Đang tải... (xem toàn văn)
chiếu vuông góc của đỉnh A trên mặt phẳng đáy (A’B’C’) trùng với trung điểm H của cạnh A’C’.[r]
(1)BÀI TẬP HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Bài 1:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên 2a Tính thể tích khối chóp theo a
HD: Gọi O tâm hình vng ABCD Vì S.ABCD hình chóp nên : Ta có : SABCD = a2
Và SO đường cao khối chóp Xét tam giác SAO vng O có : AO =
2 AC a
SO =
2
2 4 14
2
a a
SA AO a Vậy thể tích
V =
3
1 14 14
3 ABCD
a a
SO S a
Bài 2:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân đỉnh B, AC a SB a Đường thẳng SA vng góc với mặt phẳng (ABC) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC HD:
Xét tam giác ABC vng cân B, ta có: AC2 2AB2
suy ra: 2 1.2 2
2
AB AC a a AB a
SABC =
2a
Vì SA vng góc với đáy nên SA đường cao khối chóp S.ABC Xét tam giác SAB vng A có:
SA2 = SB2 – AB2 = 3a2 – a2 = 2a2 SA = a 2.
Vậy thể tích : V =
2
1
3 ABC
a a
SA S a
Bài 3:
Hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng A, AB a , AC a 3, mặt bên SBC tam giác cân S (SB SC 2 )a vng góc với mặt phẳng đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC
HD: Gọi O trung điểm BC
Vì (SBC) (ABC), (SBC) (ABC) = BC SO BC nên
SO đường cao khối chóp S.ABC Xét tam giác ABC vng A có :
BC2 = AB2 + AC2 = a2 + 3a2 = 4a2 BC = 2a, hay
tam giác SBC tan giác cạnh 2a
SO = (2 ) 3
2 a
a SABC =
2
1
2 2
a AB AC a a Vậy thể tích V =
2
1
3 ABC 2
a a
(2)Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Biết SA SB 2a hai mặt phẳng (SAB) (ABCD) vng góc với Tính thể tích khối chóp S.ABCD
HD:Gọi H trung điểm AB
ABCD hình vng cạnh a SABCD = a2
Vì (SAB) (ABCD), (SAB)(ABCD) = AB SH
AB nên SH đường cao khối chóp S.ABCD Xét tam giác SAH vng H có :
SH2 = SA2 – AH2 = 4a2 -
2 15
4
a a
SH = 15
2 a Vậy thể tích :
V =
3
1 15 15
3 ABCD
a a
SH S a
Bài 5:
Cho hình chóp S.ABC có hai mặt bên (SAB) (SAC) vng góc với mặt (ABC) Đáy ABC tam giác cân đỉnh A, độ dài đường trung tuyến AM a Mặt bên (SBC) tạo với đáy góc 450
và SBA 300
Tính thể tích khối chóp S.ABC HD:
Vì
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
SAB ABC
SAC ABC SA ABC
SAB ABC SA
hay SA đường cao khối chóp S.ABC
Theo gt, ((SBC),(ABC)) (SM AM, ) 450
SA =
AM = a Xét tam giác SAB vng A có : AB = 0
tan 30 SA
a
Khi : SABC = 2SABM = AM
2 3 2 2
AB AM a a a a Vậy thể tích : V =
3
1
3 ABC 3
a
SA S a a
Bài 6:
Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA SB SC a Góc cạnh bên đáy
0
60 Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a HD:
Gọi O tâm tam giác ABC Khi SO đường cao khối chóp S.ABC
Xét tam giác SOA vng O có : SO = SA.sin600 =
2 a Và AM = 3 0 3
2 tan 60 2
SO a a
OA
Đặt AB = x Ta có : SABC =
2 3 1 1 3
4 2
x a
AM BC AM x x
(3)3 2
a a
x Do SABC =
2.3 3
16 a Vậy thể tích : V =
2
1 3 3
3 16 32
a a a
Bài 7:
Đáy ABC hình chóp SABC tam giác vng cân (BA=BC) Cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy có độ dài a Cạnh bên SB tạo với đáy góc 600 Tính diện tích tồn
phần khối chóp HD:
Vì SA (ABC) nên (SB ABC,( )) (SB AB, ) 60
0
tan 60 SA
AB a = BC, : AC = a 2 SB = 2a Mặt khác, ta có :
SA BC
BC SB
AB BC
hay tam giác SBC vuông B Vậy Stp = SSAB + SSAC + SSBC + SABC
= 1 SA AB SA AC SB BC AB BC
=
2
2 2
1
3 ( 3)
2
a
a a a a
Bài 8:
Hình chóp S.ABC có cạnh bên nghiêng với đáy góc 600, độ dài cạnh đáy là
3, 4,
CB CA AB Tính thể tích V khối chóp HD:
Ta có : AB2 = CA2 + CB2 = 25 ABC vuông C Do các
cạnh bên tạo với đáy góc 600 gọi O trung điểm
AB SO đường cao khối chóp S.ABC
Xét tam giác SAO vng O có : SO = OA.tan600 = 5
2 Và SABC =
2CA CB
Vậy thể tích : V = .6 3
Bài 9:
Hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cân, cạnh đáy BC = a BAC Các cạnh bên nghiêng với đáy góc Tính thể tích khối chóp
HD:
Do cạnh bên tạo với đáy góc gọi O trung
điểm AB SO đường cao khối chóp S.ABC
(4)BC2 = 2AB2 – 2AB2.cos AB2 =
2
2 2cos 2sin
a a
AB = AC =
2sin a
Xét tam giác SCO vng O có : SO = OC.tan = tan a
Do : SABC =
2
2
1 1
.sin sin os
2 2sin
2 a
AB AC a c
Vậy thể tích : V =
3
1 1
.tan os sin ABC 24
a a
SO S a c
Bài 10:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh a, 60 ,0
2 a
BAD SA SC , SB = SD Tính thể tích khối chóp S.ABCD
HD:
Vì AB = AD = a BAD 600
nên tam giác ABD tam giác
SABCD = 2.SABD =
2 3 3
4
a a
Mặt khác, SA = SC, SB = SD, gọi O trung điểm AC
SO (ABCD) hay SO đường cao khối chóp
Xét tam giác SCO có :
SO = 2 2
4
a a a
SC OC
Vậy thể tích : V =
2
1
3 ABCD 2 12
a a a
SO S
Bài 11:
Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng A, BC = a, SA =SB = SC =
a mặt bên SAB hợp với đáy góc 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC.
HD:
Vì SA = SB = SC ABC vuông A, gọi O trung điểm
BC nên SO đường cao khối chóp S.ABC Xét ABC vng O có :
SO = 2 2
4
a a a
SC OC
Gọi M trung điểm AB OM //=
2AC Xét SOM vuông O có : OM = 0
tan 60
SO a a
AC =
(5)Suy ra, AB =
2
2 2
9
a a
BC AC a
Khi : SABC =
2
1
2 3
a a a
AB AC
Vậy thể tích : V =
2
1 2
3 ABC 18
a a a
SO S
Bài 12:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, SA (ABC), 60 ,0 , 3
ACB BC a SA a Gọi M trung điểm SB Chứng minh (SAB) (SBC) Tính thể tích khối tứ diện MABC
HD:
Ta có: SA BC BC (SAB)
AB BC
hay (SBC) (SAB)
Xét tam giác ABC vng B có: AB = BC.tan600 = a 3. SABC =
2
1
2
a AB BC Do : VABCD =
2
1
( 3)
3 ABCD 2
a a
SA S a
Vì M trung điểm SB nên : VMABC =
3
1
2 ABCD 2
a a
V
Bài 13:
Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC vng B, AB a BC a , Tam giác SAC nằm mặt phẳng vng góc với đáy.Tính thể tích khối chóp S.ABC
HD: Gọi O trung điểm AC
Vì (SAC) (ABC) SO AC nên SO (ABC) hay SO
là đường cao khối chóp S.ABC Xét tam giác ABC vng B, có : SABC =
2
1
2 2
a AB BC a a
Và AC = AB2 BC2 a2 3a2 2a
, mà tam giác SAC tam giác nên SO = (2 ) 3
2 a
a Vậy VS.ABC =
2
1
3 ABC 2
a a
SO S a
Bài 14:
Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy tam giác vng B, AB = BC = a, cạnh bên AA’=
(6)Theo gt ta có : SABC =
2a Vì lăng trụ đứng nên AA’ đường cao lăng trụ
Vậy V = AA’.SABC =
3 2
2 a
Bài 15:
Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC vng
A, AC = a, góc ACB 600 Đường thẳng BC’ tạo với (AA’C’C) góc 300 Tính thể tích
khối lăng trụ cho HD:
Vì lăng trụ đứng nên cạnh bên đường cao lăng trụ Xét tam giác ABC vng A, có : AB = AC.tan600 = a 3
và BC = B’C’ = 2a
SABC =
2
1
2
a AB AC
Mạt khác, ABAC AB AA’ nên AB (AA’C’C) ,do :
(BC',(AA ' ' ) (C C BC AC', ')BC A' 30
Xét tam giác BC’A vng A, có : BC’ = 0 sin 30
AB
a
Xét tam giác BB’C’ vng B’, có :
BB’ = BC'2 B C' '2 12a2 4a2 2a 2
Vậy : V = BB’.SABC =
2
3
3
2
2 a
a a
Bài 16:
Đáy ABC hình lăng trụ ABC.A'B'C' tam giác cạnh a Góc cạnh bên hình lăng trụ mặt đáy 300 Hình
chiếu vng góc đỉnh A mặt phẳng đáy (A’B’C’) trùng với trung điểm H cạnh A’C’ Tính thể tích khối lăng trụ
HD:
Họi H hình chiếu A lên (A’B’C’) AH đường cao
của lăng trụ
Theo gt ta có : SABC =
2 3
4 a
Xét tam giác AHA’ vuông H có : AH = A’H.tan300 = . 3
2
a a
Vậy : V = AH.SABC =
6
a . 3
4
a =