D.  4; 2

Lời giải

Chọn C

Ta có f x 2 x2  fx2 fx2

Đặt t  x y f x 2 f t  y f x 2  f ' t

Dựa vào bảng biến thiên hàm y f x 2 ta có  2 x f x

x

  

    

  

Suy  

0 t f t

t

  

   

 

39 Suy hàm số y f x  nghịch biến 2;0

Dạng toán 56 Biết BBT hàm số y f u x   xét tính đơn điệu hàm số y f x  trong toán chứa tham số

Câu 59.Cho hàm số y  f x  có đạo hàm liên tục  f  1 2 Biết y f ' x có bảng biến

thiên hình vẽ

Có giá trị nguyên m thuộc đoạn 2019; 2019 để hàm số

  3 ln

6 2

y  f x  x  x  xm

 đồng biến 1;3

A. 2008 B. 2007 C. 2009 D. 2010

Lời giải Chọn A

Hàm số ln   3

3

y  f x  x  x  xm

  xác định R

     

       

3

2

1

3 0, 1;3

3

' ' ' '

g x f x x x x m x

g x f x x x g x f x x x

          

           

40

Vậy '   1;3    1 31 31

3

g x    x g x  g    m m

   

 

 

2

3

3

'

1

ln ' 0, 1;3

1

3

6 2

f x x x

y f x x x x m y x

f x x x x m

  

 

           

     

Đề hàm sốđồng biến 1;3 31; 2019 11; ; 2018

m m

  có 2008 số

Câu 60.Cho hàm số y  f x 2 có đạo hàm liên tục  Biết y f 'x2 có bảng biến thiên

hình vẽ

Có giá trị ngun m thuộc đoạn 2019; 2019 để hàm số

  3  

2

12

y f x  x  x  x  m xm đồng biến 1;3 

A. 2021 B. 2020 C. 2019 D. 2018

Lời giải Chọn A

  3    

2 ' '

12 3

y f x  x  x  x  m xm y  f x  x  x  x m

Để hàm sốđồng biến 1;3 ' '  2 0, 1;3 1 

y f x x x x m x

         

Đặt x t 2  t  1;1 1  trở thành

  1 3  2    

' 2 2 2 0, 1;1

3

41

     

' 2 , 1;1

3

g t f t t t m t

          g t'  f "t2t21 Vẽhai đồ thị y f " t

1

yt  hệ trục

Từđồ thị ta thấy g t' 0.  t  1;1g t  hàm sốđồng biến   t  1;1

   

 1;1      

3

2 , 1;1 ' 1

2

m g t t m g t g f m



             

Kết hợp m  2019; 2019m 2019, ,0,1 có 2021 số

Dạng tốn 57 Biết BBT hàm số y f x , xét tính đơn điệu hàm số yg x   .f x trong tốnkhơng chứa tham số

Câu 61.Cho hàm số y f x( )liên tục có đạo hàm , thỏa mãn f( 1) 0 Biết bảng biến thiên hàm số y f ' x hình vẽ

Hàm số      

2

g x  x  x f x nghịch biến khoảng nào?

A. 2; B.  ; 1 C. 1;1

 



 

  D. 1;1

Lời giải

Chọn C

Từ bảng biến thiên hàm số y f ' x ta suy bảng biến thiên hàm số y f x như sau

42 Vậy hàm số nghịch biến khoảng 1;1

2

 



 

 

Dạng toán 58 Biết BBT hàm số y f x , xét tính đơn điệu hàm số yg x   .f x trong toánchứa tham số

Câu 62.Cho hàm số y f x và f x 0, x  Biết hàm số y f ' x có bảng biến thiên hình vẽ f ' 4 0

Có số nguyên m  2019; 2019 để hàm sốyex2mx1f x  đồng biến 1; 

A. 2011 B. 2013 C. 2012 D. 2014

Lời giải Chọn C

       

2 1 1

' '

x mx x mx

ye   f x  y e     xm f x  f x 

Hàm sốđồng biến 1; 4 y'0, x 1; 4  2xm f x   f ' x 0, x 1; 1  Vì f x 0, x     

     

'

1 m 2x f x g x , x 1;

f x

     

Xét hàm số g(x) ta có          

2

" '

' f x f x f x

g x

f x

    

 

 

Theo BBT hàm số f x( ) ta thấy  x 1; 4thì f( )x 0 nên

         

" ' 0,

f x f x f x   f x   x       

     

       

2

2

" ' " '

0, 1; ' 0,

f x f x f x f x f x f x

x g x

f x f x

   

        

   

   

  y g x

  đồng biến 1; 

Do để mg x( ) x (1; 4)

1;4    

max

43 Do m [ 2019; 2019] nên m8; 2019

Có 2012 số nguyên thỏa ycbt

Dạng toán 59 Biết BBT hàm số y f x , xét tính đơn điệu hàm số yg x   .f x trong tốnkhơng chứa tham số

Câu 63.Cho hàm số y f x  Biết f  0 0 hàm số y f x có bảng biến thiên

Khi đó, hàm số yxf x  đồng biến khoảng nào?

A. ;0 B. 2;0 C. 0;  D. 2; 2

Lời giải Chọn B

Ta có yxf x  y f x xf x

Từ bảng biến thiên hàm số y f x ta có f  x x x a

 

   

 

với a 3

Khi ta có bảng biến thiên hàm số y f x 

Từ bảng biến thiên hàm số y f x  ta có f x 0,  x  2; 0 Và f x 0,  x  2;0xf x 0,  x  2;0

Từđó suy y f x xf x 0,  x  2; 0 Do hàm số yxf x  đồng biến 2;0 Trên khoảng ;0 f x  xf x âm dương nên khơng thể kết luận hàm sốđã cho

đồng biến ;0 đáp án A sai

Trên 0;  f x 0 f x  0 xf x  0 f x xf x 0 nên hàm số nghịch biến 0;   đáp án C sai

Đáp án C sai nên đáp án D sai

Câu 64.Cho hàm sốy f x( )có bảng biến thiên sau:

Hàm số g x( )f(3x)2 nghịch biến khoảng khoảng sau?

A (2;5) B (1;2) C. ( 2;5) D (5;).

44

Chọn A

Từ bảng biến thiên suy ( )f x 0, x  f(3x)0, x  Ta có '( )g x  2 '(3f x f) (3x)

Xét   3  3  3 

3

x x

g x f x f x f x

x x

 

 

 

 

     

            

  

Suy hàm số g x  nghịch biến khoảng (;1) (2; 5)

Dạng toán 60 Biết BBT hàm số y f x , xét tính đơn điệu hàm số yg x   .f x trong toánchứa tham số

Câu 65.Cho hàm số y f x có bảng biến thiên hình vẽdưới

Với m0, hàm số yx22xm f x   đồng biến khoảng sau

A. 1; 0 B. 0;1  C. 1;3  D.  ; 1

Lời giải Chọn B

      ' 

' 2

y  x f x  x  xm f x

+ Ta có 2x 2 0, x 0;1 f x 0, x 0;1(1) Bảng biến thiên hàm yg x x22xm

Từ hai BBT suy g x x22xm0, x 0;1(do m0) f' x 0, x 0;1 (2) Từ (1) (2) suy y'2x2   f x x22xm f ' x 0  x 0;1

Trong khoảng  ; 1, 1; 0,1;3 ch ưa thểxác định dấu

      ' 

' 2

y  x f x  x  xm f x nên dựa vào đáp án ta Chọn B

Dạng toán 61 Biết BBT hàm số y f x , xét tính đơn điệu hàm số  

  g x y

f x

  

  f x y

g x



trong tốnkhơng chứa tham số

Câu 66.Cho hàm số bậc bay f x  có

1 (0)

3

f   Bảng biến thiên hàm số f x

45 Hàm số g x( ) f x x

e

 nghịch biến khoảng đây?

A. ;1 B. 2 3; 2 C. 4; D. 3;

Lời giải Chọn C

Vì y f x( ) hàm số bậc ba nên y f x( ) hàm số bậc hai

Gọi

( )

f x ax bx c suy f( )x 2ax b Ta có hệ sau:

(1)

(1) 0

(0) 1

f a b a

f a b c b

f c c

     

  

  

       

  

         

  

Vậy f x( ) x22x1

Suy  

( ) ( )d d

3

f x  f x x  x  x x  x x  x m, (0) 1

3

f   m 

Vậy ( )

3

f x   x x  x

Ta có ( )   2 ( ) ( ) ( )

x x

x x

f x e e f x f x f x g x

e e

   

  

( ) ( ) ( )

g x   f x  f x 

2

1

2 3

3

2

x

x x x x

x

  

       

   

Lập bảng xét dấu yg x( )

Dựa vào bảng xét dấu g x( ) hàm số nghịch biến 4;

Dạng toán 62 Biết BBT hàm số y f x , xét tính đơn điệu hàm số  

  g x y

f x

  

  f x y

g x



trong toánchứa tham số

46

Đồ thị hàm số y f x  khơng có giao điểm với trục hoành Max f x  1

 Đồ thị hàm số y f x có giao điểm với trục hồnh.Có giá trị tham số m để

hàm số       

 

2 2

1

x m x m

g x

f x

   

 đồng biến 

A. B. C. D

Lời giải Chọn A

Ta có Max f x   1 f x 0, x

 

               

 

 

               

 

 

2

2

2

2

2

1 2

1 2

x m x m f x x m x m f x

g x

f x

x m x m f x x m x m f x

g x

f x



         

 

  

         

 



 

Đặt               2m 3x 2m f x x 2m x m f x h x

         

Vì g x  có nghiệm bội lẻ x1 nên để g x 0 điều kiện cần h x  có nghiệm x1

     

1

1 2 1 1

2 m

h m m f m m

m

  

           

  

Th1: Với m1 ta có

         

 

 

2

2

3 1

0

x f x x f x

g x x

f x



   

    

TH2: Với

m  ta có

         

 

 

2

2

3 1

1

2

x f x x f x

g x x

f x



  

    

1

CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM ẨN LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN CỰC TRỊ

CỦA HÀM SỐ

PHẦN 1: BIẾT ĐẶC ĐIỂM CỦA HÀM SỐ y f x 

Dạng toán Các toán cực trị hàm ẩn bậc (dành cho khối 10)

Dạng tốn Dạng tốn tìm biểu thức cụ thể hàm số y f x  tốn khơng chứa tham số

Dạng tốn Dạng tốn tìm biểu thức cụ thể hàm số y f x  toán chứa tham số

Dạng toán Biết đặc điểm hàm số đồ thị, BBT đạo hàm hàm f x  , tìm cực trị hàm y f  x ; y f f x , y f f f  x  tốn khơng chứa tham số

Dạng toán Biết đặc điểm hàm số BBT, BBT đạo hàm hàm f x  , tìm cực trị hàm y f f x  , y f f f  x  toán chứa tham số

Dạng toán Biết đặc điểm hàm số BBT, đồ thị, đạo hàm hàm f x  , tìm cực trị hàm ylnf x ,yef x , sin f x , os fc  x tốn khơng chứa tham số

2

DẠNG 1. Các toán về cực trị của hàm ẩn bậc (dành cho khối 10)

Câu 1: Cho hàm số f x ax2 bx c đồ thị hình bên Hỏi hàm số g  f x 2 có điểm cực

trị?

x y

O 2

 

A 1 B 2

C 3 D 4

Lời giải Chọn C

Xét hàm số  2 g f x

Đặt

t x Khi với t0, hàm g f t( ) có đồ thị dạng đồ thị hàm số f x( ) bên phải trục Oy Hàm số g f x 2 hàm chẵn nên đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng Từđó ta có đồ thị hàm g t  sau:

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm sốcó điểm cực trị

Câu 2: Cho parabol y f x( )ax2bx c a ( 0) cắt trục hồnh hai điểm có hồnh độ 2, biết hàm số y f x( ) nghịch biến khoảng ( ;x0 )và khoảng cách từ giao điểm

của parabol với trục tung đến điểm O Tìm số điểm cực trị hàm số y f x1

A 2 B 3 C 5 D 7

Lời giải Chọn D

Do hàm số y f x  nghịch biến khoảng x0;  nên a0

Biết y f x( )ax2bx c a ( 0) cắt trục hoành hai điểm có hồnh độ nên

2

( ) ( 1)( 2) ( 2)

3 Parabol cắt trục tung điểm có tung độ 2a, ta có

2 a a

a

    

  

Do hàm số y f x( )nghịch biến khoảng ( ;x0 ) nên a 2

Vậy parabol y f x( ) 2x2 6x4

Đồ thị hàm số y fx1 (hình vẽ phần tơ đậm) có cách

+ Vẽđồ thị y f x1  C1

+ Giữ nguyên phần đồ thị  C1 trục hoành lấy đối xứng phần  C1 trục hoành

Để vẽ  C1 lấy đối xứng phần đồ thị y f x( ) 2x26x4 qua trục tung sau tịnh tiến

sáng trái đơn vị

Từ đồ thị suy hàm số có điểm cực trị

Câu 3: Cho hàm số f x ax2bxc a 0 có đồ thị parabol hình vẽ Tìm m để giá trị lớn hàm số y f x m4 2;1 đạt giá trị nhỏ

A m5 B m4

C m3 D m1

Lời giải Chọn C

Từ giả thiết suy y x12m5 Đặt g x   x12m5 Với   x  2;1 ta có g x m5;m1

y

x

4 Giá trị lớn hàm số ymax maxm5 ,m1

+ Trường hợp 1: m5  m 1 m52 m12 m3

Khi ymax  m5  5 m2  GTLN hàm sốđạt GTNN 2, m3

+ Trường hợp 2: m 1 m5 m3

Khi ymax  m 1 m 1  GTLN hàm sốđạt GTNN 2, m3 Vậy m3

DẠNG 2. Dạng tốn có thể tìm được biểu thức cụ thể của hàm số y f x  bài tốn khơng chứa tham số.

Câu 4: Cho hàm số

   

y ax bx cx d Biết đồ thị hàm số có điểm cực trị M1; 1  nhận I0;1 làm tâm đối xứng Giá trị y 2

A y 2 2 B y 2  2 C y 2 6 D y 2 3 Lời giải

Chọn D

Ta có: y 3ax22bx c y , ''6ax2b

Do đồ thị hàm số có điểm cực trị M1; 1  nhận I0;1 làm tâm đối xứng nên:  

     

1 1 1

1 0

2

'' 0

1

0

 

        

  

     

  

 

  

  



  

     



y a b c d a

y a b c b

b c

y

d d

y

Vậy:yx33x1 Suy y 2 233.2 3 

Câu 5: Đồ thị hàm số

yax bx cxd có hai điểm cực trị A1; 2 B1; 6 Giá trị

2 2

Pa b c d bao nhiêu?

A. P18 B. P26 C. P15 D P23 Lời giải

Chọn B

Tập xác định D

Ta có

'

y  ax  bxc y''6ax2b Vì A1; 2 B1; 6 điểm cực trị nên

   

   

' 3 2 0 6 2 0 1

1 2

3 2

'

6 4

1

y a b c a c a

y a b c d b d b

a b c a c c

y

a b c d b d

y



         

   

       

   

  

   

       

 

   

           



Vậy Pa2b2c2d2 26

Câu 6: Cho hàm số y f x( )ax3bx2cxd a( 0) xác định  thỏa mãn f(2)1 Đồ thị

5 Tìm giá trị cực tiểu yCT hàm số f x( )

A yCT  3 B yCT 1 C yCT  1 D yCT  2 Lời giải

Chọn A

Vì đồ thị hàm f '( )x cắt Ox hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 x1 nên '( ) ( 1)( 1)

f x k x x với k số thực khác

Vì đồ thị hàm f '( )x qua điểm (0; 3) nên ta có     3 k k Suy f '( )x 3x23 Mà f '( )x 3ax22bxc nên ta có a1,b0,c 3

Từđó f x( )x33xd Mặt khác f(2)1 nên d 1 Suy f x( )x33x1

Ta có '( )

1

     

  

x f x

x Bảng biến thiên

Vậy yCT  3

Câu 7: Cho hàm số y f x  liên tục , thỏa mãn        

   

2

2

3 15 10

0

x x f x x f x

f x f x

     

 

  

   

   



với

x

  f  1  4 Tổng cực đại cực tiểu hàm số y f x 

A 3

 B 3 C 2 43 D 3 4

Lời giải Chọn A

6

Do từ 3x215x f   x  10 5 x f x  0 với  x 0, ta suy ra: Với x0 ta có f x 03x2 15x f  x 0x5

Với kết quảtrên ta  

     

5

0;5

3

f x x

x f x x x

 

  



Suy  

   

5

3

f x x

x x

f x x x

 





 d  d ln   2ln ln

3

f x x x C

    

   3

5 C

f x e x x

  

Do f  1  4 nên C0 f x   x53 x2 với  x 0;5

Vì f x  liên tục  nên f x  liên tục x0, x5 suy f  0  f  5 0 Hay f x   x53 x2 với  x 

Khi  

3

5

3 x f x

x



 

Ta có f x 0x2 , f x không xác định x0 Bảng biến thiên f x  :

Từđó suy yCD  f  0 0; yCT  f  2  3 43 Vậy yCD yCT  3 43

DẠNG 3. Dạng tốn có thể tìm được biểu thức cụ thể của hàm số y f x  toán chứa tham số.

Câu 8: Tổng tất giá trị tham số thực m cho đồ thị hàm số yx33mx24m3 có điểm cực

đại cực tiểu đối xứng với qua đường phân giác góc phần tư thứ

A

2 B

1

2 C 0 D

1 Lời giải

Chọn C

Ta có: y 3x26mx, 0 x y

x m

      



Để hàm số có cực đại cực tiểu m0

Khi điểm cực trị đồ thị hàm số là: A0; 4m3, B2 ; 0m  Ta có I m ; 2m3 trung điểm đoạn thẳng AB

Đường phân giác góc phần tư thứ d x:  y

Do đểđiểm cực đại cực tiểu đối xứng với qua d thì:

2

2

1

2

2

m m

m m

m m

  



     



 

 

Vậy tổng tất giá trị tham số thực m

7

A m  B

2

m  C m  D

2 m Lời giải

Chọn B

Ta có y 4x34m x2 ; y x 02 x m        

Điều kiện để hàm số có ba cực trị y 0 có ba nghiệm phân biệt m0

Khi đó: y x

x m         

Tọa độ điểm cực trị  2 0;

A m ,  2 ;

B m m m ,  2 ;

C m m m

Ta có OA BC, nên bốn điểm A, B, C, O bốn đỉnh hình thoi điều kiện cần đủ OA BC cắt trung điểm đoạn

A O B C

A O B C

x x x x

y y y y

  

  

  

  2  2

0

0

m m m m m

             

2m m

  

2 m

 

2 m

  

Vậy

2 m 

Câu 10: Tìm tất giá trị thực tham số m đểđiểm   ;

M m m với hai điểm cực trị đồ

thị hàm số y2x33 2 m1x26m m 1x1 tạo thành tam giác có diện tích nhỏ

A m 1 B m2 C m1 D m0

Lờigiải Chọn D

Tập xác định: D

   

2

6 6

y  x  m x m m

0

y     

6x 2m x 6m m

     

3

3

2

1

x m y m m

x m y m m

     

 

    



Hàm số có cực trị:   09 2 m1236m m 1090, x  Gọi A B, hai điểm cực trị đồ thị hàm số

   2

; , 1;

A m m m B m m m

     AB1; 1 AB

Phương trình đường thẳng  qua điểm cực trị: xy2m33m2m 1

 

3 2

2 3 1

,

2

m m m m m m

d M         

 

2

1 3

,

2 2

MAB

m m

S  d M  AB   

min

0

S  m

Câu 11: Cho hàm số yx42mx2m C  Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực trị đồng thời ba

điểm cực trị đồ thị hàm số tạo thành tam giác có bán kính đường trịn nội tiếp

A m1 B m0 C m 2 D m2 Lời giải

Chọn D

8 0 x y x m        

Hàm số có điểm cực trị  y 0 có nghiệm phân biệt  m0

Các điểm cực trị đồ thị A0;m ,  B m;m2m, C m;m2m Ta có: ABAC m4m, BC2 m

Gọi I trung điểm BC Suy I0;m2m AI m2

2

AB BC CA S  AI BC    r

   

2

.2 2

m m m m m

   

 

2 m m m 1

       1 m loai m m         

3

1

1

m

m m m

                  1 m m loai m nhan m nhan                  m  

Câu 12: Cho  P đường Parabol qua ba điểm cực trị đồ thị hàm số 2

y x mx m Gọi ma giá trịđể  P qua B 2; 2 Hỏi ma thuộc khoảng đây?

A  10; 15  B  2; 5  C  5; 2  D  8; 2 

Lờigiải Chọn B

3

y x  mx   x x m

 

Để hàm số có ba cực trị ab0 m

   m0

y 

2 0,

2 , , x y m x m y

x m y

           

Gọi parabol qua điểm  2 0;

A m , B ; 0m , C ; 0m  có dạng: yax2bx c

Ta có:

2

2

2

ma mb c ma mb c c m               2 m a b c m           

hay 2

2 m

y  x m

Theo yêu cầu toán parabol qua B 2; 2 nên:   2 2 a a m m

   ma2ma  2 a a m m        Vậy ma 2

Câu 13: Có giá trị nguyên tham số m để hàm số    

3

yx  m x  m  x  đạt cực tiểu x0?

9

Lời giải

Chọn C

Ta có    

3

yx  m x  m  x     

8

y x m x m x

     

0

y  3    

8

x x m x m

     

     

0

8

x

g x x m x m

   

     



Xét hàm số      

8

g x  x  m x m  có g x 32x35m3 Ta thấy g x 0 có nghiệm nên g x 0 có tối đa hai nghiệm +) TH1: Nếu g x 0 có nghiệm x0 m3 m 3

Với m3 x0 nghiệm bội g x  Khi x0 nghiệm bội y y đổi dấu từâm sang dương qua điểm x0 nên x0 điểm cực tiểu hàm số

Vậy m3 thỏa ycbt Với m 3  

3

8 30 15

4 x

g x x x

x

  

   

  

Bảng biến thiên

Dựa vào BBT x0 không điểm cực tiểu hàm số Vậy m 3 không thỏa ycbt +) TH2: g 0 0 m 3

Để hàm sốđạt cực tiểu x0 g 0 0 m2    9 m3 Do m nên m   2; 1; 0;1; 2

Vậy cảhai trường hợp ta giá trị nguyên m thỏa ycbt

DẠNG 4. Biết đặc điểm của hàm số hoặc đồ thị, hoặc BBT, hoặc đạo hàm của hàm f x , tìm cực trị của hàm y f  x ; y f f x , y f f f  x  bài tốn khơng chứa tham số

Câu 14: Cho hàm số y f x  xác định, liên tục  có hai điểm cực trị x 1,x1,có đồ

10 Hỏi hàm số y f x 22x12019 có điểm cực trị?

A. B. C. D.

Lời giải Chọn B

Do hàm số y f x  có hai điểm cực trị x 1,x1nên phương trình f x 0 có hai nghiệm bội lẻ phân biệt x 1,x1

Ta có    

2

2

y x f x  x

2

2

2 1

2

2 1

0

x x

x x x

x x x

y

 

  

 

      



     



 

Ta có

2

2

2

2

1 1

2

2 1

'( 1)

0

2 1

'

0

2

1

'( 1)

0

1 1

x x

x

x x x

f x x x

x

x x

y

x x

x x

f x x

x

x x



  

 

  

     

 

  

     

  

       

      

       

    

     

  

     

 



Do ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta suy hàm số y f x 22x12019 có cực trị Chọn phương án B Câu 15: Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm f x( )  Đồ thị hàm số y f x( ) hình vẽ

Đồ thị hàm số  2 ( )

y f x có điểm cực đại, cực tiểu?

11

C. điểm cực đại, điểm cực tiểu D. điểm cực đại, điểm cực tiểu

Lời giải Chọn A

Từđồ thị ta có: f x( )0 có nghiệm đơn x0;x3 nghiệm kép x1 Và f x'( )0 có nghiệm đơn xx1(0;1); xx2(1;3) x1

Ta có:yf x( )2 y'2 '( ) ( )f x f x có nghiệm đơn x0;x3; ;x x1 2 nghiệm bội

x

Ta có bảng xét dấu sau:

Vậy đồ thị hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu

Câu 16: Cho hàm số y f x  có đạo hàm  Đồ thị hàm sốnhư hình vẽbên

Sốđiểm cực tiểu hàm số g x 2f x 2  x1x3

A 2 B 1 C 3 D 4

Lời giải ChọnA

Ta có g x 2fx22x4

   2  2

g x   f x   x

Đặt t x ta f t  t  1

 1 phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị f t đường thẳng d : y t (hình vẽ)

Dựa vào đồ thị f t đường thẳng y t ta có ta có f t  t

1 t t t t

      

  

 

hay

3 x x x x

          

 

12 Vậy đồ thị hàm số có điểm cực tiểu

Câu 17: Cho hàm số y f x  có đạo hàm  có đồ thị đường cong hình vẽ Đặt     

g x  f f x  Tìm sốđiểm cực trị hàm số g x ?

A 2 B 8 C 10 D 6

Lời giải Chọn B

       g x  f f x f x

      

g x   f f x f x    

 

0 f f x f x

  

 

 



   

0 f x f x a x

x a

 



 

   

 

, 2a3

 

f x  có nghiệm đơn phân biệt x1, x2, x3 khác a

Vì 2a3 nên f x a có nghiệm đơn phân biệt x4, x5, x6 khác x1, x2, x3, , a

Suy g x 0 có nghiệm đơn phân biệt Do hàm số g x 3f f x 4có điểm cực trị

O



3 y

13

Câu 18: Biết hàm số f x  xác định, liên tục có đồ thị cho hình vẽ bên Tìm số điểm cực trị hàm số y f f x 

A 5 B. C 4 D 6

Lời giải Chọn C

Xét hàm số y f f x , y f x f f x ;             0

0 2

0

0 2;

0

2 ;

x x

f x x x

y

f x x a

f f x

f x x b a

                                       

Với x  ; 0  

   

0

0

f x

f x f f x

               y   Với x0; 2  

   

0

0

f x

f x f f x

               y   Với x2;a  

   

0

0

f x

f x f f x

               y   Với xa b;   

   

0

0

f x

f x f f x

                y   Với xb;  

   

0

2

f x

f x f f x

               y   Ta có bảng biến thiên

Dựa vào BBT suy hàm số y f f x  có bốn điểm cực trị

14

DẠNG 6. Biết đặc điểm của hàm số hoặc BBT, hoặc đồ thị, hoặc đạo hàm của hàm f x ,   tìm cực trị của hàm     

   

ln , f x , sin , cos f

y f x ye f x x

tốn khơng chứa tham số

Câu 19: Cho hàm số f x  có đồ thịnhư hình

Hàm số g x lnf x  có điểm cực trị ?

A. 0. B 1. C. 2 D.

Lời giải

Chọn D

  ln  

g x   f x   

  f x

f x





Từđồ thị hàm số y f x  ta thấy f x 0 với x Vì dấu g x  dấu  

f x Ta có bảng biến thiên hàm số g x 

Vậy hàm số g x lnf x  có điểm cực trị

Câu 20: Cho hàm số y f(x) có bảng biến thiên sau

Tìm số cực trị hàm số yg x lnf x 

A 0 B 1 C 2 D 4

Lời giải ChọnB

Điều kiện: f(x)0 x1 Ta có    

 

' f x

g x

f x



 ; giải phương trình y0 f x 0x 3 y đổi dấu qua

 

x

Do hàm số yg x lnf x có cực trị

15 Hàm số ylnf x  có tất cảbao nhiêu điểm cực đại?

A B 2 C 1 D 3

Lời giải Chọn C

Điều kiện : f x 0 x a b; :0a 3 b

Ta có:     

 

ln f x

y f x y

f x

 

  

Dấu y dấu f x

Dễ thấy a b;  hàm số f x  đạt cực đại điểm x3

Do hàm số ylnf x có điểm cực đại

Câu 22: Cho hàm số y f x  có đồ thịnhư hình vẽ bên:

Tìm sốđiểm cực trị hàm số y2f x  3f x 

A. B. C. D.

Lờigiải

ChọnD

Dựa vào đồ thị hàm số f x  ta thấy f x  1, x 

Khi xét hàm số g x 2f x 3f x  Ta có     2  .ln 3  .ln 3

 

f x f x

g x f x

 

 

g x  

   

0

2 ln ln

 

  

 

 f x f x

f x

Xét phương trình 2f x .ln 3 f x .ln 30 khoảng   ; 

 

   

2 2

3

log log log 1,

3

 

      

 

f x

f x (loại)

Do sốđiểm cực trị hàm g x  sốđiểm cực trị hàm f x  Tức hàm g x  có điểm cực trị

Câu 23: Cho hàm số y f x có đồ thị hình vẽ bên: O



16 Tìm số điểm cực trị hàm số y3f x 2f x 

A 2 B 3 C 5 D 4

Lời giải

Chọn D

Ta thấy f x xác định  nên f x  xác định  Ta có: y f x 3f x   f x 2f x   f x 3f x 2f x 

 

Xét y0 f x 0 (do 3f x 2f x  0,  x )

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy f x 0 có nghiệm phân biệt Vậy y 0 có điểm cực trị

Câu 24: Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục  có đồ thị f x hình vẽ bên Sốđiểm cực trị hàm số  

 12

2 e

x f x y

 



A 4 B 3 C 2 D 5

Lời giải Chọn B

Xét yeg x ,       2 x g x  f x  

Hàm số xác định , có y g x eg x  f  x  x1 e g x , eg x  0, x 

nên        

1

0 1

2 x x

y g x f x x f x x

x x

     

             

  

17 (Vì đường thẳng y x cắt đồ thị f x điểm có hồnh độ x 1;x1;x2;x3) dấu y dấu g x 

Bảng biến thiên:

Suy hàm số yeg x có ba điểm cực trị x 1;x2;x3

Câu 25: Cho hàm số y f x( )có đạo hàm liên tục và đồ thị hàm số y f x( ) hình vẽ bên Tìm

sốđiểm cực trị hàm số y2019f f x  1

A 13 B 11 C 10 D 12

Lời giải Chọn D

18 '

y   

 

 

' (1)

' (2)

f x f f x

      

Giải (1) :  

1 1 ' x x f x x x             

Giải (2) :  

( ) 1

( ) 1

' ( )

( ) ( ) f x

f x f f x

f x f x                  

( ) ( ) ( ) ( ) f x f x f x f x           

Dựa vào đồ thị ta có:

+) ( )f x 0có nghiệm x56 nghiệm bội l,

+) ( )f x 2có nghiệm x6    1; x7 1;1x83;3x9 6; 6x10 x5 nghiệm bội 1, +) ( )f x 4có nghiệm x11x6 nghiệm bội

+) ( )f x 7có nghiệm x12x11 nghiệm bội

Suy 'y 0có 12 nghiệm phân biệt mà qua y' đổi dấu Vậy hàm số y2019f f x  1 có 12 điểm cực trị

DẠNG 7. Biết đặc điểm của hàm số hoặc BBT, hoặc đồ thị của hàm f x , hoặc đạo hàm của hàm f x ,tìm cực trị của hàm     

   

ln , f x , sin , os f y f x ye f x c x trong toán chứa tham số

DẠNG 8. Các dạng khác với dạng đã đưa ra…

Câu 26: Cho hàm số y f x  có đạo hàm cấp ba liên tục thỏa mãn      1 2 ,3

f x f x x x x  x  Hàm số g x f x 22f x f   x có

điểm cực trị?

A 3 B 1 C. D.

Lời giải Chọn C

                    2 3

2 2

g x  f x f x  f x f x  f x f x   f x f x   x x x Suy g x đổi dấu qua hai điểm x0,x 4

Câu 27: Cho hàm số f x  có đạo hàm cấp hai liên tục  thỏa mãn  

 2    

15 12 ,

f x  f x f x  x  x  x  Hàm số g x  f x f   x có điểm cực trị?

A. B 1 C. D.

Lời giải Chọn C

    2    

15 12

g x  f x  f x f x  x  x

  0 0;

5 g x  x x

1

CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM ẨN LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

PHẦN 2: BIẾT BIỂU THỨC CỦA HÀM SỐ y f ' x

Dạng toán 1. Biết biểu thức hàm số y f x xét cực trị hàm số yg x  f x h x  trong toán khơng chứa tham số

Dạng tốn 2. Biết biểu thức hàm số y f x xét cực trị hàm số yg x  f x h x 

trong toán chứa tham số

Dạng toán 3. Biết biểu thức hàm số y f x xét cực trị hàm số yg x  f u x   bài tốn khơng chứa tham số

Dạng toán 4. Biết biểu thức hàm số y f x xét cực trị hàm số yg x  f u x   bài toán chứa tham số

Dạng toán 5. Biết biểu thức hàm số y f x xét cực trị hàm số yg x  f u x  h x  trong tốn khơng chứa tham số

Dạng toán 6. Biết biểu thức hàm số y f x xét cực trị hàm số yg x  f u x  h x 

trong toán chứa tham số

Dạng toán 7. Biết biểu thức hàm số y f x xét cực trị hàm số yg x  f u x  k

trong tốn khơng chứa tham số

Dạng toán 8. Biết biểu thức hàm số y f x xét cực trị hàm số yg x  f u x  k

trong toán chứa tham số

Dạng toán 9. Biết biểu thức hàm số y fu x  xét cực trị hàm số y f x  tốn khơng chứa tham số

2

DẠNG 1. Biết biểu thức hàm số y f x xét cực trị của hàm số      

yg x  f x h x tốn khơng chứa tham số

Câu 1: Cho hàm số y f x có đạo hàm   2

9

f x  x  x  x Khi số điểm cực trị hàm số yg x 2f x   x12

A 1 B 2 C 4 D.

Lời giải

Chọn D

Ta có yg x 2f x   x12 g x 2f x 2x12f  x  x1 Vẽ hai hàm số y f x y x hệ trục tọa độ, ta có

 

3

0

3 x

g x x

x

   

   

   

Bảng xét dấu hàm g x :

Từ bảng xét dấu ta có đáp án hàm số yg x  có điểm cực trị

Câu 2: Cho hàm số y f x  có đạo hàm     

' ,

f x  x x   x  x  Hỏi hàm số

   

g x  f x x  đạt cực tiểu điểm đây?

A x 1 B.x1 C x3 D x0. Lời giải

Chọn B

Ta có g' x  f ' x 2x3xx212x2x3xx21

    

'

1 x

g x x x

x

 

      

  

Ta có bảng biến thiên

3

Câu 3: Cho hàm số f x( ) liên tục có đạo hàm 0; f x'( )lnxx Hỏi hàm số

( ) ( ) 2019

g x  f x  x có điểm cực trị khoảng 0;?

A.

B.

2 C. D 0

Lời giải

Chọn D

Ta có: g x'( ) f '( ) 1x  lnx x

Xét hàm số h x( )lnx x 1trên 0; Ta có: h x'( ) 1 x

x x



  

Có h x'( )0x1

Bảng biến thiên hàm h x( )như sau:

x  '( )

h x + - ( )

h x

0

 

Vậy h x( )0, x 0;  g x'( )0, x 0;

Do g x'( ) khơng đổi dấu 0; nên hàm số g x  khơng có cực trị khoảng Câu 4: Cho hàm số y f x  liên tục  có f '  x  x1 2 x23x9 Hỏi hàm số

   

3

g x  f x x  x  x có điểm cực trị?

A 2 B 1 C 0 D 3

Lời giải

Chọn D

Vì hàm số y f x  liên tục nên hàm số g x  f x x33x29x6cũng liên tục 

Có g' x  f ' x 3x26x 9 x1 2 x23x93x1x3  x1x3 2 x6  

1

'

3 x

g x x

x

   

  

    

Ta có bảng biến thiên

x  3 1 

  '

g x    

  g x

Từ bảng biến thiên suy hàm số g x  có điểm cực trị

Câu 5: Cho hàm số y f x  liên tục  có đạo hàm f ' x x2x1 2 x2 Hỏi hàm số    

3

g x  f x  x x  có điểm cực tiểu?

A 5 B 4 C 3 D 2

Lời giải

Chọn C

4                2

' ' 1 2

0 1

' 1

2

g x f x x x x x x x x

x x x

g x x x x x

x x                              

Lập bảng biến thiên hàm số y g x 

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số y g x  có điểm cực tiểu

Câu 6: Cho hàm số y f x  có đạo hàm f x 3.x21x2 Khi hàm số

    3

g x  f x x  x đạt cực đại

A x1 B x2 C x 1 D x3 Lời giải

Chọn A

Ta có:

             

3 3 3

g x  f x  x   x  x  x   x  x   1 0 3 x x

g x x

x x                    Bảng biến thiên:

x  1 

 

g x    

  g x

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số yg x  đạt cực đại x1

Câu 7: Cho hàm số xác định có đạo hàm thỏa mãn   1  2   2019

f x  x x g x  với g x 0 với  x  Hàm số y f 1x2019x2020 đạt cực đại

A x0 1 B x0 2 C.x00 D x0 3

Lời giải

ChọnD

Đặt h x  f1x2019x2020

Ta có: h x  f1x2019 11x    1x2g1x2019 2019

;   0

3 x h x x         Bảng biến thiên hàm số h x 

0 _ +

_ _

2

0

+ 0 +

-1 + + - + - y y' x  

y f x  f ' x

3  1  x x g x

5 Vậy hàm sốđạt cực đại x0 3

Câu 8: Cho hàm số y f x( )có tập xác địnhD0;và có đạo hàm f '( )x 2 lnx xx, x

Hàm số ( ) ( )

3

yg x  f x  x x có điểm cực trị?

A 1 B 0 C 2 D 3 Lời giải

Chọn A

Ta có: g x'( ) f x'( )x22x2 lnx xx2 x x2 lnx x 1,  x '( ) ln

g x   x  x (*)

Xét hàm số h x 2 lnx x 1,  x  

'

h x x

   , x 0Hàm số yh x đồng biến khoảng 0;

Mặt khác: h(1)0Phương trình (*) có nghiệm x1 Bảng xét dấu:

Dựa vào bảng biến thiên suy hàm số yg x  có điểm cực trị

Câu 9: Cho hàm số f x  có đạo hàm f x x x 23 Số điểm cực trị hàm số     2 3

g x  f x  x

A 1 B 2 C 3 D 4

Lời giải Chọn B

Ta có g x  f x 3 2 x2  f x 3x22 x22x22x3  

2

0

3 x

g x x

x

  

    

   

Bảng biến thiên hàm số g x 

Từ BBT suy hàm số có điểm cực trị

6

Câu 1: Cho hàm số y f x  có đạo hàm f x x23x21 với x Có giá trị nguyên dương tham số m để hàm số y f x mx có điểm cực trị?

A. B. C. D.

Lời giải Chọn A

Xét đạo hàm y f x mx23x21m ; y  0 x23 x21m YCBT  y0 có nghiệm phân biệt

Đặt     

3

g x  x  x  x  x  ;    

4 4

g x  x  x x x  ; BBT

Vậy  4 m 3, mà m nguyên nên khơng có m

Câu 2: Cho hàm số y f x  có đồ thịđạo hàm y f x hình vẽ Có giá trị nguyên tham số m thuộc khoảng 12 ; 12 cho hàm số y f x mx12 có điểm cực trị?

A. B. 18 C. 20 D. 12

Lời giải Chọn C

Đạo hàm y f x m ; y0 f x  m YCBT  Phương trình y 0 (có nghiệm đơn)

hoặc (có nghiện đơn nghiệm kép)

 đường thẳng y m cắt đồ thịđạo hàm y f x điểm có có hoành độ nghiệm đơn (bội lẻ) hai điểm có điểm có hồnh độ bội

chẵn

1

m m

m m

  

 

 

    

 

Kết hợp với m  12 ; 12 ta  12 ; 3 1 ; 12

m    m số nguyên nên có tất 11 20 giá trị nguyên

Câu 3: Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục  Đồ thị hàm số y f x hình vẽ sau:

x –∞ 1 +∞

y – + – +

y +∞

4



3



4



7 Tìm m để hàm số y f x mx có điểm cực trị

A 0m4 B 0m4 C m4 D m0

Lời giải

Chọn A

Ta có: y f x m; y0 f x m

Dựa vào đồ thị y f x , suy phương trình f x m có nghiệm phân biệt

nghiệm đơn  đường thẳng ym cắt đồ thị đạo hàm y f x điểm phân biệt

0 m

  

Vậy để hàm số y f x mx có điểm cực trị 0m4

Câu 4: Cho hàm số y f x  có đạo hàm f ' x  x32x2, x  Có tất giá trị nguyên

dương tham số mđể hàm số g x  f x mx3 có điểm cực trị

A 1 B 2 C 3 D 4

Lời giải

Chọn A

Hàm số g x  f x mx3 xác định 

   

' '

g x  f x m x  x m

Hàm số g x  f x mx3 có điểm cực trị  g x' 0 có nghiệm phân biệt

 x32x2m0 có nghiệm phân biệt

 x32x2 m có nghiệm phân biệt

Đặt g x x32x2 ; g x 3x24x ;  

0

0 4

3 x g x

x

  

  

   

; BBT:

Vậy 32 27 m

  , mà m nguyên dương nên m1

y = m

+∞

∞

0 0

0 x

y'

y

4 +

∞ +∞

32 27

8

Câu 5: Cho hàm số y f x  có đạo hàm f ' x x 4x2,  x  2; 2 Có tất giá trị nguyên dương tham số m để hàm số g x  f x m x2 3m có điểm cực trị

A 2 B 1 C 3 D 4

Lời giải

Chọn A

Hàm số g x  f x m x2 3m xác định 2; 2

Đạo hàm g x'  f ' x m2 x 4x2 m2 YCBT: Hàm số    

3

g x  f x m x m có điểm cực trị  g x' 0 có nghiệm phân biệt g x'  đổi dấu qua nghiệm

Xét phương trình x 4x2 m2 0  *

 x 4x2 m2

Xét hàm số h x x 4x x2,   2; 2  

2 '

4 x h x

x

 



, h x' 0x  Bảng biến thiên hàm h x 

Vậy 2 2

0 m m

m

  



   

 



, m nguyên dương nên m  1;1

Câu 6: Cho hàm số y f x  có biểu thức đạo hàm f  x  x3x1x2 hàm số

       

6 2019

yg x  f x  x  m x  m x Gọi S   ;a  b c;  tập tất

các giá trị thực tham số m để hàm số yg x  có ba cực trị Giá trị a2b3c

A. B 4 C 6 D 8

Lời giải Chọn D

Từ u cầu tốn ta có: g x 6f x 6x26m1x6m2

 g x 6x3x1x26x26m1x6m2

 g x 6x1x22xm4 Suy g x 0 2

2

   

   



x

x x m

Để hàm số yg x  có ba cực trị g x 0 có ba nghiệm phân biệt

 phương trình x22xm 4 có hai nghiệm phân biệt khác

Hay

1



    

   

m m

5

   

 

m

9

Như a1, b1, c5 a2b3c8

Câu 7: Cho hàm số y f x  có biểu thức đạo hàm f x x33x21 hàm số

    2020

yg x  f x mx Gọi S a b;  tập tất giá trị thực tham số m để hàm số yg x  có ba cực trị Giá trị 2a3b

A. B 3 C 5 D 7

Lời giải Chọn D

Từ u cầu tốn ta có: g x  f x m  g x x33x2 1 m Suy g x 0 x33x2 1 m0 x33x2 1 m

Để hàm số yg x  có ba cực trị g x 0 có ba nghiệm phân biệt Hay phương trình

3

3

  

x x m có ba nghiệm phân biệt

Xét hàm số yh x x33x21 có h x 3x26x h x 0

     



x

x

Do ta có bảng biến thiên hàm số yh x  sau:

Để phương trình x33x2 1 m có ba nghiệm phân biệt đường thẳng ym cắt đồ thị hàm số yh x  ba điểm phân biệt Nghĩa  1 m3 Hay S   1;3 Do 2a3b7

DẠNG 3. Biết biểu thức hàm số y f x xét cực trị của hàm số yg x  f u x   trong tốn khơng chứa tham số

Câu 1: Cho hàm số y f x  có đạo hàm f x x21x4 với x Hàm số

  3 

g x  f x có điểm cực đại?

A 0 B 1 C 2 D 3

Lời giải Chọn B

Từ giả thiết, ta có bảng biến thiên hàm số f x 

Ta có g x  f 3xg x   f3x Từ bảng biến thiên hàm số f x  ta có

 

g x   f3x0

1

x x

x x

   

 

 

     

 

Như ta có bảng biến thiên hàm số g x 

x  2 

y  0  0 

3 

y

10 Từ bảng biến thiên, ta nhận thấy hàm số g x  có điểm cực đại

Câu 2: Cho hàm số y f x  xác định, liên tục, có đạo hàm 

  2  2

2028 2023

f x x x x Khi hàm số  

( ) 2019

yg x  f x  có tất

điểm cực trị?

A 3 B 4 C 5 D 6

Lời giải Chọn A

Ta có yg x( ) f x 22019 yg x( )x22019  f x220192 x fx22019 Mặt khác f x x2x2028x20232 Nên suy ra:

      

            

2

2 2

2 2 2

2 2

( ) 2019 2019 2019 2028 2019 2023

2 2019 2019 3 2

y g x x f x x x x x

x x x x x x x x x x



         

         

 2    2 2

0 ( )

3 ( )

2 2019 3 2 ( )

2 ( 2)

2 ( 2)

x nghiem don x nghiem don

y x x x x x x x nghiem don

x nghiem boi x nghiem boi

    

         

      

Ta có bảng biến thiên sau:

Từ bảng biến thiên suy hàm số yg x( ) f x 22019 có tất cả3 điểm cực trị

Câu 3: Cho hàm số y f x  có đạo hàm f x x22x,  x  Hàm số  

y f x  x có bao

nhiêu điểm cực trị?

A 6 B 3 C 5 D 2

Lời giải

Chọn C

Ta có: f x x22xx x 2

và y2x8  fx28x2x4x28xx28x2

0 y

 

2

8

8

x x x x x

   

  

   



4 4 x

x x x x

  

  

 

        

11 Vậy hàm số y f x 28x có điểm cực trị

DẠNG 4. Biết biểu thức hàm số y f x xét cực trị của hàm số yg x  f u x   trong toán chứa tham số

Câu 1: Cho hàm số y f x  có đạo hàm f x x2x23x2x2x, với x Có giá trịnguyên dương tham số m để hàm số  

16

y f x  x m có điểm cực trị?

A 30 B 31 C 32 D 33

Lời giải Chọn B

Ta có: y fx216x2m2x16

Cho   2 2

8 16 2 1 (1)

0

16 16 (2)

16 2 (3)

x

x x x m

y

f x x m x x m

x x m

                              

Do nghiệm (1) nghiệm bội bậc chẵn cịn (2) (3) khơng thể có nghiệm trùng nên hàm sốđã cho có điểm cực trị (2) (3) có nghiệm phân biệt khác

' ' 2 0

8 16.8

8 16.8

m m                

64

64 2

32 64 64 m m m m m                   

mà m nguyên dương nên m có 31 giá trị

Câu 2: Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm f '( )x x2x1x22mx4 Có giá trị

ngun m khơng vượt 2019 để hàm số y f x 2 có điểm cực trị?

A 2021 B 2022 C 5 D 4

Lời giải

Chọn B

Ta có:   4

' ( ) '( ) ( 1)( 4) ( 1)( 4)

y  f x   x f x  x x x  x  mx   x x  x  mx  ;

Khi đó:

 

2

4 2

0 '

2 t x

x y

x mx  t mt

  

         



Ta thấy nghiệm  1 có khác Nên x0 cực trị hàm số

Do để hàm sốcó điểm cực trị  1 vơ nghiệm có nghiệm kép, có nghiệm âm

2

2

'

2 2

'

2

2

2

4 0

m m m m m m m m S m P m                                               

Kết hợp với  2; 1; 0;1; 2; ; 2018; 2019 2019 m m m           

12

Câu 3: Cho hàm số f x  có f x x x 1x22mx1 Hỏi có tất số ngun m

khơng vượt 2018 cho hàm số g x  f x 2 có điểm cực trị?

A. 2019 B. 2016 C 2017. D. 2018

Lời giải Chọn C

Ta có: g x 2 x f x2 2 x x2x21x42mx2 1 2x3x21x42mx21  

 

4

0

0

2

x

g x x

x mx               

Do x0 nghiệm bội lẻ x 1 nghiệm đơn nên để g x  có điểm cực trị

phương trình   phải có nghiệm phân biệt khác khác 1, hay phương trình

2

t  mt  phải có nghiệm dương phân biệt khác 2 1 0 1 1 1

m m m S m m m P m m                                            

Kết hợp với điều kiện m ngun, khơng vượt q 2018 suy có 2017 giá trị m

Câu 4: Cho hàm số y f x  có đạo hàm f  x  x 12x22x với x Có giá trịnguyên dương tham số m để hàm số g x  f x 28xm có điểm cực trị ?

A. 15 B. 16 C 17. D. 18

Lời giải Chọn A

Xét      

 

2 2

1 nghiem boi

0 0

2 x

f x x x x x

x               

Ta có g x 2x4fx28xm;

            2 2

8 nghiem boi

0

8

8 2

x

x x m

g x x f x x m

x x m x x m

                           

Yêu cầu tốn g x 0 có nghiệm bội lẻ  phương trình    1 , có hai nghiệm phân biệt khác  *

Xét đồ thị  C hàm số

yx  x hai đường thẳng d1:y m d, 2:y  m (như

13

Khi  *  , d1 d2 cắt  C bốn điểm phân biệt   m 16 m 16 Vậy có 15 giá trị m nguyên dương thỏa

Câu 5: Cho hàm số y f x  có đạo hàm     

' ,

f x  x x x  x  x  Tính tổng tất giá trị nguyên tham số m để hàm số g x  f x 2m có điểm cực trị

A 0 B 6 C 3 D 2

Lời giải Chọn C

Ta có     2   

0

' ; '

3 x

f x x x x f x x

x    

     

  

(x0,x3 nghiệm đơn; x1 nghiệm bội chẵn)

Lại có      

 

     

2

2 2

2

0

1

0

' ' ; '

' 1

3 3

x x

x m

x x m

g x x f x m g x

f x m x m x m

x m x m

 

  

 



        

      

       

  



    

 

Do  2 có nghiệm ln nghiệm bội chẵn; phương trình    1 , có nghiệm khơng chung   m m

Hàm số g x  có điểm cực trị g x' 0 có ba nghiệm bội lẻ 0

3

m

m m

  

     



Vì m   m 0;1; 2

Vậy tổng giá trị nguyên tham số m

Câu 6: Cho hàm số y f x  có f  x  x 22x24x3 với x Có giá trị nguyên dương tham số m để hàm số y f x 210x m 9 có điểm cực trị?

A 18 B 17 C 16 D 15

Lời giải

Chọn C

Theo đề f  x  x 22x24x3x2 2 x1x3

Ta có    

2 10 10

y x f x  x m

 

2 10

0

10

x y

f x x m

   

        

 2  2 2  2 

5

10 10 10

x

x x m x x m x x m

  

           

14       2 2

10

10

10

x

x x m

x x m

x x m

                      

Giả sử x0 nghiệm (1) x0210x0  m

Do x0210x0 m 6 2 0,m, suy  1  2 khơng có nghiệm chung

Hàm số y f x 210x m 9có năm điểm cực trị phương trình  1 , 2 có hai nghiệmphânbiệtkhác

25

25

17 19 m m m m                     17 19 17 19 m m m m               17 m

  m m 1; 2;3; ;15;16

Vậy có 16 giá trị nguyên m để hàm sốy f x 210x m 9 có điểm cực trị

DẠNG 5. Biết biểu thức hàm số y f x xét cực trị của hàm số       

yg x  f u x h x tốn khơng chứa tham số

Câu 1. Cho hàm số y f x  có đạo hàm f  x  2xx282019,  x  Hàm số

 

2 2020

2

y f x   x  x  có điểm cực trị ?

A 4 B 2019 C 5 D 2020

Lời giải

Chọn C

Xét hàm số    2 4 2020

g x  f x   x  x 

+    

2 2

g x  x f x   x  x

+ g x 02 x fx222x38x02x f x22x240

   

0

2

x

f x x

           Giải phương trình   : Đặt

2 tx 

   f t   t 02tt282019t202tt28201910

 

 

 2 2019 2

2 2 2

3

8

t t t

t t t                       Suy 2 2 2

2

2

2

5

2

x x x x x x x x                                

g x

  có nghiệm (khơng có nghiệm bội chẵn) Vậy hàm số có cực trị

Câu 2. Cho hàm số y f x  có đạo hàm f x ex2exx,  x  Biết hàm số

  ln  ln

15

A 0 0;3 x  

  B

3 ;3 x   

 

C x0e e2; 3 D x0ln 2; ln 3 Lời giải

Chọn B

Xét hàm số yg x  f lnx x lnx, x0 Ta có y g x  f lnx

x x

      1 ln  ln 

2 ln

x x x

e e x

x x



    1x 2x lnx x

x x



   

 

2

ln x

x x x



  

 

0

0

ln

x

g x x

x x

  

     

   

 

0

ln (1) x

x

x x

    



   

 

Hàm số yxlnx1 đồng biến 0; nên phương trình (1) có nghiệm nghiệm Dễ thấy x1 nghiệm (1)

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy hàm số yg x  đạt cực tiểu x x0 2 Vậy 0 3;3 x   

 

Câu 3. Cho hàm số y f x  có đạo hàm f x x22x,  x  Hàm số x y f    x

  có m

ấy

điểm cực trị?

A B 1 C 2 D 3

Lời giải Chọn C

Xét hàm số  

2 x g x  f    x

 

  1

2

x g x   f  

  =

2 2

1

1

2 2

x x x

x

   

               

   

 

 

Bảng xét dấu g x 

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm sốcó điểm cực trị

Câu 4. Cho hàm số y f x  có đạo hàm f x x26x11,  x  Hàm số y f  ex 6x có điểm cực tiểu?

16 Lời giải

Chọn C

Xét hàm số g x  f  ex 6x

   

6 11

ex ex e x e x ex

g x  f      

1

2 ln

ln 3

e e e

x x x

x x x

   

 

   



   

 

Bảng xét dấu g x 

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm sốcó điểm cực tiểu

DẠNG 6. Biết biểu thức hàm số y f x xét cực trị của hàm số       

yg x  f u x h x toán chứa tham số

DẠNG 7. Biết biểu thức hàm số y f x xét cực trị của hàm số y g x  f u x  k

trong tốn khơng chứa tham số

Câu 1: Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm

'( )

f x  x  x f(0)1 Số điểm cực tiểu hàm số

 

3

( )

g x  f x  x

A 0 B 1. C 2. D 3

Lời giải

Chọn C

Ta có f x( )4x32x dx x4x2C f(0) 1 C1

Do ta có

( ) ,

f x x x   x

Ta có:   2   

'( ) 2 '

g x  x f x  x f x  x

 2 3  2 

1

2

'( )

4 2

3 x x

g x x

x x x x

x

   



 

    



     

  

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta suy hàm số yg x( ) có cực tiểu

Câu 2: Cho hàm số y f x  có đạo hàm  

' 3

f x  x  f 2 4 Hàm số g x f 1 2 x2

có điểm cực trị?

A 3 B 4 C 5 D 6

Lời giải

Chọn A

+ Hàm số y f x  có đạo hàm  

' 3

f x  x 

     

' d 3 d

y f x f x x x x x x C

       

Mà  

2 3.2

f    C C  

3

f x x x

   

+ g x f 1 2 x2

+

+ 0 - 0

-+

x g'(x)

g(x)

1 3

17

         

' 2 ' '

g x f x f x f x f x

         

   

 

1 3 2  2 1 

1 1 2 2

'

' 2

1

1

x nghiem kep

x x

f x x

g x x

f x x

x

x

 



      



 

   



     



   

 

    

    

 

0

x nghiem boi ba x

x

     

   

phương trình g x 0 có nghiệm đơn 1,

x x nghiệm bội ba x0 Bảng biến thiên:

Vậy hàm số g x f 1 2 x2 có điểm cực trị

Câu 3: Cho hàm số bậc bốn trùng phương y f x  có đạo hàm  

' 4

f x  x  x  0 1,  1

f   f    Hàm số g x 2f3 x 4f2 x 1 có nhiều điểm cực tiểu?

A 4 B 5 C 7 D 9

Lời giải

Chọn B

+  

1

' 4 0

1 x

f x x x x

x

   

     

   

Bảng biến thiên hàm số bậc bốn trùng phương y f x 

+ g x 6f2 x f  x 8f x f   x 0  

   

0

4 f x f x

f x



 

 

 



  



18

  0

1 x f x

x

 

   

  

,  

2

0 x x ,

f x

x x

    

 

 

3

x a x b f x

x c x d

    

  

  

 

thỏa mãn: x1 a  1 b0c 1 d  x2

Khi để có nhiều điểm cực tiếu bảng xét dấu g x  có dạng:

x  x1 a 1 b

c d x2 

 

g x          

Vậy hàm số g x 2f3 x 4f2 x 1 có nhiều điểm cực tiểu

DẠNG 8. Biết biểu thức hàm số y f x xét cực trị của hàm số y g x  f u x  k

trong toán chứa tham số

DẠNG 9. Biết biểu thức hàm số y fu x  xét cực trị của hàm số y f x  bài tốn khơng chứa tham số

1

CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM ẨN LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

PHẦN 3: BIẾT ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ y f ' x

Dạng toán Biết ĐỒ THỊ hàm số y f x xét cực trị hàm số yg x  f x h x  trong toán khơng chứa tham số

Dạng tốn Biết ĐỒ THỊ hàm số y f x xét cực trị hàm số yg x  f x h x 

trong toán chứa tham số

Dạng toán Biết ĐỒ THỊ hàm số y f x xét cực trị hàm số yg x  f u x   bài tốn khơng chứa tham số

Dạng toán Biết ĐỒ THỊ hàm số y f x xét cực trị hàm số yg x  f u x   bài toán chứa tham số

Dạng toán Biết ĐỒ THỊ hàm số y f x xét cực trị hàm số y g x  f u x  h x  trong tốn khơng chứa tham số

Dạng tốn Biết ĐỒ THỊ hàm số y f x xét cực trị hàm số y g x  f u x  h x 

trong toán chứa tham số

Dạng toán Biết ĐỒ THỊ hàm số y f x xét cực trị hàm số y g x  f u x  k

trong tốn khơng chứa tham số

Dạng toán Biết ĐỒ THỊ hàm số y f x xét cực trị hàm số y g x  f u x  k

trong toán chứa tham số

Dạng toán Biết ĐỒ THỊ hàm số y fu x  xét cực trị hàm số y f x  tốn

khơng chứa tham số

Dạng tốn 10 Biết ĐỒ THỊ hàm số y fu x  xét cực trị hàm số y f x  trong toán

2

DẠNG TOÁN 1. Biết ĐỒ THỊ hàm số y f x xét cực trị của hàm số      

yg x  f x h x tốn khơng chứa tham số

Câu 1: Cho hàm số y f x  có đạo hàm  đồ thị hàm số y f ' x hình bên Khẳng định

nào sau đúng?

A Hàm số  

2019

y f x x  x đạt cực đại x0

B Hàm số  

2019

y f x x  x đạt cực tiểu x0

C Hàm số  

2019

y f x x  x khơng có cực trị

D Hàm số  

2019

y f x x  x không đạt cực trị x0

Lời giải Chọn A

Ta có:  

' '

y  f x  x

 

' ' (1)

y   f x  x

Nghiệm phương trình (1) hồnh độgiao điểm đồ thị y f  x y2x1

Dựa vào đồ thị hàm số y f  x đường thẳng y2x1có x0,2 nghiệm

phương trình (1)

   

' '

y   f    

   

' '

y  f   

   

' '

y  f   

Bảng xét dấu:

 Hàm số  

2019

y f x x  x đạt cực đại x0

3 Hàm số g x 2f x x2 đạt cực đại điểm đây?

A x 1 B x0 C x1 D x2

Lời giải

Chọn A

Có g x 2f x 2x    

g x   f x  x (1)

Nghiệm phương trình (1) hồnh độgiao điểm đồ thị y f  x y  x

Dựa vào đồ thị hàm số y f  x đường thẳng y xcó x  1,0,1, 2 nghiệm

phương trình (1) (trong x 1 x2 nghiệm bội chẵn) Có bảng xét dấu

x  1 1   

g x     0 

Từđó suy hàm số g x  đạt cực đại điểm x 1

Câu 3: Cho hàm số y f x  liên tục  có đồ thị hàm số hình bên

Hàm số

3

( ) ( )

3 x

g x  f x  x  x đạt cực đại điểm nào?

A x 1 B x  1 C x 0 D x 2

Lời giải

Chọn A

Ta có g x( ) xác định  g x( ) f x( ) ( x1)2 số

nghiệm phương trình g x( )0 sốgiao điểm hai đồ

thịy  f x( ) parabol y (x 1)2; g x( )0 đồ thị

( )

y  f x nằm paraboly (x 1)2 ngược lại

 

4 Từđồ thị suy

0

( )

1 x

g x x

x

        

  

nhưng g x( ) chỉđổi dấu từdương sang âm qua x 1 Do hàm sốđạt cực đại x 1

Câu : Cho hàm số y f x  xác định liên tục , có đạo hàm f x Biết đồ thị hàm số

 

f x hình vẽ

Xác định điểm cực tiểu hàm số g x  f x x

A Khơng có cực tiểu B x0

C x1 D x2

Lời giải Chọn C

   

g x  f x  Dựa vào đồ thị thấy g x  đổi dấu từ “-” sang “+” qua điểm x1 nên hàm số g x  đạt cực tiểu x1

Câu : Cho hàm số y f x  liên tục , hàm số y f x'  có đồ thị hình vẽ Hàm số

  2017 2018

2017

x

y f x   có sốđiểm cực trị

A 4 B 3 C 2 D 1

Lời giải Chọn A

Ta có:

   

 

2017 2018 2018

' '

2017 2017

2018 ' '

2017

x

y f x y f x

y f x

 

    

  

Dựa vào hình vẽ ta nhận thấy phương trình '  2018 2017

5 Lưu ý: Do 1 2018

2017

  nên dựa vào đồ thị nhìn thấy đường thẳng nằm vùng từ1 đến từđó quan sát thấy có nghiệm

Câu : Cho hàm số y f x  xác định, liên tục  có đồ thị đạo hàm y f x hình vẽ bên Tìm sốđiểm cực đại đồ thị hàm số y f x 

A 1 B 2 C 3 D 4

Lời giải

Chọn A

Đồ thị hàm số y f x giao với trục hoành điểm x x x x1, 2, ,3 4

Nhận thấy f x đổi dấu từâm sang dương qua x1 x3 nên hàm số y f x  đạt cực tiểu x1 x3

Và f x đổi dấu từdương sang âm qua x2 nên hàm số y f x  đạt cực đại x2  

f x không đổi dấu qua x4 nên x4 không điểm cực trị hàm số Vậy hàm số y f x  có điểm cực đại

Câu : Cho hàm số f x  xác định  có đồ thị f x hình vẽ bên Đặt g x  f x x Hàm số g x  đạt cực đại điểm thuộc khoảng đây?

A 3;3

 

 

  B 2; 0 C 0;1  D

1 ; 2

 

 

6

Lời giải

Chọn B

Ta có g x  f x 1

   

g x   f x  Từđồ thị, ta x 1, x1, x2 Từđồ thị, ta có bảng xét dấu g x :

Ta hàm số g x  đạt cực đại x 1

DẠNG TOÁN 2. Biết ĐỒ THỊ hàm số y f x xét cực trị của hàm số      

yg x  f x h x toán chứa tham số

DẠNG TOÁN 3. Biết ĐỒ THỊ hàm số y f x xét cực trị của hàm số     

yg x  f u x tốn khơng chứa tham số

Câu 4: Cho hàm số y f x  có đồ thị hàm  

f x ax bxc hình bên

Hỏi hàm số g x  f x x2 có cực trị ?

A 0 B 1 C. D.

Lời giải Chọn B

Xét g x  f x x2 g x   1 2x f xx2

 

 2

1

0

0 x

g x

f x x

   

       

2 2

1 (*) (**) x

x x x x      

  



   



2 x

  (vì phương trình (*)(**) vơ nghiệm) Ta có: g x  đổi dấu lần qua nghiệm

2 x

Câu 5: Cho hàm số f x  có đồ thị f x khoảng K hình vẽ Khi K, hàm số

 2020

y f x có điểm cực trị?

O x

7

A B C D

Lời giải Chọn A

Đồ thị hàm số f 'x2020 phép tịnh tiến đồ thị hàm số f x theo phương song song

trục hoành nên đồ thị hàm số f 'x2020vẫn cắt trục hoành điểm đổi dấu lần

hàm số y f x 2020 có cực trị Ta chọn đáp án A

Câu 6: Cho hàm số y f x  xác định liên tục  Biết hàm số y f x có đồ thịnhư

hình vẽbên dưới:

Hàm số yg x( ) f x 25 có tất cảbao nhiêu điểm cực trị?

A 3 B 4 C 5 D 6

Lời giải ChọnC

Xét hàm số  

( )

yg x  f x 

Ta có  

'( ) yg x  x f x 

2

2

2

0

0 ( 3)

5

0 ( )

5

2 ( )

5

x x

x nghiem boi

x x

y x nghiem don

x x

x nghiem don

x x                                             2 2 2 2

3 2 2

5

'

0

2

0

2

2 2

5 3 x x x x x x x x

g x x

x x x x x x x x                                                                                                  

8 Từ bảng biến thiên suy hàm số  

5

y f x  có tất cả5 điểm cực trị

Câu 7: Cho hàm số y f x  Đồ thị hàm số f x hình bên

Hàm số g x  f x 2 có điểm cực trị?

A. B. C. D.

Lời giải Chọn C

Từđồ thị y f x ta có  

2 0 x x f x x x               ;

 

2 x f x x          

;  

1 x f x x          

Ta có g x 2xf x2 ;  

  2 2 0 1 3 x x x x

g x x

f x x

x x                             

Ta có  

2 2 1 0 3 x x x f x x x x                          

9 Từ bảng biến thiên ta có hàm số g x  f x 2 có điểm cực trị

Câu 8: Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục  có đồ thị hàm số y f ' x hình vẽ Tìm sốđiểm cực trị hàm số    

3 yg x  f x 

A 2 B 4 C 3 D 5

Lời giải Chọn C

- Dựa vào đồ thị ta thấy:    

 

2

'

1

x nghiem don f x

x nghiem kep

     

 

- Ta có g x' 2 'x f x23

 

 

 

 

2

0

'

3

x nghiem don x

g x x x nghiem don

x x nghiem kep

  



 

        

    

 

(Đến kết luận hàm sốcó điểm cực trị Nếu muốn tìm điểm cực đại, cực tiểu hàm số ta cần lập bảng biến thiên)

 

 

 

2

2

2

2 0

3

'

3

'

0

1

0

'

3

x x

x x

f x

x

g x x

x

x x

f x

x

 

  

      

 

    

    

 

     

 



 

  

 

    



Ta có bảng biến thiên hàm số yg x 

x  -2 -1 

  '

g x - - + - + +

x   1 

2x      

 2

f x  0  0  0  0  0 

 

g x  0  0  0  0  0 

10  

g x

Suy hàm số có điểm cực trị

Câu 9: Cho hàm số y f x  có bảng biên thiên hình vẽ

Sốđiểm cực trị hàm số   2

2

g x  f  x  x 

 

A 3 B.4 C D.6

Lời giải Chọn C

Dựa vào bảng biến thiên, suy   x f x x         

f x 0  2 x3

Ta có   2

2 2

g x  x  f x  x 

   

Xét  

2 5 2 5 2 x

f x x g x

x

f x x

                                    2 5

2 8

1

5

2 2

2 2

x x

x

f x x x x

                                  2 3

4 2

2

5

2 5 1 5

2

8

5 2 2 x x x x x

f x x

x x x x                                                           

11 Từ bảng xét dấu hàm số   2

2

g x  f  x  x 

  ta hàm số có cực trị

Câu 10: Cho hàm số y f x  có đạo hàm tập  Hàm số y f x có đồ thịnhư hình sau:

Hàm số y f x 2x có điểm cực tiểu?

A 1 B 2 C 3 D 4

Lời giải Chọn C

Xét hàm số y f x 2x Ta có y2x1fx2x

 

2

1

1 2

2 0

2

2

0

0

0

2

x x

x x

x x

y x

f x x

x x x

x x x

  

 

  

  

    

    

    

   

 

      



  

 

 



 

2

0

2

0

2

1 x

x x

f x x x

x x

x        

 

     

 

 

  

12 Vậy hàm số y f x 2x có điểm cực tiểu

DẠNG TOÁN 4. Biết ĐỒ THỊ hàm số y f x xét cực trị của hàm số     

yg x  f u x toán chứa tham số

Câu 11: Cho hàm số yf x  có đạo hàm y = f x với x.và có đồ thịnhư hình vẽ

Có giá trịnguyên dương tham số m để hàm số    

g x  f x  xm có điểm cực trị?

A 15 B 16 C 17 D 18

Lời giải Chọn A

Ta có      

2

g x  x f x  xm

       

   

2

2

4

8 nghiem boi

0

8 2 x

x x m

g x x f x x m

x x m

x x m

  

    

         

   



    

Yêu cầu tốn g x 0 có nghiệm bội lẻ  phương trình    1 , có hai nghiệm phân biệt khác  *

Cách 1:  *

16

16

16 16

18

m m

m m

m

   

    

    

  

Vậy có 15 giá trị m nguyên dương thỏa mãn điều kiện

Cách 2: Xét đồ thị C hàm số

yx  x hai đường thẳng d1:y m d, 2:y  m (hình vẽ)

13

Khi  *  , d1 d2 cắt  C bốn điểm phân biệt    m 16m16 Vậy có 15 giá trị m nguyên dương thỏa mãn điều kiện

DẠNG TOÁN 5. Biết ĐỒ THỊ hàm số y f x xét cực trị của hàm số       

yg x  f u x h x toán không chứa tham số

Câu 12: Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục R, có đồ thị hàm y f x hình vẽ sau:

Tìm sốđiểm cực trị hàm số yg x  f x 20192017x2018

A 1 B 2 C 3 D 4

Lời giải

ChọnA

Ta có: yg x'  fx20192017

Tịnh tiến sang phải 2019 đơn vị tịnh tiến lên 2017 đơn vị ta thấy đồ thị hàm số

   

' 2019 2017

yg x  f x  cắt trục Ox 1điểm

Do hàm số có cực trị

Câu 13: Cho hàm số y f x  liên tục  có đồ thị hàm số hình bên

Hàm số    2

15 10 30 20

g x  f x  x  x  x  có điểm cực trị?

A 0 B 3 C 2 D 5

Lời giải

Chọn B

   2

15 10 30 20

g x  f x  x  x  x  liên tục 

 

14 Có g x 60x3x f  x42x260x560x60x3xfx42x2x21

 

 2  

0 ,

0

2 *

x x

g x

f x x x

  



   

     



Ta thấy x42x2  x212  1 x , kết hợp với đồ thị hàm số ,

suy f  x42x20x Hơn nữa, x2 1 0x nên phương trình  * vô nghiệm mà x0 , x 1 nghiệm đơn phương trình g x 0 nên hàm số yg x  có

điểm cực trị

Câu 14: Cho hàm số f ' x hình vẽ

   2

x

g x  f x  x x đạt

Hàm số

cực tiểu điểm?

A 3 B 2 C 0 D 1

Lời giải

Chọn D

Ta có:          

6

2 2

' '

3 x

g x  f x  x x g x  x f x  x  x  

 

'

g x     

       

2

2

2 2

0

0

'

'

k x x

x f x x x

f x x x



 

 



     

   

 





Đặt tx t2 0,phương trình   trở thành f ' t t2 2t21  Vẽthêm đồ thị hàm số x22x1 (màu đỏ) đồ thị f ' x đề cho

 

15 Dựa vào đồ thị,  

2 2

0

0 (

1 1

2 2

x

t x

t x x

t x x

  

 



 



       



 

    

  

bội chẵn)

Theo ta lập bảng biến thiên sau:

Vậy g x  đạt cực tiểu điểm x0

DẠNG TOÁN 6. Biết ĐỒ THỊ hàm số y f x xét cực trị của hàm số       

yg x  f u x h x toán chứa tham số

DẠNG TOÁN 7. Biết ĐỒ THỊ hàm số y f x xét cực trị của hàm số      k

yg x  f u x  tốn khơng chứa tham số

Câu 15: Cho hàm số f x  liên tục có đạo hàm 0; 6 Đồ thị hàm số f x đoạn 0; 

được cho hình bên

Hỏi hàm số y f x 2 có tối đa cực trị?

A 3 B 7 C 6 D 4

Lời giải

Chọn B

Ta có: y2f x f   x nên    

0

0 f x y

f x

 

   

 



Từđồ thị ta suy f x 0 có tối đa nghiệm, f x 0 có tối đa nghiệm

Do đó, hàm số y f x 2 có tối đa điểm cực trị nên có tối đa cực trị

16 Sốđiểm cực trị hàm số g x  f x 2

A 1 B 2 C 3 D 4

Lời giải

Chọn A

Từ hình vẽ ta có bảng biến thiên hàm số y f x 

x  1 

 

f x   

  f x



 1 f



Ta có g x 2f   x f x

Xét    

 

0

0

 



   

 

f x g x

f x

Do f  1 0 nên f x 0, x 

Dựa vào đồ thị, ta có  

3 ( )

x f x

x

  

   



 nghiÖm kÐp

Do hàm số g x  chỉcó điểm cực trị

Câu 17: Cho hàm số y f x mx5nx3px có đồ thị hàm số y f x hình vẽ:

Sốđiểm cực trị hàm số    

5 g x f x 

A 1 B 2 C 3 D 4

Lời giải

Chọn B

17 Do f x 240 nên dấu g x  phụ thuộc dấu 5fx2 

Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số y f x cắt trục hoành hai điểm phân biệt nên    1 2,

f x a xx xx a0 f x a x  2 x1x 2 x2,

Suy g x  đổi dấu từ + sang - qua xx12, từ - sang + qua xx22 Hàm số g x  có điểm cực trị

Câu 18: Cho hàm số y f x  hàm đa thức bậc bốn có đồ thị hàm số y f x hình vẽ

Sốđiểm cực đại hàm số g x f1 2 x3

A 0 B 1 C 2 D 3

Lời giải

Chọn A

Ta có g x f1 2 x3 g x  6f1 2 xf 1 2 x2

Do f 1 2 x2 0 nên dấu g x  phụ thuộc dấu 6f1 2 x Dựa vào đồ thị ta có f x a x 3x1 ,2 a0

1  4  2

f x a x x

    

Suy g x  đổi dấu từ - sang + qua x2 nên x2 điểm cực tiểu hàm số g x  Hàm số g x  khơng có điểm cực đại

Câu 19: Cho hàm số y f x  hàm đa thức bậc bốn có f 3 0, đồ thị hàm số y f x hình vẽ

Sốđiểm cực trị hàm số    

2020

g x f x 

A 1 B 2 C 3 D 4

Lời giải

Chọn C

Từ hình vẽ ta có bảng biến thiên hàm số y f x 

x  1 

 

18  

f x



 1 f



Ta có     2019 

2020 1

    

g x f x f x

Xét      

   

1

0

1

  



   

 



f x g x

f x

Xét  1 Dựa vào đồ thị, ta có  

3 ( )

x f x

x

  

   



 nghiÖm kÐp

 1 1

1 ( )

x x

f x

x x

   

 



    

  

  nghiÖm kÐp

Xét  2 Do f  3 0 nên f x 0 có hai nghiệm phân biệt thuộc  ; 2 3;

Suy f x 10 có hai nghiệm phân biệt x1   ; 1 x24;

Ta có  

 

 

1

4 ( )

0

; 4; x

x g x

x x x x

  

 

  

     

  



nghiÖm kÐp

Do hàm số g x  có điểm cực trị

Câu 20: Cho hàm số y f x  hàm đa thức bậc bốn có f 1 0 đồ thị hàm số y f x hình vẽ

Sốđiểm cực trị hàm số    

g x f x  x 

A 1 B 2 C 3 D 4

Lời giải

Chọn D

Ta có    

2

g x f x  x   g x  8fx22x f x22x3 Từ hình vẽ ta có bảng biến thiên hàm số y f x 

x  x1 1 x2 

 

f x   0  0   

  f x



 1 f 

 3 f



0

 y

0

19

Ta có      

   

2

2

0

2

f x x g x

f x x

   



  

  



Xét  1 Dựa vào đồ thị ta có f x a x 1x1x3 , a0

     

2 2

f x  x  a x  x x  x x  x 

 

1

0

1 ( )

x

f x x

x

   

    

 

 nghiÖm kÐp

Xét  2 : Do f  1 0 nên f x 0 có hai nghiệm phân biệt nghiệm phân biệt x1   ; 1

 

2 3;

x  

Với nghiệm x1   ; 1thì  

1

2

f x  x  x  xx vô nghiệm

2

x  x 

Với nghiệm x23;thì f x 22x0x22xx2 có nghiệm phân biệt Ta có g x 0 có nghiệm đơn phân biệt nên hàm số g x  có điểm cực trị

Câu 21: Cho hàm số y f x  hàm đa thức có đồ thị hàm số y f x hình vẽ

Sốđiểm cực trị hàm số    2 2021 g x f x 

 

A 5 B 6 C 3 D 4

Lời giải

Chọn A

Ta có    2 2021 g x f x 

       

2020

2

4042

g x x f x f x 

 

 

Dựa vào đồ thị ta có f x k x ax b  2m x c xd, k0  2    2  

0 m

f x  k x a x b x c x d

     2    2 2020

4042 m

g x k x x a x b x c x d f x 

       

Do  2 2020  2

0; m

f x x b

    

  g x 0 có nghiệm  c; d;0

Vậy hàm số g x  có điểm cực trị

DẠNG TOÁN 8. Biết ĐỒ THỊ hàm số y f x xét cực trị của hàm số      k

yg x  f u x  toán chứa tham số

20 Có giá trị nguyên tham số m để hàm số    

7 g x f x m

  có điểm cực

trị?

A 2 B 0 C 1 D Vô số

Lời giải

Chọn D

Ta có    

7 g x f x m

         

6

3

21

g x f x m f x f x

     

 

Ta có    

6

3

1

f x m f x

    

  nên dấu g x  phụ thuộc vào dấu fx1

Hàm số f x cắt trục hoành điểm phân biệt nên có điểm cực trị, sốđiểm cực trị hàm  1

f x sốđiểm cực trị hàm f x  nên g x  có điểm cực trị với m Vậy với m hàm số g x đều có điểm cực trị

Câu 23: Cho hàm số y f x  hàm đa thức bậc có đồ thị hàm số y f x hình vẽ:

Biết f x 24m để hàm số    

g x f x   có điểm cực trị Khẳng định đúng? A mf     2 ;f ;f  B mf      4 ;f 2 ;f 

C mf   4 ;f  D mf   0 ;f 

Lời giải

Chọn C

Ta có    

4 g x f x  

       

2

2

g x x f x f x

   

     

0

g x x f x f x

         

   

2

4 x

f x f x

    

  



  



21 Xét  1 Do đồ thị y f x đổi dấu lần qua x0nên f x  0 x0

Do  

4

f x   x   x 

Để hàm số g x  có điểm cực trị  2 phải có nghiệm phân biệt khác 2;0; Từ hình vẽ ta có bảng biến thiên hàm số y f x 

x  

 

f x  

  f x



 0 f



Để f x 24m có nghiệm x2 4 0x 2 Vậy mf    4 ;f 

Câu 24: Cho hàm số y f x m ;  có đồ thị hàm số y fx m;  hình vẽ:

Biết f a  f c 0; f b  0 f e  Sốđiểm cực trị hàm số g x f x m2

A 4 B 7 C 5 D 9

Lời giải

Chọn B

Từđồ thị hàm số y fx m;  ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số y f x m ;  có điểm cực trị

Khi f a  f c 0; f b  0 f e  đồ thị hàm số y f x m ;  cắt trục hoành điểm phân biệt f x m0 có nghiệm phân biệt

Ta có g x f x m2g x 2fxm f x  m

22

     

 

0

0

0

f x m

g x f x m

f x m

   

 

      

  



nghiÖm nghiÖm

Các nghiệm khơng trùng nên hàm số g x  có điểm cực trị

DẠNG TOÁN 9. Biết ĐỒ THỊ hàm số y fu x  xét cực trị của hàm số  

y f x tốn khơng chứa tham số

Câu 25: Cho hàm số y f x( )liên tục R, biết hàm số y f x'( 2) 2 có đồ thịnhư hình vẽ

sau Hỏi hàm số y f x( ) có cực trị?

A B 2 C 3 D 4

Lời giải

Chọn B

Đồ thị hàm số theo thứ tự: y f x'( 2) 2 , y f '(x2) , y f '( )x

O



1



1

23 Từđồ thị hàm số y f '( )x ta có bảng biến thiên sau: (với x x1, 2là hoành độgiao điểm

đồ thị hàm số y f '( )x với Ox) BBT:

x  x 1 x 2 

 

f ' x + - +  

f x



y cd

 yct Từ bảng biến thiên ta có hàm số yf x  có cực trị Chọn đáp án B

Câu 26: Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục , hàm số y fx2 có đồ thị hình

dưới Số điểm cực trị hàm số y f x  là:

A 0 B 2 C 1 D 3

Lời giải

ChọnB

Ta có: đồ thị hàm số y fx2 phép tịnh tiến đồ thị hàm số y f x sang phải đơn

vị

Khi hàm số y f x  có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có sốđiểm cực trị hàm số y f x 

DẠNG TOÁN 10. Biết ĐỒ THỊ hàm số y fu x  xét cực trị của hàm số  

y f x toán chứa tham số

x  3 2 1 

 

f x + 0  0 + 0 

  f x

 3 f 

 2 f 

1

CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM ẨN LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

PHẦN 4: BIẾT BẢNG XÉT DẤU CỦA HÀM SỐ y f ' x

Dạng toán 1. Biết BẢNG XÉT DẤU hàm số y f x xét cực trị hàm số

     

yg x  f x h x tốn khơng chứa tham số

Dạng tốn 2. Biết BẢNG XÉT DẤU hàm số y f x xét cực trị hàm số

     

yg x  f x h x trong toán chứa tham số

Dạng toán 3. Biết BẢNG XÉT DẤU y f x xét cực trị hàm số yg x  f u x   trong tốn khơng chứa tham số

Dạng toán 4. Biết BẢNG XÉT DẤU hàm số y f x xét cực trị hàm số

    

yg x  f u x toán chứa tham số

Dạng toán 5. Biết BẢNG XÉT DẤU hàm số y f x xét cực trị hàm số

      

yg x  f u x h x tốn khơng chứa tham số

Dạng toán 6. Biết BẢNG XÉT DẤU hàm số y f x xét cực trị hàm số

      

yg x  f u x h x trong toán chứa tham số

Dạng toán 7. Biết BẢNG XÉT DẤU hàm số y f x xét cực trị hàm số

     k

yg x  f u x  toán khơng chứa tham số

Dạng tốn 8. Biết BẢNG XÉT DẤU hàm số y f x xét cực trị hàm số

     k

yg x  f u x  trong toán chứa tham số

Dạng toán 9. Biết BẢNG XÉT DẤU hàm số y fu x  xét cực trị hàm số y f x  trong tốn khơng chứa tham số

Dạng tốn 10. Biết BẢNG XÉT DẤU hàm số y fu x  xét cực trị hàm số y f x 

2

DẠNG TOÁN 1. Biết BẢNG XÉT DẤU hàm số y f x xét cực trị của hàm số      

yg x  f x h x tốn khơng chứa tham số

Câu 1: Cho hàm số y f x  có bảng xét dấu đạo hàm sau:

Hỏi hàm số    

3

g x  f x x  x  x có điểm cực trị?

A 2 B 1 C 0 D 3

Lời giải Chọn A

Từ bảng xét dấu f x ta nhận thấy f x  A x x32n1x12m1 với m n, 

  0,

A x   x 

Ta có: g x  f x 3x2 6x 9 A x x32n1x12m13x3x1    3 1   3 2n 12m

g x  x x A x x x  

 

Do A x 0, x  nên A x x3 2n x12m 3 0, x 

Từđó ta có  

1 x g x

x

  

   

 

Do g x 0 x 3 x1, đồng thờig x  đổi dấu qua hai điểm nên hàm số

 

yg x có hai điểm cực trị

Câu 2: Cho hàm số y f x  có bảng xét dấu đạo hàm sau:

x  1 

 

f x   

Hỏi hàm số     3 2020

2

g x  f x x  x  x có điểm cực trị?

A 3 B 2 C 1 D 4

Lời giải Chọn B

Từ bảng xét dấu f x ta thấy f x a x 12m1x22n1 với m n,  a0 Ta có: g x  f x 3x23x 6 a x 12m1x22n13x2x1

   2 1  1 2m 12n g x  x x a x x  

 

Do a0 nên a x 1 2m x22n  3 0,  x 

Từđó ta có  

2 x g x

x

  

   

 

Do g x 0 x 1 x2; đồng thời g x  đổi dấu qua hai điểm nên hàm số

 

g x có hai điểm cực trị

DẠNG TOÁN Biết BẢNG XÉT DẤU hàm số y f x xét cực trị của hàm số      

yg x  f x h x toán chứa tham số

DẠNG TOÁN Biết BẢNG XÉT DẤU y f x xét cực trị của hàm số     

3

Câu 1: Cho hàm số y f x  liên tục  Biết hàm số y f ' x có bảng xét dấu sau

Sốđiểm cực tiểu hàm số    2

y g x  f x

A 5 B 7 C 3 D 4

Lời giải Chọn D

Ta có g x  2 x f6x2  

 2 0 x g x f x           2 6 x x x x                 x x x x              

Ta có g 4  8.f100 bảng xét dấu f ' x khơng có nghiệm bội chẵn Bảng biến thiên yg x 

Vậy sốđiểm cực tiểu hàm số    2

yg x  f x

Câu 2: Cho hàm số y f x  liên tục  Biết hàm số y f ' x có bảng xét dấu sau

Sốđiểm cực trị hàm số yg x  f x  x21

A 0 B 1 C 3 D 2

Lời giải Chọn D

Ta có    

2 2 1 x x

g x f x x

x         Do 2 1 x x x x x x       

nên g x 0 fx x21

2 2 1 x x x x x x                 12 x x x            

4 Vậy sốđiểm cực trị hàm số yg x  f x  x21

Câu 3: Cho hàm số f x  xác đinh, liên tục  có bảng xét dấu f ' x sau:

Hàm số f  2x đạt cực tiểu x

A 0 B 1 C 2 D 0

Lời giải Chọn B

Xét hàm số g x  f  2x

   

' 2 ln ' 2x x

g x  f

  2 1 0

' 0

1

2 2

x

x

x g x

x

   

  

 

 



Nếu x  ;0 2x0;1;

Suy f ' 2 x 0,  x  ;0, hay g x' 2 ln ' 2x f  x 0,   x  ;0

Nếu x0;1 2x1;2;

Suy f ' 2 x 0, x 0;1, hay g x' 2 ln ' 2x f  x 0,  x 0;1

Nếu x1; 2x2;;

Suy f ' 2 x 0, x 1;, hay g x' 2 ln ' 2x f  x 0,  x 1; Bảng xét dấu g x' 

Từ bảng xét dấu ta có g x'  đổi dấu từâm sang dương x qua Kết luận: Hàm số g x  f  2x đạt cực tiểu x 1

Câu 4: Cho hàm số f x  xác đinh, liên tục  f ' x có bảng xét dấu sau

x  2 

 

'

f x  0 +  0 + Sốđiểm cực trị hàm số  

2 2

x x

f e  

A 2 B 3 C 4 D 5

5

Đặt    

2 2

x x

g x  f e    

f x xác định  suy g x  xác định 

Hơn          

2 2 2

x x x x

g x  f e     f e   g x

Suy g x  hàm số chẵn, đồ thị hàm số g x  đối xứng qua trục Oy Xét x0

   x2 x 2

g x  f e  

    2  2

' 2 1 x x ' x x

g x  x e   f e    

 2 2  2 

2 1 0 2 1 0

' 0

' x x 0 x x 1 x x 0,

x x

g x

f e   e   vì e   x

   

 

 

  

   

 

 

 

2

1

2 1 0

2

2 0

2 0

x x

x x

x vì x



  

 

 

   

  

 Nếu x 2 x2   x 2 0, suy ex2 x 1

suy  

2 2

' x x 0

f e   

Nếu 0x2 x2  x 2 0, suy 0ex2 x 1

suy  

2 2

' x x 0

f e   

Từđó ta có bảng xét dấu g x   0; 

x

0 1

2 2 

 

g' x  0  0 + Suy g x  có hai điểm cực trịdương

Do g x  hàm số chẵn, liên tục  suy g x  có điểm cực trị 

Câu 5: Cho hàm số y f x  xác định có đạo hàm liên tục  Có bảng xét dấu y f x

như hình vẽ

Sốđiểm cực trị hàm số g x  flog2x Chọn đáp án

A 1 B 3. C 2 D 5

Lời giải

Chọn A

6

Ta có    

1

log ; ln

g x f x

x

  

2

1

log

'( )

log

2

x x

g x

x

x



  

 

  

 

 



Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên đối chiếu với đáp án ta chọn A

Câu 6: Cho hàm số y f x .Xác định có đạo hàm liên tục R Bảng xét dấu hàm số y f x

như hình bên

Tìm sốđiểm cực trị hàm số yg x( ) f log3x22x3 Chọn đáp án đúng:

A 5 B 3 C 4 D 7

Lời giải Chọn A

Đk: x

Ta có: 2

2

2 3

x

-y' g'( x ) f ' log ( x - x )

( x - x )ln

 

    

 

 ;

Khi

2

3 2

3

1

1 0

2

0

2

1

2

1 x

x x

x

g '( x ) log ( x x ) x

f '(log ( x x ))

x log ( x x )

x

  

   

  

 

       

   

   

   

 

   

Mặt khác:

2

3 2

3

2 1

2

2

2

log ( x x ) x

f ' log ( x x )

x

log ( x x )

       

 

     

 

         

 

Ta có bảng biến thiên

Vậy hàm sốcó điểm cực trị Chọn đáp án A

Câu 7: Cho hàm số y f x( ) xác định liên tục  có bảng xét dấu đạo hàm sau:

Hàm số yg x( ) f x 2x4 có điểm cực tiểu?

A 1 B 3 C 2 D 4

7

Chọn B

Ta có :  

'( ) 2 1 '( 2 4) g x x f x x

 

2

'( ) '( 4)

'( 4)

              x

g x x f x x

f x x

2

1

1

1

2

2

1                                x x x

x x x

x x x

x

(Tất cảđều nghiệm bội lẻ)

Ta chọn x 2 để xét dấu '( )g x : '( 2)g  2.( 3) '(4) f Vì hàm số y f x( ) đồng biến khoảng 0; đó: f '(4)0

Suy ra: '( 2)g  0

Theo tính chất qua nghiệm bội lẻ g x'( ) đổi dấu, ta có bảng biên thiên ( )g x sau:

Từ bảng biến thiên suy ra, hàm số yg x( ) có điểm cực tiểu

Câu 8: Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục  có bảng biến thiên đạo hàm hình vẽ

Đặt  

2 x g x f

x

  

  

 

Tìm sốđiểm cực trị hàm số yg x 

A 4 B 5 C 6 D 8

Lời giải Chọn C

+ Đặt  

2

2

1

' x x

g x f

x x                 +         2 2 2 1 2

' 1

2 1 x x

x a a

x x

g x x

8

+ Xét hàm số      

2

2

1

, ' , '

x x

h x h x h x x

x x

 

     

+ Bảng biến thiên hàm số  

2 x h x

x

 

+ Dựa vào bảng biến thiến ta thấy phương trình h x a h x,  c, phương trình có hai nghiệm phân biệt khác 1, mà ac

2

0 x

f x

   

  

 

có nghiệm đơn phân biệt x x x x1, 2, 3, 4 khác 1 phương trình h x b vơ nghiệm

Do phương trình g' x 0 có nghiệm đơn phân biệt theo thứ tự từ nhỏ đến lớn 1, 1, 2, 3,1,

x  x x x Vậy hàm số  

2 x g x f

x

  

  

 

có cực trị

Câu 9: Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục  có bảng biến thiên đạo hàm hình vẽ

Đặt  

2

x x

g x f x

  

  



 

Tìm số điểm cực trị hàm số yg x 

A 4 B 10 C 6 D 8

Lời giải Chọn D

+ Đặt  

 

2

2

2 2

'

1

x x x x

g x f

x x

      



    

     

 

0

2

+



0

1 1



h'(x)

x +

0

+ +



h(x) +

2

y=b -2<b<2( )

y=a a<-2( ) y=c c>2( )

x1 x2

x3 x4

1

1

 

1 +

 f'(x)

x

2

9 +             2 2 2 2 1

2 2

0 ( ) 1 0

1 1

'

2

2 0 3

0 1 x x a a x

x x x x

VN b b

x x

g x

x x

x x c c

f x x x x d d x                                                         

+ Xét hàm số    

   

2

2

2 2

, ' , ' ( )

1 1

x x x x

h x h x h x VN

x x

  

  

 

+ Bảng biến thiên hàm số  

2 x x h x x   

+ Dựa vào bảng biến thiến ta thấy phương trình h x a h x,  b h x,  c h x,  d,

phương trình có hai nghiệm phân biệt mà a b c d, , , đôi khác

2 x x f x           có nghiệm đơn phân biệt x x x x x x x x1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 Do phương trình g' x 0 có nghiệm đơn

phân biệt theo thứ tự từ nhỏđến lớn x x x x x x x x1, 3, 5, 7, 2, 4, 6, 8 Vậy hàm số  

2

x x

g x f x

  

  



 

có cực trị

DẠNG TỐN Biết BẢNG XÉT DẤU hàm số y f x xét cực trị của hàm số     

yg x  f u x toán chứa tham số

Câu 1: Cho hàm số y f x  có bảng xét dấu f ' x sau

x  1   

'

f x    

Có giá trị nguyên tham số m thuộc 10;10 để g x  f x 22xm có điểm cực trị?

A 10 B 15 C 20 D 21

Lời giải Chọn A

Ta có      

' '

g x  x f x  xm

x4

x3

x2

x1

y=c 0<c<3( ) y=b -1<b<0( ) h(x)  + + + x h'(x)   + 1 +

y=a a<-1( ) y=d d>3( )

x5 x6

x8

10         2 2 2 1

2 1

2

'

2

2

2 4

x x

x x m

x x m

g x

x x m

x x m

x x m x x m

                                        

Nhận xét: Phương trình (2) có nghiệm nghiệm bội chẵn; phương trình (1) (3) có nghiệm nghiệm khơng chung

Hàm số g x  có điểm cực trị  phương trình g x' 0 có nghiệm bội lẻ

Phương trình (1) (3) có hai nghiệm phân biệt, khác

        3 0

0 5 0

0 0 0 m m m VT m m VT                               Vì

 10;10 1; 2;3; 4;5; 6; 7;8;9;10 m m m           

Vậy có 10 giá trị tham số m

DẠNG TOÁN Biết BẢNG XÉT DẤU hàm số y f x xét cực trị của hàm số       

yg x  f u x h x toán không chứa tham số

Câu 1: Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm liên tục  bảng xét dấu đạo hàm

Hàm số y3 (f x44x26) 2 x63x412x2 có tất cảbao nhiêu điểm cực tiểu?

A 3 B 0 C 1 D 2

Lời giải Chọn D

Có y (12x324 ) (x fx44x26) 12 x512x324x

 

2 4

12 (x x 2) (f x 4x 6) 12x x x

        

 

 

2 2

12 (x x 2) f( x 4x 6) x

       

Khi 2

2

' ( 6) ( 1)

2

x

y f x x x

x               

 2

0

( 6)

x x

f x x x

              Ta có x4 4x2  6 (x22)2  2 2, x 

Do f(x4 4x26) f 2 0,  x  Mà x2 1 1,  x 

Do phương trình f '(x44x26)x21 vô nghiệm

11 Vậy hàm số y3 (f x44x26) 2 x63x412x2 có điểm cực tiểu

DẠNG TOÁN Biết BẢNG XÉT DẤU hàm số y f x xét cực trị của hàm số       

yg x  f u x h x tốn chứa tham số

DẠNG TỐN Biết BẢNG XÉT DẤU hàm số y f x xét cực trị của hàm số      k

yg x  f u x  tốn khơng chứa tham số

Lý thuyết:

Bước 1: Tính  

' '( ) '( ) ( ( ))k '(u(x))

y g x k u x f u x  f

+ Nếu: k chẵn:

'( ) 0

' '( ) 0 (u(x)) 0

'(u(x)) 0

u x

y g x f

f

 

 

   

 



+ Nếu k lẻ: ' '( ) 0 '( )

'(u(x))

u x

y g x

f

 

   

 

Bước 2: Giải tìm nghiệm: '( )

u x  ta giải bình thường '(u(x))

f  ta cho u x( ) điểm cực trị hàm số y f x( ) (u(x))

f  ta cho u x( ) các nghiệm x0 phương trình ( )f x 0 điều kiện x0 để chứng minh phương trình có nghiệm cụ thể

Kiểm chứng nghiệm có nghiệm bội chẵn không Bước 3: Kết luận

2 Bài tập:

Câu 1: Cho hàm số y f x( ) có bảng biến thiên sau:

Số cực trị hàm số g x( ) f2(2x2x)

A 3 B 4 C D 6

Lời giải Chọn C

Ta có:

2 2 2

'( ) 2(2 x ) ' '(2 ) (2 ) 2(4 x 1) '(2 ) (2 )

g x  x f x x f x x   f x x f x x 

2

4

'(2 )

(2 )

x

f x x

f x x

  



  



  



4

4 x    x

Dựa vào bảng biến thiên ta có 2

1

2 2( )

'(2 ) 1

2

2 x

x x VN

f x x

x

x x

   

    



    

   

 



12

2 2

0

(2 ) 2

f x   x x  x x  x   x x (*) phương trình có hai nghiệm a c, trái dấu

Mặt khác, thay nghiệm 1; 1;1

4

x   vào (*) ta x0 1 không thỏa mãn điều kiện

của x0 nên 1; 1;1

4

x   không nghiệm (*)

Vậy phương trình g x'( )0 có nghiệm đơn Suy hàm số y g x( ) có cực trị

LỜI BÌNH: u cầu đề có thểthay đổi số cực đại số cực tiểu hàm số, ta cần phải xét dấu g’(x) Cụ thể:

Ta có nghiệm phương trình 2

0

(2 ) 2

f x   x x  x x  x   x x là

0

1

0

1

1 8

1 1

' 0; 1

4 4 1 8

1 (1)

2

x

x x x

x x x



        



  

0

1

0

1

1 8

1 1

' 0; 1

4 4 1 8

(1) 1

x

x x x

x x x



         



   

Mặt khác:

2

2

1

2 2( )

'(2 ) 1

2

2 x

x x VN

f x x

x

x x

  

    

   

   





2

2

2

'(2 )

2

2

x x

f x x x

x x

   

      

  

Bảng xét dấu:

Dựa vào bảng biến thiên ta được: cực đại cực tiểu

Câu 2: Cho hàm số có bảng biến thiên sau

Số điểm cực tiểu hàm số   3  g x  f x  x

A 5 B 2 C 3 D 4

Lời giải Chọn B

13 Ta có: g x 3 3 x23 f x33x f 2x33x

Ta thấy g x 3 3 x230, x  f2x33x0, x  nên dấu g x'  dấu  

3 f x  x  

3

f x  x  

3

1

3

2

3 0, 32

3 0

0, 32

3

x x x x

x x x

x x x x                        

Từ bảng biến thiên hàm f x  ta có   1 x f x x          

Do  

3 3

1

3

3

x x x x

f x x

x x x x                   

Ta có bảng biến thiên hàm số g x 

Vậy hàm số g x  có điểm cực tiểu

Câu 3: Cho hàm số f x  có đạo hàm tập  đồ thị hàm số y f x cho hình vẽ

bên Sốđiểm cực trị hàm số y f2019x31

A 2 B 4 C 3 D 5

Lời giải

Chọn A

Ta có y2019.f2018x31  f x31 3 x2, Ta có 2018 

1

     

y f x x

3x 0  x  nên dấu y dấu biểu thức f x 1

Ta có f x 310

3 3 1 1             x x x 3         x x x

Dựa vào đồ thị hàm số y f x ta thấy  

3

3 3

3

0 1

1 1

1

x x

f x x x

x x                             

Tương tự   3

1 1

f x     x    x

14 Vì suy hàm số y f2019x31 có hai điểm cực trị

Câu 4: Cho hàm số y f x  có đạo hàm  thỏa f  2  f 20 đồ thị hàm số y f x có dạng hình vẽbên

Sốđiểm cực trị hàm số yf 2x12018

A 3 B 4 C 2 D 5

Lời giải

Chọn A

Dựa vào đồ thị hàm sốy f x ta lập bảng biến thiên y f x  sau:

Xét hàm số yf2x12018, ta có 2017    2018 2

   

y f x f x

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy   2017 

2 1 0,  1 0, 

f x x f x x

Nên dấu y dấu biểu thức: f2x1 Ta có y 0  f2x10

1

2 2

1 2

1

2

      



  

  

   



x x

x

x

Tương tự y 0  f2x10

1

1

2 1 2

2

2



  



   



  

 

  



x x

x

x

Từđó suy hàm số yf 2x12018có điểm cực trị

Câu 5: Cho hàm số y  f x  có bảng biến thiên

Hỏi hàm số y f 2x2 có điểm cực trị?

A 4 B 3 C 5 D 7

Lời giải Chọn C

   

2

y  f x f x

O x

y

2 1



2



15

     

 

2 2

2 2

0 2

2

2

2 1

x a x a

f x x b x b

y f x f x

x x f x x x                                                 

y không xác định  f2x không xác định     2 x x

Dựa vào đồ thị f x  ta thấy f 2x0 a2xb 2bx2a

2  2

0 1

x x f x x x                  

Ta có bảng xét dấu y

Vậy hàm số y f 2x2 có điểm cực trị

Câu 6: Cho hàm số y f x có đạo hàm  có bảng xét dấu f x sau

Biết hàm số y f x là hàm đa thức có đồ thị cắt trục hoành điểm Hỏi hàm số 2 

2

y f x  x có nhiều điểm cực tiểu?

A 4 B 2 C 5 D 3

Lời giải Chọn D

+) Ta có y f x là hàm đa thức có đồ thị cắt trục hoành điểm nên

 

3 x a f x x b          

Đặt   2 

g x  f x  x Ta có        

2 2

g x  x f x  x f x  x

Để hàm số y f2x22x có nhiều điểm cực tiểu phương trình f x 22x0 có nhiều nghiệm x22xb3(vì x22x  1, x)

  2 2 2 1 2 1

2 1 2

2

2 1

0

3

2

2 1 3 x x x

x x x

x x

x x x

g x x x

x

x x

x x

x x x x

x x b

x x x x                                                                    

16 Ta có g 0  2f 0 0 (do f 0 0)

Bảng xét dấu g x

Vậy hàm số y f2x22x có điểm cực tiểu

Câu 7: Cho hàm y f x( ) xác định liên tục  thỏa mãn f(1) (2)f 0 bảng xét dấu '( )

f x

Hỏi hàm số g x( ) f 2(x2019) có cực trị?

A. B 6 C 5 D

Lời giải Chọn C

( ) 2 ( 2019) ( 2019)

g x  f x f x 

( 2019) 0(1) ( )

( 2019) 0(2)

f x g x

f x

 

    

  



+) Vì f(1) (2)f 0 từBBT suy đồ thị y  f x( ) cắt Ox điểm phân biệt có hồnh độ

1 1,1 2, 2

x   x  x  Mà đồ thị hàm số f x( 2019) có cách tịnh tiến theo

phương trục hoành sang phải 2019 đơn vị, nên cắt trục hồnh điểm phân biêt có hồnh

độ x1 2020,2020x2 2021,x32021

2019 2020

(2)

2019 2021

x x

x x

  

 

 

  

 

Do pt g x( )0 có nghiêm đơn phân biệt +) KL hàm g(x) có cực trị

LỜI BÌNH: Chúng ta tổng quát: Cho hàm y  f x( ) xác định liên tục  thỏa mãn f a f a( ) ( )1 2 0, f a f a( ) ( )2 3 0 …., f a( n1) ( )f an 0 bảng xét dấu f x'( )

( f x( ) đổi dấu đan xen qua ,… )

Số cực trị hàm số g x( ) f2k(xc) 2n1

Câu 8: Cho hàm sốy f x  xác định, liên tục có bảng biến thiên sau?

Hàm số  

2018 x g x f

x

      



 

 

có điểm cực trị?

A 7 B 3 C 5 D 6

17

Lời giải Chọn D

Ta có  

 

2017

3 1

2018

2

2

x x

g x f f

x x x                              1 2 x f x g x x f x                           

Dựa vào bảng biến thiên ta có: x f x         

; ( 0)

1

; (0 1)

1

; (1 2)

1

; ( 2) x a a x x b b x x c c x x d d x                               x f x         2 x x x x             

Nhận xét: hàm số

2 x y x  

 hàm số đơn điệu tập xác định nên phương trình  1 có

nghiệm đơn, phương trình  2 có nghiệm đơn nghiệm phương trình  1 phương

trình  2 khơng trùng  

g x không xác định  

1 2 x VN x x          

Nhận xét: x 2 không thuộc tập xác định yg x 

Vậy g x 0có nghiệm đơn khác 2 nên hàm số yg x  có điểm cực trị

Câu 9: Cho hàm số y f x( )xác định liên tục và có bảng biến thiên sau:

x  3 

'

y   

y   

Hỏi hàm số g x f(ex3)2

  có điểm cực trị?

A 4 B 3 C 2 D 5

Lời giải Chọn B

 

' (ex x 3) '( x 3)

g x  e f  f e 

 

'

g x   f e( x3)0

18

Giải f e( x3)0 ( 3)

x

e  a a  ex a 3 (vô nghiệm) ( 1)

x

e  b  b

3 x b

   (*)

ln( 3)

x b

   ( nghiệm) ( 1)

x

e  c c

3

x

e c

   (**) ln( 3)

x c

   ( nghiệm)

Giải f e'( x3)0

3

x x

e e

      (vô nghiệm)

Hoặc ex  3 ex 4 xln (1 nghiệm)

Lấy xln 4thay vào (*) (**) không thỏa mãn kiện b c nên nghiệm không trùng g x'( )0 có nghiệm đơn

Vậyg x( ) có cực trị

Câu 10: Cho hàm số y f x  liên tục , có bảng xét dấu f ' x sau:

Biết f 50 f  5 0 Sốđiểm cực trị hàm số  

yf x  x 

A 7 B 8 C 9 D 6

Lời giải Chọn A

Ta có:          

   

2 2

2

2

' 2 ' '

6

x x

y x f x x f x x f x x

f x x

    

 

       



  



+) Từ (1) kết hợp với bảng dấu f ' x ta có  

2

2

6 5,

'

6 0

x x x x

f x x

x x x x

      

   

    



+) Từ (2) kết hợp bảng dấu f ' x đk f 50 f  5 0 ta có

   

0

6 0;5

f x  x  x  xx  nên pt x26xx0 0 có nghiệm phân biệt khác nghiệm

+) Các nghiệm nghiệm bội lẻ (nghiệm đơn) => hàm số   yf x  x 

  có cực trị

Câu 11: Cho hàm số liên tục , có bảng xét dấu f x sau:

Hàm số yf 4x23 có cực trị?

A 2 B 3 C 4 D 5

19

TH1 Ta có        

   

2

2 2

2

' ' 4

'

x

y x f x f x f x

f x

   

   

           



  



+) Dựa vào bảng xét dấu y’ ta có pt(1) có nghiệm nghiệm bội chẵn nên

khơng phải điểm cực trị

+) Từ (2) ta có 4x2   0 x 2,x 2

TH2 Điểm làm cho y’ không xác định: 4x2   3 x 1,x 1 Vậy ta có điểm cực trị

Câu 12: Cho hàm số y f x  liên tục , có bảng xét dấu f ' x sau:

Hàm số  

4

4

yf  x  

  có cực trị?

A 1 B 3 C 5 D

Lời giải Chọn B

TXĐ D0;

Ta có      

3

' ' ,

y f x f x x

x

  

    

 

   

   

'

'

4

f x

y

f x

  



 

   



+) Từ (1) ta có:  

 

4 81

' 4 16

4 0;

x x

f x x x

x x

     



      



     



+) Từ (2) ta có    

 

1

4 0;

4

4 4;

x a x x

f x

x b x

     



   

       



Vậy có  

4

4

yf  x  

  có cực trị

Câu 13: Cho hàm bậc ba y f x  có đạo hàm  có bảng xét dấu y sau

Gọi m n sốđiểm cực trị nhiều hàm số

    

  1 2

y g x f x , biết f 3 0 Khi 2m3n

A 4 B 1 C 3 D 2

20

Ta có        

                                        

2

2

4 2 1

2

2

f x f x

f x

g x f x f x x x

f x

x x

Suy sốđiểm cực trị hàm số g x  phụ thuộc số nghiệm phương trình f2x10

Trường hợp 1: f 1 0 Suy phương trình

                                       

2 1

1

2 , 1, 0;1

2

2 1

1 a x x a b

f x x b b x

x c c

x

Vậy trường hợp g x  có nghiệm đơn phân biệt nên hàm số yg x  có năm điểm cực trị

Trường hợp 2: f 1 0 Suy phương trình  

                   1

2 1

2

2

x x

f x a

x a x

Vậy trường hợp g x  có nghiệm đơn phân biệt nên hàm số yg x  có hai điểm cực trị

Trường hợp 3: f 1 0 Suy phương trình 2 102  1 3  11

a

f x x a x

Vậy trường hợp g x  có nghiệm đơn phân biệt nên hàm số yg x  có ba điểm cực trị

DẠNG TOÁN Biết BẢNG XÉT DẤU hàm số y f x xét cực trị của hàm số      k

yg x  f u x  tốn chứa tham số

DẠNG TỐN Biết BẢNG XÉT DẤU hàm số y fu x  xét cực trị của hàm số y f x  tốn khơng chứa tham số

Câu 1: Cho y f x là hàm sốxác định có đạo hàm  Biết bảng xác dấu y f3 2 x sau:

Hỏi hàm số y f x  có điểm cực đại

A 0 B 1 C 2 D 3

Lời giải Chọn C

Đặt u 3 2x

2

u

x 

 

Ta có f3 2 x0

21

 

f u

  u u u u              

Hơn f u 0 f3 2 x0

1 2 x x          u u          Bảng biến thiên

Câu 2: Cho y f x  xác định có đạo hàm  Biết bảng xét dấu  3

y f x sau

Tìm sốđiểm cực trị hàm số y f x 

A 0 B 1 C 2 D 3

Lời giải Chọn D

Đặt u3 x

x u

 

 3

0

f x 

1 27 x x x         

Suy f u 0

1 u u u           

f u   3

0

f x

 

27 x x         3 27 u u        u u         Bảng biến thiên

1

CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM ẨN LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

PHẦN 5: CỰC TRỊ CỦA HÀM CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Dạng toán Biết đồ thị hàm số y f x  xét cực trị hàm số y f x  Dạng toán Biết đồ thị hàm số y f x  xét cực trị hàm số y f ax b Dạng toán Biết đồ thị hàm số y f x  xét cực trị hàm số y f  x Dạng toán Biết đồ thị hàm số y f x  xét cực trị hàm số

 ,  

y f xa y f xa b …

Dạng toán Biết bảng biến thiên hàm số y f x  xét cực trị hàm số y f x  Dạng toán Biết bảng biến thiên hàm số y f x  xét cực trị hàm số y f ax b Dạng toán Biết bảng biến thiên hàm số y f x  xét cực trị hàm số y f x Dạng toán Biết bảng biến thiên hàm số y f x  xét cực trị hàm số

 ,  

y f xa y f xa b …

Dạng toán Biết đồ thị hàm số y f ' x xét cực trị hàm số y f x  Dạng toán 10 Biết đồ thị hàm số y f ' x xét cực trị hàm số y f ax b Dạng toán 11 Biết đồ thị hàm số y f ' x xét cực trị hàm số y f  x Dạng toán 12 Biết đồ thị hàm số y f ' x xét cực trị hàm số

 ,  

y f xa y f xa b …

Dạng toán 13 Biết bảng xét dấu hàm số y f ' x xét cực trị hàm số y f x  Dạng toán 14 Biết bảng xét dấu hàm số y f ' x xét cực trị hàm số y f ax b Dạng toán 15 Biết bảng xét dấu hàm số y f ' x xét cực trị hàm số y f  x Dạng toán 16 Biết bảng xét dấu hàm số y f ' x xét cực trị hàm số

 ,  

2

DẠNG TOÁN 1. Biết đồ thị hàm số y f x  xét cực trị của hàm số y f x  .

DẠNG TOÁN 2. Biết đồ thị hàm số y f x  xét cực trị của hàm số

 

y f axb

Câu 1: Cho hàm số y f x  có đồ thịnhư hình vẽ bên

Có giá trị nguyên tham số m để hàm số g x  f x 2019m2 có điểm cực

trị ?

A 1 B 2 C 3 D 5

Lời giải

Chọn B

Vì hàm f x  cho có điểm cực trị nên f x 2019m2 ln có điểm cực trị (do

phép tịnh tiến không làm ảnh hưởng đến số cực trị)

Do u cầu tốn  số giao điểm đồ thị f x 2019m2 với trục hoành Để số giao điểm đồ thị f x 2019m2 với trục hoành , ta cần

+Tịnh tiến đồ thị f x  xuống tối thiểu đơn vị 2 : m

   vô lý

+ Hoặc tịnh tiến đồ thị f x  lên tối thiểu đơn vị phải nhỏ đơn vị

 

2

2 2;

6

m m

m m

m



  

      

   





Câu 2: Hình vẽbên đồ thị hàm số y f x 

Gọi S tập hợp giá trị nguyên dương tham số m để hàm số y f x 1m có

điểm cực trị Tổng giá trị tất phần tử S

A 12 B 15 C 18 D 9

Lời giải

Chọn A

Phương pháp:

+ Xác định đồ thị hàm số y f x 1

O x

y

2

3



6

3 + Áp dụng tính chất: Số cực trị đồ thị hàm số y f x  tổng số cực trị đồ thị hàm số y f x  sốgiao điểm (không phải cực trị) đồ thị hàm số y f x  với Ox

Cách 1:

Nhận xét: Số giao điểm  C :y f x  với Ox số giao điểm  C :y f x 1 với Ox

Vì m0 nên C:y f x 1m có cách tịnh tiến  C :y f x 1 lên m

đơn vị

TH1: 0m3 Đồ thị hàm số có 7 điểm cực trị Loại TH2: m3 Đồ thị hàm số có điểm cực trị Nhận TH3: 3m6 Đồ thị hàm số có điểm cực trị Nhận TH4: m6 Đồ thị hàm số có điểm cực trị Loại Vậy 3m6 Do m* nên m3; 4;5

Vậy tổng giá trị tất phần tử S 12 Cách

Tịnh tiến đồ thị hàm số y f x  sang phải đơn vị, ta đồ thị hàm số y f x 1 

Do đồ thị hàm số y f x 1 có cực trịvà có giao điểm với Ox

Đểđược đồ thị hàm số y f x m với m nguyên dương ta phải tịnh tiến đồ thị hàm số

 1

y f x lên m đơn vị

Để thỏa mãn điều kiện đề đồ thị hàm số y f x 1m cắt Ox điểm (không phải điểm cực trị nó), 3m 6 S3; 4;5 

Tổng giá trị phần tử S 12

Câu 3: Cho hàm số bậc ba y f x  có đồ thịnhư hình vẽ

x x

TH3 : 3m6 TH4 :m6

x

x

4 Hàm số y f x 1 1 có cực trị?

A 11 B 7 C 5 D 6

Lời giải

Chọn A

Xét hàm số y f  x 1 1

Ta có  1

1 x

y f x

x



   



| 1|

0

| 1| 1

1 x x x x x

y

x



 

 

  

 

   

    

 

 



    

y không xác định x 1 Bảng biến thiên

Dựa vào BBT hàm số y f x 1 1suy BBT hàm số y f x 1 1 Vậy hàm số y f x 1 1 có 11 cực trị

Câu 4: Hình vẽlà đồ thị hàm số y f x( ) Gọi S tập hợp giá trịnguyên dương tham số mđể

hàm số y f x( 1)m có 5điểm cực trị Tổng giá trị tất phần tử S bằng

A 9 B 12 C 18 D 15

5 Dựa vào đồ thị hàm số y f x( ) ta thấy hàm số có cực trị

Số cực trị hàm số y f x( 1)m với số cực trị hàm số y f x( 1) số

cực trị hàm số y f x( )

Số cực trị hàm số y f x( 1)m bằng số cực trị hàm số y f x( ) cộng với số nghiệm

đơn phương trình f x( 1)m0 (*)

Ta có f x( 1)m0 f x( 1) m f t( ) m với t x

Để hàm số y f x( 1)m có có 5điểm cực trị phương trinh (*) phải có 2nghiệm đơn phân

biệt

Do   6 m3 2 mm3, 4, 5S    3 12

DẠNG TOÁN Biết đồ thị hàm số y f x  xét cực trị hàm số y f  x

Câu 5: Đồ thị hàm số y f x  2x39x212x4 hình vẽ Tìm tất giá trị tham số thực m đểphương trình x39x212 x m0 có nghiệm phân biệt

A 1; 0 B  3; 2 C  5; 4 D  4; 3

Lời giải Chọn C

Xét phương trình: 2x39x212 x m0 2 x39x212 x  4 m4 * 

Số nghiệm phương trình (*) sốgiao điểm đồ thị hàm số y f  x đường thẳng

ym

Ta có đồ thị hàm số y f x sau:

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy để (*) có nghiệm phân biệt  1 m 4 0  5 m 4

Câu 6: Cho hàm số y f x  có đồ thị  C hình vẽ bên Hàm số y f  x có điểm cực trị?

O x

y

1



2

1



2



O x

y

1



6

A 3 B 4 C 5 D 6

Lời giải Chọn C

Đồ thị  C' hàm số y f  x vẽnhư sau:

+ Giữ nguyên phần đồ thị  C nằm bên phải trục tung ta  C1 + Lấy đối xứng qua trục tung phần đồ thị  C1 ta  C2

+ Khi      C'  C1  C2 có đồ thịnhư hình vẽdưới

Từđồ thị  C' ta thấy hàm số y f  x có điểm cực trị

Câu 7: Cho hàm số y f x  có đồ thị  C hình vẽ bên Hàm số y f  x có điểm cực trị?

A 1 B 2 C 3 D 4

Lời giải Chọn A

Đồ thị  C' hàm số y f  x vẽnhư sau:

+ Giữ nguyên phần đồ thị  C nằm bên phải trục tung ta  C1 + Lấy đối xứng qua trục tung phần đồ thị  C1 ta  C2

7 Từđồ thị  C' ta thấy hàm số y f  x có điểm cực trị

Câu 8: Cho hàm số y f x  có đồ thị  C hình vẽ bên Hàm số y f  x có điểm cực trị?

A 3 B 4 C 5 D 6

Lời giải Chọn C

Đồ thị  C' hàm số y f  x vẽnhư sau:

+ Giữ nguyên phần đồ thị  C nằm bên phải trục tung ta  C1 + Lấy đối xứng qua trục tung phần đồ thị  C1 ta  C2

+ Khi      C'  C1  C2 có đồ thịnhư hình vẽdưới

Từđồ thị  C' ta thấy hàm số y f  x có điểm cực trị

8

A 3 B 4 C 5 D 7

Lời giải Chọn D

Đồ thị  C' hàm số y f  x vẽnhư sau:

+ Giữ nguyên phần đồ thị  C nằm bên phải trục tung ta  C1 + Lấy đối xứng qua trục tung phần đồ thị  C1 ta  C2

+ Khi      C'  C1  C2 có đồ thịnhư hình vẽdưới

Dựa vào đồ thị hàm số y f x có cực trị

DẠNG TOÁN Biết đồ thị hàm số y f x  xét cực trị hàm số y f xa,

 

y f xa b …

Câu 10: Cho hàm số y f x  có đồ thịnhư hình vẽbên

Có giá trị nguyên tham số m để hàm số g x  f xm có điểm cực trị ?

A 3 B 4 C 5. D Vô số

Lời giải Chọn D

9 Hàm số f x  có điểm cực trị dương

 

f x

 có điểm cực trị

 

f x m

  có điểm cực trị với m (vì tịnh tiến sang trái hay sang phải khơng ảnh

hưởng đến số điểm cực trị hàm số)

Vậy có vơ số giá trị m để hàm số g x  f xm có điểm cực trị

Câu 11: Cho hàm số y f x ax4bx3cx2dx e có đồ thị hình vẽ bên Hỏi hàm số

 3

y f x  có điểm cực trị?

A 3. B 5. C 6. D 7.

Lời giải Chọn D

Đồ thị hàm số y f x 1 3 suy từđồ thị hàm số y f x  cách • Tịnh tiến sang phải đơn vị;

• Xóa bỏ phần đồ thị phía bên trái trục tung, phần đồ thị phía bên phải trục tung lấy đối xứng qua trục tung;

• Cuối tịnh tiến đồ thịsang trái đơn vị

Câu 12: Cho hàm số y f x  có đồ thị hình vẽ sau Hàm số y f x3có điểm cực

trị?

A 5 B 6 C 3 D 1

Lời giải

Chọn C

 3 1

y f x , Đặt t x3, t0 Thì  1 trở thành: y f t  t0 Có t x32

 

/

2

3 x

x t

x



 



Có y/x t fx/ / t /

0 x

y  t fx/ / t 0

  /

/

0 (VN) x

t f t

   

 

 

t L

t

    

 

7 x x

     



10 Dựa vào BBT hàm số y f x3 có cực trị

Câu 13: Cho hàm sốy f x có đồ thịnhư hình vẽbên

Tìm m để hàm số g x  f xm2019m có điểm cực trị

A.

2

m  B m1

C

m  D m1

Lời giải Chọn A

Tịnh tiến đồ thị y f  xmlên xuống không làm ảnh hưởng đến sốđiểm cực trị hàm sốđã cho Do số cực trị hàm số yg x bằng số cực trị hàm số

 

y f xm

Để f xm có điểm cực trị f x m phải có điểm cực trị dương với x m 0 Dựa vào đồ thị ta thấy f x đạt cực trị x1,x2 nên f x m đạt cực trị

2 ;

x m x m Do

1

m m

m m m

  



  



  



Câu 14: Cho hàm số y f x  xác định  hàm số y f x có đồ thị hình bên Đặt

   

g x  f x m Có giá trị nguyên tham số m để hàm số g x  có

điểm cực trị?

A.2 B.3 C.1 D.Vô số

Lời giải

CT

CT

+ +∞

+

+∞

-1 _

- ∞ +∞

y y / x

_ CĐ

11

Chọn A

Ta có      

 

,

,

f x m khi x

g x f x m

f x m khi x

 

 

   

  

 

Do hàm số y f x  xác định  Hàm sốg x  xác định 

Và ta lại có gx f x mg x Hàm sốg x  hàm số chẵnĐồ thị hàm số

 

yg x đối xứng qua trục Oy

Hàm số yg x có điểm cực trịHàm số yg x  có điểm cực trịdương, điểm cực trị âm điểm cực trị (*)

Dựa vào đồ thị hàm số y f x , ta có:  

3

2 x x f x

x x

   

  

  

  

 

Xét khoảng 0;, ta đượcg x  f x m + Ta cóg x  fxm

+  

3

1

0

2

5

x m x m

x m x m

g x

x m x m

x m x m

     

 

 

     

 

   

      

 

    

 

+ Nhận thấy    m m     1 m m5 Theo yêu cầu (*) toán

 

1

3

3;

m m

m

m m

    

 

      

  

   

 



DẠNG TOÁN Biết bảng biến thiên hàm số y f x  xét cực trị hàm số y f x 

Câu 15: Cho hàm số y f x  có bảng biến thiên sau Đồ thị hàm số y f x  có điểm cực trị

A 5 B 6 C 3 D 7.

Lời giải

Chọn D

Đồ thị hàm y f x gồm phần:

12 Từ bảng biến thiên hàm số y f x  có cực trị

Câu 16: Cho hàm số y f x  có bảng biến thiên sau Đồ thị hàm số y f x  có điểm cực trị

A 5 B 6 C 3 D 7

Lời giải

Chọn C

Đồ thị hàm y f x gồm phần:

+ Phần đồ thị y  f x  nằm Ox (Kể cảgiao điểm trục Ox) + Phần đồ thị lấy đối xứng qua Ox đồ thị y  f x nằm Ox Từđó ta có bảng biến thiên y f x 

Từ bảng biến thiên hàm số y f x  có cực trị

Câu 17: Cho hàm số y f x  có bảng biến thiên sau Đồ thị hàm số y f x  có điểm cực trị

A 5 B 6 C 3 D 7.

Lời giải

13

Đồ thị hàm y f x gồm phần:

+ Phần đồ thị y  f x  nằm Ox (Kể cảgiao điểm trục Ox) + Phần đồ thị lấy đối xứng qua Ox đồ thị y  f x nằm Ox Từđó ta có bảng biến thiên y f x 

Từ bảng biến thiên hàm số y f x  có cực trị

Câu 18: Cho hàm số y f x  có bảng biến thiên sau Đồ thị hàm số y f x  có điểm cực trị

A 5 B 6 C 3 D 7

Lời giải

Chọn A

Đồ thị hàm y f x gồm phần:

+ Phần đồ thị y  f x  nằm Ox (Kể cảgiao điểm trục Ox) + Phần đồ thị lấy đối xứng qua Oxcủa đồ thị y  f x nằm Ox Từđó ta có bảng biến thiên y f x 

14 Hàm số y f x  có điểm cực trị ?

A.5 B 4. C. D.

Lời giải Chọn C

Đồ thị hàm y f x gồm phần:

+ Phần đồ thị y  f x  nằm Ox (Kể cảgiao điểm trục Ox) + Phần đồ thị lấy đối xứng qua Oxcủa đồ thị y  f x nằm Ox Từđó ta có bảng biến thiên y f x 

Dựa vào bảng biến thiên, suy đồ thị hàm số có điểm cực trị Câu 20: Cho hàm số có bảng biến thiên hình vẽ:

Đồ thị hàm số có điểm cực trị?

A 2 B C D

Lời giải Chọn C

Vì đồ thị hàm số gồm hai phần:

+) Phần đồ thị hàm số nằm Ox

+) Phần đồ thịđối xứng qua Ox với phần đồ thị hàm số nằm Ox

Nên từ bảng biến thiên hàm số suy bảng biến hàm số sau:

 

y f x  

y f x

  y f x

4

  y f x

  y f x

  y f x  

15 Từ bảng biến thiên suy hàm số có điểm cực trị

Câu 21: Cho hàm số có bảng biến thiên sau:

Đồ thị hàm số có điểm cực trị?

A. B. C. D.

Lời giải Chọn C

Từ bảng biến thiên hàm số suy phương trình có ba nghiệm phân biệt

là Khi ta có bảng biến thiên hàm số :

Suy đồ thị hàm số có điểm cực trị

Câu 22: Cho hàm số y f x  xác định \ 1 , liên tục khoảng xác định có bảng biến

thiên hình vẽ

Hàm số y f x  có điểm cực trị?

A.4 B 3 C 2 D 5

Lời giải Chọn A

  y f x ( )

y f x

  y f x

4

 

y f x f x 0

1, 2,

x x x y f x 

16 Từ bảng biến thiên hàm số y f x , suy bảng biến thiên hàm số y f x 

Dựa vào bảng biến thiên, ta suy hàm số có điểm cực trị

Câu 23: Tổng giá trị nguyên tham số m để hàm số

3

2 m

y x  x  x  có điểm cực trị

A 2016 B 1952 C 2016 D 496

Lời giải

Chọn A

Xét hàm số  

3

2 m f x x  x  x  Ta có f x 3x26x 9

3 x x

     



Ta có bảng biến thiên

Để thỏa yêu cầu trục Ox phải cắt ngang đồ thị điểm phân biệt, tức là:

2

0 64

32

m

m m

   

  



  

 

  3

2 m

f x x  x  x   có ba nghiệm x1; x2; x3 với

1 3

x   x   x , ta có bảng biến thiên hàm sốđã cho

Trường hợp hàm sốđã cho có điểm cực trị

Như vậy, giá trị nguyên m để hàm sốđã cho có điểm cực trị m1; 2;3; ; 63 Tổng giá trị nguyên là:

 

63 63

1 63 2016

2

S        

DẠNG TOÁN Biết bảng biến thiên hàm số y f x  xét cực trị hàm số y f ax b

17 Hỏi đồ thị hàm số g x  f x 20192020 có điểm cực trị?

A 2 B 3 C 4 D 3

Lời giải Chọn B

Cách 1: Đồ thị hàm số u x  f x 20192020 có từ đồ thị f x  cách tịnh tiến đồ thị f x  sang phải 2019 đơn vị lên 2020 đơn vị

Suy bảng biến thiên u x 

Dựa vào bảng biến thiên suy đồ thị hàm số g x  u x  có 3điểm cực trị Chọn B

Cách 2:

Đặt u x  f x 20192020

     

' ' ' 2020

2019

2023 x

u x f x u x

x

 

      

 

18 Dựa vào bảng biến thiên suy đồ thị hàm số g x  u x  có 3điểm cực trị

Chọn B

Câu 25: Cho hàm số y f x  có bảng biến thiên hình vẽ

Hàm số y f 1 3 x1 có điểm cực trị?

A 2 B 3 C 4 D 5

Lời giải

Chọn D

Đặt g x  f 1 3 x1   1 

g x f x

   

  1 

g x f x

    

2

1 3

1 3

3 x x

x

x

     



  

 

   



Suy bảng biến thiên:

Vậy hàm số y g x( ) có điểm cực trị

Câu 26: Cho hàm số y f x  có bảng biến thiên hình vẽ

Biết đồ thị hàm số g x  f x m có điểm cực trị Khi số giá trị nguyên tham số

của m

A 6 B 7 C 8 D 9

Lời giải

Chọn B

19

Để thoả mãn yêu cầu số giao điểm đồ thị y f x m với trục hoành phải hay số giao điểm y f x  ym phải 3.g x( ) f(1 ) x g x( ) 3.f(1 ) x

Suy 4m11

Do mm4,5, 6, 7,8,9,10 nên chọn đáp án B

Câu 27: Cho hàm số y f x  có bảng biến thiên hình vẽ

Đồ thị hàm số y f x 2m có điểm cực trị

A m4;11 B 2;11 m  

  C m3 D.

11 2;

2 m  

  Lời giải

Chọn B

Từ bảng biến thiên ta có đồ thị hàm số y f x có hai điểm cực trị

Đểđồ thị hàm số y f x 2m có điểm cực trị đồ thị y f x  cắt đường thẳng

y m 2 3 điểm phân biệt 42m11 11 m

  

DẠNG TOÁN Biết bảng biến thiên hàm số y f x  xét cực trị hàm số y f  x Lý thuyết:

Ta có    

 

0 f x x y f x

f x x

 



  

 

 

Do đó, đồ thị  C hàm số y f  x có thểđược suy từđồ thị  C hàm số y f x 

như sau:

+ Giữ nguyên phần đồ thị  C bên phải trục tung ( kể cảgiao điểm  C với trục tung – có), bỏ phần bên trái trục tung

+ Lấy đối xứng phần bên phải trục tung qua trục tung

+ Đồ thị  C hợp hai phần

Từ bảng biến thiên hàm số y f x  ta suy sốđiểm cực trị, dấu điểm cực trị

của hàm số tồn giao điểm với trục tung (nếu có)

Phương pháp chung giải Bài toán: Biết bảng biến thiên hàm số y f x  Tìm sốđiểm cực trị hàm số y f  x :

- Bước 1: Từ bảng biến thiên hàm số y f x , suy sốđiểm cực trịdương hàm số

 

y f x Giải sử có n điểm

- Bước 2: Xét tồn giao điểm đồ thị  C hàm số y f x với trục tung - Bước 3: Xác định sốđiểm cực trị hàm số y f x

20

Trường hợp 2: Đồ thị  C hàm số y f x  khơng cắt trục tung Khi số điểm cực trị hàm số y f  x bằng 2n

Câu 28: Bài tập:

Câu 29: Cho hàm số y f x xác định liên tục , có bảng biến thiên hình vẽ Tìm số điểm cực trị hàm số y f  x

A. B.1 C. D.

Lời giải Chọn B

Từ bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số y f x cắt trục Oy điểm cực đại hàm số

khơng có điểm cực trịdương nên hàm số y f  x có điểm cực trị x0

Câu 30: Cho hàm số y f x xác định liên tục , có bảng biến thiên hình vẽ Tìm số điểm cực tiểu hàm số y f  x

x  2 

( )

f x + ||  +

( ) f x



3

1





A. B. C. D.

Lời giải Chọn B

Từ bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số y f x cắt trục Oy có điểm cực tiểu dương, mà đồ thị hàm số y f  x nhận Oylàm trục đối xứng nên hàm số y f  x có điểm cực

tiểu x 1

Câu 31: Cho hàm số y f x xác định liên tục , có bảng biến thiên hình vẽ

Mệnh đềnào sau đúng?

A Hàm số y f  x có điểm cực trị

21

C Hàm số y f  x có hai điểm cực tiểu

D. Hàm số y f  x có ba điểm cực tiểu

Lời giải

Chọn D

Từ bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số y f x cắt trục Oy có điểm cực trịdương, mà đồ thị hàm số y f  x nhận Oylàm trục đối xứng nên hàm số y f  x có 2.2 5 

điểm cực trịtrong có điểm cực tiểu diểm x0,x 3

Câu 32: Cho hàm số y f x xác định liên tục , có bảng biến thiên hình vẽ

Mệnh đềnào sau sai?

A Hàm số y f  x khơng có điểm cực đại

B Hàm số y f  x có điểm cực trị

C Hàm số y f  x có cực trịdương

D. Hàm số y f  x khơng có điểm cực trị

Lời giải

Chọn D

Từ bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số y f x cắt trục Oy khơng có cực trị,

mà đồ thị hàm số y f  x nhận Oylàm trục đối xứng nên từ BBT suy hàm số y f  x có

đúng điểm cực trịlà điểm cực tiểu x0

Câu 33: Cho hàm số y f x xác định liên tục , có bảng biến thiên hình vẽ Tìm số điểm cực trị hàm số y f  x

A. B. C. D.

Lời giải Chọn D

Từ bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số y f x cắt trục Oy có điểm cực trịdương, mà đồ thị hàm số y f  x nhận Oy làm trục đối xứng nên hàm số y f  x có 2.2 5 

22

Câu 34: Cho hàm số y f x xác định \ 1 liên tục khoảng xác định nó, có bảng biến thiên hình vẽ Tìm sốđiểm cực trị hàm số y f  x

A. B.1 C. D.

Lời giải Chọn B

Từ bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số y f x cắt trục Oy khơng có cực trị,

mà đồ thị hàm số y f  x nhận Oylàm trục đối xứng nên từ BBT suy hàm số y f  x có

đúng điểm cực trịlà điểm cực tiểu x0

Câu 35: Cho hàm số y f x xác định \ 0  liên tục khoảng xác định nó, có bảng biến thiên hình vẽ Tìm sốđiểm cực trị hàm số y f  x

A. B.1 C. D.

Lời giải Chọn B

Từ bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số y f x không cắt trục Oy khơng có cực trị, nên từ BBT suy hàm số y f x khơng có điểm cực trị

Câu 36: Cho hàm số y f x xác định \ 0  liên tục khoảng xác định nó, có bảng biến thiên hình vẽ Tìm sốđiểm cực trị hàm số y f  x

Mệnh đềnào sau đúng?

A Hàm số y f  x có điểm cực đại, điểm cực tiểu

B Hàm số y f  x có hai điểm cực đại

23 D Hàm số y f  x có ba điểm cực trị

Lời giải

Chọn C

Từ bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số y f x khơng cắt trục Oy có điểm cực trị dương, mà đồ thị hàm số y f  x nhận Oylàm trục đối xứng nên từ BBT suy hàm số

 

y f x có điểm cực trịlà điểm cực tiểu x 1

Câu 37: Cho hàm số y f x xác định \ 1  liên tục khoảng xác định nó, có bảng biến thiên hình vẽ Tìm sốđiểm cực trị hàm số y f  x

Mệnh đềnào sau sai?

A Hàm số y f  x hai điểm cực trị không âm

B Hàm số y f  x có hai điểm cực đại

C Hàm số y f  x có hai điểm cực tiểu

D. Hàm số y f  x có ba điểm cực trị

Lời giải

Chọn B

Từ bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số y f x cắt trục Oy hàm số y f x có cực trịdương, mà đồ thị hàm số y f  x nhận Oylàm trục đối xứng nên từ BBT suy hàm số

 

y f x có điểm cực trị, có điểm cực tiểu x 5 điểm cực đại x0

Câu 38: Cho hàm số y f x  xác định \ 1 , liên tục khoảng xác định có bảng biến thiên hình vẽ:

Khẳng định sau đúng?

A. Đồ thị hàm số y f x có 1điểm cực trị

B.Đồ thị hàm số y f  x có 1điểm cực đại

C. Đồ thị hàm số y f x có 1điểm cực tiểu

D. Đồ thị hàm số y f x khơng có điểm cực tiểu

Lời giải

24 Từ bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số y f x cắt trục Oy hàm số y f x có cực

trịdương điểm cực đại, mà đồ thị hàm số y f  x nhận Oylàm trục đối xứng nên từ BBT suy hàm số y f  x có điểm cực trị, có điểm cực đại x 1 điểm cực tiểu x0

Câu 39: Cho hàm số y f x  xác định \ 0  liên tục khoảng xác định, có bảng biến

thiên hình

Khẳng định sau đúng?

A Hàm số y f  x có điểm cực trị

B Hàm số y f  x có hai điểm cực trị

C Hàm số y f  x có ba điểm cực trị

D Hàm số y f  x có điểm cực tiểu

Lời giải

Chọn B

Từ bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số y f x không cắt trục Oy hàm số y f x có cực trịdương điểm cực tiểu, mà đồ thị hàm số y f  x nhận Oylàm trục đối xứng nên từ BBT suy hàm số y f x có điểm cực trịlà điểm cực tiểu x 2

Câu 40: Cho hàm số y  f x  liên tục  có bảng biến thiên sau

Đồ thị hàm số y f x có điểm cực trị?

A 3 B 2 C 4 D 1

Lời giải

ChọnA

Đồ thị hàm số y f x gồm phần:

+ Phần bên phải trục Oy đồ thị y f x ( Kể giao điểm với trục Oy) + Đối xứng phần đồ thị qua trục Oy

• Hàm số y f  x có bảng biến thiên sau:

x  - 

 

25

 

f x

 

 0 f

Từ BBT ta thấy đồ thị hàm số y f x có điểm cực trị

Câu 41: Cho hàm số y f x  xác định liên tục \ 2  có bảng biến thiên sau

Sốđiểm cực trị đồ thị hàm số y f x

A 5 B 4 C 7 D 3

Lời giải

Chọn A

Từ bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số y f x cắt trục Oy có điểm cực trịdương, mà đồ thị hàm số y f  x nhận Oylàm trục đối xứng nên đồ thị hàm số y f  x có

2.2 5  điểm cực trị

DẠNG TOÁN Biết bảng biến thiên hàm số y f x  xét cực trị hàm số

 ,  

y f xa y f xa b …

Câu 42: Lý thuyết:

Nhận xét: đồ thị hàm số y g x  f axb m nhận đường thẳng x b a

  trục

đối xứng, sốđiểm cực trị hàm số yg x  f axb m 2t1 , với t sốđiểm cực trị lớn b

a

 hàm y f ax b  m

Câu 43: Bài tập:

Câu 44: Cho hàm số y f x  có bảng biến thiên hình vẽ

Sốđiểm cực trị hàm số y f2x 1 3

A 1 B 5 C 0 D 3

26 +/ Ta có : Sốđiểm cực trị hàm y f 2x 1 3 21 , với  sốđiểm cực trị

lớn

2

 hàm y f 2x 1 3 f 2x4 +/ Hàm y f 2x4 có điểm cực trị là:

5

2 2

2

2 x x x x                  

Vậy: Sốđiểm cực trị hàm y f 2x 1 3 2.0 1   Chọn A DẠNG TOÁN Biết đồ thị hàm số y f ' x xét cực trị hàm số y f x 

DẠNG TOÁN 10 Biết đồ thị hàm số y f ' x xét cực trị hàm số y f ax b DẠNG TOÁN 11 Biết đồ thị hàm số y f ' x xét cực trị hàm số y f  x DẠNG TOÁN 12 Biết đồ thị hàm số y f ' x xét cực trị hàm số

 ,  

y f xa y f xa b …

Câu 45: Hàm số f x  có đạo hàm f ' x  Hình vẽbên đồ thị hàm số f ' x 

Hỏi hàm số y f  x 2018 có điểm cực trị?

A 5 B 3 C 2 D 4

Lời giải Chọn A

Phương pháp:

Tính đạo hàm hàm hợp, giải phương trình đạo hàm để tìm sốđiểm cực trị Cách giải:

Dựa vào hình vẽ, ta thấy f ' x 0 có nghiệm phân biệt

  ; x x x x x

        

Ta có:      

 

2018

2018

2018

f x khi x

g x f x

f x khi x

                 ' ' '

f x x g x

f x x

               3

' 0

'

' 0

x x

f x khi x x x

g x

x x

f x khi x

x x                       

27 DẠNG TOÁN 13 Biết bảng xét dấu hàm số y f ' x xét cực trị hàm số y f x 

DẠNG TOÁN 14 Biết bảng xét dấu hàm số y f ' x xét cực trị hàm số y f ax b DẠNG TOÁN 15 Biết bảng xét dấu hàm số y f ' x xét cực trị hàm số y f  x

Câu 46: Cho hàm số y f x  có đạo hàm f '  x  x12x2m23m43x35 với x Có số nguyên m để hàm số g x  f  x có điểm cực trị?

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn D

Để g x  f x có điểm cực trị  y f x  có cực trịcó hồnh độdương

Mặt khác,

2

1

'

3

x

y x

x m m

       

    



(trong x 1 nghiệm kép)

3 4

ycbt m  m    m Do mm0;1; 2;3

DẠNG TOÁN 16 Biết bảng xét dấu hàm số y f ' x xét cực trị hàm số

 ,  

y f xa y f xa b …

Câu 47: Cho hàm số y f x  xác định liên tục  có bảng xét dấu hàm y f x sau

Hàm số y f x22020có điểm cực trị?

A 5 B 4 C 3 D 2

Lời giải

Chọn A

Xét hàm số    

 

khi

khi

f x x

y f x

f x x

 



  

 

 

Khi ta có bảng biến thiên

x  2 1  y  ||   ||   || 

Do hàm số y f x có cực trị

 2

f x

  có năm cực trị (tịnh tiến đồ thị sang phải hai đơn vị số cực trịkhơng thay đổi)

 2 2020

y f x

    có cực trị (tịnh tiến đồ thịlên 2020 đơn vị không làm thay đổi số cực trị)

Câu 48: Cho hàm số y f x  có đạo hàm  f x có bảng xét dấu sau:

Sốđiểm cực trị hàm số     g x  f x  x

28 Lời giải

Chọn B

   

g x  f x  x

Xét hàm số h x  f x 2x g x h x  Ta có h x f x 2x 2x1  fx2x

 

 

2

0

0 x

h x

f x x

  

   

  



2

1

2 x

x x

x x

   

    

  



1 2 x

x x

      

   

Ta có bảng biến thiên hàm số     h x  f x x :

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số h x  có điểm cực trịdương nên hàm số

   

g x h x có điểm cực trị

Câu 49: Cho hàm số f x( )liên tục  có bảng xét dấu sau:

Tìm tất giá trị m đểđồ thị hàm số f(| |x m) có điểm cực trị

A m 2 B m 2 C. m3 D.  2 m3 Lời giải

Chọn A

29

Đồ thị hàm số f(| |x m)có cách tịnh tiến đồ thị hàm số f x( ) theo vectơ v ( m; 0)

, sau lấy đối xứng phần đồ thị f x( m) với x0 qua trục Oy Vậy đểđồ thị hàm số f(| |x m) có điểm cực trị m 2

Câu 50: Cho hàm số f x( )liên tục  có bảng xét dấu sau:

Sốđiểm cực trị đồ thị hàm số g x( ) f(| 2x3 | 2)

A 5 B 4 C. D.

Lời giải Chọn A

'( ) (| | 2) ' '(| | 2)

g x  x  f x  2 3 '(| | 2) | |

x

f x

x



  



| | '( )

| | 2 x

g x

x

  

   

  



5 / /

7 / / x

x x x

     

  

  

BBT:

Vậy đồ thị hàm sốđã cho có điểm cực trị

30

Đặt g x  f x3 Sốđiểm cực trị hàm số yg x 

A 3 B 7 C 4 D 5

Lời giải Chọn D

Đặt h x  f x 3 , h x 3x f2  x3 , h x 03x f2  x3 0

 

3

0 x

f x

 

 

 



3 3

0 x x

x a

x b

x c

  

  

 

   

 

3 3 x

x a

x b

x c

  

    

   

Ta có g x  f  x3  f  x3 h x 

BBT hàm số g x 

1

CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM ẨN LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN GTLN GTNN CỦA HÀM SỐ

PHẦN I: Xác định trực tiếp GTLN, NN thông qua phép biến đổi đồ thị

1 Cho đồ thị, BBT hàm số y f x  , tìm GTLN, GTNN hàm số y f x ,y f u x  trên khoảng, đoạn

2 Cho đồ thị, BBT hàm số y f x  , tìm GTLN, GTNN hàm số y f  x ,y f u x   khoảng, đoạn

3 Cho đồ thị, BBT hàm số y f x  , tìm GTLN, GTNN hàm số y f x ,y f u x   khoảng, đoạn

4 Cho đồ thị, BBT hàm số y f x  , tìm GTLN, GTNN hàm số

 ,    ,  ,    

y f x b y f u x b y f xa b y f u x a b khoảng, đoạn Cho đồ thị, BBT hàm số y f x  , tìm GTLN, GTNN hàm số

  ,    ,   ,    

y f x b y f u x b y f x a b y f u x a b khoảng, đoạn Cho đồ thị, BBT hàm số y f x  , tìm GTLN, GTNN hàm số

  ,    ,   ,    

y f x b y f u x b y f x a b y f u x a b khoảng, đoạn

PHẦN II: Xác định GTLN, NN so sánh giá trị hàm số thơng qua tích phân so sánh diện tích hình phẳng

7 Cho đồ thị, BBT hàm số y f ' x , tìm GTLN, GTNN hàm số y f x trên khoảng,

đoạn

8 Cho đồ thị, BBT hàm số y f ' x , tìm GTLN, GTNN hàm số y f x khoảng,

đoạn

9 Cho đồ thị, BBT hàm số y f ' x , tìm GTLN, GTNN hàm số y f x  khoảng,

đoạn

10.Cho đồ thị, BBT hàm số y f ' x , tìm GTLN, GTNN hàm số y fx a btrên khoảng, đoạn

11.Cho đồ thị, BBT hàm số y f ' x , tìm GTLN, GTNN hàm số y f x btrên khoảng,

đoạn

2 PHẦN I: Xác định trực tiếp GTLN, NN hoặc thông qua phép biến đổi đồ thị

Dạng 1: Cho đồ thị, bảng biến thiên hàm số y f x , tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y f x ,y f u x   khoảng, đoạn

Câu 1. Biết hàm số y f x  liên tục  có M m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm sốtrên đoạn 0; Hàm s ố 24

1 x y f

x

 

  



  có tổng giá trị lớn nhỏ A M m B 2M m C M 2m D 2M 2m

Lời giải Chọn A

Đặt   24 x g x

x



 , x0; 2 Ta có:    

2 2

4

1 x g x

x

 

 



 

g x  x 0; 2 Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, ta có: 0g x 2

Do đó: Hàm số y f x  liên tục  có M m GTLN, GTNN hàm số đoạn 0; ch ỉ hàm số y f g x   liên tục  có M m GTLN, GTNN hàm sốtrên đoạn 0; 

Vậy tổng giá trị lớn nhỏ hàm số 24

1 x y f

x

 

  



  M m Câu 2. Cho hàm sốy f x  có đồ thị hình vẽ Khi hàm số

2 2

y f x đạt GTLN 0; 2  A. f  0 B. f  1

C. f  2 D. f  2 Lời giải Chọn A

Đặt t 2 x2, từ x0; 2

 , ta có t0; 2

Trên 0; hàm s ố y f t  nghịch biến Do

0;2     max f t  f

Câu 3. Cho hàm số y f x có đồ thị hình vẽ bên Biết f x  ax b cx d

 

 g x  f f x 

3

A 2 B 2 C 1 D

3



Lời giải Chọn B

Từ hình vẽ ta có: TCN y a a c

   

TCĐ x d c d

c

     

Đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ nên b b d d 0

d    

Khi  

1 d

f x

dx d x

 

        

1

1 1

x g x f f x

x x

 

   



 

 

TXĐ hàm g x  Dg \ 0 hàm số g x  xác định 3; 1   

1 g x

x

  , với   x  3; 1   3

3

g   , g 1 2

Vậy

max 3; 1g x 2

Câu 4. Cho x y, thoả mãn 5x2 6xy5y2 16 hàm số bậc ba y f x  có đồ thịnhư hình vẽ Gọi ,

M m giá trị lớn nhỏ

2

2

2

2

x y

P f

x y xy

   

  

  

 

Tính M2 m2

A.M2 m2 4 B.M2m2 1

C.M2 m2 25 D.M2 m2 2 Lời giải

Chọn A

Ta có:

2 2 2

2 2 2

2 8 16

2 8 16 2.16 18

x y x y x xy y

t

x y xy x y xy x xy y

     

  

       

O x

y

1

1

2

4

TH1: Xét   0; 

6

y  t  f t m 

TH2: Xét

2

2

3

0

18

x x

y y

y t

x x

y y

 

 

   

  

 

 

   

Đặt u x,

y

 ta có:

2

3

18

u u

t

u u

 



 

Xét    

   

2

2

2 2

0

3 96 96

; ' ; '

1

18 18 4 2

u

u u u u

g u g u g u

u

u u u u

 

  

    



    

Ta lại có: lim   lim  

ug u ug u  Từđó lập bảng biến thiên ta có

Từ bảng biến ta có   3

2

g u t

    

Quan sát đồ thị ta ta thấy rằng:

   

   

   

  

3 3

0 ; 0 ;

2 2

P 0; P

max min

Vậy M2 m2 4

Câu 5. Cho hàm số y f x  liên tục  có đồ thị hình vẽ bên Gọi M m,

GTLN – GTNN hàm số    4 

2 sin cos

g x  f  x x 

 

Tổng M m

A 3 B 5 C 4 D 6

Lời giải Chọn C

Ta có 4

sin cos sin ,

x x  x  x  Vì sin 22 1, 1 1sin 22 1,

2

x x x x

         1 sin 4xcos4x2 Dựa vào đồ thị suy

       

max

4

min

M g x f

M m

m g x f

  

 

  



  

5

Câu 6. Cho hàm số y f x  liên tục  có đồ thịnhư hình vẽ

Xét hàm số    

2

g x  f x  x m Tìm m để

 0;1   maxg x  10

A m3 B m 12 C m 13 D m6 Lời giải

Chọn C

Đặt t x 2x3 x với x 0;1 Ta có t x 6x2 1 0,  x  0;1 Suy hàm số t x  đồng biến nên x 0;1   t  1; 

Từđồ thị hàm số ta có

 1; 2    1;2  

max f t max f t m m

       

Theo yêu cầu tốn ta cần có: 3m 10m 13

Câu 7. Cho hàm số y f x  liên tục  có đồ thịnhư hình vẽdưới

Giá trị lớn hàm số y f 2sinx 0;

A 5 B 4 C 3 D 2

Lời giải Chọn C

Đặt t2sinx Với x0; t0; 2

Dựa vào đồ thị hàm số y f x  ta có

0;    0;2     max f 2sinx max f t f

   

Câu 8. Cho hàm số y f x  liên tục  có bảng biến thiên dạng

Hàm số y f(2sin )x đạt giá trị lớn nhỏ M m Mệnh đềnào

đây đúng?

6

Chọn A

Ta có:  1 sinx   1 2 sinx2 Với t 2 sinx  t  2; 

Khi đó:

 

   

 

    2;2

2;2

max sin max

min sin

M f x f t

m f x f t





  

   

Câu 9. Cho hàm số y f x  liên tục tập  có bảng biến thiên sau

Gọi M m, lần lượt giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y f x 22x đoạn

; 2

 



 

  Tìm kh

ẳng định sai khẳng định sau

A M m 10 B M

m  C M m3 D M m7 Lời giải

Chọn B

Đặt tx22x Ta có 7; 5  12 25

2 2

x    x    x 

 

 2 21

1 1

4 x

      nên 1;21

4 t  

 

Xét hàm số  , 1;21 y f t t  

 

Từ bảng biến thiên suy ra:      

21 21

1; 1;

4

21

min 2, max

4

t t

M

m f t f M f t f

m

   

     

   

 

        

 

Câu 10. Cho hàm số  

y f x ax bx c xác định liên tục  có bảng biến thiên sau:

Giá trị nhỏ hàm số yf x 3 đoạn  0;2

A. 64 B. 65 C. 66 D. 67

Lời giải Chọn C

7  

   

0

1

1

f f f

     

   

3

2

4

c

a b c a b

   

       

3 c b a

      

  

 

2

f x x x

   

 0;2

x   x  3;5

Trên đoạn  3;5 hàm sốtăng,

 0;2in    3 66

m f x 3 f 

Câu 11. Cho hàm số y f x  liên tục 2; 4 có bảng biến thiên sau

Gọi M, m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số g x  f cos 2x4 sin2x3  Giá trị M m

A. B 4 C 2 D 1

Lời giải Chọn A

Ta có:

cos 2x4sin x 3 3cos 2x1   3cos ,

g x f x

   đặt t3cos 2x1, với x  t  2;  Từ bảng biến thiên suy

 2;4    2;4   max f t 3; f t



   

Suy  

 2;4      2;4  

max max 3; min

M g x f t m g x f t

 

      





Vậy M m4

Câu 12. Cho hàm số f x ax5bx4cx3dx2exn a b c d e n, , , , ,  Hàm số y f ' x có đồ thịnhư hình vẽ bên (đồ thị cắt Oxtại điểm

có hồnh độ 3; 1;1

  2) Đặt

 3;2    3;2  

max ;

M f x m f x

 

 

T M m Khẳng định sau đúng?

A T  f  3  f  2 B T  f  3  f  0

C  2

2 T  f    f

  D  

1

0

T  f    f

 

Lời giải Chọn A

Ta có '  4 3 2  3 1  2

2 f x  ax  bx  cx  dx e a x x x  x

  (Vì ph

ương trình  

'

f x  có nghiệm 3; 1;1