Sức bền vật liệu và Kết cấu

Trong chương 10 ta dùng phương pháp lực để tích toán các ảnh hưởng của thay đổi nhiệt độ, co ngót hay dư ứng lực. Tương tự phương pháp chuyển vị cũng xem xét đến các hiệu ứng trên. Có[r]

1

Nguyễn Đình Đức Đào Như Mai

SỨC BỀN VẬT LIỆU

VÀ KẾT CẤU

Nguyễn Đình Đức Đào Như Mai

SỨC BỀN VẬT LIỆU

VÀ KẾT CẤU

i

Lời nói đầu

Sức bền vật liệu môn học sở quan trọng, cung cấp cho người học kiến thức để giải tốn liên quan đến hệ thanh, tính tốn sức bền vật liệu kết cấu Chính sức bền vật liệu học kết cấu giảng dạy cho sinh viên tất trường đại học kỹ thuật Việt Nam giới Tuy nhiên, có nhiều giáo trình sức bền vật liệu khác nhau, biên soạn phục vụ phù hợp cho đối tượng người học trường đại học khác

Giáo trình biên soạn cho sinh viên ngành Cơ học Kỹ thuật ngành Công nghệ Cơ điện tử trường Đại học Công nghệ - Đại học Quốc gia Hà Nội, với thời lượng giảng dạy từ đến tín Giáo trình đề cập đến nội dung môn học Sức bền vật liệu Cơ học kết cấu, biên soạn sở giảng Sức bền vật liệu Cơ học kết cấu khung chương trình đào tạo cho sinh viên Khoa Cơ học Kỹ thuật Tự động hóa năm qua, đồng thời có tham khảo kinh nghiệm nội dung giảng dạy môn học áp dụng số trường đại học kỹ thuật nước, với mục đích kịp thời cung cấp cho sinh viên tài liệu phục vụ học tập

Các tác giả chân thành cảm ơn PGS TS Khúc Văn Phú, PGS TS Trần Minh Tú, TS Vũ Đỗ Long, TS Lương Xuân Bính đóng góp q báu nội dung hình thức cho sách Các tác giả bày tỏ cám ơn Trường Đại học Công nghệ, Khoa Cơ kĩ thuật tự động hóa tạo điều kiện mặt để tác giả hoàn thành sách Quyển sách viết có cơng khơng nhỏ em sinh viên góp ý cho tác giả trình giảng dạy

Mục lục

Lời nói đầu i

Mục lục ii

Danh mục kí hiệu vii

Đơn vị đo theo SI ix

NHẬP MÔN 1

Giới thiệu 1

CHƯƠNG Các khái niệm 8

1.1 Lực tác dụng

1.2 Nội lực 10

1.3 Quan hệ vi phân nội lực tải trọng 14

Kết luận chương 16

CHƯƠNG Quan hệ ứng suất biến dạng 18

2.1 Trạng thái ứng suất 18

2.2 Trạng thái biến dạng 27

2.3 Định luật Hooke 30

Kết luận chương 33

CHƯƠNG Các lí thuyết bền 35

3.1 Thế biến dạng đàn hồi 35

3.2 Đặc trưng học vật liệu 39

3.3 Điều kiện bền vật liệu 43

PHẦN CÁC BÀI TOÁN THANH 49

CHƯƠNG Các đặc trưng hình học 51

4.1 Mô men tĩnh trọng tâm 51

4.2 Các mơ men qn tính 52

4.3 Cơng thức chuyển trục song song 54

4.4 Công thức xoay trục 56

Kết luân chương 57

CHƯƠNG Thanh thẳng chịu kéo, nén tâm 58

5.1 Định nghĩa 58

5.2 Biểu đồ lực dọc 58

5.3 Công thức ứng suất 60

5.4 Biến dạng 61

5.5 Độ bền độ cứng 65

5.6 Bài toán siêu tĩnh 66

Kêt luận chương 69

CHƯƠNG Thanh thẳng chịu xoắn 71

6.1 Định nghĩa 71

6.2 Biểu đồ mô men xoắn 71

6.3 Ứng suất tiếp 73

6.4 Biến dạng chuyển vị 76

6.5 Độ bền độ cứng 79

6.6 Thanh chịu cắt 82

6.7 Xoắn tiết diện chữ nhật 84

6.8 Bài toán siêu tĩnh 85

CHƯƠNG Thanh thẳng chịu uốn 88

7.1 Định nghĩa 88

7.2 Biểu đồ lực cắt mô men uốn 89

7.3 Ứng suất toán uốn 91

7.4 Biến dạng chuyển vị dầm chịu uốn 103

7.5 Độ bền độ cứng 108

Kết luận chương 112

CHƯƠNG Thanh chịu lực phức tạp 113

8.1 Giới thiệu chung 113

8.2 Trường hợp tổng quát 113

8.3 Các trường hợp chịu lực phức tạp 118

Kết luận chương 124

CHƯƠNG Ổn định chịu nén 125

9.1 Giới thiệu chung 125

9.2 Lực tới hạn ứng suất tới hạn 126

9.3 Tính ổn định cho chịu nén 129

9.4 Uốn ngang uốn dọc đồng thời 131

Kết luận chương 134

PHẦN CÁC PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN TÍNH TỐN HỆ THANH 136

CHƯƠNG 10 Hệ siêu tĩnh 137

10.1 Siêu tĩnh 137

10.2 Bậc tự 142

10.3 Đường ảnh hưởng 143

Kết luận chương 10 150

CHƯƠNG 11 Phương pháp lực 152

11.1 Mô tả phương pháp 152

11.2 Ma trận độ mềm 154

11.3 Giải toán với trường hợp đặt tải khác 156 11.4 Năm bước giải phương pháp lực 157

11.5 Phương trình ba mô men 164

Kết luận chương 11 167

Bài tập chương 11 169

CHƯƠNG 12 Phương pháp chuyển vị 171

12.1 Mô tả phương pháp 171

12.2 Ma trận độ cứng 175

12.3 Giải toán với trường hợp đặt tải khác 186 12.4 Năm bước giải phương pháp chuyển vị 186 12.5 Ảnh hưởng chuyển vị tọa độ 190 12.6 Sử dụng phương pháp lực phương pháp chuyển vị 192

Kết luận chương 12 204

Bài tập chương 12 206

CHƯƠNG 13 Phương pháp công ảo 209

13.1 Thế biến dạng 209

13.2 Nguyên lý công ảo 214

13.3 Tính chuyển vị cơng ảo 217

13.4 Áp dụng phương pháp công ảo cho hệ dàn 222 13.5 Áp dụng phương pháp công ảo cho hệ khung 227

13.6 Ma trận độ mềm kết cấu tổng thể 240

Kết luận chương 13 244

Bài tập chương 13 246

CHƯƠNG 14 Phương pháp phần tử hữu hạn – Sơ lược 248

14.1 Giới thiệu 248

14.2 Phương pháp phần tử hữu hạn – sở 250

14.3 Áp dụng năm bước tính tốn phương pháp chuyển vị 251

14.4 Phương trình đàn hồi sở 252

14.5 Nội suy chuyển vị 253

14.6 Ma trận độ cứng ma trận ứng suất phần tử 254

14.7 Véc tơ lực phần tử 256

14.8 Phần tử dầm không gian 257

Kết luận chương 14 262

PHỤ LỤC 265

PHỤ LỤC Dịch chuyển phần tử thẳng 265 PHỤ LỤC Lực đầu phần tử phần tử thẳng 268 PHỤ LỤC Lực đầu phân tử chuyển vị tai đầu nút thẳng270 PHỤ LỤC Phản lực moment uốn gối đỡ dầm liên tục

do chuyển vị đơn vị gối đỡ gây 272

PHỤ LỤC Đặc trưng hình 282

PHỤ LỤC Các giá trị tích phân 283

PHỤ LỤC Đặc điểm phản lực liên kết thường gặp 284

PHỤ LỤC Bảng hệ số uốn dọc ( ) 287

Danh mục kí hiệu

A diện tích tiết diện

D đường kính hình trịn đường kính ngồi tiết diện hình vành khăn

d đường kính tiết diện hình vành khăn b bề rộng tiết diện hình chữ nhật

hoặc bề rộng cánh tiết diện chữ I, U

h chiều cao tiết diện hình chữ nhật tiết diện chữ I, U E mo đun đàn hồi Young

F ma trận độ mềm fij hệ số ma trận độ mềm

Iz, Iy mo men quán tính trục z trục y tương ứng I mo men quán tính li tâm trục

Ixy, Iyz, Izx mo men quán tính tích iz, iy bán kính quán tính

K ma trận độ cứng

kij hệ số ma trận độ cứng Mxo mo men xoắn

Mz, My mo men uốn mặt phẳng yx mặt phẳng xz tương ứng N lực dọc trục

p véc tơ ứng suất điểm Pth lực tới hạn ổn định

Q lực cắt R phản lực

Wu, Wz, Wy mo men quán tính chống uốn Wxo mo men qn tính chống xoắn

W cơng lực ngồi U biến dạng

biến phân biến dạng biến dạng trượt

hệ số uốn dọc (hệ số giảm ứng suất) hệ số mảnh

hệ số Poision mật độ khối lượng ứng suất pháp ch ứng suất chảy tl ứng suất tỉ lệ b ứng suất bền

[ ] ứng suất pháp cho phép ứng suất tiếp

[ ] ứng suất tiếp cho phép

{ } ngoặc kép vec tơ (ma trận có cột)

Đơn vị đo theo SI

Độ dài mét m

mili mét mm

Diện tích mét vng m2

mili mét vng = 10-6 m2 mm2

Thể tích mét khối m3

mili mét khối = 10-9 m3 mm3

Tần số hertz = vòng/giây Hz

Khối lượng kilogram kg

Khối lượng riêng kilogram mét khối kg/m3

Lực newton N

= lực tác động tới vật có khối lượng kg gây gia tốc m/s2, 1N=1kg m/s2

Ứng suất newton mét vuông N/m2 newton mili mét vuông N/mm2

Nhiệt độ độ Celsius oC

Thuật ngữ cho thừa số

109 giga G

106 mega M

103 kilo k

10-3 mili m

10-6 micro

1

NHẬP MÔN

Giới thiệu

Trong ngành xây dựng, giao thông hay chế tạo máy sử dụng vật liệu thép, gang, bê tông vật rắn biến dạng Có nghĩa tác động ngoại lực hạt vật chất bên vật rắn chuyển động làm cho biến dạng

Khi tính tốn thiết kế cấu kiện cơng trình hay chi tiết máy ta phải đảm bảo cho kết cấu có khả thực chức năng, nhiệm vụ không bị phá hủy suốt thời gian tồn Đây lí mơn học sức bền vật liệu học kết cấu mơn sở chương trình đạo tạo kĩ sư ngành kĩ thuật

Quyển sách trình bày nội dung mơn học sức bền vật liệu kết cấu, thực chất gồm hai phần

Phần Sức bền vật liệu nghiên cứu phương pháp, nguyên tắc chung để đánh giá khả chịu tải (tác động học) cấu kiện cơng trình, chi tiết máy Sức bền vật liệu môn khoa học thực nghiệm xây dựng số kết thực nghiệm, giả thiết cho phép đơn giản hóa giữ mô tả chất Trên sở thực nghiệm, đưa tiêu để đánh giá độ bền, độ cứng độ ổn định chi tiết nói riêng kết cấu nói chung

Phần Cơ học kết cấu trình bày phương pháp phân tích kết cấu dạng khung dàn cách tổng thể

Mục đích môn học

Đủ độ bền: kết cấu có khả chịu tất tổ hợp lực đặt lên cơng trình thời gian tồn (tuổi thọ) – Giàn khoan khơi khơng sụp đổ có gió bão cấp quy định theo tiêu chuẩn, quy phạm thiết kế

Đủ độ cứng: tác động lực thay đổi kích thước hình học kết cấu khơng vượt q giới hạn cho phép Ví dụ quy phạm, tiêu chuẩn thiết kế có quy định độ võng dầm không vượt giá trị quy định, hay chuyển vị ngang cơng trình tháp nước, cột điện khơng vượt giá trị cho trước

Đủ ổn định: khả đảm bảo trạng thái cân ban đầu, khơng hình dáng ban đầu

Từ ta có ba tốn

Bài toán kiểm tra độ bền, độ cứng độ ổn định chi tiết cấu kiện

Bài tốn thiết kế có nhiệm vụ lựa chọn hình dạng kích thước tiết diện phù hợp cho chi tiết cấu kiện kết cấu

Bài toán xác định tải trọng cho phép đặt lên kết cấu

Đối tượng môn học:

Đối tượng nghiên cứu sức bền vật liệu chi tiết cơng trình Theo kích thước hình học chi tiết phân làm ba loại

Thanh chi tiết có kích thước theo hai phương (mặt cắt ngang) bé nhiều so với kích thước cịn lại (chiều dài) - Bài toán chiều

Tấm vỏ chi tiết có kích thước theo phương (độ dày) bé nhiều so với hai kích thước cịn lại sàn, tường vỏ bình chứa xăng, bể chứa dầu, mái vịm - Bài tốn hai chiều

Khối chi tiết có kích thước theo ba phương tương đương nhau, ví dụ móng máy, đất, viên bi – Bài tốn ba chiều

Định nghĩa Thanh vật thể hình học tạo hình phẳng

A

có trọng tâm chuyển động dọc theo đường tựa , trình chuyển động hình phẳng ln vng góc với tiếp tuyến đường tựa Hình phẳng

A

gọi mặt cắt ngang hay tiết diện thanh, đường tựa gọi trục

Đối tượng nghiên cứu Cơ học kết cấu hệ Hệ kết cấu hợp thành từ phần tử có kích thước đủ dài so sánh với mặt cắt ngang Đó dầm, dàn phẳng, dàn không gian, khung phẳng, lưới ngang khung khơng gian hình

Lưới ngang

Hình Các dạng kết cấu

Dàn hệ liên kết khớp với Nội lực có lực dọc trục Nếu hệ gồm nằm mặt phẳng ta gọi dàn phẳng

Dầm liên tục

Dàn phẳng

Dàn không gian Khung không

Khung hệ liên kết cứng với Nội lực mặt cắt gồm có lực dọc trục, hai lực cắt, hai mơ men uốn mô men xoắn Nếu hệ khung gồm nằm trong mặt phẳng ta gọi khung phẳng Khi nội lực mặt cắt cịn lực dọc trục, lực cắt mơ men uốn

Lưới ngang hệ nằm mặt phẳng, chịu lực tác dụng vng góc với mặt phẳng Do nội lực cịn lực cắt, mơ men uốn môment xoắn

Các giả thiết quan trọng

Chuyển vị góc xoay kết cấu thay đổi tuyến tính lực tác dụng có nghĩa chúng tỉ lệ với lực tác dụng

Biến dạng nhỏ có nghĩa biến dạng khơng làm thay đổi hình học kết cấu khơng thay đổi lực tác dụng lên kết cấu

Từ hai giả thiết ta có ngun lí cộng tác dụng: Dưới tác động tổ hợp lực ta cộng dồn ứng suất, biến dạng chuyển vị gây lực riêng biệt

Vật liệu giả thiết liên tục đồng đẳng hướng

+ Tính liên tục đảm bảo hai điểm vật chất cạnh sau biến dạng cạnh

+ Tính đồng nói lên tính điểm

+ Đẳng hướng có nghĩa tính chất vật liệu không phụ thuộc vào hướng

Vật liệu có tính đàn hồi, tn thủ định luật Hooke Có nghĩa ta xét tốn vật liệu làm việc miền đàn hồi

Khái niệm siêu tĩnh

Phân tích hệ siêu tĩnh dẫn đến giải hệ phương trình tuyến tính với số ẩn phụ thuộc vào phương pháp mà ta lựa chọn Khi tính tốn máy tính bấm tay ta sử dụng thuật tốn lặp hay chỉnh dần để làm giảm số phép tính

Đối với hệ lớn phức tạp ta sử dụng máy tính sử dụng chương trình phân tích kết cấu dựa phương pháp phần tử hữu hạn Tuy phương pháp tính tay khơng thể bỏ qua

Các nguyên lí

Nguyên lí Saint-Venant phát biểu sau “ miền đủ xa điểm đặt lực khác biệt hiệu ứng hai lực khác tương đương mặt tĩnh học nhỏ ”

Nguyên lí Saint Venant cho phép thay phân bố ứng suất phức tạp biên phân bố đơn giản hơn, mặt hình học biên đủ ngắn Nói khác phân bố ứng suất biến dạng vật thể miền xa nơi đặt lực không thay đổi thay hệ lực cho hệ lực khác tương đương

Có thể hiểu phần vật có tác động hệ lực cân ứng suất phát sinh tắt dần nhanh điểm xa miền đặt lực Tại điểm vật thể xa điểm đặt lực ứng suất phụ thuộc vào cách tác dụng lực

Nguyên lí cộng tác dụng phát biểu Một đại lượng nhiều nguyên nhân gây tổng đại lượng nguyên nhân gây riêng rẽ

Do đại lượng nội lực, biến dạng, chuyển vị vật thể hệ ngoại lực gây tổng kết tương ứng thành phần ngoại lực gây riêng rẽ

Hệ tiên đề tĩnh học

Tiên đề thêm bớt cặp lực cân Tác dụng hệ lực không thay đổi ta thêm (bớt) hai lực cân Tiên đề cho ta quy định phép biến đổi tương đương lực

Hệ (Định lí trượt lực) Tác dụng lực không thay đổi ta trượt lực đường tác dụng

Tiên đề hình bình hành lực Hai lực tác dụng điểm tương đương với lực tác dụng điểm có véc tơ lực véc tơ chéo hình bình hành có hai cạnh hai véc tơ lực lực cho

Tiên đề tác dụng phản tác dụng Lực tác dụng lực phản tác dụng hai vật có cường độ, đường tác dụng hướng ngược chiều Tiên đề hoá rắn Một vật rắn biến dạng cân tác dụng hệ lực hố rắn trạng thái cân

Tiên đề thay liên kết Vật khơng tự cân xem vật tự cân bằng cách giải phóng tất liên kết thay tác dụng liên kết giải phóng phản lực thích hợp

Nội dung

Nội dung sách gồm ba phần là: nhập mơn, tốn học kết cấu Cuối phụ lục, cụ thể gồm chương sau

Nhập môn

+ Chương Các khái niệm

+ Chương Quan hệ ứng suất biến dạng + Chương Các lí thuyết bền

Phần Các toán

+ Chương Các đặc trưng hình học hình phẳng + Chương Thanh thẳng chịu kéo nén tâm + Chương Thanh thẳng chịu xoắn

+ Chương Thanh chịu lực phức tạp + Chương Ổn định thẳng Phần Cơ học kết cấu

+ Chương 10 Hệ siêu tính + Chương 11 Phương pháp lực + Chương 12 Phương pháp chuyển vị + Chương 13 Phương pháp công ảo

+ Chương 14 Phương pháp phần tử hữu hạn – sơ lược Các phụ lục

8

CHƯƠNG

Các khái niệm

1.1 Lực tác dụng

Ngoại lực

Định nghĩa Ngoại lực lực tác động môi trường bên ngồi (sóng, gió) hay vật thể khác tác động lên vật thể xét (lực bánh xe tác động lên đường ray, búa đập)

Ngoại lực gồm

tải trọng tác động lực chủ động

phản lực liên kết lực thụ động phát sinh liên kết có tác dụng tải trọng

Tải trọng phân loại theo cách thức tác dụng làm hai loại lực tập trung lực hay mô men tác động vào điểm

lực phân bố lực trải thể tích, diện tích hay đường Tải trọng phân loại thành

tải trọng tĩnh (được coi tĩnh tăng chậm từ khơng đến giá trị giữ nguyên giá trị đó), bỏ qua lực qn tính q trình tăng lực

tải trọng động thay đổi theo thời gian khơng thể bỏ qua thành phần quán tính

Liên kết phản lực liên kết

lực Vật thể chịu liên kết làm cho chuyển động bị ngăn cản Khi xuất phản lực, chúng có phương ứng với phương chuyển động bị ngăn cản

Trường hợp mặt phẳng

Gối tựa di động (liên kết đơn) - ngăn cản chuyển động thẳng dọc theo liên kết Phản lực lực R Trên hình 1.1a hai cách biểu diễn liên kết gối di động

Gối tựa cố định (liên kết khớp) – ngăn cản chuyển động thẳng Phản lực phân hai thành phần Rx Ry theo phương ngang phương đứng tương ứng

Liên kết ngàm: ngăn cản chuyển động (cả quay thẳng) Phản lực gồm lực R chia làm hai thành phần Rx Ry mô men chống quay

a Gối tựa di động hay liên kết đơn

b Gối tựa cố định hay liên kết khớp

c Liên kết ngàm

Hình 1.1 Biểu diễn liên kết thường gặp trường hợp phẳng Trong phụ lục cho bảng phản lực liên kết thường gặp

Ry Rx

Rx M

Ry

1.2 Nội lực

Giữa phần tử vật chất ln có tương tác Tại thời điểm ban đầu lực tương tác đảm bảo không thay đổi hình dạng vật thể Dưới tác động ngoại lực vật biến dạng kéo theo thay đổi lực tương tác bên vật thể

Công nhận giả thiết vật thể trạng thái tự nhiên có nghĩa trạng thái cân ban đầu chưa có tác động bên ngồi, nội lực hệ khơng Ta có định nghĩa nội lực lực tương tác phần tử vật chất vật thể xuất vật rắn bị biến dạng tác động ngoại lực

Phương pháp mặt cắt

Để xem xét, biểu diễn xác định nội lực ta dùng phương pháp mặt cắt Xét vật thể cân tác động hệ lực, tưởng tượng mặt S chia vật thể làm hai phần A B (hình 1.2a) Xét cân phần ví dụ phần A Ngồi ngoại lực đặt vào A ta phải đặt hệ lực tương tác phần B đặt mặt cắt S, hệ lực tương tác nội lực mặt cắt xét

Hình 1.2 Phương pháp mặt cắt

Nội lực mặt cắt ngang

Hệ lực tương tác thu gọn trọng tâm O mặt cắt ngang S vec tơ R mơ men ngẫu lực M Vec tơ lực R mô men ngẫu lực M nói chung có phương chiều khơng gian Chọn hệ trục tọa độ vng góc với trục x vng góc với mặt cặt ngang S, trục y z nằm mặt phẳng chứa S Chiếu vec tơ lực R mô men ngẫu lực M lên hệ trục tọa độ chọn ta thành phần nội lực mặt cắt ngang (hình 1.3)

Nx thành phần trục x, gọi lực dọc trục P1

Pi Pi+1

Pn

O

Qz

Qy, Qz thành phần trục y z gọi lực cắt Mx thành phần mô men quay quanh trục x, gọi mô men xoắn

My, Mz hai thành phần mô men quay quanh trục y trục z (tác dụng mặt phẳng Oxz Oxy), gọi mô men uốn

Hình 1.3 Nội lực mặt cắt ngang

Nx, Qy, Qz, Mx, My Mz sáu thành phần nội lực mặt cắt ngang, xác định từ điều kiện cân phần xét dạng sáu phương trình cân sau

0 i

ix

X P

N ;

i iy y P

Q ;

i iz z P Q

0 i

i X X m P

M ;

i

i Y y m P

M ;

i

i Z Z m P

M

Nếu ta xét phần B thu sáu thành phần nội lực có trị số ngược chiều với nội lực tương ứng phần A

Nội lực mặt cắt ngang toán phẳng

Thanh đặc trưng tiết diện (mặt cắt ngang) trục Ta xét cân mặt phẳng chứa trục ngoại lực nằm mặt phẳng xz

Áp dụng phương pháp mặt cắt, nội lực tiết diện có thành phần với quy ước dấu biểu diễn hình 1.4

Lực dọc trục N vng góc với tiết diện, dương đoạn ta xét chịu kéo Lực cắt Q vng góc với tiếp tuyến trục thanh, dương đoạn ta xét

có xu hướng quay theo chiều kim đồng hồ tác động lực cắt Nx

Qy A

S My O

Qz

P1 Pi

Mô men uốn M gây uốn mặt phẳng xz dương đoạn ta xét bị cong võng xuống (hứng nước) tác động mơ men

Hình 1.4 Quy ước dấu nội lực

Biểu đồ nội lực

Biểu đồ nội lực đồ thị biểu diễn biến thiên nội lực tiết diện dọc theo trục Từ ta tìm tiết diện có nội lực lớn để bố trí vật liệu thích hợp Để vẽ biểu đồ ta cho mặt cắt biến thiên dọc trục x, viết biểu thức giải tích nội lực, vẽ đồ thị hàm số theo biến x

Ví dụ 1.1 Biểu đồ lực dọc N, lực cắt Q mơ men uốn M cho ví dụ hình 1.5a vẽ hình 1.5 b,c,d

Bước ta xác định phản lực từ điều kiện cân cho hệ lực phẳng phương trình

3

3 10

4

0

1

1

3

1

2

/ / ;

P R P P P R R

P R

bP bP bR

P R R

P

ta phản lực R1 2P 3, R2 P, R3 10P

Thay liên kết phản lực Xét mặt cắt 1-1 đoạn từ bên trái đến điểm đặt lực P1 P2 Đặt nội lực N, Q, M vào mặt cắt cách đầu trái đoạn x xét cân đoạn

0

0 1

2

x R M

R Q

R N

ta nhận N P, Q 2P 3, M 2Px Q

Q M M

Tương tự ta xét mặt cắt 2-2 đoạn từ bên phải đến điểm có gối di động Đặt nội lực N, Q, M vào mặt cắt cách đầu phải đoạn x xét cân đoạn

0 0

Px M

P Q

N

ta nhận N 0, Q P, M Px

Đoạn áp dùng trình tự tương tự ta biểu đồ lực dọc trục, lực cắt mô men hình (1.5b., c d.)

Hình 1.5 Biểu đồ nội lực dầm: a Dầm chịu lực; b Biểu đồ lực dọc N; c Biểu đồ lực cắt Q; d Biểu đồ mơ men M

Ví dụ 1.2 Vẽ biểu đồ nội lực hệ khung hình 1.6a

Bước ta tìm phản lực gối đỡ từ phương trình cân phương trình mơ men khơng khớp nối, ta

3

qb R

R ,

2 3

qb R

R (1.9)

Lực cắt đoạn AB phản lực R1 Tại mặt cắt bên phải điểm B bên trái điểm C tính theo cơng thức

3 2P/

3

P R

P R2

3 4Pb

3 7P

3 10

P R

b

2 b b

Pb

P P

P

P1 P P

3

P P2

1 Q

M

N

Q

M

N

sin cos

sin cos

2

2

2qb R

R Q

R R

Q

Cl

Br (1.10)

Biểu đồ mô men đoạn AB đoạn DE đường bậc một, hai đoạn BC CD chịu lực phân bố biểu đồ mô men đường bậc hai

Hình 1.6 Biểu đồ nội lực cho hệ khung: a Hệ khung phẳng; b Biểu đồ mô men M; c Biểu đồ lực cắt Q

1.3 Quan hệ vi phân nội lực tải trọng

Xét trường hợp chịu uốn tác dụng tải phân bố q(x) hình 1.7a

, Hình 1.7 Phân tố chịu tải phân bố

A E

B

C D

R R

3 R

1 R b

2 b

b q

b/2

qb 67 qb

67

qb 29

qb qb 65 qb

b b b2 b2

2

qb

8 2b2

q

2

67 qb

2

0 qb

2

0 qb

2

67 qb

a

b c

q(x)

dx Qtr Qph

Mtr Mph

q(x)

dx

Xét đoạn phân tố dx, kí hiệu Q, M lực cắt mô men uốn mặt cắt bên trái, Q+dQ M+dM lực cắt mô men uốn mặt cắt bên phải (hình 1.7b) viết phương trình cân cho đoạn phân tố

0

Y Q qdx (Q dQ) q

dx

dQ (1.11)

0

M

2

) (M dM dx

q Qdx

M

Q dx dM

, q

dx dQ dx

M d

2

(1.12) Ta có nhận xét

Đạo hàm bậc theo trục x mô men uốn lực cắt

Đạo hàm bậc hai theo trục x mô men uốn đạo hàm bậc theo trục x lực cắt cường độ lực phân bố

Quan bước nhảy biểu đồ nội lực tải trọng tập trung

Cho chịu lực ngang tập trung F0, mô men tập trung M0 Xét phân tố dx chứa điệm có đặt tải tập trung (hình 1.8), viết phương trình cân cho đoạn phân tố

0

Y Q Qph Qtr F0

0

M M Mph Mtr M0 (1.13)

Hình 1.8 Phân tố có đặt tải tập trung Ta có nhận xét sau

Tại tiết diện đặt lực tập trung có bước nhảy

Mtr Mph

dx F0 M0 Qtr

Trị số bước nhảy trị số lực tập trung Bước nhảy lực cắt dương lực hướng lên

Bước nhảy mô men dương mô men quay theo chiều kim đồng hồ Bằng cách làm tương tự ta có quan hệ nội lực tải trọng phân bố trường hợp chịu kéo tác dụng tải trọng phân bố dọc p(x) trường hợp chịu xoắn dụng mô men xoăn phân bố mxo(x)

Đạo hàm lực dọc cường độ tải trọng phân bố dọc

) (x p dx dN

Đạo hàm mô men xoắn cường độ mô men xoắn phân bố

) (x m dx dM

xo xo

Quan hệ bước nhảy biểu đồ với tải trọng dọc trục tập trung P0 mô men xoắn tập trung Mxo0

0

P N N

N ph tr

0 xo tr xo ph xo

xo M M M

M , ,

Kết luận chương

Chương trình bày khái niệm chung

Lực tác dụng đưa khái niệm ngoại lực, phân biệt lực tác động phản lực liên kết, phân loại lực tập trung lực phân bố, định nghĩa tải trọng tĩnh tải trọng động

18

CHƯƠNG

Quan hệ ứng suất biến dạng

2.1 Trạng thái ứng suất

2.1.1 Vec tơ ứng suất

Dùng phương pháp tiết diện để nghiên cứu trạng thái ứng suất vật thể biến dạng (Hình 2.1a) Xét phân tố diện tích S chứa điểm M có pháp tuyến bên vật thể Giả thiết nội lực tác dụng lên diện tích S đưa lực tương đương p M ngẫu lực M Khi S tiến tới (vẫn chứa M) p tiến tới dp/dS cịn M/ S tiến tới khơng Đại lượng

dS p d S p p

S

lim (2.1)

là vectơ ứng suất phần tử tiết diện qua điểm M có pháp tuyến Vectơ ứng suất biểu thị nội lực tác dụng lên đơn vị diện tích tiết diện qua điểm vật thể biến dạng

Vec tơ ứng suất chiếu lên phương pháp tuyến tiếp tuyến với mặt căt (hình 2.1.b) ta có biểu diễn

v u

p (2.2)

a b

Hình 2.1 Vec tơ ứng suất

Thứ nguyên ứng suất lực/chiều dài2,đơn vị thường dùng N/m2 (Pa – Pascal), MN/m2 (MPa – Mega Pascal)

A

B S

Thành phần theo phương pháp tuyến, kí hiệu , gọi ứng suất pháp Thành phần theo phương tiếp tuyến, kí hiệu , gọi ứng suất tiếp

Khi đó, ứng suất p

2 p

Quy ước dấu ứng suất sau (hình 2.2)

Ứng suất pháp gọi dương chiều chiều dương pháp tuyến mặt cắt Ứng suất pháp kí hiệu với (hoặc 2) số ví dụ x(hoặc xx) chiều pháp tuyến

Ứng suất tiếp gọi dương pháp tuyến mặt cắt quay 90o theo chiều kim đồng hồ trùng với chiều ứng suất tiếp Ứng suất tiếp kí hiệu với hai số ví dụ xy, xz số thứ chiều pháp tuyến, số thứ hai chiều song song với ứng suất tiếp

Hình 2.2 Quy ước dấu số thành phần ứng suất

2.1.2 Tenxơ ứng suất

Để xét trạng thái ứng suất điểm, ta xét phân tố đủ nhỏ điểm ta chiếu p lên hệ tọa độ đề vng góc Khi hình chiếu lên p trục tọa độ X , Y , Z biểu diễn qua vec tơ pháp tuyến l,m,n sáu thành phần x, y, z, xy, yz xz (hình 2.3)

n m l

Z

n m l

Y

n m l

X

zz yz

xz

yz yy xy

xz xy xx

(2.3) x

z

y

x

xy xz x>0

xy>0 x

Sáu thành phần khái qt hóa tình trạng chịu lực điểm, tập hợp tất ứng suất mặt cắt qua trạng thái ứng suất điểm, (hình 2.3)

Hình 2.3 Thành phần ứng suất phân tố

Sáu thành phần ứng suất (ba ứng suất pháp ba ứng suất tiếp) xác định hệ tọa độ lựa chọn Theo định nghĩa chúng thành phần ten xơ bậc hai đối xứng gọi ten xơ ứng suất Ta nói trạng thái ứng suất biểu diễn ten xơ ứng suất bậc hai đối xứng, kí hiệu theo cách sau

z zy zx

yz y yx

xz xy x ij

33 23 31

23 22 21

13 12 11

(2.4)

Theo định nghĩa ten xơ, ta lựa chọn hệ tọa độ cho thành phần ứng suất tiếp không Hệ tọa độ xác định hướng ứng suất, hướng tìm từ hệ phương trình

0 i ij

ij (2.5)

Viết dạng ma trận

0

n m

l

z zy zx

yz y

yx

xz xy

x

,

n m l

3

(2.5a)

Nói cách khác điểm ta tìm ba mặt vng góc mặt chính, có pháp tuyến hướng

x

z

y

zx

zy

xz

yz

Ứng suất pháp mặt ứng suất chính, kí hiệu 1, 2, quy ước theo giá trị đại số Ứng suất xác định từ phương trình

0

0

2

3 J J J

ij ij

Det (2.6)

trong J1, J2, J3 bất biến ten xơ ứng suất bậc hai có dạng tb

ii z y x

J1 3 ,

,

4 3 2

2

ij ij jj ii

y xy

xy x x zx

zx z z yz

yz y

J

3

3 ij

z yz xz

yz y xy

xz xy x

Det

J (2.7)

Ở mặt phẳng tạo với hướng góc 450 ta có trạng thái ứng suất mà ứng suất tiếp đạt cực trị Chúng có giá trị tính qua ứng suất sau

,

,

2

2

2 3

1 (2.8)

2.1.3 Phân loại trạng thái ứng suất

Phân loại trạng thái ứng suất dựa trường hợp khác ứng suất

Trạng thái ứng suất khối ba ứng suất khác khơng, ba mặt có ứng suất pháp 1 0, 2 0, (hình 2.4a)

Trạng thái ứng suất đơn ba ứng suất khác khơng, hai mặt có ứng suất pháp khơng, mặt cịn lại ứng suất pháp khác không 0, 0, (hình 2.4c)

Trạng thái ứng suất trượt túy trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt tìm hai mặt vng góc hai mặt có ứng suất tiếp, khơng có ứng suất pháp (hình 2.4d)

Khi xem xét tốn ta gặp chủ yếu trạng thái ứng suất phẳng, nên ta xem xét kĩ trạng thái ứng suất

Hình 2.4 Các trạng thái ứng suất (TTƯS)

2.1.4 Trạng thái ứng suất phẳng

Trạng thái ứng suất phẳng định nghĩa trạng thái đảm bảo điều kiện ứng suất pháp mặt vng góc với trục z khơng,

0 zy zx

z (2.9)

Ứng suất mặt vng góc với trục x trục y gồm có x, y, xy yx Ten xơ ứng suất ten xơ đối xứng nên xy yx

1

2 3

1

a TTƯS khối b TTƯS phẳng

d TTƯS trượt túy c TTƯS đơn

Hình 2.5 Trạng thái ứng suất phẳng

Xét cân phần phân tố bị cắt mặt cắt nghiêng góc Kí hiệu u, v pháp tuyến tiếp tuyến với mặt nghiêng Sử dụng quy ước dấu ứng suất hình chiếu diện tích dA lên trục x trục y

cos dA

dAx , dAy dAsin

ta viết điều kiện cân phần phân tố chiếu lên trục u v y y

yx x x

xy

udA dA dA

U sin cos cos sin

0 y y

yx x x

xy

uvdA dA dA

V cos sin sin cos (2.10)

Hình 2.6 Ứng suất mặt nghiêng Vì xy yx từ điều kiện cân ta tìm

x

y xy

x y

xy yx

yx

x

y

xy x y

xy yx

yx

u

v x

u

uv xy

x

yx

y

dA

z

x

u

yx uv

xy

u

y

v

2

2

2 2

sin cos

cos sin sin

cos

xy y

x y x

xy y

x u

2

2 sin xycos y

x

uv (2.11)

Theo định nghĩa mặt nơi có ứng suất pháp cịn ứng suất tiếp khơng, ta tìm mặt cắt nghiêng mà uv 0, từ (2.11) ta tìm góc

y x

xy

tg2 (2.12)

Thay góc vừa tìm vào (2.11) ta có ứng suất

2

2

1 2 2 xy

y x y

x

max (2.13)

Tìm mặt cắt nghiêng mà ứng suất tiếp đạt cực trị từ điều kiện

2

2

2 x ycos xysin uv

d d

min max

1

2 0

tg tg

xy y x

Điều có nghĩa góc vng góc với góc max

2 , mặt cắt nghiêng mà ứng suất tiếp đạt cực trị tạo góc 450 với hướng

2

2

min max

max xy

y x

(2.14)

Các thành phần ứng suất mặt nghiêng biểu diễn qua ứng suất

2 2

1cos sin

u

2

1 cos

uv

2 2

2

2

2 xy

y x uv y

x u

Đây phương trình đường trịn hệ tọa độ u, uv có tâm C tọa độ

0

2 ,

y x

bán kính

2

2 xy

y x

R Các điểm đường tròn biểu diễn ứng suất pháp ứng suất tiếp mặt nghiêng gọi đường tròn Mohr

Dựng đường trịn Mohr cho điểm có trạng thái ứng suất x, y, xy sau Dựng hệ trục tọa độ ( u, uv), trục u lấy hai điểm C1 C2 có tọa độ

y, x tương ứng, điểm C trung điểm đoạn C1C2 tâm đường tròn Mohr

Từ tâm C vẽ đường trịn có bán kính 2

2 xy

y x

R

điểm A, B hai điểm đường tròn cắt trục u biểu diễn trang thái ứng suất mặt với giá trị ứng suất pháp cực trị max, uv (hình 2.7)

Hình 2.7 Đường trịn Morh trạng thái ứng suất phẳng

y x

u B

A max

xy

min

2

u uv

uv

2 y

x max

min

điểm M, N hai điểm đường tròn cắt đường thẳng qua tâm C song song với trục u biểu diễn trang thái ứng suất mặt có giá trị ứng suất tiếp cực trị

2 max

max ứng suất pháp

2 y x

u (hình 2.7)

điểm D biểu diễn trạng thái ứng suất mặt nghiêng góc so với tọa độ ban đầu

Đối với trạng thái ứng suất khối, với quy ước 1> > ta dựng dược đường tròn Mohr

Đường tròn nhỏ qua hai điểm có tâm điểm A1

3

2 , ,

bán kính

3

2 cho ta biểu diễn ứng suất pháp ứng suất tiếp mặt phẳng song song với phương thứ

Đường tròn qua hai điểm có tâm điểm A2

2

1 , , bán kính

2

1 cho ta biểu diễn ứng suất pháp ứng suất tiếp mặt phẳng song song với phương thứ ba

Hình 2.8 Ba đường tròn Morh trạng thái ứng suất khối

B2

2 O

3

u

1

3

2 uv

2

2 2

Đường tròn to qua hai điểm có tâm điểm A3

3

1 , ,

bán kính

3

1 cho ta biểu diễn ứng suất pháp ứng suất tiếp mặt phẳng song song với phương thứ hai Đường trịn tơ đường trịn giới hạn hay đường trịn

Ba điểm B1, B2 B3 biểu diễn trang thái ứng suất mặt nghiêng song song vói mặt thứ nhất, thứ hai thứ ba nghiêng 450 với hai mặt cịn lại Tại ứng suất tiếp đạt cực trị

2 1 1B

A ,

2 2 2B

A ,

2 3 3B

A ,

còn ứng suất pháp mặt

2

OA ,

2

OA ,

2

OA

2.1.5 Quan hệ ứng suất nội lực

Ứng suất điểm mặt cắt ngang chiếu lên thành thành phần x, xy, xz Khi ta có quan hệ ứng suất nội lực mặt cắt sau

A xdA

N ;

A xy y dA

Q ;

A xz z dA

Q ,

A

xy xz

xo y z dA

M ;

A x y z dA

M ;

A x z y dA

M

2.2 Trạng thái biến dạng

2.2.1 Chuyển vị biến dạng

Chuyển vị thay đổi vị trí điểm, hay góc quay đoạn thẳng nối hai điểm tác động ngoại lực

vật chất vô nhỏ qua điểm cho trước xác định thay đổi góc hai đoạn vật chất vô bé

Khi xét chuyển vị ta xét thay đổi vị trí tiết diện trước sau bị biến dạng Chuyển vị gồm chuyển động tịnh tiến trọng tâm tiết diện chuyển động quay hình phẳng tiết diện quanh trọng tâm

Biến dạng thay đổi kích thước hình dáng tiết diện, thay đổi chiều dài, độ cong, độ xoắn trục

Thông thường sức bền vật liệu quan tâm chủ yếu đến biến dạng trục thanh, theo biến dạng trục ta phân loại

Thanh chịu kéo nén: trục không bị cong, tiết diện chuyển động tịnh tiến dọc trục trục bị co lại giãn

Thanh chịu cắt: trục không thay đổi độ cong bị gián đoạn, tiết diện trượt so với không biến dạng

Thanh chịu xoắn: trục không bịộ cong không thay đổi độ dài, tiết diện khơng có chuyển vị tịnh tiến có chuyển vị quay quanh trọng tâm mặt phẳng tiết diện

Thanh chịu uốn: trục bị cong đi, độ dài trục khơng đổi Khi tồn chuyển vị tịnh tiến chuyển vị quay tiết diện

Thanh chịu lực phức tạp tổ hợp bốn trường hợp Như nói chương ta dùng ngun lí cộng tác dụng để xét biến dạng tiết diện

2.2.2 Ten xơ biến dạng

Với giả thiết biến dạng nhỏ ta có quan hệ biến dạng chuyển vị (u,v,w) hệ thức Cauchy

x u xx ,

y v yy ,

z w

zz ,

y u x v xy

2

,

z v y w yz

2

1 ,

x w z u

zx

Ý nghĩa vật lí

xx, yy, zz độ dãn sợi vật chất biến dạng theo trục

2 xy, yz, zx cosin góc hai phần tử đường sau biến dạng, độ biến dạng trượt

Như trạng thái biến dạng xác định ten xơ biến dạng, ten xơ bậc hai đối xứng

z zy zx

yz y yx

xz xy x ij

33 23 31

23 22 21

13 12 11

(2.16)

Ta tìm hướng hướng có thành phần tenxơ đường chéo khác khơng từ phương trình

0 i ij

ij (2.17)

Biến dạng xác định từ phương trình

0 2 3

1

3 Ε Ε

ij ij

Det (2.18)

trong

e ii

z y

x

1

1 3 2

2

ij ij jj ii y

xy xy x x zx

zx z z yz

yz y

3

3 ij

z yz xz

yz y xy

xz xy x

Det (2.19)

là bất biến ten xơ biến dạng Biến dạng trượt biểu diễn bằng:

2 3

1 (2.20)

xy

xy , yz yz, zx zx (2.21)

2.3 Định luật Hooke

Khi vật liệu đồng nhất, đẳng hướng biến dạng vật thể đàn hồi tuyến tính có trị số bé ta có định luật Hooke biểu diễn quan hệ ứng suất biến dạng

z y x x

E

1 ,

z x y y

E

1 ,

x y z z

E

1 ,

xy xy

E

1

, yz yz

E

1

, zx zx

E

1

,

G

xy

xy , G yz

yz , zx Gzx , (2.22)

trong E mô đun đàn hồi, hệ số Poision mơ dun trượt G tính qua E cơng thức

1

E

G (2.23)

Ngược lại, biểu diễn ứng suất qua biến dạng

x e

x

E E

1

2

1 , y e y

E E

1

2

1 ,

z e

z

E E

1

2

1 ,

xy xy

xy 2G G , yz 2G yz G yz, zx 2G zx G zx (2.24) Quan hệ (2.22 2.24) định luật Hooke viết dạng ma trận

e (2.25)

trong { } vectơ sáu thành phần biến dạng T

zx yz xy z y

x, , , , , (2.26)

T zx yz xy z y

x, , , , , (2.27)

cịn [e] ma trận vng đối xứng có dạng

1 0

0 0

0

2 0 0

0

1 0

0

0

0

0

0

0

1

E

e (2.28)

Nghịch đảo phương trình 2.25 biểu diễn ứng suất qua biến dạng hay dạng ma trận phương trình 2.24

d (2.29)

trong ma trận [d] nghịch đảo ma trận [e] ma trận vuông đối xứng

2 0 0

0

2 0 0

0

2 0

0 0

0 0

0 0

2 1

E

d (2.30)

[d] [e] ma trận hệ số đàn hồi

2.3.2 Hệ thức số đàn hồi

Ngồi mơđun đàn hồi Young E, hệ số Poisson người ta dùng số đàn hồi khác hệ số Lame , môđun nén thể tích K mơdun trượt G

Ta xem mơ dun nén thể tích tính qua mơđun đàn hồi Young E, hệ số Poisson

Mơdun nén thể tích K

Đặt vào phương trình (2.24) ta cộng ba phương trình đầu vào ta p E e Suy e E p 3 E K (2.31)

Trong bảng 2.1 liên hệ số đàn hồi khác Bảng 2.1 Liên hệ số đàn hồi

Hằng

số Đơi

đàn

hồi , G K, G G, E, E,G

G K 2 2G E E G G E G G E

K G

3 2 2G E E G EG 3 E G G

G3

G K KG 2G G

2 K G

G K 2 2G E 2.3.3 Định luật Hooke với hai số G K

Với hai số mô dun nén thể tích K mơ đun trượt G ta có biểu diễn định luật Hooke

xy xy G , yz yz G , zx zx G

1 (2.32)

x e

x K G 2G

2 ,

y e

y K G 2G

2 ,

z e

z K G 2G

2

,

xy xy

xy 2G G , yz 2Geyz G yz, zx 2Gezx G zx (2.33) Ma trận độ mềm [e] biểu diễn qua số K G sau

K K K G K G K G K G G K G K G K G G KG e 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 2 0 3 2 (2.28)

và tương tự ma trận độ cứng [d] có dạng

G G G G K G K G K G K G K G K G K G K G K d 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 3 0 3 3 (2.30)

Kết luận chương

Trong chương hai trình bày trạng thái ứng suất trạng thái biến dạng Trạng thái ứng suất phẳng trình bày kĩ toán chủ yếu ta gặp trạng thái ứng suất Giới thiệu cách biểu diễn trạng thái ứng suất phẳng đường tròn Morh Mở rộng cách biểu diễn đường tròn Morh cho trạng thái ứng suất khối

35

CHƯƠNG

Các lí thuyết bền

3.1 Thế biến dạng đàn hồi

Công thực hệ lực tác động lên kết cấu lưu kết cấu đàn hồi dạng lượng biến dạng đảm bảo khơng có cơng bị thất thoát dạng động gây dao động hay nhiệt làm tăng nhiệt độ Nói cách khác, lực tác động từ từ để ứng suất không vượt qua ứng suất giới hạn vật liệu Khi ta từ từ cất tải nội phục hồi làm cho kết cấu trở hình dạng ban đầu Như vậy, công ngoại lực W nội U

U

W (3.1)

Liên hệ dùng để tính chuyển vị hay lực, ta phải xem xét cách tính nội biến dạng (hay gọi biến dạng đàn hồi)

Từ kết cấu đàn hồi ta xét phân tử nhỏ dạng với diện tích mặt cắt ngang da độ dài dl. Có thể có ứng suất pháp Hình 3.1a hay ứng suất tiếp Hình 3.1b tác dụng bề mặt diện tich da Giả thiết đầu trái B phần tử bị ngàm chặt đầu phải C tự Chuyển vị C hai loại ứng suất

dl E

1 Gdl

ở E hệ số đàn hồi kéo nén, G hệ số đàn hồi trượt

Hình 3.1 Phần tử b da

dl E dl

da N

a dl

dl G dl

dl V da

Nếu tác động từ từ lực da da để gây nên chuyển vị trên, lượng lưu trữ phần tử

dlda E da

dU

2

1 2

1

1

dlda G da

dU

2

2 2

1

1

Dùng ký hiệu chung cho biến dạng, hai phương trình có dạng

dv dU

2

1 (3.2)

ở dv dl da thể tích phần tử xét, ứng suất tổng quát, ứng suất pháp hay ứng suất tiếp

Biến dạng phương trình 3.2 ứng suất pháp có giá trị

E, ứng suất tiếp G G E có liên hệ với

1

E G

ở hệ số Poisson, biến dạng ứng suất tiếp viết

E

1

2

Gia số lượng biến dạng phần tử đàn hồi với thể tích dv

khi biến dạng thay đổi từ đến f

f d dv dU

0

(3.3)

ở tích phân bên vế phải gọi mật độ lượng biến dạng phần diện tích bên đường cong ứng suất biến dạng vật liệu (Hình 3.2a) Nếu vật liệu tuân thủ định luật Hooke (Hình 3.2b) ta có mật độ lượng biến dạng

f f

dU

Hình 3.2 Đường cong ứng suất biến dạng (a) mật độ lượng (b) Tổng lượng biến dạng kết cấu tuyến tính

6

1

m v m m dv

U (3.4)

m biểu diễn dạng ứng suất dạng biến dạng tương ứng Có nghĩa tích phân lấy tồn thể tích kết cấu cho loại ứng suất riêng biệt

Trong số trường hợp ta dùng liên hệ ứng suất biến dạng Quan hệ E cho vật liệu tuyến tính áp dụng cho ứng suất pháp mặt phẳng

Dùng ký hiệu { } vectơ sáu thành phần biến dạng T

zx yz xy z y

x, , , , ,

và { } vectơ sáu thành phần ứng suất T

zx yz xy z y

x, , , , , ta có biểu thức

v T

dv U

2

1 (3.5)

hay

v

T dv

U

2

1 (3.5a)

Sử dụng quan hệ ứng suất biến dạng (2.25) (2.39) vào (3.5) hay (3.5a) ta có

a

d

f

f

f b d

v T

dv e U

2

1 (3.6)

và

v T

dv d U

2

1 (3.6a)

Dạng ma trận [e] [d] cho (2.28) (2.30)

Thế biến dạng đàn hồi riêng

Trạng thái ứng suất đơn

2

U (3.7)

Trạng thái ứng suất khối 1, 2, 3

3 2 1

U

Dùng định luật Hooke biểu diễn biến dạng qua ứng suất ta có

1 3 2

3 2

1

2

E

U (3.8)

Thế biến dạng đàn hồi thể tích hình dáng

Ta xem trạng thái ứng suất khối 1, 2, 3 tổng hai trạng thái ứng suất:

trạng thái kéo nén theo phương với ứng suất

3

tb (3.9)

trạng thái có biến dạng thể tích ko có biến dạng hình dáng trạng thái với ứng suất

tb

1 , 2 tb, tb, (3.10)

Như hd tt U

U

U (3.11)

2 2

2 2

6 2

2

2

1

E E

E U

tb

tb tb tb tb tb tb tb

tb tb tt

(3.12)

2 3 2

2 1

3 2

3 2

6

6 2

2

E

E E

U U

Uhd tt

(3.13)

3.2 Đặc trưng học vật liệu

Vật liệu phân loại thành hai loại theo biến dạng:

Vật liệu dẻo vật liệu bị phá hủy biến dạng lớn, thép, đồng, nhơm chất dẻo

vật liệu dịn bị phá hủy biến dạng bé, gang, bê tông, đá Sự phân loại quy ước mang tính tương đối

Để xác định đặc trưng học vật liệu người ta tiến hành thí nghiệm kéo, nén mẫu vật liệu máy chuyên dụng kéo nén

3.2.1 Trình tự thí nghiệm

Tiến hành đo liên tục đại lượng: lực kéo (nén) F độ dãn dài L mẫu thí nghiệm

Với giả thiết ứng suất phấn bố tồn diện tích tiết diện A, ta tính ứng suất F/A, A diện tích ban đầu tiết diện

Tính biến dạng dọc tương ứng L/L, với L chiều dài ban đầu mẫu vật liệu

3.2.2 Mẫu thí nghiệm

Mẫu thí nghiệm phải chế tạo tuân thủ tiêu chuẩn quy phạm đo lường tiêu chuẩn Thường

Mẫu chịu kéo có hình dáng lăng trụ với hai kiểu tiết diện

+ có tiết diện tròn với chiều dài L 10 lần đường kính L=10d (mẫu dài) chiều dài L lần đường kính L=5d (mẫu ngắn)

+ tiết diện chữ nhật với tỉ lệ cạnh ngắn cạnh dài khoảng 0,2 1, chiều dài L 11,3 A cho mẫu dài L 5,65 A cho mẫu ngắn

mẫu chịu nén hình trụ tròn với chiều cao h nhỏ ba lần đường kính để đảm bảo trục thẳng trọng làm thí nghiệm Mẫu nén bê tơng thường có hình dạng khối lập phương cạnh 15cm, 20cm trụ trịn ngắn đường kính 10cm

3.2.3 Đồ thị thí nghiệm

Thí nghiệm kéo vật liệu dẻo

Đồ thị thí nghiệm kéo vật liệu dẻo (hình 3.3) gồm ba giai đoạn

Giai đoạn tỉ lệ đoạn OA đồ thị Khi vật liệu làm việc đàn hồi tuân thủ định luật Hooke với biến dạng bé tl ứng suất giới hạn tỉ lệ ứng với điểm A Đoạn AB ngắn điểm A vật liệu đàn hồi, thép CT3

MPa

tl 210

Giai đoạn chảy đoạn nằm ngang BC đồ thị Khi ứng suất khơng thay đổi mẫu biến dạng ch ứng suất giới hạn chảy ứng với điểm B Độ dài đoạn BC tùy thuộc vào vật liệu ch 240MPa thép CT3

hình thành chỗ thắt, ứng suất ứng với điêm D gọi ứng suất giới hạn bền b thép CT3 b 380MPa

Hình 3.3 Quan hệ ứng suất – biến dạng thí nghiệm kéo vật liệu dẻo Như vậy, ba giới hạn tl, ch b đặc trưng học vật liệu mô đun đàn hồi E hệ số góc đoạn OA E tg

Thí nghiệm nén vật liệu dẻo

Đồ thị quan hệ ứng suất – biến dạng thí nghiệm nén vật liệu dẻo thể hình 3.4

Hình 3.4 Quan hệ ứng suất – biến dạng thí nghiệm nén vật liệu dẻo O

ch tl A

B ch

b

tl A

B C

D

E

Ta có nhận xét

Ứng suất giới hạn tỉ lệ tl giới hạn chảy ch vật liệu dẻo trường hợp kéo nén

Tuy nhiên sau giới hạn chảy, ứng suất nén tăng không làm cho mẫu vỡ, ứng suất phá hủy xác định

Thí nghiệm kéo nén vật liệu dịn

Hình 3.5 Quan hệ ứng suất – biến dạng thí nghiệm kéo nén vật liệu dịn Đồ thị có giai đoạn gần thẳng kết thúc mẫu bị phá hủy (bị kéo đứt hay nén vỡ)

Từ đặc trưng học vật liệu ta có giá trị ứng suất cho phép để kiểm tra điều kiện bền kết cấu

n

0 (3.14)

trong vật liệu dẻo 0 ch, vật liệu dòn 0 b,k hay b,n Còn n>1 hệ số an toàn theo ứng suất cho phép, xét đến yếu tố thực tế ảnh hưởng tới độ bền kết cấu Cả hai giá trị ứng suất cho phép [ ] hệ số an toàn n quy định tiêu chuẩn quy phạm tính tốn thiết kế

O b,k

tl,k

b,n tl,n

Ak

An

Dn

Dk

(Kéo)

3.3 Điều kiện bền vật liệu Trạng thái ứng suất đơn

(3.15) Trạng thái ứng suất khối suy diễn hình thức khó áp dụng thực tế khó làm thí nghiệm để có giá trị 1, 2,

3 2

1 ; ; (3.16)

Giả thiết tổng quát điều kiện bền dạng C

) , ,

( 1 2 3 (3.17)

trong 1, ứng suất chính, C đặc trưng học vật liệu Điều kiện bền tổng quát (3.16), tùy theo cách đánh giá giả thiết ta viết dạng cụ thể đơn giản hóa Những giả thuyết nguyên nhân gây phá hủy cho ta thuyết bền cụ thể Nguyên nhân không phụ thuộc vào dạng trạng thái ứng suất, nhờ ta viết điều kiện bền thạng thái ứng suất phức tạp có kết thí nghiệm cho trạng thái ứng suất đơn

Ta viết điều kiện bền dạng

td (3.18)

3.2.1 Thuyết bền ứng suất pháp cực đại – Thuyết bền thứ

Với giả thiết: Nguyên nhân gây phá hỏng vật liệu trạng thái ứng suất khối trị số lớn ứng suất pháp đạt tới giới hạn xác định

n k

1 ; (3.19)

Biểu thức ứng suất tương đương thuyết bền thứ

tdI (3.20)

3.2.2 Thuyết bền biến dạng dài cực đại – Thuyết bền thứ hai

Với giả thiết: Nguyên nhân gây phá hỏng vật liệu trạng thái ứng suất khối trị số biến dạng dài lớn đạt tới giới hạn xác định

Nếu gọi biến dạng dài giới hạn , trạng thái khối theo định luật Hooke

)

( 2 3

1

1

E

Ở trạng thái đơn theo định luật Hooke

E

sẽ có giới hạn

E

Giới hạn khơng phụ thuộc vào dạng ứng suất nên ta có

E

Từ ta có điều kiện bền theo

)

( 2 3

1 (3.21)

Biểu thức ứng suất tương đương thuyết bền thứ hai )

( 2 3

1

tdII (3.22)

Các thực nghiệm thuyết bền thứ hai tương đối phù hợp với vật liệu dòn

3.2.3 Thuyết bền ứng suất tiếp cực đại - Thuyết bền thứ ba

Với giả thiết: Nguyên nhân gây phá hỏng vật liệu trạng thái ứng suất khối trị số lớn ứng suất tiếp đạt tới giới hạn xác định

Nếu gọi ứng suất tiếp giới hạn với quy ước 1 2 3, trạng thái ứng suất khối ta có ứng suất tiếp lớn

Ở trạng thái đơn theo ta có ứng suất tiếp lớn

2 max có giới hạn

2

Giới hạn không phụ thuộc vào dạng ứng suất nên ta có

2

Từ ta có điều kiện bền theo

1 (3.23)

Biểu thức ứng suất tương đương thuyết bền thứ ba

1

tdIII (3.24)

Thuyết bền thứ ba phù hợp với vật liệu dẻo, ứng với điều kiên dẻo Tresca-Saint-Venant

3.2.4 Thuyết bền biến dạng hình dáng cực đại – Thuyết bền thứ tư

Với giả thiết: Nguyên nhân gây phá hỏng vật liệu trạng thái ứng suất khối trị số lớn biến dạng đàn hồi hình dáng đạt tới giới hạn xác định

Nếu gọi biến dạng đàn hồi hình dáng giới hạn uhd trạng thái ứng suất khối

hd

hd u

E

u 1 2 2 3 3 1

3 2

Ở trạng thái đơn theo ta biến dạng đàn hồi hình dáng

1

E

uhd

và có giới hạn

Giới hạn không phụ thuộc vào dạng ứng suất nên ta có

3

E

uhd

Từ ta có điều kiện bền theo 3 2 2

1 (3.25)

Biểu thức ứng suất tương đương thuyết bền thứ tư

2 3 2

1 3 2 2

2 tdIV

(3.26)

Cũng thuyết bền thứ ba thuyết bền thứ tư tương đối phù hợp với vật liệu dẻo Điều kiện bền thứ tư ứng với điều kiện dẻo von-Mises

3.2.5 Thuyết bền Mohr – Thuyết bền thứ năm

Thuyết bền Morh xây dựng dựa sở thực nghiệm Một loạt thí nghiệm phá hủy tiến hành Ứng với thí nghiệm ta cặp giá trị

n

k, Như ta nhận họ đường tròn Morh giới hạn (đường tròn to ba đường trịn Morh trạng thái ứng suất khối có bàn kính

3

0, ) mặt phẳng , hình 3.6 Dựng đường bao đường tròn Morh giới hạn chia mặt phẳng làm hai miền: ngồi đường bao

Hình 3.6

3

n k

n

O O Ok

A

C

B

1

C

Với giả thiết đường bao tìm thuyết bền Morh phát biểu trạng thái ứng suất có đường trịn Morh giới hạn nằm đường bao trạng thái đủ bền, vật liệu không bị phá hủy Nếu ngược lại đường trịn Morh giới hạn nằm ngồi đường bao trạng thái ứng suất khơng đủ bền vật liệu bị phá hủy

Một khó khăn để áp dụng thuyết bền Morh phải làm số lớn thí nghiệm Để tránh khó khăn Morh đề xuất vẽ đường báo dựa đường trionf kéo nén đường bao đường thằng (AC hình 3.6)

Giả sử ta có trạng thái ứng suất dựng đượng đường tròn giới hạn, đường tròn tiếp xúc với đường AC điểm B (hình 3.3) Khi từ cácđiều kiện hình học ta có

1 1

AB BB AC

CC

Biểu diễn độ dài đoạn thẳng qua ứng suất ta

3

5

0

k

k k

n k n

, , ,

,

Từ biểu thức trên, rút gọn ta

k k

n k

3

1 ,

Ứng suất tương đương thuyết bền Mohr

1

tdV (3.26)

trong k / n

Kết luận chương

suất pháp thuyết bền theo trạng thái ứng suất đơn, ta đưa điều kiện bền (3.18) chung cho tất thuyết bền dạng

td

49

PHẦN CÁC BÀI TOÁN THANH

Nội dung phần xem xét trường hợp chịu lực Đó trường hợp sau

Thanh chịu kéo nén

Thanh chịu xoắn, xem xét chịu cắt Thanh chịu uốn

Thanh chịu lực phức tạp

Như nói phần nhập mơn ta cần xem xét ba toán Bài toán kiểm tra độ bền, độ cứng độ ổn định

Bài tốn thiết kế - lựa chọn hình dạng kích thức tiết diện phù hợp cho phận kết cấu

Bài toán xác định tải trọng cho phép đặt lên kết cấu

Trình tự giải tốn tóm gọn bước sau Bước Vẽ biểu đồ nội lực theo trình tự

Tìm phản lực liên kết từ phương trình tĩnh học

Dùng phương pháp mặt cắt từ điều kiện cân ta có biểu thức nội lực

Vẽ biểu đồ nội lực

Bước Dựa biểu đồ nội lực tính ứng suất lớn max Bước Kiểm tra bền Ở phụ thuộc vào loại toán

Bài toán kiểm tra ta kiểm tra xem max để kết luận đủ bền hay khơng Bài tốn thiết kế từ điều kiện bền max lựa chọn kính thước thỏa mãn

điều kiện bền

Bài toán xác định tải trọng cho phép Pb từ điều kiện max tìm tải trọng cho

Bước Có kích thước nội lực ta tính dịch chuyển kết cấu để tìm max Bước Kiểm tra độ cứng Cũng độ bền tùy thuộc vào dạng toán

Bài toán kiểm tra ta kiểm tra xem max kết luận đủ cứng không

Bài toán thiết kế ta kiểm tra xem max khơng thỏa mãn ta lựa chọn lại

kích thước đảm bảo điều kiện cứng

Bài toán xác định tải trọng cho phép Pc từ điều kiện max tìm tải trọng cho

phép tác động lên đảm bảo cứng, tải trọng cho phép kết luận

) , min(Pb Pc P

51

CHƯƠNG

Các đặc trưng hình học

Khả chịu lực khơng phụ thuộc vào diện tích tiết diện mà cịn phụ thuộc vào đặc trưng hình học khác tiết diện Trong chương đưa cơng thức tính đặc trưng hình học mơ men tĩnh, mơ men qn tính tiết diện phẳng

4.1 Mô men tĩnh trọng tâm

Diện tích hình phẳng tính tích phân

F

dF

F (4.1)

Hình 4.1 Tọa độ phân tố Cơng thức tính mơ men tĩnh trục y trục z có dạng

A z A

y zdA S ydA

S ; (4.2)

thứ nguyên mô men tĩnh (chiều dài)3, ví dụ (m3)

Trục trung tâm trục có mơ men tĩnh khơng Trọng tâm tiết diện giao điểm hai trục trung tâm

Kẻ hai trục u v vng góc qua tâm C song song với trục y z, tọa độ y z phân tố dA biểu diễn qua tọa độ u v tọa độ tâm C hệ tọa độ Oyz sau

v

dA

u yC

y y

z z

u v zC C

u y

y C , z zC v

Thế vào (4.2) ta định lí Varignon

A z vdA dA

z dA v z

S c

A A C A

C y

A S z y

c

A y udA dA

y dA u y

S c

A A C A

C z

A S y z

c (4.3)

Từ định lí Varignon ta có nhận xét

Các trục trung tâm cắt điểm hay trục qua trọng tâm trục trung tâm

Nếu có trục đối xứng trọng tâm nằm trục đối xứng, có hai trục đối xứng vng góc trọng tâm giao điểm hai trục

Trọng tâm hình ghép xác định cơng thức (phần rỗng có diện tich âm)

A A z z

A A y

yc ci i ; c ci i (4.4)

Ví dụ xác định trọng tâm hình ghép hình 4.2

Chọn hệ tọa độ y0z0 hình vẽ tọa độ trọng

tâm diện tích hình chữ I chữ L cho hàng bảng 4.1 Dùng công thức 4.4 ta tính trọng tâm hình ghép viết dòng bảng 4.1

Bảng 4.1

zC yC A

Chữ I 28 36 960 Chữ L 14,91 -14,91 704 Hình ghép 22,4615 14,4615 1664

4.2 Các mơ men qn tính

Cơng thức tính mơ men qn tính trục hình phẳng với trục Oy Oz

A z A

y z dA I y dA

I ; (4.5)

48

60 40

8

6

0

z

0

y CI

CL

C

Mơ men qn tính li tâm hệ trục vng góc Oyz

A

yz yzdA

I (4.6)

Mơ men qn tính cực gốc tọa độ

z y A

I I dA

I (4.7)

Từ công thức ta có nhận xét

Mơ men qn tính có thứ ngun chiều dài4, vídụ m4 Mơ men qn tính cực số

Mơ men qn tính trục ln dương

Mơ men qn tính li tâm Iyz dương, âm khơng

Hệ trục có mơ men qn tính li tâm Iyz khơng hệ trục

Hệ trục chứa trục đối xứng hình phẳng hệ trục quán tính

Hệ trục quán tính trung tâm hệ trục qn tính có gốc trọng tâm

0

y

S , Sz 0, Iyz (4.8) Mô men quán tính trục quán tính trung tâm gọi mơ men qn tính trung tâm (mơ men qn tính chính)

Mơ men qn tính hình ghép tính qua mơ men hình thành phần

i yi

y I

I ,

i zi

z I

I ,

i yzi

yz I

I (4.9)

Chú ý phần rỗng tính có mơ men quán tính âm Bán kính quán tính trục Oy hay Oz

F I i

r y y

y ,

F I i

r z

z

z (4.10)

Ví dụ Tính mơ men qn tính hình trịn đường kính D

d d dA

Lắp vào cơng thức tính mơ men qn tính cực

32

4

4

4

0

0

0

0

2dA d d D D

I

D D

A

Từ ta có

64

4

D I

Iy z

Có cơng thức tính mơ men qn tính cho hình trịn, áp dụng cơng thức tính mơ men qn tính cho hình ghép ta có cơng thức tính mơ men qn tính hình vành khăn với đường kính ngồi D đường kính d

4

1 32

D

I , 1

64

D I

Iy z ,

D d 4.3 Công thức chuyển trục song song

Xét hệ trục Ouv song song với hệ trục ban đầu Oyz (hình 4.4)

Hình 4.4 Chuyển trục tọa độ song song

Khoảng cách v z a, u y b, theo định nghĩa ta có

A A

A A

A

u v dA z b dA z dA b zdA b dA

I ( )2 2

A A

A A

A

v u dA y a dA y dA a ydA a dA

I ( )2 2

A A

A A

A A

uv uvdA y a z b dA yzdA a zdA b ydA ab dA

I ( )( )

z y

dF y z

v u

b

a v

u

d d

O z

y

Ta rút liên hệ mơ men qn tính hệ trục Ouv mơ men qn tính hệ trục cũ Oyz

abA bS aS I I A a aS I I A b bS I I z y yz uv z z v y y u 2 2 (4.11)

Nếu trục Oxy trục trung tâm cơng thức (4.11) có dạng đơn giản

abA I I A a I I A b I I yz uv z v y u 2 (4.11a)

Ví dụ Tính mơ men quán tính trung tâm tiết diện thép góc hình 4.5

Thép góc tạo thành từ hình vng to có cạnh 14x14cm cắt bỏ hình vng nhỏ góc bên phải có cạnh 12x12cm Chọn hệ trục ban đầu Oy0z0

hình vẽ, tìm trọng tâm hình ghép theo công thức Vaginon (bảng 4.2) Phần cắt bỏ có diện tích âm

Bảng 4.2 zCo (cm) yCo (cm) A (cm2)

Iz=Iy tính

trục trung tâm riêng hình

Khoảng cách từ trục riêng đến trục

của hình ghép

Iz=Iy

hình ghép (cm4) Hình to 0 2304 3201,333 2,769 4704,387 Hình nhỏ 1 -1600 -1728 3,769 -3773,82 Hình ghép -2,769 -2,769 704 930,564

Ta tính mơ men qn tính cho hình trục trung tâm riêng hình sau chuyển trục sang hệ trục trung tâm hình ghép Cxy Phần cắt bỏ có mơ men qn tính âm

4 2 2

1 z z A I z z A 930564cm

I I

IZ y y C C y C C ,

2 14 y C Hình 4.5 z y 12

12 z0 O

14

4.4 Công thức xoay trục

Xét hệ trục Ouv tạo cách quay Oyz góc (hình 4.6) Khi tọa độ hệ trục Ouv tính qua tọa độ hệ trục Oyz theo công thức

; sin cos

; cos

sin z v y z

y u

Hình 4.6 Xoay trục tọa độ góc Theo định nghĩa mơ men quán tính

F F F F F u dF y yzdF dF z dF z y dF v I 2 2 2

2sin cos cos

sin ) sin cos ( F F F F F v dF z yzdF dF y dF z y dF u I 2 2 2

2sin cos cos

sin ) cos sin ( F F F F F uv dF z dF y yzdF dF z y z y uvdF I 2

2 sin sin cos

cos

sin cos

cos sin

Từ ta công thức tính mơ men qn tính xoay trục

2

2

2 cos yzsin

y z y z u I I I I I I 2

2 cos yzsin

y z y z v I I I I I I 2

2 sin yzcos

y z uv I I I I (4.12) z y dA y z u v

Trục quán tính trục có mơ men qn tính li tâm khơng Từ điều kiện ta tìm góc trục qn tính với trục z

z y

yz yz

y z uv

I I

I tg

I I

I

I 2 2

2 sin cos (4.13)

Biết góc , thay vào hai biểu thức (4.12) ta tính mơ men qn tính trục qn tính (gọi mơ men qn tính chính) Các mơ men qn tính nhận giá trị cực trị

2 4

2 z y yz

y

z I I I I

I

I ( ) min

max (4.14)

Đồng thời tìm bán kính qn tính

F I i

F I

i min

max

max ; (4.15)

Kết luân chương

Chương bốn trình bày cơng thức tính đặc trưng hình học hình phẳng mơ men tĩnh, mơ men qn tính

Đưa định nghĩa hệ trục trung tâm, hệ trục chính, hệ trục quán tính trung tâm

58

CHƯƠNG

Thanh thẳng chịu kéo,

nén tâm

5.1 Định nghĩa

Thanh chịu kéo nén tâm tiết diện tồn thành phần nội lực lực dọc trục Quy ước dấu lực dọc trục: Lực dọc dương chịu kéo âm chịu nén

Ví dụ Xét dàn chịu kéo (hình 5.1)

Hình 5.1 Nội lực dọc trục hệ dàn

Để tính nội lực ta dùng phương pháp mặt cắt cắt AB BC thay liên kết nội lực dọc AB (N1) BC (N2) Xét cân điểm B

ta có hai phương trình, từ ta tìm nội lực

Fctg N

N N

N X

F N

F N

Y

cos cos

sin sin

2

2

2

0

0

Như AB chịu kéo, BC chịu nén

5.2 Biểu đồ lực dọc

Biểu đồ lực dọc biểu diễn biến thiên lực dọc dọc theo trục Để vẽ biểu đồ lực dọc ta dùng phương pháp mặt cắt để xác định lực dọc mặt cắt Giá trị lực dọc N mặt cắt tổng đại số ngoại lực dọc trục

A B

C

F RA

RC

A B

C

F RA

RC

N1 N1

N2

thanh (lực tập trung P hay lực phân bố qx) tác dụng vào phần bên

của mặt cắt Công thức tổng quát để xác định lực dọc trục mặt cắt ngang sau

dx q P

Nx x x (5.1)

Ta giả định vec tơ N hướng phía ngồi mặt cắt, xét điều kiện cân mặt cắt phần cắt, công thức (5.1) cho ta giá trị dấu nội lực dọc trục

Ví dụ Xét thẳng chịu lực hình 5.2

Hình 5.2 Ví dụ vè biểu đồ nội lực dọc trục

Ta xét từ bên phải sang đầu bên phải tự không cần xác định phản lực Đoạn từ đầu bên phải đến điểm đặt lực P2 (hình 5.2b), xét cân mặt cắt

1-1 với lực bên phải ta tính N1

kN P

N P

N

X 1 1 40

Đoạn từ điểm đặt lực P2 đến điểm đặt lực P3 (hình 5.2c), xét cân mặt

cắt 2-2 với lực bên phải ta tính N2

kN P

P N P

P

N2 2 40 60 20

1

1

2

3

40kN

20kN 60kN

P1

P2

N2

P1

N1

P1

P2

P3

N3

P1 =40kN

P3=80k P2=60kN

a b c d

Tương tự xét đoạn từ điểm đặt lực P3 đến điểm ngàm (hình 5.2d), xét cân

bằng mặt cắt 3-3 với lực bên phải ta tính N3 60 80 60 40

0 3

1

3 P P P N P P P

N

Biểu đồ lực dọc N vẽ hình 5.2e

5.3 Cơng thức ứng suất

5.3.1 Giả thiết biến dạng

Xét thẳng tiết diện không đổi Kẻ đường song song đường vng góc với trục, đường vng góc đặc trưng cho tiết diện, đường song song đặc trưng cho lớp vật liệu Cho chịu kéo hai hệ lực phân bố hai đầu có cường độ p ngược chiều Hợp lực F=pA nằm trục

Hình 5.3 Giả thiết biến dạng dọc Bằng thực nghiệm ta có nhận xét chịu kéo, nén Các tiết diện phẳng vng góc với trục

Các lớp vật liệu dọc trục không tương tác với - bỏ qua ứng suất pháp mặt cắt song song với trục

Các thớ vật liệu dọc trục có biến dạng dài

5.3.2 Biểu thức ứng suất

Từ giả thiết tiết diện phẳng vng góc với trục ta có ứng suất tiếp khơng cịn ứng suất pháp Từ giả thiết thứ hai ta ứng suất pháp theo phương trục Theo định luật Hook ứng suất tỉ lệ với biến dạng dài

x

x E (5.1)

Từ giải thiết thứ ba biến dạng dài thớ dọc, nên ứng suất tiết diện ta có quan hệ ứng suất nội lực

A dA dA

N x

A x A

x

x (5.2)

A

Nx

x (5.3)

Hình 5.4 Ứng suất dọc trục trường hợp khối phẳng

Ví dụ chịu lực dọc trục hình 5.2a, giả thiết có tiết diện khơng đổi với diện tich 20x30(cm) ta có biểu đồ ứng suất hình 5.5

Hình 5.5 Biểu đồ ứng suất chịu lực dọc trục hình 5.2a

5.4 Biến dạng

5.4.1 Biến dạng dài dọc trục

Theo định luật Hook biến dạng dài dọc trục đơn vị chiều dài

EA N E

x x

x (5.4)

Biến dạng dài dọc trục đoạn dx

dx dx

dx dx

x x

Biến dạng dài dọc trục độ dài L, ký hiệu L

L x L

x EAdx

N dx

L (5.5)

Khi

EA

Nx

số toàn độ dài

EA L N

L x (5.6)

A

A Nx

A Nx

N

1MN/m2

0,67MN/m2

Khi

EA

Nx

số đoạn chiều dài Li

i i

x EA

L N

L (5.7)

Khi EA số toàn độ dài

EA EA

dx N

L L N x

, N diện tích biểu đồ lực dọc (5.8)

5.4.2 Biến dạng ngang (theo phương ngang)

Trạng thái ứng suất bái toán kéo, nén thẳng trạng thái ứng suất đơn có thành phần x, theo định luật Hooke

x x

z y

E (5.9)

Độ biến đổi diện tích mặt cắt ngang

2

F F

(5.10) Độ biến đổi thể tích tính theo cơng thức

dx N E

V (1 ) x (5.11)

Độ biến đổi thể tích chịu kéo (nén) lực P hai đầu

PL E

V (1 ) (5.12)

5.4.3 Thế biến dạng đàn hồi

Từ cơng thức (3.2) chương ta biến dạng đàn hồi riêng trang thái ứng suất khối tổng quát

)] (

[ 12 22 32 2 3

2

E U

Trong toán chịu kéo, nén đùng tâm có ứng suất pháp theo phương dọc trục, ứng suất trạng thái ứng suất xét

x

Thay (5.13) vào biểu thức biến dạng đàn hồi (3.2) ta

2

1

x

E

U (5.14)

Thay biểu thức ứng suất pháp (5.3) vào (5.14) lấy tích phân ta nhận cơng thức tổng qt tính đàn hồi tích lũy có dạng

dx EA N U x

2

(5.15)

5.4.4 Dịch chuyển tiết diện

Khi chịu kéo, nén ta có dịch chuyển dọc trục Từ quan hệ ứng suất biến dạng hệ thưc Cauchy ta có phương trình vi phân để timg dịch chuyển

EA N dx

du x

Khi

EA

Nx

số tồn độ dài dịch chuyển dọc trục u hàm bậc

5.4.5 Dịch chuyển điểm hệ liên kết khớp

Trình tự để tìm dịch chuyển đàn hồi điểm hệ liên kết khớp sau

Xét điều kiện cân tĩnh học để tìm lực dọc trục Tính độ dãn tuyệt đối định luật Hooke (5.5)

Do không rời biến dạng, phương pháp đường giao ta lập điều kiện chập dịch chuyển - quan hệ hình học nối vào điểm xét

Xác định dịch chuyển cần tìm từ quan hệ hình học lập bước

Chú ý: Các hệ khơng biến dạng dọc trục mà cịn quay quanh khớp Như điểm dịch chuyển dọc trục dịch chuyển cung trịn có bán kính tương ứng Thay cung trịn đường vng góc với bán kính quay biến dạng bé so với chiều dài

Từ điều kiện cân tĩnh học điểm K (hình 5.6b) ta tìm lực dọc trục N1 N2

kN N

kN N

F N

N

N N

89 26 96

21

45 60

0 45 60

2

0

0

0

0

1 , ; ,

cos cos

sin sin

Tính độ dãn tuyệt đối AK ( L1) BK ( L2)

m EA

L N L m EA

L N

L 2

2

1

1 2,2 10 , 5,38 10

Hình 5.6 Ví dụ tìm dịch chuyển điểm hệ liên kết khớp

Kéo dài AK đoạn L1 BK đoạn L2 Kẻ đường vng góc với AK BK điểm kéo dài Giao điểm hai đường vng góc ví trí điểm K sau biến dạng Ta thiết lập điều kiện chập dịch chuyển (hình 5.6c) nhận hệ phương trình với ẩn dịch chuyển điểm K theo phương x y

0

2

0

1

45 45

30 30

sin cos

; sin cos

y x

y x

L L

Thay giá trị L1 L2 giải hệ phương trình ta xác định vị

trí điểm K

N1

N2

60o 45o

F L1

L2

K A

B

L2

K

K1

L1

x y 45o 30o

K

a b

y x

y x

707 707 10 38

5 866 10 2

4

, ,

,

; , ,

,

mm mm

y x

644

118 ,

; ,

5.5 Độ bền độ cứng

Điều kiện bền chịu kéo, nén tâm có dạng

) ( max

max A k n

N

(5.16) Từ điều kiện bền ta có tốn

Bài tốn kiểm tra bền – có biểu đồ lực dọc trục ta kiểm tra điều kiện (5.16) xem có đủ bền khơng

Bài tốn thiết kế tim kích thước tiết diện chịu kéo hay chịu nén tính từ cơng thức

max

N

A (5.17)

trong Nmax giá trị tuyệt đối lực dọc thanh, [ ] ứng suất cho phép

vật liệu kéo nén

Bài toán xác định trị số an toàn N tức xác định tải trọng dọc trục N cho phép tác động lên cho đảm bảo điều kiện bền

A

Nb (5.18)

Ngồi kiểm tra bền ta cịn phải kiểm tra độ cứng xem dịch chuyển điểm khơng vượt giới hạn cho phép

max (5.19)

Trong bái tốn thiết kế, điều kiện cứng khơng thỏa mãn, ta phải lựa chọn lại kích thước tiết diện cho điều kiện (5.19) thỏa mãn

Ví dụ Cho kết cấu chịu lực hình vẽ 5.7 Thanh OAB cứng tuyệt đối Cho

2

Cắt AB, thay nội lực N Xét cân OAC ta tìm nội lực AB

T q a P N a a q a P Na 12 30 2 0 cos

Tính diện tích tiết diện AB đảm bảo đủ bền, theo (5.16)

2 1600 12000 cm N A ,

Tính độ dãn dài AB

mm cm EA NL L 08 10 100 12000 , , ,

Tính dịch chuyển điểm C kiểm tra điều kiện cứng (5.19)

C C mm L 847 30 , , cos

Như dịch chuyển điểm C lớn dịch chuyển cho phép Ta tính lại diện tích tiết diện cho thỏa mãn điều kiện cứng Đặt

C C

ta tính độ dãn dài AB cho thỏa mãn điều kiện

cm mm

L C 065 0065

3 , ,

Từ ta tính diện tích tiết diện tương ứng

2

6 025 923

2 65 065 10 100 12000 cm A , , , ,

5.6 Bài toán siêu tĩnh

Như định nghĩa hệ siêu tĩnh hệ mà dùng điệu kiện cân tĩnh học ta xác định nội lực Ngoài điều kiện cân tĩnh học ta phải sử dụng điều kiện chập dịch chuyển Quy trình giải tốn sau

Bước Lập phương trình cân tĩnh học, xác định bậc siêu tĩnh hệ a

a a

Bước Lập điều kiện chập dịch chuyển tức xác định quan hệ hình học biến dạng thành phần hệ Số phương trình hình học cần thiết lập phải với số bậc siêu tĩnh hệ

Bước Dùng đinh luật Hooke viết biến dạng qua nội lực, vào quan hệ hình học lập bước đưa đến hệ phương trình gồm phương trình cân quan hệ hình học với ẩn nội lực

Bước Giải hệ phương trình để tìm nội lực

Trường hợp có kể đến tải nhiệt độ ta tuân thủ quy trình bước bước độ dãn dài tính khơng tác động nội lực nà giãn nở nhiệt

T l

lT

trong l chiều dài thanh, hệ số dãn nở nhiệt trung bình vật liệu T – chênh lệch nhiệt độ

Hệ siêu tĩnh chịu lực dọc trục, xác định nội lực cịn có tốn

Tính ứng suất lắp ghép: thực tế chiều dài chế tạo có sai khác so với thiết kế, nên điều kiện chập dịch chuyển ta có tính đến sai lệch tính ứng suất lắp ghép sinh sai lêch,

Xác định tải trọng tối đa theo ứng suất cho phép: ta chọn ứng suất lớn với ứng suất cho phép từ tính tải trọng cho phép lớn

Tính tốn theo lực chịu tải: ta cho tất ứng suất ứng suất cho phép Từ phương trình cân tĩnh học ta tính tải trọng cực đại cho phép theo lực chịu tải Đây điều kiện chảy dẻo lí tưởng

Ví dụ. Xét với sơ đồ chịu lực dọc trục hình 5.8 Lấy E=2.106kG/cm2 hệ số dãn nở nhiệt 12,5 10

Ơ ta xét ba trường hợp

Thanh chịu lực dọc trục chịu ngàm hai đầu, số phản lực cần tìm hai

Thanh chịu tải nhiệt chịu ngàm hai đầu, ta cần tìm phản lực hai đầu trường hợp thứ

Hình 5.8

Ta nhận thấy tốn siêu tĩnh ta có phương trình cân lực dọc trục

0

x F

Ta xét thêm điều kiện chập dịch chuyển, cụ thể cho tứng trường hợp

Trường hợp hình 5.8a Ta giải phóng liên kết ngàm hai đầu thay hai phản lực R1 R2 ta có phương trình cân

0

40

1 R

R

Biểu đồ nội lực dọc trục với chiều phản lực quy ước có dạng hình 5.8b Điều kiện chập dịch chuyển tổng độ dãn dài không

0

L

Thanh gồm ba đọan có tiết diện khác nhau, ta tính tổng độ dãn dài dựa biểu độ lực dọc trục 5.8b

T R

A E

R A

E R P A

E R P

L 70 21124

5 80

50

2

2

2 ,

,

Từ phương trình cân ta tìm

50c

m

80

cm

7

0cm

A=

2

0c

m

2

1,5A 2A

P=40 T

50c

m

80

cm

7

0cm 40T

0,

2cm T=400

R1

R2

R2

+

P

R2

R2

R1

R2

+

+

P+

R2

N1

N2

N3

a b c d

T R

R1 40 18,876

Trường hợp hình 5.8c Ta giải phóng liên kết ngàm thay phản lực R1

và đặt đầu lực lắp ghép R2 ta có phương trình cân

40

1 R

R

Biểu đồ nội lực dọc trục với chiều phản lực quy ước có dạng hình 5.8d Điều kiện chập dịch chuyển tổng độ dãn dài độ sai lệch

L

Thanh gồm ba đọan có tiết diện khác nhau, ta tính tổng độ dãn dài dựa biểu độ lực dọc trục 5.8d

2 70

5 80

50 2 2 2

,

, E A

R A

E P R A

E P R

L R2 32,81T

Từ phương trình cân ta tìm

T R

R1 40 72,81

Trường hợp hình 5.8e Do tác động nhiệt độ dãn nở xuất nội lực gây nén dọc trục ta có phương trình cân hình 5.8f

N N N

N1 2 3

Điều kiện chập dịch chuyển tổng độ dãn dài không

0

L

Thanh gồm ba đoạn có tiết diện khác nhau, ta tính tổng độ dãn dài gồm dãn nở nhiệt

T N

EA Nl t l A E

Nl t l A E

Nl t l

L 2427

5

3

2

1

1 , ,

Kêt luận chương

Chương năm trình bày toán chịu kéo, nén tâm Với giả thiết biến dạng toán kéo, nén có trạng thái ứng suất đơn

71

CHƯƠNG

Thanh thẳng chịu xoắn

6.1 Định nghĩa

Thanh chịu xoắn túy nội lực tiết diện có thánh phần mơ men nằm mặt phẳng tiết diện gọi mô men xoắn (hình 6.1a)

Ngoại lực gây xoắn thường mô men, ngẫu lực nằm mặt phẳng vng góc với trục

Ta có quy ước dấu nhìn vào mặt cắt xét mơ men quay ngước chiều kim đồng hồ mô men dương ngược lại (hình 6.1.b) Lưu ý quy ước nên có tài liệu quy ước khác với

Trong mục đầu xét xoắn tiết diện hình trịn

a b

Hình 6.1 a Mơ men xoắn b Quy ước dấu

6.2 Biểu đồ mô men xoắn

Mô men xoắn Mx xác định phương pháp mặt cắt Cắt mặt

cắt sau xét cân mơ men trục phần xét ta có độ lớn mô men xoắn nội lực mặt cắt tổng đại số tất mô men ngoại lực (mô men tập trung M mô men phân bố dọc theo trục có cường độ m) tác dụng phía mặt cắt Cơng thức tổng quát

l x

x M m dx

M (6.1)

x Mx

Mx<0

Quan hệ bước nhảy mô men xoắn mô men ngoại lực tập trung

M M

Mx,ph x,tr (6.2)

Quan hệ vi phân mô men xoắn mô men xoắn ngoại lực phân bố dọc trục

x

x m

dx

dM (6.3)

Ví dụ Thanh chịu lực hình 6.2a Vẽ biểu đồ mơment xoắn Xét mặt cắt với đoạn bên trái khoảng x a ta có

x a M M x

m

Mx x

2

0

1

1

suy x 0, Mx1 x a,

2

M M

a xx

Hình 6.2 Ví dụ vẽ biểu đồ mô men xoắn

a

a M m

2

a 2a

2

a

m2=2m1

m=0 M

Mx1

m1

x

Mx2

m1

Mx3

m1 M

Mx4

m1

x

M x

a

b M/2

Xét mặt cắt khoảng a x 2a ta có

2

0

1

M M

a m

Mx x

Xét mặt cắt khoảng 2a x 2,5a ta có

2

0 3

1

M M

M a m

Mx x

Xét mặt cắt khoảng 2,5a x 4,5a ta có

a a

M M M

d a m M

a m

Mx x 02

4

2

2

0 1

4 ,

suy 0,

2

M

Mx , 2a,

2

M M

a xx

Mx4 0khi a 1,42a

Biểu đồ mơ men xoắn có dạng hình 6.2b

6.3 Ứng suất tiếp

6.3.1 Giả thiết biến dạng

Xét tiết diện tròn chịu xoắn Kẻ đường sinh đường trịn chu tuyến

Hình 6.3 Giả thiết biến dạng chịu xoắn

Cho chịu mô men xoắn M hai đầu, với biến dạng bé đàn hồi ta có nhận xét

Chiều dài khoảng cách đường tròn khơng đổi Các góc vng thay đổi

Các đường trịn phẳng, bán kính khơng thay đổi Mặt phẳng chứa đường trịn xoay quanh trục, góc xoay vòng tròn khác

Ta chấp nhận giả thiết

Thanh khơng có biến dạng dọc trục

x

Tiết diện phẳng xoay góc góc xoay hàm tọa độ x (Lưu ý tiết diện khơng hình trịn giả thiết khơng phù hợp)

Bán kính tiết diện thẳng không thay đổi chiều dài

Các lớp vật liệu dọc trục không tác dụng tương hỗ (bỏ qua ứng suất pháp mặt song song với trục)

Theo giả thiết trên, tiết diện tồn ứng suất tiếp ứng suất pháp không

6.3.2 Công thức ứng suất tiếp tiết diện

Khảo sát biến dạng phân tố có chiều dài dx

Tiết diện bên trái tọa độ x có góc quay Tiết diện bên phải tọa độ x+dx góc quay +d Bán kính tiết diện bên phải quay góc d (Hình 6.4)

Hình 6.4 Biến dạng phân tố chịu xoắn

Xét phân tố trụ tròn bán kính , góc xoắn bán kính d (hình 6.5a) Biến dạng góc vng mặt bên phân tố (Hình 6.5b)

dx d dx AB

(6.5)

Trị số góc xoắn tương đối hai tiết diện cách đơn vị chiều dài

dx d

(6.6)

Theo định luật Hook ứng suất tiếp quan hệ với góc quay tương đối

G

G (6.7)

trong G mơ dun đàn hồi trượt

Hình 6.5 Phân tố trụ trịn biểu đồ ứng suất tiếp Theo định nghĩa

A A

x dA G dA

M (6.8)

Tích G =const,

p x

A x

I M dA M

G 2 (6.9)

trong

A

p dA

I mơ men qn tính độc cực mặt cắt Như ứng suất tiếp

biểu diễn qua mô men xoắn công thức

p x I M

(6.10) Từ biểu đồ ứng suất tiếp (hình 6.5c) ta có

p x p

x

W M R I M

max (6.11)

trong

R I

Wp p mô men chống xoắn mặt cắt Đối với tiết diện trịn bán kính R ta có

32

4 D

R

Ip ,

16

3 D

R

Wp D 2R đường kính (6.12)

dx d B A

d

dx A

B

Đối với tiết diện hình vành khăn bán kính ngồi R bán kính r ta có

4 4

4

1 32

2

D R

Ip , 1

16

2

D R

Wp (6.13)

trong r R d D, d 2r

6.4 Biến dạng dịch chuyển

6.4.1 Biến dạng

Từ cơng thức (6.7) (6.10) góc xoay tương đối hai tiết diện cách đơn vị chiều dài

p x GI

M

(6.14) Từ 6.6) (6.14) ta tính góc xoay tương đối hai tiết diện cách dx chiều dài

dx GI

M dx d

p

x (6.15)

Tích phân (6.15) ta nhận góc xoay tương đối hai tiết diện hai đầu độ dài L gọi góc xoắn

L p

x L

dx GI

M

dx (6.16)

Khi const

GI M p

x chiều dài ta có

p x GI L M

(6.17)

Khi const

GI M p

x đoạn chiều dài i

L

i p

i x GI L M

6.4.2 Dịch chuyển

Góc xoắn xác định từ quan hệ vi phân (6.15)

dx GI M dx d p x C dx GI M L p x (6.19)

trong C số tích phân xác định từ điều kiện liên kết

Ví dụ Vẽ biểu đồ ứng suất tiếp mép ngồi tiết diện max góc xoắn cho trịn đường đinh d chịu lực hình 6.7a

Xét mặt cắt từ bên trái khoảng x l ta có

ml M

Mx1 ; 3 16 d ml W M x x max

Xét mặt cắt khoảng l x 2,5l ta có

ml M M

Mx2 ; 2 48 d ml W M x x max

Xét mặt cắt khoảng 2,5l x 4,5l ta có

l l m m M M M

Mx3 ( 2) 0,2

3

3 16

d l m W M x x

max 0,2l

tại 0, Mx3 2ml, 3 32 d ml W M x x

max , 2l, Mx3 0, 3

x x

W M

max Ta

có biểu đồ max hình 6.7c

Hai đoạn đầu có const GI

M p

x đoạn Góc xoắn tiết diện đầu

cuối đoạn I

4 2 1 32 d G ml GI ml GI L M p p x I

4 2

2

2 45 144

d G

ml GI

ml GI

L M

p p

x II

,

Hình 6.6 Ví dụ tính góc xoắn ứng suất tiếp Góc xoắn hai tiết diện đầu cuối đoạn III

l

p l

p

III GI l

m d l GI

m

0

2

0

2 2 )

(

ml 3ml

2ml Mx

1,5l

m 5M

M=ml

l 2l

2M

Mx1

Mx2

Mx3

a

b

4 176

d G

ml

4 144

d G

ml

4 64

d G

ml

d

max

c

3 16

d

ml 48

d ml

3 32

tại ta có III 0, 2l ta có 4 2

1

1 64

d G

ml GI

ml GI

L M

p p

x

III

Như biểu đồ góc xoắn hình 6.7d

6.4.3 Thế biến dạng đàn hồi

Từ công thức (3.2) chương ta biến dạng đàn hồi riêng trang thái ứng suất khối tổng quát

)] (

[ 1 2 2 3 1 3

3 2

1

2

E u

Trong toán xoắn túy tiết diện trịn ta có ứng suất tiếp mặt cặt vng góc với trục thanh, ứng suất trạng thái ứng suất xét

1 ; ; (6.20)

Thay (6.20) vào biểu thức biến dạng đàn hồi (3.2) ta

2

E

u (6.21)

Thay biểu thức ứng suất tiếp (6.10) vào (6.21) lưu ý đến mô đun trượt

1

E

G ta nhận

2

2

2

p x

I M G

u (6.22)

Công thức tổng qt tính đàn hồi tích lũy có dạng

dx GI M U

p x

2

(6.23)

6.5 Độ bền độ cứng

6.5.1 Điều kiện bền

p x W

M

max (6.24)

2 (6.25)

Theo thuyết bền biến dạng đàn hồi hình dáng cực đại

3 (6.26)

Như nói phần nhập mơn ta có tốn bản:

Bài tốn kiểm tra: ta kiểm tra điều kiện bền (6.24) xem có thỏa mãn khơng Bài tốn thiết kế: lựa chọn kích thước tiết diện từ điều kiện bền

x p

M

W max (6.27)

Bài toán xác định tải trọng cho phép Mb từ điều kiện (6.24) tính tải trọng cho

phép tác động lên cho đủ bền

6.5.2 Điều kiện cứng

p x

GI l M

max

max (6.28)

Tương tự toán

Bài toán kiểm tra: ta kiểm tra điều kiện cứng (6.28) xem có thỏa mãn khơng Bài tốn thiết kế ta tính góc xoắn dựa kích thước tiết diện chọn từ điều

kiện bền (6.24) Ta kiểm tra điểu kiện cứng (6.28), thỏa mãn khơng cần chọn lại kích thước Nếu điều kiện (6.28) không thỏa mãn ta lựa chọn lại kích thước theo tiêu chuẩn

G l M I max x

(6.29) l độ dài đoạn người ta cho biết góc xoắn cho phép

Bài toán xác định tải trọng cho phép Mc từ điều kiện (6.28) tính tải trọng cho phép

Bước Vẽ biểu đồ moment xoắn Bước Tìm max

) , (

max 3

3

3 1 05

16 300

16

D D

d D

M

Hình 6.7

Bước Từ điều kiện bền (6.27) xác định đường kính ngồi D, theo thơng số ban đầu tỉ lệ đường kính đường kính ngồi 0,5

cm M

D M

88 500

480000

W

4

3) ( , ) ,

( max

max

Bước Kiểm tra điều kiện độ cứng (6.28) Từ kích thước tìm ta tính mơ men qn tính

4

4

4 206

32 cm

D

I ( ) ,

sau tính

4 43 107

800000 180 100 30000

cm G

l M

, max

Ta thấy điều kiện cứng thỏa mãn

G l M

I max suy ta chọn kính thước tính bước

cm d

cm

D 6,88 ; 3,44

M=100kGm

M

D

l l

2l

3M 4M

6.6 Thanh chịu cắt

Biến dạng cắt hay biến dạng trượt trường hợp chịu lực mà tiết diện có ứng suất tiếp Ứng suất tiếp có phương chiều lực cắt F phân bố diện tích A mặt cắt (hình 6.8) ta có cơng thức tính ứng suất tiếp chịu cắt

A

F (6.30)

Hình 6.8 Thanh chịu cắt Điều kiện bền cắt

A F

Điều kiện bền để kiểm tra liên kết: đinh tán, bu lơng, mối hàn Ví dụ: Xét đinh tán có đường kính d liên kết ba phẳng (hình 6.9)

Hình 6.9 Đinh tán bu lơng – kiểm tra biến dạng trượt

Liên kết đinh tán hai mặt cắt a-a b-b, đinh tán chịu lực cắt F diện tích

4

2 d2/

A

Khi đinh tán có n mặt cắt

4

2/

d n

A (6.31)

F F

a a

b b

2F

F

Một dạng phá hủy khác đinh tán ép bề mặt tiếp xúc (hình 6.10) Sự phân bố ứng suất bề mặt tiếp xúc phức tạp Đáng giá gần thơng qua trị số trung bình

em em

em A

F (6.32)

trong đó:

F - tổng lực kéo phía Aem- diện tích ép mặt quy ước

em- ứng suất ép mặt quy ước

Hình 6.10 Kiểm tra ứng suất ép mặt tiếp xúc Diện tích ép mặt quy ước tính sau:

Giữa đinh tán vách lỗ thứ hai, diên tích ép mặt quy ước

2

d Aem

Giữa đinh tán vách lỗ thứ thứ ba có diện tích ép mặt quy ước

)

( 1 3

d Aem

Tổng quát hóa diện tích ép mặt quy ước tính

i i

em d d

A (6.33)

trong

d: đường kính lỗ đinh,

i: bề dày i

1

3

6.7 Xoắn tiết diện chữ nhật

Khi tiết diện hình chữ nhật chịu xoắn, mặt phẳng vng góc với trục bị biến dạng vênh khỏi mặt phẳng ban đầu (hình 6.11)

Hình 6.11 Thanh chịu xoắn hình chữ

Lúc giả thiết tiết diện phẳng khơng thỏa mãn, lời giải tốn xoắn tiết diện hình chữ nhật Saint-Venant giải dùng phương pháp nửa ngược Theo Saint-Venant biểu đồ phân bố ứng suất tiếp tiết diện hình chữ nhật chịu xoắn có dạng hình 6.12 Từ biểu đồ có nhận xét sau

trung tâm ứng suất tiếp không =0

Hình 6.12 Biểu đồ phân bố ứng suất tiết diện chữ nhật chịu xoắn trung điểm cạnh dài ứng suất tiếp có giá trị lớn

x z

W M

max (6.34)

trung điểm cạnh ngắn ứng suất tiếp tính qua ứng suất tiếp lớn

max

1 (6.35)

góc xoắn đon vị dài

x z

GI

M (6.36)

trong

1

3 I hb

hb

Wx ; x (6.37)

Các giá trị , phụ thuộc vào tỉ lệ hai cạnh h b hình chữ nhật cho bảng 6.1

Bảng 6.1 Các hệ số , , theo tỉ số cạnh h/b

h/b 1,0 1,5 1,75 2,5 10

0,208 0,231 0,239 0,246 0,258 0,267 0,299 0,313 0,339 1,0 0,859 0,820 0,795 0,766 0,753 0,743 0,742 0,742 0,141 0,196 0,214 0,229 0,249 0,263 0,299 ,0313 0,333 Khi tỉ số h/b 10 lấy = =1/3=0,333

6.8 Bài toán siêu tĩnh

Cũng toán chịu kéo hay nén tâm, hệ siêu tĩnh chịu xoắn ta phải tìm điều kiện chập dịch chuyển (quan hệ hình học dịch chuyển) để bổ sung vào phương trình cân tĩnh học Trong toán xoắn để lập điều kiện chập ta xem xét điều kiện liên kết, chúng có dạng sau

Thanh có hai đầu ngàm chặt: điều kiện chập dịch chuyển tổng đại số góc xoắn tất đoạn phải không

Thanh có đầu liên kết đàn hồi góc xoay đầu đàn hồi khơng khơng mà tỉ lệ với độ lớn mô men phản lực

Thanh có hai đầu liên kết đàn hồi góc xoắn tồn phần hiệu góc xoay hai mặt cắt hai đầu

Khi hệ có số chịu xoắn, số chịu kéo (hay nén) dịch chuyển góc xoắn chịu xoắn dịch chuyển dọc chịu kéo (hay nén)

Ví dụ Cho kết cấu hình 6.13, biết l, M, d, G Tìm max A

Thanh chịu mơ men xoắn, nên thay ngàm mô men phản lực M’ M’’ Từ điều kiện cân ta có

Điều kiện chập dịch chuyển tổng đại số góc xoắn khơng

0

III II I

Hình 6.13 Ta tính góc xoắn tương đối cho đoạn

G I

l M

I ,

G I

l M M

IJ ,

G I

l M M M III

4

Thế vào điều kiện tổng đại số góc xoắn khơng

M M

M M M M M M G I

l

3

4

Từ điều kiện cân ta tìm M’’

3

4M M M

M M

M ,

Như hai phản lực có chiều hình vẽ Ứng suất tiếp lớn đoạn thứ

3 112

7

d M W

M

max

Góc xoắn tương đối điểm A

G Ml GI

Ml

A

3

2

M 4M d M’

M’’

l l l

A

M

3

M

3

M

3

Kết luận chương

Chương sáu trình bày tốn xoắn tiết diện trịn Với giả thiết biến dạng tiết diện tròn chịu xoắn ta có cơng thức tính ứng suất tiếp Ứng suất tiếp đạt cực đại mép tiết diện

Giới thiệu lời giải toán Saint Venant cho tiết diện chữ nhật chịu xoắn Ứng suất tiếp lớn điểm cạnh dài Đưa bảng hệ số phụ thuộc vào tỉ lệ hai cạnh để tính tốn cho tiết diện chữ nhật chịu xoắn

Bài toán chịu cắt ứng dụng kiểm tra bền cho mối nối xem xét chương

88

CHƯƠNG

Thanh thẳng chịu uốn

7.1 Định nghĩa

Thanh chịu uốn trục thay đổi độ cong Mặt phẳng uốn mặt phẳng chứa trục mơ men uốn Mặt phẳng qn tính mặt chứa trục Ox trục quán tính trung tâm y z

Nếu mặt phẳng uốn trùng với mặt phẳng qn tính ta có trường hợp chịu uốn phẳng

Hình 7.1 Uốn phẳng

Nếu mặt phẳng uốn không trùng với mặt phẳng qn tính ta có trường hợp chịu uốn khơng gian

Hình 7.2 Uốn khơng gian

Ln ln phân tính mơ men uốn Mu= My+Mz hai mặt phẳng quán

tính chính, uốn không gian tổ hợp uốn phẳng Trường hợp chịu uốn có lực cắt ta gọi uốn ngang Trường hợp chịu uốn khơng có lực cắt ta gọi uốn túy

x y z

x y z

7.2 Biểu đồ lực cắt mô men uốn

Tương tự lục dọc trục chịu kéo, nén, mô men xoắn chịu xoắn, lực cắt mơ men uốn tốn uốn xác định phương pháp mặt cắt Lực cắt Qy mặt cắt tổng hình chiếu lên trục y

của tất ngoại lực (lực tập trung lực phân bố) tác dụng vào phần bên mặt cắt Còn mơ men uốn Mz mặt cắt tổng đại số mô men

của tất ngoại lực ) tác dụng vào phần bên mặt cắt Quy tắc dấu lực cắt mơ men uốn cho hình 7.3 Như nêu chương1

Lực cắt Q vng góc với tiếp tuyến trục thanh, dương đoạn ta xét có xu hướng quay theo chiều kim đồng hồ tác động lực cắt

Mô men uốn M gây uốn mặt phẳng dương đoạn ta xét bị cong võng xuống (hứng nước) tác động mô men

a b

Hình 7.3 Quy ước dấu a Lực cắt b mô men uốn

Khi vẽ biểu đồ nội lực ta nên vẽ biểu đồ lực cắt Q trước, biểu đồ mô men uốn M sau Khi khơng chịu ngẫu lực uốn phân bố ta sử dụng quan hệ vi phân nội lực tải trọng (1.21)

2

dx M d dx dQ q dx dM

Q ;

trong q mật độ tải trọng phân bố

Từ quan hệ vi phân ta có nhận xét sau biểu đồ nội lực Q M Dầm có tải trọng đối xứng liên kết đối xứng (hình 7.4a) biểu đồ lực cắt Q

phản đối xứng, cịn biểu đồ mơ men M đối xứng Ngược lại (hình 7.4b) dầm chịu tải phản đối xứng biểu đồ Q đối xứng, cịn biểu đồ M phản đối xứng

Q Q Q

Q

M M

Hình 7.4 Các ví dụ vẽ biểu đồ lực cắt mơ men uốn

Tại ví trí có đặt lực tập trung, biểu đồ Q có bước nhảy mà độ lớn với giá trị lực tập trung Tương tự ví trí đặt ngẫu lực uốn, biểu đồ mơ men uốn M có bước nhảy với độ lớn giá trị ngẫu lực

Tang góc tiếp tuyến biểu đồ mô men uốn M với trục lực cắt Q cường đồ tải phân bố tăng góc tiếp tuyến biểu đồ lực cắt Q với trục

Nếu đoạn dầm tải trọng phân bố biến đổi theo hàm đại số, đoạn biểu đồ lực cắt biến đổi theo hàm cao bậc mô men uốn biến đổi theo hàm cao bậc so với hàm lực cắt Biều đồ mô men ví dụ

c c l

P P

+

+

P

P

Pc Q

M

c

c l

P P

+ +

P/3 P/3

Pc/3

Q M

2P/3

+

a a a qa

qa2

+

2,7qa

1,3qa2

Q

M

Pc/3

2a

q 2q

1,3qa 1,3qa

0,3qa

+ +

a b

c

2,1qa2 1,4qa

2

trên hình 7.4c cho ta thấy đoạn có lực phân bố đều, biểu đồ lực căt hàm bậc nhất, cịn biểu đồ mơ men hàm bậc hai

Tại vị trí mà lực cắt có gía trị khơng mơ men uốn có giá trị cực trị Trong đoạn bên phải ví dụ 7.4c biểu đồ lực cắt khơng tai điểm cách gối 1,35a Tại điểm biểu đồ mô men đạt cực trị

Tại ví trí lực cắt có bước nhảy đổi dấu biểu đồ mơ men uốn thay đổi độ dốc, biểu đồ mô men trường hợp b hình 7.4 Nếu lực cắt có bước nhảy khơng đổi dấu biểu đồ mơ men uốn bị gãy Ví dụ hình 7.4c điểm đặt lực tập trung qa biểu đồ lực cắt có bước nhẩy khơng đổi dấu biểu đồ mơ men bị gãy khúc

Nếu xét mặt cắt từ phải sang trái

dx dM Q

7.3 Ứng suất toán uốn

7.3.1 Uốn túy

Các giả thiết

Xét thẳng chịu uốn túy mặt phẳng quán tính

Hình 7.5 Các giả thiết uốn túy Quan sát biến dạng ta có nhận xét

Những đường kẻ vng góc với trục thẳng

Các đường kẻ song song với trục bị cong,các đường phía co lại, đường phía dãn cách

Các góc vng bảo tồn Trên sở ta giả thiết

Trước sau biến dạng tiết diện phẳng vng góc với trục

Mz

Mz

Mặt trung hòa

Các lớp vật liệu dọc trục không tác dụng tương hỗ lên nhau, bỏ qua ứng suất pháp mặt cắt song song với trục z y

Tồn lớp vật liệu song song với trục có chiều dài khơng đổi gọi lớp trung hòa Giao tuyến lớp trung hòa với tiết diện đường thẳng gọi đường trung hòa

Hai giả thiết đầu giống toán chịu kéo chịu xoắn Giả thiết thứ ba giả thiết chấp nhận biến dạng bé

Cơng thức tính ứng suất

Xét phân tố có chiều dài dx d góc hai tiết diện

bán kính cong lớp trung hòa z - đường trung hòa tiết diện

Hình 7.6 Phân tố chịu uốn Biến dạng tỉ đối theo phương x

y d

d d y bb

bb a a aa

aa a a

x

) (

1

1

Các góc vng khơng đổi nên ứng suất tiếp tiết diện xét khơng, z y nên ứng suất pháp

y y

Đường trung hòa

b b

a a

a1

dx

a1

d

Ey E x

x (7.1)

Khi chịu uốn mặt phẳng xy tồn mơ men uốn Mz cịn lực dọc N momnet uốn My không

A x z

A x y

A

xdA M z dA M y dA

N 0; 0;

Thay biểu thức x ý E const ta có:

0

A A

zydA

ydA ;

Mơ men tĩnh trục trung hịa mơ men qn tính ly tâm với hệ trục yz tiết diện khơng Suy trục trung hịa z trục qua trọng tâm vng góc với mặt phẳng uốn, hệ trục yz hệ trục quán tính

Khi xác định vị trí trục trung hịa, ta tìm biểu thức bán kính cong

z A

A z

EI dA y E dA y

M

z z

EI M

1 (7.2)

Ta có biểu thức để tính ứng suất pháp

y I M Ey

z

z (7.3)

Dấu mơ men: mơ men dương làm căng phía thanh, mơ men âm làm căng phía

Biểu đồ, trị số lớn ứng suất pháp

Ứng suất pháp tỉ lệ với khoảng cách đến trục trung hòa Biểu đồ đường bậc khơng trục trung hịa có trị số lớn hai mép

Ký hiệu yk yn- tọa độ mép tiết diện chịu kéo chịu nén,

n zk z

z n

k z

z

W M y

I M

, ,

trong

n z n z k z k

z y

I W y I

W , ; , mô men chống uốn (7.5)

Hình 7.7 Biểu đồ ứng suất pháp Nếu tiết diện đối xứng qua trục z có chiều cao h

2 / ,

,

h I W W

W z

z n z k

z (7.6)

và

z z

W M

min

max (7.7)

Đối với tiết diện hình chữ nhật

12

3

bh

Iz ,

6

12

3 bh

h bh

Wz

/ /

(7.8) Đối với tiết diện hình trịn đặc bán kính R, đường kính D 2R

64

4 D

R

Iz ,

12

4

3

4 R D

R R

Wz (7.9)

Đối với tiết diện hình vành khăn đường kính ngồi D, đường kính d

D d D

Iz 4(1 4);

64 , ( )

4

1 32

D

Wz (7.10)

Ví dụ Cho chịu uốn hình 7.8 Tính kích thước mặt căt hình trịn, hình vành khăn, hình vng, hình chữ nhật thép hình chữ I Tính ứng suất điểm A mặt cắt chữ I ví trí đặt mơ men tập trung Cho 1600kG/cm2

z

y

h yn

yk max

+

Tính phản lực hai đầu R1 R2 0,4T có giá trị ngược hướng với

nhau

Vẽ biểu đồ mơ men uốn hình 7.8 Tìm M 2,4 103 102kGcm

max

Ta tìm kích thước từ điều kiện bền với 150

1600 240000

cm M

W

Hình 7.8

Đối với hình trịn ta có cơng thức tính mơ men chống uốn

150 32

3

D

W D 32 150/ 11,518cm A 104,188cm2

Đối với hình vng ta có cơng thức tính mơ men chống uốn

150

3

a

W a 6 150 9,655cm A a2 93,217cm2

Đối với hình chữ nhật ta có cơng thức tính mơ men chống uốn

150

2

3

2 b

bh

W b 3 3 150/2 6,082cm h 12,164cm A 73,986cm2

Đối với hình vành khăn ta có cơng thức tính mơ men chống uốn

150

32

4

D W

4m 6m M=4Tm

0,4T 0,4T

a D b

h

=2

b

h

h/4 A

D d=0,6

D

1,6Tm 2,4Tm

+

M

Q 0,4T

2

3 2 12063 7238 73145

6

150 32

cm A

cm d

cm

D , , ,

Đối với tiết diện chữ I ta chọn thép hình số hiệu 18a từ phụ lục theo TCVN 1655-75

2

3 180 100 51 83 254

159cm h mm b mm d mm t mm A cm

W , , ,

2

43 1509 159

240000

cm kG W

M

/ ,

Nếu lấy diện tích hình trịn ta có tỉ lệ diện tích sau Atrịn :Avuông :Achữ nhật :Avành khăn :AI=1 :0,89 :0,71 :0,70 :0,24

Ta thấy với mô men chống uốn, tiết diện chữ I có diện tích khoảng 1/4 so với tiết diện hình trịn Ta kết luận thép hình chữ I có khả chống uốn tốt

7.3.2 Uốn ngang phẳng

Các giả thiết

Xét thẳng chịu uốn nganh phẳng, có lực cắt Qy, mơ men uốn Mz (hình 7.9)

Quan sát biến dạng ta có nhận xét đường kẻ vng góc với trục khơng thẳng góc vng bị thay đổi

Hình 7.9 Giả thiết tốn uốn phẳng

Giả thiết tiết diện phẳng khơng cịn đúng, tồn ứng suất tiếp ứng suất pháp Biến dạng trượt ứng suất tiếp gây không thay đổi chiều dài theo phương ngang trục phương dọc trục nên ứng suất pháp tính theo cơng thức

y I M

z z

trong y khoảng cách đến trục trung hịa

+ F

F

Fl

Để tính ứng suất tiếp lực cắt gây ta xét phân tố chiều dài dx Giả thiết chiều rộng nhỏ chiều cao (tiết diện hẹp) ta chấp nhận

ứng suất tiếp phân bố tiết diện theo bề rộng

ứng suất tiếp có thành phần thẳng đứng theo phương lực cắt

Hai giả thiết xét tiết diện hình chữ nhật hẹp Ta xét cân phân tố hình 7.10b Lực tác động lên phân tố gồm có

ứng suất pháp mặt bên trái y I M

z z tr

ứng suất pháp mặt bên phải y I

dM M

z z z

ph

ứng suất tiếp phân bố bề mặt có diện tích bdx

Hình 7.10 Ứng suất tiếp lực cắt Phương trình cân phân tố có dạng

0

bdx dA

bdx dA

dA

c c

c A

tr ph A

tr A

ph

Thay biểu thức ứng suất hai mặt cắt trái phải ta có

y I dM y

I M y I

dM M

z z z

z z

z z

tr ph

Như ta nhận cơng thức tính ứng suất tiếp

z C Z z A

z z

A z

z

bI S dx dM dA y bI dx dM dA y I dM bdx

C C

1

x y

z

y

y* T

ph tr

y

z

b c

AC

Từ quan hệ vi phân mơ men lực cắt ta có cơng thức tính ứng suất tiếp lực cắt gây khoảng cách y so với trục trung hòa

z C Z y

bI S Q

- cơng thức D J Juravski (7.11)

Qy lực cắt tác dụng lên

b bề rộng thực tiệt diện đểm tính phân bố ứng suất tiếp

C C A

C

Z y dA A y

S

C

mô men tĩnh phần tiết diện giới hạn bề rộng thực b qua điểm tính ứng suất tiếp Có thể tính cách nhân diện tích phần tiết diện xét với trọng tâm

Chú ý ta sử dụng cơng thức (7.11) cho tiết diện khơng hẹp

Đối với tiết diện hình chữ nhật có kích thước hxb

Mơ men qn tính trục z có dạng

12

3

bh

Iz ,

Mô men quán tính tĩnh phần tiết diện giới hạn bề rộng điểm cách trục trung hòa đoạn y

2

4

2 y

h b SC

z

Công thức ứng suất tiếp cho điểm nằm cách trục trung hòa đoạn y (hình 7.11a)

2

2

3 4

6

2 12

y h bh

Q y

h b b bh

Qy y

y (7.12)

Tại trục trung hòa khiy ứng suất tiếp đạt giá trị lớn (hình 7.11a)

bh

Qy

y

2

max ; (7.13)

0

y

Đối với tiết diện hình trịn bán kính R

Mơ men qn tính trục z có dạng

4

R Iz ,

Bề rộng thực tiết diện điểm tính phân bố ứng suất tiếp

2 2 R y b

Mơ men qn tính tĩnh phần tiết diện giới hạn bề rộng điểm cách trục trung hòa đoạn y

2 2

2 /

y R SC

z

Hình 7.11 Phân bố ứng suất tiếp tiết diện hình chữ nhật hình trịn Cơng thức ứng suất tiếp cho điểm nằm cách trục trung hịa đoạn y (hình 7.11b)

h b

y

z t

d

z y

y dI

S Q 1/2 max

y

c

R y

z

b

R Qy

y

3 max

h b

y z

a

bh

Qy

y

2

2 2 2 3 2 y R R Q y R y R R

Qy y y

/

(7.14) Tại trục trung hòa khiy ứng suất tiếp đạt giá trị lớn (hình 7.11b)

2

3

R

Qy

ymax (7.15)

Tại mép ngồi tiết diện y R (hình 7.11b)

0

y

Đối với tiết diện hình chữ I

Ta coi tiết diện hình ghép hai hình chữ nhật hẹp ngang gọi cánh hình nhật hẹp thẳng gọi bụng Kí hiệu S1/2 mơ men tĩnh

nửa diện tích (thường cho bảng thép hình kí hiệu Sx)

Đối với điểm bụng cách trục z đoạn y có mơ men tính S1/2

trừ mơ men tĩnh diện tích dxy

2 2 dy S SC

z / ,

2 2 y d S dI Q z y y /

Ứng suất tiếp cực đại đạt y=0

z y y

dI S Q 1/2

max

Tại điểm bụng giáp với cánh y h t

2 2 2 t h d S dI Q z y y /

Tại điểm cánh giáp với bụng ta có y h t

2 2 2 t h d S bI Q z y y /

Đối với tiết diện dạng thành mỏng

Ứng suất tiếp hướng theo tiếp tuyến với đường trung bình phân bố bề dày Ta có cơng thức tính ứng suất tiếp

lI S Qy

y (7.16)

trong l bề dày mặt cắt, S mô men tĩnh đường trung hịa phần mặt cắt phía đường vẽ vng góc với đường trung bình điểm xét

Ví dụ Ta tính ứng suất tiếp cực trị mặt cắt bên phải điểm đặt mơ men tập trung ví dụ hình 7.8 cho loại tiết diện khác Trong trường hợp lực cắt không đổi tồn độ dài Q 0,4T, ta có

Đối với tiết diện hình trịn

2

2 3 11518 128

400

4

cm kG R

Qy

y , /

,

max

Đối với tiết diện hình vng

2

2 2 9655 6436 400

3

3

cm kG a

Qy

y , /

, max

Đối với tiết diện hình chữ nhật

2

2 4 6082 811 400

3

3

cm kG b

Q bh Qy y

y , /

, max

Đối với tiết diện chữ I số hiệu 18a W 159cm3,

z Iz 1430cm4, S1/2 89,8cm3,

2 25 83

0 51

0 10

18cm b cm d cm t cm A cm

h , , , , , , ,

2

1 4925

1430 51

8 89

400 kG cm

dI S Q

z y

y , , /

, /

max

Hình 7.12 Bảng 7.1

y

cm kG/cm2 kG/cm2

1

kG/cm2

3

kG/cm2 minmax

kG/cm2 1510,49 1510,49 755,5 8,17 1371,19 2,04 1371,19 -0,003 685,6 8,17 1371,19 39,92 1372,35 -1,16 686,76 4,5 755,24 46,42 758,09 -2,84 380,46 0 49,25 49,25 -49,25 49,25 -4,5 -755,24 46,42 2,84 -758,09 380,46 -8,17 -1371,19 39,92 1,16 -1372,35 686,76 -8,17 -1371,19 2,04 0,003 -1371,19 685,6 -9 -1510,49 0 -1510,49 755,5

7.3.3 Thế biến dạng đàn hồi dầm chịu uốn

Biểu thức tổng quát biến dạng đàn hồi riêng (3.2) có dạng

1 3 2

3 2

1

2

E u

Trạng thái ứng suất phẳng dầm chịu uốn ngang phẳng gồm hai thành phần

y I M

z

z ,

z C Z y

bI S Q

Ta tính ứng suất theo cơng thức (2.13)

2

1 2 2

h b y

z t

d

1

5

1510

2

3

2

2 (7.20)

Thay vào biểu thức (3.2) ta nhận

G E E u 2 2 2

2 ( ) (7.21)

Thế biến dạng đàn hồi tổng quát nhận tích phân biến dạng đàn hồi riêng u tồn thể tích

l A c x l A l A V V dA b S GI Q dx dA y EI M dx dA G E dx dV G E udV U 2 2 2 2 2 2 2 l l dx GA kQ dx EI M U 2 2 A x dA b S I A

k 2 12/2 (7.22)

7.4 Biến dạng dịch chuyển chịu uốn

Biến dạng thanhchịu uốn (gọi dầm) thay đổi độ cong trục Đường cong trục chịu uốn đường đàn hồi Khi bỏ ảnh hưởng lực cắt phương trình đường đàn hồi có dạng

z z

EI M

1

Dịch chuyển, độ võng góc xoay

Dịch chuyển gồm dịch chuyển thẳng trọng tâm dịch chuyển xoay tiết diện

dịch chuyển thẳng vng góc với trục gọi độ võng y

) (x y y

dịch chuyển xoay góc xoay

Hình 7.13

Phương trình vi phân độ võng

Từ tốn học cao cấp ta có phương trình vi phân độ cong đường cong phẳng:

2 1

/

y y

Dấu lấy tùy thuộc hệ tọa độ cho bán kính độ võng ln dương Kết hợp với (7.3) ta có phương trình vi phân độ võng

z z

EI M y

y

2

1 /

Theo quy ước dấu mô men uốn: mô men uốn dương làm trục dầm võng xuống mô men uốn âm làm trục dầm lồi lên Như dấu mô men uốn độ võng trái nên xét biến dạng nhỏ bỏ qua thành phần bậc cao ta có phương trình vi phân độ võng

z z EI M

y (7.23)

trong EIz độ cứng chống uốn tiết diện (uốn mặt phẳng xy)

Phương pháp tích phân khơng xác định

Từ phương trình vi phân độ võng (7.23) ta tích phân lần góc xoay

C dx EI M y

z

z , (7.24)

tích phân lần thứ hai ta độ võng

,

2 1x C

C dx dx EI

M y

z

z (7.25)

trong số tích phân C1 C2 xác định từ điều kiện biên

Dầm gối tựa đơn giản ta có điều kiện độ võng hai đầu không:

0 0

x x

dx

dy

0

l x l

x

dx dy

Dầm cơng son ta có điều kiện độ võng góc xoay đầu ngàm 0:

0

0

x

y

0

x

x dx

dy

Phương pháp tải trọng giả tạo

Ta có hai liên hệ dạng

EI M dx

d dx

y d q dx dQ dx

M d

2 2

2

(7.26) Như vây ta tìm độ võng góc xoay từ biểu đồ mô men lực cắt vẽ phương pháp mặt cắt cho dầm giả tạo chịu tải trọng phân bố có cường độ M/EI Khi ta có quan hệ

gt gt

gt q

EI M Q

M

y ; ; (7.27)

Lập dầm giả tạo theo sơ đồ hình (7.13)

Hình 7.14 Sơ đồ dầm giả tạo (b.) ứng với dầm thực (a.)

Sau xác định nội lực Mgt Qgt dầm giả tạo chiu tải phân bố M/EI

Xác định độ võng, góc xoay cho dầm giả tạo theo cơng thức

gt

M

y , Qgt

Phương pháp thông số ban đầu

Thông số ban đầu độ võng y0và góc xoay 0 mắt cắt ngang gốc tọa độ Hợp lí ta chọn gốc tọa độ trọng tâm mặt cắt đầu bên trái dầm

Phương trình xác định độ võng yx góc xoay x mặt cắt cách gốc tọa độ

một khoảng x có dạng

! ! ! ! ! ! ! 5 4 5 4 0 q b q a q b q a Q m x b x q a x q b x q a x q a x Q a x M x EI EIy EIy q q q q (7.28) ! ! ! ! ! ! 4 3 3 q b q a q b q a Q m x b x q a x q b x q a x q a x Q a x M EI EI q q q q (7.29)

E mơ dun đàn hồi Young,

I mơ men qn tính tiết diện trục trung hịa z,

M – mơ men ngẫu lực ngoại lực,

m

a - tọa độ ví trị đặt ngẫu lực M,

P – lực ngang tập trung (gồm phản lực),

P

a - tọa độ ví trị đặt lực P,

aq

q , qaq - giá trị lực phân bố qy đạo hàm theo x x aq (mặt cắt

bắt đầu đoạn lực phân bố),

bq

q , qbq - giá trị lực phân bố qy đạo hàm theo x x bq (mặt cắt kết

thúc đoạn lực phân bố)

Hình 7.15 Giải thích kí hiệu cơng thức tính độ võng góc xoay phương pháp thơng số ban đầu

Ví dụ Cho q=4kN/m, P=4kN, E=2.108kN/m2, [ ]=160.103kN/m2,

Chọn kích thước mặt cắt ngang thỏa mãn điều kiện độ bền ứng suất pháp tính dịch chuyển điểm dầm

M P

x x x

am ap

x

x x

aq

bq

qap

qbp

Giải

Xác định phản lực gối RA RB từ phương trình cân bằng:

kN q P R q P R

MA B B

2 2 kN R P q R q P R R

F A B A B

Hình 7.15 Vẽ biểu đồ Q M

- Xét đoạn bên trái x 0: Cân nội lực đoạn xét ta có

2 2 2 x x x q x R M x q x R M x qx R Q R qx Q A x A x A x A x kNm M m x khi Q kNm M kN Q x M kN Q x x x x x x x 125 75 7 75 , , , / ; ; ; ,

- Xét đoạn bên phải x’ chia làm đoạn:

Đoạn x’ Cân nội lực đoạn xét ta có

q

2m 1m

A B P 1m RA Mx q x

Qx P RB

Mx’

x’ 1m

Qx’ RB Mx’ x’ Qx’ 00 00 12

M 6,125 6,0 5,0

7.0

0.0 -1.0

-5.0

x x R M x R M kN R Q R Q B x b x B x B x 5 kNm M x M x x x 0 ;

Đoạn x’

4 1 x P x P R M x P x R M kN R P Q P R Q B x B x B x B x ) ( ) ( kNm M x kNm M x x x ;

Biểu đồ M Q Moment cực đại điểm lực cắt x=1,75 Mmax=6,125kNm

Tìm kích thước mặt cắt ngang từ điều kiện bền theo ứng suất pháp

cm m M D M D M

W 0073057 73057

10 160 125 32 32

32 3

3 , , , max max max

- Tính độ võng f điểm dầm

Với A điểm gốc, với điều kiện biên độ võng A ta có biểu thức

3 3 4 24 24 x x x A A x P x q x q x R x EI x

EIf( ) ( ) ( )

Từ điều kiện độ võng B 0, ta tìm góc xoay A

0 24 24 4 4 P q q R EI

EIf( ) A A

5 51 16 15 4 24

4 4 ,

A

EI

3

3

2

4

0

4

6

2

6 51

x x x

x x

x x x x

EIf( ) ( ) ( )

tại x=2: 1033

3 31

8 51

2 51

1 kNm

x

EIf( ) ,

Độ võng m

EI

fli 0036948

6715 279

31

31

2 , ,

7.5 Độ bền độ cứng

7.5.1 Điều kiện bền uốn túy

Khi uốn túy trạng thái ứng suất trạng thái đơn, nên từ (7.4) mặt cắt không đối xứng ta có

k k z

z

y I M

max

n n z

z

y I M

min (7.30)

trong yk yn khoảng cách từ đường trung hòa đến thớ bị kéo thớ bị nén xa

Kiểm tra cho mặt cắt có trị số mô men dương mô men âm lớn Khi tiết diện đối xứng qua trục z

n k z

z

W M

min

max (7.31)

Đối với vật liệu dẻo k n ta kiểm tra

z z

W M

min

max (7.32)

Trong toán thiết kế từ điều kiện bền ta lựa chọn kích thước thích hợp cho tiết diện ngang theo công thức

max

M

trong W I/ymax - mơ men chống uốn tiết diện ngang đường trung

hòa,

7.5.2 Dạng tiết diện hợp lý

Dạng tiết diện hợp lý dạng tận dụng hết khả làm việc vật liệu Ta xét dạng hợp lý từ hai khía cạnh

Khi hai mép đồng thời phá hỏng

k k z

z y

I M

max

n n z

z y

I M

min (7.34)

1

zn zk n k n k

W W y

y

(7.35) Ta nhận điều kiên hợp lý

Vật liệu dòn <1 yk yn tiết diện không đối xứng qua trục z Vật liệu dẻo =1 yk yn tiết diện đối xứng qua trục z

Xem xét điều kiện tiết kiệm Như ta thấy độ bền chông uôn phụ thuộc vào mô men chống uốn Wz, (tăng mô men chống uốn Wz để giảm ứng suất pháp) Trong

khi trọng lượng lại tỉ lệ với diện tích nên ta đánh giá mức độ tiết kiệm tỉ số W/A32 gọi mơ men chống uốn riêng Ví dụ hình hộp

chứ nhật, hình ống, chữ U chữ I dạng hợp lý Ví dụ diện tích thép chữ I có mơ men chống uốn lớn tám lần tiết diện hình vng

7.5.3 Ứng suất kiểm tra độ bền tổng thể dầm

Trong toán uốn ngang phẳng ta kiểm tra độ bền cho trạng thái sau Trạng thái ứng suất đơn toán uốn túy

n k n

k z

z

y I M

max

max , nk

z z

M

W max

b I S Q z x

y

0

/

(7.36) Theo thuyết bền ứng suất tiếp cực đại

2

Theo thuyết bền biến dạng hình dáng cực đại

3

Trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt với

y I M z z , b I S Q z C x y

Từ cơng thức (2.13) ta tính ứng suất cho dạng cơng thức (7.20)

2

1 2 2 ,

2

3 2 2 ,

2

2

max

Điều kiện bền theo thuyết bền ứng suất tiếp cực đại

2 4

Điều kiện bền theo biến dạng hình dáng cực đại

2 3

Ví dụ Với trường hợp ví dụ hình 7.15, ta kiểm tra điều kiện độ cứng

400

l fl/

- Ta tính moment quán tính

4 3 10 398 10 32 073057 125 10 160 125 32 10 160 64 125 32 64 m D

I , , , , ,

6715

279 kNm

EI ,

- Kiểm tra điều kiện độ cứng:

0025 400 009237 036948 , , , / l fl

Điều kiện độ cứng không thỏa mãn

- Từ điều kiện độ cứng, ta tính độ võng

01 400

4 400

2 ,

/

l fl

- Bên cạnh từ sơ đồ đặt lực ta có

2

3 31

31

/

l f E I f

EI

x

suy

cm m

f E D

l

13 10 1013 01 10

64 31

64 31

4

8

2

, ,

, /

Kết luận chương

Chương bảy xem xét toán uốn túy uốn ngang

113

CHƯƠNG

Thanh chịu lực phức tạp

8.1 Giới thiệu chung

Chương đến chương ta xem xét toán chịu lực đơn giản: chịu kéo (hoặc nén), chịu xoắn, chịu cắt, chịu uốn Trong toán tiết diện tồn thành phần nội lực độc lập: lực dọc trục, mô men xoắn, mô men uốn với lực cắt Ngoại lực có loại riêng biệt: lực tác dụng dọc trục Fx, ngẫu ngoại lực Mx nằm mặt phẳng vng

góc với trục thanh, lực ngang Fy ngẫu lực mô men Mz (uốn mặt phẳng xy)

hay lực ngang Fz ngẫu lực mô men My (uốn mặt phẳng (xz)

Chương xem xét trường hợp chịu lực phức tạp Tổng quát tiết diện có đầy đủ sáu thành phần nội lực (hình 8.1)

Hình 8.1 Thanh chịu lực tổng qt

Đó lực dọc Nx, mô men xoắn Mx, lực cắt Qy mô men uốn Mz (uốn mặt

phẳng xy), lực cắt Qz mô men uốn My (uốn mặt phẳng xz)

8.2 Trường hợp tổng quát

Ta tính ứng suất biến dạng tiết diện chịu lực tổng quát theo nguyên lý cộng tác dụng từ lời giải toán chịu lực đơn giản

Qy

Qz

Nx

My

Mz

x z

y

8.2.1 Cơng thức tính ứng suất pháp

Từ toán chịu lực đơn giản ta thấy ứng suất pháp lực dọc mô men uốn gây

y

z M

M N

z I M y I M A N

y y z

z (8.1)

8.2.2 Đường trung hòa

Định nghĩa. Đường trung hòa tiết diện quỹ tích điểm có ứng suất pháp không

Từ định nghĩa công thức tính ứng suất pháp (8.1) ta có phương trình đường trung hòa

0

z I M y I M A N

y y z

z (8.2)

Phương trình 8.2 phương trình đường thẳng tiết diện mà ta xét Trong N, Mz, My nội lực, A, Iz, Iy đặc trưng hình học

Tính chất đường trung hòa

Khi lực dọc trục khơng đường trung hịa qua gốc tọa độ

Ứng suất pháp điểm P tiết diện tỉ lệ bậc với khoảng cách từ điểm đến đường trung hịa

Kd

P (8.3)

trong

2

1

y y z

z

I M I

M

K (8.4)

8.2.3 Biểu đồ ứng suất pháp

Từ tính chất đường trung hịa ta có biểu đồ ứng suất pháp hình 8.2 bước sau

Kẻ đường vng góc với trục trung hịa gọi đường chuẩn điểm C

Từ điểm P thuộc tiết diện kẻ đường song song với đường trung hòa cắt đường chuẩn K

Tính ứng suất pháp P P theo cơng thức (8.1)

Từ K đặt tung độ P nối với điểm C Biều đồ ứng suất pháp giới hạn

bằng hai đường song song với đường trung hòa tiếp xúc với chu vi tiết diện hai điểm cách xa đường trung hòa (hình 8.2)

Hình 8.2 Biểu đồ ứng suất pháp

Ta có biểu thức ứng suất pháp cực trị D

y y D z

z z

I M y I M A N

min

max (8.5)

Ta đặt yD zD điểm (D1 D2) tính giá trị cực trị

Đối với tiết diện hình chữ nhật chữ I

y y z

z

W M W M A N

min

max (8.6)

Đối với tiết diện hình trịn

K C

D1

P z

Đường trung

hòa

y

z y z u

u

W M M A N W M A

N 2

min

max (8.7)

8.2.4 Điều kiện bền theo ứng suất pháp

Nếu kể đến ứng suất pháp ta có điều kiện bền

k n

min

max (8.8)

Trường hợp tổng quát

k n D y

y D z

z z

I M y I M A N

(8.9) Đối với tiết diện hình chữ nhật chữ I

k n y

y z

z

W M W

M A N

(8.10) Đối với tiết diện hình trịn

k n z

y z

W M M A

N 2 (8.11)

8.2.5 Ứng suất tiếp

Ứng suất tiếp mô men xoắn lực cắt gây

z y

x Q Q

M (8.12)

Các thành phần ứng suất tiếp lực cắt có phương chiều trùng với lực cắt gồm

b I

S Q Q

z C z y

y (8.13)

h I

S Q Q

y C y z

y (8.14)

p x

I M

(8.15)

8.2.6 Độ võng

Bỏ qua ảnh hưởng lực cắt, ta tìm độ võng f mô men uốn gây

y

z f

f

f , hay 2

y

z f

f

f (8.16)

trong fz, fy độ võng mơ men uốn Mz, My gây

Các dịch chuyển thành phần tìm từ phương trình vi phân độ võng

z z

z EI

M f

y y y

EI M f

Ví dụ Cho D = 0,1m, Q 2kN; N = 6,28kN; qy = 1kN/m, Mx = 3,14kNm;

E=2.108kN/m2, [ ] = 160.103kN/m2 Kiểm tra độ bền mặt cắt ngàm theo thuyết bền ứng suất tiếp cực đại (bỏ qua ứng suất tiếp lực cắt)

Hình 8.3

Đề kiểm tra bền ta tính ứng suất tương đương điểm ngàm

Ứng suất pháp gồm thành phần lực dọc trục, lực cắt lực phân bố

+ Từ lực dọc trục N đặt lệch tâm với điểm đặt (yN=0, zN=D/2) ta có cơng thức

tính ứng suất cho tiết diện hình trịn

2

2

2

2

4000

1 14

28

2

1

m kN

D D D

N F

W z y F

N N N N

/ ,

, ,

) / ( /

max

+ Từ lực căt lực phân bố ta tính moment uốn My Mz đầu A

kN q

Q

Mz cos450 2,5 2 2/2 2,5 9,5

1m 3m 2m

q

N y

z x

Q Mx

D 450 45

0

Q

z

kNm Q

My sin450 2 2/2

Ta có ứng suất pháp moment uốn My Mz cho tiết diện hình trịn

2

3 2

2

6 98887

0 14

2 32 32

m kN D

M M W

M

My z y z

/ , ,

, , max

Vậy ứng suất pháp lớn tiết diện đầu A

2

102887

98887

4000 kN m

M

N max , , /

max max

Bỏ qua ứng suất tiếp lực cắt ta ứng suất tiếp mo men xoắn Mx gây

3

3 314 01 16000 14

3 16 16

m kN D

M W

M x

x

x /

, ,

, max

Tính ứng suất tương đương theo thuyết bền ứng suất tiếp cực đại

2

2

2 4 1028876 4 16000 1077488kN m

td , , /

Kết cấu đủ bền 1077488kN m2 160 103kN m2

td , / /

8.3 Các trường hợp chịu lực phức tạp

8.3.1 Uốn xiên

Nếu bỏ qua lực cắt nội lực tiết diện gồm mô men uốn Mz My

(hình 8.4)

Hình 8.4 Thanh chịu uốn xiên Biểu thức ứng suất pháp có dạng

z I M y I M

y y z

z (8.17)

My

Mz

x z

Nếu tiết diện tròn

z y z

W M M2

(8.18) Phương trình đường trung hịa

ztg z

M M I I y

z y y

z ,

trong

z y y z

M M I I tg

Hình 8.5 Biểu đồ ứng suất pháp uốn xiên Kiểm tra bền theo công thức (8.10)

k y

y z

z

W M W

M

, n

y y z

z

W M W M

(8.19) Thiết kế kích thước theo phương pháp thử cách lựa chọn từ công thức

y z z

cM M W

trong

y z

W W c

Độ võng tính theo cơng thức (8.16)

2

y

z f

f

f 2

y z

min

D1

z

Đường trung

hòa

y

D2

trong fz, fy, z, y độ võng góc xoay mơ men uốn Mz, My gây

8.3.2 Kéo (nén) uốn đồng thời

Biểu thức ứng suất pháp có dạng

z Ni

M y Ni M A

N z I M y I M A N

y y z

z y

y z

z

2

1 (8.20)

trong iz, iy bán kính qn tính Phương trình đường trung hòa

0

1 2 2 z

Ni M y Ni

M

y y z

z , (8.21)

Ứng suất pháp cực đại tính theo (8.5-8.7) Kiểm tra bền theo (8.9-8.11) Kích thước mặt cắt ngang tính theo ứng suất pháp phương pháp thử dần Chọn theo mô men uốn cho kích thước lớn Sau kiểm tra với mơ men uốn cịn lại lực dọc

8.3.3 Kéo (nén) lệch tâm

Hình 8.6 Thanh kéo lệch tâm

Khi chịu kéo (nén) lệch tâm điểm G (yG, zG) ta chuyển lực tâm

tiết diện nhân Lực dọc N P

mô men uốn My PzG Mz PyG

Khi ta đưa trường hợp kéo (nén) uốn đồng thời Khi ứng suất pháp có dạng

P My

Mz z

y x

P

G z

2

y G z G y

y z

z

i z z i

y y A P z I M y I M A

N (8.22)

Phương trình đường trung hịa

0

1 2 2

y G z G

i z z i

y y

hay 2 2

G y G

z i z

z y

i y

/

/ (8.21)

Khi kéo, nén tâm đường trung hịa tính chất sau

Đường trung hịa phụ thuộc vào vị trí đặt tải khơng phụ thuộc vào tải trọng Khi điểm đặt lực trục x đường trung hịa song song với trục y ngược

lại

Khi điểm đặt lực di chuyển đường thẳng nn không qua trọng tâm đường trung hịa quay quanh điểm có tọa độ

0

n z

y i y ,

0

0

n y

z i

z (8.21)

trong yn0, zn0 giao điểm nn với trục y trục z

Lõi tiết diện

Đường trung hịa phụ thuộc vào vị trí đặt lực nên xẩy hai trường hợp

Đường trung hòa cắt qua tiết diện

Đường trung hịa nằm ngồi tiếp xúp với chu vi

Định nghĩa: Lõi tiết diện miền chứa trọng tâm tiết diện giới hạn chu tuyến kín để đặt lực vào bên lõi đường trung hịa nằm ngồi tiết diện, vị trí đặt lực chu tuyến đường trung hòa tiếp tuyến với chu vi tiết diện – điều có nghĩa ứng suất điểm mặt cắt có dấu

8.3.4 Kéo (nén) xoắn đồng thời

Khi chịu mô men xoắn Mx lực kéo (nén) dọc trục N đồng thời ta có

ứng suất pháp

A N

và ứng suất tiếp

X x W

M

trong Wx mơ men chống xoắn mặt cắt

Đối với tiết diện tròn

p x

I M

p x

W M

max

Ứng suất theo cơng thức (2.13)

2

1

2

2

2

3

2

Kiểm tra bền theo thuyết bền

Đối với vật liệu dẻo ta dùng thuyết bền thứ ba thứ tư

2

1

tdIII (8.22)

2 3

1

tdIV (8.23)

Đói với vật liệu kéo, nén khác ta dùng thuyết bền Mohr

k

tdV 2

1

1 (8.24)

8.3.5 Uốn xoắn đồng thời

Ta cộng thêm vào trạng thái uốn xiên ứng suất tiếp chịu xoắn

Tiết diện hình tròn

z u I M

z u W M

max ,

2

y z

u M M

p x I M z x p x W M W M max

Ứng suất trạng thái ứng suất theo cơng thức (2.13) có dạng

2

1

2

2

2

3

2

Kiểm tra bền theo thuyết bền

Đối với vật liệu dẻo ta dùng thuyết bền thứ ba thứ tư

z y z x tdIII W M M

M2 2

2

1 (8.25)

z y z x tdIV W M M M2 2 2 3 75

3 (8.26)

Đối với vật liệu kéo, nén khác ta dùng thuyết bền Mohr

k z y x z y

tdV M2 M2 M2 M2 M2

2

1 (8.27)

Tiết diện hình chữ nhật

Ứng suất tiếp đạt cực đại trung điểm cạnh dài (cạnh dài sông với trục z)

xo x W M max

Khi ứng suất pháp có giá trị

z z

W M

Tại trung điểm cạnh ngắn

max

y y

W M

Điều kiện bền theo ứng suất pháp uốn xiên cần kiểm tra

k y y z z W M W M

, n

Kết luận chương

Chương trình bày tốn chịu lực phức tạp Xem xét trương hợp tổng quát đưa cơng thức tính ứng suất dịch chuyển

125

CHƯƠNG

Ổn định thẳng

9.1 Giới thiệu chung

Như nói phần nhập mơn mục đích mơn học đánh giá độ bền, độ cứng độ ổn định cơng trình Các chương năm đến chương tám đề cập đến việc đánh giá trạng thái ứng suất, biến dạng dịch chuyển sau đánh giá độ cứng, độ bền trường hợp chịu lực khác Trong chương chín ta quan tâm đến vấn đề ổn định kết cấu Cụ thể ổn định thằng chịu nén – bị uốn dọc nén uốn đồng thời

Như định nghĩa: Độ ổn định khả trì, bảo toàn dạng cân ban đầu trước tác dụng nhiễu động

Ta xét thẳng chịu nén tâm lực P (hình 9.1a)

Hình 9.1 Thanh chịu nén dọc trục

Nhiễu động mơ hình hóa lực ngang R Ta cho trị số lực nén tăng dần không Tác động vào lực ngang đủ nhỏ để dời khỏi vị trí thẳng (vị trí cân băng ban đầu) cong Dạng cong dạng cân nhiễu động Khi ta bỏ lực ngang xảy trường hợp sau

Khi lực nén dọc trục nhỏ, nhỏ giá trị tới hạn P Pth, trở lại vị trí thẳng ban đầu Trạng thái cân ổn đinh (hình 9.1b)

a b c d

P P Pth P Pth P Pth

Khi lực nén dọc trục lớn, lớn giá trị tới hạn P Pth, khơng trở lại vị trí thẳng ban đầu mà tiếp tục cong thêm Trạng thái cân không ổn đinh hay gọi ổn định Do cong xuất hiên tượng uốn dẫn đến ứng suất biến dạng tăng bị phá hủy (hình 9.1d)

Khi lực nén dọc trục đạt giá trị tới hạn P Pth, không thẳng trở lại

không cong thêm Trang thái gọi trạng thái cân tới hạn (hình 9.1c)

Tương tự chịu uốn ổn định lực ngang vượt qua giá trị tới hạn F Fth Khi khơng chịu uốn mà chịu xoắn

9.2 Lực tới hạn ứng suất tới hạn

9.2.1 Thanh liên kết khớp

Hình 9.2 Bài tốn Euler

Xét liên kết khớp hai đầu, chịu lực nén P tâm Giả thiết P Pth làm

thanh cong Tại tiết diện có tọa độ x bi uốn có độ võng y Kí hiệu độ cứng chống uốn EI, mô men uốn mặt cắt M ta có phương trình vi phân độ võng

EI M

y (9.1)

Mơ men uốn tính qua lực nén dọc trục độ võng

Py

M (9.2)

Thế (9.2) vào (9.1) ta phương trình vi phân

0 2y

y

y

P P

y l

x

trong

EI P

2 (9.3)

Nghiệm (9.4) có dạng

x C

x C

y 1cos 2sin

C1 C2 tìm từ điều kiện biên ta có x y suy C1 0, x l y suy

ra C2sin l 0vì độ võng khác khơng nên C2 ta có

k l l

sin , vớik 1,2,3 (9.4) Thay (9.4) vào (9.3) ta có

2 2

l EI k

P , với k 1,2,3

Đây điều kiện để độ võng khác không tức điều kiện ổn định Giá trị P với k nhỏ k=1 giá trị tải trọng tới hạn

2

l EI

Pth (9.5)

Đây công thức Euler xác định tải trọng tới hạn cho trường hợp liên kết khớp hai đầu Ở ta chọn mô men quán tinh nhỏ tiết diện, Pth xét uốn

quanh trục quán tính có mơ men qn tính nhỏ nhỏ Các dạng liên kết khác xem xét mục sau

9.2.2 Thanh thẳng có liên kết khác

Tương tự cách làm mục 9.2.1 ta xét điểu kiện liên kết khác để tìm tải trọng tới han Cơng thức Euler (9.7) viết tổng quát sau

2

td

th l

EI

P (9.6)

trong ltd l chiều dài tương đương thanh, l chiều dài thưc Giá trị ứng với loại liên kết cách đặt tải cho hình 9.3

9.2.3 Ứng suất tới hạn độ mảnh

Tính ứng suất tới hạn theo công thức

2 2

2

2 E

A l

EI A

Pth

trong

i l A I

l td (9.8)

là độ mảnh thanh, i

A I

i bán kính quán tính nhỏ tiết diện

Hình 9.3 Giá trị ứng với loại liên kết

Tải trọng tới hạn Euler tìm từ phương trình vi phân đường đàn hồi, vật liệu làm việc giới hạn đàn hồi Do ứng suất tới hạn phải nhỏ ứng suất tỉ lệ

tl th

E

2

Từ ta rút quan hệ

tl

E

2

Đặt

tl

E

2

0 (9.9)

ta có điều kiện để áp dụng công thức Euler

0 (9.10)

a b c d

th

P Pth Pth

th

P P

2

l

2

l

2

l

l

4

l

4

l

5 0,

0,

2

9.3 Tính ổn định cho chịu nén

Như tính tốn chịu nén kiểm tra bền ta cần kiểm tra điều kiện ổn định cho lực dọc trục

od od

th P

n P

N (9.11)

hoặc cho ứng suất pháp

od th od

n A

N (9.12)

trong A diện tích nguyên tiết diện

Để tiện cho việc kiểm tra ổn định người ta đưa thêm đại lượng

od

(9.13) Khi (9.13) viết lại thành

n

A N

(9.14) Đại lượng gọi hệ số uốn dọc hay hệ số giảm ứng suất cho phép nén Từ công thức (9.14) làm hàm phụ thuộc vào độ mảnh

od ch

th n

od

n n

(9.15) Đại lượng lập thành bảng cho vật liệu cho trước phụ lục Để kiểm tra ổn định sử dụng hai phương pháp

Phương pháp thứ nhất: cho trước nod Phương pháp dùng thi

ếu xác định trước nod chưa biết độ mảnh Người ta sử dụng vật liệu

mới hay có độ mảnh vượt ngồi bảng ( )

Phương pháp thứ hai: Sử dụng bảng hệ số uốn dọc ( ) Tính tốn ổn định có ba tốn

Bài toán thiết kế chọn lựa mặt cắt ngang

9.3.1 Xác định tải trọng cho phép

Phương pháp thứ nhất: Khi cho trước nod xác định tải trọng cho phép theo ba bước sau

Xác định độ mảnh theo (9.8)

i l

Xác định tải trọng tới hạn Euler theo (9.6) 2

2

td th

l EI P ;

Tính tải trọng ổn định cho phép theo (9.11)

od th od

n P P

Phương pháp thứ hai: Sử dụng bảng hệ số uốn dọc ( ) Xác định độ mảnh theo (9.8)

i l

Xác định hệ số uốn dọc dựa độ mảnh theo bảng ( ) Tính tải trọng cho phép P A

9.3.2 Kiểm tra ổn định

Tiến hành theo hai phương pháp tương tự xác định tải trọng cho phép

9.3.3 Bài toán thiết kế

Phương pháp thứ dùng thiếu xác

Phương pháp thứ hai: Sử dụng bảng hệ số uốn dọc ( ) Cho hệ số uốn dọc 0,6 0,8

Tính ứng suất ổn định od , tính diện tích tiết diện theo A P P

od

chọn kích thước mặt cắt hay số hiệu thép hình từ bảng

Tìm I, i

Tìm giá trị từ bảng ( ) Nếu khác nhiều so với ta lặp lại quy trình

Phương pháp hỗn hợp: Sử dụng bảng hệ số uốn dọc ( )

Chọn hệ số nod tương ứng với vật liệu (thép nod 2, gang nod gỗ nod 3)

Tìm Imin từ cơng thức (9.6)

Chọn kích thước mặt cắt hay số hiệu mặt cắt (thép hình) tính A, i, Xác định từ bảng ( tính od

Kiểm tra điều kiện ổn định (9.14).Nếu không thỏa mãn thay đổi (theo phương pháp thứ hai) hay thay đổi kích thước mặt cắt

9.4 Uốn ngang uốn dọc đồng thời

9.4.1 Phương trình vi phân đường đàn hồi

Hình 9.4 Thanh chịu uốn ngang uốn dọc đồng thời

Xét chịu đồng thời tải trọng ngang tải trọng dọc mặt phẳng xy (hình 9.4a) Bằng phương pháp mặt cắt (hình 9.4b) ta xác định mơ men uốn mặt cắt có tọa độ x

a x F Rx Py

M 1

Ta thấy số hạng Py uốn dọc tải trọng dọc P gây ra, phụ thuộc vào độ võng Các số hạng dấu ngoặc vuông xác định tốn uốn ngang bình thường ta kí hiệu M ta viết lại

M Py

M (9.16)

Lắp vào phương trình vi phân độ võng

EI M y

P

y

1

F

a x R

1

F

2

F

y R

P

M

a

ta nhận

z z

EI M y k

y (9.17)

trong

z EI

P

k2 (9.18)

Nghiệm (9.17) có dạng

y y

y (9.19)

y nghiệm tổng quát phương trình có dạng

kx C

kx C

y 1cos 2sin

y nghiệm riêng phụ thuộc vào biểu thức cụ thể mô men uốn ngang M tức phụ thuộc vào dạng tải trọng tác dụng

9.4.2 Biểu thức gần độ võng

Thanh có liên kết khớp hai đầu

Giả thiết tải trọng ngang hướng phía đối xứng qua mặt cắt dầm Khi độ võng cực trị f vị trí dầm ta chọn hàm độ võng thỏa mãn giả thiết có dạng

l x f

y sin (9.20)

Độ võng y viết dạng tương tự

l x f

y sin (9.21)

Độ võng f tải trọng ngang dầm hồn tồn tìm phương pháp quen thuộc giải toán chịu uốn y vần thỏa mãn phương trình vi phân đường đàn hồi

EI M y

y y k

y (9.22)

Thay (9.20), (9.21) vào (9.22) ta nhận biểu thức

th

P P f f

1

, 2

2

l EI

Pth (9.23)

Thay (9.23) vào (9.20) ta

th

P P y y

1

(9.24)

Ta dùng (9.24) cho dạng liên kết khác ý biểu thức lực tới hạn lúc tính

2

l EI Pth

9.4.3 Biểu thứ gần mô men uốn

Ta biểu thức (9.24) độ võng y vào biểu thức mô men uốn (9.16)

th

P P y P M M Py M

1

(9.25)

Sử dụng phép gần sau Từ phương trình vi phân đường đàn hồi ta có

y y M M

z z

Thay biểu thức độ võng y (9.20) y (9.21) vào quan hệ

th z

z

P P f

f M M

1

Ta nhận biểu thức gần mô men uốn

th z z

P P M M

1

9.4.4 Ứng suất điều kiện bền

Thanh chịu tải trọng dọc trục tải trọng ngang ta có biểu thức ứng suất pháp

y I M A P

z z

Sử dụng cơng thức gần mơ men uốn ta có ứng suất pháp cực đại

th z

z z

z

P P W

M A

P W

M A P

1

max (9.27)

Ta nhận thấy ứng suất tăng không tỉ lệ với tải trọng, mà tăng nhanh Như hệ số an toàn bé hệ số n, ta không kiểm tra theo ứng suất cho phép mà kiểm tra theo tải trọng cho phép Điều kiện bền cho uốn ngang uốn dọc đồng thời có dạng

y

th z

z

P nP W

M n A

nP

1

(9.28)

Chú ý cần kiểm tra ổn định

A P

(9.14) hệ số uốn dọc tra từ bảng cho loại vật liêu hàm độ mảnh

Kết luận chương

Chương trình bày ổn định thẳng Đưa định nghĩa trạng thái ổn định, lực tới hạn theo Euler ứng suất tới hạn

136

PHẦN CÁC PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN

TÍNH TỐN HỆ THANH

Mục đích phần hai nghiên cứu phương pháp phân tích kết cấu dạng khung, dàn Như nói phần nhập môn đối tượng phần kết cấu hợp thành từ phần tử có kích thước đủ dài so sánh với mặt cắt ngang Đó dầm, dàn phẳng, dàn không gian, khung phẳng, khung ngang khung khơng gian hình phần nhập mơn

Lưu ý phân tích hệ ta chấp nhận giả thiết

Chuyển vị góc xoay kết cấu thay đổi tuyến tính lực tác dụng có nghĩa chúng tỷ lệ với lực tác dụng

Biến dạng nhỏ có nghĩa chuyển vị khơng làm thay đổi hình học kết cấu không thay đổi lực tác dụng lên kết cấu

Từ hai giả thiết ta có nguyên lý cộng tác dụng: Dưới tác động tổ hợp lực ta cộng dồn ứng suất, biến dạng chuyển vị gây lực riêng biệt

Ứng xử vật liệu đàn hồi tuân thủ định luật Hooke

Các hệ mà ta khảo sát chủ yếu hệ siêu tĩnh Phân tích hệ siêu tĩnh dẫn đến giải hệ phương trình tuyến tính với số ẩn phụ thuộc vào phương pháp mà ta lựa chọn Khi tính tốn máy tính bấm tay ta sử dụng thuật toán lặp hay chỉnh dần để làm giảm số phép tính Trong khn khổ giáo trình này, phương pháp lực, phương pháp chuyển vị phương pháp cơng ảo trình bày chương 11, 12 13

137

CHƯƠNG 10

Hệ siêu tĩnh

10.1 Siêu tĩnh

Xét vật thể tự chịu lực không gian Khái niệm lực bao gồm lực tập trung cặp ngẫu lực (hay mô men)

Vật thể trạng thái cân tổng lực tác dụng thỏa mãn phương trình cân tĩnh học

,

, ,

,

, 0 0

0 y z x y z

x F F M M M

F (10.1)

Trong không gian trực giao ba chiều ta có sáu phương trình cân Khi ta xét mặt phẳng lại ba phương trình

,

, 0

0 y z

x F M

F (10.2)

Khi kết cấu trạng thái cân thành phần tạo thành trạng thái cân Có nghĩa phần tử, nút hay phần kết cấu trạng thái cân

Phân tích kết cấu xác định phản lực gối đỡ ứng suất nội lực gây Khi số phương trình cân đủ để xác định lực cần tìm kết cấu

(hệ) gọi tĩnh định Khi số lực cần tìm lớn số phương trình cân

tĩnh học kết cấu (hệ) gọi siêu tĩnh, phần lớn kết cấu thực tế

là hệ siêu tĩnh

Phân loại hệ siêu tĩnh

Hệ siêu tĩnh ngoại, siêu tĩnh nội hai

Siêu tĩnh ngoại số phản lực cần xác định lớn số phương trình cân Bậc siêu tĩnh ngoại số phản lực trừ số phương trình cân (hình 10.1)

Giải phóng nội lực cách cắt hay đặt khớp nối ta đưa hệ hệ tĩnh định (Hình 10.2) Số nội lực cần giải phóng bậc siêu tĩnh nội

Hình 10.1 Các ví dụ bậc siêu tĩnh nội

Hình 10.2 Các ví dụ bậc siêu tĩnh ngoại

Siêu tĩnh ngoại nội Xét ví dụ hệ khung phẳng Hình 11.3 hệ có bốn phản lực ta có bậc siêu tĩnh ngoại Nhưng để xác định nội lực cần giải phóng nội lực hai mặt cắt suy ta có sáu bậc siêu tĩnh nội Tổng cộng bậc siêu tĩnh

Hình 10.3 Kết cấu siêu tĩnh nội ngoại R1

R2

R1

R3

R2

R3

R1

R2

R2

R3 R3

R1

R3

R2

R3 R4

R1

R4

R5

R3

R1 R2

R1

R2

R4

R3

Một bậc siêu tĩnh Một bậc siêu tĩnh

Một bậc siêu tĩnh Hệ tĩnh định

R1

R2 R4

R1

R2 R3 R4

R1

Tương tự ta xét hệ khung khơng gian Hình 11.4 Tại ngàm có sáu thành phần phản lực tổng cộng có 24 phản lực Có sáu phương trình cân bậc siêu tĩnh ngoại 18 Để xác định nội lực ta cần giải phóng mặt cắt ta có sáu bậc siêu tĩnh nội Tổng cộng 24 bậc siêu tĩnh

Ta xét hệ lưới Hình 11.5, chịu lực vng góc với mặt phẳng xz nên

các thành phần phản lực X, Z, My gối đỡ nội lực X, Z, MY phần tử

sẽ triệt tiêu Như tổng cộng ta có 24 phản lực ba phương trình cân suy hệ có 21 bậc siêu tĩnh ngoại Để tìm nội lực ta cần giải phóng nội lực bốn ta có ba bậc siêu tĩnh nội Hệ có tổng cộng 24 bậc siêu tĩnh Trường hợp hệ lưới khơng chịu xoắn có nghĩa liên kết liên kết khớp mô men xoắn bị triệt tiêu nên hệ 12 bậc siêu tĩnh

Hình 10.4 Hệ khung khơng gian Hình 10.5 Hệ lưới ngang

Xác định bậc siêu tĩnh

Xét dàn phẳng có r phản lực, m phần tử j nút khớp

+ Lực cần tìm gồm m nội lực thanh, r phản lực, tổng cộng có m+r

+ Tại nút có hai phương trình cân

;

,

0 x

x F

F

vậy tổng 2j phương trình

+ Vậy số bậc siêu tĩnh là:

j r m

i ( ) (10.3)

X Y

Z MX

My

Mz

x y

z

Mz

Mx

Với dàn khơng gian có r phản lực, m phần tử j nút khớp ta có

+ Tại nút có ba phương trình cân

, ,

, 0

0 x z

x F F

F

+ Vậy số bậc siêu tĩnh

j r m

i ( ) (10.4)

Ví dụ tìm bậc siêu tĩnh cho kết cấu Hình 11.6 dàn phẳng (a) r=4, m=18, j=10 i=2,

dàn không gian (b) m=3, r=9, j=4, i=0 dàn tĩnh định, dàn (c) m=13, r=12, j=8 i=1

Hình 10.6 Tính bậc siêu tĩnh cho hệ dàn

Xét khung phẳng có m phần tử, r phản lực j nút liên kết cứng

+ Nội lực (Hình 10.7a) tìm ta biết ba sáu

lực đầu phần tử có ba nội lực cần tìm, tổng lực cần tìm 3m+r

+ Tại nút có ba phương trình cân gồm hai phương trình lực

phương trình mơ men

, ,

, 0

0 x z

x F M

F

+ Như số bậc siêu tĩnh:

R1 R2 R4

(a) m=18, r=4, j=10 i=2 R3

(b) m=3, r=9, j=4 i=0 R1

R2 R3

j r m

i (3 ) (10.5)

Khung không gian với m phần tử, j nút, r phản lực

+ Nội lực (Hình 10.7c) tìm ta biết sáu 12

lực đầu phần tử có sáu nội lực cần tìm, tổng lực cần tìm 6m+r

+ Phương trình: nút có đủ sáu phương trình cân gồm ba

phương trình lực ba phương trình mơ men (10.1)

+ Số bậc siêu tĩnh:

j r m

i (6 ) (10.6)

Ví dụ khung phẳng (Hình 10.7b) có bảy m=7, bốn phản lực r=4, sáu nút

j=6 có bậc siêu tĩnh i (3 4) Còn khung khơng gian (Hình

10.7d) có tám m=8, có bốn nút bị ngàm chặt nên số phản lực r=24, có tổng

cộng tám nút j=8, bậc siêu tĩnh i (6 24) 24

Hình 10.7 Tính bậc siêu tĩnh cho khung phẳng khung không gian (b) m=7, r=4, j=6 i=7

x y

z

R1

R2 R3 R4

F1

F2

F3

F4

F5

F6

F12

F9

F10

F7

F8 F11

F1

F2

F3

F6

F5

(c) Lực đầu phần tử (a) Lực đầu phần tử

F4

Mx

Mz

My

X Z Y

10.2 Bậc tự

Các phương pháp chung giải tốn siêu tĩnh

Mục đích phân tích kết cấu tìm ngoại lực (các thành phần phản lực) nội lực thỏa mãn điều kiện cân bằng, điều kiện liên kết Biến dạng lực gây đảm bảo tính tương thích, tính liên tục điều kiện gối đỡ

Như biết để phân tích hệ siêu tĩnh ngồi phương trình cân ta cần đưa thêm liên hệ hình học biến dạng - gọi điều kiện hình học (hay điều kiện tương thích) Các liên hệ đảm bảo tính tương thích chuyển vị với hình học kết cấu

Có hai cách tiếp cận để phân tích kết cấu

Phương pháp lực (hay phương pháp độ mềm): ta giải phóng số liên kết để kết cấu thành tĩnh định Sẽ xuất khơng tương thích chuyển vị Sự khơng tương thích điều chỉnh cách đặt thêm lực Phương pháp chuyển vị (phương pháp độ cứng) ta thêm ràng buộc hạn chế chuyển vị, xác định phản lực ràng buộc đó, sau cho phản lực khơng để xác định chuyển vị điểm bị hạn chế

Phương pháp lực: ta chọn ẩn lực cần để đảm bảo tính tương thích hình học, thường dẫn đến giải hệ phương trình với số ẩn số lực cần xác định

Phương pháp chuyển vị: ta chọn ẩn chuyển vị nút, số lực ràng buộc thêm vào số chuyển vị nút Như chuyển vị cần tìm khơng xác định động học.được gọi bậc tư

Xác định bậc tự hệ

Như chuyển vị nút ẩn phương pháp chuyển vị Ví dụ Hình 10.8 ngàm C khơng có chuyển vị, gối đỡ A, B, khơng có chuyển vị

thẳng có góc xoay Vậy số chuyển vị chưa biết hai gồm D1 D2

Hình 10.8 Ví dụ bậc tự D1

D2

Chuyển vị nút độc lập chuyển vị thay đổi độc lập, không phụ thuộc vào thay đổi chuyển vị khác Số chuyển vị nút độc lập số bậc tự (bậc không xác định động học) hệ

Chú ý phân biệt bậc siêu tĩnh bậc tự Hệ Hình 10.6b bậc siêu tĩnh khơng bậc tự ba Cịn hệ hình 10.6c bậc siêu tĩnh một, bậc tự 12

Hình 10.9 Ví dụ bậc tự số kết cấu

Trên Hình 10.9 ví dụ xác định bậc tự hệ Hệ dàn phẳng (Hình 10.9c) có hai bậc tự chuyển vị ngang chuyển vị dọc nút A Hệ khung khơng gian (Hình 10.9b) có 24 bậc tự Mỗi nút tự khung thực chuyển vị thẳng chuyển vị xoay tổng số sáu bậc tư Hệ có bốn nút A, B, C D nên hệ có 24 bậc tự Hệ lưới ngang (Hình 10.9c) có 12 bậc tự do, nút tự lưới thực chuyển vị thẳng đứng hai chuyển vị quay tổng số bậc tự Hệ có bốn nút A, B, C D nên hệ có 12 bậc tự

10.3 Đường ảnh hưởng

Khi thiết kế ta quan tâm đến nội lực tác động tải cố định hoạt tải Ví dụ tải cố định tải trọng thân, cịn hoạt tải máy móc đặt sản,

D1

D2 P

A

D1

D3

D2 D4

D5

D6

P A

B C

D

D1

D2

D3

P

A

B C

tải bánh xe tác động lên cầu Khi phân tích hoạt tải thường biểu diễn tải phân bố hay tổ hợp tải tập trung

Khi thiết kế ta quan tâm đến giá trị cực đại nội lực mặt cắt khác Do hoạt tải đặt vị trí làm cho nội lực đạt cực đại Để xác định vị trí tải di động gây nội lực cực đại người ta dùng đường ảnh hưởng

Đầu tiên ta xét ảnh hưởng tải di động lên dầm đơn giản

10.3.1 Ảnh hưởng lực tập trung

Xét ảnh hưởng lực tập trung chuyển động dọc dầm đơn giản Hình 10.13a Tại mặt cắt n dầm biểu đồ lực cắt moment Hình 10.13b c Cơng thức tính lực cắt moment cực đại có dạng

l l-x x P M

l x P V

l l-x P

Vnmax ; nmax ; nmax (10.7)

Đường bao lực cắt cực đại biểu diễn Hình 10.13d đường thẳng, đường bao moment cực đại biểu diễn Hình 10.13e đường parabol bậc hai Chúng gọi biểu đồ lực cặt cực đại biểu đồ moment cực đại, chúng biểu diễn nội lực cực đại mà mặt cắt phải chịu thiết kế

Hình 10.13

10.3.2 Ảnh hưởng lực phân bố

Dầm chịu lực phân bố đặt toàn phần độ dài Moment cực đại xuất lực phân bố toàn độ dài dầm Còn lực cắt dương (âm) đạt cực đại lưc phân bố năm toàn phân bên phải (bên

l P(l-x)

l Px

l x l Px( )

P

P

P

4

Pl

x

(a)

(b)

(c)

(d)

trái) mặt cắt Cơng thức tính lực cắt moment cực đại mặt cắt có dạng 2 2

2 x l-x

q M l x q V l l-x q

Vnmax ; nmax ; nmax (10.8)

Biểu đồ lực cắt cực đại moment cực đại biểu diễn Hình 10.14, chúng parabol bậc hai

Hình 10.14

10.3.3 Ảnh hưởng hai lực tập trung

Hai lực tập trung P1 P2, khoảng cách hai lực s chuyển động dọc treo độ

dài dầm Cơng thức tính lực cắt moment cực đại mặt cắt bât kỳ có dạng s l x x l s x l P P l l-x x

Mnmax (10.9)

l x s x l s x l P P l l-x x

Mnmax (10.10)

s l x l s x l P l x l P

Vnmax (10.11)

l x s l x P l x s P

Vnmax 1 2 (10.12)

Biểu đồ lực cắt cực đại moment cực đại biểu diễn Hình 10.15,

Khi dầm có lực P1 P2

l x s l khi l l-x x P

Mnmax 1 (10.13)

l x s l khi l l-x P

Vnmax 1 ; (10.14)

l x s khi l x P

Vnmax 2 ; (10.15)

Hình 10.15

10.3.4 Ảnh hưởng nhiều lực tập trung

Xét mặt cắt n (Hình 10.16a), moment đại cực đại lực tập trung di động đặt vào mặt cắt

Hình 10.16

Ta thử tính cho lực tìm lực gây moment cực đại Mn+max Còn

lực cắt dương đạt cực đại tất lực nằm bên phải n (10.16c) Tương tự lực cắt âm đạt cực đại tất lực nằm bên trái n (10.16d)

Ta xét ví trí mà moment đạt cực đại tuyệt đối biểu đồ moment cực đại Thường ví trí gần ví trí hợp lực Ta giả thiết moment cực đại tuyệt

P1 P2 P3 Pm

s1 s2 sm-1

Hợp lực = P n

x

c

P1 P2 P3 Pm

n

P1 P2 P3 Pm

n

P1 P2 P3 Pm

c/2 c/2 (a) (b) (d) (c) B 2 2 1 2 2 l P P s q l l M l P P q P P lP l P P lP s BC AC C AC / ) ( ) /( ) /( + s s

ptr (10.11) ptr (10.12)

ptr(10.15) ptr (10.12) A AC l AC l MC

A C

ptr (10.9) ptr (10.10)

đối đạt lực P3 Ta cần xác định ví trí x cho moment uốn Mn đạt cực

đại

2 2

1 s s Ps

P x R

Mn A (10.16)

P l

c x l

RA (10.17)

Giá tri cực đại đạt

x

Mn nên

2

2x c x l c

l l

P dx

dMn (10.18)

10.3.5 Đường ảnh hưởng dầm đơn giản dàn

Trong mục 10.3.1-10.3.4 ta xét ảnh hưởng tải di động dầm đơn giản Trong phần xem xét đường ảnh hưởng lực cắt, moment uốn dầm lực dọc trục hệ dàn gối tựa đơn giản Đường ảnh hưởng xây dựng để biểu diễn giá trị phản ứng mặt cắt định lực đơn vị di động dầm Hình 10.17a biểu diễn đường ảnh hưởng

của lực cắt Vn, moment Mn, phản lực gối tựa RA Rb mặt cắt n dầm đơn

giản

Tung độ mặt cắt x giá trị Vn Mn lực đơn vị đặt

đúng tọa độ x Tung độ dương vẽ xuống Ta xây dựng đường ảnh hưởng cho dầm đơn giản từ toán tĩnh học đơn giản sau Khi lực đơn vị đặt tọa độ x phản lực

l x l

RA

Vậy tung độ đường ảnh hưởng RA RB

l x l

A

R l

x

B

R

Lực cắt n với RA lực đơn vị nằm ví trị đoạn bên phải

từ n đến B Tương tự Vn=-RB lực đơn vị nằm đoạn bên trái từ A đến n

Đối với moment lực đơn vị nằm đoạn bên phải từ B đến n

Hình 10.17

Đối với dàn ta xây dựng đường ảnh hưởng cho nội lực Ta dựng đường ảnh hưởng lực dọc trục từ đường ảnh hưởng phản lực gối đỡ Khi lực nằm đoạn B D ta có

h b R

N1 A

sin A

R

N2

h b R

N3 A2

Còn lực nằm khoảng từ C A h

b R

N1 A3

sin A

R

N2

h b R

N3 A2

Đường ảnh hưởng ba lực dọc trục biểu diễn Hình 10.17 b

l b

0

l bc

B Tải đơn vị di động

Đường ảnh hưởng Vn

A

l c

1

b l c

n

x

n

A

n B

A

B A Đường ảnh hưởng Mn

0

B A

0

Đường ảnh hưởng RB

Đường ảnh hưởng RA

R1

A

R4

C D B

Tải đơn vị di động

R1

A

R4

C D

B N1

N2

N3

h

b

3 /

B

A C

sin /4

B

A C D

D

sin /2

h b/

B

A C D

Đường ảnh hưởng N1

Đường ảnh hưởng N2

Đường ảnh hưởng N3

Ví dụ

Tìm moment lớn lực cắt lớn mặt cắt x=0.4l cho trường hợp ba tải di động Hình 10.18a

Ta dùng phép thử tính cho lực P1, P2 P3 đặt vào n ta

Wl Wl

Mn1 (0,24 0,2 0,16 0,8 0,08 0,8) 0,24

Wl Wl

Mn2 (0,12 0,2 0,24 0,8 0,16 0,8) 0,344

Wl Wl

Mn3 (0 0,2 0,12 0,8 0,24 0,8) 0,288

Wl Wl

Mn4 (0,24 0,8 0,16 0,8 0,08 0,2) 0,336

Wl Wl

Mn5 (0,16 0,8 0,24 0,8) 0,32

Như trường hợp thứ hai lực P2 đặt vào điểm n moment đạt cực đại

Lực cắt đạt cực đại trường hợp đạt tải Hình 11.18d W

W

Vmax (0.6 0.8 0.4 0.8 0.2 0.2) 0.84

W W

Vmax (0 0.2 0.2 0.8 0.4 0.2) 0.48

Hình 10.18

B

A b c

l

n l 0,

s s 0,2l

W P

2

1

, W

P

2

, W

P

3

, s

b a

d c

l bc

n B

A

Đường ảnh hưởng Mn

3

P P2 P1

1

P P2 P3

l b

0 1,

Đường ảnh hưởng Vn l

c

1,

n

Kết luận chương 10

Phần lớn kết cấu thực tế siêu tĩnh, cần phải xác định bậc siêu tĩnh kết cấu ta sử dụng phương pháp độ mềm Bậc siêu tĩnh phân làm loại sau: siêu tĩnh nội, siêu tĩnh ngoại hỗn hợp Những kết cấu đơn giản ta xác định bậc siêu tĩnh dựa vào hình vẽ Đối với kết cấu phức tạp ta có cơng thức (10.4), (10.6), (10.7) (10.8) để xác định bậc siêu tĩnh hệ dàn phẳng, dàn không gian (khớp nối nút), khung phẳng khung không gian (nối cứng nút)

Có hai phương pháp phân tích kết cấu Phương pháp thứ phương pháp lực hay gọi phương pháp độ mềm Phương pháp giải phóng liên kết để kết cấu trở thành tĩnh định, sau tính tổng chuyển vị sai lệch chuyển vị hiệu chỉnh cách đặt lực dư vào hướng liên kết giải phóng Như ta có phương trình tương thích, lời giải chúng lực cần tìm

Trong phương pháp chuyển vị (phương pháp độ cứng) ta đưa vào ràng buộc nút Sau tính lực ràng buộc hạn chế chuyển vị Tiếp theo cho phép chuyển vị hướng có lực ràng buộc cho lực ràng buộc triệt tiêu Như ta có hệ phương trình cân bằng, lời giải hệ chuyển vị cần tìm Nội lực kết cấu xác định phép tổ hợp tác động chuyển vị vừa tính chuyển vị lực ngoại lực kết cấu bị hạn chế dich chuyển

Bài tập chương 10

10.1 Với kết cấu

– Xác định bậc siêu tĩnh đưa giải phóng liên kết thích hợp để kết cấu

trở thành tĩnh định

– Xác định bậc tự chuyển vị

10.2.Vẽ biểu đồ lực cắt biểu đồ moment cho dầm khung

10.3 Xác định moment uốn cực đại ví trí dầm đơn giản có độ

l chịu trường hợp tải trọng di động sau

a) Hai lực P1=P2=W, khoảng cách hai lực s=0.2l

b) Hai lực P1=P2=W, khoảng cách hai lực s=0.55l

c) Ba lực P1=P2=W, P3=0.5W khoảng cách lực s=0.2l

d) Ba lực P1=0.2W, P2=P3=0.8W khoảng cách lực s=0.2l

l

6

l

4

0 0.2l

ql 0.5ql

A

B

C D

l

l l

o

90

D A

C P

152

CHƯƠNG 11

Phương pháp lực

11.1 Mô tả phương pháp

1 Đầu tiên xác định bậc siêu tĩnh Đưa hệ siêu tĩnh hệ tĩnh định cách

giải phóng số liên kết, có nghĩa bỏ số phản lực hay nội lực (phải đảm bảo kết cấu ổn định) Số liên kết cần giải phóng số bậc siêu tĩnh Nói chung lực cần giải phóng (được gọi lực dư) cần lựa chọn

cho hệ kết cấu giải phóng thành tĩnh định dễ phân tích Chú ý việc

lựa chọn không nhất.

2 Khi giải phóng liên kết dẫn đến khơng tương thích chuyển vị

Do bước thứ hai phải xác định sai lệch chuyển vị hệ tĩnh định (đã giải phóng liên kết) Ta tính sai lệch chuyển vị tọa độ ứng với lực dư chọn Những sai lệch ngoại lực, lún gối đỡ hay biến dạng nhiệt

3 Bước thứ ta cho hệ tĩnh định (đã giải phóng liên kết) chịu lực dư đơn vị,

sau xác định chuyển vị Những chuyển vị có vị trí hướng chuyển vị xác định bước

4 Ta thấy lực dư tọa độ chọn phải có giá trị cho sai

lệch chuyển vị bị triệt tiêu Như vậy, ta có phương trình tổng hợp chuyển vị lực dư riêng biệt (xác định bước thứ 3) cộng với chuyển vị tương ứng hệ tĩnh định (xác định bước thứ 2)

5 Từ ta tìm lực kết cấu siêu tĩnh ban đầu: chúng tổng lực dư

lực hệ tĩnh định (đã giải phóng liên kết) Quy trình trình bày qua ví dụ

Hệ có hai bậc siêu tĩnh cần giải phóng hai lực dư Có số lựa chọn: bỏ lực phản lực thẳng đứng A B (Hình 11.2a); bỏ mơ men C thêm khớp nối B (Hình 11.2b) Dưới ta chọn phương án giải phóng phản lực thẳng đứng B mô men uốn C đưa hệ dầm đơn giản Hình 11.1.b Ta gọi vị trí hướng lực dư chuyển vị hệ tọa độ

Hướng lực dư F1 , F2 tùy chọn Sau hướng chuyển vị

phải tương ứng với lực dư Để thuận tiện ta dùng ký hiệu số 1, 2, n

Hình 11.1 Ví dụ mơ tả phương pháp lực

Trong ví dụ lực dư chuyển vị F1, M2 D1, D2 (Hình 11.1b)

Trên sơ đồ hệ tĩnh định ta xác định chuyển vị D1 D2 tác động

lực phân bố (Hình 11.1.c) Chúng sai lệch chuyển vị, thực tế (Hình 11.1a) chuyển vị phải khơng Sử dụng phụ lục ta tính

được giá trị chuyển vị D1 D2

Sau tìm chuyển vị gây tác động lực dư đơn vị (như Hình 11.1.d 8.1.e) Cũng sử dụng phụ lục ta có

EI l f EI l f

4

2 12

11 EI

l f EI l f

3

4 22

3

21 (11.2)

Tổng quát fij chuyển vị tọa độ thứ i lực đơn vị tọa độ thứ j gây

R5

R3

q

l l

R

1

R2

R4

D2

D1

ql ql

q

f11

1

f21

f12 f22

14

ql

7

8ql

a

M2, D2

F1, D1

b

c d

e

f B

A

C

1/2 1/2

Điều kiện hình học tốn điều kiện chuyển vị thẳng đứng

tại điểm B (D1) chuyển vị xoay điểm C (D2) bị triệt tiêu

Chuyển vị tổng cộng tọa độ chọn tổ hợp tác động ngoại lực lực dư hệ tĩnh định giải phóng Như điều kiện hình học viết

0 22 21 2 12 11 F f F f D F f F f D (11.3)

Thế biểu thức (11.1) D1, D2, (11.2) f11, f21, f12, f22 vào (11.3) ta

có thể tìm lực dư F1 F2

11.2 Ma trận độ mềm

Phương trình (11.3) viết dạng ma trận

D F f (11.4) 22 21 12 11 F F F f f f f f D D D

Véc tơ {D} phụ thuộc vào ngoại lực Ma trận f chuyển vị lực dư đơn vị gây ra, ma trận f phụ thuộc vào đặc trưng kết cấu gọi ma trận độ mềm, phần tử ma trận gọi hệ số ảnh hưởng mềm

Các thành phần vectơ lực dư {F} xác định từ phương trình sau

D f

F

(11.5) Trong ví dụ Hình 11.1

2 2 3 3 12 4

24 l l

l l EI f EI l EI l EI l EI l f l EI ql D

Giải phương trình (11.5) ta lực dư

Kết ta hệ lực tác động lên hệ tĩnh định hình (11.1.f) Sau phương pháp thơng thường ta tìm nội lực phản lực

Chú ý ma trận độ mềm phụ thuộc vào hệ lực dư ta chọn Cũng với Ví dụ 11.1 ta chọn hệ lực dư khác

Hình 11.2 Hệ lực dư khác cho kết cấu siêu tĩnh

Với trình tự trình bày cho hai hệ tọa độ ta có véc tơ chuyển vi ma trận độ mềm lực dư sau

(a) ; ; ; .

32 11 28 16

5

5 16 17

48

24

1

4 ql

F l

EI f

EI l f EI

ql

D

(b) ; ; ; .

2 28

1

1

2 24

2

3 ql

F l

EI f

EI l f EI

ql D

Đáp ứng kết cấu (phản lực nội lực) xác định tổ hợp ảnh hưởng ngoại lực lực dư

n uin ui

ui si

i A A F A F A F

A 1 1 2 2 (11.6)

trong Ai – đáp ứng (có thể phản lực gối đỡ, lực cắt, lực dọc trục,

mô men xoắn mô men uốn) mặt cắt kết cấu thực

Asi - đáp ứng tính cho kết cấu giải phóng liên kết

dưới tác động ngoại lực

Aui1, Aui2, ,Auin,- đáp ứng tương ứng lực đơn vị tác động tọa

độ 1,2, ,n với kết cấu giải phóng liên kết

F1, F2, , Fn – lực dư tác động vào kết cấu giải phóng

Dưới dạng ma trận a

2

b

B C A

1

A

B C

1

1 s m u mn n

m A A F

A (11.7) umn um um n u u u n u u u u sn s s s

n A A A

A A A A A A A A A A A A A A A 2 22 21 12 11 2 ,

Chú ý đơn vị thành phần ma trận độ mềm không thiết đồng chúng đại diện cho chuyển vị thẳng góc xoay

Ta tính phản lực gối đỡ cho Ví dụ 11.1 Từ Hình 11.1 c,d e ta có

các vectơ As ma trận Au sau

ql ql R R R ql R R bs As s Cs As 1 C A R

R ; ;

l R

RA C

2 2 l l R R R R R Bu Bu Au Au u / / 1 1 2 ;

Sử dụng (11.7) ta tính

13 11 28 16 1 1 28 ql l l l ql ql ql F R R R R

R s u

C A / / 28 13 28

11ql R ql

RA ; C

11.3 Giải toán với trường hợp đặt tải khác

Khi có p trường hợp tải khác tác động lên kết cấu ta sử dụng phương trình (11.3) để tìm lực dư mà khơng cần tính lại ma trận độ mềm, ta tổ hợp thành phương trình ma trận

p n n

n p

n f D

F (11.8)

p n n m u p m p

m A A F

A (11.9)

11.3.1 Ảnh hưởng chuyển vị nút: ảnh hưởng môi trường

Phương pháp lực dùng để giải kết cấu chịu ảnh hưởng khác ngồi lực tác động Ví dụ di chuyển gối đỡ (do gối đỡ bị lún, hay thay đổi nhiệt không gối đỡ) gây nội lực

Nếu kết cấu bị hạn chế chuyển vị gây nội lực Ví dụ nhiệt độ thay đổi dầm khơng đồng

Co ngót bê tông gây nội lực kết cấu hiệu ứng thay đổi nhiệt Hiệu ứng bê tông dư ứng lực gây nội lực

11.3.2 Ảnh hưởng chuyển vị tọa độ

Khi gối đỡ chuyển vị theo tọa độ lực dư mà ta chọn hệ phương trình (11.3) thay đổi Điều kiện hình học có dạng

2 22 21

1 12 11

F f F f D

F f F f D

(11.10) Để tìm lực dư ta có phương trình dạng ma trận

D f

F , với

n

(11.11)

Khi phương trình (11.8) thành

p n n

n p

n f D

F (11.12)

11.4 Năm bước giải phương pháp lực

Bước Chọn liên kết cần giải phóng xác định hệ tọa độ Đồng thời xác định

[A]m n đáp ứng cần tìm quy ước dấu cần

Bước Xác định [D]n p [ ]n p [As]m p ngoại lực tác động lên hệ tĩnh định (hệ

kết cấu giải phóng liên kết)

Bước Thiết lập ma trận [f]n n [Au]m p lực dư đơn vị tác động lên hệ tĩnh

Bước Tìm lực dư [F]n p từ phương trình hình học p

n p

n n

n F D

f

Bước Tìm đáp ứng từ tổ hợp

p n n m u p m s p

m A A F

A

Ở có ký hiệu:

n,p,m - số lực dư, số trường hợp tải, số đáp ứng (phản lực hay nội lực) [A] – đáp ứng cần xác định - lời giải toán

[As] – đáp ứng ngoại lực tác động lên kết cấu giải phóng liên kết

[Au] – đáp ứng lực dư đơn vị tác động riêng biệt tọa độ lên kết cấu

đã giải phóng liên kết

[D] - chuyển vị lực tác động gây tọa độ Chuyển vị cần triệt tiêu lực dư

[ ] - chuyển vị cho trước [f] – ma trận độ mềm

Sau bước thứ ma trận cần thiết để giải toán xác định Hai bước lại đơn phép tính đại số

Ví dụ 11.2 Xét ví dụ Hình 11.1 cho trường hợp gối đỡ di chuyển Hình 11.3: (a) Điểm A lún xuống đoạn l/100; (b) Điểm B lún xuống đoạn l/100 điểm C xoay theo chiều kim đồng hồ góc =0,004 rad

Lời giải: Trường hợp (a) với hệ tọa độ Hình 11.1b lún gối A không ứng với tọa độ lực dư nên =0, sai lệch chuyển vị (Hình 11.3a) xác định dễ dàng:

0 005

0 005

, , l D

Trường hợp (b) chuyển vị cho trước không gây sai lệch D=0, chuyển vị cho trước trùng với tọa độ lực dư nên

004 005

01 005 0

0 004

0 01

, ,

, ,

,

, l l

D D

Hình 11.3 Ví dụ tính tốn với chuyển vị cho trước Thế vào phương trình (11.12) ta có

2 3 038 005 092 025 12 004 005 01 005 3 12 l l l l l EI l l l l l l EI F , , , , , , , ,

Để tính phản lực gối đỡ ta sử dụng ma trận Ru tính ví dụ ta

giữ nguyên hệ tọa độ chọn Cịn ma trận Rs=0, nên ta có

065 015 027 01 12 038 005 092 025 1 1 12 2 , , , , , , , , l EI l l l l l EI R R R R R Cb Ca Ab Aa

D2=-0,005

a 0,01l

D1=-0,005l

0,01l b 175 l EI 70 l EI 350 l EI l EI 700 0,004 0,01l c 1750 81 l EI 875 138 l

EI 1750

2

2

2 1750

195 350

9 1750

81 175

3

l EI R

l EI R

l EI R

l EI

RA(a) ; A(b) ; C(a) ; C(b)

Ví dụ 11.3 Phân tích dầm liên tục độ cứng khơng đổi EI (Hình 11.4) với trường hợp tải: a Tải phân bố q (a); b Gối A lún đơn vị (d) c Gối B lún đơn vị (e)

Để đưa kết cấu thành tĩnh định ta giải phóng liên kết cách đưa vào khớp gối đỡ Bằng cách ta giải phóng hai mô men độ lớn ngược hướng tác động hai phía gối đỡ đưa kết cấu loạt dầm đơn giản Những mơ men uốn gọi mơ men liên kết

Sự sai lệch chuyển vị góc xoay điểm nối dầm liền kề -góc đường tiếp tuyến hai dầm liền kề (Hình 11.4.b)

Bước Thực Hình 11.4b Phản lực gối đỡ có: RA, RB, RC, RD, RE

Bước Sử dụng phương trình 11.12 tìm sai lệch chuyển vị cho trường hợp

– Trường hợp (a) tải phân bố (Hình 11.4c) sử dụng Phụ lục ta tính

0 0

1 12

3

EI ql

D

2

ql ql ql ql ql

R T

Sa

– Trường hợp gối A lún xuống đơn vị (Hình 11.4c) trường hợp gối B lún

xuống đơn vị (Hình 11.4d) khơng ứng với tọa độ lực dư chọn nên véctơ khơng, ta tính chuyển vị sai lệch sau

a

0 0

0 1

l

D ;

b

0 0

1

l D

cả hai trường hợp b, c vectơ phản lực {RSb}=0 {Rsc}=0

0 12

1 12

2 12

3 3

EI

qlEI l

qlEI l l

ql D

0

0

0

0

0

ql ql ql ql ql As

Hình 11.4 Giải phóng liên kết cho hệ dầm liên tục khớp q

l

l l l

A B C D E

1

1

1

D1 D2 D3

1

1 D1

D1

D2

f11

f21

f31=0

f13=0

f23

f33

a

b

c

d

e

f

h ql/2

ql ql ql ql/2

1/l 1/l

2/l

1/l

2/l 1/l

f12

f22 f32

Bước Thiết lập ma trận [f] ma trận [Au] Đặt cặp lực dư cặp mơ men

có độ lớn ngược hướng vào điểm B, C, D tương ứng, sử dụng Phụ lục ta tính thành phần ma trận độ mềm (Hình 11.4 f,g,h)

4 1 1 6EI l f 15 4 16 4 15 28 l EI f

Cũng hình (11.4f,g,h) ta thiết lập ma trận [Au]

l l l l l l l l l Au / / / / / / / / / 0 1 1 0

Bước Từ phương trình (11.12) ta tính mơ men uốn gối B, C, D Mỗi cột ma trận F ứng trường hợp tải nêu ví dụ

2 2 2 2 2 3 14 28 28 18 14 14 51 28 45 28 0 12 12 12 15 4 16 4 15 28 l EI l EI ql l EI l EI ql l EI l EI ql EI

qlEI l

qlEI l l

ql

l EI

F

Bước Tính phản lực gối RA, RB, RC, RD, RE sử dụng phương trình (11.9)

Phản lực, biểu đồ lực cắt mô men cho Hình 11.5

Hình 11.5 Biểu đồ nội lực cho dầm liên tục ví dụ 11.2

q

1 l l

A B C D E

1 1

5

1

D1

D2

a

b

c

d

g

1 1

3

3 e

4

1

3 f

1

3 2

2,16 1,02 1,02 2,16

4

9 h

5

8

5

9

i

4 102

72 18

EI ql

28

28

ql

28

ql

3

28l

EI

2

28l

EI

3 28l

EI

3

14l

EI

2

14l

11.5 Phương trình ba mô men

Trong thực tế thiết kế ta thường gặp tốn phân tích dầm liên tục chịu lực cắt với gối đỡ bị lún Đơn giản hóa phương pháp lực áp dụng cho trường hợp cụ thể dẫn đến phương trình ba mơ men

Trên Hình 11.6 ta xét nhịp dầm liền kề dầm liên tục Ta xét nhịp dầm

bên trái bên phải gối đỡ thứ i với độ dài ltr lph, độ cứng EItr EIph Các

gối đỡ i-1, i, i+1 độ lún chúng ký hiệu i-1, i, i+1

Hình 11.6 Thiết lập phương trình cho gối i

Ta đưa hệ tĩnh định cách đưa khớp gối đỡ cho nhịp dầm làm việc dầm đơn giản (Ví dụ 11.3) Qui ước dấu Ví dụ 11.3

Sự sai lệch chuyển vị góc xoay tương đối nhịp dầm liền kề, Hình 11.6b c

i i i

D (11.13)

Các lực dư {Fi} mơ men liên kết {Mi}, giá trị chúng phải đảm

bảo cho góc xoay bị triệt tiêu Ta có phương trình thỏa mãn điều kiện liên tục điểm i

0 1

1 i i i ii i

i i

i f F fF f F

D , , (11.14)

các hệ số fi hệ số độ mềm kết cấu giải phóng Trên Hình 11.7a trình

bày dầm đơn giản chịu mô men đơn vị đầu 11.7b biểu đồ mơ men cịn 11.7c đường cong chuyển vị góc xoay A B (Phụ lục 1)

Áp dụng kết ta có hệ số độ mềm i-1

ltr lph

i i+1

i

i-1 i+1

i

Fi-1=Mi-1 Fi=Mi Fi+1=Mi+1

i

a b

ph ph i

i ph ph tr

tr i i tr tr i

i EI

l f

EI l EI

l f EI l f

6

3

6

1 , ,

, , ,

Hình 11.7 Các hệ số độ mềm Như phương trình 11.14 có dạng

i ph

ph i ph

ph tr tr i tr

tr

i D

EI l M EI

l EI

l M EI

l

M 1 1 (11.15)

Khi độ cứng tồn dầm khơng đổi ta có phương trình ba mơ men

i ph

i ph tr i tr

i l M l l M l EID

M (11.16)

Viết phương trình cho gối đỡ hệ phương trình, lời giải

là mơ men cần tìm Góc xoay Di tính từ phương trình (11.13) với góc i

xác định từ Hình 11.6c

r i i l

i i

i l l (11.17)

và góc i xác định phụ lục

Ví dụ 11.4 Tìm biểu đồ mơ men cho dầm Hình 11.8a với hai trường hợp tải a Lực thẳng đứng Hình 11.8a

b Gối đỡ B C lún xuống b/100 b/200 Độ cứng dầm không đổi EI

Phương trình ba mơ men áp dụng cho nút A B để tìm mơ men đó, điểm C ta dễ dàng tìm trường hợp a

2 qb

MC , trường hợp b MC=0

Đầu tiên ta tìm sai lệch chuyển vị theo công thức (11.13)

EI l

3 EI

l

6

1

1

a

b c

l

Chú ý trường hợp a =0, trường hợp b =0 Dùng phụ lục cơng thức 8.17 ta tìm

EI qbEI qb

Da 3

3 208 208 , , ; 00325 002 , , b D

Dùng phương trình 8.15 ta có trường hợp a

EI qb M M EI b

1 5208

10 ) ,

( EI qb qb M M EI

b

2

1 5208

2 18

5 ,

và cho trường hợp b

002

10 1 2) ,

( M M

EI b 00325 18

5M1 M2 ,

EI b

Có thể viết chung dạng ma trận

0195 25 29 0120 25 31 18 5 10 3 , , , , EI qbEI qb M EI b b EI qb b EI qb M 1000 65 879 1000 02 686 2 , , , ,

Biểu đồ mơ men cho Hình 11.8 b c

Chú ý trường hợp (a) vẽ biểu đồ mô men để tìm phương trình đường parabol cho đoạn dầm chịu lực phân bố ta phải tìm phản lực điểm A Phản lực tìm ta biết mơ men A B, cụ thể ta có phương trình

qb b M b M R bR b q M

M A B

A A A B 2 5 5 )2

(

x R qx M

M A A

2

Hình 11.8 Biểu đồ nội lực cho dầm ví dụ 11.4

Có thể vẽ theo cách đơn giản hơn: ta đặt giá trị mô men A B tạm thời nối lại đường thẳng, đoạn AB có lực phân bố nên điểm

đoạn thẳng vừa nối ta hạ xuống đoạn ql2/8, nối ba điểm

parabol ta biểu đồ mô men cho đoạn AB

Đoạn BC CD dễ dàng vẽ biểu đồ mơ men khơng có lực tập trung lực phân bố nên biểu đồ mô men đường thẳng nối điểm mà ta có giá trị mơ men Tương tự trường hợp b nội lực sinh lún gối đỡ Ta tính mơ men A B, cịn C mô men không Biểu đồ mô men đường thẳng nối điểm với giá trị mô men biết

Kết luận chương 11

Phương pháp lực áp dụng cho kết cấu chịu tải trọng môi trường

5b 4b

q

a

b

c

b

2

qb

2

qb

686

2,

879

0, 0,5

A B C

d 02

2,

b EI

1000 65

Lời giải phương trình tương thích xây dựng cách trực tiếp cho ta lực cần tìm

Số phương trình với số lực dư với bậc siêu tĩnh

Bài tập chương 11

11.1 Dùng phương pháp lực tìm phản lực liên kết vẽ biểu đồ M Q cho trường hợp dầm siêu tĩnh hình vẽ sau Độ cứng dầm khơng thay đổi EI

Bài 11.1

2.2 Dùng phương trình ba moment vẽ biểu đồ moment biểu đồ lực cắt dầm liên tục hình vẽ sau với hai trường hợp tải trọng

- Chịu tải trọng bên hình vẽ

- Gối đỡ B lún xuống đoạn l/2000

Độ cứng dầm không thay đổi EI

B

A q

l l

B

A q

l l l

B

A P

l l l

B

A q

l l

B

A q

l l

P

B

A M

l l l

M

B A

2l l

P

B A

2l l

M

B A

2l l

q

B C D

A q

Bài 11.2

B C D

A q

2l/3

ql

l l/3

l/3 2l/3

ql

B C

D A

q 0,8l

0,2l l

B C D

A

q

l 1,4l l

E

l/2 2ql

B C

D A

q

l

E

ql

l/3

2

ql

l/3

l/3

l/3

171

CHƯƠNG 12

Phương pháp chuyển vị

12.1 Mô tả phương pháp

1 Đầu tiên cần xác định bậc tự hệ Thiết lập hệ tọa độ để xác định vị trí

và hướng chuyển vị nút Số lực hạn chế với số bậc tự đặt vào tọa độ để ngăn cản chuyển vị nút Chú ý khác với phương pháp lực ta lựa chọn Chính điều ưu điểm lập chương trình tính tốn phân tích kết cấu

2 Sau lực hạn chế xác định tổng lực đầu phân tử tất

cả phần tử nối vào nút Phụ lục cho ta bảng lực đầu phần tử cho trường hợp chịu lực thường gặp

Chú ý lực hạn chế cần ngăn cản chuyển vị tác động ví dụ ngoại lực, thay đổi nhiệt độ hay dư ứng lực Các hiệu ứng xem xét riêng biệt hay đồng thời

Trường hợp kể đến tác động di chuyển nút kết cấu ví dụ lún gối đỡ lực gây nên di chuyển phải kể đến lực hạn chế

Nội lực ví trí cần tìm phần tử xác định cho cấu hình bị hạn chế

3 Bước kết cấu giả thiết biến dạng theo cách sau: tọa độ

được giả thiết có chuyển vị đơn vị, tọa độ khác cho chuyển vị khơng Sau xác đinh lực hạn chế để kết cấu cấu hình giả định Các lực áp đặt vào tọa độ đại diện cho bậc tự Đồng thời ứng với cấu hình giả định ta xác định nội lực vị trí cần tìm Bước tính lặp lại cho tọa độ

4 Tiếp theo ta xác định giá trị chuyển vị cho lực hạn chế bị

5 Cuối xác định lực kết cấu siêu tĩnh ban đầu cách cộng lực kết cấu bị hạn chế với lực chuyển vị gây xác định bước

Ví dụ 12.1 Xét giàn phẳng Hình 12.1a gồm m phần tử nối khớp điểm A Tìm nội lực tác động tổ hợp tải sau:

(1) Ngoại lực P đặt điểm A

(2) Thanh thứ k giãn dài đoạn k nhiệt độ tăng

Bậc tự hệ 2: chuyển dịch thẳng nút A mặt phẳng theo

hai trục x y, ta ký hiệu chúng D1 D2 Hướng chuyển vị tùy chọn,

chọn Hình 12.1b

Trường hợp (1) ta hạn chế chuyển dịch điểm A cách đặt lực có độ

lớn lực P có hướng ngược lại Các thành phần F11, F12 theo

hướng 1, 2:

sin cos P F

P F

21 11

Ký hiệu Ei, li module đàn hồi, độ dài diện tích mặt cắt thứ

i đặt i góc với trục x thứ i

Xét trường hợp (2) độ giãn dài k thứ k hạn chế lực

đặt vào điểm A gây nén giá tri giãn Do lực nén

này cần có giá trị akEk/lk k Các thành phần lực nén hai hướng

1

k k k

k k

k k k

k k

l E a F

l E a F

sin cos

22 12

Như tổng lực hạn chế

22 21

12 11

F F F

Hình 12.1 Mơ tả phương pháp chuyển vị

Ta thấy chuyển vị bị ngăn cản, khơng có nội lực trường hợp (1), trường hợp (2) có thứ k có lực nén,

cịn lại khơng có nội lực Ký hiệu {Ar} vectơ lực dọc trục trong

điều kiện kết cấu bị hạn chế chuyển vị, ta có

2 i k

m

A P

i

x

y a

1

x

y b

A A’ x

y d

i

i

cos i

D1=1

S11 S

21

x

y c A A’

D1=1

S12

S22

x

y e

D2=1

A A’

A

A’

x

y f i

i

sin i

0 0

rm

k k

k k rk r r

A

l E a A

A A

Trên Hình 12.1c biểu diễn lực cần để kết cấu biến dạng cấu hình mà

D1=1 D2=0 Từ Hình 12.1d ta thấy chuyển vị sang ngang đơn vị làm i

bất kỳ ngắn đoạn cos i gây lực nén aiEi/li cos i dọc i Do

vậy để giữ điểm A cấu hình ta cần đặt lực aiEi/li cos2 i

i i i i iE l

a / cos sin theo hướng Vậy tổng lực cần để tất

đúng cấu hình

m

i

i i

i i

l E a S

1

2

11 cos

và m

i

i i i

i i

l E a S

1

21 cos sin

Tương tự, để điểm A cấu hình mà D1=0 D2=1 (Hình 12.1e f)

ta cần đặt lực sau

m

i

i i i

i i

l E a S

1

12 cos sin

và m

i

i i

i i

l E a S

1

2

22 sin

Các phần tử Sij có số: số thứ biểu diễn tọa độ lực hạn chế,

chỉ số thứ hai thành phần chuyển vị có giá trị đơn vị

Trong thực tế điểm A dịch chuyển đoạn D1 D2 theo hướng 2,

khơng có lực hạn chế Do tổ hợp lực hạn chế tác động chuyển vị thật phải khơng Ta có quan hệ tĩnh học thể thật

0 22 21

2 12 11

D S D S F

D S D S F

(12.1)

12.2 Ma trận độ cứng

Phương trình (12.1) viết dạng ma trận

0 D S F

F D

S (12.2)

trong

2 22

21 12 11

1

F F F S S

S S S D D D

(có thể so sánh với phương trình quan hệ hình học (11.4) phương pháp lực) Véc tơ {F} phụ thuộc vào tải trọng kết cấu Thành phần ma trận [S] lực ứng với chuyển vị đơn vị Do ma trận [S] phụ thuộc vào đặc trưng kết cấu, chúng thể độ cứng kết cấu Vì [S] gọi ma trận độ cứng thành phần gọi hệ số độ cứng

Các thành phần vectơ chuyển vị {D} xác định từ

F S

D (12.3)

Trường hợp chung, hệ có n bậc tự ta có kích cỡ {D}nx1, [S]nxn,

{F}nx1 Ma trận [S] ma trận vuông đối xứng

Nội lực i xác định tổ hợp điều kiện hạn chế tác động chuyển vị nút

n uin ui

ui ri

i A A D A D A D

A 1 2 (12.4)

Dưới dạng ma trận

1

1 r m u mn n

m A A D

A

trong thành phần {A} tổng lực thanh, thành phần {Ar} lực

trong điều kiện hạn chế, thành phần [Au] lực

thanh ứng với chuyển vị đơn vị Cột j [Au] lực

D A A

A r u (12.5)

trong thành phần {A} tổng lực thanh, thành phần {Ar} lực

trong điều kiện hạn chế, thành phần [Au] lực

thanh ứng với chuyển vị đơn vị Trong ví dụ Hình 12.1

m m

m m m m

m m u

l E a l

E a

l E a l

E a

l E a l

E a

A

sin cos

sin cos

sin cos

2

2 2

1 2

1

1 1

1 1

Khi xét khung với ngàm nút ta cần tìm nội lực mặt cắt hay gối đỡ Chính ta có phương trình dạng tổng qt (12.5), {A} đáp ứng - lực cắt, lực dọc trục, mô men uốn hay mô men xoắn

Ví dụ 12.2 Xét khung phẳng Hình 12.2a gồm phần tử có độ cứng EI nối cứng với Xác định biểu đồ mô men cho khung tác động lực P E F ngẫu lực Pl điểm B Bỏ qua thay đổi độ dài

Hệ có ba bậc tự Hình 12.2b chuyển vị ngang (nút B C coi độ dài khơng đổi), góc xoay B A Ta có hệ tọa độ Hình 12.2b Lực hạn chế tổng lực đầu phần tử tính dùng phụ lục

Hình 12.2.c biểu diễn quan hệ lực đầu phần tử lực hạn chế chuyển vị Các lực tác động nút biểu diễn mũi tên liền, cịn lực có giá trị hướng ngược lại mũi tên ngắt quãng Như cần đặt vào điểm B

lực F1 F2 hướng với mũi tên ngắt quãng để ngăn cản chuyển vị Do

vậy để có lực hạn chế ta cần thêm lực đầu phần tử Hình 12.2d

Hình 12.2 Lập ma trận độ cứng cho ví dụ 12.2 l l P Pl Pl Pl Pl P F 125 125 125 125 , , , , , , (a)

Để vẽ biểu đồ nội lực ta cần tính xác định mô men lực cắt mặt cắt hai đầu Ký hiệu 1, 2, 3, 4, 5, mặt cắt đầu Hình 12.1a Với quy ước dấu mơ men dương quay theo chiều kim đồng hồ, lực

3

A (b)

1 B C

D

F2

F1 B

(c)

2 4

1 A P (a) P Pl

B C

D F E l/2 l/2 l /2 l /2 l /2 -Pl

A (d)

-P/2 B C

D Pl/8

-Pl/8 Pl/8

S11

A (e)

B C

D D1=1

S21 S31

Vu21 Vu11 Mu21 Mu11 Vu51 Mu51 Vu61 Mu61 S12 A (f) B C D D2=1

S22 S32

Vu1 Mu12 Vu22 Mu22 Mu42 Mu32

Vu32 Vu42

S13

A

(g)

B C

D

S23 S

33

D3=1

Vu33

Vu43

Vu53

Vu63

Mu33

Mu43 M

u53

cắt dương làm võng xuống Các giá trị mô men lực cắt ứng với điều kiện hạn chế chuyển vị

0 1 1 Pl Mr 0 1 1 P Vr

Các phần tử ma trận độ cứng lực tọa độ cần để đưa kết cấu đến ví trí Hình 12.2e, f, d Các lực tổng lực đầu phần tử tính theo phụ lục

2 31 21 3 11 24 6 108 12 12 0 l EI l EI S l EI S l EI l EI l EI S D D D ; ; ; ; l EI S l EI S l EI S D D D 32 22 12 ; ; ; ; l EI l EI l EI S l EI S l EI l EI S D D D 12 4 24 0 33 23 2 13 ; ; ;

Ma trận độ cứng [S] có dạng

l l l l l EI l S l l l l l l l l l EI S

l / /

/ / 207 18 45 18 108 45 23 1368 12 24 24 108 2 2 (b)

Ta thể (a) (b) vào phương trình 12.3 nhận

0156 1355 0087 125 207 18 45 18 108 45 23 1368 2 , , , / / / / l EI Pl l l l l l l l EI Pl F S D

; / / / / 24 24 2 0 6 l l l l l EI

Mu ;

/ / / / 24 96 24 96 6 6 0 12 12 l l l l l EI Vu

Moment (lực cắt) mặt cắt đầu tính từ phương trình 12.5:

; , , , , , , , , , / / / / 27083 33333 33333 38542 61458 09375 0156 1355 0087 24 24 2 0 6 0 1 1 Pl l EI Pl l l l l l EI Pl M ; , , , , , , , , , / / / / 20833 20833 21875 21875 20833 20833 0156 1355 0087 24 96 24 96 6 6 0 12 12 0 1 1 2 P l EI Pl l l l l l EI P V

Biểu đồ lực cắt mơ men trình bày Hình 12.3 a b

Hình 12.3 Biểu đồ lực cắt mơ men cho ví dụ 12.2

1,

2083

A a

B C

D 0,2187 ,2 83 1,2187 1, 2187 0,6 A B C D 0,3 0,33 0,27 0,33 0,27

Chú ý: Khi sử dụng chương trình tính tốn nói chung khơng bỏ qua biến dạng dọc trục Lúc khung phẳng nút ta có ba chuyển vị gồm: hai dịch chuyển thẳng góc xoay Tại mặt cắt ta có lực dọc trục, lực cắt mơ men Phương trình (12.5) áp dụng để tính ba nội lực

Khung với nghiêng xét Ví dụ 12.3

Ví dụ 12.3 Vẽ biểu đồ mơ men cho khung Hình 12.4a Độ cứng khơng đổi EI Bỏ qua biến dạng dọc trục

Hình 12.4

Trên Hình 12.4b biểu diễn ba bậc tự ứng với ba tọa độ: hai góc xoay dịch chuyển thẳng Lực đầu phần tử ngoại lực xác định Hình 12.4c Lực

hạn chế F1 F2 xác định cách cộng mô men Để tính lực F3, ta phân

lực cắt nút B nút C thành thành phần dọc theo trục phần tử (Hình 12.4d), sau ta cộng thành phần theo hướng tọa độ thứ

Như ta có

2

3

b A

B C

D

2

1 A

4P

6 =P

B C

D F E

l/2

l/2

0,4l

0,4l

l

0,6l

P

a

c 2P

A

4P

=P

B

C

D P C

B

2P

2

Pl

2

Pl

12

Pl

2

P

1,5 P 2,5

P

0,625 P

2

P 0,375

d A

B C

D P Pl

F

12

8 0, )

( l

P 2,125P

P F3 2,625

Pl F2 0,6

P

625 012 5 625 8 2 12 , , , , ) ,

( P ll

P P P l P Pl Pl Pl F ; 1 5 12 12 , , , , / / Pl Mr 1 4 1 P

Vr ;

Để xác định nội lực đầu phần tử ứng với trường hợp chuyển vị đơn vị ta dùng phụ lục 3, xem Hình 12.5

Khi D3=1 dịch chuyển tương đổi AB BC DBA=1.25,

DBC=0.75 Ta có ma trận Mu Vu

; , , , , , , , 375 375 5 4 4 25 25 2 l l l l l l l l l EI

Mu ;

, , 4375 23 4375 23 6 6 15 15 l l l l l l l l l EI Vu

Để thiết lập ma trận độ cứng [S] ta tính lực đầu phần tử Hình 12.3e, g i ta

HÌnh 12.5 Thiết lập ma trận độ cứng cho hệ khung có chéo Ta có ma trận độ cứng [S] sau

2 2 2 544 264 138 264 3060 666 138 666 375 3333 24921 9375 48 875 875 l l l l l EI l S l l l l l l l l l EI S , , , ,

Thế vào phương trình 12.2 ta có e

A

B C

D l EI S22

l EI S12

2 32 875 l EI S 375 l EI l EI

D2=1

f A B C D C l EI l EI l EI 4.5 7.5 l EI B ) ( l EI l EI c A

B C

D 23 875 l EI S 13 l EI S 33 938 48 l EI S 438 23 l EI 25 l EI

D3=1

d A B C D C B 75 l EI( )

2

75

l EI( )

2

25

l

EI( . )

75 12

l EI( ) 6,75 12,25 18,75 25 12 l EI( ) 12,25 75 12 l

EI( ) 08

6 ) ( l EI 12 ) ( l EI

D3=1

DBC=0.75

DBA=1.25

3

25 12

l EI( )

2 25

l EI( )

2 ) ( l EI a A

B C

D l EI S21

l EI S11

2 31 l EI S

3EI/l

D1=1

A b B C D C B l EI l EI l EI l EI 4,5 7,5

7,5

l EI Pl D l l P D l l l l l l l l l EI 05325 057 0863 625 12 9375 48 875 875 2 2 2 , , , , , , , ,

Để vẽ biểu đồ lực cắt biểu đồ mơ men ta phải tính nội lực mặt cắt

đầu Sử dụng ma trận [Mu], [Vu], {Mr}, {Vr} {D} tính vào

phương trình (10.5) ta

; , , , , , , , , , , , , , , , , , , , / / 74174 68424 684241 02915 029153 31012 05325 057 0863 375 375 5 4 4 7 1 5 12 12 2 Pl l EI Pl l l l l l l l l l EI Pl M ; , , , , , , , , , , , , , , , 4061 4061 655088 344912 219034 780966 05325 057 0863 4375 23 4375 23 6 6 15 15 5 2 5 P l EI Pl l l l l l l l l l EI P V

Trên Hình 12.6 biểu diễn biểu đồ lực cắt (Hình 12.4a) biểu đồ mơ men (12.4b)

Hình 12.6 Biểu đồ nội lực

P

406 0,

b D

Pl 31 0, Pl 683 0, ,

,03Pl

0 Pl 31 0, Pl 683 0, Pl 172 0, Pl 74 0,

a D

Ví dụ 12.4 Tìm ba thành phần phản lực (lực thẳng đứng, mô men uốn momnet xoắn) điểm A khung ngang Hình 12.7 chịu tải trọng phân bố q đoạn AC Tất có diện tích mặt cắt ngang, tỷ lệ độ cứng xoắn độ cứng uốn GJ/EI=0.5

Hình 12.7 Khung ngang

Hệ có bậc tự chuyển vị điểm E, có tọa độ Hình 12.7b

Trên Hình 12.7b biểu diễn lực hạn chế chuyển dịch, phản lực A {Ar}

bị hạn chế Những lực tính sử dụng phụ lục

36 02 12 12

0 23

3 2 2 l l q l q l q l q l q F 27 03 12 2 2 l l q l q l q Ar

Để thiết lập ma trận độ cứng phần tử ma trận phản lực đầu A, ta cho chuyển vi đơn vị (cịn chuyển vị khác khơng) sử dụng phụ lục

Ma trận phản lực điểm A chuyển vị đơn vị gây tính sau 2 3 13 75 0 13 40 l l l l l EI Au , , , ,

A C

Các phần tử ma trận độ cứng cho cấu hình tính 2 2 2 31 2 2 2 21 3 3 3 3 11 40 3 6 40 3 6 729 2 12 12 12 12 12 0 l EI l EI l EI l EI S l EI l EI l EI l EI S l EI l EI l EI l EI l EI l EI S D D D EC AE ED BE EB DE EC AE , ; , ; ; 25 20 4 2 4 40 3 6 32 22 2 2 2 12 S l EI l EI l EI l EI l GJ l GJ S l EI l EI l EI l EI S D D D EB DE EC AE EB DE ; , , ; ; ; , , ; ; l EI l EI l EI l EI l GJ l GJ S S l EI l EI l EI l EI S D D D EC AE EB DE AE EC 25 20 4 2 4 40 3 6 33 23 2 2 2 12

Ma trận độ cứng có dạng

2 25 20 40 25 20 40 40 40 729 l l l l l l l EI S , , , , , ,

Thế vào phương trình 12.2 ta tìm vectơ chuyển vị

0034 0020 0010 , , , l EI ql D

l l ql

l EI

ql l l

l l l

EI l

l q A

0611

0015

4197 0034

0 0020

0010

0 13

0 75 0

5 13 40

27

3

2

2 ,

, , ,

, , ,

,

, ,

12.3 Giải toán với trường hợp đặt tải khác

Như nói mục 12.2 ma trận độ cứng phụ thuộc vào tính chất kết cấu khơng phụ thuộc vào ngoại lực Vì xem xét trường hợp tải khác ta khơng cần tính lại ma trận độ cứng Nếu ta có p trường hợp tải lời giải (phương trình 12.3) viết gọn dạng phương trình ma trận

p n n n p

n S F

D

(12.6) Mỗi cột [D] [-F] ứng với trường hợp tải

Ảnh hưởng môi trường

Trong chương 10 ta dùng phương pháp lực để tích tốn ảnh hưởng thay đổi nhiệt độ, co ngót hay dư ứng lực Tương tự phương pháp chuyển vị xem xét đến hiệu ứng Có thể áp dụng phương trình 12.3 vectơ {F} vectơ lực hạn chế chuyển vị nút gây hiệu ứng

Trường hợp hiệu ứng di chuyển gối đỡ ta dùng phương trình 12.3 di chuyển khơng ứng bậc tự hệ Trường hợp di chuyển ứng với bậc tự ta cần biến đổi phương trình 12.3 Ví dụ 12.5 giải thích rõ cách biến đổi

12.4 Năm bước giải phương pháp chuyển vị

Bước Xác định hệ tọa độ biểu diễn chuyển vị nút, đồng thời xác định

các đáp ứng cần tính [A]m p xác định quy ước dấu cần

Bước Xác định lực hạn chế [F]n p [Ar]m p ngoại lực tác động lên kết

cấu

Bước Thiết lập [S]n n [Au]m p cách đưa chuyển vị đơn vị

Bước Giải phương trình cân

p n p

n n

n D F

S

để tìm [D]

Bước Tìm đáp ứng từ

p n n m u p m r p

m A A D

A

Cũng phương pháp lực sau bước thứ ba xong ta có ma trận cần thiết bước túy phép tính đại số

Ở ký hiệu:

n,p,m - số bậc tự do, số trường hợp tải, số đáp ứng (phản lực hay nội lực) cần xác định

[A] – đáp ứng cần xác định - lời giải toán

[Ar] – giá trị đáp ứng ngoại lực tác động lên kết cấu hạn chế chuyển vị

[Au] – đáp ứng ta đưa chuyển vị đơn vị tọa độ

[F] - lực tọa độ để ngăn cản chuyển vị lực tác động gây [S] – ma trận độ cứng

Ví dụ 12.5 Dầm liên tục Hình 12.6a có độ cứng uốn EI khơng đổi, có hai ngàm A D hai gối đỡ di động B C Vẽ biểu đồ nội lực cho dầm với hai trường hợp tải: a) Điểm A lún xuống đọan ; b) Khi dầm quay góc theo chiều kim đơng hồ gối B

Số bậc tự hệ 2, góc xoay D1 D2 B C (Hình 12.6b)

Dịch chuyển điểm A không ứng với bậc tự Lúc lực hạn chế có nhiệm

vụ giữ cho chuyển vị D1=D2=0 biểu diễn Hình 12.6c Dùng phụ lục ta

tính

0 2

l EI F

Hình 12.8 Biểu đồ nội lực ví dụ 12.5

Quy ước mô men dương theo chiều kim đồng hồ, lực dương hướng lên ta có mơ men lực cắt mặt cắt 1,2, ,6 (Hình 12.8a) điều kiện hạn chế (Hình 12.8b)

0 0 6 l EI M M M M M M M r r r r r r r ; 0 0 12 12 l EI V V V V V V V r r r r r r r (c F l EI F

D1=1

D2=0

(d) l

EI S11

l EI S12

D1=0

D2=1

(e) l EI

S12 l

EI S22

(f) l l

D1=1

D2=0

(i) D D (k) 3.5 0.5 (h) 4.4 2.8 0.8 0.4

7.2 (g)

3.6 1.2 (j) 4.5 1.5 (a)

l l l

A B C D D D2