Ứng dụng phương trình tiếp tuyến và điều kiện tiếp xúc để sáng tạo và giải một số bài toán cơ bản

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– VŨ THỊ TƯỜNG MINH ỨNG DỤNG PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN VÀ ĐIỀU KIỆN TIẾP XÚC ĐỂ SÁNG TẠO VÀ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC ĐÀ NẴNG - NĂM 2019 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– VŨ THỊ TƯỜNG MINH ỨNG DỤNG PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN VÀ ĐIỀU KIỆN TIẾP XÚC ĐỂ SÁNG TẠO VÀ GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN CƠ BẢN Chun ngành: Phương pháp tốn sơ cấp Mã số: 8.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Phạm Quý Mười ĐÀ NẴNG - NĂM 2019 MỤC LỤC Mở đầu Chương 1.1 1.2 1.3 1.4 CƠ SỞ LÝ THUYẾT Tổng quan hàm số biến số Giới hạn hàm số Đạo hàm Phương trình tiếp tuyến Tổng quan bất đẳng thức Chương ỨNG DỤNG PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN ĐỂ SÁNG TẠO VÀ CHỨNG MINH MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC 10 2.1 Phương pháp sáng tạo bất đẳng thức ứng dụng phương trình tiếp tuyến đồ thị 10 2.2 Phương pháp chứng minh bất đẳng thức ứng dụng phương trình tiếp tuyến 13 2.3 Một số tập áp dụng .15 Chương ỨNG DỤNG PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN ĐỂ SÁNG TẠO VÀ TÌM GIỚI HẠN CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ 33 3.1 Phương pháp tiếp tuyến sáng tạo tốn tìm giới hạn hàm số dạng 0 33 3.2 Phương pháp tiếp tuyến tìm giới hạn hàm số 38 3.3 Một số tập áp dụng 41 Kết luận .55 Tài liệu tham khảo 56 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích việc dạy học mơn Tốn chương trình phổ thơng giúp học sinh phát triển tư nhận thức, tư sáng tạo lực vận dụng Để đạt mục tiêu này, nhiệm vụ người giáo viên không bồi dưỡng cho học sinh kiến thức mới, giải sẵn cho em vài toán mẫu mà quan trọng định hướng cho em cách suy nghĩ, tìm tịi, khai thác kiến thức có để tự thân em khám phá lời giải cho tốn khác Trong Chương trình tốn bậc phổ thơng, tốn bất đẳng thức, tìm giới hạn dạng tốn khó phổ biến thường gặp kì thi Trung học phổ thơng, tuyển sinh đại học, thi học sinh giỏi toán quốc gia, Olympic tốn khu vực quốc tế Có nhiều phương pháp khác để giải lớp toán này, phương pháp sử dụng phương trình tiếp tuyến (ta gọi ngắn gọn phương pháp tiếp tuyến) tỏ hiệu thường sử dụng nhiều trường hợp, sử dụng tiếp tuyến phương pháp rõ ràng dễ áp dụng Với mong muốn hỗ trợ, tạo động lực học tập cho học sinh, giúp học sinh yêu thích đam mê việc học sáng tạo mơn tốn với định hướng thầy hướng dẫn, chọn đề tài “Ứng dụng phương trình tiếp tuyến điều kiện tiếp xúc để sáng tạo giải số toán bản” làm đề tài cho luận văn thạc sĩ Mục tiêu nghiên cứu - Nghiên cứu dấu hiệu để nhận biết tốn giải phương pháp tiếp tuyến Hệ thống phân loại lớp toán - Đề xuất quy trình định hướng cách sáng tạo phương pháp giải cho lớp tốn với nhiều ví dụ minh họa - Sáng tạo số toán sử dụng phương pháp tiếp tuyến Đối tượng nghiên cứu Phương pháp tiếp tuyến (tiếp tuyến, tương quan tiếp tuyến đồ thị, mối liên quan tiếp tuyến đồ thị nghiệm kép phương trình hồnh độ giao điểm ) giải toán sơ cấp Phạm vi nghiên cứu Các bất đẳng thức, tập giới hạn hàm số thuộc Chương trình tốn phổ thơng Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu tư liệu: sách giáo khoa, sách tham khảo, tạp chí Tốn tài liệu từ internet - Phương pháp tiếp cận: Tổng hợp, phân tích hệ thống tài liệu sưu tầm liên quan phương trình tiếp tuyến để thực luận văn - Trao đổi, thảo luận với người hướng dẫn chuyên gia Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Đề tài giải vấn đề sau: - Làm rõ chất số bất đẳng thức tốn tìm giới hạn dùng phương pháp tiếp tuyến Đưa hướng tạo toán - Tự đề giải số tốn bất đẳng thức, tìm giới hạn Và có phương pháp số nhận xét giúp định hướng lời giải cho học sinh - Góp thêm phần kiến thức giúp học sinh có kĩ ứng dụng phương trình tiếp tuyến để giải số dạng toán, tạo niềm tin hứng thú việc học dạy tốn - Luận văn sử dụng cho em học sinh tham gia ôn thi học sinh giỏi, ôn thi THPT Quốc gia bạn đồng nghiệp mơn tốn tài liệu tham khảo Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn dự kiến gồm ba chương • Chương 1: Cơ sở lý thuyết Chương trình bày sơ lược số định nghĩa vấn đề liên quan đến hàm số biến số, giới hạn hàm số, tiếp tuyến đồ thị bất đẳng thức để làm sở cho chương sau • Chương 2: Ứng dụng phương trình tiếp tuyến để sáng tạo chứng minh số toán bất đẳng thức Chương trình bày cách sáng tạo toán bất đẳng thức áp dụng tiếp tuyến, phương pháp chứng minh bất đẳng thức trình bày ví dụ • Chương 3: Ứng dụng phương trình tiếp tuyến để sáng tạo tìm giới hạn số hàm số Chương trình bày cách sáng tạo tốn tìm giới hạn hàm số áp dụng tiếp tuyến, đưa cách giải trình bày ví dụ Chương CƠ SỞ LÝ THUYẾT Chương trình bày sơ lược số định nghĩa vấn đề liên quan đến hàm số biến số, giới hạn hàm số, tiếp tuyến đồ thị bất đẳng thức, số định lí [1-6] để làm sở cho chương sau Trong chương này, giả sử D tập khác rỗng R 1.1 Tổng quan hàm số biến số Định nghĩa 1.1 (Hàm số biến) Một quy tắc tương ứng f từ tập D vào R thỏa mãn với giá trị x ∈ D tương ứng với giá trị y ∈ R gọi hàm số thực biến số Khi đó, ta gọi x biến số y = f (x) hàm số x Tập hợp D gọi tập xác định hàm số Định nghĩa 1.2 (Đồ thị hàm số) Đồ thị hàm số y = f (x) xác định tập D tập hợp tất điểm M (x; f (x)) mặt phẳng tọa độ với x thuộc D Định nghĩa 1.3 (Đồ thị lồi, lõm) Cho hàm số y = f (x) liên tục [a; b] có đồ thị (C) Khi đó, a) Đồ thị (C) gọi lồi (a; b) tiếp tuyến điểm (a; b) hàm số y = f (x) ln nằm phía đồ thị (C) b) Đồ thị (C) gọi lõm (a; b) tiếp tuyến điểm (a; b) hàm số y = f (x) ln nằm phía đồ thị Định nghĩa 1.4 (Lượng liên hợp) Với n ≥ 2, n ∈ N, ta có An − B n = (A − B) An−1 + An−2 B + An−3 B + + A2 B n−3 + AB n−2 + B n−1 Khi đó, ta gọi lượng liên hợp A − B An−1 + An−2 B + An−3 B + + A2 B n−3 + AB n−2 + B n−1 Định lý 1.1 (Định lí Bezu) Đa thức P (x) có nghiệm x = x0 P (x) chia hết cho x − x0 50 − 1990 = − 12869 18 243 1944 8+ =1+ Ví dụ 3.21 Tìm giới hạn √ √ 581x4 + 12x3 + 36x2 + 108x + 81 x→0 x4 phân thức có chứa Nhận xét: Trong có dạng giới hạn dạng thức mẫulà đa thức bậc bốn Do ta viết phương trình tiếp tuyến x0 = lim x2 cos 10x + 6x + − đồ thị hàm số y = x2 cos 10x + 6x + 9; y = 581x4 + 12x3 + 36x2 + 108x + 81 y = x + áp dụng tiếp phương pháp ứng dụng tiếp tuyến tìm giới hạn Giải: Đặt u(x) = x2 cos 10x + 6x + 9; v(x) = 581x4 + 12x3 + 36x2 + 108x + 81 √ √ x2 cos 10x + 6x + − 581x4 + 12x3 + 36x2 + 108x + 81 lim x→0 x4 √ √ x2 cos 10x + 6x + − (x + 3) + (x + 3) − 581x4 + 12x3 + 36x2 + 108x + 81 = lim x→0 x4 √ √ x2 cos 10x + 6x + − (x + 3) (x + 3) − 581x4 + 12x3 + 36x2 + 108x + 81 + = lim x→0 x4 x4 = lim x2 (cos 10x − 1) −580x4 + x4 (u(x) + (x + 3)) x4 (x + 3)3 + (v(x)) (x + 3)2 + (v(x))2 (x + 3) + (v(x))3 = lim −2.sin2 5x −580 + x (u(x) + (x + 3)) (x + 3) + (v(x)) (x + 3)2 + (v(x))2 (x + 3) + (v(x))3 x→0 x→0  sin 5x  −50 5x −580  = lim  + x→0  (u(x) + (x + 3)) (x + 3)3 + (v(x)) (x + 3)2 + (v(x))2 (x + 3) + (v(x))3 = −50 580 370 − = − 108 27 Ví dụ 3.22 Tìm giới hạn √     √ 58x3 + 6x2 + 12x + x→0 x3 Nhận xét: Trong có dạng giới hạn dạng phân thức có chứa thức mẫu đa thức bậc ba Do ta viết phương trình tiếp tuyến x0 = đồ lim 4x + + x2 e2x −  thị hàm số y = 4x + + x2 e2x ; y = 58x3 + 6x2 + 12x + y = x + áp dụng tiếp phương pháp ứng dụng tiếp tuyến tìm giới hạn Giải: 51 Đặt u(x) = 4x + + x2 e2x ; v(x) = 58x3 + 6x2 + 12x + √ √ 4x + + x2 e2x − 58x3 + 6x2 + 12x + lim x→0 x3 √ √ 4x + + x2 e2x − (x + 2) + (x + 2) − 58x3 + 6x2 + 12x + = lim x→0 x3 √ √ 4x + + x2 e2x − (x + 2) (x + 2) − 58x3 + 6x2 + 12x + + = lim x→0 x3 x3 x2 (e2x − 1) −57x3 + x3 (u(x) + (x + 2) x3 (x + 2)2 + (u(x)) (x + 2) + (u(x))2 = lim x→0 (e2x − 1) −57   2x + = lim  2  x→0 (u(x) + (x + 2) (x + 2) + (u(x)) (x + 2) + (u(x))  =  17 57 − = − 12 Ví dụ 3.23 Tìm giới hạn lim x2 15x2 + 6x + Nhận xét: Trong có dạng giới hạn dạng phân thức có chứa thức tử đa thức bậc hai Do ta viết phương trình tiếp tuyến x0 = đồ x→0 sin2 x + 2x3 + 27x + 27 − √ thị hàm số y = sin2 x + 2x3 + 27x + 27; y = 15x2 + 6x + y = x + áp dụng tiếp phương pháp ứng dụng tiếp tuyến tìm giới hạn Giải: Đặt u(x) = lim x→0 sin2 x + 2x3 + 27x + 27; v(x) = x2 = lim sin2 x + 2x3 + 27x + 27 − √ 15x2 + 6x + 15x2 + 6x + x2 √ sin2 x + 2x3 + 27x + 27 − (x + 3) + (x + 3) − 15x2 + 6x + x2 = lim x→0 sin2 x + x3 − 9x2 −14x2 + ((x + 3) + v(x)) (u(x))2 + (u(x)) (x + 3) + (x + 3)2 x→0 = lim sin x +x−9 −14 x2 + 2 ((x + 3) + v(x)) (u(x)) + (u(x)) (x + 3) + (x + 3) 27 = = − − 14 71 − 27 x→0 52 Ví dụ 3.24 Tìm giới hạn √ √ 581x4 + 12x3 + 36x2 + 108x + 81 x→0 x3 Nhận xét: Trong có dạng giới hạn dạng phân thức có chứa thức mẫu đa thức bậc hai trở lên Do ta viết phương trình tiếp tuyến x0 = lim 6x cos 2020x + x2 + − đồ thị hàm số y = 6x cos 2020x + x2 + 9; y = 581x4 + 12x3 + 36x2 + 108x + 81 y = x + áp dụng tiếp phương pháp ứng dụng tiếp tuyến tìm giới hạn Giải: Đặt u(x) = 6x cos 2020x + x2 + 9; v(x) = 581x4 + 12x3 + 36x2 + 108x + 81 √ √ 6x cos 2020x + x2 + − x4 + 2019x3 + 54x2 + 108x + 81 lim x→0 x3 √ √ 6x cos 2020x + x2 + − (x + 3) + (x + 3) − x4 + 2019x3 + 54x2 + 108x + 81 = lim x→0 x3 √ √ 6x cos 2020x + x2 + − (x + 3) (x + 3) − x4 + 2019x3 + 54x2 + 108x + 81 + = lim x→0 x3 x3 = lim 6x(cos 2020x − 1) −2007x3 + x3 (u(x) + (x + 3)) x3 (x + 3)3 + (v(x)) (x + 3)2 + (v(x))2 (x + 3) + (v(x))3 = lim −6sin2 1010x −2007 + x (u(x) + (x + 3)) (x + 3) + (v(x)) (x + 3)2 + (v(x))2 (x + 3) + (v(x))3 x→0 x→0  sin 1010x  −6120600 1010x  = lim  x→0  (u(x) + (x + 3)) =  −2007   + 2  (x + 3) + (v(x)) (x + 3) + (v(x)) (x + 3) + (v(x))  −6120600 2007 12241423 − = − 108 12 Ví dụ 3.25 Tìm giới hạn  lim x→0   − x4 + x3 + 24x2 + 32x + 16 + 12x2 + 6x + − 7x3 + 4x2 x6 + x3  200x3 + 54x2 + 36x + 8−   + 12x + phân thức có chứa thức mẫu đa thức bậc sáu Phương trình tiếp tuyến x0 = đồ thị Nhận xét: Trong có dạng giới hạn dạng hàm số y = x4 + x3 + 24x2 + 32x + 16 y = x + 2; y = 200x3 + 54x2 + 36x + y = 3x + 2; y = − 12x2 + 6x + y = −2x − 1; y = − 7x3 + 4x2 + 12x + y = −2x − nên áp dụng tiếp phương pháp ứng dụng tiếp tuyến tìm giới hạn 53 Giải: Đặt u(x) = x4 + x3 + 24x2 + 32x + 16; v(x) = h(x) = 12x2 + 6x + 1; k(x) = 200x3 + 54x2 + 36x + 8; 7x3 + 4x2 + 12x + Ta có:  lim x→0   − x4 + x3 + 24x2 + 32x + 16 + 12x2 + 6x + −  √    = lim  x→0    200x3 + 54x2 + 36x +  7x3 + 4x2 + 12x + x6 + x3   x4 + x3 + 24x2 + 32x + 16 − (x + 2) + x6 + x3 √ 200x3 + 54x2 + 36x + − (3x + 2) + x6 + x3 √ √ (2x + 1) − 12x2 + 6x + (2x + 3) − 7x3 + 4x2 + 12x + + + x6 + x3 x6 + x3 −7x          x3 (x3 + 1) (u(x))3 + (u(x))2 (x + 2) + (u(x)) (x + 2)2 + (x + 2)3 +      173x  + +   2 3   (x + 2) + (v(x)) = lim  x (x + 1) (x + 2) + (v(x))  x→0   8x  + +   x3 (x3 + 1) (2x + 1)2 + (h(x)) (2x + 1) + (h(x))2     −7x3 + x3 (x3 + 1)((2x + 3) + k(x))  −7   (x3 + 1) (u(x))3 + (u(x))2 (x + 2) + (u(x)) (x + 2)2 + (x + 2)3 +      173 +  +   2  (x + 1) (x + 2) + (v(x)) (x + 2) + (v(x))  = lim   x→0   +  + 2  (x3 + 1) (2x + 1) + (h(x)) (2x + 1) + (h(x))      −7 + (x3 + 1)((2x + 3) + k(x)) 173 1549 + + − = = 32 12 96 Ví dụ 3.26 (Đại học Thương mại 1999) Tìm giới hạn lim x→0 √ + x2 − cos x x2 phân thức có chứa thức mẫu đa thức bậc hai Phương trình tiếp tuyến x0 = đồ thị hàm Nhận xét: Trong có dạng giới hạn dạng số y = + x2 y = nên áp dụng tiếp phương pháp ứng dụng tiếp tuyến tìm giới hạn 54 Giải Ta có √ + x2 − cos x x→0 √ x + 2x − + − cos x = lim x→0 √ x2 + 2x − 1 − cos x + = lim x→0 x2 x2 lim   = lim  √ x→0 = 2sin 1 + x2 +1 + 1 + = 2 2x  2 2 x Ví dụ 3.27 (Đại học Thủy Lợi Hà Nội 2001) Tìm giới hạn lim x→0 √ + 2x − x2 √ + 3x phân thức có chứa thức mẫu đa thức bậc hai Phương trình tiếp tuyến x0 = đồ thị hàm √ √ số y = + 2x; y = + 3x y = x + nên áp dụng tiếp phương pháp ứng dụng Nhận xét: Trong có dạng giới hạn dạng tiếp tuyến tìm giới hạn Giải: √ + 2x; v(x) = + 3x √ √ + 2x − + 3x lim x→0 x2 √ √ + 2x − (x + 1) + (x + 1) − + 3x = lim x→0 x2 √ √ + 2x − (x + 1) (x + 1) − + 3x = lim + x→0 x2 x2 Đặt u(x) = = lim x→0 √ x3 + 3x2 −x2 + x2 (u(x) + (x + 1)) x2 (v(x))2 + (v(x)) (x + 1) + (x + 1)2 −1 x+3 + x→0 (u(x) + (3x + 2)) (v(x)) + (v(x)) (x + 1) + (x + 1)2 3 =− + = 4 = lim 55 KẾT LUẬN Luận văn “Ứng dụng phương trình tiếp tuyến điều kiện tiếp xúc để sáng tạo giải số toán bản” đạt kết sau: Làm rõ chất số bất đẳng thức, số tốn tìm giới hạn hàm số phương pháp dùng tiếp tuyến Đưa hướng sáng tạo tập ứng dụng phương trình tiếp tuyến có phương pháp số nhận xét giúp định hướng cách giải cho học sinh Tự đề chứng minh số tốn bất đẳng thức, tốn tìm giới hạn hàm số để học sinh luyện tập 56 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Doãn Minh Cường, Đỗ Mạnh Hùng, Nguyễn Tiến Tài (2008) Đại số 10 Nhà xuất giáo dục [2] Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Đào Ngọc Nam, Lê Văn Tiến, Vũ Viết Yên (2010) Đại số giải tích 11 Nhà xuất giáo dục, Đà Nẵng [3] Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Tiến Tài, Cấn Văn Tuất (2010) Giải tích 12 Nhà xuất giáo dục, Đà Nẵng [4] Phan Huy Khải (2002) Toán Đại số nâng cao cho học sinh THPT Nhà xuất giáo dục, Hà Nội [5] Trần Đình Cư (2015) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi giải tốn máy tính cầm tay Casio 570VNPLUS Nhà xuất giáo dục, Hà Nội [6] Phạm Kim Hùng (2007) Sáng tạo bất đẳng thức Nhà xuất giáo dục, Hà Nội [7] Phan Huy Khải (2007) Giải tích lồi tốn sơ cấp Nhà xuất giáo dục, Hà Nội [8] Trần Phương, Võ Quốc Bá Cảnh, Trần Quốc Anh (2016) Vẻ đẹp bất đẳng thức kì thi Olympic Tốn học Nhà xuất giáo dục, Hà Nội [9] Lê Hồng Đức – Nhóm Cự Mơn (2007) Giải tốn Đại số giải tích lớp 11 Nhà xuất giáo dục, Hà Nội [10] Lê Hồnh Phị (2014) 10 trọng điểm bồi dưỡng học sinh giỏi mơn tốn lớp 11 Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [11] Y.Y Liasko, A.C.Boiatruc, IA G Gai, G.P Golobac, Lê Đình Thịnh, Hoàng Đức Nguyên, Đặng Huy Ruận, Lê Trọng Vĩnh (1987) Giải tích tốn học-Các ví dụ toán Nhà xuất đại học trung học chuyên nghiệp, Hà Nội [12] PGS.TS Nguyễn Văn Lộc, TS Nguyễn Viết Đơng, ThS Hồng Ngọc Cảnh, Trần Quang Tài, Hàn Minh Tồn, ThS Hồ Điện Biên (2009) Chun đề tốn giải tích-Bồi dưỡng học sinh giỏi luyện thi đại học Nhà xuất Đại học Quốc gia Hồ Chí Minh [13] Vũ Thị Tường Minh, TS Phạm Quý Mười Phương pháp tiếp tuyến sáng tạo bất đẳng thức Tạp chí khoa học trường Đại học sư phạm Đã nhận đăng 57 [14] Vũ Thị Tường Minh, TS Phạm Quý Mười Phương pháp tiếp tuyến sáng tạo tìm giới hạn hàm số Tạp chí khoa học công nghệ Đại học Đà Nẵng Đã nhận đăng ... ——————————– VŨ THỊ TƯỜNG MINH ỨNG DỤNG PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN VÀ ĐIỀU KIỆN TIẾP XÚC ĐỂ SÁNG TẠO VÀ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 8.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC... ỨNG DỤNG PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN ĐỂ SÁNG TẠO VÀ CHỨNG MINH MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC 10 2.1 Phương pháp sáng tạo bất đẳng thức ứng dụng phương trình. .. đẳng thức tiếp tuyến, Định lí nghiệm bội tiếp tuyến 2.1 Phương pháp sáng tạo bất đẳng thức ứng dụng phương trình tiếp tuyến đồ thị Để sáng tạo bất đẳng thức ứng dụng phương trình tiếp tuyến, ta