TRNG THPT HU LC 4 *** THI HC SINH GII NM HC 2009 2010 Mụn thi: TON - Khi 11 (Thi gian lm bi 150 phỳt, khụng k thi gian giao ) Cõu I: (4 im) Cho phng trỡnh: (3-m)sinx 4sin 3 x = (2-m)(1-cos2x) 1. Gii phng trỡnh vi m = 3 2. Tỡm m phng trỡnh ó cho cú 10 nghim thuc ( ) 0;3 Cõu II: (5 im) Cho khai trin ( ) 0 1 1 2 n n n x a a x a x + = + + + , trong ú * nN 1. Tớnh 1 0 2 2 n n a a A a = + + + vi 10n = . 2. Bit cỏc h s 0 1 , , , n a a a tha món h thc 3 0 1 81 n a a a + + + = . Tỡm s ln nht trong cỏc s 0 1 , , , n a a a . Cõu III: (4 im) 1. Cho các số 1, 2, 3, 4. Hỏi lập đợc bao nhiêu số có 5 chữ số trong đó có hai chữ số 1 và ba chữ số còn lại khác nhau và khác số 1. 2. Tớnh gii hn: ( ) x xx x 13121 lim 3 0 ++ Cõu IV: (5 im) Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. E là trung điểm của AB.Trên hai đờng thẳng BC và BD lần lợt lấy điểm M và N sao cho C là trung điểm của BM, D là trung điểm của BN. EM cắt AC tại I, EN cắt AD tại J . 1. Chứng minh IJ // (BCD). 2. Tính diện tích tam giác EIJ theo a. Cõu V: (2 im) Cho phng trỡnh: ( ) ( ) 2 4 2 8 1 2 8 8 1 1x x x x + = Xỏc nh s nghim ca phng trỡnh trờn on [0;1]. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: . . SBD: . lớp: TRNG THPT HU LC 4 *** P N THANG IM THI HSG MễN TON KHI 11 NM HC 2009 2010 Cõu í Ni dung im I Cho phng trỡnh: (3-m)sinx 4sin 3 x = (2-m)(1-cos2x) (1) 4,0 I.1 Gii phng trỡnh vi m = 3 2,0 Vi m = 3 ta cú: (1) 4sin 3 x = cos2x 1 = = = 3 2 4sin 2sin 0 sin 0 1 sin 2 x x x x 0,5 0,5 0,5 = = + = + 2 (k Z) 6 5 2 6 x k x k x k 0,5 I.2 Tỡm m phng trỡnh ó cho cú 10 nghim thuc ( ) 0;3 2,0 ( ) ( ) ( ) 2 (1) sin 4sin 2(2 )sin 3 0 sin 0 2 1 sin 3 2 3 sin 4 2 x x m x m x x m x + + = = = = 0,25 0,5 Vì ( ) x 0;3 nên pt(2) có nghiệm là , 2x x = = pt(3) nghiệm là 5 13 17 , , , 6 6 6 6 x x x x = = = = Vậy để pt (1) có 10 nghiệm thuộc ( ) 0;3 thì pt(4) có 4 nghiệm pb khác các nghiệm của pt(2) v pt(3). Biện luận để (4) có 4 nghiệm thoả mãn là < < < < 3 1 4 2 2 3 3 5 0 1 2 m m m m 0,5 II Cho khai trin ( ) 0 1 1 2 n n n x a a x a x + = + + + , trong ú * nN 5,0 II.1 Tớnh 1 0 2 2 n n a a A a = + + + vi 10n = . 2,0 t ( ) ( ) 0 1 1 2 n n n f x x a a x a x= + = + + + . 1 0 1 1 1 2. 2 2 2 2 2 n n n n a a A a f = + + + = = + = ữ ữ Vi 10n = ta cú A = 2 10 = 1024 0,5 1,0 0,5 II.2 Bit cỏc h s 0 1 , , , n a a a tha món h thc 3 0 1 81 n a a a + + + = Tỡm s ln nht trong cỏc s 0 1 , , , n a a a . 3,0 Ta cú ( ) 3 3 12 0 1 81 1 81 3 3 12 n n a a a f n + + + = = = = 1,0 Vi mi { } 0,1,2, ,11k ta cú 12 2 , k k k a C = 1 1 1 12 2 k k k a C + + + = ( ) 12 1 1 1 12 2 1 23 1 1 1 2 2 12 3 k k k k k k a C k k a C k + + + + < < < < 7.k Do ú 0 1 8 a a a< < < 1,0 Tng t 1 1 7 k k a k a + > > , do ú 8 9 12 a a a> > > Vy s ln nht trong cỏc s 0 1 12 , , ,a a a l 8 8 8 12 2 126720.a C = = 1,0 III 4,0 III.1 Cho các số 1, 2, 3, 4. Hỏi lập đợc bao nhiêu số có 5 chữ số trong đó có hai chữ số 1 và ba chữ số còn lại khác nhau và khác số 1. 2,0 Mỗi số có 5 chữ số gồm 2 số 1 và 3 số khác là hoán vị 5 phần tử 1,1,2,3,4 do 2 số 1 khi hoán vị vẫn đợc 1 số vậy các số cần lập là 5 2 60 P P = 1,0 1,0 III.2 Tớnh gii hn: ( ) x xx x 13121 lim 3 0 ++ 2,0 ( ) ( ) ( ) ( ) 3 0 3 3 3 0 1 2 1 3 1 lim 1 2 1 3 1 2 + 1 2 1 lim x x x x x x x x x x + + + + + + = 0,5 ( ) ( ) ( ) 3 3 1 2 1 3 1 1 2 1 lim 0 x x x x x x + + + = + 0,5 ( ) ( ) ( ) 3 3 0 0 1 2 1 3 1 1 2 1 lim lim 3 15 6 2 2 x x x x x x x + + + = + = + = IV Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. E là trung điểm của AB.Trên hai đờng thẳng BC và BD lần lợt lấy điểm M và N sao cho C là trung điểm của BM, D là trung điểm của BN. EM cắt AC tại I, EN cắt AD tại J . 5,0 IV.1 Chứng minh IJ // (BCD). 2,0 Có I,J lần lợt là trọng tâm của tam giác ABM và ABN CDJI AD JA AC AI // 3 2 == Mà ( ) / /( )CD BCD IJ BCD . 0,25 1,0 0,5 0,25 IV.2 Tính diện tích tam giác EIJ theo a. 3,0 Chỉ ra tam giác EIJ cân tại E 1,0 Có 2 ; 2 3 a a AE AI= = 0,25 36 13 60cos 2 2 0222 a AIAEAIAEEI =+= Có 2 2 3 3 a IJ CD= = 1,0 2 2 2 2 13 36 3 2 a a a EH EI IH = = = ữ 0,5 2 6 EIJ a S ∆ ⇒ = 0,25 V Cho phương trình: ( ) ( ) 2 4 2 8 1 2 8 8 1 1x x x x− − + = Xác định số nghiệm của phương trình trên đoạn [0;1]. 2,0 Do [ ] 0;1x∈ nên đặt sinx t= , suy ra 0; 2 t π ∈ . Pt (1) đã cho trở thành: ( ) ( ) 2 4 2 8sin 1 2sin 8sin 8sin 1 1t t t t− − + = 0,5 8sin .cos2 .cos4 1 (2)t t t⇔ = 0,25 Nhận thấy cost = 0 không phải là nghiệm, ta có: (2) 8cos .sin .cos2 .cos4 cos t t t t t⇔ = sin8 cost t⇔ = 2 , k Z 18 9 2 , l Z 14 7 k t l t π π π π = + ∈ ⇔ = + ∈ 0,5 Vì 0; 2 t π ∈ cho nên chỉ có k= 0, k = 1, l = 0, l = 1 thoả mãn. 5 5 ; ; ; . 18 18 14 14 t t t t π π π π ⇒ = = = = 0,25 Mặt khác: số nghiệm của pt (2) với 0; 2 t π ∈ bằng số nghiệm của pt (1) với [ ] 0;1x∈ . Vậy, trên đoạn [ ] 0;1 pt (1) có bốn nghiệm là: 5 5 sin ; sin ; sin ; sin 18 18 14 14 x x x x π π π π = = = = . 0,5 . THPT HU LC 4 *** THI HC SINH GII NM HC 2009 2010 Mụn thi: TON - Khi 11 (Thi gian lm bi 150 phỳt, khụng k thi gian giao ) Cõu I: (4 im) Cho phng trỡnh: (3-m)sinx 4sin 3 x = (2-m)(1-cos2x) 1 THANG IM THI HSG MễN TON KHI 11 NM HC 2009 2010 Cõu í Ni dung im I Cho phng trỡnh: (3-m)sinx 4sin 3 x = (2-m)(1-cos2x) (1) 4, 0 I.1 Gii phng trỡnh vi m = 3 2,0 Vi m = 3 ta cú: (1) 4sin 3 x =. nghiệm thuộc ( ) 0;3 thì pt (4) có 4 nghiệm pb khác các nghiệm của pt(2) v pt(3). Biện luận để (4) có 4 nghiệm thoả mãn là < < < < 3 1 4 2 2 3 3 5 0 1 2 m m m m 0,5 II