Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)Trường thpt hậu lộc
-*** -Đề thi học sinh giỏi trường năm học 2009-2010 Mơn thi: Tốn 10
Thời gian làm bài: 120 phút không kể thời gian phỏt
Câu I.(6 điểm)
Cho phng trình: (x 2) x- ( 2-2mx 2m+ )= - 2x2+3x 2+ Giải phương trình với m=4
2 Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt Câu II. (6 điểm)
1 Giải hệ phương trình:
2
2
8
( )( ) 12
x y x y
x x y y
́ ï í ï ỵ
+ + + =
+ + =
2 Giải bất phương trình:
2 3 2 4 3 2 5 4
x - x+ + x - x+ ³ x - x+
C©u III.(6 ®iĨm)
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A(1; 1), B(4; -3) Tìm điểm C thuộc đường thẳng (d): x-2y-1=0 cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB
2 Trong mặt phẳng, cho góc xOy = 600 M,N hai điểm thay đổi tia Ox Oy cho : 1 2009
2010
+ =
OM ON Chøng minh rằng: Đường thẳng MN
luụn ct tia phõn giỏc góc xOy điểm cố định Câu IV.(2 điểm)
Cho x y hai số dương thoả mãn x y+ =2010 Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức :
2010 2010
x y
P
x y
= +
-
(2)Trường thpt hậu lộc
-*** -đáp án thang điểm thi học sinh giỏi trường năm hc 2009-2010
Môn thi: Toán 10
Câu ý Néi dung §iĨm
I (3 ®)
* Với m=4 phương trình trở thành: (x-2)(x2-8x +8) = -2x2+3x+2
Û(x-2)( x2-6x+9)=0
Ûx-2=0 hc x2-6x+9=0
Ûx=2 hc x=3
1 1
(3 ®)
Ta cã:
(x-2)(x2-2mx+2m) = (x-2)(-2x-1) (1)
Û(x-2)[x2-2(m-1)x+2m+1]=0
Ûx-2=0 hc x2-2(m-1)x+2m+1=0 (2)
Để phương trình (1) có nghiệm phân biệt cần đủ phương trình (2) phải có nghiệm phân biệt khác
Û
,
2
( 1) (2 1)
2 2( 1)2
m m
m m
́D = - - + > ï
ớ
- - + +
ù ợ
Û
4 h
9
m c m
m
> < ́
ù
ạ ù ợ
0.5 0.5 0.5
0.5 0.5
0.5
II
(3đ) Đặt
2 u x x v y y
́ = +
ï í
= +
ï ỵ
Khi hệ trở thành:
8 12 u v uv
+ = ́ í
= ỵ
Suy u, v nghiệm phương trình t2-8t+12=0 Ût=2 t=6 TH1 : Nếu u=2 v=6, ta có hệ :
2
2
x x y y
́ ï í ï ỵ
+ = + =
Û Ỉ
3 Æc
x ho c x y ho y
́ í ỵ
= =
-= - =
Khi hệ có nghiệm: (1;-3), (1;2), (-2;-3), (-2;2) TH2: Nếu u=6 v=2, ta có hệ:
0.5
0.5
0.5 0.5
(3)2
6
x x y y
́ ï í ï ỵ
+ = + = Û
3 Ỉ
1 Æc
x ho c x y ho y
= - =
́ í
= =
-ỵ
Khi hệ có nghiệm: (-3;1), (-3;-2), (2;1), (2;-2)
Vậy hệ cho có nghiệm: (1;-3), (1;2), (-2;-3), (-2;2), (-3;1), (-3;-2), (2;1), (2;-2)
0.5
2 (3đ)
* Điều kiện:
2 2
3 2 0
4 3 0
5 4 0
x x
x x
x x
́ - + ³
ï
- + ³ í
ï
- + ợ
x Ê1hoặcx 4
(x-1)(x-2) + (x-1)(x-3) ³ 2 (x -1)(x-4) (1) TH1: Nếu x 1Ê Khi đó:
(1)Û (1- x)(2- x) + (1- x)(3- x) ³ 2 (1- x)(4- x)
Û 1- x 2- x + 1- x 3- x ³ 2 1- x 4- x
Û 1- x( 2- x + 3- x -2 4-x)³ 0 (2)
+ Với x=1 thoả mÃn (2) nên x=1 nghiệm bpt +Với x <1 1- >x nªn ta cã:
(2) Û 2- x + 3- x -2 4- x ³ 0 Û 2- x + 3- x ³ 2 4- x
Û ( 2-x + 3- x)2 ³ 4(4- x) Û 2 2- x 3- x ³11 2- x
Û 4(2- x)(3- x)³ (11 )- x 2(V× x<1)
Û
97 24
x không thoả mÃn x<1
TH2: Nếu x³4Khi đó:
0.5
0.5
0.5
(4)(1) Û x-1 x- +2 x-1 x- ³3 2 x-1 x-4
Û x-1( x- +2 x- -3 2 x-4) ³ 0
Û x- +2 x- -3 2 x-4 0 ( Vì x4 nên x-1>0) x- +2 x- ³3 2 x-4
Û 2 (x-2)(x-3) ³2x-11 (3) + NÕu 11
2
x
Ê Ê hiển nhiên thoả mÃn (3) v× VP³0³VT + NÕu 11
2
x> ta cã:
(3) Û 4(x -2)(x -3)³ (2x-11)2
Û
97 24
x ³ kÕt hợp với điều kiện suy bpt có nghiệm 11
x> VËy bpt cã tËp nghiÖm là: S ={ }1 ẩ[4;+Ơ)
0.5
0.5
1 (5®)
Phương trình đường thẳng AB:
1
4
3
x y
x y
-
-= Û + - =
-Gi¶ sư C(x; y) Theo gi¶ thiÕt ta cã: x-2y-1=0 (1) d(C, (AB)) =6 Û
2
4
x- y -= +
Û 37 (2 )
4 23 (2 )
x y a
x y b
é ê ë
+ - = + + =
* Giải hệ (1), (2a) ta (7;3)
C
* Gi¶i hƯ (1), (2b) ta 43 27
11 11
( ; )
1
C - -
1
0.5 1,5
1 III
2 (1®)
Gọi Ot tia phân giác góc xOy Suy Ot cố định Gọi I giao điểm MN với tia Ot Ta chứng minh I điểm cố định
O
M I N
x
(5)ThËt vËy:
OMN SD =
2
OM.ON.sinMON
=
OM.ON.sin600 =
3
OM.ON (1)
OMN
SD = SDOMI + SDONI =
2
OM.OI.sinMOI +
ON.OI.sinNOI= =
2
(OM+ON).OI.sin300 =
(OM+ON).OI (2)
Tõ (1) vµ (2) suy 1 ( 1 ) 2009
3 2010
OM ON
OI OM ON OM ON
+
= = + =
0.25
0.25
0.25
0.25
IV (2®) 2010 2010 1
2010( ) ( )
y x
P x y
y x x y
-
-= + = + - + (1)
Theo BĐT Côsi ta cã
y x y
x + ³ +
4
1
Đẳng thức xảy x=y (2)
Theo BĐT Bunhiacỗpski ta có
( x+ y) Ê2(x+y)=2.2010=4020 x+ y Ê 4020 (3) Đẳng thức xảy x=y
Tõ (1), (2) vµ (3) ta suy 2010.4 4020 4020 4020
P³ - =
Đẳng thức xảy x=y
Vậy P đạt GTNN 4020 x=y=1005
0.5
0.5
0.5