Chöùng minh raèng neáu x, y laø caùc soá nguyeân vaø A chia heát cho 13 thì B chia heát cho 13.[r]
(1)1 Chuyên đề : Đa thức Baứi 1: Tớnh giaự trũ cuỷa bieồu thửực:
a A = x4 17x3 17x2 17x 20
taïi x = 16
b B = x5 15x4 16x3 29x2 13x
taïi x = 14
c C = x14 10x13 10x12 10x11 10x2 10x 10
taïi x =
d D = x15 8x14 8x13 8x12 8x2 8x 5
taïi x =
Bài 2 Tính giá trị biểu thức: a A = x x3 y2 y x2 y3
với x = 2; y 1
b M.N với x 2.Biết rằng:M = 2x2 3x5; N = x2 x3 Bài 4: Tính giá trị đa thức, biết x = y + 5:
a x x 2y y 2 xy65
b x2y y 2x75
Bài 5: Tính giá trị đa thức:
x1y y xy 1 x y2 bieát x+ y = -p, xy = q
Bài 9: Cho biểu thức: M = x a x b x b x c x c x a x2 Tính
M theo a, b, c, biết x12a12b12c
Bài 10: Cho biểu thức: A = 15x – 23y ; B = 2x + 3y Chứng minh x, y số nguyên A chia hết cho 13 B chia hết cho 13 Ngược lại B chia hết cho 13 A chia hết cho 13
Ví dụ 1 Đơn giản biểu thức sau :
A = (x + y + z)3 – (x + y – z)3 – (y + z – x)3 – (z + x – y)3.
Lêi gi¶i
A = [(x + y) + z]3 – [(x + y) – z]3 – [z – (x – y)]3 – [z + (x – y)]3
= [(x + y)3 + 3(x + y)2z + 3(x + y)z2 + z3] – [(x + y)3 – 3(x + y)2z + 3(x
+ y)z2 – z3] – [z3 – 3z2(x – y) + 3z(x – y)2 – (x – y)3] – [z3 + 3z2(x –
y) + 3z(x – y)2 + (x – y)3] = 6(x + y)2z – 6z(x – y)2 = 24xyz
VÝ dô 2 Cho x + y = a, xy = b (a2 4b) Tính giá trị cđa c¸c biĨu thøc sau :
a) x2 + y2 ; b) x3 + y3 ; c) x4 + y4 ; d) x5 + y5
Lêi gi¶i a) x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = a2 – 2b
b) x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) = a3 – 3ab
c) x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2x2y2 = (a2 – 2b)2 – 2b2 = a4 – 4a2b + 2b2
d) (x2 + y2)(x3 + y3) = x5 + x2y3 + x3y2 + y5 = (x5 + y5) + x2y2(x + y)
Hay : (a2 – 2b)(a3 – 3ab) = (x5 + y5) + ab2 x5 + y5 = a5 – 5a3b + 5ab2
Chó ý : a6 + b6 = (a2)3 + (b2)3 = (a3)2 + (b3)2
a7 + b7 = (a3 + b3)(a4 + b4) – a3b3(a + b)
= (a2 + b2)(a5 + b5) – a2b2(a3 + b3)
Ví dụ 3 Chứng minh đẳng thức :
a) a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) ;
b) (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a)
Lêi gi¶i
a) a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b)3 + c3 – 3abc – 3a2b – 3ab2
= (a + b + c)[(a + b)2 – (a + b)c + c2] – 3ab(a + b + c)
= (a + b + c) [(a + b)2 – (a + b)c + c2 – 3ab]
(2)= (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca)
b) (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = [(a + b + c)3 – a3] – (b3 + c3)
= (b + c)[(a + b + c)2 + (a + b + c)a + a2] – (b + c)(b2 – bc + c2)
= (b + c)(3a2 + 3ab + 3bc + 3ca) = 3(b + c)[a(a + b) + c(a + b)]
= 3(a + b)(b + c)(c + a) VÝ dô Cho x + y + z =
Chøng minh r»ng : 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2)
Lời giải
Vì x + y + z = nªn x + y = –z (x + y)3 = –z3
Hay x3 + y3 + 3xy(x + y) = –z3 3xyz = x3 + y3 + z3
Do : 3xyz(x2 + y2 + z2) = (x3 + y3 + z3)(x2 + y2 + z2)
= x5 + y5 + z5 + x3(y2 + z2) + y3(z2 + x2) + z3(x2 + y2)
Mµ x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = z2 2xy (vì x + y = z) Tơng tù :
y2 + z2 = x2 – 2yz ; z2 + x2 = y2 – 2zx.
V× vËy : 3xyz(x2 + y2 + z2) = x5 + y5 + z5 + x3(x2 – 2yz) + y3(y2 – 2zx) +
z3(z3 – 2xy) = 2(x5 + y5 + z5) – 2xyz(x2 + y2 + z2)
Suy : 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) (®pcm)
3 Chun đề: Phân tích đa thức thành nhân tử
I- Phơng pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác: Phong pháp hệ số bt nh
B i 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
4
4
2
4
4
) 12 14
) 4
) 22 11 37 10
) 14
) 63
a A x x x x b B x x x x
c C x xy x y y d D x x x x
e E x x
Bµi tËp:
Ví dụ Phân tích biểu thức sau thành nhân tö :
A = x3 – 3(a2 + b2)x + 2(a3 + b3)
Lời giải Đặt S = a + b P = ab, a2 + b2 =
S - 2P; a3 + b3 = S3- 3SP V× vËy :
A = x3 – 3(
S - 2P)x + 2(S3- 3SP) =
3 3
(x - S )- (3S x- 3S )+(6Px- 6SP)
= 2
(x- S)(x +Sx+S )- 3S (x- S)+6P(x- S)
= 2
(x- S)(x +Sx- 2S +6P)
= (x – a – b)[x2 + (a + b)x – 2(a + b)2 + 6ab]….