Chøng minh tø gi¸c ACPO néi tiÕp ®îc trong mét ®êng trßn.. 2..[r]
(1)Giáo viên: Lơng Ngọc Thông Đơn vị: trờng thcs ng lộc - hậu lộc-t.hóa sở giáo dục đào tạo
thanh hãa kú thi tuyÓn sinh vào lớp 10 thptnăm học 2009 2010 Môn thi: Toán
Ngày thi: 30 tháng năm 2009
Thêi gian lµm bµi: 120 phót.
Bµi (1,5 điểm)
Cho phơng trình: x2 - 4x + p = (1) víi p lµ tham sè.
1 Giải phơng trình (1) p =
2 Tìm p để phơng trình (1) có nghiệm Bài (1,5 im)
Giải hệ phơng trình:
x + 2y = 2x + y =
Bài (2,5 điểm)
Trong mt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = x2 điểm C(0; 1).
1 Viết phơng trình đờng thẳng (d) qua điểm C(0; 1) có hệ số góc k
2 Chứng minh đờng thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm phân biệt A B với k
3 Gọi hoành độ hai điểm A B lần lợt x1 x2 Chứng minh rằng: x1.x2
= - 1, từ suy tam giác AOB tam giác vuông Bài (3,5 điểm)
Cho nửa đờng trịn tâm O, đờng kính AB = 2R Trên tia đối tia AB lấy điểm H (khác với điểm A) Từ điểm H, A B kẻ tiếp tuyến với nửa đ-ờng tròn (O) Tiếp tuyến kẻ từ điểm H cắt tiếp tuyến kẻ từ điểm A B lần l-ợt C D
1 Gọi P tiếp điểm tiếp tuyến kẻ từ điểm H tới nửa đờng tròn (O) Chứng minh tứ giác ACPO nội tiếp đợc đờng tròn
2 Chứng minh tam giác AHC đồng dạng với tam giác BHD, từ suy
DP= CP DH CH.
3 Đặt AOC= Tính độ dài đoạn thẳng AC BD theo R Chứng tỏ tích AC.BD phụ thuộc vào R, không phụ thuộc vào
Bài (1,0 điểm)
Cho số thực a, b, c tháa m·n: b2 + bc + c2 = -
2
3a
T×m giá trị lớn giá trị nhỏ biÓu thøc: C = a + b + c Hết
Họ tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký giám thị số 1: Chữ ký giám thị số 2:
Đề xuất lời giải Bài (1,5 điểm)
Từ phơng trình: x2 - 4x + p = (1) víi p lµ tham sè.
TÝnh : ∆’ = 22 – p = - p (*)
1 Khi p = 3, ta có phơng trình : x2 - 4x + = (2)
Giải phơng trình (2) :
(2) có dạng : a + b + c = + (- 4) + =
Đề thi Lời giải: Thi tun sinh vµo líp 10 THPT tØnh Thanh Hãa - môn Toán Đề thức
c
(2)Giáo viên: Lơng Ngọc Thông Đơn vị: trờng thcs ng lộc - hậu lộc-t.hóa Do phơng trình (2) có nghiệm: x1 = 1; x2 =
3 =
2 Phơng trình (1) cã nghiƯm, vµ chØ khi: ∆’ – p p 4 Bài (1,5 điểm) Từ hệ phơng trình:
x + 2y = 2x + y =
, ta cã:
x + 2(4 - 2x) = y = - 2x
x - 4x = - y = - 2x
- 3x = - y = - 2x
x =
y = - 2.1 =
Vậy hệ phơng trình cho có nghiệm (x = 1; y = 2) Bài (2,5 điểm)
1 Phơng trình đờng thẳng (d) qua điểm C(0; 1) có hệ số góc k, có dạng: y = kx + b
thay x = 0, y = vào, ta đợc: b =
khi ta đợc hàm số cần viết là: y = kx +
2 Phơng trình hồnh độ điểm chung đờng thẳng (d): y = kx + parabol (P): y = x2 :
x2 = kx + 1
x2 - kx - = (**)
TÝnh : ∆ = k2 + > 0, k
Suy : (**) có hai nghiệm phân biệt
Gọi hai giao điểm đờng thẳng (d): y = kx + parabol (P): y = x2 A và
B, ta đợc : đờng thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm phân biệt A B với k
3 Gọi hoành độ hai điểm A B lần lợt x1 x2, áp dụng hệ thức Vi-et
cho phơng trình (**), ta có đợc: x1.x2 =
c = - 1 = - 1
a (®pcm)
Gọi tung độ giao điểm A, B y1, y2
Ta cã : y1 = x12 , y2 = x22
Gọi hình chiếu vuông góc điểm A lên trục Ox, Oy lần lợt M, P
Gọi hình chiếu vuông góc điểm B lên trục Ox, Oy đoạn AM lần lợt N, Q H
Xột tam giác vuông OAM, ta đợc: OA2 = OM2 + AM2 (định lý Pitago)
OA2 =
2 1
x + y
=
2 1
x + x
Xét tam giác vuông OBN, ta đợc: OB2 = ON2 + BN2 (định lý Pitago)
OB2 =
2 2
x + y
=
2 2
x + x
OA2 + OB2 =
2 1
x + x
+
2 2
x + x
(a)
Xét tam giác vuông ABH, ta đợc: AB2 = AH2 + BH2 (định lý Pitago)
AB2 =
2
1 2
y - y + x + x
=
2
2 2
1 1 2
x - x + x + x x + x
AB2 =
2
4 2
1 2 1 2
x - x x + x + x + x x + x
V× : x1.x2 = - 1, nªn suy ra:
AB2 =
2
4 2
1 2
x - + x + x + + x
=
4 2
1 2
x + x + x + x
(b) Kết hợp (a) (b), ta suy ra: AB2 = OA2 + OB2
Đề thi Lời giải: Thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT tỉnh Thanh Hóa - môn Toán y2 x2 Q B A y1 H y P x2
y = x2 y = kx +
O x1 x
N M
(3)Giáo viên: Lơng Ngọc Thông Đơn vị: trờng thcs ng lộc - hậu lộc-t.hóa Suy tam giác AOB tam giác vuông O (định lý Pitago đảo) Bài (3,5 điểm)
c
d
p x
b
h a r o r
GT
Nửa (O; R); AB = 2R H tia đối tia AB Ax AB = A By AB = B HP OP = P HP Ax = C HP Ay = D
AOC=
KL
1 ACPO néi tiÕp AHC BHD
DP CP= DH CH
3 AC? BD?(theoR,) AC.BD phô thuécR
Do CA tiếp tuyến nửa đờng tròn (O) nên: CAO = 900
Do HD tiếp tuyến nửa đờng tròn (O) nên: CPO = 900
CPO + CAO = 180
Suy : tứ giác ACPO nội tiếp (có tổng sđ hai góc đối 1800)
2 Xét tam giác AHC tam giác BHD có :
A = B = 90 0; AHC chung AHC BHD (g.g)
DB = CA DH CH
(theo Ta-let)
Mµ : DB = DP; CA = CP (tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau)
DP = CP DH CH
(®pcm) 3 * TÝnh AC theo R vµ :
Xét tam giác OAC vuông A cã: AC = tgα AC = R.tgαR * TÝnh BD theo R vµ :
Xét tam giác OBD vuông B có:
BOD BOD
BD = tg BD = R.tg
R
Mµ, ta có : OC OD hai tia phân giác cđa hai gãc kỊ bï AOP vµ BOP (theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau)
OC OD, hay : COD = 90
0 0
BOD = 180 - (COD + α) = 180 - (90 + α) = 90 - α
tgBOD = tg(900 - ) = cotg =
1
tgα R
BD = tgα
(4)Giáo viên: Lơng Ngọc Thông Đơn vị: trờng thcs ng léc - hËu léc-t.hãa * XÐt tÝch AC.BD : AC.BD = R.tg
R
tgα = R2
Điều chứng tỏ tích AC.BD phụ thuộc vào R, không phụ thuộc vào
Bài (1,0 điểm) * Cách 1:
Ta cã: b2 + bc + c2 = -
2
3a
2 2(b + 2bc + c ) + 3a = 22 2
2 2 2 2
a + b + c + (a + b ) + (a + c ) + 2bc =
Mặt khác, ta có:
2
a + b 2ab, a, bR; a + c 2ac,2 a, cR; dÊu “=”
xảy : a = b = c Do đó:
2 2 2 2 2
a + b + c + (a + b ) + (a + c ) + 2bc a + b + c + 2ab + 2ac + 2bc
Hay :
2 2
a + b + c -
C C
Vậy biểu thức: C = a + b + c, đạt giá trị lớn nhất: Cmax = a = b = c =
max
C
=
2
đạt giá trị nhỏ nhất: Cmin = - a = b = c =
min C
=
2
* C¸ch 2: Ta cã: b2 + bc + c2 = -
2
3a
(a + b + c)2 + (a - c)2 + (b - c)2 =
2 - (a + b + c)2 = (a - c)2 + (b - c)2 0, a, b, c R
2
a + b + c -
C C
, a, b, c R DÊu “=” x¶y : a = b = c
Vậy biểu thức: C = a + b + c, đạt giá trị lớn nhất: Cmax = a = b = c =
max
C
=
2
đạt giá trị nhỏ nhất: Cmin = - a = b = c =
min C
=
2