SKKN hình hoc không gian

Mục lục Nội dung : trang phần I: ĐặT VấN Đề 2-3 Phần II: nội dung A ) quy trình giải bài toán bằng phơng pháp véc tơ 4-5 b) các bài tập minh hoạ 6-12 i) dành cho học sinh trung bình khá 6-8 ii) dành cho học sinh khá giỏi 9-11 C) BàI TậP THAM KHảO 12 D) KếT LUậN 12 PHầN I đặt vấn đề I ) Lý do chọn đề tài 1) Từ thực tế giảng dạy : - ở sách giáo khoa chơng trình mới hiện nay đã giảm tải nhiều , phần vectơ trong không gian đợc trình bày kỹ càng hơn, khuyến khích đợc học sinh sử dụng hơn so với chơng trình cũ. Song ở sách giáo khoa, kể cả sách bài tập và các tài liệu tham khảo cũng cha đa ra phơng pháp cụ thể cho từng phần mà chỉ đa ra các ví dụ rồi giải. mà thời lợng chơng trình nga không có thời gian để giáo viên hớng dẫn cụ thể cho học sinh. 1 - Chất lợng học sinh trờng thpt dtnt thấp hơn so với các trờng thpt ở miền xuôi, học lực lại phân hoá không đồng đều . khi học phần vectơ trong không gian thì đa số học sinh còn lúng túng trong việc chọn và thực hiện các phép biến đổi về vectơ, các em có xu thế chon phơng pháp thông thờng ( đòi hỏi phải có t duy, trí tởng tợng cao và phải vẽ hình phức tạp ), điều này là khó đối với đa số học sinh. nên nhiều bài toán dẫn đến phức tạp và dẫn đến các em ngại học môn hình. Trong khi Nhiều bài toán hình học không gian, nếu giải bằng phơng pháp vectơ thì lời giải sẽ ngắn gọn và đặc biệt tránh đợc việc phải vẽ hình phức tạp. - 2) Từ thực tế khách quan : - Việc sử dụng thành thạo phơng pháp vectơ sẽ giúp học sinh có thể làm nhanh một số bài tập trắc nghiệm, điều này là phù hợp với xu thế học và thi hiện nay. - Trong các đề thi đại học những năm gần đây thì các bài toán hình học không gian, đáp án không đa ra phơng pháp giải bằng vectơ. Điều này đã làm cho học sinh và giáo viên ít chú trọng vào phơng pháp vectơ, do đó học sinh cha thấy đợc những u việt của phơng pháp này. - Việc sử dụng thành thạo phơng pháp vectơ sẽ giúp học sinh có thể làm nhanh một số bài tập trắc nghiệm, điều này là phù hợp với xu thế học và thi hiện nay - Học sinh học tốt phơng pháp vectơ ở hình học lớp 11 là tiền đề để học tốt ph- ơng pháp vectơ và tọa độ trong không gian ở hình học giải tích lớp 12. II) tính khoa học: - Đề tài đợc xây dựng dựa trên các khái niệm và các phép toán của vectơ, mỗi phần đều có phơng pháp giải cụ thể, - các ví dụ đa từ dễ đến khó học sinh có thể đọc và tự nghiên cứu . - đè tài đợc trình bày theo một trình tự khoa học. Từ đó giúp học sinh tiếp cận dễ dàng và sử dụng thành thạo phơng pháp này. III) tính khả thi và phạm vi áp dụng: - Đề tài có tính khả thi cao bởi vì: các khái niệm và các phép toán về vectơ trong không gian là tơng tự nh trong mặt phẳng mà học sinh đã đợc học ở lớp 10, lớp 11 do đó nó không xa lạ với học sinh. - Các bài toán ở phần dành cho học sinh trung bình đợc lấy từ bài tập sgk và sbt có thêm phần giải thích đẻ học sinh dễ đọc dễ hiểu. - Có nhiều bài toán ở phần dành cho học sinh khá giỏi đợc trích từ các đề thi đại học những năm gần đây và đợc trình bày lời giải bằng phơng pháp vectơ nên sẽ khuyến khích đợc học sinh vận dụng phơng pháp này. - Đề tài đợc áp dụng cho học sinh lớp 11 và 12. 2 Phần 2 - Nội dung A quy trình giải bài toán bằng ph ơng pháp véc tơ 1) quy trình B ớc 1 : lựa chọn một bộ ba véc tơ không đồng phẳng làm hệ véc tơ gốc . Nên - chọn bộ ba véc tơ xuất phát từ một đỉnh. - u tiên chọn các véc tơ dã biết độ dài và góc của của hai vecf tơ tơng ứng(đặc biệt là góc vuông). B ớc 2: chuyển các giả thiết ,kết luận hình học của bài toán sang ngôn ngữ véc tơ và biểu diễn các véc tơ liên quan theo hệ véc tơ gốc 2) các dạng hình học chuyển đổi cơ bản: Giả thiết hình học Ngôn ngữ véc tơ (có thể) Nếu M là trung điểm của đoạn thẳng AB ( ) OBOAOM MBMA ABAM += =+ = 2 1 0 2 1 G là trọng tâm tam giác ABC ( ) OCOBOAOM GCGBGA ++= =++ 3 1 0 G là trọng tâm tứ diện ABCD +++= =+++ ODOCOBOAOG GDGCGBGA 4 1 0 3)các dạng bài tập cơ bản 3 Bài toán 1: Chứng minh đờng thẳng song song với mặt phẳng: Để chứng minh )//(MNPAB , ta chứng minh: += MPyMNxAB Bài toán 2: Chứng minh hai mặt phẳng song song ta chứng minh trong mặt phẳng này chứa hai đờng thẳng cắt nhau cùng song song với mặt phẳng kia.( sử dụng bài toán 1 hai lần) Bài toán 3: Chứng minh hai đờng thẳng vuông góc : Để chứng minh a b ta chứng minh 0. 21 = uu , trong đó 21 ,uu lần lợt là chỉ phơng của a và b. Bài toán 4: Chứng minh đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng : Để chứng minh )(ABCMN ta chứng minh = = 0. 0. ACMN ABMN Bài toán 5 : Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc ta chứng minh trong mặt này chứa một vectơ vuông góc với hai vectơ không cùng phơng nằm trong mặt kia Bài toán 6: Các bài toán về góc *) Gọi là góc giữa hai đờng thẳng a và b. 21 ,uu lần lợt là chỉ phơng của a và b. Khi đó : == 21 21 21 . . ),cos(cos uu uu uu *) Gọi là góc giữa đờng thẳng a và mặt phẳng(P). Cách1: Ta đa về bài toán xác định góc của đờng thẳng a và đờng thẳng a là hình chiếu của a lên (P) .sau đó thực hiện nh bài toán xác định góc của hai đờng thẳng . Cách2: Ta đa về bài toán xác định góc của đờng thẳng a và đờng thẳng b là hình chiếu của a lên (P) và chú ý == 21 21 21 . . ),cos(sin uu uu uu ( trong đó 21 ,uu lần lợt là chỉ ph- ơng của a và b) *): Gọi là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q). 21 ,uu lần lợt là véc tơ chỉ phơng lần lợt nằm trên hai đờng thẳng vuông góc với hai mặt phẳng (P) và (Q). . Khi đó : == 21 21 21 . . ),cos(cos uu uu uu Bài toán7: Xác định khoảng cách(từ điểm tới mặt phẳng , giữa hai đờng thẳng chéo nhau ): ta đa về bài toán tính khoảng cách giữa hai điểm, do đó ta có phơng pháp sau: Để tính khoảng cách giữa hai điểm M và N ta biến đổi ++= czbyaxMN (trong đó cba ,, là bộ ba vectơ đôi một không cùng phơng, đợc xuất phát từ một điểm và 4 cba ,, , các tích vô hớng ba . , cb ., , ac . là tính đợc và MNczbyaxMN ++= 22 )()( B)Các bài tập minh hoạ: I )dành cho học sinh trung bình khá Ví dụ1 Cho tứ diện ABCD . Gọi G là trọng tâm tam giác ABD . M là điểm nằm trên đoạn CD sao cho 2 1 = MD MC Chứng minh : )//(ABCMG Giải: Đặt : === cADbACaAB ,, Vì 2 1 = MD MC nên = CDCM 3 1 Gọi I là trung điểm của BD , khi đó : ++= CMACAIGM 3 2 )( 3 1 ).( 2 1 . 3 2 +++= bcbca += ba 3 2 3 1 += ACAB 3 2 3 1 )//(ABCMG . ở ví dụ này ta đã chon hệ véc tơ gốc cùng điểm đầu là A Ta đã chuyển đổi các giả thuyết,kết luận hình học sang ngôn ngữ vectơ : Vì 2 1 = MD MC nên = CDCM 3 1 += ACABGM 3 2 3 1 )//(ABCMG Vídụ2 (Bài tập 4 SGK trang 91 Cho hình hộp //// . DCBAABCD . Gọi NM , lần lợt là trung điểm của CD và / DD . Gọi 21 ,GG lần lợt là trọng tâm của các tứ diện MNDA // và // DBCC . Chứng minh : )//( // 21 AABBGG . Giải: Đặt : === cAAbADaAB / ,, 1 G là trọng tâm của tứ diện MNDA // nên )( 4 1 // 1 +++= ANAMADAAAG 2 G là trọng tâm của tứ diện // DBCC nên )( 4 1 // 2 +++= ADACACABAG Từ đó: )( 4 1 //// 1221 +++== NDMCCDBAAGAGGG 5 M I G D c b a C B A c ba N M D / C / B / A / D C B A ==++++= / 8 1 8 5 )5( 8 1 ) 2 1 2 1 ( 4 1 AAABcaccacaca )//( // 21 AABBGG N hận xét: Nếu không sử dụng phơng pháp vectơ thì bài toán này sẽ rất khó vẽ hình vì xác định đợc trọng tâm cuả hai tứ diện ta phải vẽ rất nhiều đờng và đơng nhiên việc chứng minh củng nh vậy. ở ví dụ này ta đã chon hệ véc tơ gốc cùng điểm đầu là A Ta đã chuyển đổi các giả thuyết hình học sang ngôn ngữ vectơ 1 G là trọng tâm của tứ diện MNDA // nên )( 4 1 // 1 +++= ANAMADAAAG 2 G là trọng tâm của tứ diện // DBCC nên )( 4 1 // 2 +++= ADACACABAG Vídụ3 Cho hình hộp //// . DCBAABCD . Gọi PNM ,, lần lợt là trung điểm của /// ,, DACCAB . Chứng minh: )//()( // BCAMNP Giải: Đặt : === cAAbADaAB / ,, Ta co = caBA / , += baCA // ++= NCCDPDPN //// )( 2 1 2 1 2 1 /// +=+= CABAcab )//( // BCAPN (1) = acBA / , += cbBC / ++= PAAAMAMP // )( 2 1 2 1 2 1 // +=++= BCBAcba )//( // BCAMP (2) Từ (1) và (2) ta suy ra )//()( // BCAMNP Ví dụ 4: Cho hình lăng trụ tam giác đều /// . CBAABC có tất cả các cạnh đều bằng a . M là trung điểm của / BB . Chứng minh / BCAM Giải: Đặt : === cBBbBCaBA / ,, Vì /// . CBAABC là lăng trụ tam giác đều nên ta có: 2 2 1 .,0.,0. abacbca === = acAM 2 1 , += cbBC / 0 2 1 2 1 . 2 1 . 22 2 / === aabacBCAM / BCAM Ví dụ 5: 6 c B / P b a N M D / C / A / D C B A M c b a C / B / A / C B A Cho hình chóp ABCS. có )(ABCSA . Gọi KH , lần lợt là trực tâm tam giác ABC và SBC . Chứng minh )(SBCHK . Giải: Ta có: SCBH SABH ACBH Khi đó: 0).(. 0).(. =++= =+= BCSKASHABCHK SCBKHBSCHK )(SBCHK Ví dụ 6: Cho hình chóp ABCS. có đáy ABC là tam giác đều cạnh 24 . 2=SA và )(ABCSA . Gọi NM , lần lợt là trung điểm của BCAB, . Tính góc giữa hai đờng thẳng SM và AN . Giải: Đặt : === cASbACaAB ,, Ta có : 16.,0.,0. === bacbca 32) 2 1 ( 2 1 2 =+=+=+= acSMacAMSASM )( 2 1 += baAN và 62=AN 12. 4 1 4 1 )( 2 1 ). 2 1 (. 2 =+=++= baabaacANSM Gọi là góc giữa hai đờng thẳng SM và AN , thì 0 45 2 1 62.32 12 . . ),cos(cos ===== ANSM ANSM ANSM II) dành cho học sinh khá giỏi Vídụ1 Cho hình chóp tứ giác đều ABCDS. có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA . NM , lần lợt là trung điểm của AE và BC . Chứng minh BDMN . ( trích đề thi ĐH khối B năm 2007 ) Giải: 7 K H C B A S c b a M N S B C A Gọi BDACO = . Khi đó )(ABCDSO Đặt : === cOSbOBaOA ,, Ta có : 0.,0.,0. === bacbca ++= CNACMAMN ++= CBACSD 2 1 2 1 )( 2 1 )( 2 1 ++++= OBCOACODSO = ca 2 1 2 3 = bBD 2 BDMNbcaBDMN == 0)2).( 2 1 2 3 (. Ví dụ 2: Cho hình chóp ABCDS. có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Tam giác SAD đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi PNM ,, lần lợt là trung điểm của các cạnh CDBCSB ,, . Chứng minh: BPAM ( trích đề thi ĐH khối A năm 2007 )Giải: Gọi H là trung điểm của AD )(ABCDSH Đặt: === cHSbHNaHA ,, Ta có: 0.,0.,0. === bacbca )( 2 1 )( 2 1 +=+= acbABASAM =+= baCPBCBP 2 1 2 0 4 1 4 1 . 22 22 === ABHAbaBPAM BPAM Ví dụ 3: Cho hình chóp ABCDS. có đáy ABCD là hình chữ nhật , aAB = , AD = 2a . )( ABCDSA , M là trung điểm của AD . Chứng minh : )()( SMBSAC . ( trích đề thi ĐH khối B năm 2006 ) Giải: Đặt : === cASbADaAB ,, Ta có : 0.,0.,0. === bacbca và SABM (1) +=+= baACbaBM , 2 1 0 2 1 2 1 . 22 22 =+=+= ADABbaACBM 8 c b a P N M E O S D C B A c b a P N M H S D B C A b c a D M B C A S ACBM (2) Từ (1) và (2) )(SACBM )()( SMBSAC Ví dụ 4 Cho hình chóp ABCDS. có đáy là hình thang. aBCBABADABC === = ,90 0 , aAD 2= . Cạnh bên SA vuông góc với đáy và 2aSA = . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB . Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng )(SCD . ( Đề thi đại học khối D năm 2007) Giải Đặt === cASbADaAB ,, Ta có: 0.,0.,0. === bacbca =+== cbSDcbaSCcaSB , 2 1 , Gọi I là chân đờng vuông góc hạ từ H lên mặt phẳng HISCDHdSCD = ))(;()( Khi đó : += SIH SHI ++= SDySCxSB 3 2 +++= cyxby x ax ) 3 2 () 2 () 3 2 ( = = =+ =++ = = 3 1 6 5 0) 3 2 () 2 ( 0) 3 2 () 2 ( 2 1 ) 3 2 ( 0. 0. 22 222 y x cyxby x cyxby x ax SDHI SCHI 3 ) 2 1 ( 6 1 6 1 12 1 6 1 2 a cbaHIcbaHI =++=++= Ví dụ 5: Cho hình chóp tứ giác đều ABCDS. có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA . NM , lần lợt là trung điểm của AE và BC . Tính khoảng cách giữa MN và AC . ( trích đề thi ĐH khối B năm 2007 ) Giải: Đặt : === cOSbOBaOA ,, Ta có : 0.,0.,0. === bacbca =++= CNACMAMN ++ CBACSD 2 1 2 1 )( 2 1 )( 2 1 ++++= OBCOACODSO = ca 2 1 2 3 = aAC 2 Gọi PQ là đoạn vuông góc chung của MN và AC , ta có: 9 H D B C A S c b a P N M E O S D C B A ++=++= AOySDMNxAQMAPMPQ 2 1 += aybccax )( 2 1 ) 2 1 2 3 ( ++= bcxaxy 2 1 )1( 2 1 ) 2 3 ( = = =+ =+++ = = 2 3 1 0) 2 3 (2 0)1( 4 1 ) 2 3 ( 2 3 0. 0. 2 22 y x axy cxaxy ACPQ MNPQ 4 2 84 1 2 1 2 22 a PQ a OBPQbPQ ==== C) Bài tập tham khảo : Bài 1: cho tứ diện ABCD . Gọi 321 ,, GGG lần lợt là trọng tâm của các tam giác ABC, ACD, ABD . Chứng minh rằng )( 321 GGG // (BCD). Bài 2:Cho hình chóp ABCDS. có đáy là hình thoi cạnh a tâm O . )(ABCDSO , cạnh bên aSB = . FE, lần lợt là trung điểm của SCSA, . Chứng minh )()( BFDBED Bài 3: Cho hình chóp tứ giác ABCDS. có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D ),( BCBDCDAB < , aADAB == , )(ABCDSD , 2aSD = . a) Tính góc giữa )(SBC và )(SCD . b) Gọi I là trung điểm của CD. Tính côsin của góc hợp bởi hai mặt phẳng )(SAB và )(SBI Bài4: Cho hình lăng trụ tam giác /// . CBAABC . Gọi M, N lần lợt là trung điểm của // ,CCAA và G là trọng tâm /// CBA . a) Chứng minh )//( / NABMG Chứng minh )//()( // NABMGC Bài 5:Cho tứ diện ABCS. , có ABCASC == 2a= , )(ABCSC . Tam giác ABC vuông tại A , các điểm M thuộc SA và N thuộc BC sao cho tCNAM == . )20( at << Tính độ dài đoạn thẳng MN theo a và t . Bài 6:hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều abc cạnh 7a , có cạnh SC vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC) và SC= 7a. a) tính góc giữa SA và BC. 10 [...]... cách giữa hai đờng thẳng A / B và B / D D) Kết luận Phơng pháp vectơ giải toán hình học không gian giúp học sinh có thể chuyển bài toán phức tạp thành bài toán đơn giản và sử dụnh các phép biển đổi vectơ để thực hiện Tuy nhiên, đây không phải phơng pháp tối u cho tất cả các bài toán Vì vậy khi giải toán hình học không gian học sinh cần lu ý lựa chọn ,kết hợp các phơng pháp khác nhau để giải toán một . và phải vẽ hình phức tạp ), điều này là khó đối với đa số học sinh. nên nhiều bài toán dẫn đến phức tạp và dẫn đến các em ngại học môn hình. Trong khi Nhiều bài toán hình học không gian, nếu. học và thi hiện nay. - Trong các đề thi đại học những năm gần đây thì các bài toán hình học không gian, đáp án không đa ra phơng pháp giải bằng vectơ. Điều này đã làm cho học sinh và giáo viên. và thi hiện nay - Học sinh học tốt phơng pháp vectơ ở hình học lớp 11 là tiền đề để học tốt ph- ơng pháp vectơ và tọa độ trong không gian ở hình học giải tích lớp 12. II) tính khoa học: - Đề tài