De va DA HSG Bac Ninh 2009

[r]

(1)

UBND tØnh B¾c Ninh

Sở giáo dục đào tạo ==========

đề thi chọn học sinh gii cp tnh

Năm học 2008 2009 Môn thi: Toán THPT

Thi gian lm bi: 180 phút (không kể giao đề) Ngày thi: tháng nm 2009

==============

Bài (6 điểm)

1/ So s¸nh hai sè: 20092010 20102009 2/Tính giới hạn sau:

2

0 3

1

lim

3 ( 1) ( (1 ) 1)

x x x x x x

 



 

 

   

1/ Cho ba sè thùc không âm x, y, z thoả mÃn: x2009 + y2009 + z2009 = 3 Tìm giá trị lớn cđa biĨu thøc: F=x2 y2 z2

 

2/ Cho số nguyên dơng n Chứng minh r»ng:

2009 2010 2009+n

1 1

+ + + <

C C Cn 2007

Bµi (4 ®iĨm)

Hình chóp S.ABC có tổng mặt (góc đỉnh) tam diện đỉnh S 180 và cạnh bên SA=SB=SC=1 Chứng minh diện tích tồn phần hình chóp khơng lớn

1/ Gäi m, n, p lµ nghiƯm thùc cđa phơng trình: ax +bx +cx-a=03 (a0) Chứng minh r»ng:

2 2

p n m p

n

m   

 

 DÊu

"

''

2/ Giải hệ phơng trình:

3

( ) 14

( ) 21

( )

x y x y z xyz

y z y z x xyz

z x z x y xyz

      

     

     

Bài 5(2 điểm)

1/ Chng minh bốn hình trịn có đờng kính bốn cạnh tứ giác lồi phủ kín miền tứ giác

2/ Cho 1 n n

y a x a x a x a x 

      víi x ( 1;1) tháa m·n: (1- ) -x y xy2  1

 víi   x ( 1;1) Tìm hệ số: a ; a ; a ; ; a n

-HÕt -(§Ị gồm 01 trang)

Họ tên thí sinh SBD

Hớng dẫn chấm toán thpt

Bài Cách giải Điểm

(2)

1

(6đ) 1(3điểm)

XÐt hµm sè f x( ) lnx

x

 , Tập xác định:  x

f x( ) ln2 x

x



  , f x( ) 0  1 lnx 0 x e Ta cã :

x e 

f (x) +

-f(x) 1

e

0 Do hàm số nghịch biến ( ;e )

1, x x

 tháa m·n:

2

1

1 2 1 2

1

ln ln

( ) ( ) x x ln ln x x

e x x f x f x x x x x x x

x x

          Tõ

đó đợc: 20092010 20102009

 (3®iĨm)

ViÕt l¹i giíi h¹n vỊ d¹ng:

2

0 3

1 1 1

L= lim - -

-3x 1+4x +1 2x (1+6x) + 1+6x +1

x

    

    

 

    

 

XÐt

0

1

1 1 1 1

lim lim f

(0)=-3 3

x x

x

x x x

 



   



  

 

 

 

Víi

f(x)=

1 4 x1

2

0 3

1 1 ( ) (0)

lim lim (0)

2 (1 ) 1 6 1 2

x x

g x g

g

x x x x

 

  



    

     

 

Víi ( ) 3 2 13

(1 )

g x

x x



   

Do L=1

0,5 0,5

0,5 1,0 0,5

1,0 1,0

0,5

2

(4đ) 1 (2 điểm) áp dụng bất đẳng thức CôSi cho 2009 số gồm 2007 số số x2009 ta đợc:

2009 2009

2009 2.2009 1

2009

x x

    

 

T¬ng tù : 1 2009 2009 2009 2.2009 2009

y y

    

 

0,5

(3)

1 2009 2009 2009 2.2009 2009

z z

    

 

Cộng vế vế bất đẳng thức ta đợc:

2009 2009 2009

2 2 3.2007 2( ) 3

2009

x y z

x y z     

Dấu xảy x=y=z=1 Do giá trị lớn F 2 (2 điểm)

Ta cã: 2009

1 2008!( 1)! 2008!( 1)!

(2009 ( 2)) (2009 )! (2009 )!2007

k k

C  k k



 

    

 

2008 2007!( 1)! 2007!( 2)! 2007 (2008 )! (2009 )!

k k

   

   

 

 

1

2008 2009

2008 1

2007 k k

k k

C  C 

 

 

   

 

LÊy tæng: 1 1 2 1

0 2009 2008 2009 2008

1 2008 1 2008 1

2007 2007 2007

n

k n

k C k C C n C

 

  

 

    

 



0,5 0,5

1,0 1,0

3

(4đ) Ký hiệu độ lớn mặt góc tam diện đỉnh S nh sau: BSC,CSA ,ASB  180 Ta coi   , , 3 góc tam giác Tổng diện tích mặt bên hình chóp là: 1(sin sin sin )

2   

Chøng minh: sin sin sin 3

    DÊu b»ng x¶y

60

    

Do 1(sin sin sin ) 3    

Gọi BC=a, CA=b, AB=c áp dụng định lý Cosin tam giác BSC ta đợc:

2(1 cos ) 4sin2 2sin

2

a       a 

T¬ng tù ta cã: 2sin , 2sin

2

b  c 

3 ( ) ( ) ( )

( )( )( )

3 3

ABC

p a p b p c p

S  p p a p b p c    p       

 

Hay

2 (sin sin sin )

2 2

3

ABC S

  



  

Chøng minh: sin sin sin

2 2

  

   ta đợc:

4

ABC

S 

Diện tích toàn phần hình chóp không lớn h¬n: 3 3  

0,75 0,5 0,25

(4)

Dấu xảy khi:     60 tức tứ diện

4 (4®)

1 (2 ®iÓm)

Theo Vi-et ta cã: mnp=1

Viết lại bất đẳng thức cần chứng minh dạng:

2 2

2

2 cos cos cos

np mp mn m n p

np  mp  mn  m n p

     

     

(p mcos ncos )2 ( sinm nsin )2 0

   

      (ln đúng)

(Víi  60 ,  45 , 15)

DÊu b»ng x¶y khi: sin sin

cos cos sin sin sin

m n n m p

p m n

 

    

 

  

Đặt

sin

m k



 ta đợc: 4(3 3)

sin sin sin

k

  

 

  nªn

3 4(3 3)

k   

n=sin( 45 )3 4(3 3)

 

  , m=sin(60 )3 4(3 3)

 

 , p=

3 4(3 3) sin(15 )

3

 



2 (2 ®iĨm)

Chøng minh: x3 y3 z3 3xyz (x y z x)( y2 z2 xy yz zx)

           (1)

Cộng vế phơng trình sử dụng (1) ta đợc: (x y z)(2x2 2y2 2z2 xy yz zx) 0

       

TH1: x+y+z=0 hƯ trë thµnh

3

14(2) 21(3) 7(4)

y xyz

z xyz

x xyz

   

  

   

Do z=-x-y nên từ (2) (4) ta đợc:

3 2

( ) 14 ( ) 14

( ) ( )

y xy x y y x y xy

x xy x y x x y xy

        

 

     

 

Từ ta đợc: y=2x z=-3x Thay vào (2) ta đợc: x3 1 x 1

  

HÖ cã nghiÖm: (1;2;-3)

TH2: 2x2 2y2 2z2 xy yz zx 0

     

(x y)2 (y z)2 (z x)2 2x2 2y2 2z2 0

         

Ta đợc x=y=z=0 khơng thỏa mãn hệ cho Tóm lại hệ có nghiệm nhất: (1;2;-3)

0,5 0,25 0,25 0,25

0,25

0,25 0,5 0,25

0,5

0,5 0,25

5 (2®)

1 (1 ®iĨm)

Gọi M điểm tứ gi¸c Ta cã:

    360

AMB BMC CMD DMA    

Do tồn góc có số đo lớn 90

(5)

.Giả sử AMB90 M thuộc vào hình trịn đờng kính AB Từ ta đợc điều phải chứng minh

2 (1 ®iĨm)

Ta cã: (1 x y2)  xy 1

  





2

0 (3 )0 (5 )1 (2 1)

n

n n

a a a x a a x n a na  x

          

Do ta đợc:

0

1

1 2.4 2.4

1; ; ; .;

(2 1) n n 3.5 n 3.5 (2 1)

a n

a a a a

n a na  n

 

    



  



0,5

0,5 0,5