skkn HÌNH học GIẢI TRONG KHÔNG GIAN với MAPLE

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC I THƠNG TIN CHUNG CÁ NHÂN Họ tên TRẦN VĂN TỒN Ngày tháng năm sinh: 10 – 09 – 972 Giới tính: Nam Địa chỉ: 22 tổ 91, khu phố 13, phường Hố Nai, Biên Hồ, Đồng Nai Điện thoại: 0917907948 Chức vụ: Giáo viên Đơn vị cơng tác: Trường THPT chun Lương Thế Vinh, Biên Hồ, Đồng Nai II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO • Trình độ chun mơn cao nhất: Thạc sĩ Tốn • • Năm nhận bằng: 2007 Chun ngành đào tạo: Tốn Giải tích III • • • KINH NGHIỆM KHOA HỌC Lĩnh vực chun mơn có kinh nghiệm: Phần mềm Tốn học Số năm có kinh nghiệm: 14 Các sáng kiến kinh nghiệm có năm gần đây: Cách giải đơn giản cho tốn quen thuộc (2007 - 2008); Một số cách giải phương trình, bất phương trình (2008 - 2009); Vài dạng bất phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối (2009 - 2010); Bài tập Mặt cầu (2010 2011)  SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI Trường THPT Lương Thế Vinh CỘNG HỒ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập Tự Hạnh phúc PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ ĐỀ TÀI Năm học 2011 2012 Tên đề tài: HÌNH HỌC GIẢI TRONG KHƠNG GIAN VỚI MAPLE Họ tên tác giả: TRẦN VĂN TỒN Lĩnh vực: Quản lý giáo dục Tổ Tốn Phương pháp dạy học mơn Phương pháp giáo dục Lĩnh vực khác Tính  Có giải pháp hồn tồn  Có cải tiến, đổi từ giải pháp có Hiệu  Hồn tồn triển khai, áp dụng tồn ngành có hiệu cao    Có tính cải tiến đổi từ giải pháp có triển khai, áp dụng tồn ngành có hiệu cao Hồn tồn triển khai, áp dụng đơn vị có hiệu cao Có tính cải tiến đổi từ giải pháp có triển khai, áp dụng đơn vị có hiệu cao Khả áp dụng  Cung cấp luận khoa học cho việc hoạch định đường lối, sách Tốt  Đạt Đưa giải pháp khuyến nghị có khả ứng dụng thực tiễn, dễ thực dễ vào sống Tốt  Khá Khá Đạt Đã áp dụng thực tế đạt hiệu có khả áp dụng đạt hiệu phạm vi rộng Tốt Khá Đạt XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUN MƠN Tổ trưởng chun mơn THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ (Ký, ghi rõ họ tên đóng dấu) LỜI NĨI ĐẦU Ngày nay, với trợ giúp phần mềm tốn học, người giáo viên giảm bớt cơng việc việc soạn hệ thống tập Hình học giải tích, nói chung Hình giải tích khơng gian, nói riêng ngồi việc suy luận ta cần phải tính tốn nhiều Maple phần mềm Tốn hỗ trợ cho mơn học tốt Đề tài viết cách tám năm, viết dạng đơn giản Cách tháng, tơi có tham gia vào diễn đàn Mapleprimes học hỏi nhiều từ diễn đàn Một tốn lớn, với nhiều bước tính tốn, sau viết mã, kết hiển thị lần bấm Enter Hơn nữa, ta thay giả thiết tốn cách tuỳ ý dễ dàng nhận đáp số cách nhanh chóng Tác giả đề tài dùng để soạn hệ thống tập cho sách thu kết thật tuyệt vời Nhờ nó, mà đáp số tốn soạn gọn Maple nhiều tác giả viết sách, viết cho phần Hình học giải tích khơng thấy có sách giới thiệu Ở số tốn, đề tốn trích ngun văn tiếng Anh mà tơi đặt câu hỏi diễn đàn Mapleprimes Chắc chắn khơng thể có sai sót Mong q thầy em học sinh sửa chữa cho tơi Đồng Nai, 2012 Trần Văn Tồn HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Trùc làm việc với hình giải tích không gian ta phải bắt đầu lệnh with(geom3d); I VÀI CÁCH NHẬP THÔNG DỤNG 1) Nhập điểm Để nhập điểm M(x; y; z), ta nhập sau: point(M, x, y, z); 2) Nhập mặt phẳng Để nhập phương trình mặt phẳng P : Ax + By + Cz + D = 0, ta nhập : Plane(P, A*x + B*y + C*z + D = 0, [x, y, z]); 3) Nhập đường thẳng a) Nếu phương trình đường thẳng d có dạng tham số  x = x0 + ta1 ,   y = y0 + ta2 , z = z + ta  Khi nhập vào maple, ta làm sau: line(d, [x0 + t*a1, y0 + t*a2 , z0 + t*a3], t ); b) Nếu phương trình đường thẳng d có dạng tắc x − x0 y − y0 z − z0 = = a1 a2 a3 → Giả sử d qua điểm M(x0; y0; z0) có véctơ phương a = (a1; a2 ; a3 ) , nhập vào maple, ta nhập sau: line(d,[point(M, x0; y0; z0),[a1,a2,a3]],t); c) Nếu phương trình đường thẳng d có dạng tổng quát : a1 x + b1y + c1z + d1 = 0,  a2 x + b2 y + c2 z + d = d giao tuyến hai mặt phẳng: P1 : a1x + b1y + c1z + d1 = P2 : a2x + b2y + c2z + d2 = nhập vào maple, ta nhập sau: [> plane(P1, [a1*x + b1*y + c1*z + d1 = [x, y, z]): plane(P2, [a2*x + b2*y + c2*z + d2 = 0, [x, y, z]): line(d,[P1, p2]; 4) Khai báo vectơ biết toạ độ hai điểm ta dùng cú pháp sau: dsegment(AB,[A,B]) → Để nhập vectơ u = (x; y; z), ta nhập : u:=([x, y, z]); 5) Tích vô hướng tích có hướng hai vectơ → → Để tính tích vô hướng tích có hướng hai vectơ u v Trước hết, ta phải mở gói [> with(linalg); Sau đó, ta dùng lệnh : crossprod(u,v); để tính tích có hướng lệnh dotprod(u,v); để tính tích vô hướng → → Ví dụ : Cho vectơ u = (1; 2; 3) v = (3; 5; 7) → → → → Tìm u v [ u , v ] [> u:=([1,2,3]),v:=([3,5,7]); u := [ 1, 2, ] v := [ 3, 5, ] [> with(linalg); [> crossprod(u,v); [ -1, 2, -1 ] [> dotprod(u,v); 34 6) Một số lệnh kiểm tra Tên lệnh Cú pháp Chức AreCollinear AreCollinear(P, Q, R, cond) Kiểm tra tính thẳng hàng ba điểm P, Q, R AreConcurrent AreConcurrent(l1, l2, l3, cond ) Kiểm tra tính đồng quy ba đường thẳng l1, l2, l3 *AreCoplanar(A, B, C, D) * Kiểm tra tính đồng phẳng bốn điểm A, B, C, D * Kiểm tra tính đồng phẳng hai đường thẳng l1 l2 AreCoplanar *AreCoplanar(l1, l2 ) * AreParallel(l1, l2, cond) * Kiểm tra tính song song hai đường thẳng l1, l2 * Kiểm tra tính song song đường thẳng l1 mặt phẳng P1 * AreParallel(l1, p1, cond) Kiểm tra tính song song hai mặt phẳng p1 p2 * * AreParallel(p1, p2, AreParallel cond) * ArePerpendicular(l1, l2, cond) * Kiểm tra tính vuông góc hai đường thẳng l1, l2 * Kiểm tra tính vuông góc đường thẳng l1 mặt phẳng p1 ArePerpendicular *ArePerpendicular(l1, p1, cond) * Kiểm tra tính vuông góc hai mặt phẳng p1 p2 * ArePerpendicular(p1, p2, cond) IsEquilateral IsEquilateral(ABC, cond ) IsOnObject(f, obj, cond) Kiểm tra xem điểm tập hợp điểm f có thuộc obj hay không ? Trong đó, obj đường thẳng, mặt phẳng hay mặt cầu IsRightTriangle(ABC, cond ) Kiểm tra tính vuông góc tam giác ABC IsOnObject IsRightTriangle Xét xem tam giác ABC có hay không ? MẶT PHẲNG plane(p, [A, dseg1]) plane(p, [dseg1, dseg2]) Một mặt phẳng Maple khai báo với cú pháp chức sau: Cú pháp plane(P, [A, v] ) Chức Khai báo P mặt phẳng qua điểm A có pháp vectơ v plane(p, [A, dseg1]) Khai báo P mặt phẳng qua điểm A có đoạn thẳng đònh hướng plane(p, [dseg1, dseg2]) Khai báo P mặt phẳng qua điểm A có hai đoạn thẳng đònh hướng dseg1 dseg2 plane(P, [l1, l2] ) Khai báo P mặt phẳng qua hai đường thẳng l1 l2 plane(P, [A, B, C] ) Khai báo P mặt phẳng qua ba điểm A, B, C plane(P, [A, l1, l2] ) Khai báo P mặt phẳng qua điểm A song song với hai đường thẳng l1 l2 Plane(P,a*x + b*y +c*z + d = 0,[x, y, z] Khai báo P mặt phẳng có phương trình a*x + b*y +c*z + d = Parallel(P, M, alpha) Khai báo P mặt phẳng qua điểm M song song với mặt phẳng alpha Parallel(P, M, l) Khai báo P mặt phẳng qua điểm M song song với đường thẳng l Parallel(P, l1, l2) Khai báo P mặt phẳng chứa đường thẳng l1 song song với đường thẳng l2 parallel(w, u, v) Parameters w - name of the object to be created u - point or a line v - line or plane; v can be a plane only if u is a point Description • If u is a point and v is a line (or plane), the parallel(w, u, v) function defines w as the line (or plane) that passes through u and is parallel to v • If u is a line, and v is a line, the parallel(w, u, v) function defines w as the plane that contains u and is parallel to v Một vài cách xác đònh vector pháp tuyến mặt phẳng: Cho mặt phẳng (P) có phương trình ax + by + cz + d = vector pháp tuyến (P) xác đònh lệnh > NormalVector(P); Mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng qua hai điểm A, B Thì vector pháp tuyến (P) vector phương đường thẳng AB Để xác đònh vector phương đường thẳng có tên AB, ta dùng lệnh > ParallelVector(AB); Ví du Viết phương trình tham số đường thẳng AB phương trình mặt phẳng qua điểm A nhận vector AB làm vector pháp tuyến > point(A,1,2,3); A > point(B,4,5,6); B > v:=dsegment(AB,[A,B]); v := AB > line(Delta,[A,v],t); ∆ > Equation(Delta); [ + t, + t, + t ] > plane(P,[A,v]); P > Equation(P,[x,y,z]); −18 + x + y + z = Ví dụ Viết phương trình mặt phẳng qua điểm M0(1; – 2; 1) vuông góc với đường thẳng  x − y + z − = 0,   x + y − z + = Chú ý vector phương đường thẳng vector pháp tuyến mặt phẳng Lệnh [>ParallelVector(D); để xác đònh vectơ phương đường thẳng D [> plane(P1, x-2*y + z - = 0, [x, y, z]); [> plane(P2, x + y – z + = 0, [x, y, z]), point(M0,1,-2,1); P1, P2 , M0 [> line(D, [P1, P2]); D [> v:=ParallelVector(D); v := [ 1, 2, ] [> Equation(plane(P, [M0, v], [x, y, z])); x+2y+3z=0 Ví dụ 3: Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A(3; – 1; 2), B(4; – 1; – 1) C(2; 0; 2) [> point(A, 3, -1, 2), point(B, 4, -1, -1), point(C, 2, 0, 2); A, B, C [> plane(ABC,[A,B,C],[x,y,z]); ABC [> Equation(ABC); −8 + x + y + z =  x = 3t + 1,  Ví dụ :Viết phương trình mặt phẳng qua đường thẳng  y = 2t + 3,  z = −t −  2 x − y + z − = 0,  x + y − z − = song song với đường thẳng  ĐS 13x – 14y + 11z + 51 = [> line(L1,[3*t+1,2*t+3,-t-2],t): plane(P1,2*x-y+z-3=0,[x,y,z]): plane(P2,x+2*y-z-5=0,[x,y,z]): line(L2,[P1,P2]): parallel(P,L1,L2): Equation(P); Ví dụ Viết phương trình mặt phẳng qua điểm M1(1; 2; – 3) song song với đường thẳng x −1 y + z − x + y − z + = = , = = −3 3 −2 −1 ĐS 9x + 11y + 5z – 16 = [> line(D1, [point(A, 1, -1, 7), [2,-3,3]]); [> line(D2, [point(B, -5, 2, -3), [3,-2,-1]]); [> point(M1, 1, 2, -3); D1, D2, M1 [> plane(P, [M1, D1, D2]); P [> Equation(P, x, y, z]); −16 + x + 11 y + z = Ví dụ 6: Chứng minh bốn điểm A(1; 2; – 1), B(0; 1; 5), C(–1; ; 1), D(2; 1; 3) nằm mặt phẳng Prove that the four points A(1; 2; – 1), B(0; 1; 5), C(–1; ; 1), D(2; 1; 3) lies in the same plane * Cách 1: [> point(A, 1, 2, -1), point(B, 0, 1, 5), point(C, -1, 2, 1), point(D, 2, 1, 3); A, B, C, D [> AreCoplanar(A,B,C,D); true * Cách 2: [> point(A,1,2,-1), point(B,0,1,5), point(C,-1,2,1), point(D,2,1,3); A, B, C, D [> plane(P,[A,B,C],[x,y,z]); P [> Equation(P); 20 − x − 10 y − z = [> IsOnObject(D,P); true Lệnh IsOnObject(D, P) ; để kiểm tra xem điểm P có nằm mặt phẳng P hay không ? Ví dụ : Xác đònh giá trò l m dể hai mặt phẳng có phương trình sau song song nhau: mx + 3y – 2z – = 0, 2x – 5y – lz = [> plane(P1,m*x+3*y-2*z-1=0,[x,y,z]),plane(P2,2*x-5*y-l*z=0,[x,y,z]); P1 , P2 [> AreParallel(P1,P2,'cond'); FAIL [> cond; &and ( −3 l − 10 = 0, −4 + m l = 0, −5 m − = ) [> solve({-3*l-10 = 0,-4+m*l = 0,-5*m-6 = 0},{m,l}); {m = -6 -10 ,l= } Ví dụ Viết phương trình mặt phẳng qua điểm A(1,2,3) vuông góc với hai mặt phẳng (P1): x+ y + z – = (P2): 2x + 3y + 4z - = [> point(A, 1, 2, ); A 10 v:=convert(NormalVector(P),Vector): sol:=solve([DotProduct(A-B,v,conjugate = false)=0, Norm(A-B,2) =3], [t,m]); coordinates(point('A',subs(sol[1][1],Equation(d1)))): coordinates(point('B',subs(sol[1][2],Equation(d2)))): Equation(line(l1,[A,B],s)); sol := [ [ t = -1, m = ] ] [ − s, −1 + s, + s ] Bài tốn Cho mặt phẳng (P), điểm A đường thẳng d Viết phương trình đường thẳng qua A cắt d B, cắt P C cho vector(AC) + 2vector(AB) = vector(0) > restert: restart;with(geom3d): line(d,[t-3,t-2,t-1],t): B:=: A:=: C:=: v:=C-A+2*(B-A); sol:=solve([seq(v[i]=0,i=1 3)]); point(E,subs(sol[1],Equation(d))): coordinates(E); convert(A,list): point('A',op(%)): Equation(line(AE,[E,A],t));  x−3+2t    v :=  y + t −  x + y − + t   sol := { t = 1, x = 1, y = } [ -2, -1, ] [ t − 2, t − 1, t ] Thử sức trước kì thi, Đề số 5, Báo THTT, 2/2010 > restert:with(geom3d): line(d,[2*t+3,4*t+2,t+6],t): B:=: A:=: 81 C:=: v:=C-A+2*(B-A); sol:=solve([seq(v[i]=0,i=1 3)]); point('B',subs(sol[1],Equation(d))): coordinates(B); convert(A,list): point('A',op(%)):Equation(line(AB,[B,A],t));  x+9+4t    v :=  y + t +  2 x − y + + t   sol := { t = , x = -19, y = -24 }  8, 12, 17      Bài tốn Cho mặt cầu (S) mặt phẳng (P) Tìm toạ độ điểm M (S) cho khoảng cách từ M đến  − t, 12 − 12 t, 17 − 13 t    2   (P) nhỏ nhất, lớn Problem Find the coordinates of the point M on the sphere (S): x^2 + y^2 + z^2-2*x+4*y+2*z-3=0 such that the distance from the point M to the plane 2*x-y+2*z-14=0 is the smallest, the largest > restart;with(geom3d):sphere(S,x^2 + y^2 + z^2-2*x+4*y+2*z-3=0, [x,y,z]): point(C,coordinates(center(S))): plane(P,2*x-y+2*z-14=0,[x,y,z]): n:=NormalVector(P): line(Delta,[C,n],t): Eq:=Equation(Delta): sol:=solve([x=Eq[1], y = Eq[2], z = Eq[3], Equation(S)],[x,y,z,t]); coordinates (point(M1, rhs(op(1,sol[1])), rhs(op(2,sol[1])), rhs(op(3,sol[1])))); distance(M1,P); coordinates(point(M2, rhs(op(1,sol[2])), rhs(op(2,sol[2])), rhs(op(3,sol[2])))); distance(M2,P); 82 sol := [ [ x = -1, y = -1, z = -3, t = -1 ], [ x = 3, y = -3, z = 1, t = ] ] [ -1, -1, -3 ] [ 3, -3, ] > restart;with(geom3d):sphere(S,x^2 + y^2 + z^2-6*x+4*y-2*z+5=0, [x,y,z]): point(C,coordinates(center(S))): plane(P,x + 2*y+2*z+11=0,[x,y,z]): n:=NormalVector(P): line(Delta,[C,n],t): Eq:=Equation(Delta): sol:=solve([x=Eq[1], y = Eq[2], z = Eq[3], Equation(S)],[x,y,z,t]); coordinates (point(M1, rhs(op(1,sol[1])), rhs(op(2,sol[1])), rhs(op(3,sol[1])))); distance(M1,P); coordinates(point(M2, rhs(op(1,sol[2])), rhs(op(2,sol[2])), rhs(op(3,sol[2])))); distance(M2,P); sol := [ [ x = 2, y = -4, z = -1, t = -1 ], [ x = 4, y = 0, z = 3, t = ] ] [ 2, -4, -1 ] [ 4, 0, ] > restart;with(geom3d):sphere(S,x^2 + y^2 + z^2-6*x+4*y-2*z-2=0, [x,y,z]): point(C,coordinates(center(S))): plane(P,2*x +y-2*z+22=0,[x,y,z]): n:=NormalVector(P): line(Delta,[C,n],t): Eq:=Equation(Delta): sol:=solve([x=Eq[1], y = Eq[2], z = Eq[3], Equation(S)],[x,y,z,t]); coordinates (point(M1, rhs(op(1,sol[1])), rhs(op(2,sol[1])), rhs(op(3,sol[1])))); 83 distance(M1,P); coordinates(point(M2, rhs(op(1,sol[2])), rhs(op(2,sol[2])), rhs(op(3,sol[2])))); distance(M2,P); -10 11 -4 17 -2 -5 sol :=   x = , y = , z = , t = ,  x = , y = , z = , t =   3 3  3 3   1, -10, 11    3 3   17, -2, -5     3 3 12 > restart;with(geom3d):sphere(S,(x-1)^2 + (y+2)^2 + (z - 3)^2 =25, [x,y,z]): point(C,coordinates(center(S))): plane(P,3*x - 4*z + 19=0,[x,y,z]): n:=NormalVector(P): line(Delta,[C,n],t): Eq:=Equation(Delta): sol:=solve([x=Eq[1], y = Eq[2], z = Eq[3], Equation(S)],[x,y,z,t]); coordinates (point(M1, rhs(op(1,sol[1])), rhs(op(2,sol[1])), rhs(op(3,sol[1])))); distance(M1,P); coordinates(point(M2, rhs(op(1,sol[2])), rhs(op(2,sol[2])), rhs(op(3,sol[2])))); distance(M2,P); sol := [ [ x = 4, y = -2, z = -1, t = ], [ x = -2, y = -2, z = 7, t = -1 ] ] [ 4, -2, -1 ] [ -2, -2, ] Đoạn mã sau cần lệnh > restart:extrema(sqrt((X-x)^2+(Y-y)^2+(Z-z)^2),{x^2 + y^2 + z^22*x+4*y+2*z-3=0, 2*X-Y+2*Z-14=0},{X,Y,Z,x,y,z},'s'), s; 84 11 -10 ,Y= , Z = , x = -1, y = -1, z = -3 }, 3 11 -10 {X = , Y = , Z = , x = 3, y = -3, z = } } 3 { 1, }, { { X = > restart:extrema(sqrt((X-x)^2+(Y-y)^2+(Z-z)^2),{x^2 + y^2 + z^2 + 2*x - 4*y - 2*z + = 0, X - 2*Y + 2*Z - = 0},{X,Y,Z,x,y,z},'s'), s; { 1, }, { {X = -1 -4 -1 -2 , Y = , Z = , x = , y = , z = }, { X = , Y = , Z = , x = , y = , z = } 3 3 3 3 3 3 } Bài tốn Tìm điểm M thuộc d1, N thuộc d2 cho đoạn thẳng MN nhỏ Tính khoảng cách ngắn > restart:extrema(sqrt((X-x)^2+(Y-y)^2+(Z-z)^2),{x = y +3,x = (z-2)/(2), (X-1)/3 = (Y-5)/2, (Y-5)/2 =-Z },{X,Y,Z,x,y,z},'s'), s; { 35 }, { { X = -2, Y = 3, Z = 1, x = 1, y = -2, z = } } > restart:extrema(sqrt((X-x)^2+(Y-y)^2+(Z-z)^2),{x/3 = y +3,x/3 = (z -2)/2, (X +1)/3 = Y, Y = Z},{X,Y,Z,x,y,z},'s'), s; { 10 }, { { X = -7, Y = -2, Z = -2, x = -6, y = -5, z = -2 } } > restart:extrema(sqrt((X-x)^2+(Y-y)^2+(Z-z)^2),{(x-1)/2 = (y +3)/3,(x1)/2 = (z -2)/2, (X +1)/3 = (Y-1)/4, (Y-1)/4 = Z},{X,Y,Z,x,y,z},'s'), s; { 14 3 }, { { X = -5, Y = -13 -4 -5 -2 , Z = , x = , y = -7, z = } } 3 3 Bài tốn Tìm toạ độ điểm M đường thẳng x = 2t + 1, y = 4t, z = – t – cho tam giác AMB vng M, với A(4; –1; 1) B(2; 5; 0) > restart;with(LinearAlgebra): A:=: B:=: M:=: u:=A-M: v:=B-M: sol:=solve(DotProduct(u,v,conjugate=false)=0,{t}); 'M[1]'=subs(sol[1],M); 'M[2]'=subs(sol[2],M); sol := { t = }, { t = } 85  1   M1 =  0  -1    3   M2 =  4  -2   Bài tốn Cho hình vng MNPQ có M P Tìm toạ độ đỉnh Q biết N nằm mặt phẳng cho trước Problem Let MNPQ be a square Find the other two vertices, knowing that, the vertices M(5; 3; -1), P(2; 3; -4) and N lies on the plane x + y - z - = > restart: with(LinearAlgebra): M:=: P:=: N:=: A:=DotProduct(M-N,P-N,conjugate =false): B:=Norm(M-N,2)=Norm(P-N,2): sol:=solve([x+y-z-6=0,A=0,B],[x,y,z]):T:=(M+P)/2:for i to nops(sol) N[i]:= end do; for i to Q[i] = 2*T-N[i] end do;  2   N :=  3  -1    3   N :=  1  -2    5   Q =  3  -4    4   Q =  5  -3   Bài tốn Cho hai đđiểm A, B Tìm điểm C thuộc mặt phẳng (P) cho tam giác ABC cân C có diện tích 2sqrt(17) > restart:with(LinearAlgebra): A:=: 86 B:=: C:=: M:=(A+B)/2: solve([Norm(C-A,2) =Norm(C-B,2), x-y-z-1=0,1/2*Norm(A-B,2)*Norm(CM,2)=2*sqrt(17)]); { x = 4, y = 3, z = }, { x = 7, y = 3, z = } Cho hai điểm A, B Tìm điểm C thuộc mặt phẳng P cho tam giác ABC vng cân C > restart: with(LinearAlgebra): A:=: B:=: C:=: u:=DotProduct(A-C,B-C,conjugate = false): solve([Norm(A-C,2)=Norm(B-C,2),u=0,x-y-z-4=0],[x,y,z]);   x = 14, y = 13, z = -11 , [ x = 3, y = 1, z = -2 ]      3    > restart: with(geom3d): sphere(S,x^2 + y^2 + z^2 -2*x + 2*z + = 0,[x,y,z]): point(M,1, 2,1): point(N,3, 1, -1): point(C,coordinates(center(S))): plane(alpha,[M,N,C],[x,y,z]): Equation(line(MN,[M,N],t)): a:=ParallelVector(MN): plane(beta,[C,a],[x,y,z]): intersection(Delta,alpha,beta): Eq:=Equation(Delta,t): solve([x = Eq[1],y=Eq[2],z=Eq[3],Equation(S)],[x,y,z,t]);   x = 5, y = 2, z = -2, t = ,  x = 1, y = -2, z = -4, t =        3   3    Bài tốn Cho mặt cầu S hai điểm M, N Tìm (S) điểm cho diện tích tam giác KMN nhỏ nhất, lớn Chú ý lệnh allvalues(%); > restart: with(geom3d): 87 sphere(S,x^2 + y^2 + z^2 -2*x + 2*z + = 0,[x,y,z]): point(M,1, 2,1): point(N,3, 1, -1): point(C,coordinates(center(S))): plane(alpha,[M,N,C],[x,y,z]): Equation(line(MN,[M,N],t)): a:=ParallelVector(MN): plane(beta,[C,a],[x,y,z]): intersection(Delta,alpha,beta): Eq:=Equation(Delta,t): solve([x = Eq[1],y=Eq[2],z=Eq[3],Equation(S)],[x,y,z,t]);   x = 5, y = 2, z = -2, t = ,  x = 1, y = -2, z = -4, t =        3   3    > restart: with(geom3d): sphere(S,(x-1)^2 + (y+2)^2 + (z-2)^2 = 9,[x,y,z]): point(M,7, -6,-3): point(N,3, 6, -1): point(C,coordinates(center(S))): plane(alpha,[M,N,C],[x,y,z]): Equation(line(MN,[M,N],t)): a:=ParallelVector(MN): plane(beta,[C,a],[x,y,z]): intersection(Delta,alpha,beta): Eq:=Equation(Delta,t): solve([x = Eq[1],y=Eq[2],z=Eq[3],Equation(S)],[x,y,z,t]);  [ x = 3, y = -1, z = 0, t = ],  x = -1, y = -3, z = 4, t =      164     > restart: with(geom3d): sphere(S,x^2 + y^2 + z^2 -2*x + 2*z + = 0,[x,y,z]): point(M,1, 2,-1): point(N,3, 1, -1): point(C,coordinates(center(S))): plane(alpha,[M,N,C],[x,y,z]): Equation(line(MN,[M,N],t)): a:=ParallelVector(MN): plane(beta,[C,a],[x,y,z]): intersection(Delta,alpha,beta): Eq:=Equation(Delta,t): 88 solve([x = Eq[1],y=Eq[2],z=Eq[3],Equation(S)],[x,y,z,t]): allvalues(%); 5     x = −  , ,y=− , z = -1, t = − + 5 20    5     x = +  ,y= , z = -1, t = − − 5 20    Bài tốn Cho đường thẳng (d), mặt phẳng (P) (Q) với (P) vng góc (Q) Tìm toạ độ giao điểm N (d) (P) Viết phương trình mặt cầu có tâm I thuộc mặt phẳng (Q), tiếp xúc với mặt phẳng (P) M điểm M cho tam giác MIN vng cân restart;with(geom3d): point(M,1,2,1): plane(P,x+y-3=0,[x,y,z]): plane(Q,2*x-2*y+z-1=0,[x,y,z]): line(d,[1+2*t,1-t,t],t): n:=NormalVector(P): line(Delta,[M,n],t): Eq:=Equation(Delta): intersection(N,d,P): coordinates(N): r:=distance(M,N): Equation(sphere(S,[M,r],[x,y,z])): sol:=solve([Equation(S),x= Eq[1],y=Eq[2],z=Eq[3]],[x,y,z,t]): if nops(sol)=1 then sol:=[allvalues(op(sol))] else sol:=allvalues(sol) fi; point(T1,rhs(op(1,sol[1])), rhs(op(2,sol[1])),rhs(op(3,sol[1]))): R1:=distance(T1,M): Equation(sphere(S1,[T1,R1],[x,y,z])); S[1]:=Student[Precalculus] [CompleteSquare](Equation(S1)); point(T2,rhs(op(1,sol[2])), rhs(op(2,sol[2])),rhs(op(3,sol[2]))): R2:=distance(T2,M): Equation(sphere(S2,[T2,R2],[x,y,z])); S[2]:=Student[Precalculus] [CompleteSquare](Equation(S2)); sol := [ [ x = -1, y = 0, z = 1, t = -2 ], [ x = 3, y = 4, z = 1, t = ] ] −6 + x2 + y2 + z2 + x − z = S := ( z − ) + ( + x )2 − + y2 = 18 + x2 + y2 + z − x − y − z = S := ( z − ) + ( y − ) + ( x − )2 − = > restart;with(geom3d): point(M,1,2,1): plane(P,x+y-3=0,[x,y,z]): plane(Q,2*x-2*y+z-1=0,[x,y,z]): line(d,[1+2*t,1-t,3*t],t): n:=NormalVector(P): line(Delta,[M,n],t): Eq:=Equation(Delta): 89 intersection(N,d,P): coordinates(N): r:=distance(M,N): Equation(sphere(S,[M,r],[x,y,z])): sol:=solve([Equation(S),x= Eq[1],y=Eq[2],z=Eq[3]],[x,y,z,t]): if nops(sol)=1 then sol:=[allvalues(op(sol))] else sol:=allvalues(sol) fi; point(T1,rhs(op(1,sol[1])), rhs(op(2,sol[1])),rhs(op(3,sol[1]))): R1:=distance(T1,M): Equation(sphere(S1,[T1,R1],[x,y,z])); S[1]:=Student[Precalculus] [CompleteSquare](Equation(S1)); point(T2,rhs(op(1,sol[2])), rhs(op(2,sol[2])),rhs(op(3,sol[2]))): R2:=distance(T2,M): Equation(sphere(S2,[T2,R2],[x,y,z])); S[2]:=Student[Precalculus] [CompleteSquare](Equation(S2)); sol := [ [ x = + , y = + , z = 1, t = ], [ x = − , y = − , z = 1, t = − ] ] 2 x2 + y2 + z2 + ( −2 − ) x + ( −4 − ) y − z + ( + ) + ( + ) − 11 = ( −2 − ) ( −4 − ) S := ( z − ) + ( y − − ) + ( x − − ) − 12 − − 4 2 2 + (2 + ) + (1 + ) = 2 x2 + y2 + z2 + ( −2 + ) x + ( −4 + ) y − z + ( − ) + ( − ) − 11 = ( −2 + ) ( −4 + ) S := ( z − ) + ( y − + ) + ( x − + ) − 12 − − 4 2 2 + (2 − ) + (1 − ) = > restart;with(geom3d): with(LinearAlgebra): M:= : line(Delta,[2*t+2,-t-1,t+1],t): plane(P,x -y -z - = 0,[x,y,z]): a:=convert(ParallelVector(Delta),Vector): n:=convert(NormalVector(P),Vector): A:=: v:=DotProduct(A-M, a,conjugate = false): B:=: # B lies on Delta d:=Norm(CrossProduct(A-B, a), 2)/Norm(a,2): sol:=solve([x -y -z - = 0, v = 0, d = sqrt(33/2)]); coordinates(point('A1',op([seq(rhs(sol[1,i]),i=1 3)]))); coordinates(point('A2',op([seq(rhs(sol[2,i]),i=1 3)]))); sol := { x = -2 -55 37 ,y= , z = }, { x = 4, y = , z = } 14 14 2 90  -2, -55, 37     14 14   4, 5,     2 Problem Let (S): x^2 + y^2 + z^2 -2*x +2*z + = be a sphere and M(1, 2, -1), N(3, 1, -1) be two points Find the coordinates of the point K lies on the sphere (S) such that the triangle KHN has minimum area > restart: with(geom3d): sphere(S,x^2 + y^2 + z^2 -2*x + 2*z + = 0,[x,y,z]): point(M,1, 2,1): point(N,3, 1, -1): point(C,coordinates(center(S))): plane(alpha,[M,N,C],[x,y,z]): Equation(line(MN,[M,N],t)): a:=ParallelVector(MN): plane(beta,[C,a],[x,y,z]): intersection(Delta,alpha,beta): Eq:=Equation(Delta,t): solve([x = Eq[1],y=Eq[2],z=Eq[3],Equation(S)],[x,y,z,t]);   x = 5, y = 2, z = -2, t = ,  x = 1, y = -2, z = -4, t =        3   3    Problem In the plane 2*x -3*y +3*z -17 = 0, find a point M such that the sum of its distances from the poits A(3, -4, 7) and B(-5, -14, 17) will have the least value > restart:with(geom3d): point(A,3,-4,7): point(B,-5,-14,17): plane(P,2*x - 3*y +3*z -17=0,[x,y,z]): reflection(Q,A,P): line(BQ,[B,Q]): coordinates(intersection(M,BQ,P)); [ -2, -2, ] Problem Write the equation of the plane (P) passing through the line (d): x = -t -1, y = t + 3, z = 2*t + 2, (P) cuts the axis Ox at A and the axis Oy at B (A, B different form origin O) so that OA = 2OB > restart: f:=(x,y,z)->a*x+b*y+c*z+d: A:=f(m,0,0): B:=f(0,n,0): C:=f(-1,3,2): v:=-a+b+2*c: sol:=solve([A=0,B=0,C=0,v=0,abs(m) = 2*abs(n),a^2+b^2+c^2=1, a>0, d0],[a, b, c, d, m, n]): for i to nops(sol) subs(sol[i],f(x,y,z)=0) end do; 21 x 21 y 21 z 21 + − − =0 21 21 21 21 91 29 x 29 y 29 z 29 − + + =0 29 29 29 29 Problem Let A(1,-1,-1), B(2,1,2), C(1, 3, 1) be three points and Delta: x = -t, y = -t, z = t be a line Write the equation of the sphere (S), knowing that center of (S) lies on the line Delta, (S) passing the point A and cuts the plane passing through the three points A, B, C cut (S) a circle has least radius > restart: with(geom3d): a:=[-t, -t, t]: point(T, a): point(A, 1, -1, -1): point(B, 2, 1, 2): point(C, 1, 3, 1): plane(ABC, [A,B,C], [x, y, z]): d:= distance(T, ABC): R:= distance(T, A): r:= R^2 - d^2; simplify(r) assuming real; sol:= minimize(r, location); Sol:= op(sol[2])[1]; point(T, subs(Sol, a)): R:= subs(Sol, R): Eq:=lhs(Equation(sphere(S, [T,R], [x, y, z]))); (x+coeff(Eq,x)/2)^2+(y+coeff(Eq,y)/2)^2+ (z+coeff(Eq,z)/2)^2=sqrt((coeff(Eq,x)^2+coeff(Eq,y)^2+coeff(Eq,z)^2)/4 -tcoeff(Eq))^`2`; # Canonical equation of S r := + t + t − 14 t + 10 84 38 − t + t2 21 3 8 sol := , {  { t = },  }  7 Sol := { t = } Eq := −5 + x2 + y + z2 + x + y − z ( x + ) + ( y + )2 + ( z − )2 = ( 2 ) Problem Write the equation of the line passing through the point A(2, 2, -5), parallel to the plane (P): 2x +3y -z - 17 = and cut the line Delta: x = -2 +3*t, y = 4-t, z = + 2*t First way > restart: with(geom3d): point(A,2,2,-5): line(Delta,[-2+3*t,4-t,5+2*t],t): plane(P,2*x+3*y-z-17=0,[x,y,z]): parallel(Q,A,P): Equation(Q): coordinates(intersection(B,Delta,Q)): Equation(line(AB,[A,B],t)); [ + 32 t, − 10 t, −5 + 34 t ] Second way > restart: with(geom3d): with(LinearAlgebra):A:=: M:=: plane(P,2*x + 3*y - z - 17 = 0,[x,y,z]): 92 a:= convert(NormalVector(P),Vector): v:=M-A: solve(DotProduct(v,a,conjugate=false)=0,{m}): assign(%): 'M'=M: N:=: [seq(N[i]=(A + (M-A)*t)[i],i=1 3)]; [ x = + 32 t, y = − 10 t, z = −5 + 34 t ] Problem: Let (d): x = 2*t + 3, y = t -2, z = -t -1 be a line and (P): x+ y + z + = be a plane Write the equation of a line Delta lies in the plane (P), Delta perpendicular to the line (d) and the distance from point M (1,-3, 0) to Delta equal to sqrt (42) > restart; with(geom3d): line(d,[2*t + 3, t-2, -t-1],t): plane(P,x + y + z + = 0,[x,y,z]): coordinates(intersection(M,d,P)): with(LinearAlgebra): H:=: a:=convert(ParallelVector(d),Vector): n:=convert(NormalVector(P),Vector): v:=CrossProduct(a,n): m:=convert(coordinates(M),Vector): Sol:=solve([x + y + z + = 0, DotProduct(m - H, v,conjugate=false)=0, Norm(m - H,2)^2 = 42]): H1:=[seq(rhs(Sol[1,i]),i=1 3)]: H2:=[seq(rhs(Sol[2,i]),i=1 3)]: b:=convert(H1,Vector): c:=convert(H2,Vector): A:=: seq(A[i]=(b + v*t)[i],i=1 3)]; seq(A[i]=(c + v*t)[i],i=1 3)]; [ x = + t, y = −2 − t, z = −5 + t ] [ x = −3 + t, y = −4 − t, z = + t ] Bài tốn Cho hai mặt phẳng (P) (Q), đường thẳng d Viết phương trình đường thẳng Delta qua điểm A vng góc với d đồng thời cắt (P), (Q) M, N cho A trung điểm MN > restart: with(LinearAlgebra): with(geom3d): point(A,1,-1,-1): point(M,x,y,z): plane(P,x + z - =0,[x,y,z]): plane(Q,y + z + = 0,[x,y,z]): f:=unapply(lhs(Equation(Q)),x,y,z): # New command reflection(N,M,A): coordinates(N): intersection(Delta,P,Q): a:=convert(ParallelVector(Delta),Vector): A:=convert(coordinates(A),Vector): M:=convert(coordinates(M),Vector): v:=DotProduct(a,A-M): C:=coordinates(N): n:=NormalVector(Q): 93 T:=f(C[1],C[2],C[3]): sol:=solve([Equation(P),v=0,T=0]); point('M',rhs(sol[1]),rhs(sol[2]),rhs(sol[3])): coordinates(M); point('A',A[1],A[2],A[3]): coordinates(A): Equation (line(AM,[A,M],t)); sol := { x = 2, y = 0, z = } [ 2, 0, ] [ + t, −1 + t, −1 + t ] > restart: with(LinearAlgebra): with(geom3d): point(A,1,-1,-1): point(M,x,y,z): plane(P,x + y + 2*z - =0,[x,y,z]): plane(Q,2*x -y -3*z + = 0,[x,y,z]): f:=unapply(lhs(Equation(Q)),x,y,z): reflection(N,M,A): coordinates(N): line(Delta,[-t + 2, 2*t - 1, -t],t): a:=convert(ParallelVector(Delta),Vector): A:=convert(coordinates(A),Vector): M:=convert(coordinates(M),Vector): v:=DotProduct(a,A-M): C:=coordinates(N): n:=NormalVector(Q): T:=f(C[1],C[2],C[3]): sol:=solve([Equation(P),v=0,T=0]); point('M',rhs(sol[1]),rhs(sol[2]),rhs(sol[3])): coordinates(M); point('A',A[1],A[2],A[3]): coordinates(A): Equation (line(AM,[A,M],t)); sol := { x = 6, y = 1, z = -2 } [ 6, 1, -2 ] [ + t, t − 1, −1 − t ] > restart: with(LinearAlgebra): with(geom3d): point(A,1,2,3): point(M,x,y,z): plane(P,x + y + 2*z - =0,[x,y,z]): plane(Q,2*x -y -3*z + = 0,[x,y,z]): f:=unapply(lhs(Equation(Q)),x,y,z): reflection(N,M,A): coordinates(N): line(Delta,[t + 2, t - 1, -t],t): 94 a:=convert(ParallelVector(Delta),Vector): A:=convert(coordinates(A),Vector): M:=convert(coordinates(M),Vector): v:=DotProduct(a,A-M): C:=coordinates(N): n:=NormalVector(Q): T:=f(C[1],C[2],C[3]): sol:=solve([Equation(P),v=0,T=0]); point('M',rhs(sol[1]),rhs(sol[2]),rhs(sol[3])): coordinates(M); point('A',A[1],A[2],A[3]): coordinates(A): Equation (line(AM,[A,M],t)); sol := { x = -3, y = 4, z = } [ -3, 4, ] [ − t, + t, − t ] > 95