ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG ĐỀ MƠN: TỐN 10 Thời gian làm : 120 phút Câu (3,0 điểm) � (2 x 3) x (2 y 3) y (2 x 3)(2 y 3) � Giải hệ phương trình: � �y x xy Tìm tất hàm số f : �� � thoả mãn: �1 � f ( x) f ( x y) f ( x) y x, y �� f � � x �0 �x � x Câu (2,0 điểm) p p q q Tìm tất số nguyên tố p , q cho chia hết cho pq Câu (2,0 điểm) Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn Một đường thẳng đường qua A cắt đoạn thẳng BC, tia đối tia CD tương ứng E, F (E, F không trùng với B, C) Gọi I1 , I I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABE, ECF FAD Tiếp tuyến đường tròn ( I1 ) song song với CD (gần CD hơn) cắt H Chứng minh H trực tâm tam giác I1 I I3 Câu (2,0 điểm) Xét số thực dương a, b, c thỏa mãn a 2b 3c �20 Tìm giá trị nhỏ biểu thức L a bc � a 2b c Câu (1,0 điểm) Tìm tất tập hợp X tập tập số nguyên dương thoả mãn tính chất: X chứa hai phần tử với m, n �X , m n tồn k �X cho n mk TaiLieu.VN Page ĐÁP ÁN: Câu Nội dung trình bày Điểm 2,0 điểm � (2 x 3) x (2 y 3) y (2 x 3)(2 y 3) � � �y x xy (1) (2) Điều kiện xác định: x � ; y � (2) � x y (4 x 1) � 0,5 x y x � y thay vào (1) ta y x (2 x 3) x y (2 y 3) (2 x 3)(2 y 3) y x Do (2 x 3) x y (2 y 3) �2 (2 x 3)(2 x 3) y x 0,5 0,5 Suy (1) � x(2 x 3) y(2 y 3) � ( x y)(2 x y 3) x (lo� i) � � � x y thay vào (2) ta x x � 1 � x �y � 2 0,5 �1 � Vậy hệ phương trình có nghiệm � ; � �2 � 1,0 điểm Ta có: f x y f x y � f ( y) f (0) y y �� � f ( x) a x với a f (0) 1 �1 � f � � f (0) a x �0 x x �x � f ( x) �� Mặt khác f � � �x � x TaiLieu.VN 0,25 0,25 f (0) x a x x �0 x2 x Page �a ax x �0 � ax a x �0 � a x x 0,25 Vậy f ( x) x x �� 0,25 2,0 điểm p , q khác 2, Khơng tính tổng quát ta giả sử q �p Khi từ giả thiết ta p p Mp 0,5 Mp q q TH1 p p Mp , theo định lí Fermat ta có: p �� p mod p mod p 0,5 p TH2 q 4q Mp , ta có p 1, q � tồn số nguyên u, v qv p 1 u dương cho 7q 4q mod p � 7 mod p 7qv 4qv mod p mod p 1 p 1 u 1 p 1 u mod p 0,5 p Với p , từ giả thiết ban đầu ta được: 7 43 q 4q M3q � 9.31 q 4q M3q � q 3, q 31 0,5 Vậy p , q � 3, 3 , 31, 3 , 3, 31 TaiLieu.VN 2,0 điểm Page Giả sử tiếp tuyến qua H song song với CD đường tròn I1 cắt BC K đường thẳng qua H song song với BC cắt đường thẳng CD L, suy CKHL hình bình hành 0,5 Do tứ giác ABCD, ABKH ngoại tiếp, nên AD HL AD CK AD BC BK AB CD BK AB BK CD AH HK CD AH LC CD AH DL 0,5 Suy tứ giác ADLH ngoại tiếp, hay HL tiếp xúc với ( I3 ) uuur uuur uuur uuur Vì FD ��KH ; FH ��HA nên đường phân giác HI1 góc �AHK FI góc �HFD vng góc với nhau; hay I1 H I I (Do F , I , I thẳng hàng) (1) Chứng minh tương tự, HI EI hay I H I1 I (2) 0,5 0,5 Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh 2,0 điểm Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có a b 4 3� 4� �2 a· � � a ��3, dấu đẳng thức xảy a a 4� a� a 9 1� 9� �2 b· � � b ��3, dấu đẳng thức xảy b b 2� b� b c TaiLieu.VN 0,5 16 16 � 16 � �2 c· � � c ��2, dấu đẳng thức xảy c c 4� c � c Page Cộng ba bất đẳng thức chiều, thu 3a b c �8 4 a 2b c (1) a b 3c Mặt khác, a 2b 3c �20 nên �5 (chia hai 4 vế cho 4) 0,5 (2) Cộng (1) (2), vế đối vế, ta L abc �13 a 2b c Dấu đẳng thức xảy a 2, b 3, c Vậy giá trị nhỏ biểu thức L 13, đạt a 2, b 3, c 0,5 0,5 1,0 điểm Giả sử tìm tập hợp X thỏa mãn m n hai phần tử bé X Khi đó, cách xác định X nên tồn k �X cho n mk Suy m �k �n k m k n 0,25 Với k n � n m.n � m.n vơ lí Với k m � m n m3 � m +) Nếu | X | tập hợp X m, m m 1 0,25 +) Nếu | X |�3 , gọi q phần tử bé thứ ba X (tức m n q ) Khi tồn l �X cho q ml Do q l nên l m l n Nếu l m q m3 n , vơ lý Vậy l n m3 0,25 q ml m Nhưng tồn t �X cho q nt , t m Mà m m m3 � m � X , vô lý Vậy | X | X m, m m 1 TaiLieu.VN 0,25 Page ... điểm � (2 x 3) x (2 y 3) y (2 x 3)(2 y 3) � � �y x xy (1) (2) Điều kiện xác định: x � ; y � (2) � x y (4 x 1) � 0,5 x y x � y thay vào (1) ta y x (2 x 3) x y... I1 H I I (Do F , I , I thẳng hàng) (1) Chứng minh tương tự, HI EI hay I H I1 I (2) 0,5 0,5 Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh 2,0 điểm Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có a b 4 3� 4� �2... �8 4 a 2b c (1) a b 3c Mặt khác, a 2b 3c �20 nên �5 (chia hai 4 vế cho 4) 0,5 (2) Cộng (1) (2), vế đối vế, ta L abc �13 a 2b c Dấu đẳng thức xảy a 2, b 3, c Vậy giá trị