Nếu lấy được những vé có ghi số không chia hết cho 5 thì phải trả một số tiền tương ứng với số ghi trên tấm vé nhân với 1000 đồng.. 0,25[r]
(1)Trang 1/2 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ CẦN THƠ
(Đề thi có 02 trang)
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THPT CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2017-2018
Khóa ngày 09 tháng 02 năm 2018 MƠN: TỐN
Thời gian làm bài: 180 phút, khơng kể thời gian phát đề Câu (3,0 điểm) Cho hàm số 1( 4) (2 3) (
3
y x m x m m x m m
tham số thực) Tìm tất giá trị m để hàm số cho có hai điểm cực trị x x cho 1, 2 1,
x x độ dài hai cạnh liên tiếp hình chữ nhật có đường chéo nhỏ
Câu (3,0 điểm) Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số 1
x y
x để tiếp tuyến đồ
thị M cắt hai trục tọa độ hai điểm ,A B cho diện tích tam giác OAB 2, với O gốc tọa độ
Câu (4,0 điểm)
a) Cơng ty kinh doanh địa ốc X có nhân viên Phòng Marketing, nhân viên Phòng Tài vụ nhân viên Phịng Kinh doanh hồn thành xuất sắc nhiệm vụ năm 2017 Lãnh đạo Công ty chọn ngẫu nhiên người nhân viên để sang Trung Quốc xem Đội tuyển U23 Việt Nam thi đấu trận chung kết giải Bóng đá U23 Châu Á Tính xác suất để người chọn có đủ nhân viên phòng
b) Giải phương trình log (2x x 1)2 log log (2x 2 x2 x)
Câu (2,0 điểm) Trong thi, vận động viên xuất phát từ điểm A biển, chèo thuyền đến điểm M bờ biển sau chạy đích đặt điểm C Biết điểm xuất phát cách bờ khoảng AB km; BC km (như hình vẽ); vận tốc chèo thuyền chạy vận động viên km/h 10 km/h Hỏi vận động viên phải chọn điểm M cách điểm đích C khoảng km cho tổng thời gian thi đấu nhỏ nhất?
Câu (3,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh o
, D 60 ,
a BA SA SB a. Gọi G trọng tâm tam giác ABD biết ,
a SG
a) Tính thể tích khối chóp S ABCD
b) Gọi E điểm thuộc cạnh SD cho
a
SE Chứng minh GE vng góc với mặt phẳng (SCD tính khoảng cách từ điểm ) A đến mặt phẳng (SCD )
(2)Trang 2/2 Câu (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABCcó trực tâm H(3; 0) trung điểm BC (6;1).I Đường thẳng AH có phương trình x 2y Gọi
,
D E lần lượt chân đường cao kẻ từ B C tam giác ABC. Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết đường thẳng DE có phương trình x 0 điểm D có tung độ dương Câu (2,0 điểm) Tại Hội chợ triển lãm quốc tế, Ban tổ chức xếp cho khách tham quan xem buổi biểu diễn văn nghệ hình thức bán vé khuyến Ban tổ chức có 100 vé ghi số liên tiếp từ đến 100 Người mua vé lấy vé ngẫu nhiên từ thùng đựng vé Nếu lấy vé có ghi số chia hết cho miễn phí tiền mua vé Nếu lấy vé có ghi số khơng chia hết cho phải trả số tiền tương ứng với số ghi vé nhân với 1000 đồng Hỏi bán hết 100 vé Ban tổ chức thu tổng số tiền bán vé bao nhiêu?
Câu (1,0 điểm) Xét số thực a b c thay đổi thuộc đoạn , , 1;2 thỏa mãn
a b c Tìm giá trị lớn biểu thức
4 5 6 1
a b c abc
P abc
ab bc ca
-HẾT -
Ghi chú: Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm
(3)Trang 3/2 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ CẦN THƠ
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THPT CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2017-2018
Khóa ngày 09 tháng 02 năm 2018 MƠN: TỐN
HƯỚNG DẪN CHẤM
Câu Đáp án Điểm
Câu (3,0 điểm)
Cho hàm số 1( 4) (2 3) (
3
y x m x m m x m m tham số
thực) Tìm tất giá trị m để hàm số cho có hai điểm cực trị x x1, 2 cho x x1, 2 lần lượt độ dài hai cạnh liên tiếp hình chữ nhật có đường chéo nhỏ
3,0 điểm
TXĐ: D
2 ( 4) 2 5 3
y x m x m m 0,5
Hàm số có hai điểm cực trị phương trình y có hai nghiệm phân biệt
2
0 (m 4) 4( 2m 5m 3) 0,25
2
9 12
(3 2)
2
m m
m m
0,25
Khi nghiệm y x 2m 1; x m 0,25
Theo giả thiết x x1, 2 độ dài hai cạnh liên tiếp hình chữ nhật
nên 1
3
m
m m
0,25
Đường chéo hình chữ nhật p x12 x22 5m2 2m 10 0,5
1 49
5
5 5
p m 0,5
7
5
p
m 0,25
So với điều kiện,
m giá trị cần tìm 0,25
Câu (3,0 điểm)
Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số 1
x y
x để tiếp tuyến đồ thị M cắt hai
trục tọa độ hai điểm A B, cho diện tích tam giác OAB 2, với O gốc tọa độ
3,0 điểm
Gọi ;2 ,
1
m
M m m
m điểm thuộc đồ thị 0,25
Ta có: 2
1
y
x 0,25
(4)Trang 4/2 Phương trình tiếp tuyến M 2 ( )
1
m
y x m d
m
m 0,25
2
*A ( )d Ox A m(2 2m 1; 0) 0,5
2
2
2
* ( ) 0;
( 1)
m m
B d Oy B
m 0,5
Ta thấy 2m2 2m 0, m nên A khác B
Khi
2
2
2
2 2
1
2 ( 1) ( 1)
OAB
m m m m
S
m m
0,25
2
2
2
2 4( 1)
2
m m m
m m m 0,25
2
2 ( )
2
m m VN
m 0,25
2
;
2
m m (thỏa mãn điều kiện) 0,25
Vậy điểm cần tìm 1 2 2; , 2 2 2;
2 2 2 2 2
M M 0,25
Câu (4,0 điểm)
a) Công ty kinh doanh địa ốc X có nhân viên Phịng Marketing, nhân viên Phòng Tài vụ nhân viên Phòng Kinh doanh hoàn thành xuất sắc nhiệm vụ năm 2017 Lãnh đạo Công ty chọn ngẫu nhiên người nhân viên để sang Trung Quốc xem Đội tuyển U23 Việt Nam thi đấu trận chung kết giải Bóng đá U23 Châu Á Tính xác suất để người chọn có đủ nhân viên phịng
2,0 điểm
Cơng ty có 15 nhân viên hoàn thành xuất sắc nhiệm vụ năm 2017 0,25 Chọn ngẫu nhiên nhân viên có C154 cách chọn hay n( ) C154 1365 0,5 Gọi A biến cố người chọn có đủ nhân viên phịng Khi ta
có:
* Trường hợp 1: Marketing, Tài vụ, Kinh doanh Có C C C42 .51 61 180 cách chọn
0,25 * Trường hợp 2: Marketing, Tài vụ, Kinh doanh
Có C C C41 .52 61 240 cách chọn 0,25
* Trường hợp 3: Marketing, Tài vụ, Kinh doanh
Có C C C41 .51 62 300 cách chọn 0,25
Suy n A( ) C C C42 .51 61 C C C41 .52 61 C C C41 .51 62 720 0,25 Vậy xác suất cần tính
2 1 1 6
4 15
( ) 720 48
( )
( ) 1365 91
C C C C C C C C C
n A p A
n C
0,25
b) Giải phương trình log (2x x 1)2 log log (2x 2 x2 x) (*) 2,0 điểm
ĐK: 2
0
x
x
(5)Trang 5/2 2
2
2 2
2
2 2
( )
(*) log log log ( )
2 log ( ) log log log ( )
x x
x x x
x
x x x x x x
0,25
2
2 2
2 log (x x) log x log (x x) 0,25
2
2
log (x x) log x 0,25
2 2
log ( )
log
x x
x 0,25
2
2
x x
x 0,25
1;
4
x x
x 0,25
Kết hợp với điều kiện, nghiệm phương trình x 0,25
Câu 4 (2,0 điểm)
2,0 điểm
Đặt x BM (0 x 9), ta có:
Thời gian chèo thuyền
2
25
x
t 0,25
Thời gian chạy 1 10
x
t 0,25
Tổng thời gian thi đấu vận động viên
2 25 9 ( )
6 10
x x
f x
2
1 ( )
10
6 25
x f x
x
0,5
2 15
( ) 16 9.25
4
f x x x 0,25
BBT:
0,25
Ta thấy ( )f x nhỏ 15 3, 75
x 0,25
(6)Trang 6/2 Câu
(3,0 điểm)
Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a BA, D 60 ,o
SA SB a Gọi G trọng tâm tam giác ,
a ABD SG
3,0 điểm
a) Tính thể tích khối chóp S ABCD 1,5
điểm
0,25
Tam giácABD có AB AD a BA, D 60o nên
Suy 3
3
a a
GA GB
0,25
Xét tam giác SGA có SG2 GA2 a2 SA2 nên tam giác SGA vuông G
Tương tự tam giác SGB vuông G 0,25
Vậy GA SG SG (GAB)
GB SG hay SG (ABCD) 0,25
Mặt khác
2 3
ABD
a
S 0,25
Suy
2
1
.2
3
S ABCD
a a a
V 0,25
b) Gọi E điểm thuộc cạnh SD cho
a
SE Chứng minh GE vng góc với mặt phẳng (SCD) tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD)
1,5 điểm Xét hai tam giác vng SGA SGD có cạnh SG chung GA GD nên chúng
nhau Suy SD SA a 0,25
Trong tam giác vng SGD, có E thuộc cạnh SD
2
2
3
a
AE SD SG
Suy GE SD (1)
0,25
Mặt khác AB/ /CD CD GD
GD AB
Mà CD SG CD (SGD) CD GE (2)
0,25
Từ (1) (2) suy GE (SCD)
Ta có ( ,( )) ( ,( )) ( ,( ))
( ,( )) 2
d A SCD CA
d A SCD d G SCD
d G SCD CE 0,25
2
3
( ,( ))
2
GS GD
d A SCD GE
GS GD 0,25
G
C
D B
A
O S
(7)Trang 7/2
2
6
3 3 3 2
( ,( ))
2
6
3
a a
a a
d A SCD
a a 0,25
Câu (2,0 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABCcó trực tâm H(3; 0)và trung điểm
BC (6;1).I Đường thẳng AH có phương trình x 2y Gọi ,D E là chân đường cao kẻ từ B C tam giác ABC. Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABCbiết đường thẳng DE có phương trình x 0 điểm D có tung độ dương
2,0 điểm
0,25
Gọi K trung điểm AH Khi K, I tâm đường tròn ngoại tiếp AEHD
BEDC Suy KI DE 0,25
Đường thẳng IK qua I vng góc với DE nên có phương trình y K AH KInên tọa độ K nghiệm hệ phương trình
1
1;1
2
y
K
x y
0,25
Vì K trung điểm AH nên A 1;2 0,25
Do D thuộc đường thẳng DE nên gọi D2;d
Ta có 12 ( ) 2;3 ( )
d n
KA KD d D
d l
0,25 Đường thẳng AC qua A D nên có phương trình x3y 7
Đường thẳng BC qua I vng góc với AH nên có phương trình 2x y 11
0,25 C AC BC Tọa độ C nghiệm hệ phương trình
3
8;5
2 11
x y
C
x y
0,25
Vì I trung điểm BC nên suy B 4; 0,25 Tại Hội chợ triển lãm quốc tế, Ban tổ chức xếp cho khách tham quan xem buổi biểu diễn văn nghệ hình thức bán vé khuyến Ban tổ chức có 100 vé ghi số liên tiếp từ đến 100 Người mua vé lấy vé ngẫu nhiên từ thùng đựng vé Nếu lấy vé có ghi số chia hết cho miễn phí tiền mua vé Nếu lấy vé có ghi số khơng chia hết cho phải trả số tiền tương ứng với số ghi vé nhân với 1000 đồng Hỏi bán hết 100 vé Ban tổ chức thu tổng số tiền bán vé bao nhiêu?
2,0 điểm
Đặt u u u1, , , ,2 3 u100 số tiền tương ứng với vé có số 1, 2, …, 100 Đây cấp số cộng có 100 số hạng với số hạng đầu 1, số hạng cuối 100, công sai
1
d
0,5 I
K D
E H A
B C
Ta có
(8)Trang 8/2 Câu
(2,0 điểm)
100
100(1 100)
5050
S
0,25 Tổng số tiền bán hết 100 vé, chưa kể 20 vé miễn phí 050 000 đồng 0,25 Các vé có ghi số chia hết cho tương ứng với u u u5, 10, 15, ,u100 Đây cấp số cộng có 20 số hạng với số hạng đầu 5, số hạng cuối 100 công sai d 0,25
20
20(5 100)
1050
S 0,25
Tổng số tiền bán hết 20 vé miễn phí tính vào 100 vé 1050 000 đồng 0,25 Vậy tổng số tiền bán vé thực tế (5050 1050) 1000 000 000 đồng 0,25
Câu (1,0 điểm)
Xét số thực , ,a b c thay đổi thuộc đoạn 1;2 thỏa mãn a b c Tìm giá trị lớn biểu thức
4 5 6 1
a b c abc
P abc
ab bc ca
1,0 điểm
Vì a b c, , 1;2 nên ta có a4 ,a 2 b4 b 2
4 2 2
4 2
5 5( )
5 5[( ) 2( )]
a b c a b c
a b c a b c ab bc ca
4 5 72 10( )
a b c ab bc ca (1) * (a 2)(b 2)(c 2)
2( ) 4( )
abc ab bc ca a b c
2( )
abc ab bc ca (2)
Từ (1) (2) suy a4 b4 5c2 6abc 25 2(ab bc ca (4) )
0,25
Mặt khác, ta có (a 1)(b 1)(c 1)
( ) ( )
abc ab bc ca a b c
( )
abc ab bc ca (5) Từ (2) (5) suy
3 2( )
ab bc ca abc ab bc ca
5
ab bc ca
4 5 6 2( ) 24
a b c abc ab bc ca
Từ (4) (5) ta suy
2( ) 25 25
( ) ( )
ab bc ca
P ab bc ca ab bc ca
ab bc ca ab bc ca
0,25
Đặt t ab bc ca, ta có
2
( ) 16
3
a b c
ab bc ca
16 5;
3
t
Ta có P 25 t f t( )
t Xét hàm số
25
( ) 5,
f t t
t
16 5;
3
t
Ta có f t( ) 252 0,
t
16 5;
3
t
(9)Trang 9/2 Suy ( )f t nghịch biến suy P f t( ) f(5)
Vậy maxP 5 a b 1, c a c 1,b a 2,b c 0,25