UBND tỉnh Bắc Ninh Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Sở Giáo Dục và đào tạo Năm học 2006 2007 Môn thi: Toán lớp 12 THPT Thời gian làm bài: 180 phút ( không kể giao đề) Ngày thi 06 tháng 04 năm 2007 Câu 1 (3 điểm). Tìm các giới hạn sau: 1) x x x cos21 3sin lim 3 2) x x x 2007cosln 1989cosln lim 0 Câu 2 (3 điểm). Cho hàm số 14162 2 +++= xxxy có đồ thị (C). Tìm các điểm trên trục tung để từ điểm đó kẻ đợc duy nhất một tiếp tuyến với đồ thị (C). Câu 3 (4 điểm). 1) Giải hệ phơng trình: =+++ =+++ =+++ 05133 05133 05133 3 3 3 xzzz zyyy yxxx 2) Giải hệ bất phơng trình: + + 1 1 33 22 yx yx Câu 4 (3 điểm). Giải phơng trình: 3)12()223( coscos +=+ xx Câu 5 (3 điểm). Cho hình chóp S.ABC, có tổng các góc phẳng ở đỉnh của tam diện đỉnh S bằng 180 0 , các cạnh bên của hình chóp bằng 1. Chứng minh rằng tổng diện tích các mặt bên và diện tích mặt đáy của hình chóp đó không lớn hơn 3 . Câu 6 (2 điểm). Trong góc XOY nhọn, cho hình bình hành AOBM. Tìm tập hợp các điểm M sao cho hình bình hành AOBM có diện tích bằng 1và các đỉnh A, B tơng ứng chuyển động trên cạnh OX, OY. Câu 7 (2 điểm). Cho + += xx xf x 4 1 1 1 1)( , với x > 0 Chứng minh rằng: f(n) < f(n+1), n N * . Hết Đề này có 01 trang Họ và tên .SBD . Đề chính thức §¸p ¸n, thang ®iÓm §Ò thi HSG THPT n¨m häc 2006-2007 Câu ý Nội dung Điểm 1 (3,0) 1 Tìm giới hạn x x x cos21 3sin lim 3 +) Đặt 3 = xt ; = x x x cos21 3sin lim 3 = + )] 3 cos( 3 [cos2 3sin lim 0 t t t +) = + 2 sin 32 sin4 3sin lim 0 tt t t 2 1 2 2 sin . 32 sin4 3 3 3sin lim 0 t t t t t t + +) 3= 1,5 0,5 0,5 0,5 2 Tìm giới hạn x x x 2007cosln 1989cosln lim 0 +) )12007(cos 12007cos )]12007(cos1ln[ )11989(cos 11989cos )]11989(cos1ln[ lim 0 + + = x x x x x x x 2 2007 sin2 12007cos )]12007(cos1ln[ 2 1989 sin2 11989cos )]11989(cos1ln[ 2 2 0 lim x x x x x x x + + = +) 12007cos )]12007(cos1ln[ 11989cos )]11989(cos1ln[ lim 0 + + = x x x x x 2 2 2 2 2 2007 . 2 2007 2 2007 sin 2 1989 . 2 1989 2 1989 sin x x x x +) 2 2007 1989 = 1,5 0,5 0,5 0,5 2 (3,0) +) TXĐ: R, giả sử tiếp tuyến tiếp xúc với (C) tại M(x 0 ; y 0 ) 1416 216 2 2 , ++ + += xx x y +) Phơng trình tiếp tuyến với (C) tại M(x 0 ; y 0 ) là: (d): y = f(x 0 )(x x 0 ) + f(x 0 ) B(0; b) (d) 1416 12 0 2 0 0 ++ + = xx x b +) Xét hàm số 322 )1416( 12 )(' 1416 12 )( ++ = ++ + = tt t xg tt t tg +) 2/1)( lim = + tg x , 2/1)( lim = tg x t 0 + +) g(t) + 0 - 1 g(t) 1/2 -1/2 +) Qua điểm B(0; b) kẻ đợc duy nhất một tiếp tuyến với đồ thị (C) = < 1 2/12/1 b b 3,0 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 . N * . Hết Đề này có 01 trang Họ và tên .SBD . Đề chính thức §¸p ¸n, thang ®iÓm §Ò thi HSG THPT n¨m häc 2006-2007 Câu ý Nội dung Điểm 1 (3,0) 1 Tìm giới hạn x x x cos21 3sin lim 3 +) Đặt. UBND tỉnh Bắc Ninh Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Sở Giáo Dục và đào tạo Năm học 2006 2007 Môn thi: Toán lớp