Đang tải... (xem toàn văn)
dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường c[r]
(1)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | BỒI DƯỠNG HSG CHUYÊN ĐỀ CÁC BÀI TOÁN VỀ SỰ CHIA HẾT CỦA SỐ NGUYÊN
1 Dạng 1: Chứng minh quan hệ chia hết a) Kiến thức:
* Để chứng minh A(n) chia hết cho số m ta phân tích A(n) thành nhân tử có nhân tử làm bội m, m hợp số ta lại phân tích thành nhân tử có đoi nguyên tố nhau, chứng minh A(n) chia hết cho số
* Chú ý:
+ Với k số nguyên liên tiếp củng tồn bội k
+ Khi chứng minh A(n) chia hết cho m ta xét trường hợp số dư chia A(n) cho m + Với số nguyên a, b số tự nhiên n thì:
b) Các tốn
Bài 1: chứng minh
a) 251 - chia hết cho b) 270 + 370 chia hết cho 13
c) 1719 + 1917 chi hết cho 18 d) 3663 - chia hết cho không chia hết cho 37 e) 24n -1 chia hết cho 15 với n N
Giải
a) 251 - = (23)17 - 23 - =
b) 270 + 370 (22)35 + (32)35 = 435 + 935 + = 13 c) 1719 + 1917 = (1719 + 1) + (1917 - 1)
1719 + 17 + = 18 1917 - 19 - = 18 nên (1719 + 1) + (1917 - 1) hay 1719 + 1917 18
d) 3663 - 36 - = 35
3663 - = (3663 + 1) - chi cho 37 dư - e) 4n - = (24) n - 24 - = 15
Bài 2: chứng minh
a) n5 - n chia hết cho 30 với n N ;
b) n4 -10n2 + chia hết cho 384 với n lẻ n Z c) 10n +18n -28 chia hết cho 27 với n N ; Giải:
a) n5 - n = n(n4 - 1) = n(n - 1)(n + 1)(n2 + 1) = (n - 1).n.(n + 1)(n2 + 1) chia hết cho (n - 1).n.(n+1) tích ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho (*)
Mặt khác n5 - n = n(n2 - 1)(n2 + 1) = n(n2 - 1).(n2 - + 5) = n(n2 - 1).(n2 - ) + 5n(n2 - 1) = (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) + 5n(n2 - 1)
(2)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Suy (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) + 5n(n2 - 1) chia hết cho (**)
Từ (*) (**) suy đpcm
b) Đặt A = n4 -10n2 + = (n4-n2 ) - (9n2 - 9) = (n2 - 1)(n2 - 9) = (n - 3)(n - 1)(n + 1)(n + 3) Vì n lẻ nên đặt n = 2k + (k Z)
A = (2k - 2).2k.(2k + 2)(2k + 4) = 16(k - 1).k.(k + 1).(k + 2) A chia hết cho 16 (1)
Và (k - 1).k.(k + 1).(k + 2) tích số nguyên liên tiếp nên A có chứa bội 2, 3, nên A bội 24 hay A chia hết cho 24 (2)
Từ (1) (2) suy A chia hết cho 16 24 = 384 c) 10 n +18n -28 = ( 10 n - 9n - 1) + (27n - 27) + Ta có: 27n - 27 27 (1)
+ 10 n - 9n - = [( n 9
+ 1) - 9n - 1] = n 9
- 9n = 9( n 1
- n) 27 (2) 9 n
1
- n n 1
- n số có tổng chữ số chia hết cho Từ (1) (2) suy đpcm
Bài 3: Chứng minh với số nguyên a a) a3 - a chia hết cho
b) a7 - a chia hết cho Giải
a) a3 - a = a(a2 - 1) = (a - 1) a (a + 1) tích ba số nguyên liên tiếp nên tồn số bội nên (a - 1) a (a + 1) chia hết cho
b) ) a7 - a = a(a6 - 1) = a(a2 - 1)(a2 + a + 1)(a2 - a + 1) Nếu a = 7k (k Z) a chia hết cho
Nếu a = 7k + (k Z) a2 - = 49k2 + 14k chia hết cho
Nếu a = 7k + (k Z) a2 + a + = 49k2 + 35k + chia hết cho Nếu a = 7k + (k Z) a2 - a + = 49k2 + 35k + chia hết cho Trong trường hợp củng có thừa số chia hết cho
Vậy: a7 - a chia hết cho
Bài 4: Chứng minh A = 13 + 23 + 33 + + 1003 chia hết cho B = + + + + 100 Giải
Ta có: B = (1 + 100) + (2 + 99) + + (50 + 51) = 101 50
Để chứng minh A chia hết cho B ta chứng minh A chia hết cho 50 101 Ta có: A = (13 + 1003) + (23 + 993) + +(503 + 513)
= (1 + 100)(12 + 100 + 1002) + (2 + 99)(22 + 99 + 992) + + (50 + 51)(502 + 50 51 + 512) = 101(12 + 100 + 1002 + 22 + 99 + 992 + + 502 + 50 51 + 512) chia hết cho 101 (1)
Lại có: A = (13 + 993) + (23 + 983) + + (503 + 1003)
(3)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Từ (1) (2) suy A chia hết cho 101 50 nên A chi hết cho B
2 Dạng 2: Tìm số dư phép chia Bài 1:
Tìm số dư chia 2100
a)cho 9, b) cho 25, c) cho 125 Giải
a) Luỹ thừa sát với bội 23 = = -
Ta có : 2100 = (23)33 = 2.(9 - 1)33 = 2.[B(9) - 1] = B(9) - = B(9) + Vậy: 2100 chia cho dư
b) Tương tự ta có: 2100 = (210)10 = 102410 = [B(25) - 1]10 = B(25) + Vậy: 2100 chia chop 25 dư
c)Sử dụng công thức Niutơn:
2100 = (5 - 1)50 = (550 - 549 + … +
50.49
2 52 - 50 ) +
Không kể phần hệ số khai triển Niutơn 48 số hạng đầu chứa thừa số với số mũ lớn nên chia hết cho 53 = 125, hai số hạng tiếp theo:
50.49
2 52 - 50.5 chia hết cho 125 , số hạng cuối
Vậy: 2100 = B(125) + nên chia cho 125 dư Bài 2:
Viết số 19951995 thành tổng số tự nhiên Tổng lập phương chia cho dư bao nhiêu? Giải
Đặt 19951995 = a = a
1 + a2 + …+ an Gọi
3 3
1 n
S = a +a + a + + a
=
3 3
1 n
a +a + a + + a
+ a - a = (a1 - a1) + (a2 - a2) + …+ (an - an) + a
Mỗi dấu ngoặc chia hết cho dấu ngoặc tích ba số tự nhiên liên tiếp Chỉ cần tìm số dư chia a cho
1995 số lẻ chia hết cho 3, nên a củng số lẻ chia hết cho 3, chia cho dư Bài 3: Tìm ba chữ số tận 2100 viết hệ thập phân
giải
Tìm chữ số tận tìm số dư phép chia 2100 cho 1000 Trước hết ta tìm số dư phép chia 2100 cho 125
Vận dụng ta có 2100 = B(125) + mà 2100 số chẵn nên chữ số tận 126, 376, 626 876
(4)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vậy: 2100 viết hệ thập phân có ba chữ số tận 376
Tổng quát: Nếu n số chẵn khơng chia hết cho chữ số tận 376 Bài 4: Tìm số dư phép chia số sau cho
a) 2222 + 5555 b)31993 c) 19921993 + 19941995 d)
1930
2 Giải
a) ta có: 2222 + 5555 = (21 + 1)22 + (56 – 1)55 = (BS +1)22 + (BS – 1)55 = BS + + BS - = BS nên 2222 + 5555 chia dư
b) Luỹ thừa sát với bội 33 = BS – Ta thấy 1993 = BS + = 6k + 1, đó:
31993= 3 6k + 1 = 3.(33)2k = 3(BS – 1)2k = 3(BS + 1) = BS + c) Ta thấy 1995 chia hết cho 7, đó:
19921993 + 19941995 = (BS – 3)1993 + (BS – 1)1995 = BS – 31993 + BS – Theo câu b ta có 31993 = BS + nên
19921993 + 19941995 = BS – (BS + 3) – = BS – nên chia cho dư d)
1930
2
3 = 32860 = 33k + 1 = 3.33k = 3(BS – 1) = BS – nên chia cho dư 3 Dạng 3: Tìm điều kiện để xảy quan hệ chia hết
Bài 1: Tìm n Z để giá trị biểu thức A = n3 + 2n2 - 3n + chia hết cho giá trị biểu thức B = n2 - n
Giải
Chia A cho B ta có: n3 + 2n2 - 3n + = (n + 3)(n2 - n) +
Để A chia hết cho B phải chia hết cho n2 - n = n(n - 1) chia hết cho n, ta có:
n - -
n - - -
n(n - 1) 2
loại loại
Vậy: Để giá trị biểu thức A = n3 + 2n2 - 3n + chia hết cho giá trị biểu thức B = n2 - n n − 1; 2
Bài 2:
a) Tìm n N để n5 + chia hết cho n3 + b) Giải toán n Z
Giải
(5)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | (n + 1)(n - 1) (n + 1)(n2 - n + 1) n - n2 - n + (Vì n + 0)
a) Nếu n =
Nếu n > n - < n(n - 1) + < n2 - n + nên xẩy n - n2 - n + Vậy giá trụ n tìm n =
b) n - n2 - n + n(n - 1) n2 - n + (n2 - n + ) - n2 - n + n2 - n + Có hai trường hợp xẩy ra:
+ n2 - n + = n(n - 1) =
n n
= =
(Tm đề bài) + n2 - n + = -1 n2 - n + = (Vơ nghiệm)
Bài 3: Tìm số nguyên n cho:
a) n2 + 2n - 11 b) 2n3 + n2 + 7n + 2n - c) n4 - 2n3 + 2n2 - 2n + n4 - d) n3 - n2 + 2n + n2 + Giải
a) Tách n2 + 2n - thành tổng hai hạng tử có hạng tử B(11) n2 + 2n - 11 (n2 - 2n - 15) + 11 11 (n - 3)(n + 5) + 11 11
(n - 3)(n + 5) 11
n 1 n = B(11) + n + 1 n = B(11) -
−
b) 2n3 + n2 + 7n + = (n2 + n + 4) (2n - 1) +
Để 2n3 + n2 + 7n + 2n - 2n - hay 2n - Ư(5)
2n = - n = - 2n = -1 n = 2n = n = 2n = n =
− − − −
Vậy: n − 2; 0; 1; 2n3 + n2 + 7n + 2n - c) n4 - 2n3 + 2n2 - 2n + n4 -
Đặt A = n4 - 2n3 + 2n2 - 2n + = (n4 - n3) - (n3 - n2) + (n2 - n) - (n - 1)
= n3(n - 1) - n2(n - 1) + n(n - 1) - (n - 1) = (n - 1) (n3 - n2 + n - 1) = (n - 1)2(n2 + 1) B = n4 - = (n - 1)(n + 1)(n2 + 1)
A chia hết cho b nên n A chia hết cho B n - n + (n + 1) - n +
n +
n = -3 n = -
n = - n = -
n = n =
n = n = (khong Tm) + + + +
(6)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | d) Chia n3 - n2 + 2n + cho n2 + thương n - 1, dư n +
Để n3 - n2 + 2n + n2 + n + n2 + (n + 8)(n - 8) n2 + 65 n2 + Lần lượt cho n2 + 1; 5; 13; 65 ta n 0; 2; 8
Thử lại ta có n = 0; n = 2; n = (T/m) Vậy: n3 - n2 + 2n + n2 + n = 0, n = 4 Dạng 4: Tồn hay không tồn chia hết Bài 1: Tìm n N cho 2n – chia hết cho Giải
Nếu n = 3k ( k N) 2n – = 23k – = 8k - chia hết cho
Nếu n = 3k + ( k N) 2n – = 23k + – = 2(23k – 1) + = BS + Nếu n = 3k + ( k N) 2n – = 23k + – = 4(23k – 1) + = BS + V ậy: 2n – chia hết cho n = BS
Bài 2: Tìm n N để: a) 3n – chia hết cho
b) A = 32n + 3 + 24n + 1 chia hết cho 25 c) 5n – 2n chia hết cho
Giải
a) Khi n = 2k (k N) 3n – = 32k – = 9k – chia hết cho – = Khi n = 2k + (k N) 3n – = 32k + – = (9k – ) + = BS + Vậy : 3n – chia hết cho n = 2k (k N)
b) A = 32n + + 24n + = 27 32n + 2.24n = (25 + 2) 32n + 2.24n = 25 32n + 2.32n + 2.24n = BS 25 + 2(9n + 16n)
Nếu n = 2k +1(k N) 9n + 16n = 92k + + 162k + chia hết cho + 16 = 25
Nếu n = 2k (k N) 9n có chữ số tận , cịn 16n có chữ số tận
suy 2((9n + 16n) có chữ số tận nên A không chia hết không chia hết cho 25 c) Nếu n = 3k (k N) 5n – 2n = 53k – 23k chia hết cho 53 – 23 = 117 nên chia hết cho
Nếu n = 3k + 5n – 2n = 5.53k – 2.23k = 5(53k – 23k) + 23k = BS + 8k = BS + 3(BS – 1)k = BS + BS +
Tương tự: n = 3k + 5n – 2n khơng chia hết cho
(7)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội
dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng
I.Luyện Thi Online
- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây
dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học
- Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường
PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn
II.Khoá Học Nâng Cao HSG
- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho em HS
THCS lớp 6, 7, 8, yêu thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG
- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành
cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đơi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia
III.Kênh học tập miễn phí
- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất
môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động
- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi
miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online Chuyên Gia
I.Luyện Thi Online - Luyên thi ĐH, THPT QG: - Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán II.Khoá Học Nâng Cao HSG III.Kênh học tập miễn phí - HOC247 TV: