Bài tập tỉ số thể tích khối đa diện có lời giải chi tiết

Gọi V ′ là thể tích khối đa diện có các đỉnh là trung điểm các cạnh của khối tứ diện đã cho.. Cho hình chóp.[r]

(1)

TỈ SỐ THỂ TÍCH A BÀI TẬP

Câu Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD tứ giác lồi, tam giác ABD cạnh a, tam giác BCD cân C BCD=120° SA⊥(ABCD) SA=a Mặt phẳng ( )P qua A vng góc với SC cắt cạnh SB, SC, SD M , N , P Tính thể tích khối chóp S AMNP

A

3 12 a

B

3 42 a

C

3

2

21 a

D

3 14 a

Câu Cho hình chóp tứ giác S ABCD Mặt phẳng ( )P qua A vng góc SC cắt SC SB SD, , B C D′ ′ ′, , Biết 3SB′ =2SB Gọi V V1, 2 thể tích hai khối chóp S A B C D ′ ′ ′ ′ vàS ABCD Tỉ số

2

V V A

2

4 V

V = B

1

1 V

V = C

1

2 V

V = D

1

2 V

V = Câu Cho hình chóp S ABC có  ASB=ASC =BSC= °60 SA=2; SB=3; SC=7 Tính thể tích V

của khối chóp

A V =4 B

2

V = C

3

V = D V =7 Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành M trung điểmSC, mặt phẳng ( )P chứa

AM song song với BD, cắt SBvà SDlần lượt B′ vàD′ Tỷ số ' '

S AB MD S ABCD V

V

A 3

4 B

2

3 C

1

6 D

1

Câu 5.Cho hình chóp S ABCDcó thể tích V Gọi M , N trung điểm SA, MC Thể tích khối chóp N ABCD

A

3

V

B

6

V

C

4

V

D

2

V

Câu 6.Cho khối lăng trụ tam giác ABC A B C ′ ′ ′ tích Tính thể tích V khối chóp A AB C′ ′ ′

A V =3 B

2

V = C

4

V = D

3 V =

Câu Trong không gian Oxyz, cho điểm A, B, C thay đổi trục Ox, Oy, Oz thỏa mãn điều kiện: tỉ số diện tích tam giác ABC thể tích khối tứ diện OABC

3

2 Biết mặt phẳng (ABC) tiếp xúc với mặt cầu cố định, bán kính mặt cầu

bằng

A 4 B 1. C 3 D 2

Câu 8.Cho lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′ tích 12 3a3 Thể tích khối chóp A ABC′ A V =4 3a2 B V =2 3a3 C V =4 3a3 D

3

4 a V = Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a.Hai mặt phẳng (SAB) (SAD)

(2)

A a

B

3 a

C

3 12 a

D

3 a

Câu 10 Cho hình chóp S ABC có A′ B′ trung điểm SA SB Biết thể tích khối chóp

S ABC 24 Tính thể tích V khối chóp S A B C ′ ′

A V =3 B V =12 C V =8 D V =6

Câu 11 Cho khối tứ diện tích V Gọi V′ thể tích khối đa diện có đỉnh trung điểm cạnh khối tứ diện cho Tính tỉ số V

V ′

A

4

V V ′

= B

8

V V ′

= C

2

V V ′

= D

3

V V ′

=

Câu 12 Cho hình chóp S ABCD đáy hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với đáy, SB hợp với đáy góc 45° H, K hình chiếu A lên SB , SD mặt phẳng (AHK), cắt SC I Khi thể tích khối chóp S AHIK là:

A

3

6 a

V = B

3

12 a

V = C

3

18 a

V = D

3

36 a V = Câu 13 Cho khối chóp S ABC , M trung điểm cạnh BC Thể tích khối chóp S MAB

2a Thể tích khối chóp S ABC

A

2a B

4a P

C P a P P D 2a

Câu 14 Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tích V Trên cạnh SB,

SC lấy điểm M N, cho SM =3MB SN, =NC Mặt phẳng (AMN) cắt cạnh SD

tại điểm P Tính thể tích khối chóp S MNP theo V A

8 V

B

4 V

C 9

80 V

D 7

40 V

Câu 15 Cho tứ diện ABCD tích 12 I trung điểm CD, M trung điểm BI Tính thể tích V khối chóp A MCD

A V 4 B V6 C V 3 D V5

Câu 16 Cho hình chóp S ABCD tích V Gọi M , N trung điểm SA, MC Thể tích khối chóp N ABCD

A

6

V

B

4

V

C

2

V

D

3

V

Câu 17 Cho tứ diện ABCD có DA=1,DA⊥(ABC) ∆ABC tam giác đều, có cạnh Trên ba cạnh DA, DB, DC lấy điểm M N P, , mà 1, 1,

2

DM DN DP

DA = DB = DC = Thể tích V tứ diện

MNPD

A

96

V = B

12

V = C

96

V = D

12

V = Câu 18 Cho hình chóp tứ giác S ABCD tích V Trên cạnh SA lấy A′ cho

3

SA′ = SA Mặt phẳng qua A′ song song với mặt đáy hình chóp cắt cạnh SB, SC, SDlần lượt B'

, C′, D′ Tính thể tích khối chóp S A B C D ′ ′ ′ ′ A

81

V

B

27

V

C

3

V

D

9

(3)

Câu 19 Cho tứ diện ABCD có DA=1; DA⊥(ABC).∆ABC tam giác đều, có cạnh Trên cạnh , ,

DA DB DC lấy điểm M N P, , cho 1; 1;

2

DM DN DP

DA = DB = DC = Thể tích tứ diện

MNPD

A

96

V = B

12

V = C

96

V = D

12

V = Câu 20 Cho khối chóp S ABCD tích

a Gọi M N P Q, , , theo thứ tự trung điểm , , ,

SA SB SC SD Thể tích khối chóp S MNPQ là:

A 16 a

B

a

C

a

D a

Câu 21 Cho khối chóp S ABC Gọi A′, B′ trung điểm SA SB Khi tỉ số thể tích hai khối chóp S A B C ′ ′ S ABC bằng:

A 1

4 B

1

6 C

1

2 D

1

Câu 22 Cho hình chóp S ABCD có ABCD hình bình hành M N P Q, , , trung điểm

, , ,

SA SB SC SD Tỉ số thể tích khối chóp S MNPQ khối chóp S ABCD

A

1

8. B

1

4 C

1

16 D

1

Câu 23 Cho hình chóp S ABCD có SA⊥(ABCD), ABCD hình chữ nhật SA= AD=2a Góc (SBC) mặt đáy (ABCD) 60° Gọi G trọng tâm tam giác SBC Tính thể tích khối chóp

S AGD A

3 16

9 a

B

3

32

27 a

C

3

8

27 a

D

3

4

9 a

Câu 24 Cho hình chóp S ABCD tích bằng48, đáy ABCD hình thoi Các điểm M N P Q, , , thuộc SA SB SC SD, , , thỏa:SA=2SM SB, =3SN SC, =4SP, SD=5SQ Thể tích khối chóp

S MNPQ

A 4

5 B

6

5 C

2

5 D

8

Câu 25 Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vng B, cạnh SA vng góc với đáy, góc ACB= °60 , BC=a, SA=a Gọi M trung điểm SB Tính thể tích V khối tứ diện MABC A

3 a

V = B

3 a

V = C

3 a

V = D

3 a V =

Câu 26 Cho tứ diện ABCD Gọi B′ C′ trung điểm AB AC, Khi tỉ số thể tích khối tứ diện AB C D′ ′ khối ABCD bằng:

A 1

2 B

1

4 C

1

6 D

(4)

Biết SA=6, SB=3, SC=4, SD=2     ASB=BSC=CSD=DSA=BSD= °60 Thể tích khối đa diện S ABCD

A 10 B 6 C 5 D 30

Câu 28 Cho tứ điện MNPQ Gọi I J K, , trung điểm cạnh MN MP MQ, , Tính tỉ số thể tích

MIJK MNPQ

V V A 1

6 B

1

3 C

1

4 D

1

Câu 29 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy, SA=a Gọi B′, D′ hình chiếu A lên SB, SD Mặt phẳng (AB D′ ′) cắt SC C′ Thể tích khối chóp S AB C D′ ′ ′ là:

A

3

2

3 = a

V B

3

2

9 = a

V C

3

2

3 = a

V D

3 = a

V

Câu 30 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Hai mặt bên (SAB) (SAD) vng góc với mặt đáy Biết góc hai mặt phẳng (SCD) (ABCD) 45° Gọi V V1; 2lần lượt thể tích khối chóp S AHK S ACD với H, K trung điểm SC SD Tính độ dài đường cao khối chóp S ABCD tỉ số

2 V k

V =

A ;

8

h= a k= B ;

h= a k = C ;

h=a k = D ;

h=a k= Câu 31.Cho khối tứ diện OABC với OA OB OC, , vng góc đơi OA=a,OB=2 ,a OC=3a

Gọi M N, trung điểm hai cạnh AC BC, Thể tích khối tứ diện OCMN tính theo a bằng:

A 3

4 a

B a 3 C

3

3 a

D a A

D

C B

(5)

Câu 32 Cho khối chóp S ABC Trên ba cạnh SA , SB , SC lần lượt lấy ba điểm A′, B′, C′ cho

3

SA′ = SA;

SB′ = SB;

SC′ = SC Gọi V V' thể tích khối chóp

S ABC S A B C′ ′ ′ Khi tỉ số ' V V A

12 B 24 C

1

24 D 12

Câu 33 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy, SA=a Một mặt phẳng qua A vng góc với SC cắt SB, SD, SC B′, D′, C′ Thể tích khối chóp S AB C D′ ′ ′ là:

A

3

2

3 = a

V B

3

2

9 = a

V C

3

2

3 = a

V D

3 = a

V

Câu 34 Cho khối tứ diện ABCD tích 2017 Gọi M, N, P, Q trọng tâm tam giác ABC, ABD, ACD, BCD Tính theo V thể tích khối tứ diện MNPQ

A 2017

27 B

4034

81 C

8068

27 D

2017

9

Câu 35 Cho khối chóp S ABC , M trung điểm cạnh SA Tỉ số thể tích khối chóp S MBC thể tích khối chóp S ABC

A 1 B 1

6 C

1

2 D

1

Câu 36 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a Cạnh bên SA vng góc với mặt đáy

=

SA a Gọi B D′ ′; hình chiếu vng góc A cạnh SB SD, Mặt phẳng (AB D′ ′) cắt cạnh SC C′ Tính thể tích khối chóp S AB C D ′ ′ ′

A 16

45 a

B

3 a

C

3 a D 3 a

Câu 37 Cho hình chóp S ABC có  ASB=CSB=600, ASC=900, SA=SB=a SC; =3a.Thể tích V khối chóp S ABC là:

A

2

a

V = B

3

6 18

a

V = C

3

2 12

a

V = D

3

6

a V = Câu 38 Cho tứ diện ABCD có DA=1,DA⊥(ABC) ∆ABC tam giác đều, có cạnh Trên ba cạnh

DA, DB, DC lấy điểm M N P, , mà 1, 1,

2

DM DN DP

DA = DB = DC = Thể tích V tứ diện

MNPD bằng:

A

12

V = B

12

V = C

96 V =

D

3 96 V =

Câu 39 Cho hình chóp S ABC có M , N trung điểm SA, SB Tính thể tích khối chóp

S MNC biết thể tích khối chóp S ABC 8a3

A VSMNC =a3 B

3

2

SMNC

V = a C VSMNC =6a3 D

3

4

SMNC

V = a Câu 40.Một hình lăng trụ có đáy tam giác cạnh a, cạnh bên b tạo với mặt phẳng đáy

một góc α Thể tích khối chóp có đáy đáy lăng trụ đỉnh điểm đáy lại

A cos

4 a b α B

2

sin

4 a b α C

2

cos

12 a b α D

2

(6)

Câu 41 Cho hình chóp S ABC Gọi M , N trung điểm SA, SB Tính tỉ số

S ABC

S MNC V

V

A 1

4⋅ B

1

2⋅ C 2 D 4

Câu 42.Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành tích 48 Trên cạnh SA,SB,SC,SD lấy điểm A′,B′,C′ D′ cho

3

SA SC SA SC ′ ′

= =

4

SB SD SB SD ′ ′

= = Tính thể tích V khối đa diện lồi SA B C D′ ′ ′ ′

A

2

V = B V =9 C V =4 D V =6

Câu 43 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên hợp với đáy góc 60° Gọi M điểm đối xứng C qua D, N trung điểm SC Mặt phẳng (BMN) chia khối chóp

S ABCD thành hai phần Tỉ số thể tích hai phần (phần lớn phần bé) bằng:

A 7

5 B

1

7 C

7

3 D

6

Câu 44 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên hợp với đáy góc 60 Gọi M điểm đối xứng với C qua D; N trung điểm SC , mặt phẳng (BMN) chia khối chóp S ABCD thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần

A 1

7 B

7

5 C

1

5 D

7

Câu 45 Cho khối chóp tam giác S ABC tích V Điểm M trung điểm đoạn thẳng AB, N điểm nằm AC cho AN =2NC Gọi V1 thể tích khối chóp S AMN Tính tỉ số

1 V V A 1

6

V

V = B

1

2

V

V = C

1

3

V

V = D

1

3

V V =

Câu 46 Cho khối chóp S ABCD tích V Các điểm A′, B′, C′ tương ứng trung điểm cạnh SA , SB, SC Thể tích khối chóp S A B C ′ ′ ′

A

16

V

B

8

V

C

4

V

D

2

V

Câu 47 Cho tứ diện ABCD tích 12và I trung điểm CD, M trung điểm BI Tính thể tích V khối chóp A MCD

A V 5 B V 4 C V 6 D V 3

Câu 48 Cho khối chóp S ABC có SA=9,SB=4,SC =8 đơi vng góc Các điểm A B C′ ′ ′, , thỏa mãn SA=2.SA′, SB=3.SB′, SC=4.SC′ Thể tích khối chóp S A B C ′ ′ ′

A 2 B 24 C 16 D 12

Câu 49 Cho hình chóp tứ giác S ABCD tích bầng V Lấy điểm A′ cạnh SA cho

3

SA′ = SA Mặt phẳng qua A′ song song với mặt đáy hình chóp cắt cạnh SB SC SD, ,

, ,

B C D′ ′ ′ Khi thể tích chóp S A B C D ′ ′ ′ ′ bằng: A

3

V

B

27

V

C

9

V

D

81

V

Câu 50 Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a Gọi E, F trung điểm cạnh SB, SC Biết mặt phẳng (AEF) vng góc với mặt phẳng (SBC) Tính thể tích khối chóp S ABC

A

6 a

B

3 a

C

3 a

D

3 a

(7)

Câu 51 Cho hình chóp tứ giác S ABCD tích V Lấy A′ cạnh SA cho

SA′ = SA Mặt phẳng qua A′ song song với đáy hình chóp cắt cạnh SB SC SD, , B C′, ′, D′ Khi thể tích khối chóp S A B C D ′ ′ ′ ′ là:

A 81 V

B

3 V

C

9 V

D

27 V

Câu 52 Cho hình chóp S ABCD tích 18, đáy hình bình hành Điểm M thuộc cạnh SD cho SM =2MD Mặt phẳng (ABM) cắt SC N Tính thể tích khối chóp S ABNM

A 9 B 6 C 10 D 12

Câu 53 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA vng góc với mặt đáy Gọi M trung điểm BC Mặt phẳng ( )P qua A vng góc với SM cắt SB, SC E,

F Biết . .

4

S AEF S ABC

V = V Tính thể tích V khối chóp S ABC A

3 a

V = B

3 a

V = C

3

5 a

V = D

3 12 a V =

Câu 54 Cho khối chóp tứ giác S ABCD Mặt phẳng qua trọng tâm tam giác SAB, SAC, SAD chia khối chóp thành hai phần tích V1 V2 (V1<V2) Tính tỉ lệ

1 V V A 16

75 B

8

27 C

16

81 D

8 19

Câu 55 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có M , N, P, Q trung điểm cạnh SA , SB , SC , SD Tỉ số

S MNPQ

S ABCD V

V A 1

6 B

1

16 C

3

8 D

1

Câu 56 Cho tứ diện MNPQ Gọi I; J ; K trung điểm cạnh MN; MP; MQ Tỉ 2018 thể tích MIJK

MNPQ V

V bằng: A 1

4 B

1

6 C

1

8 D

1

Câu 57 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tích Trên cạnh SC lấy điểm E cho SE =2EC Tính thể tích V khối tứ diện SEBD

A

3

V = B

6

V = C

12

V = D

3 V =

Câu 58 Cho hình chóp A BCD có đáy BCD tam giác vng C với BC=a, CD=a Hai mặt (ABD) (ABC) vuông góc với mặt phẳng (BCD) Biết AB=a, M , N thuộc cạnh AC, AD cho AM =2MC, AN =ND Thể tích khối chóp A BMN

A

2

9 a

B

3 3 a

C

3 18 a

D

3 a

(8)

A 1

8 B

1

2 C

1

4 D

1

Câu 60 Cho hình chóp tam giác S ABC có đáy ABC tam giác vng tạiBvà SAvng góc với mặt phẳng

(ABC) mp ABC( )quaAvng góc với đường thẳng SBcắt SB SC, tạiH K, Gọi V V1, 2

tương ứng thể tích khối chóp S AHK S ABC Cho biết tam giác SABvuông cân, tính tỉ số

2 V V A

2

1

V

V = B

1

V

V = C

1

2

V

V = D

1

V V =

Câu 61 Cho tứ diện MNPQ Gọi I J K; ; trung điểm cạnh MN MP MQ; ; Tỉ số thể tích MIJK

MNPQ V

V A 1

4 B

1

3 C

1

6 D

1

Câu 62 Cho khối chóp S ABCD có đáy hình bình hành ABCD Gọi M , N , P, Q trọng tâm tam giác SAB, SBC, SCD, SDA Biết thể tích khối chóp S MNPQ V, thể tích khối chóp S ABCD là:

A 81

8

V

B 27

4

V

C

2

9

2 V

   

  D

9

V

Câu 63 Cho hình chóp tứgiác S ABCD , M trung điểm SC Mặt phẳng ( )P qua AM song song với BD cắt SB, SD N ,K Tính tỉ số thể tích khối S ANMK khối chóp S ABCD

A B C D

Câu 64 Cho khối chópS ABC Trên đoạn SA SB SC, , lấy ba điểm A B′, , ′ C′ cho

1 1

; ;

2

SA′= SA SB′= SB SC′= SC Khi tỉ số thể tích hai khối chóp S A B C ′ ′ ′ S ABC

A

24 B

1

2 C

1

12 D

1

Câu 65 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng cân B, AB=a, SA vng góc với mặt phẳng (ABC), góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 30° Gọi M trung điểm cạnh SC Thể tích khối chóp S ABM bằng:

A

3 18 a

B

3 24 a

C

3 36 a

D

3 12 a

2

1

(9)

Câu 66 Cho hình chóp S ABC , M trung điểm SB, điểm N thuộc cạnh SC thỏa SN =2NC Tỉ số

S AMN

S ABC V V A 1

3 B

1

6 C

1

5 D

1

Câu 67 Cho tứ diện ABCD có cạnh AB AC, AD đơi vng góc với nhau, AB=a AC; =2a

AD= a Gọi M N trung điểm củaBD CD, Tính thể tích V tứ diệnADMN

A a

V = B V =a3 C

3

4 a

V = D

3

3 a V = Câu 68 Cho khối chóp S ABC có   ASB=BSC=CSA= °60 , SA=a, SB=2 ,a SC=4a Tính thể tích khối

chóp S ABC theo a A

3

2

3 a

B

3

4

3 a

C

3 a

D

3

8

3 a

Câu 69 Cho hình chóp S ABCD Gọi A′, B′, C′, D′ lần trung điểm cạnh SA,SB,SC,SD Tính tỉ

số thể tích hai khối chóp S A B C D ′ ′ ′ ′ S ABCD A 1

8 B

1

16 C

1

2 D

1 12

Câu 70.Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành tích V Điểm P trung điểm SC, mặt phẳng qua AP cắt cạnh SD SB M N Gọi V1 thể tích khối chóp S AMPN Tìm giá trị nhỏ V1

V ? A 1

3 B

2

3 C

3

8 D

1

Câu 71 Cho tứ diện S ABC Gọi G1, G2, G3 trọng tâm tam giác ∆SAB,∆SBC, SCA

∆ Tính

S G G G

S ABC V

V

A

48 B

2

27 C

1

36 D

2 81

Câu 72 Cho khối chóp S ABC , ba cạnh SA, SB, SC lấy ba điểm A′, B′, C′ cho

1

SA′ = SA,

3

SB′ = SB,

3

SC′ = SC Gọi V V′ thể tích khối chóp S ABC S A B C ′ ′ ′ Khi tỉ số V

V ′

A 1

6 B

1

3 C

1

27 D

1

Câu 73 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành tích V Gọi M trung điểm SB Plà điểm thuộc cạnh SD cho SP=2DP Mặt phẳng (AMP) cắt cạnh SC N Tính thể tích khối đa diện ABCDMNP theo V

A 23

30

ABCDMNP

V = V B

30

ABCDMNP

V = V C 19

30

ABCDMNP

V = V D

5

ABCDMNP

V = V

Câu 74 Cho khối lăng trụ ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ tích 12, đáy ABCD hình vng tâm O Thể tích khối chóp A BCO′

(10)

Câu 75 Cho hình chóp S ABCD Gọi M , N , P, Q theo thứ tự trung điểm SA, SB, SC, SD Tính tỉ số thể tích hai khối chóp S MNPQ S ABCD

A 1

8 B

1

2 C

1

4 D

1 16

Câu 76 Cho tứ diện S ABC tích V Gọi M , N P trung điểm SA, SB SC Thể tích khối tứ diện có đáy tam giác MNP đỉnh điểm thuộc mặt phẳng (ABC)

A

3

V

B

4

V

C

8

V

D

2

V

Câu 77 Cho hình chóp tứgiác S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc 60° Gọi M là trung điểm SC Mặt phẳng qua AM và song song với BD cắt SB tại

E và cắt SD tại F Tính thể tích V khối chóp S AEMF A

3 36 a

V = B

3 a

V = C

3 6 a

V = D

3 18 a

V =

Câu 78 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên hợp với đáy góc 60° Kí hiệu V1, V2 thể tích khối cầu ngoại tiếp, thể tích khối nón ngoại tiếp hình chóp cho Tính tỉ số

2 V V A

2 32

9 V

V = B

1

2 32 27 V

V = C

1

2 V

V = D

1

2 V V =

Câu 79 Cho hình chóp S ABCD có ABCD hình bình hành Gọi M trung điểm SA Mặt phẳng MBC chia hình chóp thành phần Tỉ số thể tích phần phần

A 3

5 B

1

4 C

3

8 D

5 Câu 80 Cho hình chóp S ABC có A B′ ′, trung điểm cạnh SA SB, Khi tỉ số

S ABC S A B C V V ′ ′

bằng

A 2 B 1

2 C

1

4 D 4

Câu 81 Cho tứ diện ABCD có cạnh AB AC, AD đơi vng góc với nhau;AB=a 3,AC=2a vàAD=2a Gọi H K, hình chiếu A trênDB, DC Tính thể tích V tứ diện

AHKD

A 3

7

V  a B 3

21

V  a C 3

21

V  a D 3

7

V  a

Câu 82 Cho hình chóp S ABC có A, B trung điểm cạnh SA SB, Tính tỉ số thể tích

' '

SABC SA B C

V V

A 4 B 1

2 C 2 D

1

Câu 83.Cho tứ diện ABCD Gọi B C', ' trung điểm AB AC, Khi tỉ số thể tích khối tứ diện AB C D' ' khối tứ diện ABCD bằng:

A 1

8 B

1

2 C

1

4 D

1

(11)

A

6 16 a

V = B

3 24 a

V = C

3

16 a

V = D

3 a

V =

Câu 85 Cho hình chóp Gọi , , , trung điểm , , , Khi tỉ số thể tích hai khối chóp

A B C D

Câu 86 Cho điểm M nằm cạnh SA, điểm N nằm cạnh SB hình chóp tam giác S ABC

cho

2

SM

MA = , SN

NB = Mặt phẳng ( )α qua MN song song với SC chia khối chóp thành phần Gọi V1 thể tích khối đa diện chứa A, V2 thể tích khối đa diện cịn lại Tính tỉ số

2 ? V V

A

5 V

V = B

1

5 V

V = C

1

6 V

V = D

1

4 V V =

Câu 87.Cho hình chóp S ABCD, có đáy ABCD hình thoi tâm O tích Tính thể tích V khối chóp S OCD

A V =4 B V =5 C V =2 D V =3

Câu 88 Cho tứ diện ABCDcó thể tích 12 G trọng tâm tam giác BCD Tính thể tích V khối chóp A GBC

A V =6 B V =5 C V =3 D V =4

Câu 89 Cho hình chóp S ABC có VS ABC. =6a3 Gọi M , N , Q điểm cạnhSA, SB , SC choSM =MA, SN =NB,SQ=2QC Tính VS MNQ. :

A a

B a3 C 2a3 D 3a3

Câu 90 Cho khối tứ diện ABCD tích V Gọi G1, G2, G3, G4 trọng tâm bốn mặt tứ diện ABCD Thể tích khối tứ diện G G G G1 2 3 4 là:

A

27

V

B

18

V

C

4

V

D

12

V

Câu 91 Cho hình chóp S ABCD Gọi A′, B′, C′, D′ theo thứ tự trung điểm SA, SB, SC, SD Tính tỉ số thể tích hai khối chóp S A B C D ′ ′ ′ ′ S ABCD

A 1

2 B

1

16 C

1

4 D

1

Câu 92 Cho tứ diện MNPQ Gọi I; J ; K trung điểm cạnh MN; MP; MQ Tính tỉ số thể tích MIJK

MNPQ V V A 1

3 B

1

6 C

1

8 D

1

Câu 93 Cho hình chóp S ABC có SA=a; SB=3a 2; SC =2a 3,   ASB=BSC =CSA= °60 Trên cạnh SB ; SC lấy điểm B′, C′ choSA=SB'=SC'=a Thể tích khối chóp S ABC là:

A 2a3 B 3a3 C a3 D

3

3 a

S ABCD A′ B′ C′ D′ SA SB SC SD

S A B C D′ ′ ′ ′ S ABCD

1

(12)

Câu 94 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng đáy (ABCD) SA=a Điểm M thuộc cạnh SA cho SM k, k

SA = < < Khi giá trị k để mặt phẳng (BMC) chia khối chóp S ABCD thành hai phần tích

A

4

k =− + B

2

k = − + C

2

k = − + D

4 k = + Câu 95 Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vng cân B, AB=a; SA vng góc mặt phẳng

(ABC), Góc mặt phẳng (SBC) mặt phẳng (ABC) 30° Gọi M trung điểm SC, thể tích khối chóp S ABM

A

3

a

B

3

3 36

a

C

3

2 18

a

D

3

3 18

a

Câu 96 Cho tứ diện ABCD Gọi M N, trung điểm ABvàAC Khi tỉ số thể tích khối

tứ diện AMNDvà khối tứ diện ABCD

A 1

8 B

1

2 C

1

6 D

1

Câu 97 Cho hình chóp tam giác S ABC tích Gọi M N P, , trung điểm cạnh , ,

AB BC CA Thể tích khối chóp S MNP bằng:

A 6 B 3 C 2 D 4

Câu 98 Cho khối chóp S ABC , gọi G trọng tâm tam giác ABC Tỉ số thể tích

S ABC

S AGC V

V bằng: A 3

2 B 3 C

1

3 D

2

Câu 99 Cho hình chóp tam giác S ABC có  ASB=CSB= °60 , ASC= °90 , SA=SB=1, SC =3 Gọi M điểm cạnh SC cho

3

SM = SC Tính thể tích V khối chóp S ABM

A

12

V = B

36

V = C

36

V = D

4

V = Câu 100 Cho hình chóp tứ giác S ABCD tích V Lấy điểm A′ cạnh SA cho SA SA

3 = ′

Mặt phẳng qua A′ song song với đáy hình chóp cắt cạnh SB SC SD, , , ,

B C D′ ′ ′ Khi thể tích khối chóp S A B C D ′ ′ ′ ′ bằng: A

27 V

B

9 V

C

3 V

D

81 V

Câu 101 Cho hình chóp S ABCD có ABCD hình bình hành có Mlà trung điểm SC Mặt phẳng ( )P qua AM song song với BD cắt SB, SD P Q Khi SAPMQ

SABCD V

V A 2

9 B

2

3 C

1

2 D

4

Câu 102 Cho khối chóp S ABC , ba cạnh SA SB SC, , lấy ba điểm A B′, , ′ C′ cho

3

SA′ = SA,

SB′ = SB,

SC′ = SC Gọi V V′ thể tích khối chóp S ABC S A B C ′ ′ ′ Khi tỉ số V

V ′

(13)

A 1

3 B

1

6 C

1

9 D

1 27

Câu 103 Cho hình chóp S ABC Gọi M trung điểm cạnh SA N điểm cạnh SCsao cho

SN = NC Tính tỉ số kgiữa thể tích khối chóp ABMNvà thể tích khối chóp SABC A

5

k= B

3

k = C

8

k= D

4 k =

Câu 104.Cho khối chóp S ABC tích Gọi M , N , P trung điểm cạnh BC, CA, AB Tính thể tích V khối chóp S MNP

A V =3 B

2

V = C

2

V = D V =4

Câu 105 Cho tứ diện ABCD tích V Điểm M thay đổi tam giác BCD Các đường thẳng qua M song song với AB, AC, AD cắt mặt phẳng (ACD), (ABD), (ABC)

N , P, Q Giá trị lớn khối MNPQ là: A

8

V

B

54

V

C

27

V

D

16

V

Câu 106 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M N theo thứ tự làtrung điểm

của SA SB Tỉ số thể tích

S CDMN

S CDAB V

V A 3

8 B

1

2 C

5

8 D

1

Câu 107 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M , N trung điểm cạnh SA, SD Mặt phẳng ( )α chứa MN cắt cạnh SB, SC Q, P Đặt SQ x

SB = , V1 thể tích khối chóp S MNQP , V thể tích khối chóp S ABCD Tìm x để 1

2

V = V

A

2

x= B 41

4

x= − + C 33

4

x=− + D x=

Câu 108 Cho hình chóp SABC Gọi M N; trung điểm SB SC ; Khi VSABC

VSAMN bao nhiêu? A 1

4 B

1

8 C

1

16 D 4

Câu 109 Cho khối chóp S ABC có M ∈SA, N∈SB cho MA= −2MS, NS= −2NB Mặt phẳng ( )α qua hai điểm M , N song song với SC chia khối chóp thành hai khối đa diện Tính tỉ số thể tích hai khối đa diện ( số bé chia số lớn )

A 3

5 B

4

9 C

3

4 D

4

Câu 110 Cho hình chóp S ABC có SA, SB, SC đơi vng góc SA=SB=SC=a Gọi B′, C′ lần

lượt hình chiếu vng góc S AB, AC Tính thể tích hình chóp S AB C ′ ′ A

3

24

a

V = B

3

48

a

V = C

3

6

a

V = D

3

12

a V =

Câu 111 Cho khối tứ diện ABCD cạnh a, M trung điểm DC Thể tích V khối chóp

M ABC bao nhiêu? A

3 24

a

V = B

3 a

V = C

3 12

a

V = D

3 24

(14)

Câu 112 Cho khối chóp tam giác tích Gọi trung điểm cạnh Thể tích khối chóp

A B C D

Câu 113 Cho khối chóp S ABC , ba cạnh SA SB SC, , lấy ba điểm A B C′, , ′ ′ cho

1

′ =

SA SA,

3

′ =

SB SB,

3

′ =

SC SC Gọi V V′ thể tích khối chóp S ABC S A B C ′ ′ ′ Khi tỉ số V′

V A 1

9 B

1

6 C

1

3 D

1 27

Câu 114 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tích Trên cạnh SC

lấy điểm E cho SE =2EC Tính thể tích V khối tứ diện SEBD

A

3

V = B

3

V = C

12

V = D

6 V =

Câu 115 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành tích V Điểm P trung điểm ,

SC mặt phẳng qua AP cắt hai cạnh SD SB M N Gọi V1 thể tích khối chóp S AMPN Tìm giá trị nhỏ V1

V ? A 3

8 B

1

3 C

1

8 D

2

Câu 116 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M , N trung điểm cạnh AB, BC Điểm I thuộc đoạn SA Biết mặt phẳng (MNI) chia khối chóp S ABCD thành hai phần, phần chứa đỉnh S tích

13 lần phần cịn lại Tính tỉ số =

IA k

IS ? A 2

3 B

1

2 C

1

3 D

3

Câu 117 Cho tứ diện ABCD tích V , gọi M , N , P, Q trọng tâm tam giác ABC, ACD , ABD BCD Thể tích khối tứ diện MNPQ

A

27

V

B

9

V

C 4

27

V

D 4

9

V

Câu 118 Cho tứ diện ABCD có AB=3a, AC=2a AD=4 a Tính theo a thể tích V khối tứ diện ABCD biết   BAC=CAD=DAB=60 °

A V =2 3a3 B V =6 2a3 C V =6 3a3 D V =2 2a3 Câu 119 Cho khối chóp S ABCD tích đáy ABCD hình bình hành Trên cạnh SC lấy

điểm E cho SE=2EC Tính thể tích V khối tứ diện SEBD A

3

V = B

6

V = C

12

V = D

3

V =

Câu 120 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD tứ giác lồi Gọi A′ điểm cạnh SA cho

4 SA

SA

′

= Mặt phẳng ( )P qua A′ song song với (ABCD) cắt SB, SC, SD B′, C′, D′ Mặt phẳng ( )P chia khối chóp thành hai phần Tỉ số thể tích hai phần là: A 37

98 B

27

37 C

4

19 D

27 87

S ABC M N P, ,

, ,

BC CA AB V S MNP

3

V =

2

V = V =4

(15)

Câu 121 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình bình hành, tích V Gọi I trọng tâm tam giác SBD Một mặt phẳng chứa AI song song với BD cắt cạnh SB SC SD, , B C D′ ′ ′, , Khi thể tích khối chóp S AB C D ′ ′ ′ bằng:

A V

B

27 V

C

3 V

D

18 V

Câu 122 Cho hình lập phương ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ cạnh a. Gọi M N, trung điểm cạnh

A B BC′ ′ Mặt phẳng (DMN) chia hình lập phương thành phần Gọi V1 thể tích phần chứa đỉnh A V, thể tích phần cịn lại Tính tỉ số

1 V V A 55

89 B

37

48 C

1

2 D

2

Câu 123 Cho tứ diện ABCD có M N P, , thuộc cạnh AB BC CD, , cho

, ,

MA=MB NB= NC PC = PD Mặt phẳng (MNP) chia tứ diện thành hai phần Gọi T tỉ số thể tích phần nhỏ chia phần lớn Giá trị T bằng?

A 19

26 B

26

45 C

13

25 D

25 43

Câu 124 Cho hình chóp S ABCD Gọi A′, B′, C′, D′ lần lượt trung điểm SA, SB, SC, SD Khi tỉ số thể tích hai khối chóp S A B C D′ ′ ′ ′ S ABCD là:

A 1

2 B

1

8 C

1

16 D

1

Câu 125 Cho hình chóp S ABC có SA, SB, SC đối vng góc; SA=a, SB=2a, SC=3a Gọi M , N , P, Q trọng tâm tam giác ABC, SAB, SBC, SCA Tính thể tích khối tứ diện

MNPQ theo a A

3

27 a

B

3 27 a

C

3

9 a

D

3 a

Câu 126 Cho tứ diện ABCD cạnh Xét điểm M cạnh DC mà 4DM =DC Thể tích tứ diện ABMD

A

12

V = B

12

V = C

8

V = D

48 V =

Câu 127 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang với AD//BC AD=2BC Kết luận sau đúng?

A VS ABCD. =2VS ABC. B VS ABCD. =4VS ABC. C VS ABCD. =6VS ABC. D =3

S ABCD S ABC

V V

Câu 128 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên hợp với đáy góc 60° Gọi M điểm đối xứng với C qua D; N trung điểm SC, mặt phẳng (BMN) chia khối chóp

S ABCD thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần A 7

5 B

7

3 C

1

5 D

1

Câu 129 Cho khối chóp S ABC ;M Nlần lượt trung điểm cạnh SA,SB; thể tích khối chóp

S MNC bằnga3 Thể tích khối chóp S ABC

A a3 B 12a3 C 8a3 D 4a3

Câu 130 Cho hình chópS ABCD có đáy ABCD hình bình hành, M N theo thứ tự trung điểm SA SB Tính tỉ số thể tích

S CDMN

S CDAB V

(16)

A 1

2 B

1

4 C

5

8 D

(17)

TỈ SỐ THỂ TÍCH B LỜI GIẢI CHI TIẾT

Câu Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD tứ giác lồi, tam giác ABD cạnh a, tam giác BCD

cân C BCD=120° SA⊥(ABCD) SA=a Mặt phẳng ( )P qua A vng góc

với SC cắt cạnh SB, SC, SD M , N , P Tính thể tích khối chóp S AMNP

A

3 12

a

B

3

3 42

a

C

3

2

21

a

D

3

3 14

a

Hướng dẫn giải Chọn B

Gọi O trọng tâm tam giác ABD I trung điểm BD

2

a AI = ;

1

3

a OI = AI =

Tam giác ICD vng I có ICD = °60 ,

2

a

ID= BD= cot 60

6

a IC=ID ° = O

⇒ C đối xứng qua đường thẳng BD

3

a AC AI IC

⇒ = + =

Khi BD AC BD (SAC)

BD SA ⊥ 

⇒ ⊥  ⊥

 ⇒BD⊥SC Mà SC⊥( )P nên BD//( )P

Do ( ) ( )

( ) ( ) //

P SBD MP

MP BD

SBD ABCD BD

∩ =

 ⇒



∩ = 

Lại có ( )

( )

BD SAC

BD AN

AN SAC

⊥

 ⇒ ⊥ 

⊂

 ⇒ AN ⊥MP Tam giác SAC vng A có SN SC =SA2

2 SN SA SC SC

⇒ = 2 2

7

SN SA

SC SA AC

⇒ = =

+

Tam giác ABC có SD=a ; 2

3

a

BC= IC +IB = AC2 = AB2+BC2

⇒ tam giác ABC vuông B ⇒BC⊥(SAB); AM ⊂(SAB) ⇒BC⊥ AM S

A D

C B

M

N

P

(18)

Lại có tam giác SAB vng nên AM ⊥SB ⇒M trung điểm SB SM

SB ⇒ =

Mà MP//BD nên

2 SP SM SD= SB =

Mặt khác

ABCD ABC BCD

S =S∆ +S∆

2

0

3

.sin120

4

a a

CB CD

= + = Suy

3

S ABCD a

V =V =

Khi

S AMN

S ABC

V SM SN

V = SB SC

3

14

= = . 28 S ANP

V V

⇒ = Do

3 28 S ANM

V = V

Vậy

3 14

S AMNP

S ABCD V

V =

3

3 42

S AMNP a V

⇒ =

Câu Cho hình chóp tứ giác S ABCD Mặt phẳng ( )P qua A vng góc SC cắt SC SB SD, ,

lần lượt B C D′ ′ ′, , Biết 3SB′ =2SB Gọi V V1, thể tích hai khối chóp

′ ′ ′ ′

S A B C D vàS ABCD Tỉ số

V V A

2

4 V

V = B

1

1 V

V = C

1

2 V

V = D

1

2 V

V =

Ta có ' '

3

SB SD

SB = ⇒ SD = , cần tìm

' SC

SC

Tọa độ hóa với Ox≡OC Oy, ≡OB OS Oz, ≡ đặc biệt hóa cho OA=1

( )

( ) ( ) ( )

1;0;0

1;0;0 , 0;0; 1;0; A

C S a SC a

 −  ⇒ 

⇒ = −

 

( ) (P : x 1) az x az

⇒ + − = ⇔ − + =

Ta có ( ) ( ) ( )

0

0;1;0 0;1; :

x

B SB a SB y t t

z at =  

⇒ = − ⇒  = + ∈

 = − 





Cho giao với ( )

2

1

1 ' 0;1 ;

P a t B

a a

 

⇒ + = ⇒  − 

(19)

Ta có ( ) ( )

( )

2

3

3 0;0; 3

1

3 0;1 ; 0;1;

3 : 3 1 0

3

S a

a a a

a a P x z

a a

a

 − = 

 

 − − = − ⇒ ⇒ = ⇒

 

 

   − = −  − + =



Cho SCgiao với

( )

' '

' ' '

' '

2 1 3

1 ' 1

' ;0;

1

2 2

3

S AB C

S ABC

S AB C D S ABCD S AC D

S ACD V

V SC

P C V V

V SC

V

 = =



  

⇒  ⇒ = ⇒ ⇒ =

   = =



Câu Cho hình chóp S ABC có  ASB=ASC =BSC= °60 SA=2; SB=3; SC=7 Tính thể tích V

của khối chóp

A V =4 B

2

V = C

3

V = D V =7

Lấy hai điểm B′, A′ hai cạnh SB SC cho SB′ =2, SC′ =2

Ta có hình chóp S AB C ′ ′ hình tứ diện có cạnh

2

12

S AB C V ′ ′

⇒ = 2

3

=

Ta lại có:

S AB C

S ABC

V SA SB SC

′ ′ = ′ ′ 2.

3 =

21 =

21 S AB C S ABC

V

V ′ ′

⇒ = 21.2

3.4

=

2

=

Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành M trung điểmSC, mặt phẳng ( )P

chứa AM song song với BD, cắt SBvà SDlần lượt B′ vàD′ Tỷ số ' '

S AB MD

S ABCD V

V

A 3

4 B

2

3 C

1

6 D

1

Hướng dẫn giải Chọn D

2

7

A

B

C S

B'

(20)

Gọi tâm hình bình hành đáy

Đường thẳng qua song song cắt

Ta có

nên

Tương tự nên

Câu 5.Cho hình chóp S ABCDcó thể tích V Gọi M , N trung điểm SA, MC Thể tích khối chóp N ABCD

A

3

V

B

6

V

C

4

V

D

2

V

Hướng dẫn giải Chọn C

Đặt B=SABCD, d S( ;(ABCD))=h Suy V = Bh

Vì M trung điểm SA nên ( ;( )) ( ;( ))

2

d M ABCD = d S ABCD , Lại N trung điểm MC nên ( ;( )) ( ;( ))

2

d N ABCD = d M ABCD Suy

( )

( ) ( ( ))

; ;

4

d N ABCD = d S ABCD = h Từđó ta có

( )

1 1

;

3 4

N ABCD

V

V = d N ABCD B= Bh=

Câu 6.Cho khối lăng trụ tam giác ABC A B C ′ ′ ′ tích Tính thể tích V khối chóp

A AB C′ ′ ′ O I =AO∩SO

I BD SB SD, B′ ′, D

SAB MD SAB M SAMD V ′ ′ =V ′ +V ′

2 1

3

SAB M SABC

V SB SM

V SB SC

′ = ′ = =

6 SAB M SABCD V ′ = V

1

SAMD SACD

V V

′ =

6 SAMD SABCD

V ′= V

3 SAB MD SABCD V ′ ′= V

D'

B' I

M

D O

A

C B

(21)

A V =3 B

V = C

4

V = D

3 V =

Hướng dẫn giải

ChọnD

Ta có: . . ( ;( )) .

3 3

A AB C A A B C A B C ABC A B C

V ′ ′ ′ =V ′ ′ ′= d A A B C′ ′ ′ ⋅S∆ ′ ′ ′= ⋅V ′ ′ ′=

Câu Trong không gian Oxyz, cho điểm A, B, C thay đổi trục Ox, Oy, Oz

luôn thỏa mãn điều kiện: tỉ số diện tích tam giác ABC thể tích khối tứ diện OABC

bằng

2 Biết mặt phẳng (ABC) tiếp xúc với mặt cầu cố định, bán kính mặt

cầu

A 4 B 1. C 3 D 2

Ta có

( )

1

,

3

ABC ABC

OABC

ABC

S S

V

S d O ABC =

( )

( , )

d O ABC =

Mà

2

ABC

OABC S

V = nên d O ABC( ,( ))=2

Vậy mặt phẳng (ABC) tiếp xúc mặt cầu tâm O, bán kính R=2

Câu 8.Cho lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′ tích 12 3a3 Thể tích khối chóp A ABC′

A V =4 3a2 B V =2 3a3 C V =4 3a3 D

3

4 a V =

Ta có VABC A B C. ′ ′ ′ =SABC.AA′=12 3a3

3

'

1

.12

3

A ABC ABC

V = S AA′= a = a

Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a.Hai mặt phẳng (SAB) (SAD) vng góc với đáy, biết SC=a Gọi M , N , P, Q trung điểm cạnh

SB, SD, CD, BC Tính thể tích khối chóp A

3

4

a

B

3

8

a

C

3

12

a

D

3

a

O

A

B C

z

x

(22)

Gọi F =PQ∩AC Dễ thấy AF ⊥PQ

Mặt khác (MNPQ)//SC nên(SAC) (∩ MNPQ)=EF (EF //SC F; ∈SA) Dựng AH ⊥EF DoPQ⊥(SAC) nên PQ⊥ AH

Suy AH ⊥(MNPQ) ⇒AH =d A MNPQ( ;( ))

Ta có: 3

4

a

AE= AC= ;

4

AF = AS 2

4

a

SC AC

= − = Suy ra:

2 2

4

AF AE a

AH

AE AF

= =

+

Mặt khác BD⊥SCnên PQ⊥QM suy tứ giácMNPQlà hình chữ nhật

MNPQ

S =MQ QP

2

1

4

a BD SC

= =

Vậy .

3

A MNPQ MNPQ

V = AH S

3

8

a

=

Câu 10 Cho hình chóp S ABC có A′ B′ trung điểm SA SB Biết thể tích khối chóp

S ABC 24 Tính thể tích V khối chóp S A B C ′ ′

A V =3 B V =12 C V =8 D V =6

Ta có

S A B C

S ABC

V SA SB SC

′ ′ = ′ ′ 1.

2 =

4 =

Vậy

1 S A B C S ABC V ′ ′ = V

1 24

= =6

A' B'

A B

(23)

Câu 11 Cho khối tứ diện tích V Gọi V′ thể tích khối đa diện có đỉnh trung điểm cạnh

của khối tứ diện cho Tính tỉ số V

V ′

A

4 V

V ′

= B V

V ′

= C V

V ′

= D V

V ′

=

Gọi khối tứ diện cho ABCD

Gọi E, F, G, H, I , J trung điểm AD, AB, AC, BC, CD, BD

Khi ta có: V =V′+4.VA FEG

Mặt khác

1 A FEG

V = V

Suy 1

2

V

V V V

V ′ ′

= + ⇒ =

Câu 12 Cho hình chóp S ABCD đáy hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với đáy, SB hợp

với đáy góc 45° H, K hình chiếu A lên SB , SD mặt phẳng (AHK), cắt

SC tại I Khi thể tích của khối chóp S AHIK là:

A

3

6 a

V = B

3

12 a

V = C

3

18 a

V = D

3

36 a V =

H G

E F

J

B D

C A

(24)

Ta có SBA =45° ⇒SA= AB=a

Lại có BC SA BC (SAB) BC AH

BC AB ⊥ 

⇒ ⊥ ⇒ ⊥

 ⊥



Mà AH ⊥SB⇒ AH ⊥(SBC)⇒ AH ⊥SC⇒SC ⊥ AH

Tương tự SC ⊥ AK⇒ SC⊥(AHK)⇒SC ⊥ AI

Ta có

2

1

2

SA SI a SI

AC = IC = a = ⇒ SC =

Tỉ số . .

1 1

2 12

S AHI

S AHI S ABCD S ABC

V SA SH SI

V V

V = SA SB SC = ⇒ =

Tỉ số

1 1

3 12

S AIK

S AIK S ABCD S ACD

V SA SI SK

V V

V = SA SC SD = ⇒ =

3

1 1

6 18

S AHIK S AHI S AIK S ABCD

a

V V V V a a

⇒ = + = = =

Câu 13 Cho khối chóp S ABC , M trung điểm cạnh BC Thể tích khối chóp S MAB 2a

Thể tích khối chóp S ABC

A

2a B

4a P

C

P

3

4

a

P

P D

3 2a

3

S ABC SMAB

V = V = a

Câu 14 Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tích V Trên cạnh

SB,SC lấy điểm M N, cho SM =3MB SN, =NC Mặt phẳng (AMN) cắt

cạnh SD điểm P Tính thể tích khối chóp S MNP theo V

A V

B

4 V

C 9

80 V

D 7

40 V

Trong mp(SBC)gọi E=MN∩BC Trong mp(ABCD)gọi F =AE∩BD Trong mp(SBD)gọi P=FM ∩SD Khi đóP=(AMN)∩SD

Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác SBCta có: EB NC MS

EC NS MB=

1 EB EC ⇒ =

Lại có: EB AD

2

FB EB EB

FD AD BC

⇒ = = =

Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác SBDta có: PD MS FB

PS MB FD =

2 PD

PS

⇒ = SP SD ⇒ =

Khi đó:

1 SMNP SMNP

SBCD

V V

V = ⋅V

SM SN SP SB SC SD

= ⋅ ⋅ 3

4 40

= ⋅ ⋅ = 80 SMNP

V V

⇒ =

Câu 15 Cho tứ diện ABCD tích 12 I trung điểm CD, M trung điểm BI Tính thể tích V khối chóp A MCD

A V 4 B V6 C V 3 D V 5

(25)

Câu 16 Cho hình chóp S ABCD tích V Gọi M , N trung điểm SA, MC Thể tích khối chóp N ABCD

A

6

V

B

4

V

C

2

V

D

3

V

Chọn B

Đặt B=SABCD, d S( ;(ABCD))=h Suy V = Bh

Vì M trung điểm SA nên ( ;( )) ( ;( ))

2

d M ABCD = d S ABCD , Lại N trung điểm MC nên ( ;( )) ( ;( ))

2

d N ABCD = d M ABCD Suy

( )

( ) ( ( ))

; ;

4

d N ABCD = d S ABCD = h Từđó ta có

( )

1 1

;

3 4

N ABCD

V

V = d N ABCD B= Bh=

Câu 17 Cho tứ diện ABCD có DA=1,DA⊥(ABC) ∆ABC tam giác đều, có cạnh Trên ba

cạnh DA, DB, DC lấy điểm M N P, , mà 1, 1,

2

DM DN DP

DA = DB = DC = Thể tích V tứ

diện MNPD

A

96

V = B

12

V = C

96

V = D

12

V =

D

1 3

.1

3 12

ABC

V = =

1

2

DMNP

DABC

V DM DN DP

V = DA DB DC = =

1 3

8 12 96

DMNP V

⇒ = =

Câu 18 Cho hình chóp tứ giác S ABCD tích V Trên cạnh SA lấy A′ cho SA′ = SA

Mặt phẳng qua A′ song song với mặt đáy hình chóp cắt cạnh SB, SC, SDlần lượt

tại B', C′, D′ Tính thể tích khối chóp S A B C D ′ ′ ′ ′

S

A

B C

D

O M

(26)

A 81 V

B

27 V

C

3 V

D

9 V

Hướng dẫn giải Chọn A

Ta có

3

SA SB SC SD

′ ′ ′ ′

= = = = (theo Talet) Áp dụng cơng thức tỉ số thể tích ta có:

1 1

3 3 81 81

S A B C D

A B C D S ABCD

V SA SB SC SD V

V V SA SB SC SD

′ ′ ′ ′

= = = ⇒ =

Câu 19 Cho tứ diện ABCD có DA=1; DA⊥(ABC).∆ABC tam giác đều, có cạnh Trên cạnh

, ,

DA DB DC lấy điểm M N P, , cho 1; 1;

2

DM DN DP

DA = DB = DC = Thể tích tứ diện

MNPD

A

96

V = B

12

V = C

96

V = D

12

V =

1 3

.1

3 12

ABCD

V = =

1

2

DMNP

DABC

V DM DN DP

V = DA DB DC = =

Suy 3

8 12 96

DMNP

V = =

Câu 20 Cho khối chóp S ABCD tích a3 Gọi

, , ,

M N P Q theo thứ tự trung điểm

, , ,

SA SB SC SD Thể tích khối chóp S MNPQ là:

A

16

a

B

a

C

a

D

6

(27)

Ta có: Tứ giác MNPQ đồng dạng với tứ giác ABCD với tỉ số

k = Đường cao h′ hình

chóp S MNPQ

2 đường cao h hình chóp S ABCD

Từ đó:

2

1 1

3 2

S MNPQ MNPQ ABCD

h V = S h′=    S

 

3

1

8 S ABCD

a V

= =

Chú ý:Có thể tách khốiS MNPQ làm khối nhỏ sử dụng cơng thức tỷ số thể tích Câu 21 Cho khối chóp S ABC Gọi A′, B′ trung điểm SA SB Khi tỉ số thể tích

của hai khối chóp S A B C ′ ′ S ABC bằng: A 1

4 B

1

6 C

1

2 D

1

Ta có

1 1

2

S A B C

S ABC

V SA SB

′ ′ = ′ ′= =

Câu 22 Cho hình chóp S ABCD có ABCD hình bình hành M N P Q, , , trung điểm

củaSA SB SC SD, , , Tỉ số thể tích khối chóp S MNPQ khối chóp S ABCD

A

8 B

1

4 C

1

16 D

1

Vì ABCD hình bình hành nên SABC SACD

Do VS ABCD 2VS ABC 2VS ACD

(28)

S MNPQ S MNP S MPQ S MNP S MPQ S MNP S MPQ

S ABCD S ABCD S ABCD S ABCD S ABC S ACD

V V V V V V V

V V V V V V



    

1 1 1

2 16 16

SM SN SP SM SP SQ SA SB SC SA SC SD

    

Câu 23 Cho hình chóp S ABCD có SA⊥(ABCD), ABCD hình chữ nhật SA= AD=2a Góc

(SBC) mặt đáy (ABCD) 60° Gọi G trọng tâm tam giác SBC Tính thể tích khối chóp

S AGD A

3 16

9 a

B

3

32

27

a

C

3

8

27

a

D

3

4

9

a

Vì góc (SBC) mặt đáy (ABCD) 60° nên SBA= °60

tan 60

SA a

AB

⇒ = =

°

Khi đó: 2

3

ABCD

a a

S =AB AD= a=

Gọi M trung điểm BC, đó:

2

1

2

ADM ABCD

a

S = S =

⇒ . . .2 2 3

3 3 27

S ADG S ADM

a a

V = V = a =

Câu 24 Cho hình chóp S ABCD tích bằng48, đáy ABCD hình thoi Các điểm M N P Q, , ,

thuộc SA SB SC SD, , , thỏa:SA=2SM SB, =3SN SC, =4SP, SD=5SQ Thể tích khối chóp

S MNPQ

A 4

5 B

6

5 C

2

5 D

8

1 24

=

SMNP SABC

V V ,

40

=

SMPQ SACD

V V

1

.24 24

24 40

⇒VSMNPQ = + =

Câu 25 Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vng B, cạnh SA vng góc với đáy, góc

 60

ACB= °, BC=a, SA=a Gọi M trung điểm SB Tính thể tích V khối tứ

diện MABC

G

M

D

A B

(29)

A

6

a

V = B

3

4

a

V = C

3

a

V = D

3

2

a V =

Cách (Tính trực tiếp)

Gọi H trung điểm AB ⇒MH SA// , mà SA⊥(ABC) ⇒MH ⊥(ABC)

3

2

SA a

MH = =

Tam giác ∆ABC nửa tam giác AC=2BC=2a 3

AC

AB= =a nên diện tích đáy

là:

2

1

2 2

ABC

a S = AB BC= a a=

Vậy thể tích 3

3 2

MABC ABC

a a a

V = S MH = =

Cách (Áp dụng tỷ số thể tích tứ diện)

Vì M trung điểm SB nên tỷ số thể tích tứ diện

2

MABC

SABC

V SM

V = SB =

1 MABC SABC

V V

⇒ =

Tam giác ∆ABC nửa tam giác AC=2BC=2a 3

AC

AB= =a nên diện tích đáy:

2

1

2 2

ABC

a S = AB BC= a a=

Do 3

3 2

SABC ABC

a a

V = S SA= a = Vậy

3

4

MABC a V =

Câu 26 Cho tứ diện ABCD Gọi B′ C′ trung điểm AB AC, Khi tỉ số thể tích

khối tứ diện AB C D′ ′ khối ABCD bằng:

A 1

2 B

1

4 C

1

6 D

1

Hướng dẫn giải a a 3

60o H

M

A

B

C S

a

a 3

60o

M

A

B

(30)

Chọn B

Ta có ' ' . 1.

2

′ ′

= = =

AB C D

ABCD

V AB AC

Câu 27 Cho hình đa diện hình vẽ

Biết SA=6, SB=3, SC=4, SD=2     ASB=BSC=CSD=DSA=BSD= °60 Thể tích khối

đa diện S ABCD

A 10 B 6 C 5 D 30

Trên SA, SB, SC lấy điểm A′, B′, C′ cho SA′=SB′=SC′=SD=2 Ta có

A B′ ′=B C′ ′=C D′ =DA′= Khi hình chóp S A B D ′ ′ hình chóp S CB D ′ hình chóp

tam giác có tất cạnh

3

2 2

12

S A B D S C B D

V ′ ′ =V ′ ′ = =

Mặt khác

S ABD

S A B D

V SA SB SD

V ′ ′ = SA SB SD′ ′

3

2

= = , nên . .

2 S ABD S A B D

V = V ′ ′ 2

2

= =

3

2

S CBD

S C B D

V SC SB SD

V ′ ′ = SC SB SD′ ′ = = , nên VS CBD =3VS C B D ′ ′

2

3 2

3

= =

Thể tích khối đa diện S ABCD

S ABD S CBD

V =V +V =3 2+2 =5 A

D

C B

(31)

Câu 28 Cho tứ điện MNPQ Gọi I J K, , trung điểm cạnh MN MP MQ, , Tính tỉ số thể tích

MIJK MNPQ

V V A 1

6 B

1

3 C

1

4 D

1

Ta có:

8

MIJK MNPQ

V MI MJ MK

V  MN MP MQ 

Câu 29 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy,

=

SA a Gọi B′, D′ hình chiếu A lên SB, SD Mặt phẳng (AB D′ ′) cắt SC

tại C′ Thể tích khối chóp S AB C D′ ′ ′ là:

A

3

2

3 = a

V B

3

2

9 = a

V C

3

2

3 = a

V D

3

2 = a

V

C'

D

C B

S

B' A'

K

J I

M

P

(32)

Ta có: . .2

= S ABCD

V a a

3

2 =a

Vì B′, D′ hình chiếu A lên SB, SDnên ta có SC⊥(AB D′ ′)

Gọi C′là hình chiếu A lên SC suy SC⊥AC′mà AC′∩(AB D′ ′)= A nên

( )

′⊂ ′ ′

AC AB D hay C′=SC∩(AB D′ ′)

Tam giác S AC vuông cân A nên C′ trung điểm SC Trong tam giác vng S AB′ ta có

2

′ =

SB SA SB SB

2

2 = a

a =

′ ′ ′ = ′ ′+ ′ ′

S AB C D S AB C S AC D

S ABCD S ABCD

V V V

V V

1

′ ′ ′ ′

 

=  + 

 

SB SC SD SC SB SC SD SC

′ ′ =SB SC

SB SC

2 =

3 =

Vậy

9 ′ ′ ′ =

S AB C D a

V

Câu 30 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Hai mặt bên (SAB) (SAD)

cùng vng góc với mặt đáy Biết góc hai mặt phẳng (SCD) (ABCD) 45° Gọi

1;

V V thể tích khối chóp S AHK S ACD với H, K trung điểm SC

và SD Tính độ dài đường cao khối chóp S ABCD tỉ số

2 V k

V

=

A ;

8

h= a k= B ;

h= a k = C ;

4

h=a k = D ;

6 h=a k=

C' D'

O

D A

B C

S

B'

A

B C

D S

H

K

(33)

Do (SAB) (SAD) vng góc với mặt đáy nên SA⊥(ABCD)

Ta có CD AD CD (SAD) CD SD

CD SA ⊥

 ⇒ ⊥ ⇒ ⊥  ⊥



Dễ thấy góc hai mặt phẳng (SCD) (ABCD) SDA= °45

Ta có tam giác SAD tam giác vuông cân đỉnh A Vậy h=SA=a

Áp dụng cơng thức tỉ số thể tích có:

2

1

4

V SH SK V = SC SD =

Câu 31.Cho khối tứ diện OABC với OA OB OC, , vng góc đơi OA=a,OB=2 ,a OC =3a

Gọi M N, trung điểm hai cạnh AC BC, Thể tích khối tứ diện OCMN tính

theo a bằng: A

3

a

B a 3 C

3

2

a

D

4

a

Ta có 1

3 OABC

V =  OA OB OC =a

  (đvtt)

Ta có

OCMN

OCAB

V CM CN

V = CA CB = Vậy

3

1

4

OCMN OABC

a

V = V =

Câu 32 Cho khối chóp S ABC Trên ba cạnh SA , SB , SC lần lượt lấy ba điểm A′, B′, C′ cho

3

SA′ = SA;

SB′ = SB;

SC′ = SC Gọi V V ' thể tích khối chóp

S ABC S A B C′ ′ ′ Khi tỉ số ' V V A

12 B 24 C

1

24 D 12

Ta có 3.4.2 24

' ' ' '

V SA SB SC

V = SA SB SC = =

Câu 33 Cho hình 16Tchóp16T S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy,

2 =

SA a Một mặt phẳng qua A vng góc với SC cắt SB, SD, SC B′, D′,

C′ Thể tích khối chóp S AB C D′ ′ ′ là:

A

3

2

3 = a

V B

3

2

9 = a

V C

3

2

3 = a

V D

3

2 = a

V

(34)

Ta có: . .2

= S ABCD

V a a

3

2 =a

Ta có AD′ ⊥(SDC) ⇒AD′⊥SD; AB′ ⊥(SBC)⇒AB′⊥SB Do SC⊥(AB D′ ′)⇒SC⊥ AC′

Tam giác S AC vuông cân A nên C′ trung điểm SC Trong tam giác vng S AB′ ta có

2 SB SA

SB SB

′

= 22

3 = a

a =

′ ′ ′ = ′ ′+ ′ ′

S AB C D S AB C S AC D

S ABCD S ABCD

V V V

V V

1

′ ′ ′ ′

 

=  + 

 

SB SC SD SC SB SC SD SC

′ ′ =SB SC

SB SC

2 =

3 =

Vậy

9 ′ ′ ′ =

S AB C D a

V

Câu 34 Cho khối tứ diện ABCD tích 2017 Gọi M , N, P, Q trọng tâm tam giác ABC, ABD, ACD, BCD Tính theo V thể tích khối tứ diện MNPQ

A 2017

27 B

4034

81 C

8068

27 D

2017

Chọn A

1

AEFG EFG

ABCD BCD

V S

V = S =

1

AEFG ABCD

V V

⇒ =

C' D'

O

D A

B C

S

(35)

8

27

AMNP

AEFG

V SM SN SP

V = SE SE SG =

8

27 27 27

AMNP AEFG ABCD ABCD

V V V V

⇒ = = = Do mặt phẳng (MNP) (// BCD) nên 1

2

QMNP

QMNP AMNP

AMNP V

V V

V = ⇔ =

1 2017

2 27 27 27

QMNP ABCD ABCD

V = V = V =

Câu 35 Cho khối chóp S ABC , M trung điểm cạnh SA Tỉ số thể tích khối chóp S MBC

thể tích khối chóp S ABC

A 1 B 1

6 C

1

2 D

1

Theo công thức tính thể tích tỷ số thể tích

1

S MBC

S ABC

V SM

V = SA =

Câu 36 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a Cạnh bên SA vng góc với mặt đáy

=

SA a Gọi B D′ ′; hình chiếu vng góc A cạnh SB SD, Mặt phẳng

(AB D′ ′) cắt cạnh SC C′ Tính thể tích khối chóp S AB C D ′ ′ ′

A

16 45

a

B

3

2

a

C

3

2

a

D

3

a

Ta có VS AB C D ′ ′ ′ =2VS AB C ′ ′ ( )1 mà ( )*

′ ′ = ′ ′

SAB C

SABC

V SB SC

∆SAC vuông A nên SC2 =SA2+AC2 =( )2a 2+( )a 2 =6a2 suy SC=a

Ta có BC⊥(SAB)⇒BC⊥ AB′ SB⊥AB′ suy AB′ ⊥(SBC) nên AB′ ⊥BC

Tương tự AD′ ⊥SC Từ suy SC⊥(AB D′ ′) (≡ AB C D′ ′ ′) nên SC⊥AC′

Mà SC SC′ =SA2 suy

2 2

4

6

′

= = =

SC SA a

SC SC a Ta có

2 2

2 2 2

4

′

= = = =

+ +

SB SA SA a

SB SB SA AB a a

I

O A

D C

B S

D'

(36)

Từ ( )* 15 ′ ′ ⇒ SAB C =

SABC V

V suy

8 8

15 15 30

′ ′ = = =

SAB C SABC SABCD SABCD

V V V V mà

3 3 = = SABCD ABCD a

V S SA

Suy

3

8

30 45

′ ′ = =

SAB C

a a

V

Từ ( )1 suy

3 16 45 ′ ′ ′ = ′ ′=

S AB C D S AB C a

V V

Câu 37 Cho hình chóp S ABC có  ASB=CSB=600, ASC=900, SA=SB=a SC; =3a.Thể tích V

khối chóp S ABC là:

A

2

a

V = B

3

6 18

a

V = C

3

2 12

a

V = D

3

6

a V =

Gọi M điểm đoạn SC cho SC=3SM ⇒AB=BM =a AM; =a 2⇒ ∆ABM

vuông B ⇒ Trung điểm H AM tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABM

(ABM) SH ⇒ ⊥ 12 SABM a V ⇒ = SABM SABC V SM

V = SC = ⇒

3 SABC SABM a

V = V =

Câu 38 Cho tứ diện ABCD có DA=1,DA⊥(ABC) ∆ABC tam giác đều, có cạnh Trên ba

cạnh DA, DB, DC lấy điểm M N P, , mà 1, 1,

2

DM DN DP

DA = DB = DC = Thể tích V tứ

diện MNPD bằng:

A

12

V = B

12

V = C

96

V =

D

3 96

V =

D

1 3

.1

3 12

ABC

V = =

1

2

DMNP

DABC

V DM DN DP

V = DA DB DC = =

1 3

8 12 96

DMNP V

⇒ = =

Câu 39 Cho hình chóp S ABC có M , N trung điểm SA, SB Tính thể tích khối chóp

S MNC biết thể tích khối chóp S ABC 8a3

A VSMNC =a3 B VSMNC =2a3 C VSMNC =6a3 D VSMNC =4a3

Ta có:

1

4

S MNC

S MNC S ABC S ABC

V SM SN SC

V V a

(37)

Câu 40.Một hình lăng trụ có đáy tam giác cạnh a, cạnh bên b tạo với mặt phẳng đáy

một góc α Thể tích khối chóp có đáy đáy lăng trụ đỉnh điểm đáy

cịn lại

A

cos

4 a b α B

2

3

sin

4 a b α C

2

3

cos

12 a b α D

2

3

sin

12 a b α

Gọi H hình chiếu A′ (ABC) Khi α =A AH′

Ta cóA H′ = A A′ sinα =bsinα nên thể tích khối lăng trụ

3 sin

4

ABC A B C ABC a b

V ′ ′ ′ =A H S′ ∆ = α

Lại có chiều cao chóp theo u cầu đề chiều cao lăng trụ A H′ nên

thể tích khối chóp

1 sin

3 12

S ABC ABC A B C a b

V = V ′ ′ ′ = α

Câu 41 Cho hình chóp S ABC Gọi M , N trung điểm SA, SB Tính tỉ số

S ABC

S MNC V V A 1

4⋅ B

1

2⋅ C 2 D 4

Chọn D

Ta có VS ABC

V =

4

SA SB SC SM SN SC =

H'

C

B A

B'

C' A'

H

S

N

C

B A

(38)

Câu 42.Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành tích 48 Trên cạnh

SA,SB,SC,SD lấy điểm A′,B′,C′ D′ cho

3 SA SC

SA SC ′ ′

= =

3 SB SD

SB SD

′ ′

= = Tính thể tích V khối đa diện lồi SA B C D′ ′ ′ ′

A

2

V = B V =9 C V =4 D V =6

Ta có V =VSA B C D′ ′ ′ ′ =VS D A B. ′ ′ ′+VS D C B. ′ ′ ′

3 4

S D A B S DAB

V ′ ′ ′ = V

3 16 2VS ABCD

= 48 32

= =

Tương tự:

9 S D C B

V ′ ′ ′=

Vậy V =9

Câu 43 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên hợp với đáy góc 60° Gọi

M điểm đối xứng C qua D, N trung điểm SC Mặt phẳng (BMN) chia khối chóp

S ABCD thành hai phần Tỉ số thể tích hai phần (phần lớn phần bé) bằng:

A 7

5 B

1

7 C

7

3 D

6

D'

B' C' A'

D

B A

S

(39)

Giả sử điểm hình vẽ

E=SD∩MN⇒E trọng tâm tam giác SCM , DF //BC⇒F trung điểm BM

Ta có: (,( ))  60

2

a

SD ABCD =SDO= ° ⇒SO= , 2

2

a SF = SO +OF =

( )

, ;

2

2 SAD

a a

d O SAD OH h S SF AD

⇒ = = = = =

1 MEFD

MNBC

V ME MF MD

V = MN MB MC⋅ ⋅ =

( )

5 1 5

,

6 18 72

BFDCNE MNBC SBC SAD

a

V V d M SAD S h S

⇒ = = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

3

1

3 36

S ABCD ABCD SABFEN S ABCD BFDCNE

a a

V = SO S = ⇒V =V −V = ⋅

Suy ra:

5 SABFEN BFDCNE

V

V = ⋅

Câu 44 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên hợp với đáy góc 60

Gọi M điểm đối xứng với C qua D; N trung điểm SC, mặt phẳng (BMN ) chia

khối chóp S ABCD thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần

A 1

7 B

7

5 C

1

5 D

7

E N

M F

O

A B

C D

S

H

a

60°

H K

N

M

I O

A

S

B

(40)

Đặt 1

2

?

SABIKN NBCDIK

V V V

 

  

 



* . 6

3

S ABCD

a

V  a  a

* . .2

3 3 12

N BMC BMC BMC

SO a

V  NH S  S  a a  a

* Nhận thấy K trọng tâm tam giác SMC

3

MK MN

 

*

1

2

M DIK M CBN

V MD MI MK

V  MC MB MN  

3

2 CBN

5 6

6 12 72

M CBN M DIK M

V V V V a a

     

3

3 3

1

2

7

6 72

6 72 72 5 6

72

S ABCD

a V

V V V a a a

V

a

        

Câu 45 Cho khối chóp tam giác S ABC tích V Điểm M trung điểm đoạn thẳng AB,

N điểm nằm AC cho AN =2NC Gọi V1 thể tích khối chóp S AMN Tính tỉ số

1 V V

A 1

6 V

V = B

1 V

V = C

1 V

V = D

1 V V =

. . 1 .1 1.

2 3 ASMN

ASBC V

V AS AM AN

V =V = AS AB AC = =

Câu 46 Cho khối chóp S ABCD tích V Các điểm A′, B′, C′ tương ứng trung điểm cạnh

SA, SB, SC Thể tích khối chóp S A B C ′ ′ ′

A 16

V

B

8 V

C

4 V

D

2 V

Ta có

1

8

S A B C

S A B C S ABC

V SA SB SC V

V

V SA SB SC

′ ′ ′

(41)

Câu 47 Cho tứ diện ABCD tích 12và I trung điểm CD, M trung điểm BI Tính thể tích V khối chóp A MCD

A V 5 B V 4 C V 6 D V3

Câu 48 Cho khối chóp S ABC có SA=9,SB=4,SC =8 đơi vng góc Các điểm A B C′ ′ ′, , thỏa

mãn SA=2.SA′, SB=3.SB′, SC=4.SC′ Thể tích khối chóp S A B C ′ ′ ′

A 2 B 24 C 16 D 12

1

3

S ABC SBC

V  SA S  SA SB SC

Ta có:

24

SA B C SABC

V SA SB SC

      

2

SA B C

V   

 

Câu 49 Cho hình chóp tứ giác S ABCD tích bầng V Lấy điểm A′ cạnh SA cho

3

SA′ = SA Mặt phẳng qua A′ song song với mặt đáy hình chóp cắt cạnh SB SC SD, ,

lần lượt tạiB C D′ ′ ′, , Khi thể tích chóp S A B C D ′ ′ ′ ′ bằng:

A V

B

27 V

C

9 V

D

81 V

Vì (A B C D′ ′ ′ ′) (/ / ABCD)⇒ A B′ ′/ /AB B C, ′ ′/ /BC C D, ′ ′/ /CD

Mà ' D

3 D

SA SB SC S

′ ′ ′ = ⇒ = = =

Gọi V V1, VS ABC ,VS AC D

Ta có V +V =V C'

B' A'

C

B A

(42)

1

27 27

S A B C

S A B C S ABC

V SA SB SC V

V

V SA SB SC

′ ′ ′

= = ⇔ =

D

1

27 27

S A D C

S A C D S AC

V SA SC SD V

V

V SA SC SD

′ ′ ′

= = ⇔ =

Vậy

' ' ' 'C'D'

27 27

S A B C D S A B C S A

V V V

V ′ ′ ′ ′ =V +V = + =

Vậy ' ' '

27 S A BC D

V

V =

Câu 50 Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a Gọi E, F trung điểm cạnh SB, SC Biết mặt phẳng (AEF) vng góc với mặt phẳng (SBC) Tính thể tích khối chóp S ABC

A

6 12

a

B

3

5

a

C

3

3 24

a

D

3

5 24

a

Chọn D

Gọi M , N trung điểm cạnh BC EF; H trọng tâm tam giác ABC

Ta có ( ) ( )

( ) ( ) ( )1

AEF SBC

AEF SBC EF

⊥ 



∩ = 

Trong mặt phẳng (SBC), ta có EF// BC

SM BC

  ⊥

 nên EF ⊥SM ( )2

Từ (1) (2) suy SM vng góc với mặt phẳng (AEF) N

Mặt khác

Tam giác SHM vng H có cosM HM ( )3 SM =

Tam giác AMN vng N có cosM MN ( )4 AM =

Từ (3) (4) ta có HM MN

SM = AM ⇔SM MN =HM AM (vì N trung điểm SM )

2

1

2SM 3AM

⇔ = 2

2

a

SM AM

⇔ = =

Tam giác SHM vng H có

3

a

HM = AM = SH = SM2−HM2 a = S

A

B

C F

E

H M

(43)

Khi

3 S ABC ABC

V = S SH

3

5 24

a

=

Câu 51 Cho hình chóp tứ giác S ABCD tích V Lấy A′ cạnh SA cho

SA′ = SA Mặt

phẳng qua A′ song song với đáy hình chóp cắt cạnh SB SC SD, , B C′, ′, D′

Khi thể tích khối chóp S A B C D ′ ′ ′ ′ là:

A 81 V

B

3 V

C

9 V

D

27 V

3

1

3 27 54

S A B C S ABC

V SA SB SC V V

V

V SA SB SC

′ ′ ′

′ ′ ′  

= =  ⇒ = =  

3

1

3 27 54

S A D C S ADC

V SA SD SC V V

V

V SA SD SC

′ ′ ′

′ ′ ′  

= =  ⇒ = =  

54 54 27 S A B C D S A B C S A C D

V V V

V ′ ′ ′ ′ =V ′ ′ ′+V ′ ′ ′ = + =

Câu 52 Cho hình chóp S ABCD tích 18, đáy hình bình hành Điểm M thuộc cạnh SD

cho SM =2MD Mặt phẳng (ABM) cắt SC N Tính thể tích khối chóp S ABNM

A 9 B 6 C 10 D 12

Có : ( ) ( )

/ /

M ABM SCD

AB CD ∈ ∩ 





(ABM) (SCD) MN/ /CD ⇔ ∩ =

2 2

S ABNM SANM SANB

SABCD SACD SACB

V V V SM SN SN

V V V SD SC SC

  = + =  + =

 

Vậy :

5

10

9 S ABNM SABCD

V = V =

Câu 53 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA vng góc với mặt đáy Gọi M

là trung điểm BC Mặt phẳng ( )P qua A vng góc với SM cắt SB, SC E,

F Biết

1 S AEF S ABC

V = V Tính thể tích V khối chóp S ABC

A

2

a

V = B

3

8

a

V = C

3

2

a

V = D

3

12

a V =

(44)

Ta có BC⊥SM Gọi H hình chiếu vng góc A SM Do FE=( ) (P ∩ SBC) FE SM

⇒ ⊥ ⇒FE BC FE qua H

1 S AEF S ABC

V = V

4 SE SF SB SC ⇔ =

2

1

SH SM

 

⇔  =

 

1 SH SM

⇒ = Vậy H trung điểm cạnh SM

Suy ∆SAM vuông cân A

2

a SA

⇒ =

Vậy 3

3

SABC

a a

V =

3

8

a

=

Câu 54 Cho khối chóp tứ giác S ABCD Mặt phẳng qua trọng tâm tam giác SAB, SAC, SAD chia

khối chóp thành hai phần tích V1 V2 (V1<V2) Tính tỉ lệ

1 V V A 16

75 B

8

27 C

16

81 D

8 19

Gọi G1, G2, G3 trọng tâm tam giác SAB, SAD, SAC

F

E

M S

B

C A

(45)

Gọi I, J trung điểm AB, AC 3

SG SG

SI = = SJ //

G G IJ

⇒ ⇒ G G1 3//(ABC)

Chứng minh tương tự ta có G G2 3//(ABC)

Suy (G G G1 2 3) ( // ABCD)

Qua G1 dựng đường song song với AB, cắt SA, SB M , N

Qua N dựng đường song song với BC, cắt SC P

Qua P dựng đường song song với CD, cắt SD Q

⇒Thiết diện hình chóp S ABCD cắt bới (G G G1 3) tứ giác MNPQ

Ta có

S MNP

S ABC V V

SM SN SP

SA SB SC =

27

= 27 S MNP S ABC

V V

⇒ = (1)

Tương tự ta có

8 27 S MPQ S ACD

V V

⇒ = (2)

Từ (1) (2) suy

8 27 S MNPQ S ABCD

V = V 1

27

V V

⇒ = 2 1 19 27

V V V V

⇒ = − = Vậy

8 19

V

V =

Câu 55 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có M , N, P, Q trung điểm cạnh SA , SB , SC , SD Tỉ số

S MNPQ

S ABCD V

V A 1

6 B

1

16 C

3

8 D

1

Ta có áp dụng cơng thức tỉ số thể tích, ta có

S MNP

S ABC

V SM SN SP

V = SA SB SC

S MQP

S ADC

V SM SQ SP

V = SA SD SC Vì M, N, P, Qlà trung điểm cạnh SA, SB, SC, SD

2

SM SN SP SQ

SA SB SC SD

⇒ = = = =

Và . . .

2

S ABC S ADC S ABCD

V =V = V suy

1 1

1 8 8 8

S MNP S MQP S MNPQ

S ABCD S ABCD

V V V

V V

+

= + ⇒ =

Câu 56 Cho tứ diện MNPQ Gọi I; J; K trung điểm cạnh MN; MP; MQ Tỉ 2018

thể tích MIJK

MNPQ V

V bằng:

A 1

4 B

1

6 C

1

8 D

1

(46)

Ta có:

1 1

2 2 M IJK

M NPQ

V MI MJ MK

V = MN MP MQ = =

Câu 57 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tích Trên cạnh SC

lấy điểm E cho SE=2EC Tính thể tích V khối tứ diện SEBD

A

3

V = B

6

V = C

12

V = D

3 V =

Ta có: . .

2

S BCD S ABCD

V = V = Mặt khác:

2

3 3

S EBD

S EBD S CBD S CBD

V SE

V V

V = SC = → = =

Câu 58 Cho hình chóp A BCD có đáy BCD tam giác vng C với BC =a, CD=a Hai mặt

(ABD) (ABC) vng góc với mặt phẳng (BCD) Biết AB=a, M , N thuộc cạnh AC, AD cho AM =2MC, AN =ND Thể tích khối chóp A BMN

A

2

9

a

B

3

a

C

3

3 18

a

D

3

a

Do AM =2MC

3 AM

AC ⇒ =

Ta có

2 1

3

A BMN

A BCD

V AM AN

V = AC AD = = Mà

3

1 1

3 6

A BCD

a V = AB BC CD= a a a =

K

J I

N Q

P M

A

B

C

M

N

D

a a

(47)

3

3 18

A BCD A BMN

V a

V

⇒ = =

Câu 59 Cho tứ diện ABCD Gọi B′ C′ trung điểm AB AC Tính tỉ số thể tích khối tứ diện AB C D′ ′ khối tứ diện ABCD

A 1

8 B

1

2 C

1

4 D

1

Ta có: 1

2

AB C D

ABCD

V AB AC

′ ′ = ′⋅ ′= ⋅ =

Câu 60 Cho hình chóp tam giác S ABC có đáy ABC tam giác vng tạiBvà SAvng góc với mặt

phẳng (ABC) mp ABC( )quaAvng góc với đường thẳng SBcắt SB SC, tạiH K, Gọi

1,

V V tương ứng thể tích khối chóp S AHK S ABC Cho biết tam giác SABvng

cân, tính tỉ số

2 V V A

2

1

V

V = B

1

V

V = C

1

2

V

V = D

1

V V =

Ta có: HK / /BC ⊥SB (SBC), mà H trung điểm SBnên K trung điểmSC

Vậy có (xemAlà đỉnh):

4

SHK

SBC S V

V′= S =

Câu 61 Cho tứ diện MNPQ Gọi I J K; ; trung điểm cạnh MN MP MQ; ; Tỉ số thể tích MIJK

MNPQ V

V A 1

4 B

1

3 C

1

6 D

1

Trong trường hợp áp dụng công thức tỉ lệ thể tích hình chóp tam giác:

1 1

2 2 MIJK

MNPQ

V MI MJ MK

V = MN MP MQ = =

Câu 62 Cho khối chóp S ABCD có đáy hình bình hành ABCD Gọi M , N , P, Q trọng tâm tam giác SAB, SBC, SCD, SDA Biết thể tích khối chóp S MNPQ V, thể

(48)

A 81 V

B 27

4 V

C

2

9

2 V

   

  D

9 V

Chọn B

Ta có ( ( ))

( )

( ,, ) 23

d S MNPQ SM

SI d S ABCD = =

Mặt khác gọi S=SABCD ta có

1 1

4

DEJ

BDA S S

∆ ∆

= =

16 DEJ

S∆ S

⇒ =

Tương tự ta có

4

JAI

DAB S S

∆ ∆

=

8 JAI S∆

⇒ =

Suy 4.1 2.1

16

HKIJ

S = −  + S = S  

  Mà

2

3

MNPQ

HKIJ S

S

  =  =

 

2

MNPQ ABCD

S S

⇒ =

Suy . ( ,( ))

S ABCD

V = d S ABCD S ( ,( )).9 27 2d S MNPQ 2S V = =

Câu 63 Cho hình chóp tứgiác S ABCD , M trung điểm SC Mặt phẳng ( )P qua AM song song với BD cắt SB, SD N,K Tính tỉ số thể tích khối S ANMK khối chóp

S ABCD

A B C D

Chọn B

F

E J

Q P

H

N

K M

I O

D

S

A

B C

2

1

(49)

Gọi H tâm hình vng ABCD, E=SH∩AM ⇒E trọng tâm ∆SAC SE SK

SH SD

⇒ = SN SB

= = Ta có

S AKM

S ADC

V SA SK SM V = SA SD SC

2 1

3

= = S AKM S ABCD

V V

⇒ =

Tương tự

1

S ANM

S ABC V

V =

1 S ANM S ABCD

V V

⇒ =

Từđó VS ANMK. =VS ANM. +VS AKM. . . 6VS ABCD 6VS ABCD

= + . 3VS ABCD =

Câu 64 Cho khối chópS ABC Trên đoạn SA SB SC, , lấy ba điểm A B′, , ′ C′ cho

1 1

; ;

2

SA′= SA SB′= SB SC′= SC Khi tỉ số thể tích hai khối chóp S A B C ′ ′ ′ S ABC

bằng

A

24 B

1

2 C

1

12 D

1

Ta có: ' ' '

1 1

2 24

S A B C S ABC

V SA SB SC

′ ′ ′

= = =

Câu 65 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, AB=a, SA vuông góc với mặt

phẳng (ABC), góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 30° Gọi M trung điểm

cạnh SC Thể tích khối chóp S ABM bằng:

A

3 18

a

B

3 24

a

C

3 36

a

D

3 12

a

(50)

Tam giác ABC vuông cân B AB=a nên

2

ABC

a

S∆ =

Góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) gócSBA= °30

Tam giác SAB vng A: tan 30 3

a SA= °AB= Ta có:

3

1 3

3 18 36

S ABC S ABC ABC S ABM

V

a a

V = SA S∆ = ⇒V = =

Câu 66 Cho hình chóp S ABC , M trung điểm SB, điểm N thuộc cạnh SC thỏa SN =2NC Tỉ số

S AMN

S ABC V

V A 1

3 B

1

6 C

1

5 D

1

Ta có

1 1

2

S AMN

S ABC

V AM AN

V = AB AC = =

Câu 67 Cho tứ diện ABCD có cạnh AB AC, AD đơi vng góc với nhau, AB=a AC; =2a

AD= a Gọi M N trung điểm củaBD CD, Tính thể tích V tứ diệnADMN

A

4

a

V = B V =a3 C

3

a

V = D

3

2

a V =

( )

AB AC

AB ACD AB AD

⊥ 

⇒ ⊥



⊥ 

1 1

3

ABCD ACD

V = S∆ AB= AC AD AB 1.2 a a a a = =

Áp dụng cơng thức tỉ số thể tích ta có:

a

2a 3a

B

A C

D N

M

S

A

C M

(51)

3

1 1

.1

2 4

D MAN

D MAN D BAC D BAC

V DM DA DN a

V V

V = DB DA DC = = ⇒ = =

16T

Câu 68 Cho khối chóp 16T S ABC có   ASB=BSC=CSA= °60 , SA=a, SB=2 ,a SC=4a Tính thể tích

khối chóp S ABC theo a

A

2

3

a

B

3

4

3

a

C

3

2

a

D

3

8

3

a

Lấy M ∈SB, N∈SC thoả mãn: SM =SN =SA=a

1 SM

SB SN SC  =  ⇒ 

 = 

Theo giả thiết:   

60

ASB=BSC=CSA= ⇒ S AMN khối tứ diện cạnh a

Do đó:

2 12

S AMN a

V =

Mặt khác :

S AMN

S ABC

V SM SN

V = SB SC

1 1

= = . . 3

S ABC S AMN a

V V

⇒ = =

Câu 69 Cho hình chóp S ABCD Gọi A′, B′, C′, D′ lần trung điểm cạnh SA,SB,SC,SD Tính tỉ số thể tích hai khối chóp S A B C D ′ ′ ′ ′ S ABCD

A 1

8 B

1

16 C

1

2 D

1 12

Chọn A

N

M

C

B A

(52)

Ta có

SA B C

SABC

V SA SB SC

′ ′ ′ = ′ ′ ′= , . .

8

SA C D

SACD

V SA SD SC

′ ′ ′ = ′ ′ ′=

Suy

S A B C D

S ABCD V

V

′ ′ ′ ′

8

SA B C SA B C SA C D

SABC SABC SACD

V V V

′ ′ ′ ′ ′ ′+ ′ ′ ′

= = =

+

Vậy

8

SA B C D

SABCD V

V

′ ′ ′ ′ =

Câu 70.Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành tích V Điểm P trung điểm SC, mặt phẳng qua AP cắt cạnh SD SB M N Gọi V1 thể tích khối chóp

S AMPN Tìm giá trị nhỏ V1 V ?

A 1

3 B

2

3 C

3

8 D

1 Hướng dẫn giải

Chọn A

D

C B

A

D'

C' B'

A'

S

I

O N

M P

D

C

B A

(53)

Đặt SM =x

SB , =

SN y

SD , 0<x, y≤1 Vì SA+SC = SB +SD

SA SP SM SN nên

1

3

+ = + ⇒ = −

x y

x y x

Khi

1 1 1

2 2 2 2

= S ANP + S AMP = + = +

S ADC S ABC

V V

V SA SN SP SA SM SP

y x

V V V SA SD SC SA SB SC

( )

1

4

 

= + =  + 

−

 

x

x y x

x Vì x>0, y>0 nên 1

3< <x Xét hàm số ( )

4

 

=  + 

−

 

x

f x x

x

1 ;1

 

 

 

Ta có ( )

( )2

1

4

  ′ =  − 

−   f x

x ; ( )

2

3 ′ = ⇔ =

f x x

Bảng biến thiên x

3

2

1

y′ – +

y ||

1

3

Vậy giá trị nhỏ V1 V

1

Câu 71 Cho tứ diện S ABC Gọi G1, G2, G3 trọng tâm tam giác ∆SAB,∆SBC, SCA

∆ Tính

S G G G

S ABC V

V

A

48 B

2

27 C

1

36 D

2 81

Gọi M , N, P trung điểm cạnh AB, BC, CA Ta có

G3 G2

N P M

A

B

C S

(54)

1

2 2 8

3 3 9 27

SG G G

SG G G SMNP SABC

SMNP V

V V V

V = = ⇒ = = =

Câu 72 Cho khối chóp S ABC , ba cạnh SA, SB, SC lấy ba điểm A′, B′, C′ cho

3

SA′ = SA,

SB′ = SB,

SC′ = SC Gọi V V′ thể tích khối chóp S ABC

và S A B C ′ ′ ′ Khi tỉ số V V ′

A 1

6 B

1

3 C

1

27 D

1

Ta có 1

3 3 27 V SA SB SC

V SA SB SC ′ ′ ′ ′

= = =

Câu 73 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành tích V Gọi M trung điểm

SB Plà điểm thuộc cạnh SD cho SP=2DP Mặtphẳng (AMP) cắt cạnh SC N Tính

thể tích khối đa diện ABCDMNP theo V

A 23

30 ABCDMNP

V = V B

30 ABCDMNP

V = V C 19

30 ABCDMNP

V = V D

5 ABCDMNP

V = V

Gọi O tâm hình bình hành Gọi I =MP∩SO⇒N =AI∩SC Ta có:

I

O M

O I

O

M

A B

C S

S

D

B S

A C

P

N

P

(55)

1

3 D 2

7

2 D 12

SPM SPI SMI SPI SMI

SDB SDB SDO SBO

S S S S S

SP SM

S SB S S S S

SI SP SM SI SI

SO S SB SO SO

∆ ∆ ∆ ∆ ∆

∆ ∆ ∆ ∆

+

= = = = +

 

=  + = ⇒ =

 

Suy ra:

2

2 2 7

2

SAN SAI SNI SAI SNI

SAC SAC SAO SCO

S S S S S

SN SI SI SN SN

SC S S S S SO SO SC SC

SN SC

∆ ∆ ∆ ∆ ∆

∆ ∆ ∆ ∆

+

= = = + = + = + ⇒ =

Suy ra:

D

2 2S D 2S D 30

S AMNP S AMP S MNP S AMP S MNP

S AB S BCPD

V V V V V SA SM SP SM SN SP

V V V V A SB S B SC S

+

= = + = + =

D

23 30 ABC MNP

V V

⇒ =

Câu 74 Cho khối lăng trụ ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ tích 12, đáy ABCD hình vng tâm O Thể

tích khối chóp A BCO′

A 1 B 4 C 3 D 2

( )

1

,

3 12

A BCO BCO ABCD A B C D

V ′ = d A′ BCO S = V ′ ′ ′ ′ =

Câu 75 Cho hình chóp S ABCD Gọi M , N , P, Q theo thứ tự trung điểm SA, SB, SC, SD

Tính tỉ số thể tích hai khối chóp S MNPQ S ABCD

A 1

8 B

1

2 C

1

4 D

1 16

(56)

Ta có . . S MNP S ABC

V = V . .

8 S MQP S ADC

V = V

1 1

8 8

S MNPQ S MQP S MNP S ABC S ADC S ABCD

V V V V V V

⇒ = + = + =

1 S MNPQ

S ABCD V V

⇒ =

Câu 76 Cho tứ diện S ABC tích V Gọi M , N P trung điểm SA, SB SC Thể tích khối tứ diện có đáy tam giác MNP đỉnh điểm thuộc mặt phẳng

(ABC) A

3 V

B

4 V

C

8 V

D

2 V

Dễ thấy khoảng cách từđỉnh tứ diện cần tính thể tích đến mặt phẳng (MNP) khoảng cách từđỉnh S đến mặt phẳng (MNP)

Ta có:

1

8

S MNP

S ABC

V SM SN SP

V = SA SB SC = nên S MNP V

V =

Câu 77 Cho hình chóp tứgiác S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc 60° Gọi M là trung điểm SC Mặt phẳng qua AM và song song với BD cắt

SB tại E và cắt SD tại F Tính thể tích V khối chóp S AEMF A

3 36 a

V = B

3 a

V = C

3 6 a

V = D

3 18 a

V =

Q

P N

M

A

B

C

(57)

Chọn D

Trong mặt phẳng (SBD):EF∩SO=I Suy A M I, , thẳng hàng Trong tam giác SAC hai trung tuyến AM SO, cắt I suy

3 SI SO=

Lại có //

3 SE SF SI

EF BD

SB SD SO ⇒ = = =

Ta có:

3

S AEM

SABC

V SE SM

V = SB SC⋅ =

3

S AFM

SADC

V SF SM

V = SD SC⋅ =

Vậy

1

3

S AEM S AFM S AEMF

S ABC S ADC S ABCD

V V V

+ = ⇒ =

+

Góc cạnh bên đáy S ABCD góc SBO= °60 suy

a SO=BO = Thể tích hình chóp S ABCD

3

1

3

S ABCD ABCD

a

V = SO S =

Vậy

6 18

S AEMF a

V =

Câu 78 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên hợp với đáy góc

bằng 60° Kí hiệu V1, V2 thể tích khối cầu ngoại tiếp, thể tích khối nón ngoại tiếp

hình chóp cho Tính tỉ số

2 V V A

2 32

9 V

V = B

1

2 32 27 V

V = C

1

2 V

V = D

1

2 V V =

F

E I

M

O C A

D

B

(58)

Gọi O tâm hình vng ABCD Suy SO⊥(ABCD) Và góc cạnh bên SA với mặt đáy (ABCD) góc SAO Theo giả thuyết SAO= °60 , nên tam giác SAC đều, suy SA=a

6

a SO=

Gọi M trung điểm SA Trong (SAC), đường trung trực cạnh SA cắt SO I

Khi đó, IS=IA=IB=IC=ID nên I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD

Tam giác SAO có SI SO =SM SA

2

6

2

SA a

SI R

SO

⇒ = = =

Ta lại có, khối nón ngoại tiếp hình chóp có đường trịn đáy ngoại tiếp hình vng ABCD nên có

bán kính đáy

2

a

r= chiều cao

2

a h=SO=

Suy

3

1

2

4

3 32

9

1

3 2

a V

V a a

π π

     

= =

     

Câu 79 Cho hình chóp S ABCD có ABCD hình bình hành Gọi M trung điểm SA Mặt phẳng

MBC chia hình chóp thành phần Tỉ số thể tích phần phần

A 3

5 B

1

4 C

3

8 D

5

Kẻ MN AD N// ,( ∈SD) Mặt phẳng (MBC) cắt hình chóp S ABCD theo thiết diện hình thang

MNCB Gọi V thể tích khối chóp S ABCD

1 1

2

S MBC

S MBC S ABC S ABC

V SM

V V V

V = SA = ⇒ = =

1 1

2

S MNC

S MNC S ADC S ADC

V SM SN

V V V

V = SA SD = ⇒ = =

3

8

S MNCB S MBC S MNC MNDCBA

V =V +V = V ⇒V = V

Vậy tỉ số thể tích phần với phần

I M

O S

D C

(59)

Câu 80 Cho hình chóp S ABC có A B′ ′, trung điểm cạnh SA SB, Khi tỉ số

S ABC

S A B C V V ′ ′

bằng

A 2 B 1

2 C

1

4 D 4

Ta có

S ABC

S A B C

V SA SB SC

V ′ ′ ′ SA SB SC

= =

′ ′

Câu 81 Cho tứ diện ABCD có cạnh AB AC, AD đơi vng góc với nhau;AB=a 3,AC=2a vàAD=2a Gọi H K, hình chiếu A trênDB, DC

Tính thể tích V tứ diệnAHKD

A 3

7

V  a B 3

21

V  a C 3

21

V  a D 3

7

V  a

Ta có:

2

2 2

1 D

2

= = =

+ D AHK

D ABC

V SA SK DH DH B AD

V SA SC DB DB AD AB

2

1

2

= =

+ a

a a

3

1 1

3 3

= = =

D ABC ABC

a

V DA S a a a

Suy

3

4

21

= =

AHKD D AHK a

V V

M

N

D C

B A

S

2a

2a K D

A C

(60)

Câu 82 Cho hình chóp S ABC có A, B trung điểm cạnh SA SB, Tính tỉ số thể tích

' '

SABC SA B C

V V

A 4 B 1

2 C 2 D

1

Ta có ' '

4

' ' ' '

SABC

SA B C

V SA SB SC SA SB V = SA SB SC = SA SB =

Câu 83.Cho tứ diện ABCD Gọi B C', ' trung điểm AB AC, Khi tỉ số thể tích khối tứ diện AB C D' ' khối tứ diện ABCD bằng:

A 1

8 B

1

2 C

1

4 D

1

Chọn C

Ta có AB C D' '

ABCD V

V =

' '

AB AC

1 1

2

= =

Câu 84.Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy (ABCD),

góc hai mặt phẳng (SBD)và (ABCD)bằng 60° Gọi M , N trung điểm

SB, SC Tính thể tích khối chóp S ADMN

A

6 16

a

V = B

3

6 24

a

V = C

3

16

a

V = D

3

6

a V =

B'

C'

B D

(61)

Gọi O tâm hình vng ABCD Khi ta có SOA góc hai mặt phẳng (SBD)và

(ABCD) nên SOA = °60 Khi tan 60 SA AO

° = tan 60

2

SA AO a

⇒ = ° =

2

a

=

Ta có

1

4

S AMN

S ABC

V SA SM SN

V = SA SB SC =

1

2

S AND

S ACD

V SA SN SD

V =SA SC SD =

Do

1 1

2

S ADMN S ABCD

V = V  + 

 

3 8VS ABCD

= 6

8 16

a a

a

= =

Câu 85 Cho hình chóp Gọi , , , trung điểm , , , Khi

đó tỉ số thể tích hai khối chóp

A B C D

Chọn C

Ta có

Mạt khác:

O N M

A D

B C

S

S ABCD A′ B′ C′ D′ SA SB SC SD

S A B C D′ ′ ′ ′ S ABCD

1

1 16

C' D' B'

A'

A D

B

C S

;

S ABCD S ABD S CBD

V =V +V VS A B C D. ′ ′ ′ ′ =VS A B D. ′ ′ ′+VS C B D. ′ ′ ′

1 1

;

2 2

S A B D

S ABD

V SA SB SD

(62)

Vậy,

Câu 86 Cho điểm M nằm cạnh SA, điểm N nằm cạnh SB hình chóp tam giác S ABC

cho

2 SM

MA = , SN

NB = Mặt phẳng ( )α qua MN song song với SC chia khối chóp thành phần Gọi V1 thể tích khối đa diện chứa A, V2 thể tích khối đa diện cịn lại Tính tỉ số

2

?

V V A

2

5

V

V = B

1

5

V

V = C

1

6

V

V = D

1

4

V V =

Chọn A

- Trong mặt phẳng (SAC) dựng MP song song với SC cắt AC P Trong mặt phẳng (SBC)

dựng NQ song song với SC cắt BC Q Gọi D giao điểm MN PQ Dựng ME

song song với AB cắt SB E (như hình vẽ)

- Ta thấy:

3 SE SM SB = SA =

1

SN NE NB SB

⇒ = = =

Suy N trung điểm củaBE DM , đồng thời

DB=ME= AB 1, .1

4

DB DN

DA DM

⇒ = =

Do / /

2

DQ DN

NQ MP

DP DM

⇒ = =

- Nhận thấy: V1=VD AMP. −VD BNQ.

1 1

4 2 16 D BNQ

D AMP

V DB DN DQ

V = DA DM DP = =

1 16 D BNQ D AMP

V V

⇒ =

15 15

16 D AMP 16 M ADP

V V V

⇒ = =

- Do / /

3

QB NB

NQ SC

CB SB

⇒ = = ( )

( ;; ) 13

d N DB QB d C AB CB

⇒ = = ( ; ) ( ; )

3

d Q DB d C AB ⇒ =

1 1

2 2

S C B D

S CBD

V SC SB SD

′ ′ ′ = ′⋅ ′⋅ ′= ⋅ ⋅ =

1

S A B C D

S ABCD V

V

(63)

( )

1

;

2 QDB

S d Q DB DB

⇒ = 1 ( ; ).1 d C AB 3AB 9SCAB

= =

9

ADP ABC

S S

⇒ = Và ( ;( )) ( ;( ))

3

d M ADP = d S ABC

( )

1

;

3

M ADP ADP

V d M ADP S

⇒ = ( ;( )).8 16 . 3d S ABC 9SABC 27VS ABC

= =

1

15 16

16 27 S ABC S ABC

V V V

⇒ = = 2 . 1 .

S ABC S ABC

V V V V

⇒ = − =

Vậy

5

V V =

Câu 87.Cho hình chóp S ABCD, có đáy ABCD hình thoi tâm O tích Tính thể tích Vcủa khối chóp S OCD

A V =4 B V =5 C V =2 D V =3

Cách Gọi h chiều cao khối chóp S ABCD

Ta có 1.4

3

SABCD ABCD OCD SOCD SOCD

V S h S h V V

= = = = ⇒ =

Cách Ta có hai hình chóp có chiều cao mà SABCD =4SOCD SOCD V

⇒ = =

Câu 88 Cho tứ diện ABCDcó thể tích 12 G trọng tâm tam giác BCD Tính thể tích V khối chóp A GBC

A V =6 B V =5 C V =3 D V =4

O C

A D

B

(64)

Cách 1:

Phân tích: tứ diện ABCD khối chóp A GBC có đường cao khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) Do G trọng tâm tam giác BCD nên ta có

∆BGC = ∆BGD = ∆CGD

S S S ⇒S∆BCD =3S∆BGC(xem phần chứng minh) Áp dụng cơng thức thể tích hình chóp ta có:

1 1

.

3 3

1

3

∆ ∆

∆ ∆ ∆

∆

 = 

⇒ = = = 

 =



ABCD BCD BCD

ABCD BCD

A GBC GBC

GBC

A GBC GBC

V h S h S

V S

h S

V h S

1

.12

3

⇒VA GBC = VABCD = =

Chứng minh: Đặt DN=h BC; =a Từ hình vẽ có:

+) // 1

2 2

⇒ MF =CM = ⇒ = ⇒ =h

MF ND MF DN MF

DN CD

+) // 2

3 3

⇒ GE = BG = ⇒ = = h = h

GE MF GE MF

MF BM

+)

1

2 3 3

1

2

∆

∆ ∆

∆

= = = ⇒ = BCD

BCD GBC

GBC

DN BC ha

S

S S

h S

GE BC a

+) Chứng minh tương tự có S∆BCD =3S∆GBD =3S∆GCD

∆ ∆ ∆

⇒S BGC =S BGD =S CGD



G

I D

B

C A

H1 H

E B

C

D

M N

F

A

B

C

(65)

 ( ( ))

( )

( ; ) ( ;( )) ( ;( ))

3

; = = ⇒ =

d G ABC GI

d G ABC d D ABC

DI

d D ABC

Nên . ( ;( ))

3 ∆

= = =

G ABC ABC DABC

V d G ABC S V

Câu 89 Cho hình chóp S ABC có

S ABC

V = a Gọi M , N , Q điểm cạnhSA,

SB, SC choSM =MA, SN =NB,SQ=2QC Tính VS MNQ. : A

3

2

a

B a3 C 2a3 D 3a3

Ta có

S MNQ

S ABC

V SM SN SQ

V = SA SB SC

1 2 =

6

= S MNQ S ABC

V V

⇒ = 6 a =

a =

Câu 90 Cho khối tứ diện ABCD tích V Gọi G1, G2, G3, G4 trọng tâm bốn mặt tứ diện

ABCD Thể tích khối tứ diện G G G G1 2 3 4 là:

A 27

V

B

18 V

C

4 V

D

12 V

Chọn A

Gọi I J K, , trung điểm BC, BD DC

Gọi h khoảng cách từ A đến (BCD), h1 khoảng cách từ G4 đến (G G G1 2 3) Vì (G G G1 2 3) (/ / BCD) nên d G( 4,(G G G1 2 3))=d G( 1,(BCD))=G H1 2 =h′, h= AH1

1 1

h KG

h KA

⇒ = = 1 h h ⇒ =

Gọi S, S′, S1 diện tích tam giác BCD, IJK G G G1 2 3

ần lượt trung điể ủ

Q N

M

A C

B S

H 2

H 1

G 3

G 2

G 1

G 4

K J

I

B C

(66)

( ) ( ) ( )

1 1 1

, , ,

2 2 4

BC

S′ = JK d I JK = d D BC = BC d D BC = S ( )1

Tam giác G G G1 2 3 đồng dạng với tam giác KIJ với tỉ sốđồng dạng là: 2 G G AG

Ik = Ak =

1

3

S S

  ⇒ =  =

′  

4 S S′

⇒ = ( )2 (Vì tỉ số diện tích bình phương tỉ sốđồng dạng) Từ ( )1 ( )2 1

9 S S ⇒ =

Thể tích khối từ diện G G G G1 là: 1

1 1

3 27 27

S h V

V = S h = =  S h=

 

Câu 91 Cho hình chóp S ABCD Gọi A′, B′, C′, D′ theo thứ tự trung điểm SA, SB, SC, SD

Tính tỉ số thể tích hai khối chóp S A B C D ′ ′ ′ ′ S ABCD

A 1

2 B

1

16 C

1

4 D

1

Ta có

1

8

S A B D

S ABD

V SA SB SD

′ ′ ′ = ′ ′ ′=

1 16

S A B D

S ABCD V V

′ ′ ′

⇒ =

Và

1

8

S B D C

S BDC

V SB SD SC

′ ′ ′ = ′ ′ ′=

1 16

S B D C

S ABCD V V

′ ′ ′

⇒ =

Suy

1 1

16 16

S A B D S B D C

S ABCD S ABCD

V V

′ ′ ′ + ′ ′ ′ = + =

1

S A B C D

S ABCD V

V

′ ′ ′ ′

⇒ =

Câu 92 Cho tứ diện MNPQ Gọi I ; J ; K trung điểm cạnh MN; MP; MQ Tính tỉ số thể tích MIJK

MNPQ V V A 1

3 B

1

6 C

1

8 D

1

D' C'

B' A'

D

C

B A

(67)

Do I ; J ; K nằm ba cạnh MN; MP; MQ nên theo công thức tỉ số thể tích cho khối chóp tam giác ta có MIJK

MNPQ

V MI MJ MK

V = MN MP MQ

1 1 2 = =

Câu 93 Cho hình chóp S ABC có SA=a; SB=3a 2; SC =2a 3,   ASB=BSC=CSA=60° Trên cạnh SB ; SC lấy điểm B′, C′ choSA=SB'=SC'=a Thể tích khối chóp

S ABC

là:

A 2a3 B 3a3 C a3 D

3

3 a

Trên cạnh SB; SC lấy điểm B C', ' cho

' '

SA=SB =SC =a suy S AB C' ' hình chóp có mặt bên tam giác suy

' ' ' ' '

AB =B C =C A Ta có:

2

3

;

4 3

ABC

a a a

S = AH = ⇒SH = SA −AH =

Khi

3 ' '

2 12

S AB C a

V = Lại có ' '

1

' ' 6

S AB C

S ABC

V SA SB SC

V = SA SB SC =

Do

S ABC

V =a

Câu 94 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng đáy

(ABCD) SA=a Điểm M thuộc cạnh SA cho SM k, k

SA = < < Khi giá trị k

để mặt phẳng (BMC) chia khối chóp S ABCD thành hai phần tích

A

4

k= − + B

2

k = − + C

2

k= − + D

4 k = +

Giả sử (MBC) cắt SD N Khi MN BC AD// // suy SM SN k k( 0)

(68)

Ta có

,

S MBC S MNC

S ABC S ADC

V SM V SM SN

k k

V = SA = V = SA SD = Do đó:

2

;

2

S MBC S MNC

S ABCD S ABCD

V k V k

V = V = Bài toán t/m

− + ⇔ 2+ − = ⇒ =1 0

2 k k k

Câu 95 Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vng cân B, AB=a; SA vng góc mặt phẳng

(ABC), Góc mặt phẳng (SBC) mặt phẳng (ABC) 30° Gọi M trung điểm

SC, thể tích khối chóp S ABM

A

3

a

B

3

3 36

a

C

3

2 18

a

D

3

3 18

a

( ) ( )

 

0 3

; 30 30

3 SABC 18

SBC ABC = ⇒SBA= ⇒SA= a ⇒V =a

 

 

3

1

2 36

SABM

SABM SABC

V a

V

V = ⇒ =

Câu 96 Cho tứ diện ABCD Gọi M N, trung điểm ABvàAC Khi tỉ số thể tích

khối tứ diện AMNDvà khối tứ diện ABCD

A 1

8 B

1

2 C

1

6 D

1

Ta có

4

AMND ABCD

V AM AN AD

V = AB AC AD =

Câu 97 Cho hình chóp tam giác S ABC tích Gọi M N P, , trung điểm cạnh , ,

AB BC CA Thể tích khối chóp S MNP bằng:

A 6 B 3 C 2 D 4

Chọn C

k k

2+ =2

B

D

C A

M

(69)

( ) ( )

( )

1

, 2 .2 ,

2 4

1 . ,

,

2

∆ ∆

= = = =

⇒ = = S ABC ABC

S MNP MNP

S ABC S MNP

BC d A BC MP d N MP

V S

V S MP d N MP MP d N MP

V V

Câu 98 Cho khối chóp S ABC , gọi G trọng tâm tam giác ABC Tỉ số thể tích

S ABC

S AGC V

V bằng:

A 3

2 B 3 C

1

3 D

2

Ta có ( )

( )

;

3 ;

S ABC ABC

S AGC AGC

d B AC

V S BO BL

V S d G AC GN GL

∆ ∆

= = = = =

Câu 99 Cho hình chóp tam giác S ABC có  ASB=CSB= °60 , ASC = °90 , SA=SB=1, SC =3 Gọi M

là điểm cạnh SC cho

3

SM = SC Tính thể tích V khối chóp S ABM

A

12

V = B

36

V = C

36

V = D

4

V =

Cách 1: Áp dụng công thức . 1 cos2 cos2 cos2 cos cos cos

6 S ABC

V = abc − α− β− ϕ+ α β ϕ

Ta có:

2

1 1

.1.1.3

6 2

S ABC

V = −   −   − =    

1 2

3 12

S ABM

S ABM S ABC

V SM

V

V = SC = ⇒ = =

Cách 2:

L

G

K J

A C

B S

H

(70)

Gọi A′, C′lần lượt điểm SA SCsao cho SA′=SC′=2 Khi

  90

SBA′=SBC′= °hay SB⊥(A BC′ ′)

Tam giác A BC′ ′cân B, gọi H hình chiếu B A C′ ′ ta có: A C′ ′ =2 2, BH =1

1 1

.1 .1.2

3 3

S A BC

V ′ ′= SB BH AC= =

1 3 2

2 4

S ABC

S ABC S A BC

V SA SC

V

V ′ ′ = SA SC′ ′= = ⇒ = =

1 2

3 12

S ABM

S ABM S ABC

V SM

V

V = SC = ⇒ = =

Câu 100 Cho hình chóp tứ giác S ABCD tích V Lấy điểm A′ cạnh SA cho SA

A S

3 =

′ Mặt phẳng qua A′ song song với đáy hình chóp cắt cạnh SB SC SD, , lần

lượt tạiB C D′ ′ ′, , Khi thể tích khối chóp S A B C D ′ ′ ′ ′ bằng:

A 27

V

B

9 V

C

3 V

D

81 V

Gọi thể tích VS ABCD = a.ha.h

2

Với Sđáy = a.ha

2

h chiều cao hính chópS ABCD

S A B C D

V ′ ′ ′ ′ = a′ha.h′

2

' mà: h h =

′ , a a =

′ , ha ha = ′

Nên VS A B C D. ′ ′ ′ ′ =

27 VS.ABCD

Câu 101 Cho hình chóp S ABCD có ABCD hình bình hành có M trung điểm SC Mặt phẳng ( )P qua AM song song với BD cắt SB, SD P Q Khi SAPMQ

SABCD V

V A 2

9 B

2

3 C

1

2 D

4 Chọn C

2 2

3 3

2 2

1 600

600

A S

C

B

A' C'

(71)

Trong (ABCD) gọi O giao điểm AC BD Trong (SAC) gọi I giao điểm SO AM

Trong (SBD) từ Ivẽ đường thẳng song song với BD cắt SB, SD P, Q, suy mp( )P mp (APMQ)

+ Ta thấy I giao điểm hai đường trung tuyến AM SO tam giác SAC ⇒ I

trọng tâm tam giác SAC, Suy ra:

3 SI SP SQ

SO = SB = SD = (định lý ta lét PQ//BD)

Ta có: 1

3

SAPM

SABC

V SA SP SM

V = SA SB SC = = ⇒

1 SAPM SABC

V = V

1

3

SAQM

SADC

V SA SQ SM

V = SA SD SC = = ⇒

1 SAQM SADC

V = V

SAPMQ

SABCD V V

⇒ SAPM SAQM SABCD

V V

V +

= ( )

1

3 SABC SADC

SABCD

V V

V

+ =

1 SABCD

SABCD V V

=

3 =

Câu 102 Cho khối chóp S ABC , ba cạnh SA SB SC, , lấy ba điểm A B′, , ′ C′ cho

3

SA′ = SA,

SB′ = SB,

SC′ = SC Gọi V V′ thể tích khối chóp

S ABC S A B C ′ ′ ′ Khi tỉ số V V ′

A 1

3 B

1

6 C

1

9 D

1 27

Ta có 1

3 3 27

V SA SB SC

   

  

Câu 103 Cho hình chóp S ABC Gọi M trung điểm cạnh SA N điểm cạnh SCsao cho

SN = NC Tính tỉ số kgiữa thể tích khối chóp ABMNvà thể tích khối chóp SABC

A

5

k= B

3

k = C

8

k= D

4 k =

I O

Q

P M

D C B

S

(72)

Ta có VABMN =VSABC −VSBMN −VABCN

Mà

2

SBMN SABC SABC

V = V = V ;

4

ABMN SABC

V = V

Suy 3

8

ABMN SABC SABC SABC SABC

V =V − V − V = V

Câu 104.Cho khối chóp S ABC tích Gọi M , N , P trung điểm cạnh BC,

CA, AB Tính thể tích V khối chóp S MNP

A V =3 B

2

V = C

2

V = D V =4

Chọn B

1

MNP ABC

S∆ = S∆

Do

1

.6

4

S MNP S ABC

V = V = =

Câu 105 Cho tứ diện ABCD tích V Điểm M thay đổi tam giác BCD Các đường thẳng

qua M song song với AB, AC, AD cắt mặt phẳng (ACD), (ABD), (ABC)

tại N , P, Q Giá trị lớn khối MNPQ là:

A V

B

54 V

C

27 V

D

16 V

(73)

 Tam giác ABN′ có MN//AB MN N M AB N B

′ ⇒ =

′

 Tam giác ACP′ có MP//AC MP P M AC P C

′ =

′

 Tam giác ADQ′ có QM //AD MQ Q M AD Q D

′

⇒ =

′

Khi đó: MN MP MQ N M P M Q M

AB AC AD N B P C Q D

′ ′ ′

+ + = + +

′ ′ ′

Mà MCD MBD MBC

BCD BCD BCD

S S S

N M P M Q M

N B P C Q D S S S

′ ′ ′

+ + = + + =

′ ′ ′ nên

MN MP MQ

AB + AC + AD =

Lại có

3

3 3

1 MN MP MQ MN MP MQ

AB AC AD AB AC AD

 

= + +  ≥  

    (Cauchy)

1

27

MN MP MQ AB AC AD

⇔ ≤ ⇒MN MP MQ lớn MN MP MQ

AB = AC = AD M

⇒ trọng tâm tam giác BCD

3

MN MP MQ

AB AC AD

⇒ = = = ⇒(NPQ) (// BCD),

2 NPQ

N P Q S S ′ ′ ′

  =  

  , Mà

1 N P Q BCD

S ′ ′ ′ = S nên

9

NPQ BCD

S = S ( ,( )) ( ,( ))

d M NPQ = d A BCD

Vậy giá trị lớn khối tứ diện MNPQ ( ,( ))

3

MNPQ NPQ

V = S d M NPQ

( )

1 1

,

3 27

MNPQ BCD

V

V S d A BCD

⇔ = = , với ( ,( ))

3

ABCD BCD

V = S d A BCD =V

Câu 106 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M N theo thứ tự trung

điểm SA SB Tỉ số thể tích

S CDMN

S CDAB V

V A 3

8 B

1

2 C

5

8 D

1

Ta có 1

4

= = ⇒ =

SCMN

SCMN SCAB SCAB

V SC SM SN

V V

V SC SA SB

=

SCMN S ABCD

V V

1

2

= = ⇒ =

SCMD

SCMD SCAD

SCAD

V SC SM SD

V V

V SC SA SD

A

B

C

D N

N′

Q′ M

Q

P

(74)

⇒VSCMD = VS ABCD

=

SCDMN S ABCD

V V

Câu 107 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M , N trung điểm

của cạnh SA, SD Mặt phẳng ( )α chứa MN cắt cạnh SB, SC Q, P Đặt

SQ x

SB = , V1 thể tích khối chóp S MNQP , Vlà thể tích khối chóp S ABCD Tìm x để

1 V = V

A

2

x= B 41

4

x=− + C 33

4

x= − + D x=

Chọn C

Do

( ) ( )

//

MN BC

SBC PQ α



 ∩ =

 ⇒PQ//BC

S MNQ S NPQ

V V V

V + V =V ⇔

1

2 2

S MNQ S NPQ

S ABD S BCS

V V

V + V =

SM SN SQ SP SN SQ SA SD SB SC SD SB

⇔ + =

4

x x

⇔ + =

2

2x x

⇔ + − = 33

4

x − +

⇔ = (vì x>0)

Câu 108 Cho hình chóp SABC Gọi M N; trung điểm SB SC ; Khi VSABC

VSAMN bao nhiêu? A 1

4 B

1

8 C

1

16 D 4

N M

O

C

A D

B

S

(75)

S ABC S AMN

V SB SC

V =SM SN =

Câu 109 Cho khối chóp S ABC có M∈SA, N∈SB cho MA= −2MS, NS= −2NB Mặt phẳng

( )α qua hai điểm M , N song song với SC chia khối chóp thành hai khối đa diện Tính tỉ số

thể tích hai khối đa diện ( số bé chia số lớn ) A 3

5 B

4

9 C

3

4 D

4

17T

Chọn D

Cách 1: Ta có mặt phẳng ( )α cắt mặt (SAC) theo giao tuyến MQ SC cắt mặt (SBC)

theo giao tuyến NP SC Thiết diện tạo mặt phẳng ( )α với hình chóp hình thang

MNPQ

Do VMNABPQ =VN ABPQ. +VN AMQ. , gọi V =VS ABC. S =S∆ABC ta có:

( )

1

,

3

N ABPQ ABPQ

V = d N ABC S 1 ( ,( ))

3 3d S ABC S 3S 27V

 

=  − =

 

( )

1

,

3

N AMQ AMQ

V = d N SAC S∆ ( ,( )).4 3d B SAC 9S∆ASC 27V = =

Vậy

5 MNABPQ N ABPQ N AMQ

V =V +V = V

9 SMNPQC

V V

⇒ =

Suy

5

SMNPQC

MNABPQ V

V =

Cách 2:

P Q N

M

A

B

(76)

Gọi I =MN∩AB,Áp dụng định lý Me-ne-la-us cho tam giác SAB, ta có

1

4

MS IA NB IB

MA IB NS⋅ ⋅ = ⇒ IA=

Áp dụng định lý Me-ne-la-us cho tam giác ∆AMI, ta có: BI SA NM

BA SM⋅ ⋅ NI =

NM NI ⇔ =

Tương tự ta có: PI

PQ = Vì

2 //

3

AM AQ

MQ SC

AS AC

⇒ = =

Khi đó:

1 1

4 2 16 I BNP

I AMQ

V IB IN IP

V = IA IM IQ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

15 16 AMQ NBP I AMQ

V V

⇒ =

Mà ( ( ))

( )

; ;

M AIQ AIQ

S ABC ABC

d M ABC

V S

V = d S ABC ⋅S với

( )

( ;; ) 23

d M ABC MA

SA

d S ABC = =

4

3

AIQ

ABC

S AI AQ

S = AB AC⋅ = ⋅ =

Suy . 15 . .

16 9

AMQ NBP S ABC S ABC

V = ⋅ ⋅ ⋅V = V

Vậy tỉ số thể tích cần tìm là:

4

5 5

9 −

=

Câu 110 Cho hình chóp S ABC có SA, SB, SC đơi vng góc SA=SB=SC=a Gọi B′, C′ lần

lượt hình chiếu vng góc S AB, AC Tính thể tích hình chóp S AB C ′ ′

A

24

a

V = B

3

48

a

V = C

3

6

a

V = D

3

12

a V =

Ta có ∆SAC vng cân S, SC′ đường cao ⇒SC′ trung tuyến AC

AC ′ ⇒ =

I P

Q

N M

A B

C S

C' B'

C B

A

(77)

Tương tự AB

AB ′=

3 ' '

1 1

2 24

S AB C S ABC

a a

V V

⇒ = = =

Câu 111 Cho khối tứ diện ABCD cạnh a, M trung điểm DC Thể tích V khối chóp

M ABC bao nhiêu? A

3 24

a

V = B

3 a

V = C

3 12

a

V = D

3 24

a V =

Gọi H trung điểm BD, ABCDlà trọng tâm ∆ABD

Ta có 3

2 3

a a

AH = ⇒AG= AH =

Trong ∆ACG có 2

3 a CG= AC −AG =

Do 1 sin 60

3 12

CABD ABD

a

V = CG S = CG AB AD ° =

Mà

3

1

2 24

CABM

CABM CABD

CABD

V CM a

V V

V = CD = ⇒ = =

Câu 112 Cho khối chóp tam giác tích Gọi trung điểm cạnh

Thể tích khối chóp

A B C D

S ABC M N P, ,

, ,

BC CA AB V S MNP

3

V =

2

V = V =4

(78)

+ Gọi chiều cao hình chóp

Mà

Suy

Câu 113 Cho khối chóp S ABC , ba cạnh SA SB SC, , lấy ba điểm A B C′, , ′ ′ cho

3 ′ =

SA SA,

3 ′ =

SB SB,

3 ′ =

SC SC Gọi V V′ thể tích khối chóp S ABC

và S A B C ′ ′ ′ Khi tỉ số V′ V A 1

9 B

1

6 C

1

3 D

1 27

Chọn D

Ta có 1

3 3 27 ′ ′ ′ ′

= = = V SA SB SC

V SA SB SC

Câu 114 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tích Trên cạnh SC

lấy điểm E cho SE =2EC Tính thể tích V khối tứ diện SEBD

A

3

V = B

3

V = C

12

V = D

6 V =

P

N M

S

C

B A

h S ABC S MNP

1

S ABC ABC

V  h S

1

S MNP MNP

V  h S

1

MNP ABC

S  S

6

4

S MNP S MNP

V

(79)

Ta có 1

2

SBCD SABCD

V = V =

SEBD SCBD

V SE SB SD

V = SC SB SD= Do

1 SEBD V =

Câu 115 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành tích V Điểm P trung điểm ,

SC mặt phẳng qua AP cắt hai cạnh SD SB M N Gọi V1 thể tích

của khối chóp S AMPN Tìm giá trị nhỏ V1

V ? A 3

8 B

1

3 C

1

8 D

2

Gọi O tâm hình bình hành ABCD G trọng tâm tam giác SAC

Ta có M G N, , thẳng hàng Do ABCDlà hình bình hành nên . . . S ADC S ABC S ABCD

V =V = V

Theo công thức tỉ số thể tích ta có:

1

2

S AMP S AMP S AMP

S ADC S ABCD

S ABCD

V SM SP V SM V SM

V SD SC SD V SD

V

= ⇔ = ⇔ =

Tương tự

1

1 2 4

2

S ANP S ANP S ANP

S ABC S ABCD

S ABCD

V SN SP V SN V SN

V = SB SC ⇔ V = SB ⇔V = SB

Từ suy

1

4

S AMP S ANP S AMNP

S ABCD S ABCD S ABCD

V V SM SN V SM SN

V V SD SB V SD SB

    + =  + ⇒ =  + 

    Hay V1 =1SM +SN

 

 

E A

D

B C

(80)

Ta chứng minh SD SB SM +SN =

Thậy vậy, qua B D, kẻ đường song song với MN cắt SO E F,

Ta có: SD SF SB; SE SD SB SE SF

SM SG SN SG SM SN SG

+ = = ⇒ + =

2

SD SB SO

SM SN SG

⇒ + = = =

Đặt SD x;SB y

SM = SN = Ta có x+ =y

Mặt khác

( )

1

2

1 1 3

4 4

V SM SN x y

V SD SB x y xy xy x y

  +  

=  + =  + = = ≥ =     +

Vậy V1

V nhỏ

1

Câu 116 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M , N trung điểm

của cạnh AB, BC Điểm I thuộc đoạn SA Biết mặt phẳng (MNI) chia khối chóp

S ABCD thành hai phần, phần chứa đỉnh S tích

13 lần phần cịn lại Tính tỉ số

= IA k

IS ? A 2

3 B

1

2 C

1

3 D

3

(81)

Dễ thấy thiết diện tạo mặt phẳng (MNI) với hình chóp hình ngũ giác IMNJH với //

MN JI Ta có MN, AD, IH đồng qui E với =

EA ED MN, CD, HJ đồng qui

F với =

FC FD, ý E, F cố định

Dùng định lí Menelaus với tam giác SAD ta có HS ED IA =1

HD EA SI

1

3 ⇔ HS k= ⇔ HS =

HD HD k

Từ ( ( ))

( )

( ,, ) = =33+1

d H ABCD HD k

SD k

d S ABCD

Suy VHJIAMNCD =VH DFE. −VI AEM. −VJ NFC.

Đặt V =VS ABCD S=SABCD, h=d S( ,(ABCD)) ta có

1 = = AEM NFC

S S S

( )

( ,, )= = +1

d I ABCD IA k SA k d S ABCD

Thay vào ta .1

3 8

 

=  −

+   +

HJIAMNCD

k k

V h S h S

k k

Theo giả thiết ta có 13

20 = HJIAMNCD

V Vnên ta có phương trình

( )( )

2

1 21 25 13

8 1 20

+ =

+ +

k k

k k , giải phương

trình

3 = k

Câu 117 Cho tứ diện ABCD tích V, gọi M , N, P, Q trọng tâm tam giác ABC,

ACD, ABD BCD Thể tích khối tứ diện MNPQ

A 27

V

B

9 V

C 4

27 V

D 4

9 V

Chọn B

F E

H

Q

P O

N M

B

J

D A

S

C I

F E

N M

B

A

D

C

( )( )

2

1 21. 25

8 1

k k V k k

+ =

(82)

Gọi E, F, I trung điểm đoạn thẳng BC, CD, BD

Ta có 8

9 9

AMNP

AMNP AEFI

AEFI

V

V V V

V = ⇒ = =

( )

( ) ( ( )) ( ( ))

1 1 1

, , ,

3

MNPQ MNP MNP MNP AMNP

V

V = d Q MNP S = d A MNP S = d Q MNP S = V =

Câu 118 Cho tứ diện ABCD có AB=3a, AC=2a AD=4 a Tính theo a thể tích V khối tứ diện

ABCD biết   BAC=CAD=DAB=60 °

A V =2 3a3 B V =6 2a3 C V =6 3a3 D V =2 2a3

Trên cạnh ABlấy điểm B′; cạnh AB lấy điểm D′sao cho AB′=AD′= AC=2 a

Gọi V1 thể tích tứ diện A B CD ′ ′; V2 thể tích tứ diện A BCD

Khi tam giác AB C ACD AB D′ ; ′; ′ ′ cạnh 2a suy tam giác B CD′ ′ đều, cạnh

bằng 2a

Tứ diện AB CD′ ′ cạnh 2a nên tích

1

B CD

V = S∆ ′ ′ AH ( )

2

1 3

2 2

3 a a a a

 

     

=    −  

 

     

3

2

3 a

=

Áp dụng tỷ lệ thể tích ta có

2

1 . 1.

3

V AB AD

′ ′

= = =

2 2

V V a

⇒ = =

Câu 119 Cho khối chóp S ABCD tích đáy ABCD hình bình hành Trên cạnh SC lấy

điểm E cho SE=2EC Tính thể tích V khối tứ diện SEBD

A

3

V = B

6

V = C

12

V = D

3 V =

2a 2a

2a

a 2a

A

C

B

D B'

D'

M

(83)

Ta có

S EBD

S CBD

V SE SB SD V = SC SB SD

SE SC

= . . S EBD S CBD

V V

⇒ = . 2VS ABCD

= . 3VS ABCD = = -

Câu 120 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD tứ giác lồi Gọi A′ điểm cạnh SA cho

4 SA

SA ′

= Mặt phẳng ( )P qua A′ song song với (ABCD) cắt SB, SC, SD

B′, C′, D′ Mặt phẳng ( )P chia khối chóp thành hai phần Tỉ số thể tích hai phần là: A 37

98 B

27

37 C

4

19 D

27 87

Ta có:

2 ' ' '

' ' ' 27

4 64

S A B C

S ABC

V SA SB SC

 

= =  =

 

Do ' ' '

' ' '

27 37

S A B C

ABC A B C V

V = ; tương tự

' ' ' ' ' '

27 37

S D B C

DBC D B C V

V =

Theo tính chất dãy tỉ số suy ra:

' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '

27 37

S A B C S D B C S A B C S D B C

ABC A B C DBC D B C ABC A B C DBC D B C

V V V V

+

= = =

+

Câu 121 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình bình hành, tích V Gọi I

trọng tâm tam giác SBD Một mặt phẳng chứa AI song song với BD cắt cạnh

, ,

(84)

A V

B

27 V

C

3 V

D

18 V

Ta có

3

′ ′

= = =

SB SD SI

SB SD SO

Mà ' '.2.1 '

' ' 2

SC CA OI SC SC

C C AO IS = ⇒C C = ⇒ SC =

4

9

4

9 ′ ′

′ ′ ′ ′ ′ ′

 =



⇒ ⇒ =

 = =

 S AB D

S ABD

S AB C D S B C D

S BCD V

V

V V

Câu 122 Cho hình lập phương ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ cạnh a Gọi M N, trung điểm cạnh

A B BC′ ′ Mặt phẳng (DMN) chia hình lập phương thành phần Gọi V1 thể tích

phần chứa đỉnh A V, thể tích phần cịn lại Tính tỉ số

1 V V A 55

89 B

37

48 C

1

2 D

2

Gọi H = AB∩DN ; MH cắt B B' K, cắt A A' S; SD cắt A D' 'tại E

Thiết diện tương ứng ngũ giác DNKME

Phần đa diện chứa A tích là: V =V −V −V

1

3 V k

V

 

E

K

N M A'

A

N M A'

A

D C

B B'

C'

D' D' C'

B'

B

C D

S

(85)

Dùng tam giác đồng dạng kiểm tra được: BA=BH; AH =4 'A M; AD=4 'A E

' ' '

3 SA =B K = A A

Đặt độ dài cạnh hình lập phương 1thì: ' 1;

3

SA = KB=

Ta có: . 1 1.2

6

S ADH

V = SA AD AH =  +  =

 

'

1

64 144

S A EM S ADH

V = V = ; . .

8 18

K BNH S ADH

V = V =

Vậy phần đa diện chứa A tích là: 1 55

9−144−18 =144

Suy phần đa diện không chứa A tích là: 13 55 89

144 144

− =

Câu 123 Cho tứ diện ABCD có M N P, , thuộc cạnh AB BC CD, , cho

, ,

MA=MB NB= NC PC= PD Mặt phẳng (MNP) chia tứ diện thành hai phần Gọi T tỉ số thể tích phần nhỏ chia phần lớn Giá trị T bằng?

A 19

26 B

26

45 C

13

25 D

25 43

Đặt V =VABCD,V1 =VBDMNPQ,V2 =VACMNPQ

( )

4

MA NB PC QD QD

Q MNP AD

MB NC PD QA QA

= ∩ ⇒ = ⇒ =

2 ACMNPQ C MNP C MPQ C AQM

V =V =V +V +V

1 2

3

CMNP

CMBD

V CN CP

V = CB CD = = ;

1 1

2 9

BCDM CMNP

CMNP

BCDA ABCD

V BM V V

V

V = BA = ⇒V = = ⇒ =

2 2

3 15 15 15 15

CPQ CDQ ACD ACD MCPQ MACD ABCD

V

S = S = S = S ⇒V = V = V = ;

1 2

2 5

AMCQ

AMCQ ABCD

V AM AQ V

V

V = AB AD = = ⇒ =

Suy ra:

2

1

2 26 19 26

9 15 45 45 19

V

V V V V V

V V

V

= + + = ⇒ = ⇒ =

Câu 124 Cho hình chóp S ABCD Gọi A′, B′, C′, D′ lần lượt trung điểm SA, SB, SC, SD Khi

(86)

A 1

2 B

1

8 C

1

16 D

1

Xét hình chóp S.ABC

' ' '

' ' ' 1

8

S A B C

S A B C S ABC S ABC

V SA SB SC

V V

V = SA SB SC = ⇒ =

Tương tự: ' ' ' .

8

S A C D S ACD

V = V

' ' ' '

1

S A B C D S ABCD

V = V

Câu 125 Cho hình chóp S ABC có SA, SB, SC đối vng góc; SA=a, SB=2a, SC=3a Gọi

M , N , P, Q trọng tâm tam giác ABC, SAB, SBC, SCA Tính thể tích khối tứ

diện MNPQ theo a

A

2 27

a

B

3

27

a

C

3

2

a

D

3

9

a

(87)

Ta có: .

S ABC

V = SA SB SC=a

Gọi h chiều cao từ đỉnh P MNPQ

3 h= SA

Mặt khác

3

MN = EF;

MQ= FK 4 1

9 9

MNQ EFK SBC SBC

S S S S

⇒ = = =

1 1

3 3 27 27

S ABC

MNPQ MNQ SBC

V a

V = h S = SA S = =

Câu 126 Cho tứ diện ABCD cạnh Xét điểm M cạnh DC mà 4DM =DC Thể tích tứ diện

ABMD

A

12

V = B

12

V = C

8

V = D

48

V =

ABCD tứ diện đều, cạnh nên

12

ABCD

V =

Ta có: 1 2

4 12 48

DABM

DABM DABC

V DM

V

V = BC = ⇒ = =

Câu 127 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang với AD//BC AD=2BC Kết luận

sau đúng?

A VS ABCD. =2VS ABC. B VS ABCD. =4VS ABC. C VS ABCD. =6VS ABC. D =3

S ABCD S ABC

V V

Ta có

3

∆ABC = ABCD

S S . .

3

⇒VS ABC = VS ABCD

Câu 128 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên hợp với đáy góc 60°

Gọi M điểm đối xứng với C qua D; N trung điểm SC, mặt phẳng (BMN) chia khối

chóp S ABCD thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần A 7

5 B

7

3 C

1

5 D

1

D M

B C

(88)

Đặt 1

2

?

SABIKN

NBCDIK

V V V

= 

→ =

 =



* . 6

3

S ABCD a

V = a = a

* . .2

3 3 12

N BMC BMC BMC

SO a

V = NH S∆ = S∆ = a a= a

* Nhận thấy K trọng tâm tam giác SMC

3

MK MN

→ =

*

1

2 M DIK

M CBN

V MD MI MK

V =MC MB MN = =

3

2 CBN

5 6

6 12 72

M CBN M DIK M

V V V V a a

→ = − = = =

3

3 3

1

3

7

6 72

6 72 72

72 S ABCD

a V

V V V a a a

V

a

→ = − = − = → = =

Câu 129 Cho khối chóp S ABC ;M Nlần lượt trung điểm cạnh SA,SB; thể tích khối chóp

S MNC

a Thể tích khối chóp S ABC

A

a B

12a C

8a D

4a

Theo cơng thức tính tỷ số thể tích

S MNC

S ABC

V SM SN

V = SA SB =

Câu 130 Cho hình chópS ABCD có đáy ABCD hình bình hành, M N theo thứ tự trung điểm

của SA SB Tính tỉ số thể tích

S CDMN S CDAB V

V là:

A 1

2 B

1

4 C

5

8 D

3

(89)

Ta thấy việc so sánh ln thể tích hai khối trực tiếp khó khăn ta chia

sau:

Khi ta có

( chung diện tích đáy SCD)

Ta có

Từ suy

= +

S MNCD S MCD S MNC S ABCD SACD S ABC = +

= ⇔1 =1

2

SMCD

SMCD SABCD

SACD

V V V

V

( )

( ;; ) =12

d M SCD d A SCD

= = ⇒1 =1

4

SMNC SMN

SMNC SABCD

SABC SAB

V S V V

V S

 

= +  =

 

1

4 8

SMNCD SABCD SABCD

V V V

S

D C

Định dạng
Số trang	89
Dung lượng	2,61 MB