Đang tải... (xem toàn văn)
TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c EIJ theo a.[r]
(1)TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 4
-*** -ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2009 – 2010 Mơn thi: TỐN - Khối 11
(Thời gian làm 150 phút, không kể thời gian giao đề)
Câu I: (4 điểm)
Cho phương trình: (3-m)sinx – 4sin3x = (2-m)(1-cos2x)
1 Giải phương trình với m =
2 Tìm m để phương trình cho có 10 nghiệm thuộc 0;3 Câu II: (5 điểm)
Cho khai triển 1
n n
n
x a a x a x
, n N*
1 Tính
1
0
2
n n
a a
A a
với n 10.
2 Biết hệ số a a0, , ,1 an thỏa mãn hệ thức a0a1 an 813
Tìm số lớn số a a0, , ,1 an. Câu III: (4 điểm)
1 Cho số 1, 2, 3, Hỏi lập đợc số có chữ số có hai chữ số ba chữ số lại khác khác số
2 Tính giới hạn: lim
x→ 0
(1+2 x )3√1+3 x −1
x Câu IV: (5 điểm)
Cho tứ diện ABCD cạnh a E trung điểm AB.Trên hai đờng thẳng BC BD lần lợt lấy điểm M N cho C trung điểm BM, D trung điểm BN EM cắt AC I, EN cắt AD J
1 Chøng minh IJ // (BCD)
2 TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c EIJ theo a Câu V: (2 điểm)
Cho phương trình: 2x x2 8x4 8x2 1 1 Xác định số nghiệm phương trình đoạn [0;1]
C¸n coi thi không giải thích thêm
Họ tên thí sinh: SBD: lớp: ……… TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 4
-*** -ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
(2)Câu Ý Nội dung Điểm
I Cho phương trình: (3-m)sinx – 4sin3x = (2-m)(1-cos2x) (1) 4,0
I.1 Giải phương trình với m = 3 2,0
Với m = ta có: (1) – 4sin3x = cos2x – 1
3
4sin 2sin
sin sin
2
x x
x x
0,5 0,5 0,5
2 (k Z)
5
2
x k
x k
x k
0,5
I.2
Tìm m để phương trình cho có 10 nghiệm thuộc 0;3 2,0
2
(1) sin 4sin 2(2 )sin
sin
sin 2 3
sin
2
x x m x m
x x
m x
0,25
0,5
Vì x0;3 nên pt(2) có nghiệm làx ,x pt(3) nghiƯm lµ
5 13 17
, , ,
6 6
x x x x
Vậy để pt (1) có 10 nghiệm thuộc0;3thì pt(4) có nghiệm pb khác nghiệm pt(2) v pt(3).à
Biện luận để (4) có nghiệm thoả mãn
lµ
3
4
2
3
0
2 m
m
m m
0,5
II Cho khai triển 1
n n
n
x a a x a x
, n N* 5,0
II.1
Tính
1
0
2
n n
a a
A a
với n 10.
(3)Đặt 1
n n
n
f x x a a x a x .
1
1
2
2 2
n n n n a a
A a f
Với n 10 ta có A = 210 = 1024
0,5 1,0 0,5 II.2 Biết hệ số a a0, , ,1 an thỏa mãn hệ thức
3
0 n 81
a a a
Tìm số lớn số a a0, , ,1 an.
3,0
Ta có
3 12
0 81 81 3 12
n n
a a a f n 1,0
Với k 0,1, 2, ,11 ta có 12,
k k k
a C 1 2k 12k
k
a C
12
1
1 12
2 23
1 1
2 12
k k k
k k
k
a C k
k
a C k
k 7.
Do a0 a1 a8
1,0
Tương tự
1
k k
a
k
a , a8 a9 a12
Vậy số lớn số a a0, , ,1 a12
8
8 12 126720
a C
1,0
III 4,0
III.1 Cho số 1, 2, 3, Hỏi lập đợc số có chữ số đó có hai chữ số ba chữ số lại khác v khỏc s 1. 2,0
Mỗi số có chữ số gồm số số khác hoán vị phần tử 1,1,2,3,4
do số hoán vị đợc số số cần lập
5 60 P P 1,0 1,0 III.2 Tính giới hạn: lim
x→ 0
(1+2 x )3√1+3 x −1
x 2,0
3
0
3 3
0
1
lim
1 +
lim
x
x
x x
x
x x x x
x 0,5
1 3 1 1 2 3 1
lim
x x x
x x x 0,5 1,0
3 3
0
1 1 2 1
lim lim
3 6 15
2
x x
x x x
x x
(4)đờng thẳng BC BD lần lợt lấy điểm M N cho C trung điểm BM, D trung điểm BN EM cắt AC I, EN cắt AD J
IV.1 Chøng minh IJ // (BCD). 2,0
Có I,J lần lợt trọng tâm tam giác ABM ABN AI
AC=
AJ
AD=
3⇒ IJ // CD
Mµ CD(BCD) IJ / /(BCD)
0,25
1,0 0,5 0,25
IV.2 TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c EIJ theo a. 3,0
Chỉ tam giác EIJ cân E 1,0
Cã
2 ;
2
a a
AE AI 0,25
EI2=AE2+AI2−2 AE AI cos 600=13 a
2
36 Cã
2
3
a
IJ CD 1,0
2
2 13
36
a a a
EH EI IH
0,5
2
6
EIJ
a
S
0,25
V
(5)Xác định số nghiệm phương trình đoạn [0;1].
Do x 0;1 nên đặt xsint, suy
0;
t
Pt (1) cho trở
thành: 8sin 2sint 2t 8sin4t 8sin2t1 1
0,5
8sin cos2 cos4t t t (2)
0,25
Nhận thấy cost = nghiệm, ta có: (2) 8cos sin cos cos 4t t t tcos t
sin8tcost
2
, k Z
18
2
, l Z
14
k t
l t
0,5
Vì
0;
t
có k= 0, k = 1, l = 0, l = thoả mãn.
5
; ; ;
18 18 14 14
t t t t
0,25
Mặt khác: số nghiệm pt (2) với
0;
t
số nghiệm
pt (1) với x 0;1
Vậy, đoạn 0;1 pt (1) có bốn nghiệm là:
5
sin ; sin ; sin ; sin
18 18 14 14
x x x x