Trong phần hiện tại, đặt g : [0,∞) → [0,∞) là hàm tăng vô hạn và liên tục với g(0) = 0 và g(x) = ∞ khi x → ∞, sau đó g−1 tồn tại và có cùng tính chất với g, khi đó
f(x) = Z x
0
g(x)dx và f∗(y) = Z y
0
f−1(t)dx
thì f và f∗ đều là các hàm lồi trên [0,∞).
Chúng ta có thể phác họa đồ thị hàm t = g(x) như hình dưới đây (xem hình 1.4)
Figure 1.4
Tất nhiên, đó cũng đó cũng là đồ thị của hàm s = g−1(t). Một số kết quả theo sau các biểu thức tích phân ở trên hoặc có thể được nhìn trực tiếp từ hình. Đầu tiên được gọi là bất đẳng thức Young’s.
(C1) xy ≤f(x) +f∗(y) trong đó x≥ 0, y ≥ 0.
(C2 )xy = f(x) +f∗(y) khi và chỉ khi y = g(x) = f0(x). (C3) (f∗)0 = (f0)−1.
(C4) f∗∗ = f. (C5) f∗(y) = sup
x≤0
[xy −f(x)].
Bây giờ chúng ta đã định nghĩa liên hợp cho các hàm lồi f có thể biểu diễn là tích phân của hàm g có các tính chất đặc biệt. Cuối cùng chúng ta lấy (C5) làm định nghĩa.
Định nghĩa 1.2.10. Nếu f : I → R là hàm lồi được xác định trên một khoảng I thì f∗ : I∗ → R là hàm liên hợp được xác định bởi:
f∗(y) = sup
i∈I
[xy −f(x)],
với I∗ = {y ∈ R : f∗(y) < ∞}.
Một số định lý sau về hàm liên hợp sẽ quan trọng cho sau này.
Định lý 1.2.17. Nếu f : I →R là hàm lồi thì hàm liên hợp f∗ : I∗ → R là hàm lồi và đóng.
Chứng minh. Trước tiên I∗ 6= ∅, vì nếu I là một điểm x0 duy nhất thì A(x) =f(x0) + y(x−x0) với hỗ trợ hàm f cho mỗi y ∈ R.
Ngược lại, lấy bất kỳ điểm x0 bên trong, chọn hàm y ∈ [f−0 (x0), f+0 (x0)]
và một lần nữa A(x) sẽ hỗ trợ f theo Định lý 1.2.10.
Trong cả hai trường hợp trên, chúng ta chọn hàm ý sao chof(x) ≥ A(x), nghĩa là chúng ta chọn sao cho xy−f(x) ≤ x0y−f(x0) với mọi x ∈ I. Đối với sự lựa chọn này của y, f∗(y) < ∞ và I∗ 6= ∅ như đã yêu cầu.
Hơn nữa chúng ta lưu ý rằngf∗ là cận trên của hàm lồi, hàmgx : R →R được xác định bởi gx(y) = xy −f(x), do đó theo thì I∗ là một khoảng và f∗ là hàm lồi trên nó.
Để thấy rằng các cấp Lα của f∗ là đóng. Giả sử yn là chuỗi các điểm của Lα hội tụ đến y với n→ ∞.
Sau đó xyn −f(x) ≤ f∗(yn) ≤ α với mọi x ∈ I.
Nếu n → ∞ chúng ta có xy −f(x) ≤α từ đó ta có rằng f∗(y) ≤ α.
Như vậy Lα chứa tất cả các điểm giới hạn của nó và đóng.
Điều phải chứng minh.
Định nghĩa 1.2.11. Cho hàm lồi f : I →R đạo hàm của hàm f được xác đinh như sau:
∂f(x) = [y ∈ R;y là slope của đường support của f tại x],
miền của ∂f (dom ∂f) là tập hợp x thuộc I trong đó f là một đường support.
Khoảng cách (rg∂f) là tập hợp các support slopes.
Định lý 1.2.18. Nếu f : I → R là hàm lồi và đóng thì đồ thị hàm
∂f(x) là đơn điệu tăng.
Chứng minh. Ở mục 1.2.2 cho x1, x2 ∈ I ta có rằng x1 < x2 nghĩa là:
f−0 (x1) ≤ f+0 (x1) ≤ f−0 (x2) ≤ f+0 (x2). (1.10) Mặt khác, từ các tính chất supportđã nêu ở trong Định lý 1.2.10, chúng ta thấy rằng
∂f(x) =hy ∈ R;f−0 (x) ≤ y ≤ f+0 (x)i. (1.11) Từ (1.10) chúng ta có thể giải thích f−0 (a) =−∞ nếu I chứa điểm cuối biên trái là a và f+0 (b) = ∞ nếu I chứa điểm cuối bên phải là b. Do đó
∂f(x) luôn là một khoảng trừ khi nó là rỗng.
Chọn (x1, y1) và (x2.y2) thuộc ∂f, nghĩa là y1 ∈ ∂f(x1), y2 ∈ ∂f(x2). Nếu x1 < x2 thì từ (1.11) và (1.10) ta có
y2 ≥ f−0 (x2) ≤ f+0 (x1) ≥ y1 và do đó (x2 −x1)(y2 −y1) ≥ 0.
Bất đẳng thức này là hiển nhiên nếu x1 = x2 và một số lý do đối xứng sẽ thiết lập sao cho x2 < x1. Do đó ∂f là đơn điệu tăng.
Định nghĩa 1.2.12. Chúng ta định nghĩa với mọi c, x ∈ I Z x
c
∂f(s)ds = Z x
c
f+0 (s)ds.
Định lý 1.2.19. Nếu f : I → R là hàm lồi và đóng, thì ta có:
f(x)−f(c) = Z x
c
∂f(s)ds, trong đó với mọi c, x ∈ I
Chứng minh. Vì f là hàm lồi đóng và nó liên tục. Do đó, theo kết quả Định lý 1.2.7 ta có được điều phải chứng minh.
Bây giờ chúng ta có thể chứng minh định lý chính của phần này.
Định lý 1.2.20. Nếu f : I → R là hàm lồi và đóng. Khi đó f∗ : I∗ → R cũng hàm lồi và đóng và thỏa mãn:
1. xy ≤f(x) +f∗(y) trong đó với mọi x ∈ I, y ∈ I∗, 2. xy = f(x) +f∗(y) khi và chỉ khi y = ∂f(x),
3. ∂(f∗) = (∂f)−1, 4. f∗∗ = f.
Chứng minh. Từ Định lý 1.2.17 ta có rằng f∗ là hàm lồi và đóng, và (1) là hệ quả được suy ra trực tiếp từ định nghĩa của f∗
Để chứng minh (2), chúng ra nhận thấy rằng hàm lồi g : I → R đạt tối thiểu tại x ∈ I khi và chỉ khi 0∈ ∂g(x). Bây giờ
−f∗(y) =−sup
i∈I
[xy −f(x)] = inf
x∈I[f(x)−xy].
Với g(x) = f(x)−xy (là hàm lồi) đạt được mức tối đa tại x khi và chỉ khi 0∈ ∂g(x), hoặc tương đương, khi và chỉ khi y ∈ ∂f(x). Do vậy
−f∗(y) =f(x)−xy, (1.12) khi và chỉ khi y ∈ ∂f(x) như vậy ta chúng minh được (2).
Mặt khác, với mỗi x ∈ I, chúng ta có từ định nghĩa của f∗
−f∗(y)−xy ≥ −f(x), (1.13) với mọi y ∈ I∗.
Do đó f∗(y)−xy được nhỏ lại khi có đẳng thức trong (1.13) mà theo (1.12) xảy ra khi y ∈ ∂f(x).
Nói cách khác, y ∈ ∂f(x) có nghĩa là h(z) = f∗(z) −xz là nhỏ nhất khi z = y. Nhưng h(z) là hàm lồi và nhỏ nhất nên khi 0 ∈ ∂h(y) nghĩa là khi x ∈ ∂(f∗)(y).
Lấy nghịch đảo
x ∈ ∂(f)−1(y),
nghĩa là x ∈ ∂(f∗)(y).
Do đó, ∂(f∗) là phần mở rộng của (∂f)−1. Tuy nhiên, là nghịch đảo của tập tăng đơn điệu vì vậy ∂(f∗) = (∂f)−1, ta chứng minh được (3).
Cuối cùng, chúng ta áp dụng (3) cho f∗, chúng ta nhận được
∂(f∗∗) = (∂f∗)−1 = ((∂f)−1)−1 = ∂f, và áp dụng định lý (1.2.19)
f(x)−f(c) = Z x
c
∂f(s)ds = ∂f∗∗(x)−∂f∗∗(c).
Với mọi c, x ∈ I và với mọi c, x ∈ I∗∗.
Do đó I = I∗∗ và chúng ta sẽ chứng minh được nếu chúng ta có thể tìm thấy một c sao cho f(c) =f∗∗(c).
Chọn c0 ∈ I và y0 ∈ I∗ sao cho y0 ∈ ∂f(c0), mà theo (3) ta có c0 ∈ (∂f)−1(y0) = ∂(f∗∗)(y0).
Áp dụng (2) liên tiếp vào f và f∗, chúng ta nhận được c0y0 = f(c0) +f∗(y0) =f∗(y0) +f∗∗(c0), nghĩa là f(c0) = f∗∗(c0).
Như vậy (4) đã được chứng minh.
CHƯƠNG2
ỨNG DỤNG HÀM LỒI
Người ta nói rằng giải tích chủ yếu là nghiên cứu về bất đẳng thức.
Nếu đây là một lời nói quá, thì sự thật là bất đẳng thức đóng vai trò quan trọng trong giải tích, toán học ứng dụng và thậm chí đại số và hình học. Mục đích của chúng tôi trình bày ở đây là chỉ ra rằng lý thuyết về các hàm lồi tạo ra một sự thống nhất đối với một số bất đẳng thức quan trọng trong toán học
Bất đẳng thức cơ bản của chúng ta là định nghĩa về hàm lồi, cụ thể là
f(αx+ βy) ≤ αf(x) +βf(y)
trong đó α > 0, β > 0, α+β > 0 điều này có thể được sử dụng để thiết lập các bất đẳng thức Hermite-Hadamard’s, bất đẳng thức Ostrowski và một số bất đẳng thức khác. Cuối cùng chúng tôi áp dụng lý thuyết hàm lồi và nghiên cứu ma trận, thu được một số kết quả là bất đẳng thức Hadamard và Minkowski cho ma trận.