Nhằm giúp các bạn học sinh có tài liệu ôn tập những kiến thức cơ bản, kỹ năng giải các bài tập Toán nhanh nhất và chuẩn bị cho kì thi HSG sắp tới tốt hơn. Hãy tham khảo Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 10 dưới đây.
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỀ MƠN: TỐN 10 Thời gian: 150 phút Bài (6 điểm) a) Giải phương trình sau trên: x + 12 x x + = 27( x + 1) b) Giải bất phương trình sau: ≥ x−2 x−5 −3 Bài (3 điểm) Tìm tất số nguyên dương n cho hai số n + 26 n − 11 lập phương hai số nguyên dương Bài (3 điểm) Cho tam giác ABC điểm K thuộc cạnh BC cho KB=2KC, L hình · · chiếu B AK, F trung điểm BC, biết KAB Chứng = KAC minh FL vng góc với AC Bài (4 điểm) Cho A tập hợp gồm phần tử , tìm số lớn tập gồm phần tử A cho giao tập tập tập hợp gồm phần tử Bài (4điểm) Cho số dương x, y, z Chứng minh bất đẳng thức: ( x + 1) ( y + 1) 3 z x2 + TaiLieu.VN ( y + 1) ( z + 1) + 3 x2 y + ( z + 1) ( x + 1) + 33 y2 z2 + ≥ x+ y+ z+3 Page ĐÁP ÁN Bài Lời giải Điểm Bài a) Giải phương trình sau ¡ : x + 12 x x + = 27( x + 1) b) Giải bất phương trình sau: ≥ x−2 x−5 −3 Lời giải: a) Điều kiện: x + ≥ ⇔ x ≥ −1 0,5 đ Phương trình đã cho tương đương với x + 12 x + x + 9(1 + x) = 36(1 + x) ⇔ (2 x + + x ) = (6 + x ) 2 x + + x = + x 3 + x = x (1) ⇔ ⇔ 9 + x = −2 x (2) x + + x = −6 + x 9(1 + x) = x 4 x − x − = ⇔ ⇔ x=3 Ta có (1) ⇔ x ≥ x ≥ 1đ 81(1 + x) = x x − 81x − 81 = 81 − 97 ⇔ ⇔ x= Ta có (2) ⇔ x ≤ x ≤ Kết luận: x = ; x = 81 − 97 nghiệm phương trình đã cho 1đ x ≠ b) Điều kiện: x − − ≠ ⇔ x ≠ TH1 : Xét x < ta có : ( 1) ⇔ 9 ≥2− x⇔ ≥2− x 5− x−3 2− x ⇔ ( − x ) ≤ ⇔ −3 ≤ x − ≤ 0,5 đ ⇔ −1 ≤ x ≤ Vậy −1 ≤ x < nghiệm TH2 : Xét < x < ta có : ( 1) ⇔ TaiLieu.VN 0,5 đ 9 ≥ x−2⇔ ≥ x−2 5− x−3 2− x Page ⇔ − ( x − ) ≥ ( Bpt vô nghiệm) TH3 : Xét < x ≠ ta có : ( 1) ⇔ 9 ≥ x−2⇔ − ( x − 2) ≥ x −8 x −8 − ( x − 8) ( x − ) − x + 10 x − ⇔ ≥0⇔ ≥0 x −8 x −8 ⇔ ( x − ) ( x − 10 x + ) ≤ x ≤ − ⇔ 8 < x ≤ + 2đ Kết hợp với miền x xét ta có < x ≤ + nghiệm Bpt ( Vậy tập nghiệm Bpt : S = [ −1;2 ) ∪ 8;5 + 0,5 đ Bài Tìm tất số nguyên dương n cho hai số n + 26 n − 11 lập phương hai số nguyên dương Lời giải: Giả sử có số nguyên dương n cho n + 26 = x n − 11 = y với x, y hai số nguyên dương ( x > y ) TaiLieu.VN Page 1đ 1,5đ Khi ta x − y = 37 ⇔ ( x − y )( x + xy + y ) = 37 x − y = (1) Ta thấy < x − y < x + xy + y , nên ta có x + xy + y = 37 (2) Thay x = y + từ (1) vào (2) ta y − y − 12 = , từ có y = n = 38 Vậy n = 38 giá trị cần tìm 0,5 đ Bài Cho tam giác ABC điểm K thuộc cạnh BC cho KB=2KC, L hình chiếu B AK, F trung điểm BC, biết · · Chứng minh FL vng góc với AC KAB = KAC Lời giải: A L 0,5đ C F K B · · · Đặt AB=c, AC=b, BC=a, KAC = 2α ; BAC = 3α = α Khi đó: KAB Áp dụng định lí sin cho tam giác ABK ACK, ta được: BK AK CK AK = ; = sin 2α sin B sin α sin C Do BK=2CK, nên từ đẳng thức ta có: cosα = sin B (*) sin C Lại có: TaiLieu.VN Page b2 + c a a b + c − a FA2 − FC = − ÷− = = bc.cos A = bc cos 3α (1) LC = LA2 + b − 2b.LA.cosα = LA2 + b − 2bc cos 2α cosα ⇒ LA2 − LC = 2bc cos α cos 2α − b = bc ( cosα + cos3α ) − b = ( bc cos α − b ) + bc cos 3α (**) 2đ Thay (*) vào (**), ta được: LA2 − LC = bc cos 3α (2) Từ (1) (2) suy ra: FA2 − FC = LA2 − LC Theo bổ đề định lí carnot, suy CA vng góc với FL ( Chuyển qua vectơ ta có CA ⊥ EF ) 0,5 đ TaiLieu.VN Page Bài Cho A tập hợp gồm phần tử , tìm số lớn tập gồm phần tử A cho giao tập tập tập hợp gồm phần tử 1đ Lời giải: Ký hiệu X số phần tử tập hữu hạn X Gọi B1, B2,…, Bn tập A thỏa mãn: Bi = 3, Bi ∩ B j ≠ ( i, j = 1, 2, , n ) Giả sử tồn phần tử a ∈ A mà a thuộc vào tập số tập B1, B2,…, Bn (chẳng hạn a∈ B1, B2, B3, B4), đó: Bi ∩ B j ≥ ( i, j = 1, 2,3, ) Mà Bi ≠ Bj i ≠ j, tức Bi ∩ B j ≠ Do Bi ∩ B j = (i, j = 1, 2, 3, 4) 1,5 đ Từ A ≥ +4.2 = 9, điều mâu thuẫn Như vậy, phần tử A thuộc nhiều ba số tập B1, B2,…, Bn Khi 3n ≤ 8.3 ⇔ n ≤ Giả sử A = {a1, a2,…,a8}, xét tập A là: B1 = {a1, a2, a3}; B2 = {a1, a4, a5}; B3 = {a1, a6, a7}; B4 = {a8, a3, a4}; B5 = {a8, a2, a6}; B6 = {a8, a5, a7}; B7 = {a3, a5, a6}; B8 ={a2, a4, a7} Tám tập hợp tập gồm ba phần tử A thỏa mãn Bi ∩ B j ≠ Vì số n cần tìm n = 1,5 đ TaiLieu.VN Page Bài Cho số dương x, y, z Chứng minh bất đẳng thức: 2 ( x + 1) ( y + 1) + ( y + 1) ( z + 1) + ( z + 1) ( x + 1) ≥ x + y + z + 3 z x2 + 3 x2 y + 33 y2 z2 + Lời giải: Gọi vế trái bất đẳng thức S Do ab + a + b ≥ 3 a 2b , ∀a > 0, b > Nên: ( x + 1) ( y + 1) S≥ ( z + 1) ( x + 1) ( y + 1) = z +1 2 ( y + 1) ( z + 1) + ( x + 1) ( y + 1) ( z + 1) + x +1 2 ( x + 1) + ( z + 1) ( x + 1) + ( y + 1) ( z + 1) 1đ y +1 ( y + 1) + ( z + 1) + ( x + 1) ≥ = x + y + z + (đpcm) ( z + 1) + ( x + 1) + ( y + 1) Dấu xảy a = b = c = TaiLieu.VN 3đ Page ... y + 1) S≥ ( z + 1) ( x + 1) ( y + 1) = z +1 2 ( y + 1) ( z + 1) + ( x + 1) ( y + 1) ( z + 1) + x +1 2 ( x + 1) + ( z + 1) ( x + 1) + ( y + 1) ( z + 1) 1đ y +1 ( y + 1) + ( z + 1) + ( x + 1) ... x + 1) ( y + 1) + ( y + 1) ( z + 1) + ( z + 1) ( x + 1) ≥ x + y + z + 3 z x2 + 3 x2 y + 33 y2 z2 + Lời giải: Gọi vế trái bất đẳng thức S Do ab + a + b ≥ 3 a 2b , ∀a > 0, b > Nên: ( x + 1) (... ( Bpt vô nghiệm) TH3 : Xét < x ≠ ta có : ( 1) ⇔ 9 ≥ x−2⇔ − ( x − 2) ≥ x −8 x −8 − ( x − 8) ( x − ) − x + 10 x − ⇔ ≥0⇔ ≥0 x −8 x −8 ⇔ ( x − ) ( x − 10 x + ) ≤ x ≤ − ⇔ 8 < x ≤ + 2đ Kết hợp