mµ thêi lîng ch¬ng tr×nh ngan kh«ng cã thêi gian ®Ó gi¸o viªn híng dÉn cô thÓ cho häc sinh.... VÝ dô1.[r]
(1)Môc lôc
Néi dung : trang phÇn I: ĐặT VấN Đề 2-3
Phần II: nội dung
A ) quy trình giải toán phơng pháp véc tơ 4-5 b) tập minh hoạ 6-12
i) dành cho học sinh trung bình 6-8 ii) dành cho học sinh giỏi 9-11
C) BàI TậP THAM KHảO 12
D) KÕT LUËN 12
PHầN I đặt vấn đề I ) Lý chọn ti
1) Từ thực tế giảng dạy :
(2)- Chất lợng học sinh trờng thpt thấp so với trờng thpt miền xi, học lực lại phân hố khơng đồng học phần vectơ khơng gian đa số học sinh lúng túng việc chọn thực phép biến đổi vectơ, em có xu chon phơng pháp thơng thờng ( địi hỏi phải có t duy, trí tởng tợng cao phải vẽ hình phức tạp ), điều khó đa số học sinh nên nhiều toán dẫn đến phức tạp dẫn đến em ngại học mơn hình Trong Nhiều tốn hình học khơng gian, giải phơng pháp vectơ lời giải ngắn gọn đặc biệt tránh đợc việc phải vẽ hình phức tạp
2) Tõ thùc tÕ khách quan :
- Việc sử dụng thành thạo phơng pháp vectơ giúp học sinh làm nhanh số tập trắc nghiệm, điều phù hợp với xu học thi
- Trong đề thi đại học năm gần tốn hình học khơng gian, đáp án không đa phơng pháp giải vectơ Điều làm cho học sinh giáo viên trọng vào phơng pháp vectơ, học sinh cha thấy đợc u việt phơng phỏp ny
- Việc sử dụng thành thạo phơng pháp vectơ giúp học sinh làm nhanh số tập trắc nghiệm, điều phù hợp với xu học thi
- Học sinh học tốt phơng pháp vectơ hình học lớp 11 tiền đề để học tốt ph-ơng pháp vectơ tọa độ khơng gian hình học giải tích lớp 12
II) tÝnh khoa häc:
- Đề tài đợc xây dựng dựa khái niệm phép toán vectơ, phần có phơng pháp giải cụ thể,
- ví dụ đa từ dễ đến khó học sinh đọc tự nghiên cứu
- đè tài đợc trình bày theo trình tự khoa học Từ giúp học sinh tiếp cận dễ dàng sử dụng thành thạo phơng pháp
III) tính khả thi phạm vi áp dụng:
- Đề tài có tính khả thi cao vì: khái niệm phép tốn vectơ không gian tơng tự nh mặt phẳng mà học sinh đợc học lớp 10, lớp 11 khơng xa lạ với học sinh
- Các toán phần dành cho học sinh trung bình đợc lấy từ tập sgk sbt có thêm phần giải thích đẻ học sinh dễ đọc dễ hiểu
- Có nhiều tốn phần dành cho học sinh giỏi đợc trích từ đề thi đại học năm gần đợc trình bày lời giải phơng pháp vectơ nên khuyến khích đợc học sinh vận dụng phơng pháp
- Đề tài đợc áp dụng cho học sinh lớp 11 12
(3)Phần - Nội dung
A quy trình giải toán ph ơng pháp véc tơ 1) quy tr×nh
B
ớc : lựa chọn ba véc tơ không đồng phẳng làm hệ véc tơ gốc Nên
- chọn ba véc tơ xuất phát từ đỉnh
- u tiên chọn véc tơ dã biết độ dài góc của hai vecf tơ tơng ứng(đặc biệt góc vuụng)
B
ớc 2: chuyển giả thiết ,kết luận hình học toán sang ngôn ngữ véc tơ
và biểu diễn véc tơ liên quan theo hệ véc tơ gốc
2) dạng hình học chuyển đổi bản:
Gi¶ thiết hình học Ngôn ngữ véc tơ (có thể) Nếu M trung điểm đoạn thẳng
AB
OA OB
OM MB MA
AB AM
2
0
G trọng tâm tam gi¸c ABC
OA OB OC
OM
GC GB GA
3
0
G trọng tâm tø diÖn ABCD
OD OC
OB OA
OG
GD GC
GB GA
4
(4)3)c¸c dạng tập bản
Bi toỏn 1: Chng minh đờng thẳng song song với mặt phẳng:
§Ĩ chøng minh AB//(MNP), ta chøng minh:
xMN yMP
AB
Bài toán 2: Chứng minh hai mặt phẳng song song ta chứng minh mặt phẳng này chứa hai đờng thẳng cắt song song với mặt phẳng kia.( sử dụng toán hai lần)
Bài tốn 3: Chứng minh hai đờng thẳng vng góc :
§Ĩ chøng minh ab ta chøng minh 1. 2 0
u
u , u1,u2 lần lợt phơng
a vµ b
Bài tốn 4: Chứng minh đờng thẳng vng góc với mặt phẳng :
§Ĩ chøng minh MN (ABC) ta chøng minh
0 .
0 .
AC MN
AB MN
Bài toán 5: Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc ta chứng minh mặt chứa vectơ vuông góc với hai vectơ không phơng nằm mặt
Bài toán 6: Các to¸n vỊ gãc
*) Gọi góc hai đờng thẳng a b
2 1,u
u lần lợt phơng a vµ b
Khi :
2
2
1
) , cos( cos
u u
u u u
u
*) Gọi góc đờng thẳng a mặt phẳng(P).
Cách1: Ta đa tốn xác định góc đờng thẳng a đờng thẳng a’ hình chiếu
của a lên (P) sau thực nh tốn xác định góc hai đờng thẳng
Cách2: Ta đa tốn xác định góc đờng thẳng a đờng thẳng b hình chiếu
cđa a lên (P) ý
2
2
1
) , cos( sin
u u
u u u
u
(
2 1,u
u lần lợt phơng
cđa a vµ b)
*): Gäi lµ gãc hai mặt phẳng (P) (Q).
2 1,u
u lần lợt véc tơ ph¬ng
lần lợt nằm hai đờng thẳng vng góc với hai mặt phẳng (P) (Q)
Khi :
2
2
1
) , cos( cos
u u
u u u
u
Bài toán7: Xác định khoảng cách(từ điểm tới mặt phẳng , hai đờng thẳng chéo ): ta đa tốn tính khoảng cách hai điểm, ta có phơng pháp sau:
Để tính khoảng cách hai điểm M N ta biến đổi
xa yb zc
MN (trong
c b
a, , ba vectơ đôi không phơng, đợc xuất phát từ điểm
c b
a, , , tích vô hớng
b
a , ,b.c, c.a tính đợc
MN c
z b y a x
MN
2
2 ( )
) (
B)Các tập minh hoạ:
(5)VÝ dơ1
Cho tø diƯn ABCD Gọi G trọng tâm tam giác ABD M điểm nằm đoạn CD cho
2
MD MC
Chøng minh : MG//(ABC)
Giải:
Đặt :
a AC b AD c
AB , ,
Vì MD MC
nên CM CD
3
Gọi I trung điểm BD, :
AI AC CM
GM ( ) ) (
2
a c b c b
a b
3
AB AC
3
1
MG//(ABC)
ở ví dụ ta chon hệ véc tơ gốc điểm đầu A
Ta chuyển đổi giả thuyết,kết luận hình học sang ngơn ngữ vectơ :
V× MD MC
nªn CM CD
3
GM AB AC
3
1
MG//(ABC)
VÝdơ2 (Bµi tËp SGK trang 91
Cho h×nh hép ABCD.A/B/C/D/ Gäi M,N lần lợt trung điểm CD DD/
Gọi G1,G2 lần lợt trọng tâm tứ diện A/D/MN BCC/D/
Chứng minh : //( / /)
2
1G ABB A
G
Giải:
Đặt :
a AD b AA c
AB , , /
1
G trọng tâm tứ diện A/D/MN nªn
) (
4
1 / /
AA AD AM AN
AG
2
G trọng tâm tứ diện BCC/D/ nªn )
(
1 / /
2
AB AC AC AD
AG
Từ đó: ( )
4
1 / / / /
1 2
AG AG A B D C MC ND
G G / 8 ) ( ) 2 ( AA AB c a c c a c a c a //( / /)
1G ABB A
G
N hận xét: Nếu khơng sử dụng phơng pháp vectơ tốn khó vẽ hình vì xác định đợc trọng tâm cuả hai tứ diện ta phải vẽ nhiều đờng đơng nhiên việc chứng minh củng nh vậy.
ở ví dụ ta chon hệ véc tơ gốc điểm đầu A
Ta chuyển đổi giả thuyết hình học sang ngơn ngữ vectơ
1
G trọng tâm tứ diện A/D/MN nªn ( )
4
1 / /
AA AD AM AN
AG
2
G trọng tâm tứ diện BCC/D/ nªn ( )
4
1 / /
2
AB AC AC AD
(6)Cho hình hộp ABCD.A/B/C/D/ Gọi M,N,P lần lợt trung ®iĨm cđa AB,CC/,A/D/
Chøng minh: ( )//( / /)
BC A MNP
Giải:
Đặt :
a AD b AA c
AB , , /
Ta co
a c
B
A/ ,
a b
C A/ /
PD DC C N
PN / / / / ( )
2 2
1 / / /
b a c A B A C PN//(A/BC/) (1)
c a
BA/ ,
b c
BC/
MA AA A P
MP / / ( )
2
1
1 / /
a b c BA BC MP//(A/BC/) (2) Tõ (1) vµ (2) ta suy ( )//( / /)
BC A MNP
Ví dụ 4: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A/B/C/ có tất cạnh u bng a.
M trung điểm BB/ Chứng minh AM BC/
Giải:
Đặt :
a BC b BB c
BA , , /
Vì ABC.A/B/C/ lăng trụ tam giác nên
ta cã: 2 , ,
.c b c a b a
a
c a
AM
2
1 ,
b c
BC/ 2
2
2 / a a b a c BC AM
AM BC/
VÝ dô 5:
Cho hình chóp S.ABC có SA(ABC) Gọi H,K lần lợt trực tâm tam giác ABC và SBC Chứng minh HK (SBC)
Giải: Ta có: SC BH SA BH AC BH Khi đó: ) ( ) ( BC SK AS HA BC HK SC BK HB SC HK
c B/
(7)) (SBC HK
VÝ dơ 6:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh SA2
)
(ABC
SA Gọi M,N lần lợt trung điểm AB,BC Tính góc hai đờng thẳng SM AN
Giải:
Đặt :
a AC b AS c
AB , ,
Ta cã : 0, 0, 16
b a c b c a ) ( 2 a c SM a c AM SA SM ) (
1
a b
AN vµ AN 2
12 4 ) ( ) ( b a a b a a c AN SM
Gọi góc hai đờng thẳng SM AN,
0 45 12 ) , cos(
cos
AN SM AN SM AN SM
II) dành cho học sinh giỏi VÝdơ1
Cho hình chóp tứ giác S.ABCDcó đáy ABCD hình vng cạnh a E điểm đối xứng D qua trung điểm SA M,N lần lợt trung điểm AE BC. Chứng minh MN BD
( trích đề thi ĐH khối B năm 2007 )
Gi¶i:
Gọi OACBD Khi ú SO (ABCD)
Đặt :
a OB b OS c
OA , ,
Ta cã : 0, 0, 0
b a c b c a
MA AC CN
MN
SD AC CB
2 ) ( ) (
1
SO OD AC CO OB
a c
2 b BD BD MN b c a BD
MN ) ).( 2 (
VÝ dô 2:
(8)Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Tam giác SAD nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M,N,P lần lợt trung điểm cạnh SB,BC,CD Chứng minh: AM BP
( trích đề thi ĐH khối A năm 2007 )Giải: Gọi H trung điểm AD
)
(ABCD
SH
Đặt:
a HN b HS c
HA , ,
Ta cã: 0, 0, 0
b a c b c a
) (
2 ) (
2
1
AS AB b c a
AM
BC CP a b
BP
2
0
1
1
2 2
AB HA
b a BP AM
BP AM
VÝ dô 3:
Cho hình chóp S.ABCDcó đáy ABCD hình chữ nhật , AB a, AD = a
)
(ABCD
SA , M trung điểm AD Chøng minh : (SAC)(SMB)
( trích đề thi ĐH khối B năm 2006 )
Giải:
Đặt :
a AD b AS c
AB , ,
Ta cã : 0, 0, 0
b a c b c
a vµ BM SA (1)
a b AC a b
BM ,
2
0
1
1
2 2
AD AB
b a AC BM
BM AC (2)
Tõ (1) vµ (2) BM (SAC) (SAC)(SMB)
VÝ dơ 4
Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang ABC BAD BABC a
,
900 , AD 2a
Cạnh bên SA vng góc với đáy SAa Gọi H hình chiếu vng góc
A SB Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD)
( Đề thi i hc D nm 2007)
Giải
Đặt
a AD b AS c
AB , ,
Ta cã: 0, 0, 0
b a c b c a
a c SC a b c SD b c
SB ,
2 ,
Gọi I chõn ng vuụng gúc h t H
lên mặt ph¼ng (SCD) d(H;(SCD))HI
c
b a
P
N M
H S
D
B
C A
b c
a
D M
B C
A S
H
D A
(9)Khi :
HS SI
HI
SB xSC ySD
3
x a x y b x y)c
3 ( ) ( ) ( 3 1 6 5 0) 3 2 () 2 ( 0) 3 2 () 2 ( 2 1 ) 3 2 ( 0 . 0 . 2 2 2 2 2 y x cyx by x cyx by x ax SDHI SCHI ) ( 6 12
1a b c HI a b c a
HI
Ví dụ 5: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCDlà hình vng cạnh a E
là điểm đối xứng D qua trung điểm SA M,N lần lợt trung điểm AE BC Tính khoảng cách MN AC ( trích đề thi ĐH khối B năm 2007 )
Giải:
Đặt :
a OB b OS c
OA , ,
Ta cã : 0, 0, 0
b a c b c a CN AC MA MN
AC CB
SD 2 ( ) ) (
1
SO OD AC CO OB
a c
2 a AC
Gọi PQ đoạn vuông góc chung MN AC , ta có:
PM MA AQ xMN SD yAO
PQ
x a c ( c b) ya
2 ) 2 (
y x a x c b
(10)
2 3 1 0)
2 3 (2
0) 1( 4 1 ) 2 3 ( 2 3 0. 0 .
2 2 2
y x ax
y
cx ax y ACPQ MNPQ
4
4
1
2
2 a
PQ a
OB PQ
b
PQ
C) Bài tập tham khảo :
Bài 1: cho tứ diện ABCD Gọi G1,G2,G3 lần lợt trọng tâm tam giác ABC,
ACD, ABD Chøng minh r»ng (G1G2G3) // (BCD)
Bài 2:Cho hình chóp S.ABCDcó đáy hình thoi cạnh a tâm O SO(ABCD), cạnh bên SBa E,F lần lợt trung điểm SA,SC Chứng minh (BED)(BFD)
Bài 3: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A
D (ABCD,BDBC), ABADa,SD(ABCD), SDa
a) Tính góc (SBC) (SCD)
b) Gọi I trung điểm CD Tính côsin góc hợp hai mặt phẳng(SAB)và
) (SBI
Bài4: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A/B/C/ Gọi M, N lần lợt trung điểm của
/
/,CC
AA G trọng tâm A/B/C/
a) Chøng minh MG//(AB/N)
Chøng minh (MGC/)//(AB/N)
Bµi 5:Cho tø diƯn S.ABC, cã SCCAAB a 2, SC (ABC) Tam giác ABC vuông A, điểm M thuộc SA N thuộc BC cho AM CN t
)
(11)Tính độ dài đoạn thẳng MN theo a t
Bài 6:hình chóp S.ABC có đáy tam giác abc cạnh 7a , có cạnh SC vng góc với mặt phẳng đáy (ABC) SC= 7a
a) tính góc SA BC
b) Tính khỏang cách hai đờng thẳng chéo SA v BC
Bài 7: Cho lập phơng ABCD.A/B/C/D/ có cạnh a Tính khoảng cách hai
đ-ờng thẳng A/B B/D.
D) Kết luận
Phơng pháp vectơ giải toán hình học không gian giúp học sinh chuyển
toán phức tạp thành toán đơn giản sử dụnh phép biển đổi vectơ để thực Tuy nhiên, phơng pháp tối u cho tất tốn Vì giải tốn hình học khơng gian học sinh cần lu ý lựa chọn ,kết hợp phơng pháp khác để giải toán cách đơn giản
Mặc dù có nhiều cố gắng song đề tài cịn nhiều chỗ cần phải bổ sung Vì tơi mong có góp ý bạn đọc, đồng nghiệp v hc sinh
ngày tháng năm 2010
Giáo viên