DE THI HOC SINH GIOI TOAN toanhv

[r]

THPT Hương Vinh

Sở Giáo Dục&Đào Tạo Thừa Thiên-Huế Trường THPT Hương Vinh

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 12 (Năm học 2007-2008)

(Thời gian làm : 180 phút)

Câu1(2 điểm) : Cho hàm số y = f(x) liên tục đoạn [0;1] có đạo hàm khoảng (0;1)

Gỉa sử f(0) = f(1) =

a) Chứng minh tồn số c thuộc khoảng (0;1) cho f(c) = 1-c

b) Chứng minh tồn hai số a,b phân biệt thuộc khoảng (0;1) cho :

1 ) ( ) ( ' '



b f a f

Câu2 (2 điểm) : Cho cặp số thực (x;y) thoả mãn điều kiện : x-2y+4 = 0

Tính giá trị nhỏ biểu thức :

P = 2 12 45 2 10 16 89

       

y x y x y x y

x

Câu3 (2 điểm)Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M mặt phẳng chứa tam giác sao

cho :

a) MAMBMC  MBMC

3

b) 2MAMB 4MB MC

Câu4 (2 diểm) : Cho phương trình     x  x

xn n (n nguyên dương)

a) Chứng minh phương trình có nghiệm dương xn b) Tính lim xn

Câu (2điểm): Cho dãy số(un) xác định sau :

    

 



   

 ( 12,3,, )

)1 2 ( 1

1 2 2

1

n u u

u u

n n

n

Chứng minh :

8

2 2007



tg

u 

-HẾT -THPT Hương Vinh

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM TOÁN 12 *****

Câu1(2 điểm) : a) * Dặt g(x) = f(x) +x -1 với x thuộc đoạn [0;1]

thì g(x) liên tục đoạn [0;1] (0.25 điểm) * g(0) = -1 < , g(1) = >0 (o.25 điểm) *Suy tồn số c thuộc khoảng (0;1) cho g(c) =

c c

f c

c

f      

 ( ) ( ) (0.5 điểm)

b) * áp dụng định lí Lagrang cho f(x) hai đoạn [0;c] [c;1] , ta có : tồn a thuộc (0;c) cho :

c c f c

f c f a

f ( )

0 ) ( ) ( ) (

' 

  

tồn b thuộc (c;1) cho :

c c f c

c f f b f

   

 

1 ) ( 1

) ( ) ( ) (

' (0.5 điểm)

* Rõ ràng a,b phân biệt tích

1 1

) ( ) ( ) ( ' ) (

' 

   

 

c c c

c c

c f c

c f b f a

f

(0.5 điểm)

Câu2 (2 điểm) :

* Biến đổi : P = ( 3)2 ( 6)2 ( 5)2 ( 8)2

     

 y x y

x (0.5 điểm)

* Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, gọi d đường thẳng có phương trình x-2y+4 = điểm M(x;y), A(3;6), B(5;8) P = MA+MB (0.25 điểm)

* Bài tốn trở thành tìm toạ độ điểm M thuộc d cho tổng MA+MB đạt giá trị nhỏ

nhất (0.25 điểm)

* Dễ dàng kiểm tra A, B nằm phía d

Tìm toạ độ điểm A’, đối xứng A qua d, A’(5;2) (0.25 điểm) *Với M thuộc d , ta có : MA+MB = MA’+MB ≥ A’B (không đổi)

Đẳng thức xảy A’, M, B thẳng hang hay M giao điểm d với

đường thẳng A’B (0.25 điểm)

*Tìm phương trình đường thẳng A’B : x-5 = (0.25 điểm) * Giải hệ phương trình :

  

  

 

0 4 2

0 5

y x x

cho M(5; )

*Vậy Min P = x = y = 4,5 (0.25 điểm)

Câu (2 điểm) :

a) Gọi G tâm tam giác ABC, I trung điểm BC Ta có G, I cố định M thuộc quỹ tích MA MB MC MB MC MG 2MI

2 3

2

 

 

 

  MG MI

(0.5 điểm) Vậy tập hợp điểm M đường trung trực đoạn thẳng GI (0.25 diểm) c) * Gọi P điểm cho 2PAPB0 (tức P chia đoạn AB theo tỉ số

2  

k )

Q điểm cho 4QB QC 0 (tức Q chia đoạn BC theo tỉ số 

THPT Hương Vinh

*M thuộc quỹ tích  2MAMB 4MB MC

) (

) (

4 ) (

) (

2 MPPA  MPPB  MQQB  MQQC



QC QB MQ

PB PA

MP    

 3  3MP 3MQ  MP MQ (0.5 điểm)

Vậy quỹ tích điểm M đường trung trực đoạn thẳng PQ (0.25điểm)

Câu 4(2điểm)a) Đặt f (x)xn xn1 x1

n fn(x) liên tục IR (0.25điểm) * Với n = f1(x)= x-1 có nghiệm dương x = (0.25điểm) * Với n2thì fn'(x)nxn1(n1)xn2  10, với x thuộc [0;+)

Do fn(x) tăng [0;+) (0.25điểm)

Ngoài : fn(0) = -1 < , fn(1) = n-1 >0 nên phương trình có nghiệm xn thuộc (0;1) (0.25điểm) b) Ta có : xnn xnn1 xn 1 0<xn<1 nên n tăng xn giảm Vậy dãy (xn) giảm bị chận nên a= lim xn tồn (0.25điểm)

* 0<xn<1 1= ( 2)

1

 



n x x x

n n

n

n (0.5điểm)

Nên n , ta có : 1  21 

 a

a a

= lim xn (0.25điểm)

Câu (2điểm)

*Dặt u1 = 2tga lưu ý

8

2 tg (0.5điểm)

* u2 = ( 8)

8

8 

 

  



a tg tg

tga tg tga

u3 = ( 2.8)

)) ( (

8 ) (

 



 

   

 

a tg a

tg tg

tg a

tg

(0.5điểm) *Bằng qui nạp ta chứng minh : )

8 ) (

(    tg a n

un (0.5điểm)

*Cho n = 2007, ta có : )

4 ( ) 25 ( ) 2006 (

2007

 

 

  

  

tg a tg a tg a

u

= ( 1) 8

1

1 )

(a  tg2

tg   

  

 (0.5điểm)