Những dạng toán về đa thức một ẩn

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Trần Văn Hạnh NHỮNG DẠNG TOÁN VỀ ĐA THỨC MỘT ẨN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Đà Nẵng – 2020 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Trần Văn Hạnh NHỮNG DẠNG TOÁN VỀ ĐA THỨC MỘT ẨN Ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 8.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Cao Văn Nuôi Đà Nẵng – 2020 ii MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN i MỤC LỤC ii DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT iv MỞ ĐẦU CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 Xây dựng vành đa thức ẩn 1.2 Bậc đa thức 1.3 Phép chia với dư 1.4 Nghiệm đa thức 1.5 Định lý Rolle 1.6 Công thức khai triển Taylor 1.7 Công thức nội suy Lagrange 11 1.8 Định lí cơng thức khai triển nghiệm đa thức 12 10 10 CHƯƠNG CÁC BÀI TOÁN VỀ XÁC ĐỊNH ĐA THỨC 14 2.1 Ứng dụng công thức khai triển Taylor 14 2.2 Ứng dụng công thức nội suy Lagrange 17 2.3 Ứng dụng bậc đa thức 19 2.4 Ứng dụng nghiệm đa thức 22 iii CHƯƠNG CÁC BÀI TOÁN VỀ NGHIỆM CỦA ĐA THỨC 26 3.1 Ứng dụng công thức khai triển nghiệm đa thức 26 3.2 Chứng minh đẳng thức nghiệm đa thức 32 3.3 Nghiệm đa thức đạo hàm 35 3.4 Ứng dụng nghiệm đa thức để giải toán chia đa thức CHƯƠNG ĐA THỨC BẤT KHẢ QUY 39 45 4.1 Định nghĩa 45 4.2 Đa thức bất khả có bậc nhỏ nhận số thực cho trước làm nghiệm 46 4.3 Phương pháp chứng minh đa thức bất khả quy 50 KẾT LUẬN 55 52 P (ai ) = với i = 1, 2, , k Suy ani + 5an−1 + = hay an−1 (ai + 5) = −3 với i = 1, 2, , k i i Do ta có (a1 a2 ak )n−1 (a1 + 5) (ak + 5) = 3k hay |(a1 + 5) (ak + 5)| = 3k (∗) Suy |G(−5)| = |(a1 + 5) (ak + 5)| = 3k Mặt khác, ta có P (−5) = 3, suy G(−5)H(−5) = Vì G(−5) ∈ Z nên |G(−5)| = |G(−5)| = Điều mâu thuẫn với (∗) Tương tự với trường hợp |G(0)| = ta suy điều mâu thuẫn Vậy P (x) bất khả quy Z[x] Ví dụ 4.7 Cho số nguyên dương n Chứng minh đa thức P (x) = (x2 + 12 )(x2 + 22 ) (x2 + n2 ) + bất khả quy Z[x] Chứng minh Giả sử P (x) = G(x)H(x), với G(x), H(x) ∈ Z[x] deg(G) ≥ 1, deg(H) ≥ Do P (x) đa thức có hệ số bậc cao nên ta giả sử hệ số bậc cao G(x), H(x) Do P (ki) = với k = −n, −n + 1, , −1, 1, , n − 1, n i số phức đơn vị nên G(ki)H(ki) = 53 với k = −n, −n + 1, , −1, 1, , n − 1, n Từ G(ki)H(ki) = ta suy (G(ki), H(ki)) ∈ {(−1, −1), (1, 1), (i, −i), (−i, i)} ¯ với H(ki) ¯ liên hợp H(ki) với k = Do G(ki) = H(ki) −n, −n + 1, , −1, 1, , n − 1, n Mặt khác ta có ¯ = H(ki) ¯ = H(−ki) H(ki) nên suy G(ki) = H(−ki) Từ đa thức K(x) = G(x) − H(−x) đa thức có hệ số nguyên có bậc nhỏ 2n đồng thời nhận 2n phần tử phân biệt −ni, (−n + 1)i, − i, i, , (n − 1)i, ni làm nghiệm Nên ta suy K(x) ≡ Hay nói cách khác G(x) = H(−x) với x Từ đó, ta suy G(0) = H(0) Do P (0) = G(0)2 số phương Mặt khác P (0) = (n!)2 + Suy (n!)2 + số phương Điều mâu thuẫn Vậy đa thức P (x) bất khả quy Z[x] Ví dụ 4.8 Cho số nguyên dương n Chứng minh đa thức P (x) = (x2 + 12 )(x2 + 22 ) (x2 + n2 ) + bất khả quy Z[x] Chứng minh Giả sử P (x) = G(x)H(x), với G(x), H(x) ∈ Z[x] deg(G) ≥ 1, deg(H) ≥ Do P (x) đa thức có hệ số bậc cao nên ta giả sử hệ số bật cao G(x), H(x) Do P (ki ) = với k = −n, −n + 1, , −1, 1, , n i số phức đơn vị nên G(ki )H(ki ) = với k = −n, −n + 1, , −1, 1, , n 54 Từ G(ki )H(ki ) = ta suy (G(ki ), H(ki )) ∈ {(−1, −1), (1, 1), (i, −i), (−i, i)} Do đó, G(ki )) = H(ki ) với H(ki ) liên hợp H(ki ) với k = −n, −n + 1, , n Ta có H(ki ) = H(k¯i ) = H(−ki ) nên suy G(ki ) = H(−ki ) Từ đó, đa thức K(x)G(x)−H(−x) đa thức có hệ số nguyên có bậc nhỏ 2n, nhận 2n phần tử phân biệt −ni, (−n + 1)i, , −i, i, ni làm nghiệm Do đó, K(x) ≡ hay G(x) = H(−x) với x Suy G(0) = H(0) P (0) = G(0)2 số phương Mặt khác ta có P (0) = (n!)2 +1 Điều mâu thuẫn (n!)2 +1 khơng phải số phương Vậy P (x) bất khả quy Z[x] 55 KẾT LUẬN Luận văn “Những dạng toán đa thức ẩn” gồm chương: Chương hệ thống lại kiến thức đa thức, Chương trình bày dạng toán xác định đa thức, Chương trình bày dạng tốn nghiệm đa thức, Chương trình bày đa thức bất khả quy Ở dạng toán, tác giả nêu phương pháp giải ví dụ minh họa Với cách trình bày vậy, tác giả hy vọng bạn đọc nắm vững phương pháp giải dạng tốn tự sáng tạo thêm toán khác hay Tác giả hy vọng luận văn tài liệu tham khảo hữu ích cho giáo viên học sinh ôn thi học sinh giỏi Mặc dù có nhiều cố gắng hạn chế mặt thời gian trình độ nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp thầy bạn đọc để luận văn hoàn thiện 56 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Hoàng Kỳ, Hoàng Thanh Hà, 2005, Đại số sơ cấp thực hành giải toán, Nhà xuất Đại học Sư phạm [2] Hoàng Xuân Sính, Trần Phương Dung, 2006, Đại số đại cương, Nhà xuất Đại học Sư phạm [3] Lê Hồnh Phị, 2003, Chuyên khảo đa thức, Nhà xuất Đại học quốc gia thành phố Hồ Chí Minh [4] Lê Viết Ngư, 1998, Toán cao cấp, Tập 2, Nhà xuất giáo dục [5] Nguyễn Văn Mậu, 2002, Một số toán đa thức phân thức, Chuyên đề bồi dưỡng nghiệp vụ hè [6] Trần Văn Hạnh, 2018, Bài tốn đa thức bất khả quy, Số 13, Tạp chí Khoa học Công nghệ Đại học Phạm Văn Đồng [7] Vũ Dương Thụy - Nguyễn Văn Nho, 2001, Olympic toán học quốc tế, Tập 2, Nhà xuất giáo dục ... khảo để giảng dạy tự sáng tác toán đa thức, tác giả chọn đề tài ? ?Những dạng toán đa thức? ?? Các toán đa thức phong phú, Tuy nhiên đề tài tác giả chọn số chủ đề đa thức hay gặp kì thi học sinh giỏi:... chất đa thức • Chương Các tốn xác định đa thức: Trình bày số dạng tốn xác định đa thức điển hình hay gặp kì thi học sinh giỏi • Chương Các toán nghiệm đa thức: Nêu cách giải toán số nghiệm đa thức, ... 22 iii CHƯƠNG CÁC BÀI TOÁN VỀ NGHIỆM CỦA ĐA THỨC 26 3.1 Ứng dụng công thức khai triển nghiệm đa thức 26 3.2 Chứng minh đẳng thức nghiệm đa thức 32 3.3 Nghiệm đa thức đạo hàm