Vì các mặt phẳng SAB , SBC , SCA đều tạo với đáy một góc 60 và hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng ABC nằm bên trong tam giác ABC nên ta có hình chiếu của S chính là tâm[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN CÓ YẾU TỐ GÓC I KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Góc đường thẳng và mặt phẳng Định nghĩa: ̂ (𝑃)) = 900 Nếu 𝑑 ⊥ (𝑃) ⇒ (𝑑; A d d' I H (P) ̂ ̂ ̂ với 𝑑' là hình chiếu d lên (𝑃) (𝑃)) = (𝑑; Nếu 𝑑 ⊥ (𝑃) ⇒ (𝑑; 𝑑') = (𝐴𝐼𝐻) ̂ (𝑃)) ≤ 900 Chú ý: 00 ≤ (𝑑; Góc hai mặt phẳng Định nghĩa: Cách 1: Dùng định nghĩa: Tìm hai đường thẳng 𝑎, 𝑏 vuông góc với hai mặt phẳng (𝑃) và (𝑄) Khi đó, góc hai mặt phẳng (𝑃) và (𝑄) chính là góc hai đường thẳng a và b b a c Cách 2: Ta thực theo bước Bước 1: Tìm giao tuyến d hai mặt phẳng (P) và (Q) Bước 2: Tìm điểm I thuộc d cho mp (P) ta dễ dàng tìm đường thẳng a qua I và vuông góc với đường thẳng d và mp(Q) ta tìm đường thẳng b qua I và vuông góc với đường thẳng d Khi đó: Góc hai mp(P) và mp(Q) chính góc a và b b d a I Thể tích khối đa diện a Công thức tính thể tích khối chóp V = S.h Trong đó: S là diện tích đáy, h là chiều cao khối chóp Chú ý: Cho khối chóp S.ABC và A ' , B ' , C ' là các điểm tùy ý thuộc SA , SB , SC ta có (2) VS A ' B 'C ' SA ' SB ' SC ' = VS ABC SA SB SC b Công thức thể tích khối lăng trụ : 𝑉 = 𝐵 ℎ (𝐵là diện tích đáy, ℎlà chiều cao) XÁC ĐỊNH CHIỀU CAO THƯỜNG GẶP a) Hình chóp có cạnh bên vuông góc Ví dụ: Hình chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶 có với đáy: Chiều cao hình chóp là độ dài cạnh bên 𝑆𝐴 vuông góc với mặt cạnh bên vuông góc với đáy phẳng đáy, tức 𝑆𝐴 ⊥ (𝐴𝐵𝐶) thì chiều cao hình chóp là 𝑆𝐴 S C A B b) Hình chóp có mặt bên vuông góc với mặt đáy: Chiều cao hình chóp là chiều cao tam giác chứa mặt bên vuông góc với đáy c) Hình chóp có mặt bên vuông góc với mặt đáy: Chiều cao hình chóp là giao tuyến hai mặt bên cùng vuông góc với mặt phẳng đáy Ví dụ: Hình chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 có mặt bên (𝑆𝐴𝐵) vuông góc với mặt phẳng đáy (𝐴𝐵𝐶𝐷) thì chiều cao hình chóp là 𝑆𝐻 là chiều cao Δ𝑆𝐴𝐵 S A D H B C Ví dụ: Hình chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 có hai mặt bên (𝑆𝐴𝐵) và (𝑆𝐴𝐷) cùng vuông góc với mặt đáy (𝐴𝐵𝐶𝐷) thì chiều cao hình chóp là 𝑆𝐴 S D A B d) Hình chóp đều: Chiều cao hình chóp là đoạn thẳng nối đỉnh và tâm đáy Đối với hình chóp đáy là tam giác thì tâm là trọng tâm G tam giác Ví dụ: Hình chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 có tâm đa giác đáy là giao điểm hai đường chéo hình vuông 𝐴𝐵𝐶𝐷 thì có đường cao là 𝑆𝑂 XÁC ĐỊNH DIỆN TÍCH ĐÁY HAY GẶP Diện tích tam giác vuông S= nửa tích cạnh góc vuông Pitago: 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶 = 𝐴𝐶 2 Diện tích tam giác √3 S= (cạnh)2 √3 h= (cạnh) 2 C S A D O B C (3) Diện tích hình vuông: S= (cạnh)2 Pitago: 𝐴𝐵 + 𝐴𝐷2 = 𝐵𝐷2 .Đường chéo hình vuông cạnh.√2 Diện tích hình chữ nhật: S= dài x rộng Diện tích hình thoi: 𝑆 = 𝐴𝐶 𝐵𝐷 S= 2.SABC=2.SADC Diện tích hình thang: S= nửa chiều cao x (đáy lớn+bé) 𝑆 = 𝐴𝐻 (𝐴𝐵 + 𝐶𝐷) II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Thể tích khối đa diện Góc đường thẳng và mặt phẳng Góc hai mặt phẳng Công thức tỉ số thể tích Khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng Khoảng cách hai đường thẳng chéo BÀI TẬP MẪU (ĐỀ MINH HỌA-BDG 2020-2021) Cho hình chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶 có đáy 𝐴𝐵𝐶 là tam giác cạnh 𝑎, cạnh bên 𝑆𝐴 vuông góc với đáy, góc 𝑆𝐴 và mặt phẳng (𝑆𝐵𝐶) 45°( tham khảo hình bên) Thể tích khối chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶 bằng: A 𝑎3 B 3𝑎3 √3𝑎3 𝑎3 C 12 D Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tính thể tích biết chiều cao khối đa diện biết góc mặt bên và mặt đáy HƯỚNG GIẢI: B1: Tính diện tích đáy B2: tính thể tích khối lăng trụ 𝑉 = 𝑆 ℎ Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể sau: Lời giải Chọn A Gọi 𝑀 là trung điểm 𝐵𝐶 thì 𝐴𝑀 ⊥ 𝐵𝐶 và 𝑆𝐴 ⊥ 𝐵𝐶 nên 𝐵𝐶 ⊥ (𝑆𝐴𝑀) (4) ̂ = 45° Từ đây dễ thấy góc cần tìm là 𝛼 = 𝐴𝑆𝑀 Do đó tam giác 𝑆𝐴𝑀 vuông cân tại 𝐴 và 𝑆𝐴 = 𝐴𝑀 = 𝑎√3 𝑎2 √3 Suy 𝑉𝑆.𝐴𝐵𝐶 = = 𝑎3 𝑎√3 Bài tập tương tự và phát triển: Mức độ Câu Cho hình chóp có diện tích mặt đáy là 3𝑎2 và chiều cao 2𝑎 Thể tích khối chóp A 6𝑎3 B 2𝑎3 C 3𝑎3 D 𝑎3 Lời giải Chọn B 1 Ta có 𝑉 = 𝑆đ ℎ = 3𝑎2 2𝑎 = 2𝑎3 Câu Câu Câu Câu Câu Thể tích 𝑉 khối chóp có chiều cao ℎ và diện tích đáy 3𝐵 là 1 A 𝑉 = 3𝐵ℎ B 𝑉 = 𝐵ℎ C 𝑉 = 𝐵ℎ D 𝑉 = 𝐵ℎ Lời giải Chọn D Ta có 𝑉 = 3𝐵 ℎ = 𝐵ℎ Khi tăng độ dài các cạnh khối chóp lên lần thì thể tích khối chóp thay đổi thà nào? A Tăng lần B Tăng lần C Tăng lần D Không thay đổi Lời giải Chọn B Thể tích khối chóp là: 𝑉 = 𝐵 ℎ Độ dài cạnh đáy tăng lên lần thì diện tích mặt đáy tăng 22 = lần Cạnh bên tăng lên lần thì chiều cao hình chóp tăng lên lần Vậy tăng độ dài các cạnh khối chóp lên lần thì thể tích khối chóp tăng lên lần Công thức tính thể tích khối chóp có diện tích đáy 𝐵 và chiều cao ℎ là 1 A 𝑉 = 𝐵ℎ B 𝑉 = 𝐵ℎ C 𝑉 = 𝐵ℎ D 𝑉 = 𝐵ℎ Lời giải Chọn B Công thức tính thể tích khối chóp có diện tích đáy 𝐵 và chiều cao ℎ là 𝑉 = 𝐵ℎ Khối chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 có 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 cố định và 𝑆 chạy trên đường thẳng song song với 𝐴𝐶 Khi đó thể tích khối chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 sẽ: A Giảm phân nửa B Tăng gấp đôi C Tăng gấp bốn D Giữ nguyên Lời giải Chọn D Gọi Δ là đường thẳng qua 𝑆 và song song 𝐴𝐶 Ta có: 𝑉 = 𝐵 ℎ +Δ song song𝐴𝐶nên Δ ∥ (𝐴𝐵𝐶𝐷) ⇒ 𝑑(𝑆, (𝐴𝐵𝐶𝐷)) = 𝑑(Δ, (𝐴𝐵𝐶𝐷)) = ℎ không đổi +𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 cố định nên diện tích tứ giác 𝐴𝐵𝐶𝐷 không đổi Vì thể tích khối chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 giữ nguyên Cho khối chóp (𝐻) có thể tích là 2𝑎3 , đáy là hình vuông cạnh 𝑎√2 Độ dài chiều cao khối chóp (𝐻) A 3𝑎 B 𝑎 C 4𝑎 D 2𝑎 Lời giải Chọn A Câu 6𝑎3 𝑉 = 𝐵 ℎ = (√2𝑎)2 = 2𝑎3 ⇒ ℎ = 2𝑎2 = 3𝑎 Cho hình chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình vuông cạnh 𝑎 và thể tích 𝑎3 Tính chiều cao ℎ hình chóp đã cho (5) A ℎ = 𝑎 B ℎ = 2𝑎 D ℎ = √3𝑎 C ℎ = 3𝑎 Lời giải Chọn C Câu 3𝑎3 3𝑉 Ta có:𝑉 = 𝑆 ℎ ⇒ ℎ = 𝑆 = 𝑎2 = 3𝑎 Cho hình chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶 có đáy là tam giác cạnh 2𝑎 và thể tích 3𝑎3 Tính chiều cao ℎ hình chóp đã cho A ℎ = √3𝑎 √3𝑎 B ℎ = C ℎ = √3𝑎 Lời giải D ℎ = √3𝑎 Chọn C Do đáy là tam giác nên 𝑆Δ𝐴𝐵𝐶 = Mà 𝑉 = 𝑆Δ𝐴𝐵𝐶 ℎ ⇒ ℎ = 𝑆 3𝑎3 3𝑉 Δ𝐴𝐵𝐶 Câu (2𝑎)2 √3 = 𝑎2 √3 = 𝑎2 √3 = √3𝑎 Nếu độ dài chiều cao khối chóp tăng lên lần, diện tích đáy không đổi thì thể tích khối chóp tăng lên A 5lần B 20lần C 15 lần D 10 lần Lời giải Chọn A Thể tích khối chóp tăng lên lần Câu 10 Cho hình chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶 có đáy là tam giác cạnh 𝑎 và chiều cao 4𝑎 Tính thể tích hình chóp đã cho A 𝑉 = 2𝑎3 √3 B 𝑉 = 4𝑎3 √3 C 𝑉 = Lời giải 𝑎3 √3 D 𝑉 = 𝑎3 √3 Chọn C Do đáy là tam giác nên 𝑆Δ𝐴𝐵𝐶 = 1 𝑎2 𝑎2 √3 √3 𝑎3 √3 Mà 𝑉 = 𝑆Δ𝐴𝐵𝐶 ℎ = 4𝑎 = Câu 11 Cho hình chóp tam giác 𝑆 𝐴𝐵𝐶 có đáy 𝐴𝐵𝐶 là tam giác vuông tại 𝐴,𝐴𝐵 = 𝑎 ,𝐴𝐶 = 2𝑎, cạnh bên 𝑆𝐴 vuông góc với mặt đáy và 𝑆𝐴 = 𝑎 Tính thể tích V khối chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶 A 𝑉 = 𝑎3 B 𝑉 = 𝑎3 C 𝑉 = Lời giải 𝑎3 D 𝑉 = 𝑎3 Chọn B Diện tích đáy 𝐵 = 𝑆𝐴𝐵𝐶 = 𝑎 2𝑎 = 𝑎2 Chiều cao: ℎ = 𝑎 1 𝑎3 𝑉𝐴𝐵𝐶𝐴'𝐵'𝐶' = 𝐵 ℎ = 𝑎2 𝑎 = Câu 12 Cho hình chóp tam giác 𝑆 𝐴𝐵𝐶 có đáy 𝐴𝐵𝐶 là tam giác cạnh a , cạnh bên 𝑆𝐴 vuông góc với mặt đáy và 𝑆𝐴 = 𝑎 Tính thể tích V khối chóp𝑆 𝐴𝐵𝐶 A 𝑉 = 2𝑎3 B 𝑉 = 𝑎3 √3 C 𝑉 = Lời giải 12 𝑎3 √3 D 𝑉 = 𝑎3 √3 (6) Chọn B Diện tích đáy 𝐵 = 𝑆𝐴𝐵𝐶 = Chiều cao: ℎ = 𝑎 𝑎2 √3 1 𝑎2 √3 𝑎3 √3 𝑉𝐴𝐵𝐶𝐴'𝐵'𝐶' = 𝐵 ℎ = 𝑎 = 3 12 Câu 13 Cho khối chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶 có 𝑆𝐴 vuông góc với (𝐴𝐵𝐶), đáy 𝐴𝐵𝐶 là tam giác vuông cân tại 𝐴,𝐵𝐶 = 2𝑎 , góc 𝑆𝐵 và (𝐴𝐵𝐶) là 30° Tính thể tích khối chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶 A 𝑎3 √6 B 𝑎3 √6 𝑎3 √3 C Lời giải D 𝑎3 √2 Chọn A S A C 30° B ̂ = 30° Ta có 𝐴𝐵 là hình chiếu 𝑆𝐵 lên (𝐴𝐵𝐶) suy góc 𝑆𝐵 và (𝐴𝐵𝐶) là góc 𝑆𝐵𝐴 Tam giác 𝐴𝐵𝐶 vuông cân tại 𝐴, 𝐵𝐶 = 2𝑎 ⇒ 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 = 𝑎√2 𝑎√6 √3 = 3 1 𝑎√6 𝑆𝐴 𝑆𝐴𝐵𝐶 = 𝑎2 Xét Δ𝑆𝐴𝐵 vuông tại 𝐴 có 𝑆𝐴 = 𝐴𝐵 𝑡𝑎𝑛 0° = 𝑎√2 Ta có 𝑆𝐴𝐵𝐶 = 𝐴𝐵 = 𝑎2 Vậy 𝑉𝑆.𝐴𝐵𝐶 = = 𝑎3 √6 Câu 14 Cho khối chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình chữ nhật,𝐴𝐵 = 𝑎, 𝐴𝐷 = 𝑎√3, 𝑆𝐴 vuông góc với mặt phẳng đáy và mặt phẳng (𝑆𝐵𝐶) tạo với đáy góc 60𝑜 Tính thể tích 𝑉 khối chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 A 𝑉 = 3𝑎3 B 𝑉 = √3𝑎3 C 𝑉 = 𝑎3 Lời giải Chọn C D 𝑉 = 𝑎3 (7) S 60 a A a B C D Ta có 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 = 𝐴𝐵 𝐴𝐷 = 𝑎 𝑎√3 = √3𝑎2 ̂ = 60𝑜 Dễ thấy 𝐵𝐶 ⊥ 𝐴𝐵; 𝐵𝐶 ⊥ 𝑆𝐵 ⇒ 𝑆𝐵𝐴 𝑆𝐴 Xét tam giác vuông 𝑆𝐴𝐵(𝐴̂ = 1𝑣) có: 𝑡𝑎𝑛 0𝑜 = 𝐴𝐵 ⇒ 𝑆𝐴 = 𝐴𝐵 𝑡𝑎𝑛 0𝑜 = 𝑎√3 1 Vậy 𝑉𝑆.𝐴𝐵𝐶𝐷 = 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑆𝐴 = 𝑎2 √3 𝑎√3 = 𝑎3 Câu 15 Cho hình chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶 có 𝑆𝐴 = 𝑎 và vuông góc với đáy 𝐴𝐵𝐶 Biết tam giác 𝐴𝐵𝐶 và mặt phẳng (𝑆𝐵𝐶) hợp với đáy (𝐴𝐵𝐶) góc 30° Tính thể tích 𝑉của khối chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶 𝑎3 √3 A 𝑉 = 2𝑎3 B 𝑉 = 𝑎3 √3 C 𝑉 = Lời giải: 12 𝑎3 D 𝑉 = Chọn A ̂ = 30° Gọi 𝐼 là trung điểm 𝐵𝐶, ta có 𝑆𝐼𝐴 Xét tam giác 𝑆𝐼𝐴 vuông tại 𝐴 ta có 𝑆𝐴 = 𝑎 ⇒ 𝐴𝐼 = 𝑎√3 Ta có 𝐴𝐼 = 𝐴𝐵 √3 ⇒ 𝐴𝐵 = 2𝑎 Diện tích 𝑆𝐴𝐵𝐶 = 𝐴𝐵 √3 = 𝑎2 √3 𝑎3 √3 Thể tích 𝑉 = 𝑆𝐴 𝑆𝐴𝐵𝐶 = Câu 16 Cho khối chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶 có 𝑆𝐴 vuông góc với (𝐴𝐵𝐶), đáy 𝐴𝐵𝐶 là tam giác vuông cân tại 𝐴,𝐵𝐶 = 2𝑎 , góc 𝑆𝐵 và (𝐴𝐵𝐶) là 30° Tính thể tích khối chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶 A 𝑎3 √6 B 𝑎3 √6 C Lời giải: Chọn A 𝑎3 √3 D 𝑎3 √2 (8) S C A 30° B ̂ = 30° 𝐴𝐵 là hình chiếu 𝑆𝐵 lên (𝐴𝐵𝐶) suy góc 𝑆𝐵 và (𝐴𝐵𝐶) là góc 𝑆𝐵𝐴 Tam giác 𝐴𝐵𝐶 vuông cân tại 𝐴, 𝐵𝐶 = 2𝑎 ⇒ 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 = 𝑎√2 𝑆𝐴 = 𝐴𝐵 𝑡𝑎𝑛 0° = 𝑎√2 √3 = 𝑎√6 𝑆𝐴𝐵𝐶 = 𝐴𝐵 = 𝑎2 𝑎3 √6 𝑎√6 𝑉𝑆.𝐴𝐵𝐶 = 𝑆𝐴 𝑆𝐴𝐵𝐶 = 𝑎2 = Câu 17 Cho hình chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶 có đáy 𝐴𝐵𝐶 là tam giác cạnh 2𝑎, tam giác 𝑆𝐴𝐵 là tam giác và nằm mặt phẳng vuông góc với mặt đáy Tính thể tích khối chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶 A 𝑉 = 𝑎3 B 𝑉 = 𝑎3 C 𝑉 = 3𝑎3 D 𝑉 = 3𝑎3 Lời giải: Chọn B Gọi 𝐻 là trung điểm 𝐴𝐵 (𝑆𝐴𝐵) ⊥ (𝐴𝐵𝐶) (𝑆𝐴𝐵) ∩ (𝐴𝐵𝐶) = 𝐴𝐵 } ⇒ 𝑆𝐻 ⊥ (𝐴𝐵𝐶) 𝑆𝐻 ⊥ 𝐴𝐵 𝑆𝐻 ⊂ (𝑆𝐴𝐵) 𝑆𝐻 = 𝐴𝐵√3 = 𝑎√3, 𝑆𝐴𝐵𝐶 = 𝐴𝐵2 √3 = 𝑎2 √3 𝑉𝑆.𝐴𝐵𝐶 = 𝑆𝐻 𝑆𝐴𝐵𝐶 = 𝑎3 Câu 18 Cho hình chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình chữ nhật Tam giác 𝑆𝐴𝐵 và nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy(𝐴𝐵𝐶𝐷) Biết 𝑆𝐷 = 2𝑎√3 và góc tạo đường thẳng 𝑆𝐶 và mặt phẳng (𝐴𝐵𝐶𝐷)bằng 300 Tính thể tích 𝑉của khối chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 A 𝑉 = 2𝑎3 √3 B 𝑉 = 𝑎3 √3 13 C 𝑉 = Lời giải Chọn D 𝑎3 √3 D 𝑉 = 4𝑎3 √6 (9) … ̂ ̂ = Ta có 𝑆𝐶 = 𝑆𝐷 = 2𝑎√3, 𝑆𝐼 = 𝑆𝐶 𝑠𝑖𝑛 𝑆𝐶𝐼 = 2𝑎√3 𝑠𝑖𝑛 = 𝑎√3, 𝐶𝐼 = 𝑆𝐶.cos𝑆𝐶𝐼 2𝑎√3.cos30 = 3𝑎 𝑆𝐼 = 𝐴𝐵√3 ⇒ 𝐴𝐵 = 2𝑎 𝐵𝐶 = √𝐶𝐼 − 𝐵𝐼 = √(3𝑎)2 − 𝑎2 = 2𝑎√2 Từ đó: 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 = 𝐴𝐵 𝐵𝐶 = 2𝑎 2𝑎√2 = 4𝑎2 √2 1 4𝑎3 √6 Vậy 𝑉𝑆.𝐴𝐵𝐶𝐷 = 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑆𝐼 = 4𝑎2 √2 𝑎√3 = Câu 19 Cho hình chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy là hình thang vuông tại 𝐴 và 𝐵, 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 𝑎, 𝐴𝐷 = 2𝑎 Hình chiếu 𝑆 lên mặt phẳng(𝐴𝐵𝐶𝐷) trùng với trung điểm cạnh 𝐴𝐵 Biết rằng𝑆𝐶 = 𝑎√5 Tính theo 𝑎 thể tích 𝑉 khối chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 A 𝑉 = 𝑎3 √5 B 𝑉 = 𝑎3 √15 𝑎3 √15 C 𝑉 = Lời giải D 𝑉 = 2𝑎3 √5 Chọn C S D A M B C Gọi 𝑀 là trung điểm 𝐴𝐵 Ta có: 𝑀𝐶 = √𝐵𝐶 + 𝑀𝐵 = 𝑎√15 (𝑎+2𝑎)𝑎 𝑎3 √15 𝑎√5 suy 𝑆𝑀 = 𝑎√15 Nên 𝑉𝑆.𝐴𝐵𝐶𝐷 = = Câu 20 Cho khối chóp tam giác 𝑆 𝐴𝐵𝐶 có cạnh đáy 𝑎 và cạnh bên 2𝑎 Tính thể tích 𝑉 khối chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶 A 𝑉 = √13𝑎3 12 B 𝑉 = √11𝑎3 12 C 𝑉 = Lời giải √11𝑎3 D 𝑉 = √11𝑎3 Chọn B S A C O I B Do đáy là tam giác nên gọi 𝐼 là trung điểm cạnh 𝐵𝐶, đó 𝐴𝐼 là đường cao tam giác đáy Theo định lý Pitago ta có 𝐴𝐼 = √𝑎2 − 𝑎2 = 𝑎√3 2 , và 𝐴𝑂 = 𝐴𝐼 = 2𝑎√3 3.2 = 𝑎√3 (10) Trong tam giác 𝑆𝑂𝐴 vuông tại 𝑂 ta có 𝑆𝑂 = √4𝑎2 − Vậy thể tích khối chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶 là 𝑉 = 1 𝑎√3 √11𝑎 𝑎 2 √3 𝑎2 = = √11𝑎 √3 √11𝑎3 12 Mức độ Câu Cho khối chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy là hình vuông cạnh 𝑎, 𝑆𝐴 vuông góc với đáy và 𝑆𝐶 tạo với mặt phẳng (𝑆𝐴𝐵) góc 300 Tính thể tích 𝑉 khối chóp đã cho √2𝑎3 A 𝑉 = B 𝑉 = √6𝑎3 C 𝑉 = Lời giải 2𝑎3 D 𝑉 = √2𝑎3 Chọn A ̂ = 300 Ta có 𝐶𝐵 ⊥ (𝑆𝐴𝐵) ⇒ [𝑆𝐶; (𝑆𝐴𝐵)] = (𝑆𝐶; 𝑆𝐵) = 𝐶𝑆𝐵 Suy 𝑆𝐵 = 𝐵𝐶 𝑐𝑜𝑡 00 = 𝑎√3; 𝑆𝐴 = √𝑆𝐵 − 𝐴𝐵 = 𝑎√2 √2𝑎3 Câu Thể tích khối chóp : 𝑉 = 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑆𝐴 = Cho hình chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình chữ nhật 𝐴𝐵 = 𝑎, 𝐵𝐶 = 2𝑎, 𝑆𝐴 = 2𝑎, 𝑆𝐴 vuông góc với mặt phẳng (𝐴𝐵𝐶𝐷) Tính thể tích khối chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 tính theo 𝑎 A 8𝑎3 B 4𝑎3 6𝑎3 D 4𝑎3 C Lời giải Chọn B Ta có 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 = 𝐴𝐵 𝐶𝐷 = 2𝑎2 1 Thể tích khối chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 là 𝑉𝑆.𝐴𝐵𝐶𝐷 = 𝑆𝐴 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 = 2𝑎 2𝑎2 = Câu 4𝑎3 Cho hình chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶 có đáy là tam giác 𝐴𝐵𝐶 vuông tại 𝐶, 𝐴𝐵 = 𝑎√5, 𝐴𝐶 = 𝑎 Cạnh bên 𝑆𝐴 = 3𝑎 và vuông góc với mặt phẳng (𝐴𝐵𝐶) Tính thể tích khối chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶 A 𝑎3 √5 B 𝑎3 C 3𝑎3 D 2𝑎3 Lời giải Câu Chọn B Vì tam giác 𝐴𝐵𝐶 vuông tại 𝐶 nên 𝐵𝐶 = √𝐴𝐵 − 𝐴𝐶 = √5𝑎2 − 𝑎2 = 2𝑎 1 𝑆𝐴𝐵𝐶 = 𝐴𝐶 𝐵𝐶 = 𝑎 2𝑎 = 𝑎2 2 1 𝑉𝑆.𝐴𝐵𝐶 = 𝑆𝐴 𝑆𝐴𝐵𝐶 = 3𝑎 𝑎 = 𝑎 (đvtt) Cho hình chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình chữ nhật, 𝐴𝐵 = 𝑎, 𝐵𝐶 = 2𝑎, đường thẳng 𝑆𝐴 vuông góc với mặt phẳng (𝐴𝐵𝐶𝐷) và 𝑆𝐴 = 3𝑎 Thể tích khối chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 A 2𝑎3 B 3𝑎3 C 6𝑎3 D 𝑎3 10 (11) Lời giải Chọn A S 3a D A a 2a B C Câu Áp dụng công thức tính thể tích khối chóp ta có 𝑉𝑆.𝐴𝐵𝐶𝐷 = 𝑎 2𝑎 3𝑎 = 2𝑎3 Cho hình chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶 có cạnh bên 𝑆𝐴 vuông góc với mặt phẳng đáy (𝐴𝐵𝐶) Biết 𝑆𝐴 = 𝑎, tam giác 𝐴𝐵𝐶 là tam giác vuông cân tại 𝐴, 𝐴𝐵 = 2𝑎 Tính theo 𝑎 thể tích 𝑉 khối chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶 A 𝑉 = 𝑎3 B 𝑉 = 2𝑎3 C ⇒ Lời giải D 𝑉 = 2𝑎3 S C A B Chọn D Câu 1 1 Ta có: V = SA.SABC = 𝑆𝐴 𝐴𝐵 𝐴𝐶 = 𝑎 (2𝑎)2 = 𝑎3 (dvtt) Cho khối chóp tam giác 𝑆 𝐴𝐵𝐶 có 𝑆𝐴 ⊥ (𝐴𝐵𝐶), tam giác 𝐴𝐵𝐶 có độ dài cạnh là 𝐴𝐵 = 5𝑎; 𝐵𝐶 = 8𝑎; 𝐴𝐶 = 7𝑎, góc 𝑆𝐵 và (𝐴𝐵𝐶) là 45° Tính thể tích khối chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶 A 50√3𝑎3 B 50√3 50 𝑎3 C 𝑎3 Lời giải D 50√7 𝑎3 Chọn B Ta có nửa chu vi Δ𝐴𝐵𝐶 là 𝑝 = 𝐴𝐵+𝐴𝐶+𝐵𝐶 = 10𝑎 Diện tích Δ𝐴𝐵𝐶 là 𝑆Δ𝐴𝐵𝐶 = √10𝑎 5𝑎 3𝑎 2𝑎 = 10√3𝑎2 𝑆𝐴 ⊥ (𝐴𝐵𝐶) nên Δ𝑆𝐴𝐵 vuông, cân tại 𝐴 nên 𝑆𝐴 = 𝐴𝐵 = Câu 50√3 Thể tích khối chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶 là 𝑉𝑆.𝐴𝐵𝐶 = 𝑆𝐴 𝑆Δ𝐴𝐵𝐶 = 5𝑎 10√3𝑎2 = 𝑎3 Cho hình chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶 có mặt phẳng (𝑆𝐴𝐶) vuông góc với mặt phẳng (𝐴𝐵𝐶), 𝑆𝐴𝐵 là tam giác 11 (12) cạnh 𝑎√3, 𝐵𝐶 = 𝑎√3 đường thẳng 𝑆𝐶 tạo với mặt phẳng (𝐴𝐵𝐶) góc 60° Thể tích khối chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶 A 𝑎3 √3 B 𝑎3 √6 𝑎3 √6 C Lời giải D 2𝑎3 √6 Chọn C B S A 60o H C Ta thấy tam giác 𝐴𝐵𝐶 cân tại 𝐵, gọi 𝐻 là trung điểm 𝐴𝐵 suy 𝐵𝐻 ⊥ 𝐴𝐶 Do (𝑆𝐴𝐶) ⊥ (𝐴𝐵𝐶) nên 𝐵𝐻 ⊥ (𝑆𝐴𝐶) Ta lại có 𝐵𝐴 = 𝐵𝐶 = 𝐵𝑆 nên 𝐵 thuộc trục đường tròn ngoại tiếp tam giác 𝐴𝐵𝐶 ⇒ 𝐻 là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác 𝑆𝐴𝐶 ⇒ 𝑆𝐴 ⊥ 𝑆𝐶 ̂ = 600 Do 𝐴𝐶 là hình chiếu 𝑆𝐶 lên mặt phẳng (𝐴𝐵𝐶) 𝑆𝐶𝐴 𝑆𝐴 Ta có 𝑆𝐶 = 𝑆𝐴 𝑐𝑜𝑡 00 = 𝑎, 𝐴𝐶 = 𝑠𝑖𝑛 600 = 2𝑎 ⇒ 𝐻𝐶 = 𝑎 ⇒ 𝐵𝐻 = √𝐵𝐶 − 𝐻𝐶 = 𝑎√2 Câu 𝑎3 √6 𝑉𝑆.𝐴𝐵𝐶 = 𝐵𝐻 𝑆𝑆𝐴𝐶 = 𝐵𝐻 𝑆𝐴 𝑆𝐶 = Cho hình chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình vuông cạnh 2𝑎, cạnh 𝑆𝐵 vuông góc với đáy và mặt phẳng (𝑆𝐴𝐷) tạo với đáy góc 60° Tính thể tích khối chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 A 𝑉 = 3𝑎3 √3 B 𝑉 = 3𝑎3 √3 C 𝑉 = Lời giải 8𝑎3 √3 D 𝑉 = 4𝑎3 √3 Chọn C 𝑆𝐵 ⊥ (𝐴𝐵𝐶𝐷) } ⇒ 𝑆𝐵 ⊥ 𝐴𝐷 mà 𝐴𝐷 ⊥ 𝐴𝐵 ⇒ 𝐴𝐷 ⊥ 𝑆𝐴 𝐴𝐷 ⊂ (𝐴𝐵𝐶𝐷) ( SAD ) ( ABCD ) = AD ̂ = 60° AB ⊥ AD, AB ( ABCD ) ((𝑆𝐴𝐷); (𝐴𝐵𝐶𝐷)) = (𝑆𝐴; 𝐴𝐵) = 𝑆𝐴𝐵 SA ⊥ AD, SA ( SAD ) Ta có: Câu 8𝑎3 √3 Ta có: 𝑆𝐵 = 𝐵𝐷 𝑡𝑎𝑛 0° = 2𝑎√3 Vậy 𝑉 = 𝑆𝐵 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 = 2𝑎√3 4𝑎2 = Cho hình chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình vuông cạnh 𝑎, hai mặt phẳng (𝑆𝐴𝐵) và (𝑆𝐴𝐷) cùng vuông góc với mặt phẳng (𝐴𝐵𝐶𝐷); góc đường thẳng 𝑆𝐶 và mặt phẳng (𝐴𝐵𝐶𝐷) 60° Tính theo 𝑎 thể tích khối chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 12 (13) A 3𝑎3 B 𝑎3 √6 𝑎3 √6 C Lời giải D 3√2𝑎3 Chọn C (𝑆𝐴𝐵) ⊥ (𝐴𝐵𝐶𝐷) Ta có {(𝑆𝐴𝐷) ⊥ (𝐴𝐵𝐶𝐷) ⇒ 𝑆𝐴 ⊥ (𝐴𝐵𝐶𝐷) (𝑆𝐴𝐵) ∩ (𝑆𝐴𝐷) = 𝑆𝐴 ⇒ 𝐴𝐶 là hình chiếu vuông góc 𝑆𝐶 lên mặt phẳng (𝐴𝐵𝐶𝐷) ̂ ̂ = 60° ⇒ (𝑆𝐶, (𝐴𝐵𝐶𝐷) ) = 𝑆𝐶𝐴 Tam giác 𝑆𝐴𝐶 vuông tại 𝐴 có 𝑆𝐴 = 𝐴𝐶 𝑡𝑎𝑛 0° = 𝑎√6 1 Khi đó 𝑉𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 = 𝑆𝐴 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 = 𝑎√6 𝑎2 = 𝑎3 √6 Câu 10 Cho hình chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình chữ nhật với 𝐴𝐵 = 𝑎, 𝐵𝐶 = 𝑎√3 Cạnh bên 𝑆𝐴 vuông góc với đáy và đường thẳng 𝑆𝐶 tạo với mặt phẳng (𝑆𝐴𝐵) góc 30° Tính thể tích 𝑉 khối chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 theo 𝑎 A 𝑉 = 2√6𝑎3 B 𝑉 = 2𝑎3 C 𝑉 = √3𝑎3 Lời giải D 𝑉 = √3𝑎3 Chọn A 𝐵𝐶 ⊥ 𝑆𝐴 Ta có: { ⇒ 𝐵𝐶 ⊥ (𝑆𝐴𝐵) ⇒ 𝑆𝐵 là hình chiếu 𝑆𝐶 lên mặt phẳng (𝑆𝐴𝐵) 𝐵𝐶 ⊥ 𝐴𝐵 ̂ ̂ = 30° (𝑆𝐴𝐵)) = (𝑆𝐶, ⇒ (𝑆𝐶,̂ 𝑆𝐵) = 𝐶𝑆𝐵 𝐵𝐶 Xét tam giác 𝑆𝐵𝐶 vuông tại 𝐵 có 𝑡𝑎𝑛 0° = 𝑆𝐵 ⇒ 𝑆𝐵 = 3𝑎 Xét tam giác 𝑆𝐴𝐵 vuông tại 𝐴 có 𝑆𝐴 = √𝑆𝐵 − 𝐴𝐵 = 2𝑎√2 Mà 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 = 𝐴𝐵 𝐵𝐶 = 𝑎2 √3 2𝑎3 √6 Vậy 𝑉 = 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑆𝐴 = Câu 11 Cho hình chóp tứ giác 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 có cạnh đáy 𝑎 và cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc 600 Tính thể tích 𝑉của khối chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 A 𝑉 = 𝑎3 √6 B 𝑉 = 𝑎3 √6 C 𝑉 = Lời giải Chọn.D 13 𝑎3 √3 D 𝑉 = 𝑎3 √6 (14) Ta có: 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 = 𝑎2 ̂= Chiều cao 𝑆𝑂: 𝑆𝑂 = 𝑂𝐵 𝑡𝑎𝑛 𝑆𝐵𝑂 𝑎√2 2 𝑎√6 𝑎 𝑡𝑎𝑛 00 = 𝑎3 𝑎√6 √6 Vậy 𝑉𝑆.𝐴𝐵𝐶𝐷 = 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑆𝑂 = = Câu 12 Cho hình chóp tứ giác 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 có cạnh đáy 𝑎 và mặt bên tạo với mặt phẳng đáy góc 600 Tính thể tích 𝑉của khối chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 A 𝑉 = 𝑎3 √6 B 𝑉 = 𝑎3 √6 C 𝑉 = Lời giải 𝑎3 √3 D 𝑉 = 𝑎3 √6 Chọn D Ta có: 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 = 𝑎2 ̂ Gọi 𝑀 là trung điểm 𝐵𝐶, góc mặt bên (𝑆𝐵𝐶) và (𝐴𝐵𝐶𝐷) là 𝑆𝑀𝑂 𝑎 Ta có 𝑂𝑀 = 𝐴𝐵 = 𝑎 ̂ = 𝑡𝑎𝑛 00 = Chiều cao 𝑆𝑂: 𝑆𝑂 = 𝑂𝐵 𝑡𝑎𝑛 𝑆𝐵𝑂 1 Vậy 𝑉𝑆.𝐴𝐵𝐶𝐷 = 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑆𝑂 = 𝑎2 𝑎√3 = 𝑎3 √3 𝑎√3 ̂ = 120° , góc Câu 13 Cho lăng trụ đứng 𝐴𝐵𝐶 𝐴′ 𝐵 ′ 𝐶 ′ có đáy là tam giác cân tại 𝐴, 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 = 2𝑎, 𝐶𝐴𝐵 ′ (𝐴 𝐵𝐶) và (𝐴𝐵𝐶) là 45° Tính thể tích lăng trụ đã cho A 𝑉 = 𝑎3 √6 B 𝑉 = 𝑎3 √3 C 𝑉 = Lời giải 𝑎3 √3 D 𝑉 = 𝑎3 √3 Chọn D ̂ = 60°( doΔ𝐴𝐵𝐶cân tại 𝐴) Gọi 𝑀 là trung điểm 𝐵𝐶 Ta có 𝐴𝑀 ⊥ 𝐵𝐶 và 𝐶𝐴𝑀 14 (15) ′ 𝑀𝐴 = 45° Ta xác định góc (𝐴′ 𝐵𝐶) và (𝐴𝐵𝐶) là 𝐴̂ 1 ̂ = (2𝑎)2 𝑠𝑖𝑛 20° = 𝑎2 √3 và Ta có 𝑆Δ𝐴𝐵𝐶 = 𝐴𝐵 𝐴𝐶.sin𝐵𝐴𝐶 ′ 𝑀𝐴 = 𝑎 ̂ = 2𝑎.cos60° = 𝑎; 𝐴𝐴′ = 𝐴𝑀 𝑡𝑎𝑛 𝐴̂ 𝐴𝑀 = 𝐴𝐶 𝑐𝑜𝑠 𝑀𝐴𝐶 Vậy𝑉𝐴𝐵𝐶.𝐴′ 𝐵′𝐶 ′ = 𝐴𝐴′ 𝑆Δ𝐴𝐵𝐶 = 𝑎3 √3 (đơn vị thể tích) Câu 14 Cho hình chóp tam giác có cạnh đáy 𝑎 và cạnh bên tạo đáy góc 600 Thể tích khối chóp đó bằng: A 𝑎3 √3 12 B 𝑎3 √3 𝑎3 √3 C 36 Lời giải D 𝑎3 √3 18 Chọn A S 60 A C O M B 𝑎2 √3 Ta có: 𝑆𝐴𝐵𝐶 = Gọi 𝑂 là trọng tâm tam giác 𝐴𝐵𝐶, suy 𝑆𝑂 ⊥ (𝐴𝐵𝐶) Ta có 𝐴𝑂 là hình chiếu 𝑆𝐴 lên mặt phẳng (𝐴𝐵𝐶) ̂ = 600 Xét tam giác 𝑆𝐴𝑂 vuông tại 𝑂, ta có: Suy (𝑆𝐴, (𝐴𝐵𝐶)) = (𝑆𝐴, 𝐴𝑂) = 𝑆𝐴𝑂 𝑆𝑂 2 ̂= ̂ = 𝐴𝑀 𝑡𝑎𝑛 00 = 𝑎 𝑡𝑎𝑛 𝑆𝐴𝑂 ⇒ 𝑆𝑂 = 𝐴𝑂 𝑡𝑎𝑛 𝑆𝐴𝑂 𝐴𝑂 3 1 𝑎2 √3 𝑎3 √3 √3 = 𝑎 √3 Vậy 𝑉𝑆.𝐴𝐵𝐶 = 𝑆𝐴𝐵𝐶 𝑆𝑂 = 𝑎 = 12 Câu 15 Cho hình lăng trụ 𝐴𝐵𝐶 𝐴′ 𝐵 ′ 𝐶 ′ Mặt phẳng (𝐴′ 𝐵𝐶)tạo với mặt phẳng (𝐴𝐵𝐶) góc 30° và tam giác 𝐴′ 𝐵𝐶 có diện tích 8𝑎2 Tính thể tích khối lăng trụ 𝐴𝐵𝐶 𝐴′ 𝐵 ′ 𝐶 ′ A 𝑉 = √2𝑎3 12 B 𝑉 = 8𝑎3 √3 C 𝑉 = Lời giải √8𝑎3 D 𝑉 = √2𝑎3 Chọn B Kẻ đường cao 𝐴𝑀 tam giác 𝐴𝐵𝐶 Khi đó 𝑀 là trung điểm 𝐵𝐶 ⇒ 𝐵𝐶 ⊥ (𝐴′ 𝐴𝑀) Tam giác 𝐴' 𝐴𝑀vuông tại 𝐴 nên góc 𝐴'𝑀𝐴 là góc nhọn ′ 𝑀𝐴, Góc hai mặt phẳng (𝐴'𝐵𝐶)và (𝐴𝐵𝐶)bằng góc 𝐴′ 𝑀và 𝐴𝑀và góc 𝐴̂ 30° Tam giác 𝐴𝐵𝐶 là hình chiếu vuông góc tam giác𝐴′ 𝐵𝐶 trên (𝐴𝐵𝐶) Suy 𝑆𝐴𝐵𝐶 = 𝑆𝐴'𝐵𝐶 𝑐os30𝑜 = 4𝑎2 √3 Đặt 𝐴𝐵 = 𝑥 > Diện tích tam giác 𝐴𝐵𝐶 theo 𝑥 là 𝑆𝐴𝐵𝐶 = Vậy có 𝑥2 √3 = 4𝑎2 √3 ⇔ 𝑥 = 4𝑎 ⇒ 𝐴𝑀 = 15 𝑥√3 = 2𝑎√3 𝑥 √3 (16) Tam giác 𝐴′ 𝑀𝐴vuông tại 𝐴, 𝐴𝐴′ = 𝐴𝑀 𝑡𝑎𝑛 0𝑜 = 2𝑎√3 = 2𝑎 √3 Thể tích lăng trụ 𝐴𝐵𝐶 𝐴′ 𝐵 ′ 𝐶 ′ là 𝑉 = 𝐴𝐴′ 𝑆𝐴𝐵𝐶 = 2𝑎 4𝑎 √3 = 8𝑎3 √3 Câu 16 Cho hình hộp chữ nhật 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴′ 𝐵 ′ 𝐶 ′ 𝐷′ có đáy là hình vuông, cạnh bên 4𝑎 và đường chéo 5𝑎 Tính thể tích hình hộp chữ nhật này A 𝑉 = 3𝑎3 B 𝑉 = 9𝑎3 C 𝑉 = 𝑎3 D 𝑉 = 6𝑎3 Lời giải Chọn B C' D' A' B' 4a 5a C D A B 𝐵𝐷2 = 𝐵𝐷'2 − 𝐷𝐷'2 = 9𝑎2 ⇒ 𝐵𝐷 = 3𝑎 9a 3a ABCD là hình vuông AB = B = S ABCD = Vậy 𝑉 = 𝐵 ℎ = 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐴' = 9𝑎 Câu 17 Cho hình chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶 có đáy là tam giác 𝐴𝐵𝐶 vuông tại 𝐵, 𝐴𝐵 = 𝑎, 𝐴𝐶 = 2𝑎 Hình chiếu vuông góc 𝑆 lên (𝐴𝐵𝐶) là trung điểm 𝑀 𝐴𝐶 Góc 𝑆𝐵 và đáy 60° Thể tích 𝑆 𝐴𝐵𝐶 là bao nhiêu? A 𝑎3 √3 B 𝑎3 𝑎3 C Lời giải D 𝑎3 √2 12 Chọn B √3 Diện tích ABC : 𝑆Δ𝐴𝐵𝐶 = 𝐴𝐵 𝐵𝐶 = 𝑎2 ̂ = 600 ⇒ 𝑆𝑀 = 𝑀𝐵 𝑡𝑎𝑛 00 = 𝑎√3 *𝑆𝐵𝑀 𝑎3 Thể tích S.ABC : 𝑉𝑆.𝐴𝐵𝐶 = 𝑆𝑀 𝑆Δ𝐴𝐵𝐶 = Câu 18 Cho hình chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình chữ nhật với 𝐴𝐵 = 2𝑎, 𝐴𝐷 = 𝑎 Hình chiếu 𝑆 lên mặt phẳng (𝐴𝐵𝐶𝐷) là trung điểm 𝐻 cạnh 𝐴𝐵, đường thẳng 𝑆𝐶 tạo với đáy góc450 Tính thể tích 𝑉của khối chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 A 𝑉 = 2√2𝑎3 B 𝑉 = 𝑎3 C 𝑉 = Lời giải Chọn A 16 2𝑎3 D 𝑉 = √3𝑎3 (17) Ta có 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 = 2𝑎 𝑎 = 2𝑎2 Do𝑆𝐶 tạo với đáy góc450 nên 𝑆𝐻 = 𝐻𝐶 1 Mà 𝐻𝐶 = √𝐵𝐻 + 𝐵𝐶 = √𝑎2 + 𝑎2 = 𝑎√2 Vậy 𝑉𝐴𝐵𝐶𝐷 = 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑆𝐻 = 2𝑎2 𝑎√2 = 2𝑎3 √2 Câu 19 Cho khối chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình vuông cạnh 2𝑎, Δ𝑆𝐴𝐷 cân tại 𝑆 và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Góc (𝑆𝐵𝐶) và mặt đáy 60𝑜 Tính thể tích 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 bằng: A 2𝑎3 √3 B 8𝑎3 √3 4𝑎3 √3 C Lời giải D 2𝑎3 √3 Chọn B Gọi 𝐻 là trung điểm 𝐴𝐷 (𝑆𝐴𝐷) ⊥ (𝐴𝐵𝐶𝐷) Ta có: {(𝑆𝐴𝐷) ∩ (𝐴𝐵𝐶𝐷) = 𝐴𝐷 ⇒ 𝑆𝐻 ⊥ (𝐴𝐵𝐶𝐷) 𝑆𝐻 ⊥ 𝐴𝐷 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình vuông cạnh 2𝑎 nên𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 = 𝐴𝐵 = 4𝑎2 Tam giác 𝑆𝐵𝐶 cân tại 𝑆 ⇒ 𝑆𝑀 ⊥ 𝐵𝐶, mà 𝐻𝑀 ⊥ 𝐵𝐶 ⇒ góc mặt phẳng (𝑆𝐵𝐶) và mặt ̂ Theo bài có phẳng (𝐴𝐵𝐶𝐷) là góc hai đường thẳng 𝐻𝑀, 𝑆𝑀 chính là góc 𝑆𝑀𝐻 𝑜 ̂ = 60 𝑆𝑀𝐻 ⇒ 𝑆𝐻 = 2𝑎 𝑡𝑎𝑛 0𝑜 = 2𝑎√3 1 Vậy thể tích 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷: 𝑉𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 = 𝑆𝐻 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 = 2𝑎√3 4𝑎2 = 8𝑎3 √3 Câu 20 Cho hình chóp tam giác 𝑆 𝐴𝐵𝐶 có cạnh đáy 𝑎√3 , cạnh bên 2𝑎 Tính thể tích 𝑉của khối chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶 A 𝑉 = 𝑎3 √3 B 𝑉 = 3𝑎3 √3 C 𝑉 = Lời giải Chọn D 17 3𝑎3 √3 D 𝑉 = 3𝑎3 (18) Diện tích đáy 𝐵 = 𝑆𝐴𝐵𝐶 = 𝐴𝐻 = 𝐴𝐵 = √3 𝑎√3 √3 (𝑎.√3) √3 = 3𝑎2 √3 ; =𝑎 Chiều cao: ℎ = 𝑆𝐻 = √𝑆𝐴2 − 𝐴𝐻 = √4𝑎2 − 𝑎2 = 𝑎√3 3𝑎2 √3 𝑉𝑆.𝐴𝐵𝐶 = 𝐵 ℎ = 𝑎√3 = 3𝑎3 Mức độ Câu Cho hình chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy là hình vuông cạnh 𝑎, 𝑆𝐴 ⊥ (𝐴𝐵𝐶𝐷), 𝑆𝐴 = 𝑎 Gọi 𝐺 là trọng tâm tam giác 𝑆𝐶𝐷 Tính thể tích khối chóp 𝐺 𝐴𝐵𝐶𝐷 1 A 𝑎3 B 12 𝑎3 C 17 𝑎3 D 𝑎3 Lời giải Chọn D S N G D A M B C Gọi 𝑀, 𝑁 là trung điểm 𝐶𝐷 và 𝑆𝐷 Ta có = Câu 𝐺𝑀 𝑆𝑀 = 𝑑(𝐺,(𝐴𝐵𝐶𝐷)) 𝑑(𝑆,(𝐴𝐵𝐶𝐷)) 𝑎3 1 Ta có 𝑉𝐺.𝐴𝐵𝐶𝐷 = 𝑑(𝐺, (𝐴𝐵𝐶𝐷)) 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 = 𝑆𝐴 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 = Cho hình chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶 có đáy là tam giác 𝐴𝐵𝐶 vuông tại 𝐵, 𝐴𝐵 = 𝑎, 𝐵𝐶 = 2𝑎 Tam giác 𝑆𝐴𝐵 cân tại 𝑆 và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi 𝐺 là trọng tâm tam giác 𝐴𝐵𝐶, mặt phẳng (𝑆𝐴𝐺) tạo với đáy góc 60° Thể tích khối tứ diện 𝐴𝐶𝐺𝑆 A 𝑉 = 𝑎3 √6 36 B 𝑉 = 𝑎3 √6 18 C 𝑉 = Lời giải Chọn A 18 𝑎3 √3 27 D 𝑉 = 𝑎3 √6 12 (19) S K A C I G H N B 𝑎2 Ta có: 𝑆Δ𝐴𝐵𝐶 = 𝐴𝐵 𝐵𝐶 = 𝑎2 ⇒ 𝑆Δ𝐴𝐶𝐺 = 𝑆Δ𝐴𝐵𝐶 = Gọi 𝐻 là trung điểm 𝐴𝐵 ⇒ 𝑆𝐻 ⊥ (𝐴𝐵𝐶) Gọi 𝑁 là trung điểm 𝐵𝐶, 𝐼 là trung điểm 𝐴𝑁 và 𝐾 là trung điểm 𝐴𝐼 Ta có 𝐴𝐵 = 𝐵𝑁 = 𝑎 ⇒ 𝐵𝐼 ⊥ 𝐴𝑁 ⇒ 𝐻𝐾 ⊥ 𝐴𝑁 ̂ = 60° Do 𝐴𝐺 ⊥ (𝑆𝐻𝐾) nên góc (𝑆𝐴𝐺) và đáy là 𝑆𝐾𝐻 Ta có: 𝐵𝐼 = 𝐴𝑁 = 𝑎√2 ⇒ 𝐻𝐾 = 𝐵𝐼 = 𝑎√2 , 𝑆𝐻 = 𝑆𝐾 𝑡𝑎𝑛 0° = Vậy 𝑉 = 𝑉𝐴𝐶𝐺𝑆 = 𝑉𝑆.𝐴𝐶𝐺 = 𝑆𝐻 𝑆Δ𝐴𝐶𝐺 = Câu 𝑎3 √6 36 𝑎√6 Cho hình chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶 có tam giác 𝐴𝐵𝐶 vuông cân tại 𝐵, 𝐴𝐶 = 𝑎√2, mặt phẳng (𝑆𝐴𝐶) vuông góc với mặt đáy(𝐴𝐵𝐶) Các mặt bên (𝑆𝐴𝐵), (𝑆𝐵𝐶) tạo với mặt đáy các góc và 60° Tính theo 𝑎 thể tích 𝑉 khối chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶 A 𝑉 = √3𝑎3 B 𝑉 = √3𝑎3 C 𝑉 = Lời giải √3𝑎3 D 𝑉 = √3𝑎3 12 Chọn D Ta có: (𝑆𝐴𝐶) ⊥ (𝐴𝐵𝐶) và (𝑆𝐴𝐶) ∩ (𝐴𝐵𝐶) = 𝐴𝐶 Trong mặt phẳng (𝑆𝐴𝐶), kẻ 𝑆𝐻 ⊥ 𝐴𝐶 thì 𝑆𝐻 ⊥ (𝐴𝐵𝐶) ̂ ̂ (𝐴𝐵𝐶)) = 𝑆𝐼𝐻 Gọi 𝐼, 𝐾 là hình chiếu vuông góc 𝐻 lên cạnh 𝐴𝐵 và 𝐴𝐶 thì ((𝑆𝐴𝐵), ̂ ̂ (𝐴𝐵𝐶)) = 𝑆𝐾𝐻 và ((𝑆𝐴𝐶), ̂ = 𝑆𝐾𝐻 ̂ = 60° nên 𝐻𝐼 = 𝐻𝐾 ⇒ tứ giác 𝐵𝐼𝐻𝐾 là hình vuông ⇒ 𝐻 là trung điểm cạnh Mà 𝑆𝐼𝐻 𝐴𝐶 𝑎 Khi đó tứ giác 𝐵𝐼𝐻𝐾 là hình vuông cạnh và 𝑆𝐻 = 𝐻𝐼 𝑡𝑎𝑛 0° = Câu 𝑎√3 (𝑎√2) 𝑎3 √3 𝑎√3 Vậy 𝑉𝑆𝐴𝐵𝐶 = 𝑆𝐴𝐵𝐶 𝑆𝐻 ⇔ 𝑉𝑆𝐴𝐵𝐶 = = 12 Hình chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình vuông cạnh 𝑎, 𝑆𝐴𝐵 là tam giác cân tại 𝑆 và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy (𝐴𝐵𝐶𝐷) Biết côsin góc tạo mặt phẳng (𝑆𝐶𝐷) và 19 (20) (𝐴𝐵𝐶𝐷) A 𝑉 = 𝑎3 √13 2√17 17 Thể tích 𝑉của khối chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 là B 𝑉 = 𝑎3 √17 C 𝑉 = Lời giải 𝑎3 √17 D 𝑉 = 𝑎3 √13 Chọn A Gọi 𝐻 là trung điểm 𝐴𝐵 ⇒ 𝑆𝐻 ⊥ (𝐴𝐵𝐶𝐷), 𝐾 là trung điểm 𝐶𝐷 ⇒ 𝐶𝐷 ⊥ 𝑆𝐾 ̂ ̂ 𝑐𝑜𝑠 𝑆𝐾𝐻 ̂ = 𝐻𝐾 ⇒ 𝑆𝐾 = 𝑎√17 ⇒ 𝑆𝐻 = 𝑎√13 Ta có ( ( SCD ) , ( ABCD ) ) = (𝑆𝐾, 𝐻𝐾) = 𝑆𝐾𝐻 𝑆𝐾 2 Câu 𝑎3 √13 𝑎√13 Vậy 𝑉 = 𝑆𝐻 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 = 𝑎2 = Cho hình chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 với đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình thang vuông tại 𝐴 và 𝐷, đáy nhỏ hình thang là 𝐶𝐷, cạnh bên 𝑆𝐶 = 𝑎√15 Tam giác 𝑆𝐴𝐷 là tam giác cạnh 2𝑎 và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy hình chóp Gọi 𝐻 là trung điểm cạnh 𝐴𝐷, khoảng cách từ 𝐵 tới mặt phẳng (𝑆𝐻𝐶) 2√6𝑎 Tính thể tích 𝑉 khối chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷? A 𝑉 = 8√6𝑎3 B 𝑉 = 12√6𝑎3 C 𝑉 = 4√6𝑎3 D 𝑉 = 24√6𝑎3 Lời giải Chọn C S A B H D C F (𝑆𝐴𝐷) ⊥ (𝐴𝐵𝐶𝐷) = 𝐴𝐷 ⇒ 𝑆𝐻 ⊥ (𝐴𝐵𝐶𝐷) 𝑆𝐻 ⊥ 𝐴𝐷, 𝑆𝐻 ⊂ (𝑆𝐴𝐷) Ta có 𝑆𝐻 = √𝑆𝐷2 − 𝐷𝐻 = 𝑎√3, 𝐻𝐶 = √𝑆𝐶 − 𝑆𝐻 = √15𝑎2 − 3𝑎2 = 2√3𝑎 𝐶𝐷 = √𝐻𝐶 − 𝐻𝐷2 = √12𝑎2 − 𝑎2 = 𝑎√11 𝐵𝐹 ⊥ 𝐵𝐶 Ta có { ⇒ 𝐵𝐹 ⊥ (𝑆𝐻𝐶) nên 𝑑(𝐵, (𝑆𝐻𝐶)) = 𝐵𝐹 = 2√6𝑎 𝐵𝐹 ⊥ 𝑆𝐻 1 𝑆𝐻𝐵𝐶 = 𝐵𝐹 𝐻𝐶 = 2√3𝑎 2√6𝑎 = 6√2𝑎2 2 𝑎 𝑎2 √11 Đặt 𝐴𝐵 = 𝑥 nên 𝑆𝐴𝐻𝐵 = 𝐴𝐻 𝐴𝐵 = 𝑥; 𝑆𝐶𝐷𝐻 = 𝐷𝐻 𝐷𝐶 = { 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 = (𝐶𝐷 + 𝐴𝐵)𝐴𝐷 = (𝑎√11 + 𝑥)𝑎 20 (21) 𝑎 𝑆𝐴𝐻𝐵 = 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 − 𝑆𝐶𝐷𝐻 − 𝑆𝐵𝐻𝐶 ⇔ 𝑥 = (𝑎√11 + 𝑥)𝑎 − 𝑎2 √11 − 6√2𝑎2 ⇔ 𝑥 = (12√2 − √11)𝑎 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 = (𝑎√11 + (12√2 − √11)𝑎)𝑎 = 12√2𝑎2 Câu Vậy 𝑉𝑆.𝐴𝐵𝐶𝐷 = 𝑆𝐻 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 = 𝑎√3 12√2𝑎2 = 4√6𝑎3 Cho hình chóp𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình thang vuông tại 𝐴 và 𝐷 ; biết 𝐴𝐵 = 𝐴𝐷 = 2𝑎, 𝐶𝐷 = 𝑎 Góc hai mặt phẳng (𝑆𝐵𝐶) và (𝐴𝐵𝐶𝐷) 600 Gọi 𝐼 là trung điểm 𝐴𝐷, biết hai mặt phẳng (𝑆𝐵𝐼) và (𝑆𝐶𝐼) cùng vuông góc với mặt phẳng (𝐴𝐵𝐶𝐷) Tính thể tích khối chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 A 3√5𝑎3 B 3√15𝑎3 3√5𝑎3 C Lời giải D 3√15𝑎3 Chọn B Như đã nhắc Câu trước thì hai mặt phẳng ( SBI ) và ( SCI ) cùng vuông góc với ( ABCD ) nên SI ⊥ ( ABCD ) nên 𝑆𝐼 là đường cao 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 Kẻ IK ⊥ BC tại 𝐾 Khi đó ta chứng minh SKI = ( (SBC ) ; ( ABCD) ) = 60 Ta vẽ hình phẳng mặt đáy Ta có M = AD BC ta chứng minh 𝐶𝐷 là đường tủng bình tam giác 𝐴𝐵𝑀 Khi đó AM = 4a; BM = 2 = 2a 5; IM = 3a Ta có KMI AMB IM IK 3a 3a = IK = 2a = BM AB 2a 5 Khi đó SI = IK.tan 60 = Câu ( 2a ) + ( 4a ) 3a 3= 3a 3a 3a3 15 ( a + 2a ) 2a = 5 .V= Cho hình chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình vuông tâm 𝑂, mặt bên (𝑆𝐴𝐵) là tam giác vuông cân tại 𝑆 và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Biết thể tích khối chóp 𝑆 𝑂𝐶𝐷 𝑎3 Tính khoảng cách ℎ từ 𝐴 đến mặt phẳng (𝑆𝐵𝐷) ? A ℎ = 2√6𝑎 B ℎ = 𝑎√3 C ℎ = Lời giải Chọn A 21 2√3𝑎 D ℎ = 2√3𝑎 (22) 12 𝑥 𝑎3 Gọi 𝑥 là độ dài 𝐴𝐵,kẻ 𝑆𝐹 ⊥ 𝐴𝐵 tại 𝐹, ta có 𝑆𝐹 = ⇒ 𝑉 12 𝑆𝐹 = 24 √2 𝑆.𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑆.𝑂𝐶𝐷 Do 𝐹 là trung điểm của𝐴𝐵 nên khoảng cách ℎ từ 𝐴 đến mặt phẳng (𝑆𝐵𝐷) gấp lần khoảng 𝐹𝐵 𝑥 cách 𝑑 từ 𝐹 đến mặt phẳng (𝑆𝐵𝐷)mà 𝐸𝐹 = 𝑠𝑖𝑛 45𝑜 = 2√2 = 𝑎 Tính 𝑑: kẽ 𝐹𝐸 ⊥ 𝐷𝐵; 𝐹𝐻 ⊥ 𝑆𝐸, ta chứng minh 𝑆𝐻 ⊥ (𝑆𝐵𝐷), Câu 𝑎√6 = 𝑑, ℎ = 2𝑑 = = 𝐹𝐸 + 𝐹𝑆 = 𝑎2 + 2√6𝑎 Cho hình chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình thang vuông tại 𝐴 và 𝐵, 𝐵𝐶 = 𝐴𝐷 = 𝑎 Tam giác 𝑆𝐴𝐵 và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy, góc 𝑆𝐶 và mặt phẳng (𝐴𝐵𝐶𝐷) 2𝑎2 = 2𝑎2 ⇒ 𝐹𝐻 = 𝐹𝐻 𝛼 cho 𝑡𝑎𝑛 𝛼 = A 𝑉𝑆.𝐴𝐶𝐷 = 𝑎3 √15 Tính thể tích khối chóp 𝑆 𝐴𝐶𝐷 theo 𝑎 B 𝑉𝑆.𝐴𝐶𝐷 = 𝑎3 C 𝑉𝑆.𝐴𝐶𝐷 = Lời giải 𝑎3 √2 D 𝑉𝑆.𝐴𝐶𝐷 = 𝑎3 √3 Chọn D ̂ = 𝛼 Gọi 𝐻 là trung điểm 𝐴𝐵, từ giả thiết ta có: 𝑆𝐻 ⊥ (𝐴𝐵𝐶𝐷), (𝑆𝐶, (𝐴𝐵𝐶𝐷)) = 𝑆𝐶𝐻 𝑥2 𝑥2 Đặt 𝐴𝐵 = 𝑥, ta có: 𝐻𝐶 = √𝐵𝐻 + 𝐵𝐶 = √ + 𝑎2 , 𝑆𝐻 = 𝐻𝐶 𝑡𝑎𝑛 𝛼 = √ + 𝑎2 Mặt khác 𝑆𝐻 = (𝐴𝐷+𝐵𝐶).𝐴𝐵 Câu 𝑥2 𝑥√3 Vậy ta có: √ + 𝑎2 3𝑎2 √15 = 𝑥√3 √15 ⇔ 𝑥 = 𝑎 𝑎3 √3 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 = = ; 𝑆𝐴𝐶𝐷 = 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 = 𝑎2 ; 𝑉𝑆.𝐴𝐶𝐷 = 𝑆𝐻 𝑆𝐴𝐶𝐷 = Cho hình chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷có đáy là hình chữ nhật; 𝐴𝐵 = 𝑎; 𝐴𝐷 = 2𝑎 Tam giác 𝑆𝐴𝐵 cân tại 𝑆 và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Góc đường thẳng 𝑆𝐶 và mp(𝐴𝐵𝐶𝐷) 45° Gọi 𝑀 là trung điểm 𝑆𝐷 Tính theo 𝑎 khoảng cách 𝑑 từ điểm 𝑀 đến (𝑆𝐴𝐶) A 𝑑 = 𝑎√1513 89 B 𝑑 = 2𝑎√1315 89 C 𝑑 = Lời giải 22 𝑎√1315 89 D 𝑑 = 2𝑎√1513 89 (23) Chọn A Gọi 𝐻 là trung điểm đoạn𝐴𝐵 ⇒ 𝑆𝐻 ⊥ (𝐴𝐵𝐶𝐷) Xét △ 𝐵𝐶𝐻 vuông tại 𝐵, có: 𝐶𝐻 = √4𝑎2 + Xét △ 𝑆𝐻𝐶 vuông cân tại 𝐻, có: 𝑆𝐻 = 𝑎√17 17𝑎2 Xét △ 𝑆𝐴𝐻 vuông tại 𝐻, có: 𝑆𝐴 = √ Xét △ 𝐴𝐵𝐶 vuông tại 𝐵, có: 𝐴𝐶 = ⇒ 𝑆△𝑆𝐴𝐶 = √𝑎 + √89 𝑎 4 𝑎3 √17 𝑎3 √17 = 𝑎√17 ; 𝑆𝐶 = 𝑎2 4𝑎2 Ta có: 𝑉𝑆.𝐴𝐵𝐶𝐷 = 𝑉 = 𝑆𝐻 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 = + 𝑎2 = 𝑎√34 3√2 𝑎 = 𝑎√5 ; 𝑉𝑆.𝐴𝐶𝐷 = 𝑉 = 𝑎3 √17 𝑎√1513 √89 𝑉𝑆.𝐴𝐶𝑀 = 𝑉𝑆.𝐴𝐶𝐷 = 12 Mà 𝑉𝑆.𝑀𝐴𝐶 = 𝑑 𝑆△𝑆𝐴𝐶 = 12 𝑎2 𝑑 ⇒ 𝑑 = 89 Câu 10 Cho hình chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình chữ nhật, tam giác 𝑆𝐴𝐷 vuông tại 𝑆 và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Cho biết 𝐴𝐵 = 𝑎, 𝑆𝐴 = 2𝑆𝐷 Mặt phẳng (𝑆𝐵𝐶) tạo với đáy góc 60𝑜 Thể tích khối chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 là A 3𝑎3 B 5𝑎3 C 5𝑎3 D 15𝑎3 Lời giải Chọn B S D C I H a A B Gọi 𝐻 là hình chiếu 𝑆 lên cạnh 𝐴𝐷, 𝐼 là hình chiếu 𝐻 lên cạnh 𝐵𝐶, ta có ̂ = 60𝑜 Suy 𝑆𝐻 = 𝑎√3 𝑆𝐻 ⊥ (𝐴𝐵𝐶𝐷) và 𝐵𝐶 ⊥ (𝑆𝐻𝐼) ((𝑆𝐵𝐶); (𝐴𝐵𝐶𝐷)) = 𝑆𝐼𝐻 Trong tam giác vuông 𝑆𝐴𝐷 đặt 𝑆𝐴 = 2𝑆𝐷 = 2𝑥 nên từ 𝑆𝐻 = Do đó 𝑥 = 𝑎√15 Suy 𝐴𝐷 = 𝑥√5 = 𝑆𝐴.𝑆𝐷 𝐴𝐷 ta có 𝑎√3 = 2𝑥 √5 5𝑎√3 5𝑎√3 5𝑎3 Thể tích khối chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 là 𝑉 = 𝑎 𝑎√3 = Câu 11 Cho hình chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình chữ nhật, mặt bên 𝑆𝐴𝐷 là tam giác vuông tại 𝑆 Hình chiếu vuông góc 𝑆trên mặt phẳng đáy là điểm 𝐻 thuộc cạnh 𝐴𝐷 cho 𝐻𝐴 = 3𝐻𝐷 Biết 𝑆𝐴 = 2𝑎√3 và 𝑆𝐶 tạo với đáy góc 30° Tính theo 𝑎 thể tích 𝑉 khối chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶𝐷 A 𝑉 = 8√6𝑎3 B 𝑉 = 8√6𝑎3 C 𝑉 = 8√2𝑎3 Lời giải 23 D 𝑉 = 8√6𝑎3 (24) Chọn B 𝑆𝐻 = 𝐻𝐷 𝐻𝐴 = 3𝐻𝐷2 ⇒ 𝑆𝐻 = √3𝐻𝐷 𝑆𝐻 ̂= 𝑡𝑎𝑛 𝑆𝐷𝐻 = √3 𝑆𝐴 𝑆𝐴 𝐷𝐻 Có: { ⇒ 𝑆𝐷 = √3 ⇒ 𝑆𝐷 = = 2𝑎 ⇒ 𝐷𝐴 = √𝑆𝐷2 + 𝑆𝐴2 = 4𝑎 𝑆𝐴 √3 ̂= 𝑡𝑎𝑛 𝑆𝐷𝐻 𝑆𝐷 𝐷𝐻 = 𝐷𝐴 = 𝑎 ̂ = 𝑆𝐻 ⇒ 𝑡𝑎𝑛 0° = 𝑆𝐻 ⇒ 𝐻𝐶 = 𝑆𝐻 = 3𝑎 Tam giác 𝑆𝐻𝐶 có 𝑡𝑎𝑛 𝑆𝐶𝐻 𝐻𝐶 𝐻𝐶 𝑡𝑎𝑛 30° Tam giác 𝐷𝐻𝐶 có 𝐷𝐶 = √𝐷𝐻 + 𝐻𝐶 = 2√2𝑎 1 Vậy 𝑉𝑆.𝐴𝐵𝐶𝐷 = 𝑆𝐻 𝐴𝐷 𝐷𝐶 = √3𝑎 4𝑎 2√2𝑎 = 8√6𝑎3 ̂ = 𝑆𝐶𝐵 ̂ = 90° Gọi 𝑀 là trung Câu 12 Cho hình chóp 𝑆 𝐴𝐵𝐶 có đáy là tam giác cạnh 2𝑎, 𝑆𝐴𝐵 6𝑎 điểm 𝑆𝐴 Biết khoảng cách từ 𝐴 đến (𝑀𝐵𝐶) Thể tích khối chóp đã cho A 8𝑎3 √39 B √21 4𝑎3 √13 10𝑎3 √3 C Lời giải D 2𝑎3 √3 Chọn A S M A D I C G N B Trong mp (𝐴𝐵𝐶) xác định điểm 𝐷 cho tứ giác 𝐴𝐵𝐶𝐷 vuông tại 𝐴 và 𝐶 𝐴𝐵 ⊥ 𝐴𝐷 𝐶𝐵 ⊥ 𝐶𝐷 Khi đó ta có: { ⇒ 𝐴𝐵 ⊥ 𝑆𝐷; { ⇒ 𝐶𝐵 ⊥ 𝑆𝐷 𝐴𝐵 ⊥ 𝑆𝐴 𝐶𝐵 ⊥ 𝑆𝐶 Vậy 𝑆𝐷 ⊥ (𝐴𝐵𝐶𝐷) ⇒ 𝑉𝑆.𝐴𝐵𝐶 = 𝑆𝐷 𝑆Δ𝐴𝐵𝐶 Có tam giác 𝐴𝐵𝐶 là tam giác cạnh 2𝑎 ⇒ 𝑆Δ𝐴𝐵𝐶 = 𝑎2 √3 Ta tìm SD Gọi 𝐼 là trung điểm 𝐴𝐶 vì tam giác 𝐴𝐵𝐶 đều, 𝐴𝐵𝐶𝐷 nội tiếp đường tròn đường kính 𝐵𝐷 𝐼 ∈ 𝐵𝐷 ⇒ 𝐴𝐶 ⊥ 𝐵𝐷 Gọi 𝐺 là trọng tâm tam giác 𝐴𝐵𝐶 và 𝑁 là trung điểm 𝐵𝐶 Vì tam giác 𝐴𝐵𝐶 AN ⊥ BC AN // CD , tương tự CG // BD 24 (25) 2 3a AN = 2a = (1) 3 Xét hình chóp S ANCD có đáy ANCD là hình thang vuông tại C, N 6a Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( MNC ) vì ( MNC ) ( MBC ) 21 Dễ thấy AGCD là hình thoi CD = AG = S P M F H E A D C N Trong mp ( ABCD ) gọi E = CN AD Trong mp ( SAD ) kẻ tia At / / SD gọi P = EM At Gọi K là hình chiếu G trên mặt phẳng ( CMB ) AP / / SD AP ⊥ CN ( APN ) ⊥ CN Khi đó ta có AN ⊥ CN Trong mp ( APN ) kẻ AH ⊥ PN ta có AH = d ( A, ( MCN ) ) = 6a 21 Mà tam giác ABC là tam giác cạnh 2a AN = a 1 1 21 1 = + = − = AP = 2a Từ 2 2 AH AP AN AP 36a 3a 4a Dễ thấy APM = SFM SF = AP = 2a ( ) ED CD = = (theo (1) ) EA AN FD ED FD 4a = = FD = ( 3) Xét tam giác EAP có FD / / PA nên PA EA PA 3 10a Từ ( ) và ( 3) ta có SD = SF + FD = 1 10a 10a 3 a = Vậy VS ABC = SD S ABC = 3 Câu 13 Cho hình chóp S.ABC biết SA = SB = SC = a , ASB = 120 , BSC = 60 và ASC = 90 Thể tích khối chóp S.ABC là a3 a3 a3 a3 A B C D 12 Lời giải Chọn A Xét tam giác EAN có CD / / AN nên 25 (26) Ta có SB = SC = a , BSC = 60 suy tam giác BSC BC = a Lại có SA = SC = a , ASC = 90 suy tam giác ASC vuông cân tại S AC = a Mặt khác, SA = SB = a , ASB = 120 , áp dụng định lí cosin cho tam giác ASB , ta được: AB2 = SA2 + SB2 − 2SA.SB.cos ASB = 3a AB = a Xét tam giác ABC có BC + AC = a2 + 2a2 = 3a2 = AB2 suy tam giác ABC vuông tại C a2 Vậy diện tích tam giác ABC là: SABC = AC.BC = 2 Gọi O là trung điểm cạnh AB suy O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Mà SA = SB = SC SO ⊥ ( ABC ) 3a a Xét tam giác vuông ASO vuông tại O có SO = SA − AO = a − = 2 1 a 2 a a3 = Vậy thể tích khối chóp S.ABC là: VS ABC = S ABC SO = 3 2 12 Câu 14 Cho hình chóp S.ABC có AB = 7cm, BC = 8cm, AC = 9cm Các mặt bên tạo với đáy góc 30 Tính thể tích khối chóp S.ABC Biết hình chiếu vuông góc S trên ( ABC ) thuộc miền tam giác ABC 20 3 cm3 A B 20 ( cm ) ( ) C Lời giải Chọn A Ta có p = AB + BC + AC = 12 ( cm ) 26 63 ( cm3 ) D 72 ( cm ) (27) Diện tích tam giác ABC là S = p ( p − AB )( p − AC )( p − BC ) = 12 ( cm2 ) Gọi H là hình chiếu vuông góc S trên ( ABC ) Gọi K , N , M là hình chiếu vuông góc H trên AB, BC , CA Theo bài ta có SKH = SNH = SMH = 30 Ta có SKH = SNH = SMH vì SHK = SHN = SHM = 90 , SH chung, SKH = SNH = SMH = 30 Suy KH = NH = MH Vậy H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC S Khi đó KH = NH = MH = ABC = ( cm ) p SH = HK tan 30 = 15 ( cm ) ( ) 1 15 20 = cm3 Thể tích khối chóp S.ABC là V = SH S ABC = 12 3 3 Câu 15 Cho hình chóp S ABC có AB = AC = , BC = , SA = , SAB = SAC = 30º Tính thể tích khối chóp S ABC A VS ABC = B VS ABC = C VS ABC = D VS ABC = 12 Lời giải Chọn C Gọi M là trung điểm cạnh BC Vì D ABC cân tại A (do AB = AC = ) nên AM ^ BC AM = AC - MC = 15 ; SD ABC = AM BC = 15 D SAB = D SAC (c - g - c ) nên SB = SC Gọi H là hình chiếu vuông góc điểm S trên mặt phẳng ( ABC ) suy H Î AM Áp dụng định lí cosin cho D SAB , ta có: SB2 = SA2 + AB2 - 2SA.AB.cos30° = 16 Þ SB = SB - MB = 15 SM + AM - SA2 =- Áp dụng định lí cosin cho D SAM , ta có cos SMA = 2.SM AM Þ sin SMA = 1- cos SMA = 4 15 Þ SH = SM sin SMA = 15 = 5 1 15 = Vậy VS ABC = SD ABC SH = 15 3 Cách 2: 27 D SMB vuông tại M nên SM = (28) Áp dụng định lí cosin cho D ABC , ta có AB + AC - BC cos A = = AB AC abc 1- cos - cos - cos + 2cos cos cos Sử dụng công thức V = æ7 ÷ ö çç ÷ + 2cos 30°.cos 30° = çè8 ÷ ø AB AC.SA Þ V= 1- cos 30°- cos 30°6 Câu 16 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh x , BAD = 60° , gọi I là giao điểm AC và BD Hình chiếu vuông góc S lên mặt phẳng ( ABCD) là H cho H là trung điểm BI Góc SC và ( ABCD) 45° Tính thể tích V khối chóp S ABCD A V = 39 x3 12 B V = 39 x3 36 C V = 39 x3 24 D V = 39 x3 48 Lời giải Chọn C Tam giác ABD cạnh x Þ BD = x Þ IH = Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC : AC = Xét tam giác IHC vuông tại I : HC = x x + x - x.x.cos120° = x Þ IC = IH + IC = x x 3x x 13 + = 16 4 Do tam giác SHC vuông tại H , có SCH = (SC, (ABCD)) = 45° nên tam giác SHC vuông cân tại H Suy ra: HC = SH = x 13 1 x 13 x3 39 = Vậy thể tích khối chóp S ABCD : VS ABCD = AC.BD.SH = x 3.x 24 Câu 17 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a , khoảng cách từ điểm A đến mặt a 15 a 15 phẳng (SBC ) là , khoảng cách SA và BC là Biết hình chiếu S lên mặt 5 28 (29) phẳng ( ABC ) nằm tam giác ABC , tính thể tích khối chóp S.ABC A a3 B a3 C a3 D a3 Lời giải Chọn D Dựng hình bình hành ABCD Gọi O là hình chiếu vuông góc S lên mặt phẳng ( ABCD) Dựng đường thẳng d qua O , vuông góc với BC và cắt BC, AD tại H , M Khi đó AD, BC ^ (SHM ) Trong D SHM , dựng HK ^ SM ( K Î SM ) và MN ^ SH ( N Î SH ) Ta có MN ^ SH và MN ^ BC nên MN ^ (SBC) Vì MN = d ( M , ( SBC )) = d ( A, ( SBC )) = a 15 a 15 Do D SHM có hai đường cao MN = HK nên cân tại S Suy O là trung điểm MH a Ta có MH = d ( AD, BC ) = d ( A, BC ) = (do D ABC đều, cạnh a ) Suy a MO = Xét hai tam giác đồng dạng MKH và MOS , ta có a a 15 ´ KH MK MO.KH a = Þ SO = = = 2 SO MO MK æa ö æ ö a 15 ÷ ÷ çç ÷ ÷ - ççç ÷ ççè ø ÷ èç ø÷ ÷ Do BC / / (SAD ) nên d ( BC, SA) = d ( BC,(SAD)) = d ( H ,(SAD)) = HK Suy HK = 1 a a a3 SO ´ SD ABC = ´ ´ = 3 Câu 18 Cho hình lăng trụ đứng ABC ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , cạnh BC = a Góc mặt phẳng ( ABC ) và mặt phẳng ( BCC B ) 60 Tính thể tích khối đa diện ABCAC Vậy thể tích khối chóp S.ABC là V = a3 A 3 3a B a3 C Hướng dẫn giải Chọn D 29 D a (30) A A' B' a C' B B' I B A a I a H a C C C' a AI ⊥ BC AI ⊥ ( BBC C ) và AI = Gọi I là trung điểm BC , ta có (trung tuyến AI ⊥ CC tam giác vuông nửa cạnh huyền) Kẻ IH ⊥ BC mà AI ⊥ BC suy AH ⊥ BC Vậy góc mặt phẳng ( AB C ) và mặt phẳng ( BCC B ) là AHI = 60 AI a 2 = ; CH = CI − IH = a tan 60 IH CH IH CB Mặt khác CIH CBB = BB = =a BB CB CH 1 a VABCAC = VABBC C = AI S BCC B = a 3.a = a 3 3 Ta có IH = Câu 19 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi cạnh a và ABC = 60 Biết SA = SC , SB = SD và ( SAB ) ⊥ ( SBC ) G là trọng tâm tam giác ( SAD ) Tính thể tích V tứ diện GSAC a3 a3 a3 a3 A V = B V = C V = D V = 96 48 24 12 Hướng dẫn giải Chọn B Ta có VGSAC = d ( G, ( SAC ) ) S SAC * Tính SSAC ? 30 (31) SA = SC SO ⊥ AC SO ⊥ ( ABCD ) Gọi O = AC BD , SB = SD SO ⊥ BD Kẻ OH ⊥ SB , AC ⊥ ( SBD ) nên SB ⊥ ( AHC ) Suy ( SAB ) , ( SBC ) = ( AH , CH ) = AHC = 90 Do OH ⊥ AC và OH là trung tuyến nên tam giác AHC vuông cân tại H a a Khi đó OH = AC = và OB = 2 1 a = + SO = Mà tam giác SOB vuông tại O có đường cao OH nên 2 OH OS OB 1 a a2 a = Vậy S SAC = SO AC = 2 * Tính d ( E , ( SAC ) ) ? d ( G, ( SAC ) ) SG = = Gọi E là trung điểm AD thì d ( E , ( SAC ) ) SE a Gọi F là trung điểm OA thì EF ⊥ ( SAC ) d ( E , ( SAC ) ) = EF = OD = 2 a a = Suy d ( G, ( SAC ) ) = d ( E , ( SAC ) ) = 3 1 a a2 2a = Vậy VG.SAC = d ( G, ( SAC ) ) S SAC = 3 48 Câu 20 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA = a và SA vuông góc với đáy Gọi M là trung điểm SB , N là điểm thuộc cạnh SD cho SN = ND Tính thể tích V khối tứ diện ACMN 1 1 A V = a3 B V = a C V = a D V = a 36 12 Hướng dẫn giải Chọn D a3 Cách Ta có VS ABCD = SA.S ABCD = 3 1 a3 VNDAC = NH SDAC = a a = 3 18 1 a a3 VMABC = MK SABC = a = 3 12 31 (32) a3 d ( A, ( SMN ) ) SSMN = 18 1 a a3 V = NL S = a a = Suy NSAM SAM 3 2 18 1 a3 Mặt khác VC SMN = d ( C , ( SMN ) ) SSMN = d ( A, ( SMN ) ) SSMN = 3 18 3 a a a a3 a3 Vậy VACMN = VS ABCD − VNSAM − VNADC − VMABC − VSCMN = − − − − = a 18 18 12 18 12 Cách Gọi O là giao điểm AC và BD a3 Ta có VS ABCD = SA.S ABCD = Vì OM //SD nên SD // ( AMC ) 3 Do đó d ( N ; ( AMC ) ) = d ( D; ( AMC ) ) = d ( B; ( AMC ) ) a3 VACMN = VN MAC = VD.MAC = VB.MAC = VM BAC = VS ABCD = 12 o Câu 21 Cho lăng trụ ABC ABC là lăng trụ đứng, AC = a, BC = 2a góc · ACB 120 Góc đường thẳng AC ¢ và mặt phẳng ( ABB¢A¢) 30o Tính thể tích lăng trụ đã cho A V = 13a 12 B V = a 105 14 C V = 104a D V = 105a Lời giải Chọn B Kẻ C ¢K ^ A¢B¢ Vì lăng trụ ABC ABC là lăng trụ đứng nên C ¢K ^ AA¢ Do đó C ¢K ^ ( ABB¢A¢) ·¢AK và 30° (tam giác C ¢AK vuông tại K nên Góc AC ¢ và ( ABB¢A¢) góc C góc C ' AK nhọn) Xét tam giác ABC , áp dụng định lý cosin cho cạnh AB có: AB2 = AC + BC - 2.AB.AC.cos120o = 7a2 Þ A¢B¢2 = 7a2 1 a2 S A¢B¢C ¢ = S ABC = CA.CB.sin ACB = a.2a.sin120o = 2 1 Mặt khác S A¢B¢C ¢ = C ¢K A¢B¢= C ¢K a 2 a2 a Û C ¢K = Do đó C ¢K a = 2 3a Xét tam giác AKC ' vuông tại K nên AK = C ¢K cot 30o = C ¢K = A ' C ' K K Xét tam giác vuông tại nên 32 (33) A¢K = Þ AA¢= A¢C ¢2 - KC ¢2 = AK - A¢K = a2 - 3a 2a = 7 a a a a 105 = 14 Câu 22 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B Biết SA vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) , AB = a, BC = a 3, SA = a Một mặt phẳng ( ) qua A vuông góc SC tại H Thể tích lăng trụ ABC ABC là V = AA¢.S ABC = và cắt SB tại K Tính thể tích khối chóp S AHK theo a a3 a3 a3 A VS AHK = B VS AHK = C VS AHK = 20 30 60 Lời giải Chọn B AK ⊥ SC ( AK ⊥ ( ) ) Ta có , suy AK ⊥ ( SBC ) AK ⊥ SB AK ⊥ BC BC ⊥ SAB ( ) ( ) Vì SAB vuông cân tại A nên K là trung điểm S SB Ta có: VS AHK SA.SK SH SH H = = Ta có VS ABC SA.SB.SC SC D VS AHK a3 = 90 AC = AB + BC = 2a SC = AC + SA2 = a , đó SH SH SC SA2 = = = SC SC SC V SH S AHK = = , lại có VS ABC 2SC 10 K C A B 1 a VS ABC = SA AB.BC = a3 60 Câu 23 Cho hình chóp S.ABC có đáy là ABC tam giác vuông cân đỉnh A, AB = AC = a Hình chiếu vuông góc S lên mặt phẳng ( ABC ) là trung điểm H BC Mặt phẳng ( SAB ) hợp với Vậy VS AHK = mặt phẳng đáy góc 60 Tính thể tích khối chóp S.ABC a3 a3 a3 A V = B V = C V = 12 Lời giải Chọn D S A B H K C 33 D V = a3 12 (34) Góc mặt phẳng ( SAB ) và mặt phẳng đáy là góc SKH SKH = 60 VABC ABC = a 3a 3a 3 a = có SH = KH tan 60 = a3 Do đó V = SH S ABC = = 12 Câu 24 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , có BC = a ; Mặt bên ( SAC ) vuông góc với đáy, các mặt bên còn lại tạo với mặt đáy góc 450 Tính thể tích khối chóp SABC a3 a3 a3 A B a C D 24 12 Lời giải Chọn A Gọi H là hình chiếu vuông góc S lên cạnh AC nên SH ⊥ ( ABC ) Gọi E , F là hình chiếu vuông góc H lên cạnh AB và AC Khi đó, góc tạo hai mặt phẳng ( SAB ) , ( SAC ) tạo với đáy là SEH , SFH cùng 45 Hai tam giác SEH , SFH có SHE = SHF = 90 , SH chung , HSE = HSF = 45 nên hai tam giác hay HE = HF Mà ABC là tam giác vuông cân nên H là trung điểm AC BC a 1 a a a3 = Vậy VS ABC = S ABC SH = = Ta có: SH = HE = 2 3 2 12 Câu 25 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên SAD là tam giác cạnh 2a và nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) Góc mặt phẳng ( SBC ) và mặt phẳng ( ABCD ) là 300 Thể tích khối chóp S ABCD là: A 2a 3 B a3 C Lời giải Chọn A 34 4a 3 D 2a3 (35) S A B 30° H M D C +) Gọi H là trung điểm AD SH ⊥ AD (vì SAD đều) Gọi M là trung điểm BC HM ⊥ SH (vì ( SAD ) và ( ABCD ) vuông góc với nhau) Suy SH ⊥ ( ABCD ) +) Tam giác SBC cân tại S SM ⊥ BC , mà HM ⊥ BC góc mặt phẳng ( SBC ) và mặt phẳng ( ABCD ) là góc hai đường thẳng HM , SM chính là góc SMH Theo bài có SMH = 300 +) Vì SAD là tam giác cạnh 2a nên ta có SH = a HM = a =a tan 300 S ABCD = AB AD = 2a Vậy thể tích của khối chóp S ABCD là 1 2a 3 VABCD = SH S ABCD = a 3.2a = 3 Câu 26 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB = a , AC = a Hình chiếu điểm S trên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trung điểm đoạn thẳng BC Biết góc mặt phẳng ( SAB ) và mặt phẳng ( ASC ) 60 Thể tích khối chóp S.ABC là A 5a 12 B 5a 10 12 C a 210 24 Lời giải Chọn D ( SAB ) ( SAC ) = SA , kẻ BE ⊥ SA và GH BE , suy ( ( SAC ) , ( SAB ) ) = ( GH , ( SAC ) ) = HGI = 60 Đặt SH = h , ta tính SA = h + 7a 5a và SP = h + 4 35 D a 30 12 (36) 5a a h 2SSAB BE SH HM HG = = HI = = Vậy BE = , SA SM 7a a2 h2 + h2 + Tam giác GIH vuông tại I có a h2 + a 5a a h2 + h IH = h4 + 7a h2 − 15a = h = 2a sin 60 = HG 7a a2 h2 + h2 + Vậy VSABC = a 30 AB AC.SH = 12 Câu 27 Cho hình chóp S.ABC có ASB = 60 , ASC = 90 , CSB = 120 và SA = , SB = , SC = Khi đó thể tích khối chóp S.ABC là 2 A B C D Lời giải S N O A M C B Chọn B Lấy M là trung điểm SB và lấy N SC cho SN = Ta có SA = SM = SN = nên hình chiếu vuông góc S lên ( AMN ) trùng với tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN Ta có: AM = vì tam giác SAM (cân tại S và có góc 60 ) AN = vì là cạnh huyền tam giác vuông SAN có cạnh góc vuông MN = SM + SN − 2SM SN cos120 = Dễ đánh giá tam giác AMN vuông tại A nên có S AMN = 2 AM AN MN 3 = = 4.S AMN 2 Suy SO = SA2 − AO = − = 1 2 = Suy VS AMN = 2 12 V 1 Áp dụng công thức tỉ số thể tích ta có S AMN = suy VS ABC = 6.VS AMN = VS ABC OA = Câu 28 Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 2a và AC = a Gọi M , N là trung điểm AB và CD Biết MN = a và MN là đoạn vuông góc chung AB và CD Tính thể tích tứ diện ABCD 36 (37) A a3 B a3 C a3 D a3 Lời giải Chọn D Dựng hình hộp chữ nhật chứa tứ diện ABCD hình vẽ 2 Ta có: AE = AC − DE = a BC = AB − AE = a 1 a3 V = V = a a a = Vậy ABCD 3 Câu 29 Cho hình chóp tam giác S.ABC có M là trung điểm SB , N là điểm trên SC cho NS = 2NC , là điểm trên SA cho PA = 2PS Kí hiệu V1 , V2 là thể tích khối chóp V BMNP và S.ABC Tính tỉ số V2 V V V V A = B = C = D = V2 V2 V2 V2 Lời giải Chọn A d N , SAB ) ) S BMP VN BMP ( ( Ta có ; = VC SAB d ( C , ( SAB ) ) S SAB d ( N , ( SAB ) ) NS V 1 1 = = ; S SBM = S BPS = S SAB N BMP = = Suy 2 VC SAB d ( C , ( SAB ) ) CS Câu 30 Cho hình chóp S ABCD Gọi N là trung điểm SB, M là điểm đối xứng với B qua A 37 (38) Mặt phẳng ( MNC ) chia khối chóp S ABCD thành hai phần có thể tích là V1 , V2 với V1 V2 Tính tỉ số A V1 = V2 V1 V2 B V1 = V2 11 V1 = V2 Lời giải C D V1 = V2 13 Chọn A S N E B M F A C D Gọi h, S là chiều cao và diện tích đáy khối chóp S ABCD Khi đó VS ABCD = S h Nối MN cắt SA tại E , MC cắt AD tại F Tam giác SBM có A, N là trung điểm BM và SB suy E là trọng tâm tam giác SBM Tứ giác ACDM là hình bình hành nên F là trung điểm MC Ta có VBNC AEF = VABCEN + VE ACF V SE SN 1 = = ⎯⎯ → VS ENC = VS ABC S ENC = VS ABC SA SB 3 21 ⎯⎯ →VABCEN = VS ABC = VS ABCD = VS ABCD 32 1 1 VE ACF = SACF d E , ( ACF ) = S h = VS ABCD 3 12 1 Do đó VBNC AEF = VABCEN + VE ACF = VS ABCD + VS ABCD = VS ABCD = V1 12 12 V1 → = Suy V2 = VS ABCD ⎯⎯ 12 V2 Mức độ Câu Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cạnh , biết khoảng cách từ A đến ( SBC ) là , từ B đến ( SCA ) là 15 , từ C đến ( SAB ) là 30 và hình chiếu vuông góc 20 10 S xuống đáy nằm tam giác ABC Tính thể tích khối chóp VS ABC A 36 B 48 12 Lời giải C Chọn B 38 D 24 (39) Gọi M , N , P là hình chiếu H lên các cạnh AC, BC, AB h = Đặt SH = h VS ABC = h 12 2S 6VS ABC h 30 Ta có AP = SAB = 2SSAB = = : = h 10 AB 20 d ( C; ( SAB ) ) Tương tự, tính HM = 2h, HN = h PH = SP − SH = 3h Ta có S ABC = S HAB + S HAC + S HBC = 3 ( HP + HM + HN ) 3h = h = 12 3 = 12 12 48 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a Tam giác SAB vuông tại S và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi là góc tạo đường thẳng SD và mặt phẳng ( SBC ) , với 45 Tìm giá trị lớn thể tích khối chóp S ABCD Vậy VS ABC = Câu A 4a3 B 8a 3 C 4a 3 D 2a 3 Lời giải Chọn C S D' D A H C B Gọi D là đỉnh thứ tư hình bình hành SADD Khi đó DD//SA mà SA ⊥ ( SBC ) (vì SA ⊥ SB , SA ⊥ BC ) nên D là hình chiếu vuông góc D lên ( SBC ) Góc SD và ( SBC ) là = DSD = SDA , đó SA = AD.tan = 2a.tan Đặt tan = x , x ( 0;1) 1 Gọi H là hình chiếu S lên AB , theo đề ta có VS ABCD = S ABCD SH = 4a SH 3 39 (40) Do đó VS ABCD đạt giá trị lớn SH lớn Vì tam giác SAB vuông tại S nên SA.SB SA AB − SA2 2ax 4a − 4a x x2 + − x2 = 2ax − x 2a = = =a AB AB 2a 2 Từ đó max SH = a tan = Suy max VS ABCD = a.4a = a 3 ABCD Xét tứ diện có các cạnh AC = CD = DB = BA = và AD , BC thay đổi Giá trị lớn thể tích tứ diện ABCD 16 32 16 32 A B C D 27 9 27 Lời giải Chọn B A SH = Câu M B D N C Gọi M , N là trung điểm AD và BC Theo giả thiết ta có: ABD và ACD là các tam giác cân có M là trung điểm AD nên BM ⊥ AD và CM ⊥ AD AD ⊥ ( BMC ) Và có BM = CM MBC cân tại Trong tam giác MBC có MN vừa là đường cao vừa là trung tuyến nên MN = MB − BC AD + BC AD BC MN = − MN = AB − − 4 2 Khi đó diện tích tam giác MBC là: SMBC Thể tích tứ diện ABCD là: VABCD 1 AD + BC = MN BC = BC − 2 1 AD + BC = AD.S MBC = BC AD − 3 x2 + y Đặt AD = x , BC = y ta có: VABCD = x y − x + y xy x2 + y xy 2 − − x + y xy Ta có: 4 xy 2 Do đó: VABCD x y − VABCD ( xy ) ( − xy ) Dấu xảy x = y xy xy + + − xy xy xy 4.83 xy − xy = − xy = ( ) ( ) ( ) Ta lại có: 2 27 40 (41) Dấu xảy xy 16 = − xy xy = x= y= 3 Vậy giá trị lớn thể tích tứ diện ABCD là: tập xác định max VABCD = = Câu 4.83 27 32 27 Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a Gọi M , N là trung điểm SB, BC Tính thể tích khối chóp A.BCNM Biết mặt phẳng ( AMN ) vuông góc với mặt phẳng ( SBC ) a 15 A 32 3a 15 B 32 3a 15 C 16 3a 15 D 48 Lời giải Chọn B E là trung điểm BC nên CB ⊥ AE, CB ⊥ SH ⎯⎯ → CB ⊥ ( SAE ) → CB ⊥ SE SE vừa là trung tuyến vừa là đường cao nên SBC cân tại S → SF ⊥ MN , SF = F là giao điểm MN với SE ⎯⎯ SE ( AMN ) ⊥ ( SBC ) SF ⊥ MN ⎯⎯⎯ ⎯ → SF ⊥ ( AMN ) AMN SBC = MN ( ) ( ) Giả thiết 3a → SE ⊥ AF và SF = SE nên SAE cân tại A → AE = AS = 2 2 3a a AH = AE = = a ⎯⎯ → SH = SA2 − AH = 3 2 1 a a 15 VS ABC = S ABC SH = a = 3 VS AMN SM SN a3 15 = = ⎯⎯ →VS AMN = VS ABC SB SC 32 ( Vậy V = VS ABC − VS AMN = Câu ) 3a 15 32 Cho hình chóp S.ABC có AB = BC = a, ABC = 1200 , SAB = SCB = 90 và khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( SAC ) 2a 21 Tính thể tích khối S.ABC 21 41 (42) A V = a3 10 B V = a 15 10 C V = a 15 D V = a3 Lời giải Chọn B S S K E D A a I C a E B D I B Hạ SE ⊥ ( ABC ) tại E có AB ⊥ SE AB ⊥ ( SAE ) AB ⊥ AE BAE = 90 AB ⊥ SA Chứng minh tương tự có BCE = 90 Hai tam giác vuông BCE và BAE suy CBE = ABE = 60 Gọi D là trung điểm BE suy tứ giác ABCD là hình thoi và BD = DE = a Gọi I là tâm hình thoi ABCD có 1 2a 21 2a 21 BI = EI d ( B, ( SAC ) ) = d ( E , ( SAC ) ) d ( E , ( SAC ) ) = = 3 21 CA ⊥ BD CA ⊥ ( SEI ) ( SAC ) ⊥ ( SEI ) CA ⊥ SE Hạ EK ⊥ SI tại K ta có EK ⊥ ( SAC ) tại K suy d ( E , ( SAC ) ) = EK EK = 2a 21 Tam giác SBE vuông tại E đường cao EK có 1 1 1 6a = 2+ = − = − = SE = 2 2 2 EK EI SE SE EK EI 12a 9a 36a 11 6a a 15 = Vậy VSABC = SABC SE = BA.BC.sin1200 SE = a 3 10 Câu Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác cân tại A , AB = a , BAC = 120 , SBA = SCA = 90 Gọi là góc hai mặt phẳng ( SAB ) và ( SAC ) Khi cos = thì thể tích khối chóp đã cho 3a a3 3 A 3a B a C D 4 Lời giải Chọn D 42 (43) Kẻ SH ⊥ ( ABC ) , H ( ABC ) suy SH ⊥ AB và SH ⊥ AC SH ⊥ AB AB ⊥ ( SBH ) AB ⊥ BH Khi đó ta có SB ⊥ AB Chứng minh tương tự ta có AC ⊥ CH suy tứ giác ABHC nội tiếp đường tròn đường kính AH Do đó góc BHC 60 Dễ thấy AHB = AHC HB = HC nên HBC ABC cân tại A có AB = a, BAC = 120 suy BC = 3a 2 Do đó HB = HC = BC = 3a Dễ thấy SHB = SHC SB = SC nên SAB = SAC Trong mặt phẳng ( SAB ) kẻ BK ⊥ SA, ( K SA ) 2 2 Trong mặt phẳng ( SAC ) kẻ CK1 ⊥ SA, ( K1 SA ) Xét hai tam giác vuông KAB và K1 AC có AB = AC , BAK = CAK1 (vì SAB = SAC ) suy KAB = K1 AC AK = AK1 mà K và K1 nằm S và A nên K K1 Từ đó ta có CK ⊥ SA và BK = CK BK + CK − BC BK − BC = = (1) Do đó cos = cos BKC 2 BK CK 4 BK Đặt SH = x, ( x ) 2 2 Xét SHB có SB = SH + HB = 3a + x 1 1 1 = + = 2+ Xét SAB vuông tại B có 2 BK BA BS BK a 3a + x a ( 3a + x ) BK = 4a + x 2a ( 3a + x ) Thay vào (1) ta có Câu − 3a 4a + x 2a ( 3a + x ) 2 = x = a 4a + x 1 1 a3 SH AB AC sin BAC = a a sin120 = Vậy thể tích khối chóp S.ABC là 3 Cho tứ diện ABCD có cạnh , M và N là hai điểm di động trên hai cạnh AB, AC ( M và N không trùng với A ) cho mặt phẳng ( DMN ) luôn vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) Gọi V1 , V2 là thể tích lớn và nhỏ tứ diện ADMN Tính tích V1.V2 A V1.V2 = 27 B V1.V2 = 24 C V1.V2 = 43 324 D V1.V2 = (44) Lời giải Chọn C Kẻ DH ⊥ MN DH ⊥ ( ABC ) (vì ( DMN ) ⊥ ( ABC ) ) Suy H là trọng tâm tam giác ABC Như M và N là hai điểm di động MN luôn qua trọng tâm tam giác ABC Đặt AM = x, AN = y , ( x , y ) + DH = DA2 − AH = − = DH = 3 3 AM AN sin MAN = xy (*) + SAMN = SAMH + SANH = AH ( x + y ) sin 30 = ( x + y ) (**) 12 1 2 xy = xy Do đó VADMN = DH SAMN = (***) 3 12 Mặt khác từ (*) và (**) suy x + y = 3xy , ( x , y ) 0 t 0 3t Đặt xy = t x + y = 3t Điều kiện: t 9t − 4t t t + SAMN = Khi đó x, y là nghiệm phương trình X − 3tX + t = (1) , t 4 2 Ta tìm t ; để (1) có nghiệm phân biệt thuộc ( 0;1 có nghiệm kép thuộc ( 0;1 9 3 X2 Ta có X = không phải là nghiệm (1) nên (1) t = 3X −1 X = X2 3X − X Đặt g ( X ) = , X ( 0;1 Ta có: g ( X ) = =0 2 X = 3X −1 X − ( ) Bảng biến thiên g ( X ) 44 (45) Dựa vào BBT, (1) có nghiệm phân biệt thuộc ( 0;1 có nghiệm kép thuộc ( 0;1 4 t (thỏa điều kiện) hay xy 9 2 2 VADMN V1 = Kết hợp (***) ta có , V2 = V1.V2 = 27 24 24 27 324 Cho khối tứ diện ABCD cạnh 2cm Gọi M , N , P là trọng tâm ba tam giác ABC, ABD, ACD Tính thể tích V khối chóp AMNP Câu A V = cm3 162 B V = 2 cm 81 C V = cm 81 D V = cm3 144 Lời giải Chọn C A N M B K P D H E F C Tam giác BCD DE = DH = AH = AD − DH = 3 1 1 SEFK = d( E , FK ) FK = d( D,BC ) BC = 2 2 1 AH S EFK = = 3 AM AN AP = = = Mà AE AK AF V AM AN AP 8 = VAMNP = VAEKF = Lại có: AMNP = VAEKF AE AK AF 27 27 81 Cho hình chóp S.ABC có AB = cm , BC = cm , CA = cm Hình chiếu vuông góc S VSKFE = Câu 45 (46) xuống mặt phẳng ( SCA ) ( ABC ) nằm bên tam giác ABC Các mặt phẳng ( SAB ) , ( SBC ) , tạo với đáy góc 60 Gọi AD , BE , CF là các đường phân giác tam giác ABC với D BC , E AC , F AB Thể tích S.DEF gần với số nào sau đây? A 2,9 cm3 B 4,1 cm3 C 3,7 cm3 Lời giải D 3,4 cm3 Chọn D S E A F H C I 60° D B Vì các mặt phẳng ( SAB ) , ( SBC ) , ( SCA ) tạo với đáy góc 60 và hình chiếu vuông góc S xuống mặt phẳng ( ABC ) nằm bên tam giác ABC nên ta có hình chiếu S chính là tâm I đường tròn nội tiếp tam giác ABC AB + BC + CA =9 Gọi p là nửa chu vi tam giác ABC thì p = S Ta có : S ABC = p ( p − AB )( p − BC )( p − AC ) = 6 và r = = p Suy chiều cao hình chóp là : h = r.tan 60 = 2 A E F I C B D Vì BE là phân giác góc B nên ta có : EA BA = EC BC FA CA DB AB = = , FB CB DC AC S AE AF AB AC = Khi đó : AEF = S ABC AC AB AB + BC AC + BC S S CA CB BC BA Tương tự : CED = , BFD = S ABC CA + AB CB + AB S ABC BC + CA BA + CA Do đó, Tương tự : 46 (47) ab bc ac S DEF = S ABC 1 − − − , a + c b + c b + a c + a a + b c + b ( )( ) ( )( ) ( )( ) AB = c 2abc 210 = S ABC = 143 ( a + b )( b + c )( c + a ) với BC = a , AC = b , 210 280 2 = cm3 ) 3, ( cm3 ) Suy VS DEF = ( 143 143 Câu 10 Trong tất các khối chóp tứ giác ngoại tiếp mặt cầu bán kính a , thể tích V khối chóp có thể tích nhỏ 8a 10a3 32a3 A V = B V = C V = 2a3 D V = 3 Lời giải Chọn D Giả sử SO = x ta có: SI = x − a ; SE = Xét SEI ∽ SON ta có: ( x − a) − a = x − 2ax IE.SO SE IE NO = = = SE SO NO ax x − 2ax 2 2ax 4a x = Thể tích khối chóp là: V = x x − 2ax ( x − 2a ) x2 ( 2a x ) f x = Xét hàm số ( ) x − 2a x − 4ax ; f ( x ) = x = 4a (do 2a x ) f ( x) = ( x − 2a ) Bảng biến thiên 32a3 Câu 11 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành thỏa mãn AB = a, AC = a , BC = 2a Biết tam giác SBC cân tại S , tam giác SCD vuông tại C và khoảng cách từ D đến 47 Vậy giá trị nhỏ thể tích là: V = (48) mặt phẳng (SBC ) 2a A a Thể tích khối chóp đã cho a3 a3 B C 3 Lời giải a3 D Chọn A Nhận thấy tam giác ABC vuông tại A ( AB2 + AC = BC ) Gọi E là điểm đối xứng B qua A ta có tứ giác ACDE là hình chữ nhật, và tam giác EBC là tam giác cạnh 2a AD ( SBC ) d ( D, ( SBC )) = d ( A, ( SBC )) = d ( E , ( SBC )) 2a Hay d ( E , ( SBC )) = 2.d( D, ( SBC )) = Gọi I là trung điểm đoạn BC , ta có: BC ⊥ EI , BC ⊥ SI BC ⊥ (SEI ) Trong mp(SEI ) kẻ EH vuông góc với SI tại H Khi đó: d ( E , ( SBC )) = EH = 2a Ta có CD ⊥ (SAC ) ( Do CD ⊥ SC, CD ⊥ AC ) Suy AB ⊥ (SAC ) Xét tam giác SBE có SA vừa là trung tuyến vừa là đường cao nên tam giác SBE cân tại S Xét hình chóp S.EBC có đáy là tam giác EBC , các cạnh bên SE = SB = SC Nên gọi F = EI CA ta có SF ⊥ ( EBC ) 2a HE Tam giác EHI vuông tại H nên sin I = = = EI a sin I 2a = a = Tam giác SIF vuông tại F nên SF = FI tan I = EI 2 15 − sin I 1− ( ) 3 1 2a 2a VS ABCD = SF S ABCD = SF AB.CA = a.a = 3 15 Câu 12 Cho hình chóp S.ABC , đáy là tam giác ABC có cạnh a Biết các mặt bên hình chóp có diện tích và các cạnh bên a Tính thể tích nhỏ khối chóp S.ABC 48 (49) A a3 B a3 C a3 12 D a3 Lời giải Chọn C Gọi H là hình chiếu S trên mặt phẳng đáy ( ABC ) ; M , N , K là hình chiếu S trên AB, BC, CA 1 SM AB = SN BC = SK CA 2 và vì tam giác ABC nên ta có SM = SN = SK HM = HN = HK TH1: H nằm tam giác ABC H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC a Khi đó ta có AH = AN = và SA = SB = SC = a 3 3a 2a = SH = SA2 − AH = 3a − Vì diện tích các mặt bên hình chóp nên ta có 1 a 2a a = VS ABC = S ABC SH = 3 TH2: Nếu H nằm ngoài tam giác ABC Không tính tổng quát giả sử H nằm khác phía với A so với đường thẳng BC Tương tự trên ta có HM = HN = HK Vì tam giác ABC nên H là tâm đường 3a BN a = : =a, HB = tròn bàng tiếp góc A và AM = AB + BN = cos60 2 3a AH = AM : cos30 = : = a Vì cạnh SA không thể a SB = SC = a 2 1 a2 a3 a = SH = SB − BH = 3a − a = a VS ABC = S ABC SH = 3 12 49 (50) a3 a3 a3 , Vậy Vmin = = 12 12 Câu 13 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân tại A , AB = a , BAC = 120, SBA = SCA = 90 , khoảng cách từ S đến mặt đáy nhỏ Gọi là góc SB và ( SAC ) thỏa mãn sin = 2a Thể tích khối chóp S.ABC 3a3 3a3 A B C Lời giải Chọn C 3a3 12 3a3 24 D S K C D A B I Gọi D là hình chiếu vuông góc S lên đáy ( ABC ) , đặt SD = x ( x 2a ) AC ⊥ SC AC ⊥ ( SDC ) AC ⊥ DC Tương tự ta có AB ⊥ DB Ta có AC ⊥ SD Tam giác ABC cân tại A và CAB = 120 BC = a và DBC = DCB = 60 DBC cạnh a 2 Tam giác SDC vuông tại D SC = 3a + x = SB Kẻ DK ⊥ SC tại K DK ⊥ ( SAC ) d ( D, ( SAC ) ) = DK = x.a 3a + x Gọi I = BD AC , xét DIC vuông tại C và BDC = 60 DC DI = = 2a B là trung điểm DI d ( B, ( SAC ) ) = d ( D, ( SAC ) ) cosBDC ( ) Theo giả thiết = SB, ( SAC sin = d ( B, ( SAC ) ) SB xa = ( 3a + x ) x = a x x x2 + 3a2 − 4ax = − + = So sánh với điều kiện suy x = a a a x = 3a a3 Vậy VS ABC = S ABC SD = 12 Câu 14 Cho tứ diện ABCD có DAB = CBD = 90º ; AB = a; AC = a 5; ABC = 135 Biết góc hai mặt phẳng ( ABD ) , ( BCD ) 30 Thể tích tứ diện ABCD A a3 B a3 C Lời giải Chọn D 50 a3 D a3 (51) D F E C H A a B a Dựng DH ⊥ ( ABC ) BA ⊥ DA BA ⊥ AH Tương tự Ta có BA ⊥ DH BC ⊥ DB BC ⊥ BH BC ⊥ DH Tam giác AHB có AB = a , ABH = 45o HAB vuông cân tại A AH = AB = a Áp dụng định lý cosin, ta có BC = a 1 a2 = Vậy SABC = BA.BC.sin CBA = a.a 2 2 HE ⊥ DA HE ⊥ ( DAB ) và HF ⊥ ( DBC ) Dựng HF ⊥ DB Suy ( ( DBA) , ( DBC ) ) = ( HE, HF ) = EHF Đặt DH = x , đó HE = ax a +x 2 , HF = và tam giác HEF vuông tại E xa 2a + x HE x + 2a a3 = = x = a Vậy VABCD = DH SABC = HF x + 2a Câu 15 Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B , AB = BC = a , SAB = SCB = 90 và khoảng cách từ điểm A đến ( SBC ) a Diện tích mặt cầu Suy cos EHF = ngoại tiếp hình chóp S ABC A 2 a B 8 a2 C 16 a2 D 12 a2 Lời giải Chọn D Gọi H là hình chiếu S lên ( ABC ) BC ⊥ SC HC ⊥ BC Ta có: SH ⊥ BC Tương tự AH ⊥ AB Và ABC vuông cân tại B nên ABCH là hình vuông Gọi O = AC BH , O là tâm hình vuông Dựng đường thẳng d qua O vuông góc với ( ABCH ) , dựng mặt phẳng trung trực SA qua trung điểm J cắt d tại I I là tâm mặt cầu ngoại tiếp 51 (52) Ta hoàn toàn có IJ ⊥ SA IJ // AB I là trung điểm SB , hay I = d SC 2 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp: rS ABC = AI = IJ + JA ; IJ = Do AH // ( SBC ) d ( A, ( SBC ) ) = d ( H , ( SBC ) ) = HK a = 2 ( K là hình chiếu H lên SC và BC ⊥ ( SHC ) HK ⊥ ( SBC ) ) HK = a Tam giác SHC vuông tại H SH = a Tam giác SHA vuông tại H SA = 3a SA 3a JA = = rS ABC = AI = a Smc = 4 r = 12 a 2 Câu 16 Cho hình lăng trụ ABC ABC có cạnh đáy a ; biết khoảng cách hai đường thẳng a 15 AB và A¢C Thể tích khối lăng trụ ABC ABC tính theo a bằng: 3a 3a 3a 3a A B C D 8 Lời giải Chọn D Ta có AB / / AB AB / / ( ABC ) d ( AB , AC ) = d ( AB ,( ABC )) = d ( B ,( ABC )) = Đặt AA = x a 15 2 Tam giác CAB cân tại C , CA = CB = a + x a2 3a + x = a = a 3a + x Diện tích tam giác CAB là SCAB = a a + x − 2 Thể tích lăng trụ V = x a2 (1) a 15 a 3a + x Lại có V = 3VB ABC = d( B ,( ABC )) S ABC = a a 15 = a 3a + x x = 15 3a + x x = a Do đó x a 3a V = x = 4 Câu 17 Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' , đáy ABC là tam giác cân tại C , cạnh AB = a và góc a Thể tích khối BAC = 30 Biết khoảng cách hai đường thẳng AB và CB ¢ lăng trụ ABC ABC tính theo a bằng: 52 (53) A a3 B 3a C 3a D 3a Lời giải Chọn A a Ta có AB / / AB AB / / ( ABC ) d( AB , BC ) = d( AB ,( ABC )) = d( B ,( ABC )) = Đặt AA = x a Tính AC = BC = a2 o S = AC CB sin120 = ABC Diện tích tam giác là ABC Tam giác CAB cân tại C , CA = CB = Diện tích tam giác cân CAB là SCAB = Thể tích lăng trụ là V = AA.S ABC = x Lại có V = 3VB ABC a2 a + 3x + x2 = 3 1 a a + 3x a a a + 12 x AB.CH = − = 2 4 a2 a a a + 12 x = d( B,( ABC )) S ABC = a2 a a a + 12 x a a3 = x = V = 4 Câu 18 Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' , có cạnh đáy a Khoảng cách từ điểm A đến mặt a phẳng ( A¢BC ) Thể tích khối lăng trụ ABC ABC tính theo a bằng: 2a 2a 2a 2a A B C D 16 16 16 Lời giải Chọn A Do đó x 53 (54) Gọi H là trung điểm BC , I là hình chiếu vuông góc A trên AH a Chứng minh khoảng cách từ A đến ( A ' BC ) là AI = Đặt AA = x Xét tam giác AAH vuông tại A : 1 1 4 a = + + = x= Ta có AI là đường cao: 2 AI AA AH x 3a a 2 a a 3 2a = 16 2 · = 1200 Góc Câu 19 Cho lăng trụ ABCD.A ' B ' C ' D ' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , tâm O và ABC cạnh bên AA ' và mặt đáy 60 Đỉnh A ' cách các điểm A , B , D Tính theo a thể tích khối lăng trụ đã cho a3 a3 3a A V = B V = C V = D V = a 3 2 Lời giải Chọn C Thể tích lăng trụ là V = x.S ABC = ABC = 120° nên góc BAD = 60 , suy tam giác ABD cạnh Hình thoi ABCD cạnh a , · a a2 a2 = Diện tích đáy ABCD là S = 2.S ABD = Gọi H là trọng tâm tam giác ABD Ta có AH ⊥ ( ABCD ) a a , AH = Góc AA ' và mặt đáy góc AAH và 60° a =a Ta có AH = AH tan 60 = Tính AO = a a3 = 2 Câu 20 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cạnh a , Các mặt bên hình chóp cùng tạo với mặt đáy góc 45 và hình chiếu S trên mặt phẳng đáy năm fngoài tam giác ABC Tính thể tích khối chóp S.ABC a3 a3 a3 a3 A V = B V = C V = D V = 24 Lời giải Chọn A Thể tích lăng trụ V = AH S = a 54 (55) Gọi H là hình chiếu S trên mặt phẳng ( ABC ) Gọi hình chiếu H lên các cạnh AB, BC, CA là P, Q, R Dễ dàng có góc các mặt bên với đáy chính là các góc SPH = SQH = SRH = 45 Vậy ta có ba tam giác vuông cân SHP, SHQ, SHR , suy HP = HQ = HR H là tâm đường tròn bàng tiếp ABC Do ABC đều, không tính tổng quát, ta coi H là tâm đường tròn báng tiếp góc A S a = Gọi là bán kính đường tròn bàng tiếp góc A thì = p−a a 1 a a a3 = Vậy VS ABC = SH S ABC = 3 Câu 21 Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA = 2a , tam giác ABC vuông C có AB = 2a , góc CAB = 30 Gọi H là hình chiếu A trên SC Gọi B là điểm đối xứng B qua mặt phẳng ( SAC ) Tính thể tích khối chóp H ABB SH = = A 2a 3 B 2a 3 C 6a 3 D Lời giải Chọn A 1 1 = 2+ = 2+ = 2 AH SA AC 4a 3a 12a 3a 2 3a 3a AH = ; HC = AC − AH = ; S HAC = AH HC = 7 Ta có BC = a , AC = a Ta có: 55 a3 (56) 1 3a a3 2a 3 VHABC = S HAC BC = a = VHAB ' B = 2VHABC = 3 7 Câu 22 Cho hình chóp tứ giá S ABCD có cạnh đáy a , cạnh bên hợp với đáy góc 600 Gọi M là điểm đối xứng C qua D , N là trung điểm SC Mặt phẳng ( BMN ) chia khối chóp S ABCD thành hai phần Tỉ số thể tích hai phần (phần lớn trên phần bé) bằng: 7 A B C D Lời giải Chọn A Gọi V là thể tích khối chóp S ABCD V1 là thể tích khối chóp PDQ.BCN và V2 là thể tích khối chóp còn lại, đó V1 + V2 = V MB cắt AD tại P → P là trung điểm AD MN cắt SD tại Q → Q là trọng tâm SMC VM PDQ MP MD MQ 1 = = = Ta có VM BCN MB MC MN 2 Mặt khác VM BCN = VM PDQ + V1 V1 = VM BCN Mà SMBC = S ABCD , d ( S ;( ABCD)) = d ( S ;( ABCD)) V Suy VM BCN = VN MBC = VS ABCD = V1 = V V2 = V V2 : V1 = : 2 12 12 Câu 23 Cho tứ diện S.ABC , M và N là các điểm thuộc SA và SB cho MA = 2SM , SN = 2NB , ( ) là mặt phẳng qua MN và song song với SC Kí hiệu ( H1 ) và ( H ) là các khối đa diện có chia khối tứ diện S.ABC mặt phẳng ( ) , đó ( H ) chứa điểm S , ( H ) chứa điểm A ; V1 và V2 là thể tích ( H ) và ( H ) Tính tỉ số A B Lời giải C Chọn A 56 V1 V2 D (57) Kí hiệu V là thể tích khối tứ diện S.ABC Gọi P , Q là giao điểm ( ) với các đường thẳng BC , AC Ta có NP//MQ//SC Khi chia khối ( H ) ( QNC ) , ta hai khối chóp N.SMQC và N QPC VN SMQC Ta có VB ASC d ( N , ( SAC ) ) d ( B, ( SAC ) ) S AMQ S ASC = d ( N , ( SAC ) ) SSMQC d ( B, ( SAC ) ) SSAC = NS = BS S SMQC V AM 10 = = Suy N SMQC = = = S ASC VB ASC 27 AS VN QPC VS ABC = d ( N , ( QPC ) ) SQPC NB CQ CP 1 2 = = = d ( S , ( ABC ) ) S ABC SB CA CB 3 27 V1 VN SMQC VN QPC 10 V1 V 4 = + = + = = = V VB ASC VS ABC 27 27 V1 + V2 V2 Câu 24 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B, AB = BC = a, SAB = SCB = 900 Góc SB và mặt phẳng ( ABC ) là thỏa mãn tan = Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, M là trung điểm SA Thể tích SMGB là a3 A a3 C 18 a3 B 15 Lời giải Chọn C Lấy điểm D cho ABCD là hình vuông Ta có BC ⊥ CD, BC ⊥ SC BC ⊥ SD , tương tự AB ⊥ SD 57 D a3 (58) 1 Ta có VSMGB = VSABG = VSABC = VS ABCD 12 1 2a Ta có VS ABCD = SD.S ABCD = 2a.a = 3 3 a Vậy VSMGB = 18 Câu 25 Cho hình lăng trụ ABC ABC có thể tích V Gọi M là trung điểm AC ; N là điểm nằm trên cạnh BC cho CN = NB ; K là trung điểm AB Hãy tính theo V thể tích khối tứ diện CMNK : 11V 2V 5V V A B C D 15 18 12 36 Lời giải Chọn D Ta có: d ( C ; ( MNK ) ) = d ( C ; ( ABC ) ) = d ( B ; ( ABC ) ) Lại có SMNK = SABC − SAMK − SMNC − SBNK AM AK CM CN BN BK = SABC − SABC − SABC − SABC AC AB AC CB BC AB 1 1 = SABC − SABC − SABC − SABC = SABC 2 3 1 1 1 V VC MNK = d ( C ; ( MNK ) ) SMNK = d ( B ; ( ABC ) ) S ABC = VBABC = V = 3 4 12 58 (59)