Do vËy gi¸o viªn cÇn dÉn d¾t häc sinh nhËn biÕt c¸c thµnh phÇn ®ã trong mçi bµi to¸n tÝnh tÝch ph©n.. Gi¸o viªn cho häc sinh ph¸t hiÖn c¸c dÊu hiÖu ®Æc trng khi chän hµm u(x) trong phÐp[r]
(1)Tính tích phân phơng pháp đổi biến số
Trong phơng pháp đổi biến số để tính tích phân I = ( ) b a
f x dx
ta thêng
dïng ẩn phụ, quy trình gồm bớc:
Bớc 1: Chän x = u(t) hc t = v(x) víi u(t) v(x) hàm số thích hợp
Bớc 2: Lấy vi phân dx = u(t)dt dt =v(x)dx
Bớc 3: Biểu thị f(x)dx theo t dt giả sử g(t)dt sau tính cận α,β tơng ứng theo a b
B4 : TÝnh tÝch ph©n I= g t dt( )
thay cho việc tính tích phân
Nh vấn đề toán dạng vận dụng đợc phơng pháp đổi biến số việc chọn ẩn phụ dựa vào dấu hiệu gì? ta phải tìm hiểu tốn cho để phát điều Việc đặt ẩn phụ đa dạng tuỳ thuộc vào hàm số cho dới dấu tích phân; nhiều cịn phụ thuộc vào cận a b Dới số dấu hiệu gợi ý đặt ẩn phụ dạy học sinh giải tập tính tích phân :
* Phép đổi biến số dạng 1:
Khi đặt x = u(t): Cần ý vấn sau:
+ f(x) hàm số liên tục đoạn [a; b]
+ x=u(t) l hm n điệu, khả vi liên tục đoạn [α; β] + Hàm số hợp f(u(t)) xác định đoạn [α; β]
+ u(α) = a ; u(β) = b
Khi ta có: ( ) ( ( )) '( ) b
a
f x dx f u t u t dt
ý nghĩa việc đổi biến số tốn:
+ Thay viƯc tÝnh tÝch ph©n khã tích phân dễ
+ Phỏt hin đặt x = u(t) cho vấn đề then chốt phơng pháp giải tốn tính tích phân
Giáo viên cho học sinh nhận xét giả thiết để tăng cờng khả phát lời giải dựa số gợi ý:
(2)- Các dạng quen thuộc để vận dụng phơng pháp đổi biến số Sau số dấu hiệu đổi biến số cần rèn luyện cho học sinh:
STT Dấu hiệu hàm dới dấu tích phân
Gợi ý cách đổi biến số giải toán
1 f( a2 x2
) x= | a |.sint hc x=| a |.cost f( x2 a2
) x
sin
a t
hc x a
cost
3 f( a2 x2
) x= | a |.tant hc x=| a |.cott f( a xa x )
f( a x a x
)
x=a.cos2t
Một số ví dụ khai thác giả thiết tốn tính tích phân bằng phép i bin s dng 1
Bài toán Tính tÝch ph©n sau:
1
2
2
1
I x dx
HD Giải: Vấn đề then chốt toán dạng đặt ẩn phụ nào? lại nghĩ đến việc đặt ẩn phụ?
Giáo viên dẫn dắt học sinh dựa vào đặc điểm hàm số dới dấu tích phân cụ thể hàm số y=
1 x có tập xác định [ -1;
1 ] ta liên tởng đến tập giá trị hàm số lợng giác sinx cosx Chẳng hạn cách đặt ẩn phụ dẫn đến việc đổi biến số tính tớch phõn nh sau:
Đặt x = sint, ta cã dx = costdt víi t ;
Khi đó:
2
2
6
1 sin cos
I t t dt
2
6
cos cos t t dt
2
6
cos t dt
2
6
1
cos t
dt
6
sin
( ) /
2
t t
(3)Bài toán Tính tích phân sau: 2
0
a
I x a x dx với a >0 HD Giải: Bài tốn tích phân có biểu thức hàm số phức tạp tổng quát trớc hết phải cho học sinh thấy thành phần cần quan tâm đến tìm hớng giải tốn này, có liên hệ đợc với tốn hay khơng? từ học sinh liên hệ biểu thức
1 x vµ
2
a x gi¶ thiÕt cho a >
Đặt x= a.sint ta có dx = a.cost.dt víi t 0;
2
khi đó: 2 2
0
.sin sin cos
a
I a t a a t a t dt
4
0
1
(1 ) .( sin ) /
8 16
a a a
cos t dt t t
Bµi toán Tính tích phân sau:
1
2
0 1
dx I
x
HD Giải: Với toán hàm số dới dấu tích phân ta liên hệ với c«ng thøc:
2 1 tan
cos
vµ (tan)’ =
2 cos
Nhờ dấu hiệu ta có suy nghĩ tới việc đổi bin s nh sau:
Đặt x = tant ta cã dx
2 1
.dt (1 tan )t dt
cos t
víi t 0;
Khi đó:
1 4
2
0 0
1 tan .
1 1 tan 4
dx t
I dt dt
x t
(4)Bài toán Tính tích phân sau:
0
. a
a x
I dx
a x
với a >0 HD Giải: Với hàm số dới dấu tích phân với tập xác định [-a; a) ta
liên hệ với công thức : cos cot
1
a x t
t
a x cos t từ có cách đổi biến
số nh sau:
Đặt x= a.cos2t Khi x = -a th× t=
Khi x= t = Và dx = -2a.sin2t.dt
Suy ra:
4
2
2
2 cot sin
I a t t dt a cos t dt
2 2
4
1
2 (1 ) ( sin ) / ( )
2
a cos t dt a t t a
Bài toán Tính tích phân sau:
2
2
3 1
dx I
x x
HD Giải: Với hàm số dới dấu tích phân có tập xác định
( ;1) (1; ) ta cã 1
x ta liên tởng đến sinx cosx có tập giá
trị [-1; 1] ta có cách đổi biến số toán nh sau:
Đặt
cos
x
t
víi t ;
1
.sin
dx t dt cos t
(5)Suy ra:
2
6
2
.sin
1
cos
t dt cos t
I
t cos t
=
2
1
.sin sin
cos
t dt cos t
t t cost
=
4
6
6
/ 12
dt t
*Bài toán tơng tự:
Cỏc toán khai thác giả thiết với hàm số cho dới biểu thức tích phân ta hớng đến cách giải tơng tự
Bµi TÝnh tÝch ph©n sau:
1
2
. 4
x
I dx
x
HD : Đặt x= 2.cost x= 2.sint
Bài Tính tích phân sau:
2 2
0 ( )
a
dx I
a x
a>0 HD: Đặt x = a.tant
Bài Tính tích phân sau:
3
2
2
2
9
x
I dx
x
HD: Đặt 2.x3.tant
Bài TÝnh tÝch ph©n sau:
1
2
. (1 )
x
I dx
x
HD: Đặt x = tant
Bài Tính tích ph©n sau:
2
ln(1 )
x I dx
x
HD: Đặt x = tant
* Phép đổi biến số dạng 2
(6)Cần ý vấn đề sau:
f(x) hàm số liên tục đoạn [a; b] với biến là: u(a) u(b) Hàm số t = u(x) đơn điệu, khả vi liên tục đoạn [a;b]
Hàm số hợp f(u(t)) xác định đoạn [α; β] Các giá trị u(a) = ; u(b) =
Khi ta có: ( ( )) '( ) ( )
b
a
f u x u x dx f t dt
ý nghĩa việc đổi biến số tốn:
+ Thay viƯc tÝnh tÝch ph©n khã tích phân dễ
+ Phỏt hin đặt t = u(x) cho vấn đề phơng pháp giải toán
Trong phơng pháp chủ yếu học sinh xác định đợc thành phần f(u(x)), thành phần u’(x) Do giáo viên cần dẫn dắt học sinh nhận biết thành phần tốn tính tích phân
(7)Một số dấu hiệu đặt ẩn phụ dạng theo bảng gợi ý sau: STT Dấu hiệu hàm dới dấu
tÝch ph©n
Gợi ý cách đặt ẩn phụ giải toán
1 f(ax+b) t = ax+b
2 f(xn+1)xn t = xn+1
3
f( x) 1
2 x
t = x
4
f(lnx)
x
t = lnx
5 f(cosx).sinx t = cosx
6 f(sinx).cosx t = sinx
7
f(tanx) 12
cos x
t = tanx
f(cotx) 12
sin x
t =cotx
9 f(ex)ex t = ex
10
f(x
x
)(1 12 x
) t = x
x
Một số ví dụ khai thác giả thiết tốn tính tích phân bằng phép đổi biến số dạng 2:
Bài toán1 Tính tích phân sau: 2007 0(1 )
I x dx
HD Gi¶i: Do d(x+1) = dx nên vai trò x+1 tơng tù x lÊy vi ph©n
mà biết nguyên hàm x2007.
Đặt 1+x = t ta có: dt = dx, t 1;2 Khi đó:
2008
2 2007 2008
1 1
1
/
2008 2008
I t dt t
Bài toán liên hệ tới nguyên hàm hàm hợp từ dẫn đến việc tính tích phân Các thành phần khác thay đổi thành tốn khác hay ta giải tốn tổng quát sau:
TÝnh tÝch ph©n sau: b(1 ) n víi n N
a
I x dx
Bài toán Tính tích ph©n sau:
1
dx I
x x
(8)ph©n ta cã: d(x2+1) = 2x.dx suy
( 1)
2
x dx d x từ ta cú gii phỏp sau:
Đặt
1
t x Khi t2 x2 1 ; x2 t2 1, x.dx=t.dt
Suy ra:
2
1 ( ).( 1)
.ln ln
2
t t
Bài toán TÝnh tÝch ph©n sau: ln
(ln )
e x
I dx
x x
HD Gi¶i: Ta nhËn thÊy r»ng (lnx)’ =
x dễ nhận u(x) = lnx
việc lại vận dụng phơng pháp đổi biến số Đặt t = lnx t 0;1, dt 1.dx
x
Khi
2 1
1 2
2
0 0
(1 ) 1
.ln( 1) / ln
1 2
t dt d t
I t
t t
Bài toán Tính tích phân sau:
01
sin 7.sin 10
cosx dx I
x x
HD Giải: Ta nhận xét thấy hàm số dới dấu tích phân có chứa cosx lũy thừa sinx (sinx) = cosx nên ta nhận thấy:
u(x) = sinx cách giải tốn nh sau: Đặt t = sinx t 0;1
01
1 1
( ) .ln
3 5
I dt
t t
Bài toán Tính tích phân sau:
4
tan
( ) (0 < x < )
(1 tan ).cos
t x
I t dx
x x
HD Gi¶i: Ta còng nhËn thÊy r»ng (tanx)’ =
cos x Khi dễ nhận
u(x) = tanx Suy cách giải toán phơng phơng pháp đổi biến số nh sau:
§Ỉt t = tanx ta cã
2
dt dx cos x
(9)suy ra:
4
tan tan 2
2
0
1
( ) ( )
1
t t t
I t dt t dt
t t tan
1 1
( ln ) / tan tan ln tan( )
3
t t t
t t t t
t
Bài toán Tính tÝch ph©n sau: ln x dx I e
HD Giải: Vấn đề làm thức biểu thức hàm số cách đặt biến ý tởng gợi cho học sinh cho việc đổi biến số bi toỏn ny
Đặt x
1 t e
x x
t e e t
2 t dx dt t
, t 2;2
Khi đổi biến nh vấn đề chuyển biến biểu thức hàm số tích phân khơng cịn thức dễ dàng tìm đợc ngun hàm
Khi đó: 2
2
2 2
2 1 2
( ) ln / ln
1 1
t
I dt dt
t t t t
Bài toán TÝnh tÝch ph©n sau: ln x I dx x x Giải: Đặt
3 3-x 3+x 6.dx
ln dt= ( )'.dx=
3 3+x 3-x 9-x
x t
x
, t 0;ln 2
Suy ra:
2 ln2
1 ln 2
2
0 0
1 1
.ln / ln
9 12 12
x t
I dx t dt x x
Bµi toán Tính tích phân sau:
2 1 x I dx x
HD Giải: Nhờ kết quả:
2 2 1
víi x
1
x x
x x x
(x x )’ = 1 x
vµ (x x
(10)Ta cã 2 1 x I dx x = 2 2 1 x dx x x
Đặt 2
2
1 1
dt=(1- ) t =x + +2
x x
t x dx
x
t 2;5
2 Khi 5 2 2
1 (t+ 2) ( 2)
2 2 ( 2).( 2)
dt t
I dt
t t t
( Đây tích phân hàm hữu tỷ quen thuéc)
5 2
1 (5 2).(2 )
ln / = ln
2 2 2
t t
Bµi toán Tính tích phân sau:
4 11 o x I dx x
HD Giải: Dựa vào biểu thức hàm số dới dấu tích phân ta xem xét việc làm thức biểu thức hàm số mấu chốt vấn đề
Thông thờng hàm số chứa thức cách làm đặt thức làm ẩn phụ vy ta cú cỏch i bin sau õy:
Đặt t4 x t4 x , dx= 4t 3 dt víi t 0;1 Suy
3
1 2
2 2
0
(1 )
4 = (t )
1 1
t t dt t
I t dt
t t t
3 1
2
0
4.( ln(1 ) arctan ) /
3 2
t t
t t t
4.( 1.ln 1)
4
Các toán tơng tự: Bài Tính tích phân sau:
3 ( 1) x dx I x
HD: Từ biểu thức hàm số dới dấu tích phân ta dẫn đến cách đổi biến quen thuộc:
Cách 1: Đặt t= x2 +1
(11)
2
2
(2 3) 12
dx I
x x x
HD: Do (
4x 12x5 )’ =
2(2 3)
4 12
x x x
Đặt
4 12
t x x
Bài Tính tích phân sau:
2 2
0
sin cos
( a; b )
.cos sin
x x dx I
a x b x
HD: Đặt 2 2
cos sin
ta xb x
Bµi TÝnh tÝch ph©n sau:
0 cos sin
dx I
x x
HD: Đặt tan
2
x t
Bµi TÝnh tÝch ph©n sau:
0
x x e dx I
e
HD: đặt 1 x
u e
TÝnh tÝch ph©n sau:
2 cos 2sin
x dx I
x
HD: đặt t = sinx