UBND tỉnh Bắc Ninh Sở giáo dục và đào tạo ========== đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Năm học 2008 2009 Môn thi: Toán THPT Thời gian làm bài: 180 phút (không kể giao đề) Ngày thi: 7 tháng 4 năm 2009 ============== Bài 1 (6 điểm) 1/ So sánh hai số: 2009 2010 và 2010 2009 2/Tính giới hạn sau: 2 0 3 3 1 1 lim 3 ( 1 4 1) 2 ( (1 6 ) 1 6 1) x x x x x x + + + + + + Bài 2 (4 điểm) 1/ Cho ba số thực không âm x, y, z thoả mãn: x 2009 + y 2009 + z 2009 = 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: F= 2 2 2 x y z+ + 2/ Cho số nguyên dơng n. Chứng minh rằng: 1 2 1 2009 2010 2009+n 1 1 1 1 + + + < C C C 2007 n+ Bài 3 (4 điểm) Hình chóp S.ABC có tổng các mặt (góc ở đỉnh) của tam diện đỉnh S bằng 180 o và các cạnh bên SA=SB=SC=1. Chứng minh rằng diện tích toàn phần của hình chóp này không lớn hơn 3 . Bài 4 (4 điểm) 1/ Gọi m, n, p là 3 nghiệm thực của phơng trình: 3 2 ax +bx +cx-a=0 )0( a Chứng minh rằng: 222 3221 pnm pnm ++ + + . Dấu ''"= xảy ra khi nào? 2/ Giải hệ phơng trình: 3 3 2 3 3 2 3 3 2 ( ) 14 ( ) 21 ( ) 7 x y x y z xyz y z y z x xyz z x z x y xyz + + + = + + + + = + + + = + Bài 5(2 điểm) 1/ Chứng minh rằng bốn hình tròn có các đờng kính là bốn cạnh của một tứ giác lồi thì phủ kín miền tứ giác đó. 2/ Cho 3 5 2n+1 0 1 2 n y=a x+a x +a x + +a x + với ( 1;1)x thỏa mãn: 2 (1- ) - 1x y xy = với ( 1;1)x . Tìm các hệ số: 0 1 2 n a ,a ,a , ,a . Hết (Đề gồm 01 trang) Họ và tên thí sinh SBD Hớng dẫn chấm toán thpt Đề chính thức Bài Cách giải Điểm 1 (6đ) 1(3điểm) Xét hàm số ln ( ) x f x x = , Tập xác định: 0x > 2 1 ln ( ) x f x x = , ( ) 0 1 ln 0f x x x e = = = . Ta có : x 0 e + f (x) + 0 - f(x) 1 e 0 Do đó hàm số nghịch biến trên ( ; )e + 1 2 ,x x thỏa mãn: 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 ln ln ( ) ( ) ln ln x x x x e x x f x f x x x x x x x x x < < > > > > Từ đó đợc: 2010 2009 2009 2010> 2 (3điểm) Viết lại giới hạn về dạng: 2 0 3 3 1 1 1 1 1 1 L= lim - - - 3x 2 2x 3 1+4x +1 (1+6x) + 1+6x +1 x ữ ữ ữ Xét 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 4 1 lim lim f (0)=- 3 2 3 3 6 1 4 1 x x x x x x + + = = ữ + + Với 1 f(x)= 1 4 1x+ + 2 0 0 3 3 1 1 1 1 ( ) (0) 1 2 lim lim (0) 2 3 2 2 6 (1 6 ) 1 6 1 x x g x g g x x x x ữ = = = ữ + + + + Với 2 3 3 1 ( ) (1 6 ) 1 6 1 g x x x = + + + + Do đó 1 L= 6 0,5 0,5 0,5 1,0 0,5 1,0 1,0 0,5 0,5 2 (4đ) 1 (2 điểm) áp dụng bất đẳng thức CôSi cho 2009 số gồm 2007 số 1 và 2 số 2009 x ta đợc: 2009 2009 2009 2.2009 2 1 1 1 2009 x x x x + + + + + = 0,5 Tơng tự : 2009 2009 2.2009 2 2009 1 1 1 2009 y y y y + + + + + = 2009 2009 2009 2.2009 2 1 1 1 2009 z z z z + + + + + = Cộng vế vế các bất đẳng thức trên ta đợc: 2009 2009 2009 2 2 2 3.2007 2( ) 3 2009 x y z x y z + + + + + = Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1. Do đó giá trị lớn nhất của F là 3. 2 (2 điểm) Ta có: 1 2009 1 2008!( 1)! 2008!( 1)! (2009 ( 2)) (2009 )! (2009 )!2007 k k k k k k C k k + + + + = = + + + + 2008 2007!( 1)! 2007!( 2)! 2007 (2008 )! (2009 )! k k k k + + = ữ + + 1 2 2008 2009 2008 1 1 2007 k k k k C C + + + + = ữ Lấy tổng: 1 1 2 1 0 2009 2008 2009 2008 1 2008 1 1 2008 1 1 . 2007 2007 2007 n k n k k n C C C C + + = + + = < = ữ 0,5 0,5 0,5 1,0 1,0 3 (4đ) Ký hiệu độ lớn các mặt của góc tam diện đỉnh S nh sau: ã ã ã , ,BSC CSA ASB = = = và 180 + + = o . Ta có thể coi , , là 3 góc một tam giác nào đó. Tổng diện tích 3 mặt bên của hình chóp là: 1 (sin sin sin ) 2 + + Chứng minh: 3 3 sin sin sin 2 + + Dấu bằng xảy ra khi 60 = = = o . Do đó 1 3 3 (sin sin sin ) 2 4 + + Gọi BC=a, CA=b, AB=c. áp dụng định lý Cosin trong tam giác BSC ta đợc: 2 2 2(1 cos ) 4sin 2sin 2 2 a a = = = . Tơng tự ta có: 2sin , 2sin 2 2 b c = = 3 2 ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) 3 3 3 ABC p a p b p c p S p p a p b p c p + + = = ữ Hay 2 (sin sin sin ) 2 2 2 3 3 ABC S + + 0,75 0,5 0,25 0,5 0,25 0,5 0,25 0,5 Chứng minh: 3 sin sin sin 2 2 2 2 + + ta đợc: 3 4 ABC S Diện tích toàn phần của hình chóp không lớn hơn: 3 3 3 3 4 4 + = . Dấu bằng xảy ra khi: 60 = = = o tức là tứ diện đều. 0,25 0,25 4 (4đ) 1 (2 điểm) Theo Vi-et ta có: mnp=1. Viết lại bất đẳng thức cần chứng minh về dạng: 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 cos 2 cos 2 cos np mp mn m n p np mp mn m n p + + + + + + + 2 2 ( cos cos ) ( sin sin ) 0p m n m n + (luôn đúng) (Với 60 , 45 , 15 = = = o o o ) Dấu bằng xảy ra khi: sin sin cos cos sin sin sin m n n m p p m n = = = = + Đặt sin m k = ta đợc: 3 1 4(3 3) sin sin sin 3 k + = = nên 3 4(3 3) 3 k + = n= 3 4(3 3) sin( 45 ) 3 + o , m= 3 4(3 3) sin(60 ) 3 + o , p= 3 4(3 3) sin(15 ) 3 + o 2 (2 điểm) Chứng minh: 3 3 3 2 2 2 3 ( )( )x y z xyz x y z x y z xy yz zx+ + = + + + + (1) Cộng từng vế của 3 phơng trình và sử dụng (1) ta đợc: 2 2 2 ( )(2 2 2 ) 0x y z x y z xy yz zx+ + + + = TH1: x+y+z=0 hệ trở thành 3 3 3 14(2) 21(3) 7(4) y xyz z xyz x xyz = + = = + Do z=-x-y nên từ (2) và (4) ta đợc: 3 2 2 3 2 2 ( ) 14 ( ) 14 ( ) 7 ( ) 7 y xy x y y x y xy x xy x y x x y xy = + + + + = = + + + + = Từ đó ta đợc: y=2x và z=-3x. Thay vào (2) ta đợc: 3 1 1x x= = Hệ có nghiệm: (1;2;-3) TH2: 2 2 2 2 2 2 0x y z xy yz zx+ + = 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0x y y z z x x y z + + + + + = Ta đợc x=y=z=0 không thỏa mãn hệ đã cho. Tóm lại hệ có nghiệm duy nhất: (1;2;-3) 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,5 0,5 0,25 5 (2đ) 1 (1 điểm) Gọi M là một điểm bất kỳ trong tứ giác. Ta có: ã ã ã ã 360AMB BMC CMD DMA+ + + = o Do đó tồn tại ít nhất một góc có số đo lớn hơn hoặc bằng 90 o .Giả sử ã 90AMB o khi đó M thuộc vào hình tròn đờng kính AB. Từ đó ta đợc điều phải chứng minh. 2 (1 điểm) Ta có: 2 (1 ) 1x y xy = [ ] 2 4 2 0 1 0 2 1 1 (3 2 ) (5 4 ) (2 1) 2 1 n n n a a a x a a x n a na x + + + + + + = Do đó ta đợc: 0 0 1 2 1 1 2 2.4 2.4 2 1; ; ; ; (2 1) 2 3 3.5 3.5 (2 1) n n n a n a a a a n a na n = = = = = + = + . 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 Chú ý: Thí sinh làm theo cách giải khác nếu đúng cho điểm tơng ứng. . 2009 số gồm 2007 số 1 và 2 số 2009 x ta đợc: 2009 2009 2009 2 .2009 2 1 1 1 2009 x x x x + + + + + = 0,5 Tơng tự : 2009 2009 2 .2009 2 2009 1 1 1 2009 y y y y + + + + + = 2009 2009 2009 2 .2009. Bắc Ninh Sở giáo dục và đào tạo ========== đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Năm học 2008 2009 Môn thi: Toán THPT Thời gian làm bài: 180 phút (không kể giao đề) Ngày thi: 7 tháng 4 năm 2009 ============== Bài. y + + + + + = 2009 2009 2009 2 .2009 2 1 1 1 2009 z z z z + + + + + = Cộng vế vế các bất đẳng thức trên ta đợc: 2009 2009 2009 2 2 2 3.2007 2( ) 3 2009 x y z x y z + + + + + = Dấu bằng