Đề thi olympic môn Toán lớp 10 năm 2020 - 2021 tỉnh Quảng Nam có đáp án chi tiết - Lần 1 | Toán học, Lớp 10 - Ôn Luyện

Tìm m để đồ thị các hàm số trên cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B sao cho khoảng cách từ trung điểm I của đoạn thẳng AB đến các trục tọa độ bằng nhau.. Trên đường tròn có bán kín[r]

Thuvienhoclieu.Com Page ĐỀ THI CHÍNH THỨC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM

KỲ THI OLYMPIC 24–3

LẦN THỨ NHẤT Mơn thi: TỐN 10

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

Câu (5,0 điểm)

a) Giải phương trình 3x 4 x  2 x b) Giải hệ phương trình  

 

2

2

3x 2y 4y 4y 21

3x 2y x 20

    

 

  

 Câu (3,0 điểm)

a) Tìm tập xác định của hàm sớ : y x33x24

b) Cho hai hàm số yx22x3 y4xm (m tham số) Tìm m để đồ thị hàm số cắt hai điểm phân biệt A, B cho khoảng cách từ trung điểm I của đoạn thẳng AB đến trục tọa độ

Câu (3,0 điểm)

Cho ba số thực dương x, y, z thỏa x + y + z =3 Tìm giá trị nhỏ của biểu thức sau:

  3  3 3

3 2 2 2

2x 3y z 2y 3z x 2z 3x y

P

3 z x x y y z

     

  

  

Câu (2,0 điểm)

Trên đường trịn có bán kính ta lấy 17 điểm Chứng minh 17 điểm có ba điểm tạo thành ba đỉnh của tam giác có diện tích nhỏ

20 Câu (4,0 điểm)

a) Cho tam giác ABC vng B có A 600 Gọi M là trung điểm cạnh BC, N là điểm thỏa mãn AN 2AC

5

 Chứng minh AM  BN

b) Cho hai đường tròn (O1; r) (O2; R) tiếp xúc A ( r < R ) Qua điểm A vẽ cát tuyến cắt (O1) B cắt (O2) C (B; C khác A) Một đường tròn (T) thay đổi qua B C cắt (O2) D (D khác C) cắt (O1) E (E khác B) Gọi M là giao điểm của CD BE Chứng minh điểm M di động đường thẳng cố định

Câu (3,0 điểm)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn (T) có đường chéo AC là đường kính C(4; –2), đường chéo BD có trung điểm M(3 ; –1) Một đường thẳng qua D điểm E(–1; –3) cho DE song song BC Biết đường thẳng AB qua F(1 ; 3) Tìm tọa độ điểm A; B; D

Thuvienhoclieu.Com Page SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG NAM

KỲ THI OLYMPIC 24–3 QUẢNG NAM LẦN THỨ NHẤT Mơn thi: TỐN 10

HƯỚNG DẪN CHẤM

Câu Nội dung Điểm

Câu 5,0

Giải phương trình: 3x 4 x  2 x 3 (1) 2,0 ĐK: x  4/3 (*)

Khi đó: (1)  2x x 3x x

  

  

 x (thoa (*))

3x x 2 (2) 

 

   



(2)  (3x4)(x2)  3 2x  x2 – 14x + 17 = và x ≤ 3/2

 x 7 (thỏa (*)) Vậy (1) có nghiệm: x = x 7 2

0,25 0,5 0,5 0.25 0,25 0,25 b) Giải hệ phương trình  

 

2

2

3x 2y 4y 4y 21

3x 2y x 20

    

 

  

 3,0

 

 

2

2

3x 2y 4y 4y 21

3x 2y x 20

    

 

  



   

 

2

2

3x 2y 2y 20

3x 2y x 20

    

  

  

 (I)

Đặt t = 2y – hệ (I) trở thành:

2

2

3x t t 20 (1)

3xt x 20 (2)

  

 

 



Nếu (x ; t) nghiệm của hệ x > t > Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được:

2

3xt(x t) t x (xt)(3xt  x t) (1)

 x t (vì x > 0, t > nên 3xt + x+t > 0) Thay t = x vào (1) ta được: 3x3 = x2 + 20

3x3x220 0 (x2)(3x25x 10) 0  x =

khi x =  2y – =  y



Vậy, hệ cho có nghiệm x; y 2;3

 

  

0.5

0.25 0.25 0.5 0,25 0,25

Thuvienhoclieu.Com Page

Câu Nội dung Điểm

Câu

3,0 a) Tìm tập xác định của hàm sớ :

3

y x 3x 4 1,0

Hàm số cho xác định : x33x2 4

2

(x 2) (x 1)

   

x x x x

   

 

 

  

 

Vậy tập xác định của hàm số cho là D = {–2}  [1 ; +)

0,25 0,25 0,25 0,25

b) Tìm m … 2,0

Gọi (P) parabol yx22x 3 và d là đường thẳng y4xm

PT hoành độ g/đ của (P) d là: x22x 3 4xm x22x  m (1) (P) d cắt điểm phân biệt khi:

PT (1) có hai nghiệm phân biệt    ' m 4

Gọi x ; xA B nghiệm của (1), I là trung điểm AB nên:

A B

I

x x

x

2



  ; yI 4xI  m m

I I

d(I; Ox)d(I; Oy) y  x

m m hoac m

       

Kết hợp với m > – ta m = –3

0.25 0.5

0.5 0.25 0.25 0.25 Câu

3,0

Tìm GTLN

Ta có 2x3y  z x 2y 3 x 1  y 1  y 1  33x y 1   2 Khi 2x3yz327 x y 1    2

Tương tự cho hai hạng tử lại

0,5 0,25 0.25 Do xz  x z x z3 2 , x 0, z0 (bất đẳng thức Côsi) nên:

    

    

3 2

3 2

2x 3y z 27 x y y

27

z x z

3 z x

    

 

  



Tương tự cho hai hạng tử lại

0,5 0.25

 

     

 

 

2 2

2

y z x

P

27 z x y

x y z

x y z

x y z

  

  

  

  

     

  

0,25 0.5

Suy P27.6162 Vậy Pmin = 162 x = y =z =1 0,5

Câu

2,0 Chia hình trịn thành hình quạt Mỗi hình quạt có diện tích



Khi đường trịn chia thành cung trịn

Do 17 = 2.8 + nên theo nguyên lý Dirichlet có cung, (giả sử cung AB) chứa điểm, giả sử điểm là M,N, P ( với (O)

AB

1 CV

 )

0,5

Thuvienhoclieu.Com Page Ta có SMNP Svp ( Svp diện tích viên phân)

Mà Svp Sq S OAB 2

8

   

    

Vậy có điểm 17 điểm cho lập thành tam giác có diện tích nhỏ 2 3, 2.1,

8 20

  

 

0,25 0.25

0,5

Câu Nội dung Điểm

Câu 40

a) 2,0

M C

B

A N

Giả sử AB = BC

AN AC

5

 =>BN BA 2(BC BA)

  

=>5BN3BA2BC AMAB BM =AB 1BC

2



2AM2AB BC

  

2

10AM.BN 3BA 2BC 2BA BC

6AB 2BC (do BA BC)

   

   

= –6 + = Vậy: AM  BN

0,25 0,25 0,25

0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Chứng minh M di động đường cố định 2,0

M

E B A

O1

O2

C D

Ta có: PM/(T) =MD.MC= MB.ME

M/(O )

P = MD.MC

1

M/(O )

P = MB.ME Suy ra:

2

M/(O )

P = PM/(O )1

=> M nằm trục đẳng phương của (O1), (O2) nên MA tiếp tuyến chung của hai

đường tròn (O1)(O2)

 M di động đường thẳng cố định tiếp tuyến A

0.25 0.25 0.25 0.25

0.5 0.5

Câu 3,0

a)

H

M(3;1)

C(4;-2) A

B D

E(-1;-3)

F(1;3)

Thuvienhoclieu.Com Page + Gọi H trực tâm tam giác ABD, ta có AB  BC  DH qua E + Chứng minh tứ giác BHDC hình bình hành

+ C và H đới xứng qua M, tìm H(2;0) + Viết PT đường thẳng DH: x –y –2=0 + Viết PT đường thẳng AB : x + y – =

+Gọi B(b; – b ) thuộc AB Vì M trung điểm BD, suy D(6 – b; b – ) D nằm DH nên ta có (6 – b ) – (b – ) – = hay b =

Suy : D(1 ; – ) B(5 ; – )

+Đường cao (AH) qua H(2; 0) vuông góc BD nên có PT : x – =0 + A là giao điểm của AH AB nên A(2;2)

0,5 0,25