Mot so bai toan hinh hoc 9 duong tron

Cho tam giaùc ABC coù 3 goùc nhoïn noäi tieáp trong ñöôøng troøn taâm O.Tieáp tuyeán taïi B vaø C cuûa ñöôøng troøn caét nhau taïi D.Töø D keû ñöôøng thaúng song song vôùi AB,ñöôøng na[r]

Bài 51:Cho (O), từ điểm A nằm ngồi đường trịn (O), vẽ hai tt AB AC với đường tròn Kẻ dây CD//AB Nối AD cắt đường tròn (O) E

1 C/m ABOC nội tiếp 2 Chứng tỏ AB2=AE.AD

3 C/m góc AOC· ·=ACB và ∆BDC cân 4 CE kéo dài cắt AB I C/m IA=IB

1/C/m: ABOC nt:(HS tự c/m)

2/C/m: AB2=AE.AD Chứng minh ∆ADB ∆ABE , có µ

E chung Sñ ABE· =

2

1sđ cung »

BE (góc tt dây) Sđ BDE·=

2

1sñ »

BE (góc nt chắn BE») 3/C/m AOC· ·=ACB

* Do ABOC nt⇒ AOC· ·=ABC (cùng chắn cung AC); AC = AB (t/c tt cắt nhau) ⇒ ∆ABC cân A⇒ABC· ·=ACB⇒AOC· ·=ACB

* sđ ACB·=

1sđ ¼

BEC (góc tt dây); sđ BDC· =

1sñ ¼

BEC (góc nt) ⇒ BDC·=ACB· mà ABC·=BDC· (do CD//AB) ⇒ BDC· ·=BCD ⇒ ∆BDC cân B

4/ Ta có I$ chung; IBE· ·=ECB (góc tt dây; góc nt chắn cung BE)⇒

∆IBE∆ICB⇒

IC IB IB

IE = ⇒ IB2=IE.ICu Xét ∆IAE ICA có I$ chung; sñ IAE· =

2

1sñ (» »

DB−BE) mà ∆BDC cân B⇒ » »

DB=BC⇒sñ IAE·=sñ (BC-BE) = sñ CE= sñ ECA» » 1 » · 2

⇒ ∆IAE∆ICA⇒

IA IE IC

IA = ⇒IA2=IE.IC vTừ uvàv⇒IA2=IB2⇒ IA=IB Hình

I

E

D

C B

Baøi 52:

Cho ∆ABC (AB=AC); BC=6; Đường cao AH=4(cùng đơn vị độ dài), nội tiếp trong (O) đường kính AA’

1 Tính bán kính (O)

2 Kẻ đường kính CC’ Tứ giác ACA’C’ hình gì? 3 Kẻ AK⊥CC’ C/m AKHC hình thang cân

4 Quay ∆ABC vịng quanh trục AH Tính diện tích xung quanh hình tạo

Hình bình hành Vì AA’=CC’(đường kính đường trịn)⇒AC’A’C hình chữ nhật

3/ C/m: AKHC thang cân:

¿ ta có AKC=AHC=1v⇒AKHC nội tiếp.⇒HKC=HAC(cùng chắn cung HC)

mà ∆OAC cân O⇒OAC=OCA⇒HKC=HCA⇒HK//AC⇒AKHC hình thang

¿ Ta lại có:KAH=KCH (cùng chắn cung KH)⇒

KAO+OAC=KCH+OCA⇒Hình thang AKHC có hai góc đáy nhau.Vậy AKHC thang cân

4/ Khi Quay ∆ ABC quanh trục AH hình sinh hình nón Trong đó BH bán kính đáy; AB đường sinh; AH đường cao hình nón

Sxq= 1p.d= 1.2π.BH.AB=15π V= 1B.h=

1πBH2.AH=12π

1/Tính OA:ta có BC=6; đường cao AH=4 ⇒ AB=5; ∆ABA’ vuông B⇒BH2=AH.A’H ⇒A’H= AH BH2 = ⇒AA’=AH+HA’= 25 ⇒AO= 25

Bài 53:Cho(O) hai đường kính AB; CD vng góc với Gọi I trung điểm OA Qua I vẽ dây MQ⊥OA (M∈ cung AC ; Q∈ AD) Đường thẳng vng góc với MQ M cắt (O) P

1. C/m: a/ PMIO thang vuông b/ P; Q; O thẳng hàng

2. Gọi S Giao điểm AP với CQ Tính Góc CSP 3. Gọi H giao điểm AP với MQ Cmr:

a/ MH.MQ= MP2

b/ MP tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp ∆QHP

và CM=QD ⇒ CP=QD ⇒ sđ CSP=

1sñ(AQ+CP)= sñ CSP=

1sñ(AQ+QD) =

2

1sđAD=45o.Vậy CSP=45o

3/ a/ Xét hai tam giác vng: MPQ MHP có : Vì ∆ AOM cân O; I trung điểm AO; MI⊥AO⇒∆MAO tam giác cân M⇒ ∆AMO tam giác đều ⇒ cung AM=60o MC = CP =30o ⇒ cung MP = 60o ⇒ cung AM=MP ⇒ góc MPH= MQP (góc nt chắn hai cung nhau.)⇒ ∆MHP∆MQP⇒ đpcm b/ C/m MP tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp ∆ QHP

Gọi J tâm đtròn ngoại tiếp ∆QHP.Do cung AQ=MP=60o⇒ ∆HQP cân H và QHP=120o⇒J nằm đường thẳng HO⇒ ∆HPJ tam giác mà HPM=30o⇒MPH+HPJ=MPJ=90o hay JP⊥MP P nằm đường tròn ngoại tiếp ∆HPQ ⇒đpcm

Baøi 54:

1/ a/ C/m MPOI thang vuông

Vì OI⊥MI; CO⊥IO(gt)

⇒CO//MI mà MP⊥CO

⇒MP⊥MI⇒MP//OI⇒MP OI thang vuông

b/ C/m: P; Q; O thẳng hàng:

Do MPOI thang vuoâng

⇒IMP=1v hay QMP=1v⇒

QP đường kính (O)⇒ Q; O; P thẳng hàng 2/ Tính góc CSP:

Ta có sđ CSP=

2

1sđ(AQ+CP) (góc

có đỉnh nằm đường tròn) mà cung CP = CM

Cho (O;R) cát tuyến d không qua tâm O.Từ điểm M d và (O) ta kẻ hai tiếp tuyến MA MB với đườmg tròn; BO kéo dài cắt (O) điểm thứ hai C.Gọi H chân đường vng góc hạ từ O xuống d.Đường thẳng vng góc với BC O cắt AM D

1 C/m A; O; H; M; B nằm đường tròn 2 C/m AC//MO MD=OD

3 Đường thẳng OM cắt (O) E F Chứng tỏ MA2=ME.MF 4 Xác định vị trí điểm M d để ∆MAB tam giác đều.Tính

diện tích phần tạo hai tt với đường tròn trường hợp

¿C/mMD=OD Do OD//MB (cùng ⊥CB)⇒DOM=OMB(so le) mà

OMB=OMD(cmt)⇒DOM=DMO⇒∆DOM cân D⇒đpcm

3/C/m: MA2=ME.MF: Xeùt hai tam giác AEM MAF có góc M chung Sđ EAM=

2

1sd cungAE(góc tt dây) Sđ AFM=

2

1sđcungAE(góc nt chắn cungAE) ⇒EAM=A FM

⇒∆MAE∆MFA⇒đpcm

4/¿Vì AMB tam giác đều⇒góc OMA=30o⇒OM=2OA=2OB=2R ¿Gọi diện tích cần tính S.Ta có S=S OAMB-Squạt AOB

Ta có AB=AM= 2

OA

OM − =R 3⇒S AMBO=

2

1BA.OM=

1.2R R 3= R2

3⇒ Squaït= 360 120 R π = R

π ⇒S= R2 3 -3 R π =

(

)

3

3 −π R2 ÐÏ(&(ÐÏ

Bài 55: Hình

1/Chứng minh

OBM=OAM=OHM=1v 2/¿ C/m AC//OM: Do MA

và MB hai tt cắt

⇒BOM=OMB vaø MA=MB

⇒MO đường trung trực của AB⇒MO⊥AB

Mà BAC=1v (góc nt chắn nửa đtrịn ⇒CA⊥AB Vậy AC//MO

d

H C

E O F

B

Cho nửa (O) đường kính AB, vẽ tiếp tuyến Ax By phía với nửa đường trịn Gọi M điểm cung AB N điểm đoạn AO Đường thẳng vng góc với MN M cắt Ax By D C

1. C/m AMN=BMC 2. C/m∆ANM=∆BMC

3. DN cắt AM E CN cắt MB F.C/m FE⊥Ax 4. Chứng tỏ M trung điểm DC

1/C/m AMN=BMA

Ta có AMB=1v(góc nt chắn nửa đtrịn) NM⊥DC⇒NMC=1v vậy: AMB=AMN+NMB=NMB+BMC=1v⇒ AMN=BMA

2/C/m ∆ANM=∆BCM:

Do cung AM=MB=90o.⇒dây AM=MB MAN=MBA=45o.(∆AMB vuông cân M)⇒MAN=MBC=45o

Theo c/mt CMB=AMN⇒ ∆ANM=∆BCM(gcg) 3/C/m EF⊥Ax

Do ADMN nt⇒AMN=AND(cùng chắn cung AN) Do MNBC nt⇒BMC=CNB(cùng chắn cung CB) Mà AMN=BMC (chứng minh câu 1)

Ta laïi có AND+DNA=1v⇒CNB+DNA=1v ⇒ENC=1v mà EMF=1v ⇒EMFN nội tiếp ⇒EMN= EFN(cùng chắn cung NE)⇒ EFN=FNB

⇒ EF//AB mà AB⊥Ax ⇒ EF⊥Ax 4/C/m M trung điểm DC:

Ta có NCM=MBN=45o.(cùng chắn cung MN)

⇒∆NMC vuông cân M⇒ MN=NC Và ∆NDC vuông cân N⇒NDM=45o ⇒∆MND vuông cân M⇒ MD=MN⇒ MC= DM ⇒đpcm

ÐÏ(&(ÐÏ

⇒ AND=CNB Hình

x

y

E

F D

C M

O

A B

Baøi 56:

Từ điểm M nằm (O) kẻ hai tiếp tuyến MA MB với đường tròn Trên cung nhỏ AB lấy điểm C kẻ CD⊥AB; CE⊥MA; CF⊥MB Gọi I và K giao điểm AC với DE BC với DF

1 C/m AECD nt 2 C/m:CD2=CE.CF

3 Cmr: Tia đối tia CD phân giác góc FCE 4 C/m IK//AB

1/C/m: AECD nt: (dùng phương pháp tổng hai góc đối) 2/C/m: CD2=CE.CF

Xét hai tam giác CDF CDE có:

-Do AECD nt⇒CED=CAD(cùng chắn cung CD) -Do BFCD nt⇒CDF=CBF(cùng chắn cung CF) Mà sđ CAD=

2

1sđ cung BC(góc nt chắn cung BC) Và sđ CBF=

2

1sđ cung BC(góc tt dây)⇒FDC=DEC

u

Do AECD nt BFCD nt ⇒DCE+DAE=DCF+DBF=2v.Mà MBD=DAM(t/c hai tt cắt nhau)⇒DCF=DCEv.Từ uvà v⇒∆CDF∆CED⇒đpcm

3/Gọi tia đối tia CD Cx,Ta có góc xCF=180o-FCD

xCE=180o-ECD.Mà theo cmt có: FCD= ECD⇒ xCF= xCE.⇒đpcm 4/C/m: IK//AB

Ta có CBF=FDC=DAC(cmt)

Do ADCE nt⇒CDE=CAE(cùng chắn cung CE) Hình

x K

I D

F

E

M

O

B A

ABC+CAE(góc nt góc tt… chắn cung)⇒CBA=CDI.trong ∆CBA có BCA+CBA+CAD=2v hay KCI+KDI=2v⇒DKCI nội tiếp⇒ KDC=KIC (cùng chắn cung CK)⇒KIC=BAC⇒KI//AB.

Bài 57:

Cho (O; R) đường kính AB, Kẻ tiếp tuyến Ax Ax lấy điểm P cho P>R Từ P kẻ tiếp tuyến PM với đường tròn

1 C/m BM/ / OP

2 Đường vng góc với AB O cắt tia BM N C/m OBPN hình bình hành

3 AN cắt OP K; PM cắt ON I; PN OM kéo dài cắt J C/m I; J; K thẳng hàng

1/ C/m:BM//OP:

Ta có MB⊥AM (góc nt chắn nửa đtròn) OP⊥AM (t/c hai tt cắt nhau) ⇒ MB//OP

2/ C/m: OBNP hình bình hành:

Xét hai ∆ APO OBN có A=O=1v; OA=OB(bán kính) NB//AP ⇒ POA=NBO (đồng vị)⇒∆APO=∆ONB⇒ PO=BN Mà OP//NB (Cmt) ⇒ OBNP là hình bình hành

3/ C/m:I; J; K thẳng hàng:

Ta có: PM⊥OJ PN//OB(do OBNP hbhành) mà ON⊥AB⇒ON⊥OJ⇒I trực tâm ∆OPJ⇒IJ⊥OP

-Vì PNOA hình chữ nhật ⇒P; N; O; A; M nằm đường tròn tâm K, mà MN//OP⇒ MNOP thang cân⇒NPO= MOP, ta lại có NOM = MPN

Hình

Q J

K

N

I P

O

A B

(cùng chắn cung NM) ⇒IPO=IOP· · ⇒∆IPO cân I Và KP=KO⇒IK⊥PO Vậy K; I; J thẳng hàng

&

Bài 58:Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB; đường thẳng vng góc với AB O cắt nửa đường tròn C Kẻ tiếp tuyến Bt với đường tròn AC cắt tiếp tuyến Bt I

1 C/m ∆ABI vuông cân

2 Lấy D điểm cung BC, gọi J giao điểm AD với Bt C/m AC.AI=AD.AJ

3 C/m JDCI nội tiếp

4 Tiếp tuyến D nửa đường tròn cắt Bt K Hạ DH⊥AB Cmr: AK qua trung điểm DH

∆ABC vng cân C Mà Bt⊥AB có góc CAB=45 o ⇒ ∆ABI vuông cân B 2/C/m: AC.AI=AD.AJ

Xét hai ∆ACD AIJ có góc A chung sđ góc CDA=

1sđ cung AC =45o Mà ∆ ABI vuông cân B⇒AIB=45 o.⇒CDA=AIB⇒ ∆ADC∆AIJ⇒đpcm 3/ Do CDA=CIJ (cmt) CDA+CDJ=2v⇒ CDJ+CIJ=2v⇒CDJI nội tiếp 4/Gọi giao điểm AK DH N Ta phải C/m:NH=ND

-Ta có:ADB=1v DK=KB(t/c hai tt cắt nhau) ⇒KDB=KBD.Mà KBD+DJK= 1v KDB+KDJ=1v⇒KJD=JDK⇒∆KDJ cân K ⇒KJ=KD ⇒KB=KJ

1/C/m ∆ABI vuông cân(Có nhiều cách-sau C/m cách):

-Ta có ACB=1v(góc nt chắn nửa đtrịn)⇒∆ABC vng C.Vì OC⊥AB

trung điểm

O⇒AOC=COB=1v

⇒ cung AC=CB=90o ⇒CAB=45 o (goùc nt Hình

N

H J

K I

C

O

A B

-Do DH⊥ JB⊥AB(gt)⇒DH//JB p dụng hệ Ta lét tam giác AKJ AKB ta có:

AK AN JK DN = ; AK AN KB NH = ⇒ KB NH JK DN

= maø JK=KB⇒DN=NH

ÐÏ(&(ÐÏ

Baøi 59:

Cho (O) hai đường kính AB; CD vng góc với Trên OC lấy điểm N; đường thẳng AN cắt đường tròn M

1 Chứng minh: NMBO nội tiếp

2 CD đường thẳng MB cắt E Chứng minh CM MD phân giác góc góc ngồi góc AMB

3 C/m hệ thức: AM.DN=AC.DM

4 Nếu ON=NM Chứng minh MOB tam giác

sñ DMB=

1sđcung DB=45o.⇒AMD=DMB=45o.Tương tự CAM=45o ⇒EMC=CMA=45o.Vậy CM MD phân giác góc góc ngồi góc AMB

3/C/m: AM.DN=AC.DM

Xeùt hai tam giác ACM NMD có CMA=NMD=45 o.(cmt) Hình

1/C/m NMBO nội tiếp:Sử dụng tổng hai góc đối) 2/C/m CM MD phân giác góc góc ngồi góc AMB:

-Do AB⊥CD trung điểm O AB CD.⇒Cung

AD=DB=CB=AC=90 o ⇒sđ

AMD=

1sñcungAD=45o

Và CAM=NDM(cùng chắn cung CM)⇒∆AMC∆DMN⇒đpcm 4/Khi ON=NM ta c/m ∆MOB tam giác

Do MN=ON⇒∆NMO vcân N⇒NMO=NOM.Ta lại có: NMO+OMB=1v NOM+MOB=1v⇒OMB=MOB.Mà OMB=OBM ⇒OMB=MOB=OBM⇒∆MOB là tam giác

ÐÏ(&(ÐÏ

Baøi 60:

Cho (O) đường kính AB, d tiếp tuyến đường tròn C Gọi D; E theo thứ tự hình chiếu A B lên đường thẳng d

1 C/m: CD=CE 2 Cmr: AD+BE=AB

3 Vẽ đường cao CH ∆ABC.Chứng minh AH=AD BH=BE 4 Chứng tỏ:CH2=AD.BE

5 Chứng minh:DH//CB

của hình thang ta coù:OC=

AD

BE+ ⇒BE+AD=2.OC=AB

3/C/m BH=BE.Ta có: sđ BCE=

2

1sdcung CB(góc tt dây) sđ CAB=

2

1sđ cung CB(góc nt)⇒ECB=CAB;∆ACB cng C⇒HCB=HCA ⇒HCB=BCE⇒ ∆HCB=∆ECB(hai tam giác vng có cạnh huyền góc nhọn nhau) ⇒HB=BE

Hình 1/C/m: CD=CE: Do

AD⊥d;OC⊥d;BE⊥d ⇒AD//OC//BE.Maø

OH=OB⇒OC là

đường trung bình của hình thang ABED⇒ CD=CE 2/C/m AD+BE=AB Theo tính chất đường trung bình

d

H

E D

O

A B

-C/m tương tự có AH=AD 4/C/m: CH2=AD.BE

∆ACB có C=1v CH đường cao ⇒CH2=AH.HB Mà AH=AD;BH=BE ⇒ CH2=AD.BE

5/C/m DH//CB

Do ADCH nội tiếp ⇒ CDH=CAH (cùng chắn cung CH) mà CAH=ECB (cmt) ⇒ CDH=ECB ⇒DH//CB

ÐÏ(&(ÐÏ

Baøi 61:

Cho ∆ABC có: A=1v.D điểm nằm cạnh AB.Đường trịn đường kính BD cắt BC E.các đường thẳng CD;AE cắt đường tròn các điểm thứ hai F G

1 C/m CAFB nội tiếp 2 C/m AB.ED=AC.EB 3 Chứng tỏ AC//FG

4 Chứng minh AC;DE;BF đồng quy

1/C/m CAFB nội tiếp(Sử dụng Hai điểm A; Fcùng làm với hai đầu đoạn thẳng BC)

2/C/m ∆ABC ∆EBD đồng dạng 3/C/m AC//FG:

Do ADEC nội tiếp ⇒ACD=AED(cùng chắn cung AD)

Mà DFG=DEG(cùng chắn cung GD)⇒ACF=CFG⇒AC//FG 4/C/m AC; ED; FB đồng quy:

AC FB kéo dài cắt K.Ta phải c/m K; D; E thẳng hàng

BA⊥CK CF⊥KB; AB∩CF=D⇒D trực tâm ∆KBC⇒KD⊥CB Mà DE⊥CB(góc nt chắn nửa đường trịn)⇒Qua điểm D có hai đường thẳng vng góc với BC⇒Ba điểm K;D;E thẳng hàng.⇒đpcm

Baøi 62:

Cho (O;R) đường thẳng d cố định không cắt (O).M điểm di động trên d.Từ M kẻ tiếp tuyến MP MQ với đường tròn Hạ OH⊥d H dây cung PQ cắt OH I;cắt OM K

1 C/m: MHIK nội tiếp 2 2/C/m OJ.OH=OK.OM=R2

3 CMr M di động d vị trí I ln cố định

1/C/m MHIK nội tiếp (Sử dụng tổng hai góc đối) 2/C/m: OJ.OH=OK.OM=R2

-Xét hai tam giác OIM OHK có O chung

Do HIKM nội tiếp⇒IHK=IMK(cùng chắn cung IK) ⇒∆OHK∆OMI ⇒

OI OK OM

OH

= ⇒OH.OI=OK.OM u

OPM vng P có đường cao PK.áp dụng hệ thức lượng tam giác vng có:OP2=OK.OMv.Từ uvà v⇒đpcm

4/Theo cm câu2 ta có OI= OH

R2 mà R bán kính nên khơng đổi.d cố định nên OH không đổi ⇒OI không đổi.Mà O cố định ⇒I cố định

ÐÏ(&(ÐÏ

Hình

d

K I

H M O

Baøi 63:

Cho ∆ vuông ABC(A=1v) AB<AC.Kẻ đường cao AH.Trên tia đối tia HB lấy HD=HB từ C vẽ đường thẳng CE⊥AD E

1. C/m AHEC nội tiếp

2. Chứng tỏ CB phân giác góc ACE ∆AHE cân 3. C/m HE2=HD.HC

4. Gọi I trung điểm AC.HI cắt AE J.Chứng minh: DC.HJ=2IJ.BH

5 EC kéo dài cắt AH K.Cmr AB//DK tứ giác ABKD hình thoi.

-C/m ∆HAE cân: Do HAD=ACH(cmt) AEH=ACH(cùng chắn cung AH)

⇒HAE=AEH⇒∆AHE cân H

3/C/m: HE2=HD.HC.Xét ∆HED HEC có H chung.Do AHEC nt ⇒DEH=ACH(

cùng chắn cung AH) mà ACH=HCE(cmt) ⇒DEH=HCE ⇒∆HED∆HCE⇒ñpcm 4/C/m DC.HJ=2IJ.BH:

ðDo HI trung tuyến tam giác vuông AHC⇒HI=IC⇒∆IHC cân I

⇒IHC=ICH.Mà ICH=HCE(cmt)⇒IHC=HCE⇒HI//EC.Mà I trung điểm AC⇒JI đường trung bình ∆AEC⇒JI=

2 1EC

ðXét hai ∆HJD EDC có: -Do HJ//Ecvà EC⊥AE⇒HJ⊥JD ⇒HJD=DEC=1v HDJ=EDC(đđ)⇒∆JDH~∆EDC⇒

DC HD EC JH =

⇒JH.DC=EC.HD mà HD=HB EC=2JI⇒đpcm

5/Do AE⊥KC CH⊥AK AE CH cắt D⇒D trực tâm

∆ACK⇒KD⊥AC maø AB⊥AC(gt)⇒KD//AB

-Do CH⊥AK CH phân giác ∆CAK(cmt)⇒∆ACK cân C AH=KH;Ta lại có BH=HD(gt),mà H giao điểm đường chéo tứ giác ABKD⇒ ABKD hình bình hành.Nhưng DB⊥AK⇒ ABKD hình thoi.

Hình 1/C/m AHEC nt (sử dụng hai điểm E H…)

2/C/m CB phân giác ACE

Do AH⊥DB BH=HD

⇒∆ABD tam giác cân A ⇒BAH=HAD mà

BAH=HCA (cùng phụ với góc B)

Do AHEC nt

⇒HAD=HCE (cuøng chaén cung HE) ⇒ACB=BCE

Bài 64:

Cho tam giác ABC vng cân A.Trong góc B,kẻ tia Bx cắt AC D,kẻ CE ⊥Bx E.Hai đường thẳng AB CE cắt F

1 C/m FD⊥BC,tính góc BFD 2 C/m ADEF nội tiếp

3 Chứng tỏ EA phân giác góc DEF

4 Nếu Bx quay xung quanh điểm B E di động đường nào?

1/ C/m: FD⊥BC: Do BEC=1v;BAC=1v(góc nt chắn nửa đtrịn).Hay BE⊥FC; và CA⊥FB.Ta lại có BE cắt CA D⇒D trực tâm ∆FBC⇒FD⊥BC Tính góc BFD:Vì FD⊥BC BE⊥FC nên BFD=ECB(Góc có cạnh tương ứng vng góc).Mà ECB=ACB(cùng chắn cung AB) mà ACB=45o⇒BFD=45o 2/C/m:ADEF nội tiếp:Sử dụng tổng hai góc đối

3/C/m EA phân giác góc DEF

Ta có AEB=ACB(cùng chắn cung AB).Mà ACB=45o(∆ABC vuông cân A) ⇒AEB=45o.Mà DEF=90o⇒FEA=AED=45o⇒EA phân giác…

4/Neâùu Bx quay xung quanh B : -Ta có BEC=1v;BC cố định

-Khi Bx quay xung quanh B Thì E di động đường trịn đường kính BC -Giới hạn:Khi Bx≡ BC Thì E≡C;Khi Bx≡AB E≡A Vậy E chạy cung phần tư AC đường tròn đường kính BC

ÐÏ(&(ÐÏ

Hình

D E A

O C

Bài 65:

Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB Trên nửa đường trịn lấy điểm M, Trên AB lấy điểm C cho AC<CB Gọi Ax; By hai tiếp tuyến nửa đường trịn Đường thẳng qua M vng góc với MC cắt Ax P; đường thẳng qua C vng góc với CP cắt By Q Gọi D giao điểm CP với AM; E giao điểm CQ với BM

1/cm: ACMP nội tiếp 2/Chứng tỏ AB//DE

3/C/m: M; P; Q thẳng hàng

Q M

P

D E

A C O B 1/Chứng minh:ACMP nội tiếp(dùng tổng hai góc đối) 2/C/m AB//DE:

Do ACMP nội tiếp ⇒PAM=CPM(cùng chắn cung PM)

Chứng minh tương tự,tứ giác MDEC nội tiếp⇒MCD=DEM(cùng chắn cung MD).Ta lại có:

Sđ PAM=

2

1sđ cung AM(góc tt dây) Sđ ABM=

2

1sđ cung AM(góc nội tiếp) ⇒ABM=MED⇒DE//AB

3/C/m M;P;Q thẳng hàng:

Do MPC+MCP=1v(tổng hai góc nhọn tam giác vuông PMC) PCM+MCQ=1v ⇒MPC=MCQ

Ta lại có ∆PCQ vng C⇒MPC+PQC=1v⇒MCQ+CQP=1v hay CMQ=1v⇒PMC+CMQ=2v⇒P;M;Q thẳng hàng.

ÐÏ(&(ÐÏ

Baøi 66:

Cho nửa đường trịn (O), đường kính AB điểm M nửa đường tròn Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đưởng tròn, người ta kẻ tiếp tuyến Ax.Tia BM cắt tia Ax I Phân giác góc IAM cắt nửa đường trịn tại E; cắt tia BM F; Tia BE cắt Ax H; cắt AM K

1 C/m: IA2=IM.IB 2 C/m: ∆BAF caân

3 C/m AKFH hình thoi

4 Xác định vị trí M để AKFI nội tiếp

I

F M H

E K

A B

1/C/m: IA2=IM.IB: (chứng minh hai tam giác IAB IAM đồng dạng) 2/C/m ∆BAF cân:

Ta có sđ EAB=

1sđ cung BE(góc nt chắn cung BE) Sđ AFB =

2

1sđ (AB -EM)(góc có đỉnh ngồi đtrịn)

Do AF phân giác góc IAM nên IAM=FAM⇒cung AE=EM ⇒ sđ AFB=

2

1sñ(AB-AE)=

1sñ cung BE⇒FAB=AFB⇒đpcm 3/C/m: AKFH hình thoi:

Do cung AE=EM(cmt)⇒MBE=EBA⇒BE phân giác ∆cân ABF ⇒ BH⊥FA AE=FA⇒E trung điểm ⇒HK đường trung trực FA ⇒AK=KF AH=HF

Do AM⇒BF BH⊥FA⇒K trực tâm ∆FAB⇒FK⊥AB mà AH⊥AB ⇒AH//FK ⇒Hình bình hành AKFH hình thoi

5/ Do FK//AI⇒AKFI hình thang.Để hình thang AKFI nội tiếp AKFI phải thang cân⇒góc I=IAM⇒∆AMI tam giác vuông cân ⇒∆AMB vuông cân M⇒M điểm cung AB

ÐÏ(&(ÐÏ

Baøi 67:

Cho (O; R) có hai đường kính AB CD vng góc với Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M(Khác A; O; B) Đường thẳng CM cắt (O) N Đường vng góc với AB M cắt tiếp tuyến N đường tròn P Chứng minh:

1 COMNP nội tiếp

2 CMPO hình bình hành

3 CM.CN không phụ thuộc vào vị trí M

4 Khi M di động AB P chạy đoạn thẳng cố định

C

K

A O M B N

D P y

Do OPNM nội tiếp⇒OPM=ONM(cùng chắn cung OM) ∆OCN cân O ⇒ONM=OCM⇒OCM=OPM

Gọi giao điểm MP với (O) K.Ta có PMN=KMC(đ đ) ⇒OCM=CMK ⇒CMK=OPM⇒CM//OPv.Từ u v ⇒CMPO hình bình hành

3/Xét hai tam giác OCM NCD có:CND=1v(góc nt chắn nửa đtrịn) ⇒NCD tam giác vng.⇒Hai tam giác vng COM CND có góc C chung

⇒∆OCM~∆NCD⇒CM.CN=OC.CDw

Từ w ta có CD=2R;OC=R.Vậyw trở thành:CM.CN=2R2 khơng đổi.vậy tích

CM.CN không phụ thuộc vào vị trí vị trí M

4/Do COPM hình bình hành⇒MP//=OC=R⇒Khi M di động AB P di động đường thẳng xy thoả mãn xy//AB cách AB khoảng R không đổi

ÐÏ(&(ÐÏ

Hình

1/c/m:OMNP nội tiếp:(Sử dụng hai điểm M;N làm với hai đầu đoạn OP một góc vng 2/C/m:CMPO hình bình hành:

Ta có:

Bài 68:

Cho ∆ABC có A=1v AB>AC, đường cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A vẽ hai nửa đường tròn đường kính BH nửa đường trịn đường kính HC Hai nửa đường tròn cắt AB AC E F Giao điểm của FE AH O Chứng minh:

1 AFHE hình chữ nhật 2 BEFC nội tiếp

3 AE AB=AF AC

4 FE tiếp tuyến chung hai nửa đường tròn 5 Chứng tỏ:BH HC=4 OE.OF

A

E O

F

B I H K C

1/ C/m: AFHE hình chữ nhật BEH=HCF(góc nt chắn nửa đtròn); EAF=1v(gt) ⇒đpcm

2/ C/m: BEFC nội tiếp: Do AFHE hình chữ nhật.⇒∆OAE cân O ⇒AEO=OAE Mà OAE=FCH(cùng phụ với góc B)⇒AEF=ACB mà AEF+BEF=2v⇒BEF+BCE=2v⇒đpcm

3/ C/m: AE.AB=AF.AC: Xét hai tam giác vuông AEF ACB có AEF=ACB(cmt) ⇒∆AEF~∆ACB⇒đpcm

4/ Gọi I K tâm đường trịn đường kính BH CH.Ta phải c/m FE⊥IE FE⊥KF

-Ta có O giao điểm hai đường chéo AC DB hcnhật AFHE⇒EO=HO; IH=IK bán kính); AO chung⇒ ∆IHO=∆IEO ⇒IHO=IEO mà IHO=1v (gt)⇒ IEO=1v⇒ IE⊥OE diểm E nằm đường tròn ⇒đpcm Chứng minh tương tự ta có FE tt đường trịn đường kính HC

1

C 4

H O Baøi 69:

Cho ∆ABC có A=1v AH⊥BC.Gọi O tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC;d tiếp tuyến đường tròn điểm A.Các tiếp tuyến B C cắt d theo thứ tự D E

1 Tính góc DOE

2 Chứng tỏ DE=BD+CE

3 Chứng minh:DB.CE=R2.(R bán kính đường trịn tâm O) 4 C/m:BC tiếp tuyến đtrịn đường kính DE

E

I A

D

3

B

1/Tính góc DOE: ta có D1=D2 (t/c tiếp tuyến cắt nhau);OD chung⇒Hai tam giác vuông DOB DOA⇒O1=O2.Tương tự O3=O4.⇒O1+O4=O2+O3 Ta lại có O1+O2+O3+O4=2v⇒ O1+O4=O2+O3=1v hay DOC=90o 2/Do DA=DB;AE=CE(tính chất hai tt cắt nhau) DE=DA+AE ⇒DE=DB+CE

3/Do ∆DE vuông O(cmt) OA⊥DE(t/c tiếp tuyến).Aùp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông DOE có :OA2=AD.AE.Mà AD=DB;AE=CE;OA=R(gt) ⇒R2=AD.AE

4/Vì DB EC tiếp tuyến (O)⇒DB⊥BC DE⊥BC⇒BD//EC.Hay BDEC hình thang

Gọi I trung điểm DE⇒I tâm đường tròn ngoại tiếp ∆DOE.Mà O trung điểm BC⇒OI đường trung bình hình thang BDEC⇒OI//BD Ta lại có BD⊥BC⇒OI⊥BC O nằm đường tròn tâm I⇒BC tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp ∆DOE

ÐÏ(&(ÐÏ

Baøi 70:

Cho ∆ABC(A=1v); đường cao AH.Vẽ đường tròn tâm A bán kính AH.Gọi HD đường kính đường tròn (A;AH).Tiếp tuyến đường tròn D cắt CA E

1 Chứng minh ∆BEC cân

2 Gọi I hình chiếu A BE.C/m:AI=AH 3 C/m:BE tiếp tuyến đường tròn

4 C/m:BE=BH+DE

5 Gọi đường trịn đường kính AH có Tâm K.Và AH=2R.Tính diện tích của hình tạo đường tròn tâm A tâm K

D E I A

—K

C H B

1/C/m:∆BEC cân:.Xét hai tam giác vuông ACH AED có:AH=AD(bán kính);CAH=DAE(đ đ).Do DE tiếp tuyến (A)⇒HD⊥DE DH⊥CB gt)⇒DE//CH⇒DEC=ECH⇒∆ACH=∆AED⇒CA=AE⇒A trung điểm CE có BA⊥CE⇒BA đường trung trực CE⇒∆BCE cân B

2/C/m:AI=AH Xét hai tam giác vuông AHB AIB(vng H I) có AB chung BA đường trung trực ∆cân BCE(cmt) ⇒ABI=ABH

⇒∆AHB=∆AIB ⇒AI=AH

3/C/m:BE tiếp tuyến (A;AH).Do AH=AI⇒I nằm đường tròn (A;AH) mà BI⊥AI I⇒BI tiếp tuyến (A;AH)

4/C/m:BE=BH+ED

Theo cmt có DE=CH BH=BI;IE=DE(t/c hai tt cắt nhau).Mà BE=BI+IE ⇒đpcm

5/Gọi S diện tích cần tìm.Ta có: S=S(A)-S(K)=πAH2-πAK2=πR2-

ÐÏ(&(ÐÏ

Baøi 71:

Trên cạnh CD hình vng ABCD,lấy điểm M bất kỳ.Đường trịn đường kính AM cắt AB điểm thứ hai Q cắt đường tròn đường kính CD điểm thứ hai N.Tia DN cắt cạnh BC P

1 C/m:Q;N;C thaúng haøng 2 CP.CB=CN.CQ

3 C/m AC MP cắt điểm nằm đường trịn đường kính AM

A Q B

O P N H

D I M C

-Do DNC=1v(góc nt chắn nửa đtròn tâm I)⇒QND+DNC=2v⇒đpcm

2/C/m: CP.CB=CN.CQ.C/m hai tam giác vng CPN CBQ đồng dạng (có góc C chung)

3/Gọi H giao điểm AC với MP.Ta phải chứng minh H nằm đường trịn tâm O,đường kính AM

-Do QBCM hcnhật⇒∆MQC=∆BQC

Xét hai tam giác vng BQC CDP có:QCB=PDC(cùng góc MQC); DC=BC(cạnh hình vng)⇒∆BQC=∆CDP⇒∆CDP=∆MQC⇒PC=MC.Mà C=1v⇒∆PMC vng cân C⇒MPC=45o DBC=45o(tính chất hình vng) ⇒MP//DB.Do AC⊥DB⇒MP⊥AC H⇒AHM=1v⇒H nằm đường trịn tâm O đường kính AM

ÐÏ(&(ÐÏ

1/C/m:Q;N;C thẳng hàng:

Gọi Tâm đường trịn đường kính AM O đường trịn đường kính DC I

-Do AQMD nội tiếp nên

Baøi 72:

Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn tâm O.D E theo thứ tự điểm chính cung AB;AC.Gọi giao điểm DE với AB;AC theo thứ tự H K

1 C/m:∆AHK caân

2 Gọi I giao điểm BE với CD.C/m:AI⊥DE 3 C/m CEKI nội tiếp

4 C/m:IK//AB

5 ∆ABC phải có thêm điều kiện để AI//EC

A

E D H K

I •O

B C

2/c/m:AI⊥DE

Do cung AE=EC⇒ABE=EBC(góc nt chắn cung nhau)⇒BE phân giác góc ABC.Tương tự CD phân giác góc ACB.Mà BE cắt CD I⇒I giao điểm đường phân giác ∆AHK⇒AI phân giác tứ mà ∆AHK cân A⇒AI⊥DE

3/C/m CEKI nội tiếp:

Ta có DEB=ACD(góc nt chắn cung AD=DB) hay KEI=KCI⇒đpcm 4/C/m IK//AB

Do KICE nội tiếp⇒IKC=IEC(cùng chắn cung IC).Mà IEC=BEC=BAC(cùng chắn cung BC)⇒BAC=IKC⇒IK//AB

5/∆ABC phải có thêm điều kiện để AI//EC:

Nếu AI//EC EC⊥DE (vì AI⊥DE)⇒DEC=1v⇒DC đường kính (O) mà DC phân giác ACB(cmt)⇒∆ABC cân C

ÐÏ(&(ÐÏ

1/C/m:∆AKH cân: sđ AHK=

2

1sđ(DB+AE) sđ AKD=

2

1 sđ(AD+EC) (Góc có đỉnh nằm đường trịn)

Mà Cung AD+DB; AE=EC(gt)

Baøi 73:

Cho ∆ABC(AB=AC) nội tiếp (O),kẻ dây cung AA’ từ C kẻ đường vng góc CD với AA’,đường cắt BA’ E

1 C/m goùc DA’C=DA’E 2 C/m ∆A’DC=∆A’DE

3 Chứng tỏ AC=AE.Khi AA’ quay xung quanh A E chạy đường nào?

4 C/m BAC=2.CEB

A

E O A’

D B C

⇒sñCA’D=

1sñ(A’C+AC)=

1sđ AC.Do dây AB=AC⇒Cung AB=AC ⇒DA’C=DA’E

2/C/m ∆A’DC=∆A’DE

Ta có CA’D=EA’D(cmt);A’D chung; A’DC=A’DE=1v⇒đpcm 3/Khi AA’ quay xunh quanh A E chạy đường nào? Do ∆A’DC=∆A’DE⇒DC=DE⇒AD đường trung trực CE

⇒AE=AC=AB⇒Khi AA’ quay xung quanh A E chạy đường trịn tâm A;bán kính AC

4/C/m BAC=2.CEB

Do ∆A’CE cân A’⇒A’CE=A’EC.Mà BA’C=A’EC+A’CE=2.A’EC(góc ngồi ∆A’EC)

Ta lại có BAC=BA’C(cùng chắn cung BC)⇒BAC=2.BEC Hình

1/C/m DA’C=DA’E Ta có DA’E=AA’B (đđ

Và sđAA’B=sđ 1AB CA’D=A’AC+A’CA (góc ngồi ∆AA’C) Mà sđ A’AC=

2

ÐÏ(&(ÐÏ

Baøi 74:

Cho ∆ABC nội tiếp nửa đường trịn đường kính AB.O trung điểm AB;M điểm cung AC.H giao điểm OM với AC>

1 C/m:OM//BC

2 Từ C kẻ tia song song cung chiều với tia BM,tia cắt đường thẳng OM D.Cmr:MBCD hình bình hành

3 Tia AM cắt CD K.Đường thẳng KH cắt AB P.Cmr:KP⊥AB 4 C/m:AP.AB=AC.AH

5 Gọi I giao điểm KB với (O).Q giao điểm KP với AI C/m A;Q;I thẳng hàng

D

K C I M Q H

A P O B

1/C/m:OM//BC Cung AM=MC(gt)⇒COM=MOA(góc tâm sđ cung bị chắn).Mà ∆AOC cân O⇒OM đường trung trực

∆AOC⇒OM⊥AC.MàBC⊥AC(góc nt chắn nửa đường trịn)⇒đpcm

2/C/m BMCD hình bình hành:Vì OM//BC hay MD//BC(cmt) CD//MB (gt) ⇒đpcm

3/C/ KP⊥AB.Do MH⊥AC(cmt) AM⊥MB(góc nt chắn nửa đtrịn);

MB//CD(gt)⇒AK⊥CD hay MKC=1v⇒MKCH nội tiếp⇒MKH=MCH(cùng chắn cung MH).Mà MCA=MAC(hai góc nt chắn hai cung MC=AM)

⇒KAP+MBA=1v.mà MBA=MCA(cùng chắn cung AM)⇒MBA=MKH hay KAP+AKP=1v⇒KP⊥AB

4/Hãy xét hai tam giác vuông APH ABC đồng dạng(Góc A chung) 5/Sử dụng Q trực tâm cuỉa ∆AKB

ÐÏ(&(ÐÏ

Bài 75:

Cho nửa đường trịn tâm O đường kính EF.Từ O vẽ tia Ot⊥ EF, cắt nửa đường trịn (O) I Trên tia Ot lấy điểm A cho IA=IO.Từ A kẻ hai tiếp tuyến AP AQ với nửa đường tròn;chúng cắt đường thẳng EF B C (P;Q tiếp điểm)

1.Cmr ∆ABC tam giác tứ giác BPQC nội tiếp

2.Từ S điểm tuỳ ý cung PQ.vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn;tiếp tuyến cắt AP H,cắt AC K.Tính sđ độ góc HOK

3.Gọi M; N giao điểm PQ với OH; OK Cm OMKQ nội tiếp

4.Chứng minh ba đường thẳng HN; KM; OS đồng quy điểm D, và D nằm đường tròn ngoại tiếp ∆HOK

A

K H S I

D

P M N Q

B E O F C

1/Cm ∆ABC tam giác đều:Vì AB AC hai tt cắt ⇒Các ∆APO; AQO tam giác vuông P Q.Vì IA=IO(gt)⇒PI trung tuyến tam gíac vng AOP⇒PI=IO.Mà IO=PO(bán kính)⇒PO=IO=PI⇒∆PIO tam giác đều⇒POI=60o.⇒OAB=30o.Tương tự OAC=30o⇒BAC=60o.Mà

∆ABC cân A(Vì đường caoAO phân giác) có góc 60o ⇒ABC là tam giác

2/Ta có Góc HOP=SOH;Góc SOK=KOC (tính chất hai tt cắt nhau) ⇒Góc HOK=SOH+SOK=HOP+KOQ.Ta lại có:

POQ=POH+SOH+SOK+KOQ=180o-60o=120o⇒HOK=60o 3/

Bài 76:

Cho hình thang ABCD nội tiếp (O),các đường chéo AC BD cắt E.Các cạnh bên AD;BC kéo dài cắt F

1. C/m:ABCD thang cân 2. Chứng tỏ FD.FA=FB.FC 3. C/m:Góc AED=AOD 4. C/m AOCF nội tiếp

F

A B E

D C O

∆FCA đồng dạng Góc F chung FDB=FCA(cmt) 3/C/m AED=AOD:

•C/m F;O;E thẳng hàng: Vì ∆DOC cân O⇒O nằm đường trung trực của Dc.Do ACD=BDC(cmt)⇒∆EDC cân E⇒E nằm tren đường trung trực

1/ C/m ABCD hình thang cân:

Do ABCD hình thang ⇒AB//CD⇒BAC=ACD (so le).Mà BAC=BDC(cùng chắn cung

BC)⇒BDC=ACD

Ta lại có ADB=ACB(cùng chắn cung

AB)⇒ADC=BCD

Vậy ABCD hình thang cân

của DC.Vì ABCD thang cân ⇒∆FDC cân F⇒F nằm đường trung trực DC⇒F;E;O thẳng hàng

•C/m AED=AOD Ta có:Sđ AED=

2

1sđ(AD+BC)=

1.2sđAD=sđAD cung AD=BC(cmt) Mà sđAOD=sđAD(góc tâm chắn cung AD)⇒AOD=AED

4/Cm: AOCF nội tiếp: Sñ AFC=

2

1sñ(DmC-AB) Sñ AOC=SñAB+sñ BC Sñ (AFC+AOC) =

2

1sñ DmC-2

1sñAB+sñAB+sñBC

u

Mà sđ DmC=360o-AD-AB-BCv.Từuvà v⇒sđ AFC+sđ AOC=180o.⇒đpcm ÐÏ(&(ÐÏ

Baøi 77:

Cho (O) đường thẳng xy khơng cắt đường trịn.Kẻ OA⊥xy từ A dựng đường thẳng ABC cắt (O) B C.Tiếp tuyến B C (O) cắt xy D E.Đường thẳng BD cắt OA;CE F M;OE cắt AC N

1 C/m OBAD nội tiếp 2 Cmr: AB.EN=AF.EC

3 So sánh góc AOD COM 4 Chứng tỏ A trung điểm DE

x M E C

N

O B

A F

D 1/C/m OBAD nt:

-Do DB tt⇒OBD=1v;OA⊥xy(gt)⇒OAD=1v⇒đpcm 2/Xét hai tam giác:ABF ECN có:

-ABF=NBM(đ đ);Vì BM CM hai tt cắt nhau⇒NBM=ECB⇒FBA=ECN -Do OCE+OAE=2v⇒OCEA nội tiếp⇒CEO=CAO(cùng chắn cung OC) ⇒∆ABF~∆ECN⇒đpcm

3/So sánh;AOD với COM:Ta có:

-DĐoABO nt⇒DOA=DBA(cùng chắn cung ).DBA=CBM(đ đ)

CBM=MCB(t/c hai tt cắt nhau).Do BMCO nt⇒BCM=BOM⇒DOA=COM 4/Chứng tỏ A trung điểm DE:

Do OCE=OAE=1v⇒OAEC nt⇒ACE=AOE(cùng chắn cung AE)

⇒DOA=AOE⇒OA phân giác góc DOE.Mà OA⊥DE⇒OA đường trung trực DE⇒đpcm

ÐÏ(&(ÐÏ

Baøi 78:

Cho (O;R) A điểm ngồi đường trịn.Kẻ tiếp tuyến AB AC với đường tròn OB kéo dài cắt AC D cắt đường tròn E

1/ Chứng tỏ EC // với OA

2/ Chứng minh rằng: 2AB.R=AO.CB

3/ Gọi M điểm di động cung nhỏ BC, qua M dựng tiếp tuyến với đường tròn, tiếp tuyến cắt AB vàAC I,J Chứng tỏ chu vi tam giác AI J không đổi M di động cung nhỏ BC

4/ Xác định vị trí M cung nhỏ BC để điểm J,I,B,C nằm trên đường tròn

D E

C

O J

A M

I B

1/C/m EC//OA:Ta có BCE=1v(góc nt chắn nửa đt) hay CE⊥BC.Mà OA phân giác ∆cân ABC⇒OA⊥BC⇒OA//EC

2/xét hai tam giác vuông AOB ECB có:

-Do OCA+OBA=2v⇒ABOC nt⇒OBC=OAC(cùng chắn cung OC) mà OAC=OAB (tính chất hai tt cắt nhau)⇒EBC=BAO⇒∆BAO~∆CBE ⇒.Ta lại có BE=2R⇒đpcm

3/Chứng minh chu vi ∆AIJ khơng đổi M di động cung nhỏ BC Gọi P chu vi ∆ AIJ Ta có P=JI+IA+JA=MJ+MI+IA+JA

Theo tính chất hai tt cắt ta có:MI=BI;MJ=JC;AB=AC ⇒P=(IA+IB)+(JC+JA)=AB+AC=2AB khơng đổi

4/Giả sử BCJI nội tiếp⇒BCJ+BIJ=2v.MậI+JBI=2v⇒JIA=ACB.Theo chứng minh có ACB=CBA⇒CBA=JIA hay IJ//BC.Ta lại có BC⊥OA⇒JI⊥OA Mà OM⊥JI ⇒OM≡ OA⇒M điểm cung BC

ÐÏ(&(ÐÏ

Baøi 79:

Cho(O),từ điểm P nằm ngồi đường trịn,kẻ hai tiếp tuyến PA PB với đường tròn.Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M,qua M dựng đường thẳng vng góc với OM,đường cắt PA,PB C D 1/Chứng minh A,C,M,O nằm đường tròn 2/Chứng minh:COD=AOB

3/Chứng minh:Tam giác COD cân

4/Vẽ đường kính BK đường tròn,hạ AH ⊥BK.Gọi I giao điểm AH với PK.Chứng minh AI=IH

C

K A

I Q H

M

O P

D B

1/C/m ACMO nt: Ta có OAC=1v(tc tiếp tuyến).Và OMC=1v(vì OM⊥CD-gt) 2/C/m COD=AOB.Ta có:

Do OMAC nt⇒OCM=OAM(cùng chắn cung OM)

Chứng minh tương tự ta có OMDB nt⇒ODM=MBO(cùng chắn cung OM) Hai tam giác OCD OAB có hai cặp góc tương ứng ⇒Cặp góc cịn lại nhau⇒COD=AOB

3/C/m ∆COD caân:

Theo chứng minh câu ta lại có góc OAB=OBA(vì ∆OAB cân O) ⇒OCD=ODC⇒∆OCD cân O

4/Kéo dài KA cắt PB Q

Vì AH⊥BK; QB⊥BK⇒AH//QB Hay HI//PB AI//PQ p dụng hệ định lý Talét tam giác KBP KQP có:

u v w

ÐÏ(&(ÐÏ

Baøi 80:

Cho tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp đường trịn tâm O Ba đường cao AK; BE; CD cắt H

1/Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp 2/Chứng minh :AD.AB=AE.AC

3/Chứng tỏ AK phân giác góc DKE

4/Gọi I; J trung điểm BC DE Chứng minh: OA//JI

A x

J E D •O H

B K I C 1/C/m:BDEC nội tiếp:

Ta có: BDC=BEC=1v(do CD;BE đường cao)⇒Hai điểm D E làm với hai đầu đoạn BC…⇒đpcm

2/c/m AD.AB=AE.AC

Xeùt hai tam giác ADE ABC có Góc BAC chung

Do BDEC nt ⇒EDB+ECB=2v.Mà ADE+EDB=2v⇒ADE=ACB ⇒∆ADE~∆ACB⇒đpcm

3/Do HKBD nt⇒HKD=HBD(cùng chắn cung DH) Do BDEC nt⇒HBD=DCE (cùng chaén cung DE)

Dễ dàng c/m KHEC nt⇒ECH=EKH(cùng chắn cungHE) 4/C/m JI//AO Từ A dựng tiếp tuyến Ax

Ta có sđ xAC=

1sđ cung AC (góc tt dây) .Mà sđABC=

2

1sđ cung AC (góc nt cung bị chắn) Ta lại có góc AED=ABC(cùng bù với góc DEC)

Vậy Ax//DE.Mà AO⊥Ax(t/c tiếp tuyến)⇒AO⊥DE.Ta lại có BDEC nt trong đường trịn tâm I ⇒DE dây cung có J trung điểm ⇒JI⊥DE(đường kính qua trung điểm dây khơng qua tâm)Vậy IJ//AO

ÐÏ(&(ÐÏ

HKD=EKH

Baøi 81:

Cho tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O.Tiếp tuyến B C đường tròn cắt D.Từ D kẻ đường thẳng song song với AB,đường cắt đường tròn E F,cắt AC I(Enằm cung nhỏ BC)

1/Chứng minh BDCO nội tiếp 2/Chứng minh:DC2=DE.DF

3/Chứng minh DOCI nội tiếp đường tròn 4/Chứng tỏ I trung điểm EF

A

F O

I B C E D

Sñ DFC=

1sđ cung EC (góc nt cung bị chắn)⇒EDC=DFC ⇒∆DCE~∆DFC ⇒đpcm

3/Cm: DCOI nội tiếp:Ta có sđ DIC=

1sđ(AF+EC) Vì FD//AD ⇒Cung AF=BE ⇒sñ DIC=

2

1sñ(BE+EC)=

1sñ cung BC Sđ BOC=sđ cung BC.Mà DOC=

2

1BOC⇒sñ DOC=

1sñBC⇒DOC=DIC

⇒Hai điểm O I làm với hai đầu đoạn thẳng DC góc ⇒đpcm

4/C/m I trung điểm EF

Do DCIO nội tiếp⇒DIO=DCO (cùng chắn cung DO).Mà DCO=1v(tính chất tiếp tuyến)⇒DIO=1v hay OI⊥FE.Đường kính OI vng góc với dây cung FE nên phải qua trung điểm FE⇒đpcm

ÐÏ(&(ÐÏ

1/C/m: BDCO nội tiếp Vì BD DC hai tiếp tuyến ⇒OBD=OCD=1v ⇒OBD+OCD=2v

⇒BDCO nội tiếp 2/Cm: :DC2=DE.DF Xét hai tam giác DCE DCF có: D chung

SđECD=

1sđ cung EC (góc tiếp tuyến một dây)

Bài 82:

Cho đường trịn tâm O,đường kính AB dây CD vng góc với AB F Trên cung BC,lấy điểm M.AM cắt CD E

1/Chứng minh AM phân giác góc CMD

2/Chứng minh tứ giác EFBM nội tiếp đường tròn 3/Chứng tỏ AC2=AE.AM

4/Gọi giao điểm CB với AM N;MD với AB I.Chứng minh NI//CD

C

M E N

A O I B F

D

1/C/m AM phân giác góc CMD: Ta có: Vì OA⊥CD ∆COD cân O ⇒OA phân giác góc COD Hay COA=AOD⇒cung AC=AD ⇒góc CMA=AMD(hai góc nội tiếp chắn hai cung nhau)⇒đpcm

2/cm EFBM nội tiếp: VìCD⊥AB(gt)⇒EFB=1v;và EMB=1v(góc nt chắn nửa đường tròn)⇒ EFB+ EMB=2v⇒đpcm

3/Cm: AC2=AE.AM

Xét hai tam giác:ACM ACE có A chung.Vì cung AD=AC⇒hai góc ACD=AMC(hai góc nt chắn hai cung nhau)

⇒∆ACE~∆AMC⇒đpcm

4/Cm NI//CD:

Vì cung AC=AD⇒góc AMD=CBA(hai góc nt chắn hai cung nhau) Hay NMI=NBI ⇒Hai điểm M B cung làm với hai đầu đoạn thẳng NI góc ⇒NIBM nội tiếp ⇒Góc NIB+NMB=2v mà NMB=1v(cmt) ⇒NIB=1v hay NI⊥AB.Mà CD⊥AB(gt)⇒NI//CD

ÐÏ(&(ÐÏ

Baøi 83:

Cho ∆ABC có A=1v;Kẻ AH⊥BC.Qua H dựng đường thẳng thứ cắt cạnh AB E cắt đường thẳng AC G.Đường thẳng thứ hai vng góc với đường thẳng thứ cắt cạnh AC F,cắt đường thẳng AB D

1 C/m:AEHF nội tiếp

2 Chứng tỏ:HG.HA=HD.HC

3 Chứng minh EF⊥DG FHC=AFE

4 Tìm điều kiện hai đường thẳng HE HF để EF ngắn G

A E

F

B H C D

1/Cm AEHF nội tiếp: Ta có BAC=1v(góc nt chắn nửa đtrịn) FHE=1v ⇒ BAC+ FHE=2v⇒đpcm

2/Cm: HG.HA=HD.HC Xét hai ∆ vng HAC HGD có:BAH=ACH (cùng phụ với góc ABC).Ta lại có GAD=GHD=1v⇒GAHD nội tiếp ⇒DGH=DAH ( chắn cung DH ⇒DGH=HAC ⇒∆HCA~∆HGD⇒đpcm

3/•C/m:EF⊥DG:Do GH⊥DF DA⊥CG AD cắt GH E ⇒E trực tâm của ∆CDG⇒EF đường cao thứ ∆CDG⇒FE⊥DG

• C/m:FHC=AFE:

Do AEHF nội tiếp ⇒AFE=AHE(cùng chắn cung AE).Mà AHE+AHF=1v AHF+FHC=1v⇒AFE=FHC

4/ Tìm điều kiện hai đường thẳng HE HF để EF ngắn nhất:

Do AEHF nội tiếp đường trịn có tâm trung điểm EF Gọi I tâm đường tròn ngoại tiêùp tứ giác AEHF⇒IA=IH⇒Để EF ngắn I;H;A thẳng hàng hay AEHF hình chữ nhật ⇒HE//AC HF//AB

ÐÏ(&(ÐÏ

Baøi 84:

Cho ∆ABC (AB=AC) nội tiếp (O).M điểm cung nhỏ AC, phân giác góc BMC cắt BC N,cắt (O) I

1 Chứng minh A;O;I thẳng hàng

2 Kẻ AK⊥ với đường thẳng MC AI cắt BC J.Chứng minh AKCJ nội tiếp

3 C/m:KM.JA=KA.JB

A

K

O • M E

B J N C I

⇒ñpcm

2/C/m AKCJ nội tiếp: Theo cmt ta có AI đường kính qua trung điểm dây BC ⇒AI⊥BC hay AJC=1v mà AKC=1v(gt)⇒AJC+AKC=2v ⇒đpcm 3/Cm: KM.JA=KA.JB Xét hai tam giác vuông JAB KAM có:

Góc KMA=MAC+MCA(góc ngồi tam giác AMC) Mà sđ MAC=

2

1sñ cung MC sđMCA=

1sđ cung AM ⇒sđKMA=

2

1sđ(MC+AM)=

1sđAC=sđ góc ABC Vậy góc ABC=KMA ⇒∆JBA~∆KMA⇒ñpcm

ÐÏ(&(ÐÏ

1/C/m A;O;I thẳng hàng:

Vì BMI=IMC(gt) ⇒ cung IB=IC ⇒Góc BAI=IAC(hai góc nt chắn hai cung nhau)⇒AI phân gíc của ∆ cân ABC

⇒AI⊥BC.Mà ∆BOC cân O⇒ có góc ở tâm chắn cung bằng

⇒OI phân giác góc BOC

• O Bài 85:

Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB.Gọi C điểm nửa đường tròn.Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C,kẻ hai tiếp tuyến Ax By Một đường tròn (O’) qua A C cắt AB tia Ax theo thứ tự D E Đường thẳng EC cắt By F

1. Chứng minh BDCF nội tiếp

2. Chứng tỏ:CD2=CE.CF FD tiếp tuyến đường tròn (O)

3. AC cắt DE I;CB cắt DF J.Chứng minh IJ//AB 4. Xác định vị trí D để EF tiếp tuyến (O)

F C

E

I J • O’

A D B

1/Cm:BDCF nội tiếp:

Ta có ECD=1v(góc nt chắn nửa đường trịn tâm O’)⇒FCD=1v FBD=1v(tính chất tiếp tuyến)⇒đpcm

2/•C/m: CD2=CE.CF Ta có

Do CDBF nt⇒DFC=CBD(cùng chắn cung CD).Mà CED=CAD(cùng chắn cung CD của (O’) Mà CAD+CBD=1v (vì góc ACB=1v-góc nt chắn nửa đt)

⇒CED+CFD=1v nên EDF=1v hay ∆EDF tam giác vng có DC đường cao.p dụng hệ thức lượng tam giác vuông ta có CD2=CE.CF

•Vì ∆EDF vng D(cmt)⇒FD⊥ED hay FD⊥O’D điểm D nằm đường tròn tâm O’.⇒đpcm

3/C/m IJ//AB

Ta có ACB=1v(cmt) hay ICJ=1v EDF=1v (cmt) hay IDJ=1v ⇒ICJD nt CJI=CDI(cùng chắn cung CI).Mà CFD=CDI (cùng phụ với góc FED) Vì BDCF nt (cmt)⇒CFD=CBD (cùng chắn cung CD)⇒CJI=CBD ⇒đpcm 4/ Xác định vị trí D để EF tiếp tuyến (O)

Ta có CD⊥EF C nằm đường tròn tâm O.Nên để EF tiếp tuyến (O) CD phải bán kính ⇒D≡O

ÐÏ(&(ÐÏ

F Baøi 86:

Cho (O;R (O’;r) R>r, cắt Avà B Gọi I điểm đường thẳng AB nằm đoạn thẳng AB Kẻ hai tiếp tuyến IC ID với (O) và (O’) Đường thẳng OC O’D cắt K

1. Chứng minh ICKD nội tiếp 2. Chứng tỏ:IC2=IA.IB

3. Chứng minh IK nằm đường trung trực CD 4. IK cắt (O) E F; Qua I dựng cát tuyến IMN

a/ Chứng minh:IE.IF=IM.IN

b/ E; F; M; N nằm đường tròn

I

C

E

M A D • O

•O’ B N

K

Sñ CBI=

2

1 sđ CE (góc nt cung bị chắn)⇒ICE=IBC⇒∆ICE~∆IBC⇒đpcm

3/Cm IK nằm đường trung trực CD Theo chứng minh ta có: IC2=IA.IBu

Chứng minh tương tự ta có:ID2=IA.IB v

-Hai tam giác vng ICK IDK có Cạnh huyền IK chung cạnh góc vng IC=ID ⇒∆ICK=∆IDK⇒CK=DK⇒K nằm đường trung trực CD.⇒đpcm 4/ a/Bằng cách chứng minh tương tự câu ta có:

IC2=IE.IF ID2=IM.IN Mà IC=ID (cmt)⇒IE.IF=IM.IN

b/ C/m Tứ giác AMNF nội tiếp: Theo chứng minh có E.Ì=IM.IN.p dụng tính chất tỉ lệ thức ta có:

IE IN IM

IF = Tức hai cặp cạnh tam giác IFN tương ứng

tỉ lệ với hai cặp cạnh tam giác IME.Hơn góc EIM chung

⇒∆IEM~∆INF⇒IEM=INF.Mà IEM+MEF=2v⇒MEF+MNF=2v⇒đpcm

ÐÏ(&(ÐÏ

IC=ID⇒I naèm

trênđường trung trực của CD

1/C/m ICKD nt: Vì CI DI hai tt hai đtròn

⇒ICK=IDK=1v

⇒đpcm

2/C/m: IC2=IA.IB

Xét hai tam giác ICE ICBcó góc I chung sđ ICE=

2

1sđ cung

CE (góc tt 1 dây)

Bài 87:

Cho∆ABC có góc nhọn.Vẽ đường trịn tâm O đường kính BC.(O) cắt AB;AC D E.BE CD cắt H

1 Chứng minh:ADHE nội tiếp 2 C/m:AE.AC=AB.AD

3 AH kéo dài cắt BC F.Cmr:H tâm đường tròn nội tiếp ∆DFE 4 Gọi I trung điểm AH.Cmr IE tiếp tuyến (O)

A I

E

D x H

B F O C

1/Cm:ADHE nội tiếp: Ta có BDC=BEC=1v(góc nt chắn nửa đường trịn) ⇒ADH+AEH=2v⇒ADHE nt

2/C/m:AE.AC=AB.AD Ta chứng minh ∆AEB ∆ADC đồng dạng 3/C/m H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF:

Ta phải c/m H giao điểm đường phân giác tam giác DEF

-Tứ giác BDHF nt⇒HED=HBD(cùng chắn cung DH).Mà EBD=ECD (cùng chắn cung DE).Tứ gáic HECF nt⇒ECH=EFH(cùng chắn cung HE)

⇒EFH=HFD⇒FH phân giác DEF

-Tứ gáic BDHF nt⇒FDH=HBF(cùng chắn cung HF).Mà EBC=CDE(cùng chắn cung EC)⇒EDC=CDF⇒DH phân giác góc FDE⇒H là… 4/ C/m IE tiếp tuyến (O):Ta có IA=IH⇒IA=IE=IH=

2

1AH (tính chất trung tuyến tam giác vuông)⇒∆IAE cân I⇒IEA=IAE.Mà IAE=EBC (cùng phụ với góc ECB) AEI=xEC(đối đỉnh)Do ∆OEC cân O⇒

OEC=OCE ⇒xEC+CEO =EBC +ECB=1v Hay xEO=1v Vậy OE⊥IE điểm E nằm đường tròn (O)⇒đpcm

ÐÏ(&(ÐÏ

• O

• O’ Bài 88:

Cho(O;R) (O’;r) cắt Avà B.Qua B vẽ cát tuyến chung CBD⊥AB (C∈(O)) cát tuyến EBF bất kỳ(E∈(O))

1 Chứng minh AOC AO’D thẳng hàng

2 Gọi K giao điểm đường thẳng CE DF.Cmr:AEKF nt 3 Cm:K thuộc đường tròn ngoại tiếp ∆ACD

4 Chứng tỏ FA.EC=FD.EA

A E

C

B D F K

1/C/m AOC vaø AO’D thẳng hàng:

-Vì AB⊥CD ⇒Góc ABC=1v⇒AC đường kính (O)⇒A;O;C thẳng hàng.Tương tự AO’D thẳng hàng

2/C/m AEKF nt: Ta có AEC=1v(góc nt chắn nửa đường tròn tâm O.Tương tự AFD=1v hay AFK=1v ⇒AEK+AFK=2v⇒đpcm

3/Cm: K thuộc đường tròn ngoại tếp ∆ACD

Ta có EAC=EBC(cùng chắn cung EC).Góc EBC=FBD(đối đỉnh).Góc FBD=FAD(cùng chắn cung FD).Mà EAC+ECA=90o ⇒ADF=ACE ACE+ACK=2v⇒ADF+ACK=2v⇒K nằm đường tròn ngoại tiếp … 4/C/m FA.EC=FD.EA

Ta chứng minh hai tam giác vng FAD EAC đồng dạng

EAC=EBC(cùng hcắn cung EC)EBC=FBD(đối đỉnh) FBD=FAD(cùng chắn cung FD)⇒EAC=FAD⇒đpcm

ÐÏ(&(ÐÏ

Baøi 89:

Cho ∆ABC có A=1v.Qua A dựng đường trịn tâm O bán kính R tiếp xúc với BC B dựng (O’;r) tiếp xúc với BC C.Gọi M;N trung điểm AB;AC,OM ON kéo dài cắt K

1. Chứng minh:OAO’ thẳng hàng 2. CM:AMKN nội tiếp

3. Cm AK tiếp tuyến hai đường tròn K nằm BC

4 Chứng tỏ 4MI2=Rr.

O’ A

O

M I N B

K C 1/C/m AOO’ thẳng hàng:

-Vì M trung điểm dây AB⇒OM⊥AB nên OM phân giác góc AOB hay BOM=MOA Xét hai tam giác BKO AKO có OA=OB=R; OK chung BOK=AOK (cmt) ⇒∆KBO=∆KAO ⇒ góc OBK=OAK mà OBK=1v ⇒OAK=1v Chứng minh tương tự ta có O’AK=1v Nên OAK+O’AK=2v ⇒đpcm

2/Cm:AMKN nội tiếp:Ta có Vì AMK=1v(do OMA=1v) ANK=1v ⇒AMK+ANK=2v ⇒đpcm Cần lưu ý AMKN hình chữ nhật 3/C/m AK tiếp tuyến (O) O’)

-Theo chứng minh Góc OAK=1v hay OA⊥AK điểm A nằm đường trịn (O)⇒đpcm.Chứng minh tương tự ta có AK tt (O’)

-C/m K nằm BC:

Theo tính chất hai tt cắt ta có:BKO=OKA AKO’=O’KC

Nhưng AMKN hình chữ nhật⇒MKN=1v hay OKA+O’KA=1v tức có nghĩa góc BKO+O’KC=1v BKO+OKA+AKO’+O’KC=2v⇒K;B;C thẳng hàng ⇒đpcm

4/ C/m: 4MI2=Rr Vì ∆OKO’ vng K có đường cao KA.Aùp dụng hệ

thue=ức lượng tam giác vng có AK2=OA.O’A.Vì MN=AK MI=IN hay MI=

2

1AK⇒ñpcm

ÐÏ(&(ÐÏ

Baøi 90:

Cho tứ giác ABCD (AB>BC) nội tiếp (O) đường kính AC; Hai đường chéo AC DB vng góc với Đường thẳng AB CD kéo dài cắt nhau E; BC AD cắt F

1 Cm:BDEF nội tiếp

2 Chứng tỏ:DA.DF=DC.DE

3 Gọi I giao điểm DB với AC M giao điểm đường thẳng AC với đường tròn ngoại tiếp ∆AEF Cmr: DIMF nội tiếp

4 Gọi H giao điểm AC với FE Cm: AI.AM=AC.AH

E B

A O I C H M

D

F

1/ Cm:DBEF nt: Do ABCD nt (O) đường kính AC⇒ABC=ADC=1v (góc nt chắn nửa đường trịn)⇒ FBE=EDF=1v⇒đpcm

2/ C/m DA.DF=DC.DE:

Xét hai tam giác vng DAC DEF có: Do BF⊥AE ED⊥AF nên C trực tâm ∆AEF⇒Góc CAD=DEF(cùng phụ với góc DFE)⇒đpcm

3/ Cm:DIMF nt: Vì AC⊥BD(gt) ⇒DIM=1v I trung điểm DB(đường kính vng góc với dây DB)⇒∆ADB cân A⇒ AEF cân A (Tự c/m yếu tố này)⇒Đường tròn ngoại tiếp ∆AEF có tâm nằm đường AM ⇒góc AFM=1v(góc nt chắn nửa đường trịn)⇒DIM+DFM=2v⇒đpcm

4/

Baøi 91:

Cho (O) (O’) tiếp xúc A.Đường thẳng OO’ cắt (O) (O’) B và C (khác A) Kẻ tiếp tuyến chung DE(D∈(O)); DB CE kéo dài cắt nhau M

1 Cmr: ADEM nội tiếp

2 Cm: MA tiếp tuyến chung hai đường tròn 3 ADEM hình gì?

4 Chứng tỏ:MD.MB=ME.MC

B O A O’ C

E D

M

Tương tự ta có AMB=ACM⇒Hai tam giác ABM ACM có hai cặp góc tương ứng nhau⇒Cặp góc cịnlại nhau.Hay BAM=MAC.Ta lại có BAM+MAC=2v⇒BAM=MAC=1v hay OA⊥AM điểm A nằm

đtròn…

3/ADEM hình gì?

Vì BAM=1v⇒ABM+AMB=1v.Ta cịn có MA tt đtròn⇒DAM=MBA (cùng nửa cung AD).Tương tự MAE=MCA.Mà theo cmt ta có

ACM=AMB Nên DAM+MAE=ABM+ACM=ABM+AMB=1v.Vậy DAE=1v nên ADEM hình chữ nhật

4/Cm: MD.MB=ME.MC

Tam giác MAC vuông A có đường cao AE.Aùp dụng hệ thức lượng tam giác vng ta có:MA2=ME.MC.Tương tự tam giác vng MAB có MA2=MD.MB⇒đpcm

ÐÏ(&(ÐÏ

1/Cm:ADEM nt: Vì AEC=1v ADB=1v(góc nt chắn nửa đtròn)

⇒ADM+AEM=2v⇒đpcm 2/C/m MA tiếp tuyến của hai đường trịn; -Ta có sđADE=

2 1sđ cungAD=sđ DBA.Và ADE=AME(vì chắn cung AE tứ giác ADME nt)⇒ABM=AMC

Bài 92:

Cho hình vuông ABCD.Trên BC lấy điểm M Từ C hạ CK⊥ với đường thẳng AM

1 Cm: ABKC nội tiếp

2 Đường thẳng CK cắt đường thẳng AB N.Từ B dựng đường vng góc với BD, đường cắt đường thẳng DK E Cmr: BD.KN=BE.KA

3 Cm: MN//DB

4 Cm: BMEN hình vuông

A B N

M E K

D C

1/Cm: ABKC nội tiếp: Ta có ABC=1v (t/c hình vuông); AKC=1v(gt) ⇒ đpcm

2/Cm: BD.KN=BE.KA.Xét hai tam giác vuông BDE KAN có:

Vì ABCD hình vng nên nội tiếp đường trịn có tâm giao điểm hai đường chéo.Góc AKC=1v⇒A;K;C nằm đtrịn đường kính AC.Vậy điểm A;B;C;D;K nằm đường trịn.⇒Góc BDK=KDN (cùng chắn cung BK)⇒∆BDE~∆KAN⇒

KN BE KA

BD = ⇒đpcm 3/ Cm:MN//DB.Vì AK⊥CN CB⊥AN ;AK cắt BC M⇒M trực tâm tam giác ANC⇒NM⊥AC.Mà DB⊥AC(tính chất hình vng)⇒MN//DB

4/Cm:BNEM hình vuông:

Vì MN//DB⇒DBM=BMN(so le) mà DBM=45o⇒BMN =45o⇒∆BNM tam giác vuông cân⇒BN=BM.Do BE⊥DB(gt)và BDM=45o⇒MBE=45o⇒∆MBE tam giác vuông cân BM phân giác tam giác MBN;Ta dễ dàng c/m MN phân giác góc BMN⇒BMEN hình thoi lại có gốc B vng nên BMEN hình vng ÐÏ(&(ÐÏ

Bài 93:

Cho hình chữ nhật ABCD(AB>AD)có AC cắt DB O Gọi M điểm OB N điểm đối xứng với C qua M Kẻ NE; NF NP vuông góc với AB; AD; AC; PN cắt AB Q

1 Cm: QPCB nội tiếp Cm: AN//DB

3 Chứng tỏ F; E; M thẳng hàng Cm: ∆PEN tam giác cân

F N I

A Q E B P

M O

D C

1/C/m QPCB nội tiếp:Ta có:NPC=1v(gt) QBC=1v(tính chất hình chữ nhật).⇒đpcm

2/Cm:AN//DB O giao điểm hai đường chéo hình chữ nhật⇒O trung điểm AC.Vì C N đối xứng với qua M⇒M trung điểm NC ⇒OM đường trung bình ∆ANC⇒OM//AN hay AN//DB

3/Cm:F;E;M thẳng haøng

Gọi I giao điểm EF AN.Dễ dàng chứng minh AFNE hình chữ nhật⇒∆AIE OAB tam gíc cân⇒IAE=IEA ABO=BAO.Vì AN//DB⇒ IAE=ABO(so le)⇒IEA=EAC⇒EF//AC hay IE//ACu

Vì I trung điểm AN;M trung điểm NC⇒IM đường trung bình ∆ANC⇒MI//AC v.Từ uvà vTa có I;E;M thẳng hàng.Mà F;I;E thẳng

hàng ⇒F;F;M thẳng hàng

4/C/m∆PEN cân:Dễ dàng c/m ANEP nội tiếp⇒PNE=EAP(cùng chắn cung PE).Và PNE=EAN(cùng chắn cung EN).Theo chứng minh câu ta suy NAE=EAP⇒ENP=EPN⇒∆PEN cân E

Baøi 94:

Từ đỉnh A hình vng ABCD,ta kẻ hai tia tạo với góc 45o Một tia cắt cạnh BC E cắt đường chéo DB P Tia cắt cạnh CD F cắt đường chéo DB Q

1 Cm:E; P; Q; F; C nằm đường trịn Cm:AB.PE=EB.PF

3 Cm:S∆AEF=2S∆APQ

4 Gọi M trung điểm AE.Cmr: MC=MD A B

M

P E

Q

D F C

1/Cm:E;P;Q;C;F nằm đường trịn:

Ta có QAE=45o.(gt) QBC=45o(t/c hình vng)⇒ABEQ nội tiếp ⇒ABE+AQE=2v mà ABE=1v⇒AQE=1vu.Ta có ∆AQE vng Q có

góc QAE=45o⇒∆AQE vuông cân⇒AEQ=45o.Ta lại có EAF=45o(gt) PDF=45o ⇒APFD nội tiếp⇒APF+ADF=2v maø ADF=1v⇒APF=1vv

và ECF=1v w Từ uvw⇒E;P;Q;F;C nằm đường trịn đường

kính EF

2/Chứng minh: AB.PE=EB.PF.Xét hai tam giác vng ABE có: -Vì ABEQ nt⇒BAE=BQE(Cùng chắn cung BE)

-Vì QPEF nt⇒PQE=PEF(Cùng chắn cung PE) ⇒đpcm

3/Cm: :S∆AEF=2S∆APQ

Theo cm ∆AQE vuông cân Q⇒AE= 2 QE

AQ + = 2AQ Vì QPEF nt ⇒PEF=AQP(cùng phụ với góc PQF);Góc QAP chung ⇒∆AQP~∆AEF⇒

2

AQP AEF

AQ AE S

S

   

= =

( )

2

2 =2⇒ñpcm

4/Cm: MC=MD.Học sinh chứng minh hai ∆MAD=MBC có BC=AD; MBE=MEB=DAE;AM=BM

Bài 95:

Cho hình chữ nhật ABCD có hai đường chéo cắt O.Kẻ AH BK vng góc với BD AC.Đường thẳng AH BK cắt I.Gọi E F trung điểm DH BC.Từ E dụng đường thẳng song song với AD.Đường cắt AH J

1 C/m:OHIK nội tiếp Chứng tỏ KH⊥OI

3 Từ E kẻ đườngthẳng song song với AD.Đường cắt AH J.Chứng tỏ:HJ.KC=HE.KB

4 Chứng minh tứ giác ABFE nội tiếp đường tròn A B

J O

F H K E

D C

I

Ta có OKIH nt⇒OKE=OIE(cùng chắn cung OH).Vì OI⊥AB AD⊥AB ⇒OI//AD⇒OIH=HAD(so le).Mà HAD=HBA(cùng phụ với góc D).Do ABCD hình chữ nhật nên ABH+ACE ⇒OKH=OCE⇒HK//AB.Mà OI⊥AB ⇒OI⊥KH

3/Cm: HJ.KC=HE.KB

Chứng minh hai tam giác vuông HJE KBC đồng dạng 4/Chứng minh ABFE nội tiếp:

VìAH⊥BE;EJ//AD AD⊥AB⇒EJ⊥AB⇒BJ đường cao thứ ba tam giác ABE⇒BJ⊥AE Vì E trung điểm DH;EJ//AD⇒EJ đường trung bình tam giác ADH⇒EJ//=

2

1AB;BF=

1BC mà BC//=AD⇒JE//=BF⇒BJEF hình bình hành⇒JB//EF.Mà BJ⊥AE⇒EF⊥AE hay AEF=1v;Ta lại có ABF=1v⇒ABFE nt

ÐÏ(&(ÐÏ

1/Cm:OHIK nt (Hs tự chứng minh)

Baøi 96:

Cho ∆ABC, phân giác góc góc ngồi góc B C gặp theo thứ tự I J.Từ J kẻ JH; JP; JK vng góc với đường thẳng AB; BC; AC

1 Chứng tỏ A; I; J thẳng hàng Chứng minh: BICJ nt

3 BI kéo dài cắt đường thẳng CJ E Cmr:AE⊥AJ C/m: AI.AJ=AB.AC

1/Chứng minh A;I;J thẳng hàng: Vì

A E

I

B P C

K H

Baøi 97:

Từ đỉnh A hình vng ABCD ta kẻ hai tia Ax Ay cho: Ax cắt cạnh BC P,Ay cắt cạnh CD Q.Kẻ BK⊥Ax;BI⊥Ay DM⊥Ax,DN⊥Ay

1 Chứng tỏ BKIA nội tiếp 2 Chứng minh AD2=AP.MD 3 Chứng minh MN=KI 4 Chứng tỏ KI⊥AN

x

B P C

K

y Q N M I

Baøi 98:

Cho hình bình hành ABCD có góc A>90o.Phân giác góc A cắt cạnh CD đường thẳng BC I K.Hạ KH KM vng góc với CD AM

Baøi 99:

Cho(O) tiếp tuyến Ax.Trên Ax lấy điểm C gọi B trung điểm AC Vẽ cát tuyến BEF.Đường thẳng CE CF gặp lại đường tròn điểm thứ hai tại M N.Dựng hình bình hành AECD

1 Chứng tỏ D nằm đường thẳng EF 2 Chứng minh AFCD nội tiếp

3 Chứng minh:CN.CF=4BE.BF 4 Chứng minh MN//AC

1/Chứng minh D nằm đường thẳng EF:Do ADCE hình bình hành nên E;B;D thẳng hàng.Mà F;E;B thẳng hàng⇒đpcm

2/Cm:AFCD nội tiếp:

-Do ADCE hình bình hành⇒BC//AE⇒góc BCA=ACE(so le) -sđCAE=

2

1sđcung AE(góc tt dây) sđ AFE=

1 sñ cung AE ⇒CAE=AFE.⇒BCN=BFA⇒AFCD nội tiếp

2/Cm CN.CF=4BE.BF

-Xét hai tam gáic BAE BFA có góc ABF chung AFB=BAE(chứng minh trên)⇒∆BAE~∆BFA⇒

AB BE BF AB

= ⇒AB2=BE.BFu

Tương tự hai tam giác CAN CFA đồng dạng⇒AC2=CN.CFv.Nhưng ta lại có AB=

2

1AC.Do đó

u trở thành:

4

1AC2=BE.BF hay AC2=4BE.BFw Từ u w⇒đpcm

4/cm MN//AC Do ADCE hbh⇒BAC=ACE(so le).Vì ADCF nt

⇒DAC=DFC(cùng chắn cung DC).Ta lại có EMN=EFN(cùng chắn cung EN)⇒ACM=CMN⇒MN//AC

ÐÏ(&(ÐÏ

A D M B

E C N

Baøi 100:

Trên (O) lấy điểm A;B;C.Gọi M;N;P theo thứ tự điểm cung AB;BC;AC AM cắt MP BP K I.MN cắt AB E

1. Chứng minh ∆BNI cân 2. PKEN nội tiếp

3. Chứng minh AN.BD=AB.BN

4. Chứng minh I trực tâm ∆MPN IE//BC

Vì cung AM=MB⇒ANM=MPB hay KPE=KNE⇒Hai điểm P;N làm với hai đầu đoạn thẳng KE…⇒đpcm

3/C/m AN.DB=AB.BN

Xeùt hai tam giác BND ANB có góc N chung;Góc NBD=NAB(cùng chắn cung NC=NB)⇒đpcm

4/ •Chứng minh I trực tâm ∆MNP: Gọi giao điểm MP với AB;AC lần lượt F D.Ta có:

sđ AFD=

2

1sđ cung (AP+MB)(góc có đỉnh đường trịn.)

sđ ADF=

2

1sđ cung(PC+AM) (góc có đỉnh đường tròn.)

Mà Cung AP=PC;MB=AM⇒AFD=ADF⇒∆AFD cân A có AN phân giác góc BAC(Vì Cung BN=NC nên BAN=NAC)⇒AN⊥MP hay NA đường cao

∆NMP.Bằng cách làm tương tự ta chứng minh I trực tâm tam gáic MNP

•C/m IE//BC.Ta có ∆BNI cân N có NE phân giác ⇒NE đường trung trực BI⇒EB=EI⇒∆BEI cân E.Ta có EBI=EIB.Do EBI=ABP=PBC (hai góc nội tiếp chắn hai cung PA=PC).Nên PBC=EIB⇒EI//BC

ÐÏ(

&

(ÐÏ

A

P M F K

O E I

B C N

1/C/m ∆BNI cân Ta có

sñBIN=

2

1sñ(AP+BN)

sñIBN=

2

1sđ(CP+CN)

Mà Cung AP=CP; BN=CN(gt)

⇒BIN=IBN⇒∆BNI cân ở N

2/Chứng tỏ PKEN nội tiếp:

on www.pdffactory.com