Chuyên đề Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác lớp 11 chi tiết - Nguyễn Tài Chung | Toán học, Lớp 11 - Ôn Luyện

Trong các đề thi tuyển sinh vào Đại học, Cao đẳng những năm gần đây, đa số các bài toán về giải phương trình lượng giác đều rơi vào một trong hai dạng: Phương trình đưa về dạng tích hoặc[r]

(1)

MỤC LỤC

CHƯƠNG Hàm số lượng giác phương trình lượng giác

1 Các hàm số lượng giác

A Một số dạng toán

B Bài tập tự luận 10

C Bài tập trắc nghiệm 11

2 Phương trình lượng giác 17

A Tóm tắt lí thuyết 17

B Một số dạng tốn 18

C Bài tập ôn luyện 20

D Bài tập trắc nghiệm 20

3 Phương trình bậc hai, bậc ba hàm số lượng giác 26

A Bài tập tự luận 26

B Bài tập trắc nghiệm 26

4 Phương trình bậc sinx cosx 30

A Phương pháp giải 30

C Bài tập trắc nghiệm 32

D Phương trình dạng asinx+bcosx = csinu+dcosu, với a2+b2 =

c2+d2 35

5 Phương trình đẳng cấp bậc hai sinx cosx 36

A Phương pháp giải toán 36

(2)

6 Sử dụng công thức biến đổi để giải phương trình lượng giác 39

A Cơng thức biến đổi tổng thành tích 39

B Cơng thức biến đổi tích thành tổng 39

C Cơng thức hạ bậc, nâng cung 40

D Bài tập trắc nghiệm 40

7 Phương trình đưa dạng tích 41

8 Một số phép đặt ẩn phụ thông dụng 44

A Phép đặt ẩn phụ u=sinx+cosx, với điều kiện |u| ≤√2. 44

B Phép đặt ẩn phụ u=sinxcosx = 1

2sin 2x (khi |u| ≤ 1

2) 45

C Phép đặt ẩn phụ t =tanx+cotx 46

D Phép đặt ẩn phụ t=tan x

2 46

E Bài tập trắc nghiệm 47

9 Phương trình chứa ẩn mẫu phương pháp kết hợp nghiệm 48

10 Một số toán sử dụng phương pháp đánh giá 52

11 Sử dụng lượng giác để giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số 52

A Dấu hiệu để lượng giác hóa toán 52

(3)

12 Bất phương trình lượng giác 54

Ôn tập chương 55

A Bộ đề số 55

(4)

(5)

CHƯƠNG

1

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH

LƯỢNG GIÁC

BÀI

1.

CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

A MỘT SỐ DẠNG TOÁN

Dạng Tìm tập xác định hàm số.

Phương pháp.

Tập xác định hàm sốy = f(x)là tập hợp giá trị củaxsao cho f(x)có nghĩa.

Điều kiện A

B có nghĩa làB 6=0, điều kiện

√

Acó nghĩa A≥0 Các hàm sốy =sinxvày =cosxcó tập xác địnhD =R.

Hàm sốy=tanxcó tập xác định D=R\nπ

2 +kπ|k ∈Z

o

Hay nói cách khác, hàm sốy=tanxxác định khix6= π

2 +kπ, vớik∈ Z.

Hàm sốy=cotxcó tập xác địnhD=R\ {kπ|k∈ Z}.

Hay nói cách khác, hàm sốy=cotxxác định khix 6=kπ, vớik ∈ Z.

Chú ý

(1) sinu=1⇔u = π

2 +k2π; (2) cosu =1⇔ u=k2π;

(3) sinu=−1⇔u =−π

2 +k2π; (4) cosu =−1⇔ u=π+k2π;

(5) sinu=0⇔u =kπ; (6) cosu =0⇔ u= π

2 +kπ

Bài Tìm tập xác định hàm số:

y= 9−2 sinx

cosx ;

1 y =cos 4x+

sinx;

2

y= …

1−cosx

2+2 sinx;

3 4 y =√5−2 cos 3x;

y= 2008

sinx cosx;

5 y = tan 5x

cos 10x −

2 sin 5x

6

Bài Tìm tập xác định hàm số:

y=tan4x+π

6

;

1 y =cotπ

4 −10x

+2008x 2

Bài Tìmmđể hàm số sau có tập xác địnhR:

y=√m−5 sinx;

1 2 y =√2m+cos 2x; y= √2−sin 3x

mcosx+1

(6)

Dạng Xét tính chẵn, lẻ hàm số lượng giácy = f(x).

Phương pháp.

Bước 1.Tìm tập xác địnhDcủa hàm sốy = f(x)

Bước 2.Với mọix ∈ D:

Nếu

ß

−x ∈ D

f(−x) = f(x) thìy= f(x)là hàm số chẵn

Nếu

ß

−x ∈ D

f(−x) =−f(x) thìy= f(x)là hàm số lẻ

Chú ý Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc toạ độOlàm tâm đối xứng, đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung(trụcOy)làm trục đối xứng

Chú ý Ta có

(1) cos(−x) =cosx,∀x ∈R; (2) sin(−x) = −sinx,∀x ∈ R;

(3) tan(−x) =−tanx,∀x6= π

2 +kπ; (4) cot(−x) = −cotx,∀x 6=kπ

Vậy hàm sốy=cosxlà hàm số chẵn, hàm sốy=sinx,y =tanx, y=cotxlà hàm số lẻ Bài Xét tính chẵn-lẻ hàm số sau:

y=−19 cosx;

1 2 y =sinx−2 sin3x;

y=sin3xcos8x−2 cotx;

3 4 y =sinx−cosx;

y= tanx−cot 2x

sinx ;

5 6 y =8 sinx+5 cosx−2 Bài Xét tính chẵn-lẻ hàm số sau:

y= tanx+cotx

sinx ;

1 y = cosx

2|sinx| −1;

2

y=|sinx−cosx| − |sinx+cosx|;

3 4 y =√1+sinx−√1−sinx

Bài Xác định giá trị m cho hàm số

y= f(x) =2msin 2008x+5 cos 3x

là hàm số chẵn

Dạng Xét chiều biến thiên hàm số lượng giác.

Phương pháp.

Bước 1.Tìm tập xác định hàm số

Bước 2.Dựa vào chiều biến thiên hàm số lượng giác bản: Hàm số y = sinx đồng biến khoảng −π

2 +k2π;

π

2 +k2π

và nghịch biến khoảng

π

2 +k2π; 3π

2 +k2π

(vớik ∈Z).

(7)

Hàm sốy=tanxđồng biến khoảng−π

2 +kπ;

π

2 +kπ

Hàm sốy=cotxnghịch biến khoảng(kπ;π+kπ)(k∈ Z).

Lưu ý.Sử dụng đường tròn lượng giác, ta dễ dàng suy chiều biến thiên hàm sốy=sinx,y =cosx, y=tanx,y =cotx

Bài Lập bảng biến thiên của:

a) Hàm sốy=sinxtrên đoạn[0;π]

b) Hàm sốy=cosx−1trên đoạn[0;π]

c) Hàm sốy=2 sinx+π

3

trên đoạn

−4π

3 ; 2π

3

d) Hàm sốy=−2 sin2x+π

3

trên đoạn

−2π

3 ;

π

3

Dạng Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số lượng giác.

Phương pháp.

Dựa vào bảng biến thiên hàm số lượng giác, dựa vào đường tròn lượng giác Chú ý rằng:

−1≤sinx ≤1,∀x∈ R; −1≤cosx ≤1,∀x∈ R

Dựa vào bất đẳng thức Cô-si: a+b ≥ 2√ab (a,b≥0); dấu "=" xảy khi

a=b

Dựa vào tính chất hàm số bậc hai: hàm số f(x) = ax2+bx+c(a 6= 0) có đồ thị là Parabol với:

◦ Đỉnh I

− b

2a;

−∆

4a

hayI

− b

2a; f(− b

2a)

◦ Trục đối xứng đường thẳng∆: x=− b

2a

◦ Bề lõm hướng lên nếua>0, hướng xuống nếua<0

◦ Hàm số f(x) = ax2+bx+c (a6=0)có bảng biến thiên sau:

Nhận xét Khi kiểm ta xem giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ đạt ta thường sử dụng ý

Bài Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số:

a) Hàm sốy=cosxtrên đoạnh−π

2;

π

2

i

(8)

b) Hàm sốy=sinxtrên đoạnh−π

2;

i

c) Hàm sốy=sinxtrên đoạnh−π

2;−

π

3

i

d) Hàm sốy=tan 2xtrên đoạnh−π

8;

π

6

i

Bài Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số sau:

y=5 sinx−π

6

+2;

1 2 y=p1−cos(3x2)−2; 3 y =2008 cos√x−1. Bài 10 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số:

y=sinx+cosx;

1 2 y=sin4x+cos4x; 3 y =sin6x+cos6x

Bài 11 Cho trước hai số thựca,bkhơng đồng thời bằng0 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số:y =asinx+bcosx

Bài 12 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số:

y =2 sin2x+3 sinxcosx+cos2x

Bài 13 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số sau:

y=|sinx| −√cosx

Bài 14 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số

y =12 sin4x+sin22x+cos 4x+2 cos2x

Bài 15 Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số:

g(x) =sinx+cosx−2 sin 2x+3

Dạng Phương pháp lượng giác hoá.

Phương pháp.

Nếu gặp −a ≤ u ≤ a thì đặt u = asinα, với −π

2 ≤ α ≤

π

2 đặt u = acosα, với 0≤α ≤π

Nếu gặp a2+u2 thì ta đặt u = atan

α, với −π

2 < α <

π

2 đặt u = acotα, với 0<α <π

Nếu gặpu2+v2 =1thì ta đặtu=cos

αvàv =sinα, với0≤α ≤2π

Bài 16 Chox2+y2 =1, u2+v2 =1, xu+yv =0 Chứng minh

(9)

Bài 17 Cho|x| ≥ |y| Chứng minh

|x+y|+|x−y| = x+

»

x2−y2 +

x−

»

x2−y2

(1)

Bài 18 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số

f(x) = 3+8x

2+12x4

(1+2x2)2

Bài 19 Xét số thực x,ykhơng đồng thời bằng0 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức:P = x

2−(x−4y)2

x2+4y2

Bài 20 (ĐH-2008D) Xét hai số thựcx,ykhơng âm Tìm giá trị lớn giá trị bé biểu thức:P= (x−y) (1−xy)

(1+x)2(1+y)2

Dạng Xét tính tuần hoàn hàm số lượng giác.

Phương pháp.Hàm sốy = f(x)xác định tập hợpD gọi hàm số tuần hồn có sốT 6=0sao cho với mọix∈ D ta có

x+T∈ D, x−T ∈ D f(x+T) = f(x)

Nếu có số dươngTnhỏ thoả mãn điều kiện hàm số gọi hàm số tuần hồn với chu kìT

Chú ý Hàm sốy = sinx hàm số y = cosxtuần hồn với chu kì2π Hàm số y = tanx hàm sốy =cotxtuần hoàn với chu kì π

Bài 21 Chứng minh số Tthỏa mãn sin(x+T) = sinx,∀x ∈ Rphải có dạng T =k2π,

klà số nguyên Từ suy hàm sốy =sinxlà hàm số tuần hoàn với chu kì2π

Bài 22 Cho hàm số y = f(x) = Asin(ωx+α) (A,ω,α số; A α 6= 0) Chứng minh với số nguyênk, ta có

f

x+k.2π

ω

= f(x),∀x∈ R

Bài 23 Chứng minh hàm số f(x) = sinxlà hàm số tuần hoàn với chu kì2π

Bài 24 Chứng minh hàm số f(x) = cos(2x−1) +3là hàm số tuần hồn với chu kìπ

Bài 25 Chứng minh hàm số f(x) = cosx+cosπxkhơng phải hàm số tuần hồn

Bài 26 Hãy hàm số f xác định trênR, hàm lượng giác thỏa mãn f(x+2) = f(x), ∀x∈ R

Dạng Một số toán khác.

Bài 27 Chứng minh với số thựcx,yta có

(10)

Bài 28 Tìmxđể bất phương trình

x2+2x(siny+cosy) +1≥0 (1) với mọiy∈ R.

Bài 29 Cho số thựcx,y,zthoả mãn điều kiện

x6= π

2 +kπ, y 6=

π

2 +mπ, z6=

π

2 +nπ (k,m,n∈ Z)

Chứng minh

tanx+tany+tanz=tanxtanytanz⇔ x+y+z=lπ, l ∈Z

Bài 30 Choa1,a2, ,anlà số thực thoả mãn

−2≤ai ≤2, ∀i =1, 2, ,n; n

∑

i=1

ai =0

Chứng minh

a31+a32+· · ·+a3n ≤2n

B BÀI TẬP TỰ LUẬN

Bài 31 Xét tính chẵn - lẻ hàm số sau:

y=cosx−π

4

;

1 2 y=tan|x|; 3 y =tanx−sin 2x Bài 32 (Kosovo National Mathematical Olympiad 2011, Grade 11)

Tìm giá trị lớn hàm số f(x) =8−3 sin23x+6 sin 6x Bài 33 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số

y=cos22x−sinxcosx+4

Bài 34 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số

y =cos4x−3cos2x+5

Bài 35 Chứng minh giao điểm đường thẳngy= x

3 với đồ thị hàm sốy=sinx

đều cách gốc tọa độ khoảng nhỏ hơn√10

Bài 36 Từ tính chất hàm số y = sinx hàm số tuần hồn với chu kì 2π, chứng minh rằng:

a) Hàm sốy= Asin(αx+β) +B(A,B,α,βlà số, Aα 6=0)là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π

|α|

b) Hàm sốy =cos(αx+β) +B(A,B,α,βlà số, Aα 6= 0)là hàm số tuần hồn với chu kì 2π

(11)

Bài 37 (HSG Quốc gia năm học 1996-1997, bảng B) Cho hàm số

f(x) = asinux+bcosvx

xác định tập số thực, đóa,b,u,vlà số thực khác không Chứng minh

f(x)là hàm số tuần hoàn u

v số hữu tỉ

Bài 38 Chứng minh rằng: √

3−2 ≤

√

3x2+xp1−x2 ≤ √

3+2

Bài 39 Cho số thựcathỏa mãn|a| ≥1 Chứng minh rằng:

√

a2−1+√3

a

≤2

Bài 40 Choa2+b2−2a−4b+4=0 Chứng minh rằng:

a

2−b2+2√3ab−2(1+2√3)a+ (4−2√3)b+4√3−3 ≤2

C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

1 Đề bài

Câu 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vng góc Oxy cho đường trịn đơn vị (đường trịn tâmO(0; 0), bán kính R = 1) Với số thực α, ta xác định điểm M(x;y) đường trịn đơn vị cho (OA,OM) = α hình vẽ Mệnh đề sau làsai?

A sinα =OK B cosα =OH

C tanα = AT D cotα =BS

Câu 2. Tìm tất giá trị thực xđể có đẳng thứcsin22x+cos22x=1

A x ∈R. B x ∈R\nπ

2 +k2π,k ∈ Z

o

C x ∈R\nπ

4 +kπ,k ∈ Z

o

D Không tồn tạixthỏa đẳng thức cho

Câu 3. Trong hàm số sau, hàm số có tập xác định làR?

A y=sinx+cosx B y=tanx C y=cotx D y =cosx+tanx

Câu 4. Hàm sốy =tanxxác định

A x6= π

2 +k2π B x 6=

π

2 +kπ C x 6=kπ D x 6=π+k2π

Câu (Thi HK1, THPT Lương Thế Vinh Hà Nội, 2019).

Tìm tập xác địnhD hàm sốy=cotx

A D =R\ {k2π, k∈ Z} B D =R\ {π+k2π, k∈ Z}

C D =R\nπ

2 +kπ, k∈ Z

o

(12)

Xét tập xác định hàm số khẳng định sau đúng?

A Hàm sốy =cosxlà hàm số lẻ B Hàm sốy =sin 2xlà hàm số lẻ

C Hàm sốy =tanxlà hàm số chẵn D Hàm sốy =cot 2xlà hàm số chẵn

Câu (Học kỳ lớp 11, trường THPT Lê Quý Đôn, Đà Nẵng, 2019).

Tập hợpR\ {kπ|k∈ Z}không phải tập xác định hàm số sau đây?

A y= 1−cosx

sinx B y=

1+cosx

sin 2x C y =

1+cosx

sinx D y =

1−cosx

2 sinx

Câu (Học kỳ lớp 11, trường THPT Lê Quý Đôn, Đà Nẵng, 2019).

Tập xác định hàm sốy=cot 2xlà

A R B R\nπ

2 +kπ

k ∈ Z

o

C R\nπ

4 +k

π

2

k∈ Z

o

D R\nkπ

2

k ∈ Z

o

Câu 9. Tìm tập giá trịTcủa hàm sốy =2 cosx

A T = [−2; 2] B T = [−1; 1] C T =R. D T= (−1; 1)

Câu 10. Tập xác định hàm sốy =

1−sinx

A D =nx ∈R|x 6= π

2 +k2π, k∈ Z

o

B D =nx ∈R|x 6= π

2 +kπ, k∈ Z

o

C D =nx ∈R|x 6= π

4 +k2π, k∈ Z

o

D D ={x ∈R|x 6=k2π, k∈ Z}

Câu 11 (Học kỳ lớp 11, trường THPT Lê Quý Đôn, Đà Nẵng, 2019).

Xét hàm sốy=cosxvớix ∈ [−π;π] Khẳng định sau đúng?

A Hàm số nghịch biến trên(−π; 0)và đồng biến trên(0;π)

B Hàm số nghịch biến khoảng(−π; 0)và(0;π)

C Hàm số đồng biến trên(−π; 0)và nghịch biến trên(0;π)

D Hàm số đồng biến khoảng(−π; 0)và(0;π)

Câu 12 (Học kỳ 1, lớp 11, Sở GD ĐT - Vĩnh Phúc, 2019).

Khẳng định sau đúng?

A Hàm sốy=tanxnghịch biến khoảng−π

4;

π

4

B Hàm sốy=sinxđồng biến khoảng(0;π)

C Hàm sốy=cotxnghịch biến khoảng0;π

D Hàm sốy=cosxđồng biến khoảng(0;π)

Câu 13 (Thi HK1, THPT Lương Thế Vinh Hà Nội, 2019).

Cho hàm số f(x) =sin 3x Mệnh đề đâysai?

A Hàm số có tập xác định làR. B Hàm số hàm lẻ

C Hàm số có tập giá trị là[−3; 3] D Đồ thị hàm số qua gốc tọa độ

Câu 14 (Học kỳ lớp 11, THPT Lý Thái Tổ - Bắc Ninh, 2018-2019).

Tập giá trị hàm sốy=sin2x+π

2

A (−1; 1) B [−1; 1] C R. D R\ {±1}

Câu 15. Tìm tập xác định hàm sốy=√7−7 cosx

A D =nx ∈R|x 6= π

2 +k2π, k∈ Z

o

B D =R

C D ={x ∈R|x =6 k2π, k∈ Z} D D ={x ∈R|x 6=π+k2π, k∈ Z}

Câu 16. Tìm tập xác định hàm sốy=tanx+cotx

A D = ß

x∈ R|x 6=π+kπ

2 , k ∈Z

™

B D =

ß

x∈ R|x6= kπ

4 , k ∈Z

™

(13)

C D = ß

x ∈ R|x 6= kπ

2 , k∈ Z

™

D D ={x∈ R|x6=kπ, k∈ Z}

Câu 17. Tìm tập xác định hàm sốy = tan 3x

cos 6x −

8 sin 3x

A D = ß

x ∈ R|x 6= kπ

6 , k∈ Z

™

B D =

ß

x ∈ R|x 6=π+kπ

16, k∈ Z

™

C D = ß

x ∈ R|x 6= π

2 +

kπ

6 , k ∈ Z

™

D D =

ß

x ∈ R|x 6= kπ

12, k∈ Z

™

Câu 18 (Đề Thi HK1 T11, SGD Quảng Nam 2017).

Choxthuộc khoảng

3π

2 ; 2π

Trong khẳng định sau khẳng định đúng?

A sinx <0, cosx >0 B sinx >0, cosx >0

C sinx <0, cosx <0 D sinx <0, cosx <0

Trong hàm số sau, hàm số hàm số chẵn?

A y=xsinx B y=x+tanx C y=sin3x D y =x+cosx

Câu 20 (Đề HKI-Chuyên Hưng Yên-2019).

Hàm số hàm số có đồ thị nhận gốc tọa độOlàm tâm đối xứng?

A y=sin2x B y=cosx C y=tanx D y =cot2x

Hàm số sau hàm số chẵn?

A y=−2 sinx B y=3 sin(−x) C y=−2 cosx D y =sinx−cosx

Câu 22. Hàm số lượng giác hàm số chẵn?

A y=sin 2x B y=cos 2x C y=2 sinx+1 D y =sinx+cosx

Câu 23. Hàm số lượng giác hàm số lẻ?

A y=sin2x B y=sinx C y=cos 3x D y =xsinx

Câu 24. Xét tập xác định hàm số khẳng định sau làđúng?

A Hàm sốy=sin 3xlà hàm số chẵn B Hàm sốy=cos(−3x)là hàm số chẵn

C Hàm sốy=tan 3xlà hàm số chẵn D Hàm sốy=cot 3xlà hàm số chẵn

Trong mệnh đề sau có mệnh đề đúng? 1 Hàm sốy=x+sinxtuần hồn với chu kì T=2π 2 Hàm sốy=xcosxlà hàm số lẻ

3 Hàm sốy=tanxđồng biến khoảng xác định

A B C D

Câu 26. Hàm sốy =

sin 2x +

1

cos 2x xác định

A x6= kπ

2 ,k ∈ Z. B x 6=kπ,k ∈Z. C x 6=

kπ

4 ,k∈ Z. D x 6=k2π,k ∈ Z.

Câu 27. Xét tập xác định hàm số khẳng định sau làsai?

A Hàm sốy=sin 2xlà hàm số lẻ B Hàm sốy=tan 2xlà hàm số lẻ

C Hàm sốy=cot 2xlà hàm số lẻ D Hàm sốy=cos 2xlà hàm số lẻ

Cho mệnh đề

(14)

2 Đồ thị hàm sốy=sinxnhận gốc tọa độ tâm đối xứng 3 Hàm sốy=cos 2xcó chu kì là4π

4 Hàm sốy=cosxlà hàm số chẵn trênR. Số mệnh đề

A B C D

Câu 29. Bảng biến thiên sau hàm số bốn hàm số bên dưới?

x

f(x)

0 π

2 π

3π

2 2π

1

−1

1

0

A y=sinx B y=cosx C y =tanx D y =cotx

Câu 30. Xét hàm số f(x) = cos 2xtrên tậpD = [0; 2π]có đồ thị hình vẽ Khẳng định sau khẳng địnhsai?

x y

O π

4

3π

4

5π

4

7π

4

π 2π

1

A Hàm số f(x)đồng biến khoảng

7π

4 ; 2π

B Hàm số f(x)nghịch biến khoảng0;π

C Hàm số f(x)nghịch biến khoảng

π

4; 3π

4

D Hàm số f(x)nghịch biến khoảng

π; 5π

4

Câu 31. Hình đồ thị hàm sốy =sinx?

A x

y

O B. x

y O

C

x y

O

D

x y

O

Câu 32. Xét hàm số f(x) =sinxtrên tập hợpD = [0; 2π] Hình hình sau đồ thị hàm số f(x)?

A

x y

O

2π

B

x y

(15)

C

x y

O

π

−π

D

x y

O

2π

Câu 33. Hàm số hàm số sau có đồ thị hình vẽ đây?

x

−3π

2

−π −π

2

π

2

π 3π

2 y

O

A y=tanx B y=−cotx C y=cotx D y =−tanx

Câu 34. Cho hàm sốy=sin 2xcó đồ thị đường cong hình bên Tìm tọa độ điểm

M

x

−1 y

O

M

A Mπ

2;

B M(π; 1) C M π

4;

D Mπ

2;

Câu 35. Đồ thị sau đồ thị hàm số hàm số đây?

π 2π 3π 4π

x

−1

y

O

A y=sinx

2 B y=cos

x

2 C y=sinx D y =−sin

x

2

Câu 36. Xét hàm số y = |sinx| khoảng (0; 2π) Tìm tất khoảng nghịch biến hàm số

A (π; 2π) B π

2;π

3π

2 ; 2π

C

π

2; 3π

2

D (0;π)

Câu 37. Hàm sốy =sinxvày =sin 3xcùng đồng biến khoảng đây?

A π

6;

π

3

B π

3;

π

2

C

11π

6 ; 2π

D

π

2; 2π

3

Câu 38. Hàm số sau vừa hàm số chẵn, vừa hàm số tuần hoàn?

(16)

Câu 39 (Đề thi HK1, THPT Chuyên Thái Nguyên, 2019).

Tập xác định hàm sốy= √ tanx

2−cosx

A D =nπ

2 +kπ |k ∈Z

o

B D =R\nπ

2 +kπ | k∈ Z

o

C D =R\ {kπ | k∈ Z} D D =R\ nπ

2 +k2π | k∈ Z

o

Hàm số sau hàm số chẵn?

A y=sin 2x+1 B y =sinx·cos 2x

C y=sinx·sin 3x D y =sin 2x+sinx

Câu 41 (HK1, THPT Chuyên ĐHSP - HaNoi, 2019).

Tập xác định hàm sốy=

sin 2x

A R\ {kπ;k ∈Z} B R\ {k2π;k ∈Z}

C R\

ß

kπ

2 ;k ∈Z

™

D R\nπ

2 +kπ;k∈ Z

o

Câu 42. Trong mệnh đề sau có mệnh đềđúng?

a) Hàm sốy =x+sinxtuần hoàn với chu kìT =2π

b) Hàm sốy =xcosxlà hàm số lẻ

c) Hàm sốy =tan 3xđồng biến khoảng xác định

A B C D

Hàm sốy=cos x

2 tuần hoàn với chu kỳ

A T =π B T = π

4 C T =4π D T=7π

Câu 44. Tìm chu kì tuần hồn Tcủa hàm sốy=sin 2x+cosx

A T =π B T =2π C T =4π D T=−2π

Câu 45. Tìm chu kì tuần hoàn Tcủa hàm sốy=sin 2x−cos 8x

A T =π B T =2π C T =4π D T= π

2

Câu 46. Tìm chu kì tuần hồn Tcủa hàm sốy=sin x 2+cos

x

3

A T =2π B T =4π C T =6π D T=12π

Câu 47. Tìm chu kìTcủa hàm sốy =cot

x

3 + 3π

4

A T =π B T =2π C T =3π D T=6π

Câu 48. Tìm chu kìTcủa hàm sốy =cos22x

A T = π

2 B T =2π C T =π D T=

π

4

Câu 49. Hàm số hàm số tuần hoàn?

A y= sinx

cosx+x B y =

1

sin2x+1+

x

cos2x+1

C y= xtanx+sinx D y =sinx+ tanx

cot2x+1

Giá trị nhỏ hàm sốy =2 cos2x+sin 2xlà

(17)

Câu 51 (Đề HKI-THPT Chuyên Hưng Yên-2019).

GọiMlà giá trị lớn nhất,mlà giá trị nhỏ hàm sốy=cos 2x+cosx−2 TìmM−n

A 25

8 B C 21

8 D

Câu 52. GọiM,mlần lượt giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số

y=

1+sinx +

1

1+cosx,với −

π

4 ≤x ≤

π

4

TínhM+n

A 4−√2 B 4+2√2 C 8−2√2 D 3+2√2

Câu 53 (HK1, Lí Thái Tổ - BN, 2018). Cho hàm sốy= » 2018 sinx−2019

2 sin2x+ (2m−3)cosx+ (3m−2)

, có giá trị tham sốmnguyên thuộc(−2019; 2019)để hàm số xác định với giá trị củax?

A 2018 B 2017 C 2019 D 4036

2 Đáp án lời giải

ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM

1 A

2 A

3 A

4 B

5 A

6 B

7 B

8 D

9 A

10 A

11 C

12 C

13 C

14 B

15 B

16 C

17 D

18 A

19 A

20 C

21 C

22 B

23 B

24 B

25 D

26 C

27 D

28 B

29 B

30 C

31 D

32 D

33 D

34 C

35 D

36 B

37 C

38 B

39 B

40 C

41 C

42 C

43 C

44 B

45 A

46 D

47 C

48 A

49 D

50 B

51 A

52 C

53 B

LỜI GIẢI CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

BÀI

2.

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

A TĨM TẮT LÍ THUYẾT

1 Cơng thức nghiệm phương trình lượng giác bản.

(1) cosu =cosv⇔

u=v+k2π

u=−v+k2π ;

(2) sinu=sinv⇔

u=v+k2π

u=π−v+k2π ;

(3) tanu=tanv⇔u =v+kπ;

(4) cotu =cotv ⇔u=v+kπ (k∈ Z)

(18)

sinu=1⇔ u= π

2 +k2π;

1 2 cosu=1⇔u =k2π;

sinu=−1⇔u =−π

2 +k2π;

3 4 cosu=−1⇔u =π+k2π;

sinu=0⇔ u=kπ;

5 cosu=0⇔u = π

2 +kπ

6

3 Điều kiện có nghiệm.

Phương trìnhsinu=mcó nghiệm khi:−1≤m≤1. Phương trìnhcosu =mcó nghiệm khi:−1≤m ≤1.

Chú ý Với−1≤m≤1ta có:

sinu =m⇔

u =arcsinm+k2π

u =π−arcsinm+k2π (k∈ Z)

cosu =m⇔

u=arccosm+k2π

u=−arccosm+k2π (k∈ Z) Với mọim ∈Rta có:

tanu=m ⇔u=arctanm+kπ (k∈ Z)

cotu =m⇔u =arccotm+kπ (k ∈ Z)

4 Chuyển đổi sin côsin, tang côtang.

sinx =cosπ −x

;

1 cosx =sinπ

2 −x

; 2

tanx =cotπ −x

;

3 cotx =tanπ

2 −x

4

5 Đổi dấu hàm số lượng giác.

−sinx =sin(−x);

1 2 −cosx =cos(π−x);

−tanx =tan(−x);

3 4 −cotx =cot(−x)

6 Các bước giải phương trình lượng giác.

Bước 1.Đặt điều kiện để phương trình xác định. Bước 2.Giải phương trình.

Bước 3.Kết hợp với điều kiện để kết luận nghiệm.

B MỘT SỐ DẠNG TOÁN.

Dạng Phương trình lượng giác bản.

(19)

sinx =

√

3 ;

1 cos 2x=

2;

2

tan3x− π

4

=− √

3 ;

3 4 cot 5x =1

Bài Giải phương trình sau:

3 sin 2x =−1;

1 2 cos(1−3x) =3;

tan 3x =0;

3 4 cot 2x =7

Bài Giải phương trình sau

sin

x−2π

3

=cos 2x;

1 tan 2x+450

tan1800− x

2

=1; 2

cos 2x−sin2x=0;

3 4 tanx−2 cotx =3 Bài (ĐH -2013B) Giải phương trìnhsin 5x+2 cos2x =1

Bài Giải phương trình

sinx−cosx =0;

1 2 sin 2x+√3 cos 2x=0;

sinx−cosx =√2;

3 4 sinx+2 cosx−√2=0 Bài Giải phương trình:

√

3 sin 2x

cos 2x−1 =0 (1)

Bài Giải phương trìnhtan 3x=tanx

Dạng Giải phương trình lượng giác thoả mãn điều kiện cho trước.

Phương pháp.Chú ý với mọiu∈ Rta có:

−1≤sinu ≤1;−1≤cosu ≤1

và cơng thức nghiệm phương trình lượng giácklà số nguyên Bài Giải phương trình sau với điều kiện ra:

2 sin 2x =1 với 0<x <2π;

1 tan 3x=−√3 với −π

2 <x <

π

2

sin(πcosx) =1;

1 2 cos(8 sinx) = 1;

tan(πsinx) =

√

3;

3 cot(πcosx) =

√

3 4

Dạng 10 Rèn luyện kĩ biến đổi thành tích.

Bài tập 10 ý sau đơn giản thường xuất ta biến đổi phương trình thành phương trình tích

Bài 10 Chứng minh rằng:

(20)

b) cos2x = (1−sinx)(1+sinx);

c) cos 2x= (cosx−sinx)(cosx+sinx);

d) 1+sin 2x = (sinx+cosx)2;

e) 1−sin 2x = (sinx−cosx)2;

f) 1+tanx = sinx+cosx

cosx ; g) 1+cotx= sinx+cosx

sinx ; h) √2 sin(x+π

4) = sinx+cosx;

i) 1+cos 2x+sin 2x =2 cosx(sinx+cosx);

j) 1−cos 2x+sin 2x =2 sinx(sinx+cosx)

Chú ý Sau số công thức hay gặp có liên quan đến số1:

(1) 1+tan2α =

cos2α; (2) 1−tan

α = cos 2α

cos2α;

(3) 1+cot2α =

sin2α;

(4) 1−cot2α =−cos 2α

sin2α;

(5) 1+cosα =2 cos2 α

2; (6) 1−cosα =2 sin

2 α

2;

(7) 1+sinα =

sinα 2+cos

α

2

; (8) 1−sinα =

sinα −cos

α

2

C BÀI TẬP ƠN LUYỆN

1 Đề bài

Phương trình số phương trình đưa phương trình bản.

Bài 11 Giải phương trình: sin

6x+cos6x

cos2x−sin2x =

1

4tan 2x (1)

Bài 12 Giải hệ phương trình

ß

x2+y2 =1 4xy 2y2−1

=1

Bài 13 (China Girls Math Olympiad-2005) Giải hệ phương trình

 



5

x+

x

=12

y+1

y

=13

z+1

z

(1)

xy+yz+zx=1 (2)

2 Lời giải, hướng dẫn

D BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

1 Đề bài

(21)

A S=n−π

6 +kπ;

π

6 +kπ,k ∈Z

o

B S=n−π

6 +k2π;

π

6 +k2π,k ∈Z

o

C S=nπ

6 +kπ;

π

3 +kπ,k ∈Z

o

D S=nπ

6 +k2π;

π

3 +k2π,k ∈Z

o

Câu 2. Tìm tập nghiệmScủa phương trìnhcosx =1

A S={k2π,k∈ Z} B S={kπ,k ∈Z}

C S=nπ

2 +kπ,k∈ Z

o

D S=

ß

kπ

2 ,k ∈Z

™

Câu 3. Tìm tập nghiệmScủa phương trìnhcos 2x =0

A S=nπ

2 +kπ,k∈ Z

o

B S=

ß

π

4 +

kπ

2 ,k∈ Z

™

C S=nπ

2 +k2π,k∈ Z

o

D S=nπ

4 +kπ,k∈ Z

o

Câu 4. Tìm tập nghiệmScủa phương trìnhcos 2x =√2

A S =R.

B S = ß

−1

2arccos

√

2+kπ;1

2arccos

√

2+kπ,k ∈Z

™

C S =∅

D S =n−π

4 +k2π;

π

4 +k2π

o

Câu 5. Tìm tập nghiệmScủa phương trìnhsin 2x=− √

3

A S= ß

−π

6 +kπ, 2π

3 +kπ,k∈ Z

™

B S=

ß

−π

3 +k2π, 4π

3 +k2π,k∈ Z

™

C S= ß

π

6 +k2π, 5π

6 +k2π,k∈ Z

™

D S=

ß

−π

6 +k2π, 2π

3 +k2π,k∈ Z

™

Câu 6. Tìm tập nghiệmScủa phương trìnhcos(x+30◦) = − √

3

A S ={120◦+k360◦;k360◦,k ∈Z}

B S ={120◦+k360◦;−180◦+k360◦,k ∈Z}

C S ={120◦+k180◦;k180◦,k ∈Z}

D S ={120◦+k180◦;−180◦+k180◦,k ∈Z}

Câu 7. Giải phương trình:sin x−600 =

2

A

x =900+k3600

x =2100+k3600 B

x=300+k3600

x=1500+k3600

C

x =900+k3600

x =1500+k3600 D

x=300+k3600

x=2100+k3600

Câu 8. Giải phương trình2 sin 2x =−1với điều kiệncosx >0

A x =−π

12 +kπ B x = 11π

12 +2kπ, x=− 5π

12 +k2π

C x = 7π

12 +kπ,x =−

π

12 +kπ D x =− 5π

12 +k2π

Câu 9. Giải phương trình3 cot 2x=−√3với điều kiệnsinx>0

A x =−π

6 +k

π

2 B x =−

π

6 +kπ

C x = 5π

6 +k2π,x =

π

3 +k2π D x = 5π

6 +k2π

Câu 10 (Đề Thi HK1 T11, SGD Quảng Nam 2017).

Tìm số nghiệm thuộc đoạn[0;π]của phương trìnhsinx=

3

(22)

Câu 11 (Đề kiểm tra HK1 lớp 11, chuyên Trần Hưng Đạo, năm 2018 - 2019).

Phương trình có tập nghiệm trùng với tập nghiệm phương trìnhsinx =

0?

A cosx =1 B tanx=0 C cosx=−1 D cotx =1

Phương trìnhsin 2x =−sinπ

3 có nghiệmα, βvới−

π

4 <α,β< 3π

4 Giá trị củaα·βbằng

A −π

9 B − 4π2

9 C

π2

9 D −

π

9

Câu 13. Cho phương trìnhcotx=m Nghiệm phương trình

A x=arctanm+kπ

B x=arctan

m +kπ

C x=arctan

m +2kπ

D x= π

2 +kπnếum =0vàx =arctan

m+kπ nếum 6=0

Câu 14. Số nghiệm phương trình3 tanx+π

6

+√3=0thuộc đoạn

π

4; 3π

4

A B C D

Phương trìnhcos

x−5π

6

=1có nghiệm

A x = π

3 +kπ B x =

π

3 +k2π C x= 5π

6 +kπ D x= 5π

6 +k2π

Phương trình sin 5x

sinx =2 cosxcó nghiệm thuộc khoảng(0;π)?

A B C D

Câu 17 (HK1, THPT Chuyên ĐHSP - HaNoi, 2019).

Phương trìnhsinx =

2 có nghiệm đoạn[0; 20π]?

A 20 B 21 C 11 D 10

Câu 18. Tìm nghiệm phương trình√3 cotx+π

3

−1=0

A x =−π

6 +2kπ,k ∈ Z B x =−

π

6 +kπ,k∈ Z

C x =2kπ,k∈ Z. D x =kπ,k∈ Z.

Nghiệm phương trình2 sinx+1=0được biểu diễn đường trịn lượng giác hình bên điểm nào?

A ĐiểmE, điểmD B ĐiểmD, điểmC

C ĐiểmC, điểmF D ĐiểmE, điểmF

x y

B

A

F

B0 O A0

E

D 12 C

(23)

Câu 20 (Đề thi HK1, lớp 11, Chuyên Trần Hưng Đạo).

Nghiệm phương trìnhtan 3x=tanxlà

A x= kπ

2 ,k ∈Z. B x =kπ,k∈ Z. C x =k2π,k∈ Z. D x =

kπ

6 ,k∈ Z.

Số nghiệm phương trìnhtan 3x =tanxtrong[0; 10π]là

A 10 B 20 C 21 D 11

Câu 22 (Đề kiểm tra HK1 lớp 11, chuyên Trần Hưng Đạo, Bình Thuận, năm 2018 - 2019).

Trong khẳng định sau khẳng định đúng?

A Phương trìnhtanx= acó nghiệm khia 6= π

2 +kπ, k ∈Z

B Phương trìnhtanx= avà phương trìnhcotx =acó nghiệm với số thựca

C Phương trìnhcosx= acó nghiệm với số thực a

D Phương trìnhsinx= acó nghiệm với số thựca

Câu 23. Phương phương trình1+tanx =0có nghiệm

A x = π

4 +kπ, k ∈Z B x =

π

4 +k2π, k ∈Z

C x =−π

4 +kπ, k ∈Z D x =−

π

4 +k2π, k ∈Z

Câu 24. Phương trìnhtan 2x=1có họ nghiệm

A x = π

8 +

kπ

2 , k∈ Z B x =

π

4 +kπ, k ∈Z

C x = π

4 +k2π, k ∈Z D x =

π

4 +k2π, k ∈Z

Cho phương trìnhtan2x−π

4

+√3=0 Nghiệm phương trình

A x =±π

14 +kπ, k∈ Z B x = 3π

4 +k2π,k∈ Z.

C x =−π

24 +k

π

2,k ∈Z. D x =−

π

12 +kπ, k∈ Z.

Câu 26. Nghiệm phương trìnhcotx+√3=0là

A x =−π

3 +kπ, k ∈Z. B x =−

π

6 +kπ, k ∈Z.

C x = π

3 +k2π, k ∈Z D x =

π

6 +kπ, k ∈Z

Câu 27. Phương trìnhtan(2x+12◦) =0có nghiệm

A x =−6◦+k180◦, k∈ Z. B x =−6◦+k360◦, k∈ Z.

C x =−12◦+k90◦, k∈ Z. D x =−6◦+k90◦, k∈ Z.

Câu 28. Nghiệm phương trình√3 tan

3x+3π

5

=0là

A x = π

8 +k

π

4, k∈ Z. B x =−

π

5 +k

π

4, k∈ Z.

C x =−π

5 +k

π

2, k∈ Z. D x =−

π

5 +k

π

3, k∈ Z.

Phương trìnhcosx =1có nghiệm

A x =kπ,k ∈Z. B x = π

2 +kπ,k∈ Z.

C x =±π

3 +k2π,k∈ Z. D x =k2π,k ∈Z.

Số nghiệm phương trìnhsin2x+cos 2x=−cos2xtrên đoạnh−π

2; 5π

(24)

A B C D

Làng Duyên Yên, xã Ngọc Thanh, Huyện Kim Động, Tỉnh Hưng Yên tiếng với trò chơi dân gian đánh đu Trong trò chơi này, người chơi nhún đu đưa người chơi dao động qua lại vị trí cân Nghiên cứu trị chơi này, người ta thấy khoảng cách

h(tính mét) từ người chơi đu đến vị trí cân biểu diễn qua thời giant (t ≥0

và tính giây) hệ thứch=|d|vớid =3 cosπ

3(2t−1)

, quy ước

d>0khi vị trí cân phía sau lưng người chơi đu vàd<0trong trường hợp trái lại Tìm thời điểm sau10giây mà người chơi đu xa vị trí cân

A Giây thứ13 B Giây thứ12,5 C Giây thứ10,5 D Giây thứ11

Số nghiệm phương trình√2 cosx+π

3

=1với0≤x ≤2π

A B C D

Nghiệm phương trình2 cosx+1 =0là

A 

 

x= 2π

3 +k2π

x=−π

3 +kπ

,k∈ Z. B 

 

x=−π

3 +k2π

x= 2π

3 +k2π

,k∈ Z.

C x =±2π

3 +kπ,k ∈ Z. D x =± 2π

3 +k2π,k ∈ Z.

Sử dụng giả thiết sau để trả lời câu hỏi 34, 35, 36:Số có ánh sáng mặt trời thành phốAở vĩ độ400bắc ngày thứtcủa năm không nhuận cho hàm số

d(t) =3 sin π

182(t−80)

+12 với t ∈Z, <t≤365

Câu 34. Thành phố Acó đúng12giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày năm?

A Ngày thứ80và ngày thứ261 B Ngày thứ81và ngày thứ262

C Ngày thứ263 D Ngày thứ80và ngày thứ262

Câu 35. Vào ngày năm thành phố Acó có ánh sáng mặt trời nhất?

A Ngày thứ353 B Ngày thứ354 C Ngày thứ355 D Ngày thứ356

Câu 36. Vào ngày năm thành phốAcó nhiều có ánh sáng mặt trời nhất?

A Ngày thứ170 B Ngày thứ171 C Ngày thứ172 D Ngày thứ173

Câu 37. Điều kiện để phương trìnhcosx=mcó nghiệm

A |m| ≤1 B m<1 C m ≤1 D −1<m <1

Câu 38. Điều kiện để phương trìnhsin 2x=mcó nghiệm

A |m|<1 B −1

2 ≤m ≤

2 C −2≤m≤2 D −1≤m ≤1

Câu 39. Điều kiện để phương trìnhsin2x =mcó nghiệm

A |m|<1 B 0≤m≤1 C m ≥0 D −1≤m ≤1

Tìm tất giá trị số thựcmđể phương trìnhsin 7x =cos 2mcó nghiệm

A m∈ R. B m∈ [−1; 1] C m ∈

−1

7;

D m ∈

−1

2;

Câu 41. Điều kiện để phương trình5 cos23x =mcó nghiệm

A 0≤m≤ √1

5 B −

1

√

5 ≤m≤

√

(25)

C 0≤m≤

5 D 0≤m≤5

Câu 42. Tìmmđể phương trình2 sin(7x+33) =m−3có nghiệm

A ≤m ≤5 B 2≤m≤4 C 1<m≤5 D 2≤m<4

Câu 43. Tìmmđể phương trình(m−2)cos 5x =mcó nghiệm

A m<1 B m≤1 C m6=2 D m <0

Câu 44. Tìm điều kiện m để phương trình sin2x+cos 2x = m có nghiệm đoạn h −π 6; π i

A m<1 B 0≤m≤1 C

4 ≤m ≤1 D

4 ≤m≤

Câu 45. Giải phương trình:cos π

√

x =1

A x=4k2 B x =4k2π C x =2k D x =2kπ

Câu 46. Giải phương trình:sinx+4 cosx=2+sin 2x

A x = π

3 +kπ, x=−

π

3 +k2π (k∈ Z) B x =

π

3 +k2π, x=−

π

3 +k2π (k∈ Z)

C x = π

3 +k2π (k ∈ Z) D x =

π

3 +k4π, x=−

π

3 +k4π (k∈ Z)

Câu 47. Giải phương trình√2 sinx+

cosx =

√

2+tanxđược nghiệm

A x = π

4 +kπ,x=−

π

4 +k2π B x =

π

4 +k2π,x=−

π

4 +k2π

C x = π

2 +k2π,x=

π

4 +k4π D x =

π

4 +k2π,x=−

π

4 +k4π

Câu 48. Gọialà nghiệm phương trình

cos 3xcos3x−sin 3xsin3x= 2+3

√

2

8 (*)

Khi

A cos 4a =

√

3

2 B cos 4a =

√

2

2 C cos 4a=

2 D cos 4a=1

Câu 49. Giải phương trìnhsin 4x+cos 4x =4√2 sin(x+π

4)−1ta nghiệm

A x=−π

4 +k2π B x =−

π

4 +k3π C x =−

π

4 +kπ D x =−

π

4 +k

π

2

Câu 50. Giả sử alà nghiệm phương trình

tan(πcosx) =cot(πsinx) Khi tập giá trị của√2 sina+ π

4 A ß ™

B

ß

1 2;−

1

√

2

™

C

ß

1 2;−

1

™

D

ß

0;−1

2

™

Câu 51. Giải phương trìnhsinxcos 2x+cos2xtan2x−1+2 sin3x =0

A x = π

6 +

k2π

3 B x =

π

6 +

kπ

3

C x = π

6 +

kπ

3 , x=−

π

2 +k4π D x =−

π

2 +k4π

(26)

1 A

2 A

3 B

4 C

5 A

6 B

7 A

8 B

9 C

10 D

11 B

12 A

13 D

14 B

15 D

16 B

17 A

18 D

19 D

20 B

21 D

22 B

23 C

24 A

25 C

26 B

27 D

28 D

29 D

30 B

31 D

32 B

33 D

34 D

35 A

36 B

37 A

38 D

39 B

40 A

41 D

42 A

43 B

44 C

45 A

46 B

47 B

48 B

49 C

50 C

51 A

BÀI

3.

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI, BẬC BA ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ

LƯỢNG GIÁC

Phương trình bậc hai, bậc ba hàm số lượng giác phương trình dạng:

at2+bt+c=0, at3+bt2+ct+d=0,

vớitlà hàm số lượng giác

A BÀI TẬP TỰ LUẬN

Bài (THPT Quốc gia 2016) Giải phương trình:

2sin2x+7 sinx−4=0

Bài Giải phương trình:

cos2x+5 cosx+4 =0;

1 2 2cos25x+sin 5x−2=0 Bài (ĐH cảnh sát nhân dân 1999)

Tìm nghiệm phương trình

1−5 sinx+2 cos2x=0

thỏa mãn điều kiệncosx≥0

Bài (ĐH ngoại ngữ HN-2000) Giải phương trình

2 cos 2x−8 cosx+7=

cosx (1)

Bài (ĐH-2004B) Giải phương trình:

5 sinx−2 =3(1−sinx)tan2x (1)

B BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

1 Đề bài

Câu 1. Giải phương trìnhsinx+cosx−π

2

=2

A x =kπ,k∈ Z. B x = π

2 +kπ,k∈ Z.

C x =k2π,k∈ Z. D x = π

(27)

Câu 2. Giải phương trìnhtanx+π

3

+cotπ −x

=2√3

A x =kπ,k∈ Z. B x =k2π,k∈ Z.

C x = π

3 +kπ,k ∈Z. D x =−

π

3 +kπ,k ∈Z.

Câu 3. Giải phương trình|sinx| =1

A x =k2π,k∈ Z. B x = π

2 +k2π,k ∈Z.

C x =−π

2 +k2π,k ∈Z. D x =

π

2 +kπ,k ∈Z.

Câu 4. Giải phương trình√3 tanx+cotx−√3−1=0

A x = π

4 +kπ,x=

π

6 +kπvới k∈ Z. B x =

π

4 +kπ,x=

π

6 +k

π

2 vớik ∈Z.

C x = π

4 +k2π,x=

π

6 +k2πvới k∈ Z. D x =

π

4 +k3π,x=

π

6 +k3π vớik∈ Z.

Câu (Học kỳ lớp 11, THPT Lý Thái Tổ - Bắc Ninh, 2018-2019).

Cho phương trìnhcos 2x+cosx =2 Khi đặtt =cosx, phương trình cho trở thành phương trình đây?

A 2t2−t−1=0 B 2t2+t−3=0 C 2t2+t−1=0 D 2t2−t−3=0

Câu (Đề HK1 T11, Đức Thọ, Hà Tĩnh 2018).

Phương trìnhsin2x−4 sinx+3=0có nghiệm

A x=k2π B x =kπ C x = π

2 +kπ D x =

π

2 +k2π

Câu (Đề kiểm tra HK1 lớp 11, chuyên Trần Hưng Đạo, Bình Thuận, năm 2018 - 2019).

Nghiệm phương trình2 sin2x+5 sinx+2=0là

A 

 

x=−π

6 +k2π

x= 7π

6 +k2π

, k∈ Z. B 

 

x=−π

6 +kπ

x= 7π

6 +kπ

, k∈ Z.

C 

 

x=−π

3 +kπ

x= 4π

3 +kπ

, k∈ Z D 

 

x=−π

3 +k2π

x= 4π

3 +k2π

, k∈ Z

Số nghiệm phương trình2 cos2x−3 cosx+1=0thỏa điều kiện0≤x <πlà

A B C D

Câu 9. Nghiệm dương bé phương trình−2 cos2x+5 sinx−1=0là

A x= π

12 B x = 5π

6 C x =

π

6 D x = 3π

2

Tập nghiệm phương trìnhcos 2x−sinx =0được biểu diễn tất điểm đường tròn lượng giác?

A điểm B điểm C điểm D điểm

Câu 11. Giải phương trình2 sin2x+5 sinx+3=0

A x =−π

2 +kπ,k ∈Z. B x =−

π

2 +k3π,k ∈Z.

C x =−π

2 +k2π,k ∈Z. D x =−

π

2 +

kπ

2 ,k∈ Z.

Câu 12 (HKI, Liên trường thành phố Vinh, Nghệ An, năm học 2017-2018).

Số nghiệm phương trình2 cos2x+3 cosx+1=0trên[0; 10π]là

(28)

Câu 13. Giải phương trình

sin2x +3 cotx+1=0

A x=−π

4 +

kπ

2 ,x=arccot(−2) +

kπ

2 ,k∈ Z.

B x=−π

4 +

kπ

3 ,x=arccot(−2) +

kπ

3 ,k∈ Z.

C x=−π

4 +kπ,x =arccot(−2) +kπ,k ∈ Z

D x= π

4 +kπ,x =arccot(2) +kπ,k ∈ Z.

Câu 14. Giải phương trìnhcos 2x−5 sinx−3=0

A x =−π

6 +kπ,x= 7π

6 +kπ,k∈ Z. B x =−

π

6 +k3π,x= 7π

6 +k3π,k∈ Z.

C x =−π

6 +k4π,x= 7π

6 +k4π,k∈ Z. D x =−

π

6 +k2π,x= 7π

6 +k2π,k∈ Z.

Câu 15 (HK1, THPT Đan Phượng Hà Nội, 2018).

Địnhmđể phương trình có nghiệm:

sin6x+cos6x=cos22x+m với <x< π

8

A 0<m<1 B 0<m<2 C 0<m <

8 D 0<m <

Câu 16 (HK1, 2017 - 2018, Nguyễn Trung Ngạn, Hưng Yên).

Tất nghiệm phương trình3 sinx−cos 2x+1=0là

A x =π+k2π,k∈ Z. B x =−π

2 +k2π,k∈ Z.

C x =kπ,k∈ Z. D x =k2π,k∈ Z.

Câu 17 (HK1, 2017 - 2018, Nguyễn Trung Ngạn, Hưng Yên).

Tất nghiệm phương trình3 cotx+tanx−2√3=0là

A x = π

3 +k2π,k∈ Z. B x =

π

6 +k2π,k ∈Z.

C x = π

6 +kπ,k∈ Z. D x =

π

3 +kπ,k ∈Z.

Câu 18 (HK1, Chuyên Hạ Long, Quảng Ninh, năm học 2017-2018).

Tìm nghiệm phương trìnhsin2x+cosx−1=0trong khoảng(0;π)

A x = π

2,x =0,x=π B x =

π

4

C x = π

4,x =

π

2 D x =

π

2

Câu 19 (HK1, Chuyên Trần Phú, Hải Phịng, năm 2018).

Tìm nghiệm âm lớn phương trình2 tanx+3 cotx+5=0

A −5π

4 B −

π

6 C −

π

4 D −

π

3

Câu 20 (Đề TT-THPTQG, Chuyên Biên Hòa, Hà Nam năm học 2018-2019).

Số nghiệm phương trình2 sin22x+cos 2x+1=0trong[0; 2018π]là

A 1008 B 2018 C 2017 D 1009

Câu 21 (HKI, Sở Giáo Dục Đào Tạo Bà Rịa-Vũng Tàu, 2018).

Gọi S tổng nghiệm phương trình (7−2 cos 2x)sin4x−cos4x+3 = khoảng(−π;π) Giá trị củaSlà

A S=0 B S= 5π

(29)

Câu 22. Giải phương trìnhtanx+2 cotx−3=0

A x=±π

4 +k2π,k∈ Z.

B x=±π

4 +kπ,k∈ Z.

C x= π

4 +kπ,x =arctan 2+kπ,k∈ Z.

D x=±π

4 +kπ,x =±arctan 2+kπ,k ∈ Z.

Câu 23. Giải phương trình tanx

1−tan2x =5

A x =arctan 5+kπ,k∈ Z B x =

2arctan 5+kπ,k ∈Z

C x =

2arctan 5+

kπ

2 ,k∈ Z. D x =arctan

2 +kπ,k ∈Z.

Câu 24. Giải phương trình:tanπ +x

−3 tan2x = cos 2x−1

cos2x

A x =−π

4 +k2π(k ∈ Z) B x =−

π

4 +kπ(k∈ Z)

C x =−π

4 D x =

3π

4

Câu 25. Cho phương trình: cos 2x−(2m+1)cosx+m+1 = Tìm mđể phương trình có nghiệmx ∈

π

2; 3π

2

A −1≤m <0 B −1≤m≤0 C −1<m<0 D −1≤m≤1

Câu 26 (Đề thi HK1, lớp 11, Chuyên Trần Hưng Đạo).

Cho phương trìnhcos 2x−(2m−3)cosx+m−1=0 Tìm tất giá trị thực tham số

mđể phương trình có nghiệm thuộc khoảng

π

2; 3π

2

A ≤m <2 B m<2 C m≥1 D m ≤1

Câu 27. Phương trình (3+2 sinx)cosx− 2+cos 2x

sin 2x =1có nghiệm trên[0; 4π]?

A B C D

Câu 28. Tìm tất giá trị tham sốmđể phương trình

sin4x+cos4x−cos 2x+1

4sin

22x+m=0 có nghiệm

A m≤

4 B m<

4 C −2≤m≤0 D −2<m<0

Câu 29. Cho phương trình√5 sinx+cos 2x+2 cosx=0 Tìm mệnh đềđúngtrong mệnh đề sau:

A Phương trình có nghiệm khoảng0;π

B Phương trình có nghiệm khoảng(π; 2π)

C Mọi nghiệmx0của phương trình thỏa mãnsin 3x0=1

D Một họ nghiệm phương trình làx= π

6 +k2π,k∈ Z.

Câu 30. Giải phương trình √

3 cos2x+

4+2 sin 2x

sin 2x −2

√

3=2(cotx+1)

A x=−π

3 +kπ B x =

π

6 +kπ C x =−

π

6 +k2π D x =

π

6 +k

π

(30)

Câu 31. Cho phương trìnhsin24x+ (m2−3)sin 4x+m2−4 = (m tham số) Tìm m để phương trình cho có đúng4nghiệm x∈

3π

2 ; 2π

A −2<m<2 B −2≤m<2 C m =2,m =−2 D −2≤m ≤2

Câu 32 (TT Sở GD Bắc Ninh, 2018). GọiSlà tổng tất nghiệm thuộc[0; 30π]của phương trình2 cos2x+sinx−1=0 Khi giá trị củaSbằng

A S= 1365

2 π B S= 1215

2 π C S =622π D S = 1335

2 π

ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM 1 D

2 A

3 D

4 A

5 B

6 D

7 B

8 A

9 C

10 C

11 C

12 C

13 C

14 D

15 D

16 C

17 D

18 D

19 C

20 B

21 A

22 C

23 C

24 B

25 A

26 A

27 A

28 C

29 C

30 D

31 C

32 A

BÀI

4.

PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI

SIN

X

VÀ

COS

X

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Xét phương trình asinx+bcosx = c, với a2+b2 6= (gọi phương trình bậc

sinxvàcosx)

Cách giải.

•Nếua2+b2 <c2thì kết luận phương trình vơ nghiệm

•Nếua2+b2 ≥c2thì ta làm sau: biến đổi phương trình thành

a

√

a2+b2sinx+

b

√

a2+b2cosx =

c

√

a2+b2 ⇔cosxcosα+sinxsinα= √ c

a2+b2

(với cosα = √ b

a2+b2 sinα =

a

√

a2+b2) ⇔cos(x−α) = √ c

a2+b2(phương trình biết cách giải)

Lưu ý.

Nếu|a| = |c| hoặc|b| = |c| thì ta giải phương trình nhờ đẳng thức lượng giác để đưa phương trình tích(xem tập2ở trang31)

Ta thường dùng công thức sau:

cos(α+β) = cosαcosβ−sinαsinβ

cos(α−β) = cosαcosβ+sinαsinβ

sin(α+β) = sinαcosβ+cosαsinβ

(31)

3 sinx+cosx =2;

1 2 2 sin 3x+√5 cos 3x=−3;

sin 2x−√3 cos 2x =2;

3 4 sin 2x−6 cos2x =13

Lưu ý.Ta thường dùng công thức sau:

1+cosα =2cos2α

2, 1−cosα =2sin

2α

2

3 sinx−2 cosx =2;

1 2 sinx+3 cosx=1 Bài (ĐH Kinh Tế Hà Nội-1997) Tìm nghiệmx∈

2π

5 ; 6π

7

của phương trình:

cos 7x−√3 sin 7x =−√2

Bài Giải phương trình:2 sin(x+π

6) +sinx+2 cosx =3

Bài (ĐH-2007D) Giải phương trình

sin x +cos

x

2

+√3 cosx =2 (*) Bài (ĐH - 2010B - Phần chung) Giải phương trình

(sin 2x+cos 2x)cosx+2 cos 2x−sinx =0 (1) Bài (ĐH - 2010D - Phần chung) Giải phương trình

sin 2x−cos 2x+3 sinx−cosx−1=0

Chú ý Phương trình asinx+bcosx = c có nghiệm a2+b2 ≥ c2 Sử dụng điều kiện có nghiệm phương trìnhasinx+bcosx = cta tìm giá trị lớn giá trị nhỏ số biểu thức, chứng minh số bất đẳng thức

Bài Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số sau:

y= sinx

cosx+3;

1 y = sin

2x

2+sin2x+π

6

2

Bài Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số

y=2 sin2x+π

3

+4 cosxcosx+π

3

Bài 10 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số sau:

a) y=2 sin2(x+π

6) +2 cos

(32)

b) y=2 sin(x+π

6)cos(x+

π

3) +sin 2x;

c) y=sin6x+cos6x+sin 4x

Bài 11 Chứng minh

cos 3x+asin 3x+1 2+cos 3x

≤ 1+ √

1+3a2

3 ,∀x ∈ R

Bài 12 Cho hàm sốy = msinx+1

2+cosx TìmmđểminR y <−1

Bài 13 (ĐH-2008B) Xét hai số thựcx,ythoả mãn hệ thứcx2+y2=1 Tìm giá trị lớn giá trị bé biểu thức

P = x

2+6xy

1+2xy+2y2 Bài 14 Tìm giá trị lớn hàm số

y=|3 cosx+sinx−1|+cosx+sinx

Bài 15 Xét số thực xvàythoả mãn điều kiện36x2+16y2=9 Tìm giá trị lớn giá trị bé biểu thứcP=y−2x+5

1 Đề bài

Câu 1. Một nghiệm phương trình√3 cosx+sinx =−2là

A x =−5π

6 B x =−

π

3 C x=−

π

2 D x=− 2π

3

Câu 2. Tìmmđể phương trình3 sin 2x+mcos 2x =m+2nhận x= π

4 làm nghiệm

A m=1 B m=−1 C m =0 D m =−2

Câu (HKI, Sở GD ĐT Bà Rịa-Vũng Tàu, 2018).

Phương trìnhsinx+√3 cosx=2tương đương với phương trình sau đây?

A sinx+π

3

=1 B sinx−π

3

=1 C cosx+π

3

=1 D cosx− π

3

=1

Câu (Đề TT-THPTQG, Trường THPT Chuyên Biên Hòa, Hà Nam 2018).

Phương trình√3 sinx−cosx=1tương đương với phương trình sau

A sinx−π

6

=

2 B sin

π

6 −x

=

2

C sinx−π

6

=1 D cosx+π

3

=

2

Họ nghiệm phương trình√3 sinx+cosx=0là

A x =−π

6 +kπ,k∈ Z B x =

π

6 +kπ,k ∈Z

C x = π

3 +k2π,k∈ Z. D x =−

π

(33)

Câu 6. Tìm tập nghiệm phương trìnhsinx+√3 cosx =−2

A S=∅ B S=

ß

−5π

6 +k2π

k∈ Z

™

C S=nπ

6 +k2π

k ∈Z

o

D S=

ß

−5π

6 +kπ

k∈ Z

™

Câu 7. Giải phương trìnhsin 3x−cos 3x =−1

A x = 2π

3 +k

π

3,x =−

π

6 +k

π

3 B x =k 2π

3 ,x=

π

6 +k 2π

3

C x =kπ

3,x= 5π

6 +k 2π

3 D x =k 2π

3 ,x=−

π

6 +k 2π

3

Câu 8. Giải phương trìnhsin(x+32◦) +√3 cos(x+32◦) =1

A x=−62◦+k2π,x =58◦+k2π(k ∈Z)

B x=−62◦+k360◦,x =58◦+k360◦(k ∈Z)

C x=60◦+k360◦,x =−58◦+k360◦(k ∈Z)

D x=−62◦+k180◦,x =78◦+k180◦(k ∈Z)

Câu (Đề thi HK1, lớp 11, Chuyên Trần Hưng Đạo).

Tính tổng tất nghiệm phương trình√3 cosx−sinx=1trên[0; 2π]

A 3π

2 B

π

6 C 11π

6 D 5π

3

Tất giá trị tham sốm để phương trìnhmsinx+√3−mcosx = m−1 có nghiệm

A −1≤m ≤1 B m≤3 C −2≤m≤3 D m ≥ −2

Câu 11. Giải phương trìnhsin 2x+2 cos2x=2

A x =kπ B x =kπ, x = π

4 +kπ

C x =k2π, x= π

4 +

kπ

2 D x =k2π, x =

π

4 +kπ

Câu 12. Phương trìnhcos 2x+sin 2x=1tương đương với phương trình sau đây?

A sin2x+π

4

=

√

2

2 B cos

2x+π

4 = √ 2

C sin2x+π

4

=1 D cos2x−π

4

=1

Câu 13 (Đề HK1 T11, THPT Đức Thọ, Hà Tĩnh năm 2018).

TổngTcác nghiệm phương trìnhcos2x−sin 2x=√2+cos2π +x

trên khoảng(0; 2π)

A T = 7π

8 B T = 21π

8 C T = 11π

4 D T = 3π

4

Câu 14 (HK1, Chuyên Trần Phú, Hải Phòng, 2018).

Giải phương trình

sin4x−sin4x+π

2

=4 sinx 2cos

x

2cosx

A x = π

4 +kπ,k ∈Z. B x = 3π

8 +k

π

2,k∈ Z.

C x = 3π

16 +k

π

2,k∈ Z. D x = 3π

4 +kπ,k ∈Z.

Câu 15 (Chuyên Hà Nội Amsterdam 2018).

Tập giá trị hàm sốy=5 sinx−12 cosxlà

(34)

Câu 16. Tập hợp giá trịmđể phương trìnhmsinx+5 cosx =m+1có nghiệm

A (−∞; 12] B (−∞; 24] C [3;+∞) D (−∞; 6]

Có số nguyênmđể phương trình5 sinx−12 cosx =mcó nghiệm?

A 13 B 26 C 27 D Vô số

Câu 18 (HK1 năm học 2017-2018, THPT Chuyên Hà Nội Amsterdam).

Cho hàm số

y = sinx−cosx+

√

2 sinx+cosx+2 ·

Giả sử hàm số có giá trị lớn làM, giá trị nhỏ làN Khi đó, giá trị của2M+Nlà

A 4√2 B 2√2 C D √2

Câu 19. Tìm tất giá trị thực tham sốmđể phương trìnhmcosx+sinx= 1−mcó nghiệm

A m≤0 B m<0 C m ≥0 D m <1

Câu 20. Tìm giá trị thực tham sốmđể phương trìnhmsin 2x+ (m−1)cos 2x=√2m

vơ nghiệm

A m≤

2 B m>

2 C m ≥

2 D m <1

Câu 21. Số nghiệm phương trình2 sin 3x+√3 cos 3x=5là

A B C D vô số

Câu 22. Tìmmđể phương trình2 sinx+mcosx =m+1có nghiệm

A m≤

3 B m≥

2 C m ≤

2 D m ≤

Câu 23. Tìmmđể phương trình5 cos 3x+msin 3x =m−2vô nghiệm

A m< 21

4 B m<− 21

4 C m < 29

4 D m >− 21

4

Câu 24. Gọix1là nghiệm không âm nhỏ nhất, x2là nghiệm âm lớn phương trình

tanx−sin 2x−cos 2x+2

2 cosx−

cosx

=0

Khi tổngS=x1+x2bằng

A π

2 B C D

π

4

Câu 25. Tìm giá trị lớn M, giá trị nhỏ nhấtmcủa hàm số

y= sin 2x+cos 2x

sin 2x−cos 2x+3

A M=

7, m=−1 B M=1,m =−1 C M=1,m =−

7 D M = 7,m =

1

Câu 26. Tìm tất giá trị thực tham sốmđể hàm số

y= msinx+cosx+1

cosx+2

có giá trị nhỏ nhấtyminsao choymin<1

A m∈ R. B m 6=0

C m∈ [−1; 1] D m ∈

"

− √

2 ;

√

2

(35)

ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM 1 A

2 A

3 A

4 A

5 A

6 B

7 D

8 B

9 D

10 C

11 B

12 A

13 C

14 B

15 B

16 A

17 C

18 A

19 C

20 B

21 C

22 C

23 B

24 C

25 A

26 A

D PHƯƠNG TRÌNH DẠNG

A

SIN

X

+

B

COS

X

=

C

SIN

U

+

D

COS

U

, VỚI

A

+

B

=

C

+

D

Cách giải.Chia hai vế cho√a2+b2để đưa phương trình bản. Bài 16 (Đề thi Cao đẳng 2008ABD)

sin 3x−√3 cos 3x=2 sin 2x

Bài 17 Giải phương trình:

a) sinx−5 cosx =sin 2x+5 cos 2x;

b) cosx−√3 sinx =sin 3x−√3 cos 3x;

c) cosx+sin 2x =√3 sinx+√3 cos 2x Bài 18 (Đề ĐH-2009A-Phần chung) Giải phương trình

(1−2 sinx)cosx

(1+2 sinx)(1−sinx) =

√

3 (*)

Bài 19 (ĐH-2009B-Phần chung) Giải phương trình

sinx+cosxsin 2x+√3 cos 3x =2(cos 4x+sin3x) (*) Bài 20 Giải phương trình

2 cos 6x+2 cos 4x−√3 cos 2x= sin 2x+√3

Bài 21 (ĐH-2012A) Giải phương trình √

3 sin 2x+cos 2x=2 cosx−1

Bài 22 Giải phương trình sin2x+sinxcos 4x+cos24x =

4

Bài 23 (T6/489 Toán học & tuổi trẻ số 489, tháng năm 2018) Giải phương trình

1−√2 sinx(cos 2x+sin 2x) =

(36)

BÀI

5.

PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI ĐỐI VỚI

SIN

X

VÀ

COS

X

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Xét phương trình asin2x+bsinxcosx+ccos2x =d, với a,b,c,d số

a2+b2+c2 6= Khi d = 0, phương trình gọi phương trình (đẳng cấp) bậc hai đối vớisinxvàcosx

Cách giải.

Kiểm tra xemcosx=0 x= π

2 +kπ

có thoả mãn phương trình hay khơng? Khicosx6=0,chia hai vế phương trình chocos2x,đưa phương trình bậc

hai theotanx

Chú ý Phương trình đẳng cấp bậc3là phương trình có dạng sau: •Dạng tắc:

asin3x+bsin2xcosx+csinxcos2x+dcos3x=0

•Dạng mở rộng (hay cịn gọi phương trình bậc 3-1):

asin3x+bsin2xcosx+csinxcos2x+dcos3x+ (msinx+ncosx) =0

Nhận xét Tương tự, bạn đọc đưa cách giải phương trình đẳng cấp bậc ba đối vớisinxvàcosx Cịn phương trình bậc3−1, cách thay

m=m(sin2x+cos2x), n=n(sin2x+cos2x)

ta đưa phương trình đẳng cấp bậc3(xem tập 3b)

Nhận xét Ta cịn giải phương trình đẳng cấp bậc hai đối vớisinxvàcosxbằng cách sử dụng công thức:

sin2α = 1−cos 2α

2 , cos

2

α = 1+cos 2α

2 , sinαcosα= 2sin 2α

để đưa phương trình cho phương trình bậc theosin 2xvàcos 2x

a) cos2x−3 sinxcosx−2 sin2x−1=0;

b) 3sin23x−4 sin 3xcos 3x+2cos23x=3

Bài Giải phương trình (3 sin 2x+cos 2x) (cos 2x−2 sin 2x) =1 Bài Giải phương trình sau:

a) sin3x−√3 cos3x=sinxcos2x−√3 sin2xcosx (Đề ĐH-2008B);

(37)

a) sin 2x+sin2x=

2;

b) sin2x+3 sinxcosx+cos2x=0;

c) sin2x

2 +sinx−2 cos

2 x

2 =

Bài (ĐH An Ninh-1998) Giải phương trình sau: √

3 sinx+cosx =

cosx;

1 2 sinx+6 cosx= cos1x Bài (Dự bị ĐH-2005A) Giải phương trình

2√2 cos3x−π

4

−3 cosx−sinx=0 (1) Bài Giải phương trình

√

2 sin3x+π

4

=2 sinx;

1 sin3x− π

4

=√2 sinx 2

Bài Giải phương trình:1+3 tanx−2 sin 2x =0

1 Đề bài

Câu 1. Số nghiệm phương trìnhsin2x−sin 2x+cos2x=0, đoạn[0; 2π]là

A B C D

Câu 2. Giải phương trình2 sin2x−3 sinxcosx+cos2x=0

A x= π

4 +kπ, x =arctan

1

+kπ(k ∈Z)

B x= π

4 +kπ, x =

π

2 +kπ(k ∈ Z)

C x= π

4 +kπ (k∈ Z)

D x= π

2 +kπ, x =arctan 2+kπ(k ∈Z)

Câu 3. Tìm tập nghiệm phương trìnhsin 2x+2 cos2x=2

A S=∅ B S=

n

kπ,π

4 +kπ

k ∈Z

o

C S=nπ

4 +k2π

k ∈Z

o

D S=

ß

−5π

6 +kπ

k∈ Z

™

Câu (Đề thi HK1, lớp 11, Chuyên Trần Hưng Đạo).

Gọix0 nghiệm dương nhỏ phương trình3 sin2x+2 sinxcosx−cos2x =0 Chọn khẳng định

A x0 ∈

0;π

B x0 ∈

3π

2 ; 2π

C x0 ∈

π

2;π

D x0∈

π;3π

2

Câu 5. Giải phương trình2 sin2x+3√3 sinxcosx−cos2x=4

A x = π

4 +kπ(k∈ Z) B x =

π

2 +kπ(k ∈Z)

(38)

Câu 6. Cho phương trìnhsin2x+sin 2x−2 cos2x=

2 Hãy tìm nghiệm dương nhỏ

A arctan(−5) B arctan(−5) +π C π

4 D 3π

4

Tìm tập nghiệm phương trình2 sin2x+3 sinxcosx+5 cos2x =2

A

ß

−π

4 +k2π;

π

2 +kπ,k∈ Z

™

B

ß

−π

4 +kπ;

π

2 +kπ,k∈ Z

™

C

ß

−π

4 +k2π,k∈ Z

™

D

ß

−π

4 +kπ,k ∈Z

™

Câu (Toán học Tuổi trẻ lần 6, Số tháng 3-2018).

Với giá trị lớn củaabằng để phương trìnhasin2x+2 sin 2x+3acos2x =2có nghiệm?

A B 11

3 C D

Câu 9. Cho phương trình sin2x+4 sin 2x+ (8√3−9)cos2x = Hãy tìm nghiệm âm lớn

A arctan

−8

3 +

√

3

B −π

3

C −4π

3 D arctan

−8

3 +

√

3

+π

Câu 10. Cho phương trìnhsin2x+sin 2x+cos2x=0 Khẳng định sau đâyđúng?

A Phương trình vơ nghiệm B Phương trình có nghiệm

C Phương trình có hai nghiệm D Phương trình có vơ số nghiệm

Câu 11. Phương trình2 sin2x−5 sinxcosx−cos2x+2 =0có tập nghiệm với phương trình số bốn phương trình sau?

A sin2x−5 sinxcosx−cosx =0 B sin2x+5 sinxcosx+cos2x =0

C tan2x−5 tanx+1 =0 D sin 2x+3 cos 2x=2

Câu 12. Nghiệm phương trìnhsin3x+3 cos3x+sinx=0là

A x =−π

2 +kπ B x =−

π

4 +kπ C x=−

π

4 +k2π D x=−

π

8 +kπ

Câu 13. Tìm tất giá trị củamđể phương trình sau có nghiệm

sin2x−sinxcosx−2 cos2x=m

A −√10≤m≤√10 B − √

10+1

2 ≤m ≤

√

10−1

C m≤√10 D m ≤ √

10−1

1 D

2 A

3 B

4 A

5 C

6 C

7 B

8 D

9 A

10 D

11 C

12 B

13 B

(39)

BÀI

6.

SỬ DỤNG CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI ĐỂ GIẢI PHƯƠNG

TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Việc sử dụng cơng thức biến đổi nhằm đưa phương trình cho phương trình tích các phương trình biết cách giải.

A CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH

cosa+cosb =2 cos a+b cos

a−b

2 ; cosa−cosb =−2 sin

a+b

2 sin

a−b

2 ; sina+sinb =2 sin a+b

2 cos

a−b

2 ; sina−sinb=2 cos

a+b

2 sin

a−b

2

Chú ý Khi nhóm số hạng chứa sin (hoặc cơsin) góc với nhau, cần để ý đến góc cho tổng hiệu góc để làm xuất nhân tử chung Bài Giải phương trình

sinx+sin 2x+sin 3x =1+cosx+cos 2x

Bài (ĐH-2012D) Giải phương trình

sin 3x+cos 3x−sinx+cosx =√2 cos 2x (1) Bài Giải phương trìnhsinx+sin 2x+sin 3x=cosx+cos 2x+cos 3x

Bài (ĐH Nơng Lâm TPHCM-2001) Giải phương trình

1+cosx+cos 2x+cos 3x=0

Bài (ĐH Đà Nẵng-Khối B-1997) Giải phương trình

sin 3x−sinx+sin 2x=0

Bài (ĐH 2007B) Giải phương trình

2 sin22x+sin 7x−1=sinx (*)

B CƠNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG

cosacosb =

2[cos(a+b) +cos(a−b)]; sinasinb=−1

2[cos(a+b)−cos(a−b)]; sinacosb=

2[sin(a+b) +sin(a−b)]; cosasinb=

(40)

Bài Giải phương trình

cos 11x cos 3x =cos 17x cos 9x;

1 2 sin 18x cos 13x=cos 4x sin 9x

Bài (ĐH-2005A) Giải phương trìnhcos23xcos 2x−cos2x=0 (1)

Bài (Đề ĐH-2009D-Phần chung) Giải phương trình √

3 cos 5x−2 sin 3xcos 2x−sinx =0

C CÔNG THỨC HẠ BẬC, NÂNG CUNG

sin2a = 1−cos 2a

2 ; cos

2

a= 1+cos 2a

2

Lưu ý. Sau dùng công thức hạ bậc, ta thường dùng công thức biến đổi tổng thành tích mụca)

Bài 10 (ĐH-2002B) Giải phương trình:sin23x−cos24x =sin25x−cos26x

Bài 11 (Dự bị ĐH-2008B) Giải phương trình:

3 sinx+cos 2x+sin 2x =4 sinxcos2 x

2 (1)

D BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

1 Đề bài

Câu 1. Phương trình cos 2x+2 cosx = sin2 x

2 có nghiệm nằm khoảng

π

3; 19π

3

?

A B C D

Câu 2. Giải phương trìnhcos 3x+cos 2x−cosx−1=0

A x =k2π B x = k2π

3

C x =k2π,x = 2π

3 +k2π D x =kπ,x =

k2π

3

Câu 3. Giải phương trìnhsin 3x+cos 2x−sinx=0

A x= π

4 +

kπ

2 ,x = 7π

6 +k2π (k ∈Z)

B x= π

4 +

kπ

2 , x=−

π

6 +k2π, x = 7π

6 +kπ (k∈ Z)

C x= π

4 +

kπ

2 , x=−

π

6 +k2π, x = 7π

6 +k2π (k∈ Z)

D x= π

4 +kπ, x =−

π

6 +kπ, x= 7π

6 +k2π (k ∈Z)

Câu 4. Giải phương trình:4sin4x+cos4x+cos 4x+sin 2x=0

A x =−π

4 +kπ B x =−

π

2 +k2π C x=

π

4 +kπ D x=−

π

4 +k2π

Câu 5. Giải phương trình:cos4x+sin4x+cosx−π

4

sin3x−π

4

−3

2 =0

A x = π

4 +kπ B x =−

π

4 +k2π C x=

π

4 +k3π D x=−

π

4 +

kπ

(41)

Câu 6. Tính tổng tất nghiệm đoạnh−π

2; 2π

i

của phương trình:

2 cos6x+sin6x−sinxcosx

√

2−2 sinx =0

A 3π

4 B

π

4 C 5π

4 D 3π

2

ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM 1 C 2 D 3 C 4 A 5 A 6 C

BÀI

7.

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ DẠNG TÍCH

Trong đề thi tuyển sinh vào Đại học, Cao đẳng năm gần đây, đa số toán giải phương trình lượng giác rơi vào hai dạng: Phương trình đưa dạng tích phương trình chứa ẩn mẫu Để đưa phương trình cho phương trình tích điều quan trọng là làm để phát nhân tử chung nhanh Bạn đọc nên xem lại ý6ở trang20và tập

10ở trang19để có định hướng tốt trình giải tập.

Bài (ĐH-2005B) Giải phương trình

1+sinx+cosx+sin 2x+cos 2x=0 (1) Bài (Dự bị ĐH-2006B) Giải phương trình

cos 2x+ (1+2 cosx)(sinx−cosx) =0 (1) Bài (Dự bị ĐH-2006B) Giải phương trình

(2 sin2x−1)tan22x+3(2 cos2x−1) =0 (1) Bài (Dự bị thi ĐH-2006A) Giải phương trình

2 sin2x−π

6

+4 sinx+1=0 (1) Bài (ĐH-2008D) Giải phương trình

2 sinx(1+cos 2x) +sin 2x =1+2 cosx (1) Bài (Dự bị ĐH-2005D) Giải phương trình

sin 2x+cos 2x+3 sinx−cosx−2 =0 (1) Bài Giải phương trình:4 sinx+ π

3

(42)

Bài (Dự bị ĐH-2007B) Giải phương trình

sin

5x

2 −

π

4

−cosx −

π

4

=√2 cos3x

2 (1)

Bài (ĐH-2011B) Giải phương trình

sin 2xcosx+sinxcosx=cos 2x+cosx+sinx (1) Bài 10 Giải phương trình

sin 3x−3 sin 2x−cos 2x+3 sinx+3 cosx−2=0

Bài 11 Giải phương trình

sin 2x(cosx+3)−2√3 cos3x−3√3 cos 2x+8(√3 cosx−sinx)−3√3=0

Bài 12 Giải phương trình 1−4sin2x

sin 3x=

2 (1)

1 Đề bài

Tìm số điểm phân biệt biểu diễn nghiệm phương trìnhsin 2x−cosx =0trên đường tròn lượng giác

A B C D

Câu (THPT Đức Thọ, Hà Tĩnh 2018).

Phương trìnhcosx(2 sinx+1) =0có nghiệm

A x = π

2 +kπ B



 

x=−π

6 +k2π

x=−7π

6 +k2π

C 

     

x= π

6 +k2π

x= 7π

6 +k2π

x= π

2 +k2π

D



     

x=−π

6 +k2π

x= 7π

6 +k2π

x= π

2 +kπ

Câu 3. Tập nghiệm phương trìnhsin 2x−cosx =0là:

A

ß

π

2 +kπ,

π

6 +k2π, 5π

6 +k2π,k ∈Z

™

B nπ

2 +kπ,

π

6 +2kπ,k ∈Z

o

C nπ

6 +2kπ,k∈ Z

o

D nπ

6 +k4π,k∈ Z

o

Câu (HK1, Đức Thọ, Hà Tĩnh 2018).

Phương trìnhsin2x−cosx−1 =0có nghiệm

A 



x=π+k2π

x= π

2 +k2π

B 



x=π+k2π

x= π

2 +kπ

C x=π+k2π D x= π

(43)

Câu (TT lần – chuyên Bắc Ninh - 2018).

Giải phương trìnhsin 2x=cos4x −sin

4x A   

x= π

6 +k 2π

3

x= π

2 +k2π

(k ∈Z) B 

 

x= π

4 +k

π

2

x= π

2 +kπ

(k ∈Z)

C 

 

x= π

3 +kπ

x= 3π

2 +k2π

(k∈ Z) D 

 

x= π

12+k

π

2

x= 3π

4 +kπ

(k∈ Z)

Câu (Sở GD & ĐT Bình Định năm học 2017-2018).

Nghiệm dương nhỏ phương trình:sinx−cosx+sin 2x =2 cos2xlà

A x= π

6 B x = 2π

3 C x =

π

4 D x =

π

3

Câu 7. Số nghiệm phương trìnhcosx(1−cos 2x)−sin2x=0trong đoạn[0;π]là

A B C D

Câu 8. Giải phương trình:1+tanx=2(sinx+cosx)

A x =−π

4 +k2π,x=±

π

3 +k2π(k∈ Z). B x =−

π

4 +kπ,x=±

π

3 +k2π(k∈ Z).

C x =±π

3 +k2π(k ∈Z). D x =−

π

4 +kπ,x=±

π

3 +kπ (k∈ Z).

Câu 9. Giải phương trình:√2(sinx−2 cosx) = 2−sin 2x

A x = 3π

4 +k2π, x =− 3π

4 +k2π B x = 3π

4 +kπ

C x = 3π

4 +kπ, x=− 3π

4 +k2π D x =− 3π

4 +kπ

Câu 10. Giải phương trình:(2 cosx−1)(2 sinx+cosx) =sin 2x−sinx

A x =−π

4 +k2π (k ∈ Z) B x =±

π

3 +k2π (k ∈ Z)

C x =±π

3 +k2π, x =−

π

4 +kπ (k∈ Z) D x =

π

3 +k2π, x=−

π

4 +kπ (k∈ Z)

Câu 11. Giải phương trình4 sin3x+4 sin2x+3 sin 2x+6 cosx =0

A x = 2π

3 +k2π B x =−

π

2 +k2π,x=± 2π

3 +k2π

C x =±2π

3 +k2π D x =−

π

2 +k2π

Câu 12 (HK1, Lí Thái Tổ - BN, 2018). Cho phương trình

(2 sinx−1)(2 cos 2x+2 sinx+m) =3−4 cos2x

Có giá trị tham sốm nguyên thuộc (−7; 2) để phương trình có hai nghiệm trên[0;π]?

A B C D

Câu 13 (HK1, Lí Thái Tổ - BN, 2018). Cho phương trình cosx(1−2 sinx)

2 cos2x−sinx−1 = √

3 Tính tổng tất nghiệm phương trình trên[0; 101]

A 808π

3 B

2019π

2 C

475π

2 D

2018π

3

Câu 14. Giải phương trình2 sinx+ π

3

−sin2x− π

6

=

2

A x = 2π

3 +k2π B x =

π

2 +k2π

C x = 2π

3 +k2π, x =

π

2 +k2π D x = 2π

3 +kπ, x=

π

(44)

Câu 15. Giải phương trình:

sin 3x+2 cos 2x=3+4 sinx+cosx(1+sinx)

A x =−π

2 +kπ, x=π+k2π B x =−

π

2 +kπ

C x =−π

2 +k2π, x=π+k2π D x =

kπ

2

Câu 16 (Thi thử THPTQG 2018, lần 2, Kinh Môn, Hải Dương).

Cho phương trình sin2018x+cos2018x = 2sin2020x+cos2020x Tính tổng nghiệm phương trình khoảng(0; 2018)

A

1285

2

π B 6432π C 6422π D

1285

2 π

ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM 1 D

2 D

3 A

4 B

5 A

6 C

7 B

8 B

9 A

10 C

11 B

12 C

13 A

14 D

15 C

16 D

BÀI

8.

MỘT SỐ PHÉP ĐẶT ẨN PHỤ THÔNG DỤNG

A PHÉP ĐẶT ẨN PHỤ

U

=

SIN

X

+

COS

X

,

VỚI ĐIỀU KIỆN

|

U

| ≤

√

2.

Một số biểu thức tính theounhư sau:

(1) sinxcosx= u

2−1

2 , sin 2x=u

2−1,

(2) sin3x+cos3x= (sinx+cosx) (1−sinxcosx) =u

1−u 2−1

2

,

(3)

sinx +

1 cosx =

sinx+cosx

sinxcosx =

2u u2−1, (4) tanx+cotx=

u2−1

Lưu ý.Hãy tương tự cho phép đặt ẩn phụ

u=sinx−cosx=√2 sin(x−π

4)

Bài (ĐH Huế 2000-D) Giải phương trình:

(45)

Bài Giải phương trình:|sinx−cosx|+4 sin 2x=1

Bài Giải phương trình:sin3x+cos3x+sin 2x =1 (∗)

Bài (Dự bị thi ĐH-2006D) Giải phương trình:

sin3x+cos3x+2 sin2x=1 (1) Bài (Đề ĐH-2007A) Giải phương trình:

(1+sin2x)cosx+ (1+cos2x)sinx =1+sin 2x (1)

Bài Giải phương trình √1

2cotx+

sin 2x

sinx+cosx =2 sin

x+π

2

Bài Giải phương trình2(tanx−sinx) +3(cotx−cosx) +5 =0

Bài Giải phương trình √1+sinx+√1+cosx=1 Bài Giải phương trình

2+ (2+sin 2x)

1 sinx +

1

cosx +tanx+cotx

=0

B PHÉP ĐẶT ẨN PHỤ

U

=

SIN

X

COS

X

=

1

2

SIN 2

X

(KHI ĐÓ

|

U

| ≤

1

2

)

Khi số biểu thức sau tính theou:

(1) (sinx+cosx)2 =1−2u;

(2) sin4x+cos4x = sin2x+cos2x2

−2 sin2xcos2x=1−2u2;

(3) sin6x+cos6x = sin2x+cos2x3

−3 sin2xcos2x sin2x+cos2x

=1−3u2;

(4) sin8x+cos8x =sin4x+cos4x2−2 sin4xcos4x=1−4u2+2u4 (5) cos22x=1−sin22x =1−4u2;

(6) cos 4x =1−2 sin22x=1−8u2;

(7) cos 8x =2 cos24x−1=2(1−8u2)2−1

Chú ý 10 Trong nhiều tập, để ngắn gọn ta đặt

u=2 sinxcosx =sin 2x

Bài 10 Giải phương trìnhsin6x+cos6x+sin 2x =1 (1)

(46)

C PHÉP ĐẶT ẨN PHỤ

T

=

TAN

X

+

COT

X

t = sinx

cosx +

cosx

sinx =

1

sinxcosx =

2 sin 2x

t2=tan2x+cot2x+2≥2ptan2xcot2x+2⇒t2 ≥4⇒ |t| ≥2.

t3=tan3x+cot3x+3 tanx+3 cotx

Bởi vậy: 2

sin 2x =t

tan2x+cot2x=t2−2 tan3x+cot3x=t3−3t cot22x =

sin22x−1= t2

4 −1

Nhận xét Hãy tương tự cho phép đặt ẩn phụt =tanx−cotx Bài 12 (ĐH An ninh Cảnh sát-1997)

Giải phương trình:

tanx+cotx =4

tan2x+cot2x+3 tanx+3 cotx+4 =0 (1) Bài 14 Giải phương trình: cot22x+cot3x+tan3x=2

Bài 15 Giải phương trình:√3+tanx+√3+cotx =4 Bài 16 Giải phương trình

2√3

3 (tanx−cotx) = tan

2x+cot2x−2.

Bài 17 Giải phương trình |2 tanx−1|+|2 cotx−1| =2 (1)

D PHÉP ĐẶT ẨN PHỤ

T

=

TAN

X

2

Nếut = tan x

2 thìsinx = 2t

1+t2, cosx =

1−t2

1+t2 Với phép đặt ta chuyển phương trình lượng giác thành phương trình đại số

Bài 18 Chứng minh nếut =tan x sinx= 2t

1+t2, cosx=

1−t2

1+t2 Từ giải phương trình sinx+cosx=1+cotx

2 (1)

Bài 19 Giải phương trình sinx+cosx =3+tanx

Nhận xét Khi giải phương trình có điều kiện đặt t = tan x

2 tiện lợi cách

khác

(47)

E BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

1 Đề bài

Câu 1. Tìmmđể phương trìnhsin 5x+cos 5x=m−1vơ nghiệm

A

m ≥1+√2

m ≤1−√2 B

m >1+√2

m <1−√2

C 1−√2≤m≤1+√2 D √2≤m≤√2

Câu (Đề thi HK1, THPT Chuyên Thái Nguyên, 2019).

Nghiệm âm lớn phương trìnhsinx+cosx =1−1

2sin 2xlà

A −3π

2 B −2π C −

π

2 D −π

Câu (Đề thi HKI, THPT Việt Đức, Hà Nội).

Gọix0là nghiệm phương trình|sinx−cosx|+4 sin 2x=1thìsin 2x0bằng bao nhiêu?

A B C 7π

12 D −1

Câu 4. Tìmmđể phương trìnhsinx+cosx=m+sin 2xcó nghiệm

A m≤

4 B m>

5

C −√2+1 ≤m≤

4 D −

√

2−1≤m≤

4

Câu 5. Xét số thựcasao chosina≥0, 5vàalà nghiệm phương trình3 sinx+2 cosx =1 Tínhtana

2

A tan a

2 =2+

√

3 B tana =

3−√3

3 C tan

a

2 =

3−2√3

3 D tan

a

2 =

3+2√3

Câu 6. Giải phương trình sinx+|3 cosx−1| =4

A x=2 arctan3

2+2mπ (m∈ Z)

B x=arctan3

2+mπ (m∈ Z)

C x=π+k2π, x =arctan3

2 +mπ (k∈ Z,m ∈Z)

D x=π+k2π, x =2 arctan3

2 +2mπ (k ∈ Z,m ∈Z)

Câu (Đề KSCL Toán 12 lần năm 2017 - 2018, Phan Chu Trinh, Đắk Lắc).

Tổng nghiệm phương trìnhsinxcosx+|sinx+cosx| =1trên khoảng(0; 2π) bao nhiêu?

A 2π B 4π C 3π D π

1 B 2 A 3 A 4 D 5 D 6 D 7 C

(48)

BÀI

9.

PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU VÀ PHƯƠNG PHÁP KẾT

HỢP NGHIỆM

Với loại phương trình giải khơng cẩn thận dễ dẫn đến lấy thừa thiếu nghiệm Điều quan trọng để giải dạng đặt điều kiện kiểm tra điều kiện xác định Thông thường ta hay dùng đường trịn lượng giác phương trình nghiệm nguyên để loại nghiệm Một phương pháp hiệu kết hợp điều kiện, loại nghiệm bước biến đổi, bạn đọc theo dõi phương pháp thông qua lời giải tập 3,??, 5, 7,

Bài Giải phương trình: 1+cos 2x

cosx =

sin 2x

1−cos 2x

Bài (ĐH-2011D) Giải phương trình:

sin 2x+2 cosx−sinx−1

tanx+√3 =0 (1)

Bài (Dự bị ĐH-2008A) Giải phương trình:

tanx=cotx+4 cos22x (1) Bài Giải phương trình:cos 2x1+tanxtan x

2

+tanx=2 sinx+1

Bài (Đề dự bị ĐH-2005D) Giải phương trình

tan

3π

2 −x

+ sinx

1+cosx =2 (1)

Bài (ĐH-2003A) Giải phương trình

cotx−1= cos 2x

1+tanx +sin

2x−1

2sin 2x (1)

Bài (Đề dự bị ĐH-2007A) Giải phương trình:

sin 2x+sinx−

2 sinx−

1

sin 2x =2 cot 2x (1)

Bài (ĐH-2003B) Giải phương trình:

cotx−tanx+4 sin 2x =

sin 2x (1)

Bài (ĐH - 2011A, Phần chung) Giải phương trình

1+sin 2x+cos 2x

1+cot2x =

√

2 sinxsin 2x (1) Bài 10 Giải phương trình2 sin2(x−π

4) =2 sin

2x−tanx. Bài 11 (ĐH-2003D) Giải phương trình:

sin2x −

π

4

tan2x−cos2 x

(49)

tanx+cot 2x =

√

2(cosx−sinx)

cotx−1

Bài 13 Giải phương trình sin

4x+cos4x

sin 2x =

1

2(tanx+cotx)

2 sin 2x +

1 sinxsin

3x−3π

2

=4+8 cos 2x

Bài 15 Giải phương trình: 5+cos 2x

3+2 tanx =2 cosx

Bài 16 Giải phương trình

cotx=tanx+2 cos 4x

sin 2x (1)

Khi kết hợp điều kiện phương trình nghiệm ngun (khơng sử dụng đường trịn lượng giác) để có định hướng tốt, ta thường sử dụng kết sau

Định lí Giả sử a,b,c là số nguyên,a 6= 0,b 6= 0, dlà ước chung lớn của avàb Khi đó phương trình(ẩn làx ∈Z,y∈ Z) ax+by=ccó nghiệm khidlà ước củac.

Định lí Nếu(x0;y0)là nghiệm nguyên phương trình

ax+by=c (vớia,b,clà số nguyên,a 6=0,b 6=0,(a,b) =1) thì nghiệm nguyên xác định theo cơng thức:

ß

x =x0−bt

y=y0+at (t∈ Z)

Chứng minh.Vì cặp(x0;y0)là nghiệm nguyên phương trìnhax+by=cnên

ax0+by0 =c (1) Xét cặp số nguyên(x0−bt;y0+at) (t∈ Z), ta có

a(x0−bt) +b(y0+at) = ax0+by0

theo(1) = c

Suy ra(x0−bt;y0+at)là nghiệm ax+by = c, với mọit ∈ Z Đảo lại, giả sử (x1;y1) nghiệm phương trình ax+by = c, nghĩa ax1+by1 = c Trừ đẳng thức vào đẳng thức (1) ta

a(x1−x0) = b(y0−y1) (2) Từ (2) cóa(x1−x0) b, mà(a,b) =1nên(x1−x0) b, hay tồn tai số nguyêntsao cho

x1−x0 =−tb Từ (2) ta có:

b(y0−y1) = −tab ⇒y0−y1 =−ta Vậy

ß

x1 =x0−bt

y1=y0+at, ta có điều phải chứng minh

(50)

Từ định lí 2, suy để giải phương trình Điơphăng bậc nhất, ta cần tìm nghiệm riêng(x0;y0), nghiệm có dạng:

ß

x =x0−bt

y=y0+at (t∈ Z) (*)

Để cho dễ nhớ hơn, ta để ý rằng

ß

x =x0−bt

y =y0+at (t ∈R)

chính phương trình tham số đường thẳng ax+by = c mặt phẳng toạ độ

Oxy Bởi vậy(∗) cho ta tất nghiệm ngun phương trình Điơphăng bậc

ax+by =c

Bài 17 (ĐH GTVT Hà Nội-96) Giải phương trình

cos 3xtan 5x =sin 7x (1) Bài 18 Giải phương trình:cos 3xtan 7x =sin 11x (1)

Bài 19 Giải phương trình:cos25x−cos22x+1=0 (1)

Bài 20 Giải phương trình sin 3xcos 5x =1 Bài 21 Giải phương trình sin x

3 sin

x

5 =0

Bài 22 Giải phương trình sin 7x+cos 2x=−2

1 Đề bài

Câu 1. Phương trình cos 4x

cos 2x =tan 2xcó nghiệm thuộc khoảng

0;π

?

A B C D

Câu 2. Giải phương trình sin

22x+6 sin2x−9−3 cos 2x

cosx =0

A ±π

3 +kπ B

π

3 +k2π

C −π

3 +k3π D

π

3 +kπ, x =

π

2 +kπ

Câu 3. Số nghiệm phương trình sinxcosxcos 2x

cosx+1 =0thuộc đoạn[−3π; 3π]là

A 21 B 23 C 25 D 20

Câu 4. Giải phương trình: sin 2x+cosx− √

3(cos 2x+sinx)

2 sin 2x−√3 =0

A x = π

2 +k2π, x=−

π

6 +k2π (k∈ Z) B x =

π

6 +k2π, x=

π

2 +

k2π

3 (k∈ Z)

C x = π

2 +

k2π

3 (k ∈Z) D x =−

π

6 +k2π (k∈ Z)

Câu 5. Phương trìnhtan 3xtan 2x =1có nghiệm thuộc khoảng(0; 2π)?

A B C D 10

Câu 6. Tính số nghiệm đoạn [0; 2π]của phương trìnhcos 3xtan 7x =sin 11x

(51)

(52)

1 A 2 A 3 A 4 A 5 B 6 C

BÀI

10.

MỘT SỐ BÀI TOÁN SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ

Bài Giải phương trình sin4x+cos7x =1

Bài Giải phương trình:sinx+2 sin 2x+3 sin 3x+4 sin 4x=10 (1)

Bài Giải phương trình cosx+3 cos 3xcos 5x =4 Bài Giải phương trình (sinx+cosx)4 =5−sin22x

Bài Giải phương trìnhsin2xsin 5x−cos2xcos 5x =1 (1)

Bài Giải phương trình:3sin4x+2cos23x+cos 3x=3cos4x−cosx+1

1 Đề bài

BÀI

11.

SỬ DỤNG LƯỢNG GIÁC ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT

PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ

A DẤU HIỆU ĐỂ LƯỢNG GIÁC HĨA BÀI TỐN

|a| ≤1, ta đặt x = |a|sintvới −π

2 ≤t ≤

π

2 hoặcx=|a|costvới0≤t ≤π

Nếu toán chứa √x2−a2, hay điều kiện −1 ≤ |a|

x ≤ 1, ta đặt x =

|a|

sint với t∈ h−π

2;

π

2

i

\ {0}hoặcx = |a|

cost vớit∈ [0; π]\

nπ

2

o

Nếu toán chứa√a2+x2 có thể đặtx = |a|tantvới t ∈ −π

2;

π

2

hoặcx = |a|cott

vớit∈ (0; π) Nếu toán chứa

…

a+x a−x

…

a−x

a+x đặtx=acos 2t

Nếu tốn chứap

(53)

Lợi phương pháp lượng giác hóa đưa phương trình ban đầu phương trình lượng giác cơ biết cách giải phương trình đẳng cấp, đối xứng điều kiện nhận loại nghiệm cũng dễ dàng nhiều Vì lượng giác hàm tuần hồn nên ta ý đặt điều kiện biểu thức lượng giác cho khai khơng có dấu trị tuyệt đối, có nghĩa ln dương.

Bài Giải phương trình p1+√1−x2 =x1+2√1−x2. Bài Giải phương trình √1−x2 = x

4x2−1 Bài (Đề thi thức Olympic 30/04/2011) Giải phương trình sau tập số thực

»

1+p1−x2h»(1+x)3−»(1−x)3i =2+p1−x2. (1) Bài Giải phương trình 2x2+√1−x+2x√1−x2=1. (1) Bài Giải phương trình2x+ (4x2−1)√1−x2 =4x3+√1−x2.

Bài Giải phương trình √x2+1+ x 2+1

2x =

(x2+1)2

2x(1−x2) Bài (Đề nghị Olympic 30/04/2003-toán 10)

4x3−3x=p1−x2.

Bài Giải hệ phương trình

®

xp1−y2 =0, 25

y√1−x2 =0, 25.

Bài Giải biện luận phương trình sau theo tham sốa: √

a+x+√a−x =a (1) Bài 10 Tìm giá trị tham sốađể bất phương trình sau có nghiệm:

√

a−x+√a+x >a (1) Bài 11 Tìmmđể bất phương trình sau với mọix ∈ [−1; 8]

√

1+x+√8−x−p8+7x−x2 ≤m. (1)

1 Đề bài

(54)

BÀI

12.

BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

sinx ≥a, cosx ≥a, tanx≥ a, cotx ≥a, sinx ≤a, cosx ≤a, tanx≤ a, cotx ≤a

(trong đóalà số thực) Phương pháp giải trình bày thơng qua tốn cụ thể

Bài Giải bất phương trìnhsinx >0, Bài Giải bất phương trìnhcosx >

2

Bài Giải bất phương trìnhtanx <1

Bài Giải bất phương trìnhcos(2x+1) ≥

2

Bài Giải bất phương trìnhsin(3−5x) <

√

2

(55)

ÔN TẬP CHƯƠNG

A BỘ ĐỀ SỐ 1

1 Đề bài

Câu 1.

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vng góc Oxy cho đường trịn đơn vị(đường trịn tâmO(0; 0), bán kính

R = 1) Với số thựcα, ta xác định điểm M(x;y) đường tròn đơn vị cho (OA,OM) = α hình vẽ Mệnh đề sau làsai?

A sinα=OK

B cosα =OH

C tanα= OH

OK (K 6≡O)

D cotα = OH

OK (K6≡O)

Câu 2. Tìm tập xác định hàm sốy =sin1

x +2x

A D = [−2; 2] B D = [−1; 1]\ {0}

C D =R D D =R\ {0}

Câu 3. Tìm tập xác định hàm sốy =2 cotx+sin 3x

A D =R\nπ

2 +kπ

o

B D =R\ {kπ}

C D =R\

ß

kπ

3

™

D D =R

Câu 4. Tìm tập xác định hàm sốy =cos√x

A D= [0; 2π] B D = [0;+∞) C D =R. D D=R\ {0}

Câu 5. Tìm tập giá trịTcủa hàm sốy=sin 2x

A T = [−2; 2] B T = [−1; 1] C T =R. D T = (−1; 1)

Câu 6. Trong hàm số y = sin 2x, y = cosx, y = tanxvà y = cotx có hàm số tuần hoàn?

A B C D

Câu 7. Chu kỳ tuần hoàn hàm sốy=sinxlà bao nhiêu?

A π B 2π C 4π D k2π

Câu 8. Trong hàm số sau, hàm số hàm số chẵn?

A y=x2tanx B y=x2cot 2x C y= cos 2x

x D y =|sin 3x|

Câu 9. Xét hàm sốy =sinxtrên đoạn[0;π] Mệnh đề đúng?

A Hàm số đồng biến khoảng0;π

vàπ

2;π

B Hàm số đồng biến khoảng0; π

và nghịch biến khoảngπ

2;π

C Hàm số nghịch biến khoảng0; π

và đồng biến khoảngπ

2;π

D Hàm số nghịch biến khoảng0;π

vàπ

2;π

(56)

A x y

O . B. x

y

O .

C x

y

O . D. x

y

O .

Câu 11. Tìm tập nghiệmScủa phương trìnhcos 2x =− √

2

A S= ß

−3π

8 +kπ; 3π

8 +kπ,k∈ Z

™

B S =

ß

−3π

8 +k2π; 3π

8 +k2π,k∈ Z

™

C S= ß

3π

8 +kπ;

π

8 +kπ,k∈ Z

™

D S =

ß

3π

8 +k2π;

π

8 +k2π,k∈ Z

™

Câu 12. Tìm tập nghiệmScủa phương trình

sin2x−4 sinxcosx+3 cos2x =0

A S= ß

π

4 +kπ; arctan 3+kπ, k ∈Z

™

B S ={1; 3}

C S=

1+kπ; 3+kπ, k∈ Z D S =

ß

π

4 +kπ; 1, 25+kπ, k∈ Z

™

Câu 13. Cho phương trình sin2x+5 sinxcosx+5 cos2x = Họ sau họ nghiệm phương trình?

A π

2 +kπ, k ∈Z. B −

π

4 +kπ, k ∈Z.

C −π

4 +k

π

2, k∈ Z. D

π

2 +k2π, k ∈Z.

Câu 14. Số nghiệm phương trìnhsin 5x+cos 5x=√2thuộc khoảng−π

2;π

A B C D

Câu 15. Số nghiệm phương trình3 sin 3x−√3 cos 9x =1+4 sin33xthuộc khoảng0; π

là

A B C D

Câu 16. Gọi M, mlần lượt giá trị lớn giá trị nhỏ hàm sốy = sinx+cosx

trênR Tính giá trịM+m

A B

2 C D

Câu 17. Giải phương trìnhsinx+cosx−sinxcosx =1

A "

x=kπ

x= π

2 +k2π

(k ∈Z). B

"

x=k2π

x= π

2 +kπ

(k ∈Z).

C "

x=kπ

x= π

2 +kπ

(k ∈Z). D

"

x=k2π

x= π

2 +k2π

(k ∈Z).

Câu 18. Giải phương trình1+√2(sinx+cosx)−sin 2x−1−√2=0

A 

  

x =k2π

x = π

2 +k2π

x = π

4 +k2π

(k∈ Z) B



  

x =kπ

x = π

2 +k2π

x = π

4 +kπ

(57)

C 

  

x =k2π

x =−π

2 +kπ

x =−π

4 +kπ

(k ∈Z). D



  

x =k2π

x = π

2 +kπ

x =−π

4 +kπ

(k ∈ Z).

Câu 19. Tìm tất giá trị củamđể phương trình sau có nghiệm:

sin6x+cos6x =m(sin4x+cos4x)

A

2 ≤m ≤

2 B m∈ (−∞; 1]∪

3 2;+∞

C m∈ (−∞; 1] D

2 ≤m ≤1

Câu 20. Tính tổngTtất nghiệm thuộc0;π

của phương trình

8 sinx=

√

3 cosx+

1 sinx

A T = 3π

2 B T =

π

6 C T = 7π

12 D T =

π

12

Câu 21. Tính tổngTcủa nghiệm lớn nghiệm bé phương trình

cos 3x−4 cos 2x+3 cosx−4=0

trên đoạn[0; 14]

A T =3π B T =4π C T =5π D T =6π

Câu 22. Giải phương trình:

sinx+

1 sin

x−3π

2

=4 sin

7π

4 −x

A x=−π

8 +kπ, x = 5π

8 +kπ (k ∈Z)

B x=−π

4 +kπ, x =−

π

8 +kπ, x = 5π

8 +kπ (k∈ Z)

C x=−π

4 +kπ, x = 5π

8 +k2π (k ∈Z)

D x=−π

4 +k2π, x =−

π

8 +k2π, x = 5π

8 +k2π (k∈ Z)

Câu 23. Biết tập hợp giá trị củamđể phương trình

msin2x+2 sin 2x+3mcos2x =2

có nghiệm đoạn[a;b] Tính giá trị biểu thức T= a+3b

A T =

3 B T =8 C T =

3 D T =

Câu 24. Tìmmđể bất phương trìnhsinx+cosx ≤m+sin 2xcó tập nghiệm làR.

A m≥

4 B m>

4 C m≥ −

√

2−1 D m ≥√2−1

(58)

1 C 2 D 3 B 4 B 5 B 6 D 7 B 8 D 9 B 10 C 11 A 12 A 13 B 14 D 15 A 16 A 17 D 18 A 19 D 20 C 21 B 22 B 23 B 24 A

B BỘ ĐỀ 2

1 Đề bài

Câu 1. Phương trìnhsin 2x =

2 có tập nghiệm

A S= ß

π

12 +kπ, 5π

12 +kπ,k∈ Z

™

B S =nπ

6 +k2π, k∈ Z

o

C S=nπ

12+kπ, k ∈Z

o

D S =nπ

18+k

π

2, k∈ Z

o

Câu (Chuyên Long An, 2018). Xác định nghiệm phương trình2 cosx−√2=0

A x =±π

5 +k2π,k ∈ Z. B x =±

π

6 +k2π,k∈ Z.

C x =±π

4 +k2π,k ∈ Z. D x =±

π

3 +k2π,k∈ Z.

Câu (THPT Chuyên Long An, năm học 2017-2018).

Tìm điều kiện xác định hàm sốy=tan 2x

A x 6= π

8 +k

π

2,k∈ Z. B x 6=

π

4 +kπ,k ∈Z.

C x 6= π

2 +kπ,k∈ Z. D x 6=

π

4 +k

π

2,k∈ Z.

Câu 4. Giá trị nhỏ hàm sốy=1+√3 sin2x−π

3

A B 1+√3 C 1−√3 D √3

Câu 5. Tính tổng giá trị lớn nhỏ hàm sốy=−2

3−

2sin 3x

A

3 B −

3 C

3 D −1

Câu 6. Tập nghiệm phương trình2 sin2x+5 sinx+2=0là

A S= ß

−π

6 +kπ, 7π

6 +kπ,k∈ Z

™

B S =

ß

−π

6 +k2π, 7π

6 +k2π,k∈ Z

™

C S= ß

−π

6 +k3π, 7π

6 +k3π,k∈ Z

™

D S = ß

−π

6 +k

π

2, 7π

6 +k

π

2,k ∈Z

™

Câu 7. Giải phương trìnhtan(3x−30◦) =−√1

3

A x =k60◦,k∈ Z B x =60◦+k180◦,k∈ Z

C x =60◦+k120◦,k∈ Z D x =30◦+k60◦,k∈ Z.

Câu 8. Giải phương trìnhsin 3x =sinx

A x =kπ, x= π

4 +k

π

2,k∈ Z. B x =

π

2 +kπ,k ∈Z.

C x =k2π,k ∈ Z. D x =k2π, x= π

2 +kπ,k ∈ Z.

Câu (THPT Chuyên Long An, 2017-2018).

Nghiệm phương trìnhcotx =0

A x =k2π,k∈ Z. B x = π

2 +k2π,k∈ Z.

C x = π

(59)

Câu 10 (Chuyên Long An, 2017-2018).

Nghiệm phương trìnhsin2x+π

2

=−1

A x =−π+k2π,k∈ Z B x =−π

2 +k2π,k ∈Z

C x =kπ,k∈ Z D x =−π

2 +kπ,k ∈Z

Câu 11 (THPT Chuyên Long An, 2018).

Xác định chu kỳ hàm sốy=sinx

A 2π B 3π

2 C

π

2 D π

Câu 12. Giải phương trình2 cos 2xcosx =1+2 sin 2xsinx

A x=±π

9 +

k2π

3 B x =

π

9 +

kπ

3 C x =−

π

9 +k2π D x =±

π

9 +k2π

Câu 13 (Chuyên Hạ Long, Quảng Ninh, 2018).

Tìm tập xác định hàm sốy=

sinx−

1 cosx

A R\

ß

kπ

2 ,k ∈Z

™

B R\

ß

π

2 +

kπ

2 ,k∈ Z

™

C R\ {kπ,k∈ Z} D R\ {k2π,k∈ Z}

Câu 14. Giải phương trìnhcos22x+cos 2x−3

4 =0

A x =±π

3 +kπ,k ∈Z. B x =±

π

6 +kπ,k ∈Z.

C x =±2π

3 +kπ,k ∈Z D x =±

π

6 +k2π,k ∈Z

Câu 15 (THPT Chuyên Hạ Long, Quảng Ninh, 2018).

Giải phương trình√3 tanx+3=0

A x =−π

3 +kπ,k ∈Z. B x =

π

6 +kπ,k ∈Z.

C x =−π

6 +kπ,k ∈Z. D x =

π

3 +kπ,k ∈Z.

Câu 16. Tập nghiệm phương trình√2 sin 3x−√2 cos 3x=−1là

A S=nπ

12+k2π, k ∈Z

o

B S=nπ

36+k

π

2, k∈ Z

o

C S= ß

π

36+

k2π

3 , 17π

36 +

k2π

3 ,k∈ Z

™

D S= ß

π

12 +k2π, 17π

12 +k2π,k∈ Z

™

Câu 17. Trong hàm số sau, hàm số hàm số chẵn?

A y=sin 3x B y=xcosx C y=cosxtan 2x D y =tanxsinx

Câu 18. Trong phương trình sau phương trình có nghiệm?

A √3 sinx =2 B

4cos 4x =

C sinx+3 cosx =1 D cot2x−cotx+5=0

Câu 19. Cho phương trình:

(1) cosx=√5−√3; (2) sinx =1−√2; (3) sinx+cosx =2

Những phương trình vơ nghiệm

A (1) B (2) C (3) D (1) (2)

Câu 20. Họ nghiệm phương trìnhsin 2x−3 cos 2x =3là

A 



x= π

2 +k2π

x =α+k2π

(k∈ Z), vớitanα =3 B 



x= π

2 +kπ

x=α+k2π

(60)

C x = π

2 +kπ(k∈ Z) D





x= π

2 +kπ

x=α+kπ

(k∈ Z), vớitanα =3

Câu 21. Số điểm biểu diễn nghiệm phương trình cotx+√3 tanx−3−√3 = đường tròn lượng giác

A B C D

Câu 22. Tập nghiệm phương trình√3 sinxcosx−sin2x=

√

2−1

A S= ß

π

24 +k

π

2, 7π

24 +k

π

2,k∈ Z

™

B S =

ß

π

24 +kπ, 7π

24 +kπ,k∈ Z

™

C S= ß

π

24 +k2π, 7π

24 +k2π,k∈ Z

™

D S =

ß

π

24 +k

π

3, 7π

24 +k

π

3,k ∈Z

™

Câu 23. Tập nghiệm phương trìnhcos4x

3 =cos

2xlà

A S= ß

k6π,±π

2 +k6π,± 5π

2 +k6π

™

B S = ß

k2π,±5π

6 +k2π,±

π

6 +k2π

™

C S= ß

k3π,±π

4 +k

π

2,± 5π

4 +k

π

2

™

D S =

ß

k3π,±π

4 +k3π,± 5π

4 +k3π

™

Câu 24. Tập giá trị hàm sốy =3 sin2x+4 sinxcosx−cos2x+1là

A [0; 2] B h−√2−1;√2−1i

C h−2√2+2; 2√2+2i D h−√2;√2+1i

Câu 25. Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm sốy=3 sin4x+cos 4xlần lượt

A 4và−

11 B 3và−

11 C 3và−5 D 4và−5

ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM 1 A 2 C 3 D 4 A 5 B 6 B 7 A 8 A 9 C 10 D 11 A 12 A 13 A 14 B 15 A 16 C 17 D 18 C 19 C 20 D 21 C 22 B 23 D 24 C 25 A