Bài viết trình bày phương pháp xây dựng công thức nội suy Hertmite, trong đó có sử dụng công cụ của giải tích phức thay vì dung công cụ của đại số tuyến tính. Cuối bài có đưa ra ví dụ minh họa ưu điểm của phương pháp này.
ISSN 2354-0575 NỘI SUY HERMITE BẰNG CƠNG CỤ GIẢI TÍCH PHỨC Nguyễn Thị Loan Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Hưng Yên Ngày tòa soạn nhận báo: 03/07/2018 Ngày phản biện đánh giá sửa chữa: 23/08/2018 Ngày báo duyệt đăng: 03/09/2018 Tóm tắt: Bài báo trình bày phương pháp xây dựng cơng thức nội suy Hertmite, có sử dụng cơng cụ giải tích phức thay dung cơng cụ đại số tuyến tính Cuối có đưa ví dụ minh họa ưu điểm phương pháp Từ khóa: Hermite, nội suy, đa thức nội suy Đặt vấn đề Trong thực hành tính tốn (nhất ngành khoa học tự nhiên kỹ thuật) ta thường phải sử dụng hàm y = f(x) mà biết biểu thức giải tích chúng; biết giá trị hàm số điểm đoạn [a, b], chúng gọi điểm mốc, (các giá trị có nhờ phép đo đạc thực nghiệm) Khi sử dụng hàm này, nhiều ta cần biết giá trị chúng điểm điểm mốc Muốn ta xây dựng hàm F(x) có biểu thức đơn giản trùng với f(x) điểm mốc điểm khác đoạn [a, b] “khá gần” với f(x) sau hàm F(x) sử dụng thay cho hàm f(x) Bài toán xây dựng hàm F(x) gọi toán nội suy; hàm F(x) gọi hàm nội suy f(x) đoạn [a, b] Bài tốn nội suy cịn nêu dạng tổng qt hơn: Khơng địi hỏi hàm F(x) trùng với f(x) điểm nội suy mà đòi hỏi đạo hàm cấp cấp cao chúng trùng mốc Đó toán nội suy Hermite Bài toán nội suy Hermite toán nội suy cổ điển tổng quát, nhiên báo khác với tài liệu viết vấn đề sử dụng Lý thuyết thặng dư để xây dựng công thức nội suy thay cho việc dùng hệ phương trình truyến tính quen thuộc Điều có ý nghĩa giảng dạy mơn Phương pháp tính mơn Hàm biến phức trường đại học kỹ thuật đôi gọi mốc nội suy Giả thiết mốc xj, j = 1,…, m cho trước giá trị hàm f(x) giá trị đạo hàm đến cấp (aj −1) nó, tức cho giá trị f(xj ), f’(xj ), , f_a j - 1i _ x j i 6j = 1, m Như hàm f(x) ta biết trước α1 + α2 + • • • + αm = n + điều kiện Các điều kiện (2.2) hệ phương trình đại số tuyến tính hệ số cần xác định a0, a1, a2, , an đa thức (2.1) Việc xây dựng đa thức (2.1) theo điều kiện (2.2) gọi trình nội suy Hermite, phép nội suy với mốc bội Các số αj , j = 1, m gọi bội mốc xj Và ta kí hiệu đa thức nội suy Hermite Hn(x) Cơng thức nội suy Hermite Q trình xây dựng đa thức nội suy Hermite tiến hành sau: Ta cần xác định hệ số a0, a1, a2, , an , đa thức Hn(x) = a0 xn + a1 xn-1 + • • • + an-1 x + an (3.1) Các hệ số xác định hệ phương trình (3.2) H n_ s i _ x j i = f_ s i _ x j i ; j = 1, m , s = 0, a j - Do vậy, chúng tổ hợp tuyến tính giá trị f (s) (xj) với hệ số akjs phụ thuộc xj, j = 1, m : Đặt tốn Ta xét tốn tìm đa thức bậc nhỏ n (2.1) Pn(x) = a0xn + a1xn-1 + • • • + an-1x + an , thoả mãn điều kiện Pn(s) (xj) = f (s)(xj); j = 1,…, m, s = 0,…, αj − 1, (2.2) (ở ta hiểu f (0) (xj)= f (xj)) Với xj ! [a, b], 6j = 1, m ; x1, x2, , xm m số thực khác 52 (2.3) Khoa học & Công nghệ - Số 19/Tháng - 2018 m aj-1 ak = / / akjs f _ s i _ x j i ; k = 0, n j=1 s=0 Thế biểu thức ak vào (3.1) ta thu Hn (x) = n m aj-1 / / / k=0 j=1 s=0 akjs f (s) _ x j i x n - k Từ ta viết Hn(x) dạng Hn (x) = m aj-1 / / j=1 s=0 l js (x) f (s) _ x j i (3.3) Journal of Science and Technology ISSN 2354-0575 n l js = / akjs x n - k - đa thức bậc n k=0 Từ lý giải ta tìm đa thức (3.1) dạng (3.3) Trước tiên thay tìm Hn(x) ta tìm phần dư Rn(f; x) = f(x) – Hn(x), sau tìm đa thức Hn(x) 3.1 Tìm phần dư Rn(f; x) Từ (3.3) thu Rn _ f; x i = f _ x i - m aj-1 l js _ x i f (s) _ x j i / / j=1 s=0 (3.4) Đầu tiên giả thiết f(x) hàm biến phức chỉnh hình miền đơn liên D chứa điểm nội suy x mốc x1, , xm bên Ta xem x, x1, , xm thực x ! xj , Giả sử chu tuyến đóng Γ D bao điểm x, x1, , xm Theo cơng thức tích phân Cauchy ta có f_ z i (3.5) f _ x i = 2ri # z - x dz C theo cơng thức tích phân Cauchy đạo hàm cấp cao ta có f_ z i s! (3.6) f_ s i _ x j i = 2ri # s + dz C _ z - xji Từ (3.4), (3.5) (3.6) thu Rn (f; x) = 2ri # C f (z) > z-x m aj-1 - / / j=1 s=0 l js (x) _si s! _ z - x ji s+1 H dz (3.7) s! Vì s + = d z - x n , nên biểu thức j _ z - xji m j s! / / phần dư z - x - j = s = l js (x) _ z - x is + j trình nội suy Hermite hàm z - x , biến x (theo công thức (3.4)) Do m aj-1 1 s! Rn a z - x , x k = z - x - / / l js (x) s+1 j=1 s=0 _ z - xji (3.8) Số hạng thứ hai bên vế phải (3.8) hàm hữu tỷ z, tổng phân thức đơn giản Đặt a a a X _ z i = _ z - x1 i _ z - x2 i g _ z - xm i m (3.9) a -1 Từ (3.8) (3.9) suy mẫu số chung (3.8) (z − x)Ω(z) Do vậy, Q_ z i (3.10) Rn a z - x , x k = _ z - xiX_ z i Ta nhận thấy vế phải (3.10) bậc tử số bé bậc mẫu số degΩ(z) = n + 1, deg(z − x) = 1, nên suy deg(z − x)Ω(z) = n + Khoa học & Công nghệ - Số 19/Tháng - 2018 2, degΩ(z) ≤ α1 + α2 + • • • + αm = n + Tiếp theo ta chứng tỏ Q(z) khơng phụ thuộc z Để làm điều ta cần chứng minh bậc Q(z) z không, tức degQ(z) = Với |z| > |x|, |z| > |xj|, 6j = 1, m , ta có k 3 1 1 / xk / x x = z k = zk = k = zk + , z-x = z $ 1- z _si _si _si 3 x kj x kj s! = f / k+1 p = / e k+1 o s+1 = d z - x n j _ z - xji k=0 z k=0 z Điều tương đương với s! k _si = s+1 = / k+1 `x j j z _ z - xji k=0 k_k - 1ig_k - s + 1i = / x kj - s zk + k=0 với 6j = 1, m Thay biểu thức vào (3.8) ta Rn b z - x , x l = = / k=0 z k k + >x - m aj-1 / / j=1 s=0 l js (x) k _ k - i g _ k - s + i x kj - sH Biểu thức dấu ngoặc vuông phần dư trình nội suy Hermite hàm xk ( theo cơng thức (3.4)) Do ta có 1 Rn a z - x , x k = / k + Rn _ x k , x i k=0 z Ta nhận thấy, k ≤ n Rn(xk; x) = (vì lấy đa thức nội suy xk ); nên công thức phép lấy tổng cần k = n + 1, tức 1 Rn a z - x , x k = / k + Rn _ x k , x i k = n+1 z Từ đó, z → ∞ Rn a z - x , x k " với tốc độ bé k + z Từ từ (3.10) suy degQ(z) = 0, tức Q(z) không phụ thuộc z Ta giả sử Q(z) = A Từ (3.8) ta lại có: _ z - x i Rn a z - x , x k = m aj-1 = - _ z - xi / / j=1 s=0 Do đó, l js (x) s! s+1 _ z - xji lim _ z - x i Rn a z - x , x k = z"x (3.11) (vì ta ln xem x ! xj, 6j = 1, m ) Mặt khác, từ (3.10) ta lại có A _ z - x i Rn a z - x , x k = X (z ) Journal of Science and Technology 53 ISSN 2354-0575 Suy A (3.12) lim _ z - x i Rn a z - x , x k = X (x) z"x So sánh (3.11) với (3.12) ta có: A = Ω(x), X (x) (3.13) Rn a z - x , x k = _ z - x i X (z) Từ (3.7), (3.8) (3.13) suy X (x) f (z ) Rn _ f, x i = 2ri # dz _ z - x i X (z) C (3.14) Công thức (3.14) biểu diễn tích phân phần dư q trình nội suy Hermite 3.2 Tìm đa thức Hn(x) Sau tìm phần dư Rn(f; x) ta tìm đa thức Hn(x) Từ công thức (3.14) ta rút công thức biểu diễn đa thức nội suy Hermite Hn(x) = f (x) – Rn(f; x) X (x) f (x) (3.15) = f(x) – 2ri # dz _ z x i X (z) C Để tìm đa thức Hn(x) tường minh ta cần tính tích phân vế phải (3.15) Tích phân tính cách áp dụng định lý thặng dư Ta lưu ý thặng dư hàm F(z) điểm bất thường a (cực điểm điểm bất thường cốt yếu) hệ số a-1 khai triển Laurent hàm lân cận điểm a Ta thấy hàm dấu tích phân f ( z) (3.16) F(z) = _ z - x i X (z) có cực điểm z = x, z = xj, 6j = 1, m Tại cực f (z) -1 _ z - xi điểm z = x, ta có F(z) = X (z) Do đó, Res[F(z); x] = f (x) X (x) (3.17) Tiếp theo ta tính Res[F(z); xj], 6j = 1, m Để làm điều ta viết F(z) dạng a 1 _ z - xji , F(z) = a $ f (z ) $ z - x X (z ) _ z - xji j j khai triển thành chuỗi Laurent lân cận a -1 điểm z = xj, sau tìm hệ số _ z - x j i j a _ z - xji j tích f (z) $ z - x $ X ( z) Ta có f ( z) = / k=0 z-x 54 Và =- x - xj $ 1- f _ k i (x j ) k k ! _ z - xji , z - xj x - xj =- / k=0 (3.18) k k + _ z - xji _ x - xji z - xj (vì x - x # 1), j (3.19) _ z - xji j k = / C k_ j i _ z - x j i X (z) k=0 a (3.20) Để tìm thặng dư hàm f(z) cực điểm a -1 z = xj ta cần tìm hệ số _ z - x j i j tích chuỗi (3.18), (3.19), (3.20) Hệ số a j - f _ k i (x ) j / Aa j - - k , k ! k=0 đó, Aa j - - k hệ số _ z - x j ia j - tích (3.18) với (3.19) aj-1-k Aa j - - k = - / C r_ j i a -1-k r=0 _ x - xji j Như vậy, thặng dư F(z) điểm xj [Res F(z); xj]=− aj-1 / k=0 f _ k i (x j ) a j - - k _ j i / C r _ x - x j i- a j + k + r k! r=0 (3.21) Từ (3.15) từ định lý Cauchy thặng dư ta có, Hn(x)=f(x)– 2ri 2ri d7Re sF (z); xA + / 7Re sF (z); x jAn j=1 X (x ) m Theo định nghĩa thặng dư từ cơng thức (3.21) ta có: Hn(x) = f(x) – X (x ) f f_ x i X_ x i m aj-1 - / / j=1 k=0 f _ki (x j ) a j - - k k! / r=0 _ i Cr j _ x - x ji -a j +k+r Vậy, _ i X _ x i a j - f k (x j ) a j - - k _ j i / / C r _ x - x j ik + r aj k! r=0 j = _ x - xji k = (3.22) Từ (3.22) rút kết luận ln f(x) thoả mãn điều kiện (2.1) Hn(x) = m / 3.3 Ví dụ áp dụng Để minh họa phương pháp trên, sau ta xét ví dụ cụ thể Xây dựng đa thức P(x) với mốc nội suy là: 0, 1, 3; giá trị P(x) tương ứng với mốc nội suy là: 1, 2, 3; giá trị P’(x) tương ứng là: 1, 1, -1 P’’(0) = −2 Từ phương pháp trình bày trên, ta xét đa thức Ω(x) = x3(x − 1)2(x − 3)2 Ta tìm số hạng đầu khai triển (3.20) mốc bội ba x1 = 0: x3 1 1 = = $ $ X (x) _ x - i2 _ x - i2 _1 - x i2 a x 1- 3k (3.23) Khoa học & Công nghệ - Số 19/Tháng - 2018 Journal of Science and Technology p ISSN 2354-0575 1 ' Vì - x = / x k = b - x l , nên k=0 (1 - x) ' 3 / x k l = / kx k - = + 2x + 3x2 + g =b k=0 k=0 ( - x) (3.24) Tương tự 1 / x k-1 k a k = + x + x2 + g = 3$ x k=1 a1 - k (3.25) Thay (3.24), (3.25) vào (3.23) lấy đến số hạng thứ ba ta được: x3 14 = b1 + x + x2 + g l X (x) Tương tự tìm hai số hạng đầu khai triển (3.20) mốc nội suy x2 = 1: _ x - 1i = X (x) x _ x - 3i 1 Xét = , ta có x _1 + x - i nên suy k k '' 1 '' = b x + l = / `_ - i x j (x + 1) k=0 k = d / _- i k (k - 1) x k - n k=2 Do k 1 k-2 n = d / _ - i k ( k - 1) (x - 1) x k=2 = 72 - $ (x - 1) + gA = - (x - 1) + g Tương tự ' 1 = =- b - + x - l ( x - 3) _- + x - i k 1 = d / k - ( x - 1) k - n = + ( x - 1) + g k=1 Từ điều suy _ x - 1i 1 = - ( x - 1) + g X (x) Hồn tồn tương tự ta có hai số hạng đầu khai triển (3.20) x3 = 3: _ x - 3i 1 = 108 - 54 (x - 3) + g X (x) Áp dụng (3.22) thay giá trị P(x), P’(x), P’’(x) từ đề ta thu _ x - 1i _ x - 3i 19 l b1 + 11 P (x) = x+ x + 2 x3 _ x - i x3 _ x - i + _5 - 3x i + (24 - 7x) 108 2 Từ suy 19 47 111 238 P(x) = 27 x6 - x5 + x - 27 x3 - x2 + x + Đây đa thức cần tìm Tài liệu tham khảo [1] Phạm Kỳ Anh, Giải tích số, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội,1996 [2] Phan Đức Chính, Bất đẳng thức, NXB Giáo dục, 1995 [3] Nguyễn Văn Mậu, Các toán nội suy áp dụng, NXB Giáo dục, 2007 [4] Nguyễn Văn Mậu, Đa thức đại số phân thức hữu tỉ, NXB Giáo dục, 2005 [5] Nguyễn Thủy Thanh, Hướng dẫn giải tập hàm biến phức, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2003 [6] Nguyễn Thủy Thanh, Cơ sở lý thuyết hàm biến phức, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2006 [7] A.O Gel~fond, Isqislenie koneqnyh raznoste$i , Moskva, Nauka, 1967 HERMITE INTERPOLATION BY TOOLS OF COMPLEX ANALYSIS Abstract: The article presents the method for constructing the Hertmite interpolation formula, which uses the tool of complex calculus instead of the tool of linear algebra At the end of this article is an example of the advantages of this method Keywords: Hermite, interpolation, polynomial interpolation Khoa học & Công nghệ - Số 19/Tháng - 2018 Journal of Science and Technology 55 ... biểu diễn tích phân phần dư trình nội suy Hermite 3.2 Tìm đa thức Hn(x) Sau tìm phần dư Rn(f; x) ta tìm đa thức Hn(x) Từ cơng thức (3.14) ta rút công thức biểu diễn đa thức nội suy Hermite Hn(x)... dư q trình nội suy Hermite hàm xk ( theo công thức (3.4)) Do ta có 1 Rn a z - x , x k = / k + Rn _ x k , x i k=0 z Ta nhận thấy, k ≤ n Rn(xk; x) = (vì lấy đa thức nội suy xk ); nên công thức phép... dụng Để minh họa phương pháp trên, sau ta xét ví dụ cụ thể Xây dựng đa thức P(x) với mốc nội suy là: 0, 1, 3; giá trị P(x) tương ứng với mốc nội suy là: 1, 2, 3; giá trị P’(x) tương ứng là: 1, 1,