Hình chữ nhật MNPQ có đỉnh M trên cạnh AB, N trên cạnh AC, P và Q ở trên cạnh BC được gọi là hình chữ nhật nội tiếp trong tam giác ABC.. Tìm vị trí của M trên cạnh AB để hình chữ nhật MN[r]
(1)UBND HUYỆN THÁP MƯỜI CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Độc lập - Tự – Hạnh phúc
_ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2008-2009
Môn thi : Tóan
Thời gian : 150 phút (khơng kể thời gian phát đề) Ngày thi : 13/12/2008
I Trắc nghiệm: (5 điểm)
Chọn câu câu hỏi sau:
Câu 1: So sánh hai số thực sau:
a = b 7< c 7> d ≥ Câu 2: Tính cạnh MN theo hình bên :
a MN = 12 b MN = 21 c MN = d MN = 21 Câu 3: Giải bất phương trình : 2007 2008
x
a x > x < 2007
2008
b x < x > 2007
2008
c x > x > 2007
2008
d x < x < 2007
2008
Câu 4: Tam giác ABC vuông A, có AC =
2BC Tính cosB
a cosB = b cosB = 1
2 c cosB =
3 d cosB =
Câu 5: Biểu thức
2x
xác định :
a x <
2 b x >
2 c x ≤
1
2 d x ≠
1
Câu 6: Cho ∆ABC Biết AB = 21cm, AC = 28cm, BC = 35cm a ∆ABC tam giác
cân
b ∆ABC tam giác vuông
c ∆ABC tam giác
d ∆ABC tam giác vuông cân
Câu 7: Cho hàm số y = – 0.5x , kết luận sau ? a Hàm số
luôn đồng biến
b Hàm số luôn nghịch biến
c Hàm số đồng biến x > nghịch biến x <
(2)Câu 8: Tam giác ABC cân A, BC = 12cm, đường cao AH = 4cm Bán kính đường tròn ngọai tiếp tam giác ABC
a 9cm b 10cm c 6.5cm d 4.5cm
Câu 9: Hãy nối ô cột trái với ô cột phải để khẳng định đúng: (a) Tập hợp điểm có khỏang
cách đến điểm O cố định 3cm
(d) Có khỏang cách đến điểm O nhỏ 3cm
(b) Đường trịn tâm O bán kính 3cm gồm tất điểm
(e) cách điểm O khỏang 3cm (c) Hình trịn tâm O bán kính 3cm
gồm tất điểm
(f) đường tròn tâm O bán kính 3cm (g) có khỏang cách đến điểm O lớn 3cm
Câu 10: Một hình chữ nhật có kích thước 25cm 40cm người ta tăng kích thước hình chữ nhật thêm x cm Gọi S P thứ tự diện tích chu vi hình chữ nhật tính theo x
a Các đại lượng S hàm số bậc x Đúng Sai b Các đại lượng P hàm số bậc x Đúng Sai
II Tự luận: (15 điểm)
Câu 11: Rút gọn biểu thức sau: A = 6 3 2 2 6 3 2 Câu 12: Dùng ẩn phụ rút gọn biểu thức sau:
B =
2
2008 2014 2008 4016 2009 2005.2007.2010.2011
Câu 13: Cho hàm số y = -2x + có đồ thị (D) hàm số y =
x
có đồ thị (H) Tìm tọa độ giao điểm hai đồ thị (D) (H)
Câu 14: Chứng minh bất đẳng thức: a2 b2 c2 d2 (a c)2 (b d)2
Câu 15: Cho tam giác ABC có ABC = 60 ; BC = a ; AB = c· (a, c hai độ dài cho
trước) Hình chữ nhật MNPQ có đỉnh M cạnh AB, N cạnh AC, P Q cạnh BC gọi hình chữ nhật nội tiếp tam giác ABC Tìm vị trí M cạnh AB để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn Tính diện tích lớn
(3)UBND HUYỆN THÁP MƯỜI CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Độc lập - Tự – Hạnh phúc
_ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2008-2009
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TĨAN I Trắc nghiệm: (5 điểm)
Mỗi câu chọn 0.5 điểm
Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Chọn c b a d a b b c
(a) (f) (b) (e) (c) (d)
a b
sai
II Tự luận: (15 điểm)
Mỗi câu trả lời điểm
Câu Nội dung Điểm Ghi
chú
11 A
2
3 2 ( 6) ( 2) 2 (3 2)
A = (3 2)(3 2) 9 (2 2)2 1
1.5
1.5 3
12
B =
2
2008 2014 2008 4016 2009 2005.2007.2010.2011
Đặt x = 2008,
B =
2
x x x 2x x x x x x
=
x x x x x x x x x
= x + = 2009
1 1
3
13
Hoành độ giao điểm (D) (H) nghiệm phương trình: -2x + = -4
x
hay -2x2 + 2x + = 0 (x 0) x2 - x - = 0
(x + 1)(x - 2) = x = -1 ; x =
Với x = -1 y = ; với x = y = -2
Vậy toạ độ giao điểm (D) (H) (-1 ; 4) (2 ; -2)
1 0.5 0.5 0.5 0.5
3
14 Hai vế BĐT không âm nên bình phương hai vế ta có: a2 + b2 +c2 + d2 +2 (a2 b2)(c2 d2)
a2 +2ac + c2 + b2 + 2bd + d2 (a2 b2)(c2 d2)
ac + bd (1)
0.5 0.5
(4)Nếu ac + bd < BĐT chứng minh
Nếu ac + bd 0 (1) ( a2 + b2 )(c2 + d2) a2c2 + b2d2 + 2acbd a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2 a2c2 + b2d2 + 2acbd
a2d2 + b2c2 – 2abcd (ad – bc)2 ( đúng) Dấu “=” xẩy ad = bc a c
b d
0.5 0.5 0.5 0.5
15
Hình vẽ Đặt AM = x (0 < x < c)
Ta có: MN =AM MN = ax
BC AB c
c - x
MQ = BM.sin60 =
2
Suy diện tích MNPQ là: S = ax c - x = a 3x c - x
2c 2c
+ Ta có bất đẳng thức:
2
a + b a + b
ab ab (a > 0, b > 0)
2
Áp dụng, ta có:
2 2
x + c - x c
x(c - x) =
2
Dấu đẳng thức xảy khi: x = c - x x = c
Suy ra:
2
a c ac
S =
2c
Vậy: Smax =ac
8
c x =
2 hay M trung điểm cạnh AB
0.25 0.25 0.25
0.5 0.5 0.25 0.25 0.5 0.25
3
Hết A
B C
M N
P Q
0