Hàm lồi và một số ứng dụng

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM —————————— VÕ QUANG HƯNG HÀM LỒI VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2019 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– VÕ QUANG HƯNG HÀM LỒI VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 8.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Phan Đức Tuấn Đà Nẵng - Năm 2019 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi hồn thành hướng dẫn TS Phan Đức Tuấn Tôi xin chịu trách nhiệm với lời cam đoan Đà Nẵng, tháng 11 năm 2019 Tác giả Võ Quang Hưng LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành đề tài luận văn thạc sĩ cách hoàn chỉnh, bên cạnh nỗ lực cố gắng thân cịn có bảo nhiệt tình quý thầy cô, động viên ủng hộ gia đình bạn bè suốt thời gian học tập, nghiên cứu thực luận văn Lời luận văn xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn TS Phan Đức Tuấn - Người thầy tận tình hướng dẫn giúp đỡ tơi suốt q trình thực để tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến quý Thầy, Cô giáo Ban chủ nhiệm Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng tận tình truyền đạt kiến thức quý báu tạo điều kiện thuận lợi cho tơi suốt q trình học tập nghiên cứu thực đề tài luận văn Đồng thời xin gửi lời cảm ơn đến anh chị bạn lớp PPTSCK35 nhiệt tình giúp đỡ tơi q trình học tập vừa qua Tôi cảm ơn người thân yêu gia đình bạn bè ủng hộ, động viên chỗ dựa tinh thần vững trình học tập thời gian làm luận văn Do thời gian kinh nghiệm hạn chế nên luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận bảo, đóng góp ý kiến thầy để tơi bổ sung hoàn thiện luận văn cách tốt Tôi xin chân thành cảm ơn! Võ Quang Hưng MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 TẬP LỒI VÀ HÀM LỒI 1.1 TẬP LỒI 1.1.1 Khái niệm tập lồi 1.1.2 Định lý tách tập lồi 1.2 HÀM LỒI 1.2.1 Định nghĩa hàm lồi 1.2.2 Tính liên tục khả vi 1.2.3 Một số đặc điểm hàm lồi 14 1.2.4 Các phép tốn bảo tồn tính lồi 17 1.2.5 Hàm lồi liên hợp 21 ỨNG DỤNG HÀM LỒI 26 2.1 BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN 26 2.1.1 Bất đẳng thức Jensen 26 2.1.2 Bất đẳng thức Jensen dạng tích phân 29 2.1.3 Ứng dụng bất đẳng thức Jensen 30 2.2 BẤT ĐẲNG THỨC HERMITE-HADAMARD 44 2.3 BẤT ĐẲNG THỨC OSTROWSKI VÀ MỞ RỘNG 48 2.3.1 Bất đẳng thức Ostrowski 48 2.3.2 Bất đẳng thức Ostrowski mở rộng 53 2.4 BẤT ĐẲNG THỨC MA TRẬN 59 MỤC LỤC 2.4.1 Một số định lý bất đẳng thức ma trận 59 2.4.2 Một số toán bất đẳng thức ma trận 64 KẾT LUẬN 66 TÀI LIỆU THAM KHẢO 67 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Tính lồi khái niệm đơn giản tự nhiên bắt nguồn từ Archimede (khoảng năm 250 trước Công nguyên), liên quan đến ước tính tiếng ơng giá trị π Ông nhận thấy thực tế quan trọng chu vi hình lồi nhỏ chu vi hình lồi khác bao quanh Ngồi ra, tính lồi có ảnh hưởng lớn đến sống hàng ngày thông qua nhiều ứng dụng công nghiệp, kinh doanh, y học nghệ thuật Vì vậy, nhiều vấn đề đưa khoa học, kỹ thuật, kinh tế, tin học, vấn đề phân bổ tối ưu nguồn lực, ước tính xử lý tín hiệu, thống kê tài vv, có quan hệ với lĩnh vực phân tích tính lồi Trong suốt kỷ XX, có nhiều hoạt động nghiên cứu mạnh mẽ thu nhiều kết quan trọng phân tích chức hình học, kinh tế tốn học, phân tích tính lồi tối ưu hóa phi tuyến Giải tích lồi cho ta lý thuyết phong phú đẹp đẽ hàm lồi ứng dụng tối ưu hóa nhiều kết tiếng, chẳng hạn như: Bất đẳng thức Jensen, định lý Fenchel-Moreau hàm liên hợp, định lý Moreau-Rockafellar vi phân hàm lồi, định lý Kuln-Tucker cho toán tối ưu có ràng buộc, Có thể nói tập lồi, hàm lồi đối tượng đẹp tối ưu hóa Vì hàm lồi mở rộng hàm lồi chủ đề hấp dẫn với nhiều kết phong phú thu hút quan tâm nhiều nhà nghiên cứu Trong hầu hết kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, thi Olympic toán khu vực quốc tế, thi Olympic toán sinh viên trường đại học cao đẳng, toán liên quan đến bất đẳng thức hay đề cập đến thường thuộc lại khó khó Có thể nói bất đẳng thức đóng vai trị quan trọng việc học giảng dạy mơn tốn Vì tơi muốn nghiên cứu phần bất đẳng thức nhằm phục vụ công việc giảng dạy tốn sơ cấp Chính vậy, tơi chọn đề tài “ HÀM LỒI VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG ” làm luận văn thạc sĩ tốn học cho Mục tiêu nghiên cứu Mục tiêu đề tài nghiên cứu hàm lồi, tính chất hàm lồi ứng dụng giải toán sơ cấp (đặc biệt toán bất đẳng thức) Đối tượng nghiên cứu Hàm lồi, tính chất hàm lồi ứng dụng hàm lồi để giải toán sơ cấp Phạm vi nghiên cứu Tìm hiểu định nghĩa, tính chất hàm lồi bất đẳng thức có liên quan đến hàm lồi Phương pháp nghiên cứu Thu thập tài liệu sưu tầm được, báo khoa học, sách có liên quan đến đề tài luận văn, tìm hiểu chúng trình bày kết đề tài theo hiểu biết ngắn ngọn, theo hệ thống khoa học với chứng minh chi tiết Nội dung đề tài Nội dung đề tài dự định thành chương: Chương 1: Tập lồi hàm lồi Trong chương sơ lược số định nghĩa, tính chất kết cần thiết liên quan đến tập lồi hàm lồi Chương 2: Ứng dụng hàm lồi Trong chương trình bày bất đẳng thức Jensen ứng dung để giải bất đẳng thức sơ cấp Ngồi cịn ứng dụng hàm lồi để chứng minh mở rộng số bất đẳng thức quan trọng như: HermiteHadamard, Ostrowski đưa số bất đẳng thức ma trận Phần kết luận Tổng kết kết ứng dụng đạt được, nêu số vấn đề 61 Định lý 2.4.2 Nếu f : U → R hàm lồi tập hợp U chứa Kλ , g : Ωn → R xác định g(S) = f (Sλ) = f (< s1 , λ >, , < sn , λ >) tập lồi Hơn nữa, Giả sử g có giá trị cực đại Ωn ma trận hoán vị Pλ Chứng minh Nếu S, T ∈ Ωn , α > 0, β > 0, α + β = 1, g(αS + βT ) = f [(αS + βT )λ] = f [αSλ + βT λ] ≤ αf (Sλ) + βf (T λ) = αg(S) + βg(T ) Từ có nghĩa g lồi Bây đặt P1 , , Pm với m = n! ma trận hoán vị Ωn Đối với Sn ∈ Ωn tùy ý, viết lại từ Định lý 2.4.1 m Sn = αi P i i=1 m Cho số αi ≥ với αi = 1, g tập lồi i=1 m g(S) ≤ m αi g(Pi ) ≤ i=1 αi g(Pλ ) = g(Pλ ), i=1 Pλ ma trận hoán vị chọn cho g(pλ ) = max g(pi ) 1≤i≤m Thường sử dụng kí hiệu Pλ để nhấn mạnh ma trận Pλ nói chung phụ thuộc vào λ Bây quay lại với tốn mà cần tìm hiểu phần này, bất đẳng thức cho hàm lồi ma trận đối xứng Định lý 2.4.3 Đặt A ma trận đối xứng thực cấp n × n đặt λ = (λ1 , , λn ) vecto bao gồm giá trị đặt trưng λ xếp theo thứ tự Nếu f : U → Rn lồi tập U chứa Kλ xác định Kλ = [x ∈ Rn : x = Sλ, S ∈ Ωn ] với tập hợp trực giao v1 , Rn ta có f (< Av1 , v1 >, , < Avn , >) ≤ f (Pλ λ) = f (λi1 , , λin ), 62 Pλ ma trận hoán vị Chứng minh Đặt u1 , , un vecto đặt trưng A tương ứng với giá trị đặc trưng λ1 , , λn cho Aui = λi ui Đặt S la ma trận có mục sij =< ui , vj >2 S ma trận đối xứng nên S gấp đôi n n 2 = ||ui || = (< ui , vj > ) = j=1 sij j=1 Có nghĩa tổng hàng Khi n Avj = A n < ui , vj > ui = j=1 < ui , vj > λi ui , j=1 hay n < ui , vj >2 λi =< sj , λ >, < Avj , vj >= j=1 sj cột thứ j (tương ứng hàng thứ j ) S Do f (< Avi , vi >, , < Avn , >) = f (< s1 , λ >, , < sn , λ >) = f (Sλ) ≤ f (Pλ λ) = f (λi1 , , λin ), Pλ ma trận hoán vị Điều phải chứng minh Chọn v1 , v2 , hoán vị, u1 , u2 , , un vecto đặc trưng max f (< Av1 , v1 >, ., < Avn , >) = f (Pλ λ), (2.27) cực đại lấy tất tập trực giao Rn Chúng ta cố định k ≤ n ta k f (v1 , , ) = tj j=1 n Hàm định nghĩa R (2.28) 63 Định lý 2.4.4 Nếu A ma trận đối xứng thực n × n v1 , , tập trực giao Rn , k k λn−j+1 ≤ j=1 n < Avj , vj >≤ j=1 λj , (2.29) j=1 λ1 ≥ λ2 ≥ ≥ λn giá trị đặc trưng A Chứng minh Hàm f định nghĩa (2.28) hàm tuyến tính, hàm −f f lồi Rn Đối với hàm f Định lý 2.4.3 cho biết có hốn vị i1 , in cho k k < Avj , vj >≤ λij j=1 j=1 k Do thứ tự Ai , tổng bên phải chắn nhỏ (λj ), j=1 tạo bất đẳng thức thứ hai k k < Avj , vj >≤ j=1 (λij ) j=1 Bất đẳng thức theo cách tương tự từ việc xem xét hàm −f , vj vecto đặc trưng chuẩn hóa tương ứng λn−j+1 ta có đẳng thức k k λn−j+1 ≤ j=1 < Avj , vj > j=1 Tương tự vj vecto đặc trưng chuẩn hóa tương ứng với λj bất có bất đẳng thức bên phải k n < Avj , vj >≤ j=1 λj j=1 Như ta có điều cần chứng minh Tiếp theo với ti ≥ k < n  n f (t1 , , tn ) =   k1 λj  j=1 64 Định lý 2.4.5 Nếu A ma trận xác định thực khơng âm cấp n × n  k k k k λn−j+1 ≤ < Avj , vj >≤  λj  (2.30) k j=1 j=1 j=1 Trong λ1 ≥ λ2 ≥ ≥ λn giá trị đặc trưng A Chứng minh Đặt   k1 k f = tj  j=1 lõm −f lồi khoảng khơng âm Rn+ Do từ Định lý 2.4.3 ta có   k1 k  λn−j+1  ≤   j=1  k1 k < Avj , vj > , j=1 tương đương với bên trái bất đẳng thức (2.30) Một lần vi vecto đặc trưng chuẩn hóa tương ứng với λn−j+1 Để chứng minh vế phải bất đẳng thức (2.30) ta áp dụng bất đẳng thức GM-AM Định lý 2.4.4 ta   k1 k n n 1  (< Avj , vj >) ≤ < Avj , vj >≤ λj k k j=1 j=1 i=1 2.4.2 Một số toán bất đẳng thức ma trận Bài toán 2.4.1 (Bất đẳng thức Hadamard định thức) Nếu A ma trận thực cấp n × n với phần tử aij , n n a2ij (detA) ≤ j=1 (2.31) i=1 Nếu A xác định không âm n detA ≤ ajj (2.32) j=1 Bài giải Trước tiên xem xét (2.32) Nhắc lại định thức ma trận vuông với tích giá trị đặc 65 trưng Nếu để ej vecto đơn vị xét bất đẳng thức (2.30) với k = n ta có n n n λj ≤ detA = j=1 < Aej , ej >= j=1 ajj j=1 Như ta chứng minh (2.32) Bây ta áp dụng bất đẳng thức (2.32) cho ma trân B = At A, điều dễ thấy không xác định, n (detA) = detB ≤ n n a2ij bjj = j=1 j=1 i=1 Như ta chứng minh (2.31) Bài toán 2.4.2 (Bất đẳng thức Minkowski định thức) Nếu A B ma trân xác định thực không âm cấp n × n , 1 [det(A + B)] n ≥ (detA) n + (detB) n (2.33) det(A + B) ≥ detA + detB (2.34) Và Bài giải Đặt v1 , tập trực giao vecto đặc trưng cho (A + B) Khi   n1 n n [det(A + B)] =  < (A + B)vj , vj > j=1   n1 n = (< Avj , vj > + < Bvj , vj >) j=1   n1 n ≥  n < Avj , vj > +  j=1  n1 < Bvj , vj > j=1 n n ≥ (detA) + (detB) Sau , từ Bài tốn 2.1.3 ta có bất đẳng thức cần tìm Để chứng minh bất đẳng thức (2.34) ta dùng bất đẳng thức 2.33 cách nâng hai bên lên lũy thừa thứ n 66 KẾT LUẬN Trong luận văn chủ yếu tập trung vào tìm hiều hai nội dung Thứ nhất: Phát biểu khái niệm tập lồi, hàm lồi biến, tính chất chúng, đặt biết tính liên tục, số đặc điểm khác hàm lồi, số phép toán hàm lồi hàm lồi liên hợp Trong phần chủ yếu tổng hợp trình bày ngắn gọn lý thuyết hàm lồi, làm tài liệu tham khảo cho bạn sinh viên đại học Ngoài phần thứ hai luận văn nêu số ứng dụng hàm lồi chứng minh bất đẳng thức, ứng dụng bất đẳng thức Jensen chứng minh toán sơ cấp, hay dùng hàm lồi để chứng minh mở rộng số bất đẳng thức Hernite-Hadamard’s, bất đẳng thức Ostrowski’s bất đẳng thức ma trận Tuy nhiên kiến thức chưa đủ rộng sâu nên nội dung thực nhiều hạn chế khó tránh khỏi thiếu sót Rất mong góp ý xây dựng q thầy bạn sinh viên để luận văn hoàn thiện 67 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Phan Huy Khải(2002), Giải tích lồi toán sơ cấp, NXB Giáo dục Viêt Nam [2] Nguyễn Văn Mậu (2006), Bất Đẳng Thức Định Lý Áp Dụng, NXB Giáo dục Viêt Nam [3] Huỳnh Thế Phùng (2012), Cơ Sở Giải Tích Lồi, NXB Giáo dục Việt Nam [4] Lê Dũng Mưu Nguyễn Văn Hiền (2009), Nhập Mơn Giải Tích Lồi Ứng Dụng, NXB Khoa học tự nhiên Công nghệ Tiếng Anh [5] Constantin P Niculescu, Lars-Erik Persson (2018), Convex Function and TheirApplications, Springer [6] G Hardy, J E Littlewood and G.Pólya (1934), Inequalities, Cambride [7] A.Wayne Roberts and Dale E.Varberg (1973), Convex FunctionsAcademic Press, Acdemic press [8] Melbourne and Adelaide (2000), Selected Topics on Hermite Hadamard inequalities and Applications, [9] S.S.Dragomir and A.Sofo ,Ostrowski’s type inequalities for functions whose derivatives are convex , Article in Tamkang Journal of Mathematics - December 2014 ... Vậy f (x) hàm lồi (−∞, +∞) Ví dụ 1.2.3 Tương tự ta chứng minh hàm g(x) = sin x hàm lồi [−π, 0] hàm h(x) = |x| hàm lồi (−∞, ∞) Định nghĩa 1.2.4 Nếu −f hàm lồi, nói f hàm lõm Nếu f hàm vừa lồi vừa... f+ hàm lồi ω Khi E tồn khơng liên tục hàm tăng f+ hàm đếm Như I/E , hàm f+ hàm liên tục hàm f hòa hợp với f+ I/E hàm liên tục 1.2.3 Một số đặc điểm hàm lồi Theo cách tương tự, định nghĩa hàm lồi. .. Chính vậy, tơi chọn đề tài “ HÀM LỒI VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG ” làm luận văn thạc sĩ tốn học cho Mục tiêu nghiên cứu Mục tiêu đề tài nghiên cứu hàm lồi, tính chất hàm lồi ứng dụng giải toán sơ cấp (đặc