Phương pháp tính Cơ Học kết cấu Tàu thủy

Momen uốn tàu xét trong ba trạng thái: trên nước tĩnh, trên sóng và momen động. Momen uốn tàu trên nước tĩnh xem xét theo cách đã hướng dẫn tại chương “Độ bền tàu” trong sách này. Momen[r]

PHƯƠNG PHÁP TÍNH

CƠ HỌC KẾT CẤU TÀU THỦY

ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI TP HỒ CHÍ MINH 6-2009

TRẦN CÔNG NGHỊ, ĐỖ HÙNG CHIẾN

PHƯƠNG PHÁP TÍNH

CƠ HỌC KẾT CẤU TÀU THỦY

Mục lục

Mở đầu

Chương Phương pháp biến phân trọng hàm dư

1 Phép biến phân

2 Các phương pháp nhóm trọng hàm dư 23

Chương Phương pháp sai phân hữu hạn 32 Hàm biến 32 Phương pháp lưới cho toán chiều 37

3 Xoắn dầm 41 Bài toán trường 2D với biên cong 42

5 Phương pháp sai phân hữu hạn sở phép biến phân 44

6 Dao động dầm 51 Dao động 52 Ổn định 54 Chương Phương pháp phần tử hữu hạn 57 Phương pháp phần tử hữu hạn 57 Thứ tự giải toán học kết cấu theo phương pháp phần tử hữu hạn 59 Ma trận cứng phần tử Ma trận cứng hệ thống 61

4 Áp đặt tải 63

5 Xử lý điều kiện biên 65 Giải hệ phương trình đaị số tuyến tính 66

7 Những phần tử thông dụng học kết cấu 70 Trạng thái ứng suất phẳng Trạng thái biến dạng phẳng 82

9 Tấm chịuu uốn 88

10 Vật thể 3D 93 11 Nén ma trận Khối kết cấu 95 12 Sử dụng phần mềm SAP ANSYS tính tốn kết cấu 103

13 Phân tích kết cấu ngôn ngữ MATLAB 112

14 Dao động kỹ thuật 142

Chương Tính tốn độ tin cậy 163

1 Độ tin cậy 164

2 Tính tốn độ tin cậy 164

3 Xác định số an toàn, xác suất hư hoại 165

4 Phép tính thống kê biến ngẫu nhiên 170

5 Các phương pháp tính 171

6 Phân tích điều khơng chắn từ tải độ bền 181

7 Chọn hàm phân bố 182

8 Phân tích độ tin cậy hệ thống 182

9 Xác định hệ số sử dụng 183

10 Thủ tục phân tích độ tin cậy kết cấu 189

11 Độ bền thân tàu 190

Ký hiệu

A diện tích, area

b chiều rộng, beam, width c, C hệ số, coefficient d đường kính, diameter

D độ cứng tấm, flexural rigidity of plate E mộ đun đàn hồi, modulus of elasticity f hàm, function

F lực, lực cắt, force, shear force G mộ đun đàn hồi (cắt ), shear modulus g gia tốc trọng trường, gravity constant h chiều cao, depth, heigh

I, П, F phiếm hàm, functional

I, J momen quán tính mặt cắt, moment of inertia

Jp momen quán tính hệ độc cực, polar moment of inertia

K, k hệ số, coefficient K, k độ cứng

L, l chiều dài, length M momen, moment m khối lượng, mass N lực dọc trục, axial force P tải, load

P công suất, power p áp suất, pressure Q tải, load

q tải phân bố, distributed load R hàm sai số, residual function R, r bán kính, radius

S diện tích, area

T, MT momen xoắn, torque, couple

t chiều dày, thickness t thời gian, time

U năng, potential energy

u0 đơn vị, strain energy per unit volume

V lực cắt, shear force W trọng lượng, weight W,w công ngoại lực, work

α góc nói chung, angle generally β góc nói chung, angle generally δ, Δ, w chuyển dịch vị trí, deflection

δ tốn tử biến phân, variational operator γ biến dạng góc, shear strain

θ góc, chuyển vị góc, angle, angle deflection Π năng, potential energy

ε biến dạng , strain

σ ứng suất nói chung, stress, generally η hệ số nói chung, coefficient generally ν hệ số Poisson, Poisson’s coefficient φ, ψ vector riêng, eigenvector

ρ mật độ, density

γ trọng lượng riêng, specific weight τ, T chu kỳ, perio

Mở đầu

Cuốn sách “PHƯƠNG PHÁP TÍNH CƠ HỌC KẾT CẤU TÀU THỦY” trình bày phương pháp tính cần cho việc xử lý vấn đề thuộc học kết cấu Đây phần không tách rời sách giành cho học kết cấu tàu thủy, cần cho người quan tâm học kết cấu tàu thủy cơng trình ngồi khơi Ba sách phát hành: “Cơ học kết cấu tàu thủy”, “Sức bền tàu”, “Dao động tàu thủy” cần đến phương pháp tính trình bày sách lúc xử lý đề tài

Các chương sách trình bày đề tài quan tâm nhiều

Chương đầu bàn ứng dụng phương pháp biến phân kinh điển, dùng hiệu hàng trăm năm toán học, giải toán uốn dầm, uốn Phương pháp Ritz có sử dụng hàm thử phép biến phân ứng dụng để giải toán học chất rắn nói chung, dầm nói riêng, phần cần để ý chương Các phương pháp có sử dụng hàm thử song khơng qua giai đoạn tính biến phân giới thiệu chương mang tên gọi chung phương pháp trọng hàm dư

Chương giới thiệu phương pháp sai phân hữu hạn phương pháp hữu hiệu tốn tính học Tại chương người đọc gặp cách xây dựng toán giải toán học kết cấu theo cách làm quen thuộc trước Phương pháp sai phân hữu hạn phát huy tác dụng lớn ngày tác dụng dài lâu Bên cạnh cách làm theo hướng đổi thủ tục tính tốn cho phương pháp truyền thống trình bày chương giúp bạn đọc xem xét vấn đề đầy đủ, có tính thời Có thể phát biểu cách làm không thay đổi nội dung phương pháp sai phân hữu hạn song làm cho bắt kịp tiến lĩnh vực tốn tính

Những sở phương pháp tính phần tử hữu hạn ứng dụng xử lý toán học kết cấu giới thiệu sách giúp bạn đọc làm quen có điều kiện nâng cao khả tính tốn theo phương pháp hữu hiệu

Chương bốn trình bày phương pháp tính dùng phổ biến mơn học “Độ tin cậy kết cấu” Các thủ tục tính trình bày giúp người đọc xác định nhanh điều kiện thơng số liên quan độ tin cậy kết cấu dân dụng nói chung tàu thủy nói riêng

Mỗi chương sách ngồi phần lý thuyết hướng dẫn tính tốn có ví dụ minh họa Những người chuẩn bị sách cố ý trình bày ví dụ độ phức tạp không cao, người đọc dễ dàng kiểm tra phép tính thủ cơng Tuy nhiên, với tốn động lực học, khối lương tính tốn thường lớn, đề nghị bạn đọc sử dụng cơng cụ tính thích hợp tìm trị riêng vecto riêng

Chương

PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN VÀ TRỌNG HÀM DƯ

Các toán học kết cấu giải theo nhiều phương pháp khác Trong chương sách đề cập cách giải dựa phương pháp dùng hàm thử theo nghĩa kinh điển Các phương pháp trực tiếp tìm lời giải bao gồm: phương pháp biến phân kinh điển (Direct Variational Method) phương pháp trọng hàm dư (Weighted Residual Method)

Phương trình vi phân yếu trình bày trạng thái cân vật rắn, xem xét chương:

L(u) - p = miền V, (a)

và điều kiện biên:

B(u) - q = trên biên S = Su + Sp (b)

trong u – hàm chuyển vị, khơng giải thích khác, p – tải Biểu thức (b) hiểu cụ thể theo cách diễn giải hình 1.1: Điều kiện động học u = u* Su;

Điều kiện động lực học q = q* Sp

L B toán tử vi phân

Tốn tử thường gặp ∇, ∇2, ∇4 = ∇2∇2 1 PHÉP TÍNH BIẾN PHÂN

Phép tính biến phân liên quan vấn đề xác định cực trị, tức maximum minimum phiếm hàm Phiếm hàm (functional) hiểu hàm hàm Trong chừng mức định phiếm hàm có nét tương đồng với hàm số quen, điểm khác cần nhắc đến, hàm số theo nghĩa thơng thường hàm biến, cịn hàm đóng vai trị phiếm hàm hàm

Việc tính tốn biến phân tìm hàm, ví dụ hàm u(x), với x – biến độc lập, để phiếm hàm dạng tích phân giới hạn x1, x2:

∫

=

1

) , , ' , (

x x

dx x u u F

I (1.1)

đạt cực trị

Trong tích phân u’ = du/dx, I F gọi phiếm hàm Với vấn đề thuộc học kết cấu: I ≡ Π = U – W

U – công biến dạng, W – công ngoại lực Nghiệm gần tìm từ biểu thức:

) ( ) ( ) (

~ x u x u x

u = +δ (1.2)

Hình 1.1 Điều kiện biên

trong u(x) – nghiệm xác, tồn tại, δu(x) có tên gọi biến phân δ tốn tử biến phân Phép tính biến phân hàm I:

( )∫Fdx =∫( )δF dx

δ (1.3)

Và ( )u dx

d dx

du δ

δ ⎟=

⎠ ⎞ ⎜ ⎝

⎛ (1.4)

' ' u u F u u F

F δ δ

δ

∂ ∂ + ∂ ∂

= (1.5)

Điều kiện cần để I đạt cực trị:

0 '

'

2

1

1

= =

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛

∂ ∂ + ∂ ∂

= ∫ ∫

x

x x

x

Fdx dx

u u F u u F

I δ δ δ

δ (1.6)

1.1 PHƯƠNG PHÁP RITZ

Phương pháp Ritz xây dựng sở phép biến phân

Phương pháp Ritz1 tìm cách thay biến u, chọn ví dụ toán chiều u(x), phiếm hàm (1.1): = ∫2

1

) , , ' , (

x x

dx x u u F

I , nghiệm gần dạng hàm xấp xỉ:

∑ =

= N

i i if

a u

1

~ (1.7)

Hàm u, gặp toán học khác nhau, thể (a), để tiện xem xét có thể coi hàm chuyển vị ví dụ

Hàm sở hay gọi hàm thử fi, i =1,2, , N phải thoả mãn điều kiện biên (b) S = Sp + Su, tức điều kiện động lực học Sp, điều kiện động học biên Su Hàm xấp xỉ u~liên tục

đến bậc r-1, r – bậc đạo hàm cao I

Thay u~ vào I, cơng thức (1.1), tích phân I trở thành hàm ẩn

Phiếm hàm I tương đương hàm tổng Π gặp toán học kết cấu Π = U – W, U – cơng biến dạng2, W – công ngoại lực3 Điều kiện cần để I đạt cực trị là:

n i

a u I

i

, , ,

) (

L = =

∂ ∂

(1.8)

Xác định hàm I tốn học kết cấu tiến hành theo cách gán I tổng lượng hệ thống Π = U – W

Công biến dạng vật thể làm từ vật liệu đàn hồi: = ∫

V

T dV

U { } { }

2

1 ε σ

, (1.9) Công ngoại lực tác động lên vật thể: = ∫

S

T u dS

p

W { } { } , (1.10) {ε}= [C]{σ} – vector biến dạng,

{σ} = [D]{ε} – vector ứng suất,

1 Ritz W., “Über eine neue Methode zur Lösung gewissen Variations-Problem der mathematischen Physik”, J Rein Angew

Math (1909)

2 strain energy

{p} – vector ngoại lực {u} – vecto chuyển vị

∫ ∫ − = Π p S T V

T{ }dV {p} {u}dS

} {

1 ε σ

(1.11)

Thay hàm Π hàm u vào vị trí phiếm hàm I, xác định hàm u đảm bảo tổng đạt minimum Từ phép biến phân xác định biểu thức δΠ:

⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = Π ∫ ∫ p S T V

T{ }dV {p} {u}dS

} {

1 ε σ

δ

δ (1.12)

Giải toán học vật rắn nhận phương trình:

{ } ∫ ∫ = p S T V

T[D]{ }dV p {u}dS

}

{ε ε δ

δ (1.13)

Trong {p} – tải bên ngồi tác động lên biên Sp vật thể xem xét

Từ viết:

δU = δW δ(U –W) = (1.14) Trường hợp toán ba chiều hàm chuyển vị thể hiện: { }u =[u v w]T

⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ = = = ∑ ∑ ∑ i i i i i i i i i z y x c z y x b z y x a u ) , , ( w ) , , ( v ) , , ( θ ψ ϕ (1.15)

ai, bi, ci - hệ số cần xác định, đóng vai trị tọa độ suy rộng,

ϕi, ψi, θi – hàm sở hay gọi hàm thử

Hàm sở thoả mãn điều kiện biên S = Sp + Su Biến phân hàm chuyển vị xác định

sau: ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ = = = ∑ ∑ ∑ i i i i i i

i i i

z y x c z y x b z y x a u ) , , ( w ) , , ( v ) , , ( θ δ δ ψ δ δ ϕ δ δ (1.16)

Biết = ∫

V dV u U 0

, ⎟⎟ +

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 2 z w y x u z w y x u u ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ν ν ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ v v

+ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + 2 2 z u x w yx w z x y u ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ v v

⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ∂ ∂ + ∂ ∂ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = w x u z x w z u u x x u zx x δ δ δ δγ δ δ δε L viết:

dxdydz x u y w y z w x u z w z y u x

U ∫∫∫ x y z zx yz xy ⎥

⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂

= σ δ σ δv σ δ τ δ δ τ δv δ τ δ δv

δ

Thay giá trị δu, δv, δw từ biểu thức (1.16) vào phương trình xác định δU δW tiếp tục xác định biến phân δΠ, nhận công thức sau phương pháp Ritz

∑ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ Π ∂ + ∂ Π ∂ + ∂ Π ∂ = Π i i i i i i i c c b b a

a δ δ δ

δ , i=1,2,…,n (1.17)

Từ biểu thức (1.17), với δai, δbi, δci khác 0, viết: n i

c b

ai 0; i 0; ∂ i =0 =1,2, , Π ∂ = ∂ Π ∂ = ∂ Π ∂ (1.18)

Từ đưa đến lập hệ phương trình đại số tuyến tính chứa ẩn ai, bi, ci Công biến dạng dầm

Thế dầm bị tác động lực kéo, nén, cắt, momen uốn, momen xoắn:

⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + + + + = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ GA dx F k GA dx F k AE dx N EI dx M EI dx M GI dx M U z y y z z z x y t T 2 2 2 (1.19)

MT - momen xoắn, My, Mz - momen uốn N – lực kéo, nén Fy, Fy – lực cắt

Công biến dạng chữ nhật axb, dày t

( ) dxdy

y w x w y x w w D U ∫∫ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + ∇

= 22 22

2 2

2 2(1 )

2 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

ν (1.20)

trong ) ( 12 ν − = E t

D

Cơng biến dạng trịn bán kính R, dày t

ϕ ϕ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ϕ ∂ ν ϕ rdrd w r r w r r w w r r w r r w r r w D U ∫∫ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂

= 22 2 2

2 2 2

2 1 1 1

) ( 1

Công biến dạng vật thể 3D:

∫ = V dV u U 0

=∫{ } { }

S

T u dS

F

trong

{ } { }

∫

= ε ε σ ε

0

0 d

u T (σxεx σyεy σxεx 2τxyγxy 2τyzγyz 2τzxγzx)

1 + + + + +

=

Thủ tục giải toán học kết cấu phương pháp Ritz

1 Xây dựng hàm hệ hàm fi cho biến u: ∑

=

= N

i i if

a u

1

~

2 Xây dựng phiếm hàm I (ký hiệu tương đương Π) u, ux,

3 Lập hệ phương trình đại số tuyến tính =0 ∂

∂ ≡ ∂

Π ∂

i

i a

I

a , i=1,2,…,n xác định ai 4 Tìm nghiệm u

Phương pháp Ritz giải dầm

Từ phương trình cân dầm uốn, hình 1.3, xây dựng quan hệ:

Phương trình chính: p

dx w d EJ dx

d =

2 2

Lực cắt: 22

dx w d EJ dx

d V =

Momen uốn: 2

2

dx w d EJ M =− Góc xoay:

dx dw − =

θ

Uốn dầm

Ví dụ 1: Áp dụng phương pháp Ritz xác định độ võng dầm liên tục dài L, EI = const, tựa hai gối tại đầu nút, tác động tải trọng phân bố q = const, hình 1.4

Tiến hành xử lý tốn theo thủ tục nêu Độ võng dầm:

∑ = = ) ( ~

n n n

f a x

w

trong fn (x) - hàm thử, an - hệ số cần xác định

Điều kiện biên:

tại x =0: w(0) = 0; w’(0) ≠ tại x = L: w(L) = 0; w’(L) ≠

Để thoả mãn điều kiện biên hàm fn (x) mang dạng: L

x n x

fn( )=sin π , n =1,2, Độ võng tính theo cơng thức:

L x n a x w n n π sin ) ( ~ ∑∞ = =

Từ tính đối xứng phương trình độ võng, cần giữ lại hệ số có số lẻ 1, 3, Hàm là:

L x n a x w n n π sin ) ( ~ , , ∑ = =

Phiếm hàm I cho dầm bị uốn đơn thuần, tổng biến dạng công ngoại lực tác động lên dầm:I ≡Π = U – W

Thế dầm uốn:

[ ]

∫

= LEJ w x dx U ) ( " dx L x n L n a EJ U L n n ∫ ∑ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ∞ = 2 sin

1 π π

Công ngoại lực:

∫ =∫ ∑=

=L L n

n dx L x n a q dx x w q W

0 1,3,

sin ) ( ~ π ∫ ∑ ∫ ∑∞ = ∞ = − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ≡

Π L L

n n n n dx L x n a q dx L x n L n a EJ I

0 1,3,

2 , , sin sin

1 π π π

Hệ số xác định sau lấy đạo hàm I theo ai

( ) { } ∫ ∑ ⎟⎠ −∫ = ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − ∞ = L L n n dx L x n q dx L x n L k L x n L n a EJ a W U 2 sin sin

sin π π π π

π ∂

∂

Trong khoảng không gian - L họ hàm (sinn x

L

π

) có tính trực giao: dx L x n L x m

L π π

∫

0

sin

sin =

⎩ ⎨ ⎧ / L n m n m ≠ =

( ) 1,3,

4

= =

− ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = −

k k

L q a L L k EJ a

W U

k

k π

π ∂

∂

Từ đó:

5

4 1

4

π k EJ

qL ak = ×

Biểu thức độ võng dầm w(x): L

x i i EJ

qL x

w

i

π

π sin

1

) ( ~

1 5

∑∞

=

= i=1,3,5, Tại vị trí dầm x = L/2 giá trị hàm xấp xỉ sau:

w(L/2) =

EJ qL4

4

π ≈ 0,013071 qL

4 / EJ, sử dụng hệ số a

w(L/2) =

EJ qL4

5 3

1

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛ −

π ≈ 0,0130172 qL

4 / EJ, sử dụng a

1 a2

Lời giải “chính xác” theo phương pháp giải tích đưa kết quả: w(L/2) =

EJ qL4

384

5 ≈ 0,0130208 qL4 /EJ

Moment uốn tính theo cơng thức:

M(x) = EJ.w’’(x)

Tại x = L/2 giá trị momen tính sau: M(L/2) = -

2 sin

1 3

4 π

π

i i qL

i

∑∞

=

, i=1,3,5,

Ổn định dầm

Ví dụ 2: Ổn định dầm dài L, độ cứng EI, chịu tác động lực nén N Hàm chuyển vị tìm dạng:

L x n a x

w n

n

π

sin )

(

1 ∑∞ =

=

Với dầm chịu lực nén N, hàm W mang dạng: dx

Nw W

L

∫

=

0

'

∫ ∑ ⎥

⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

= ∞

=

L n

n dx

L L n L

n a N W

0

2

1

cos

1 π π

Tổng dầm:

∫ ∑ ∑

⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩

⎪ ⎨ ⎧

⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎣ ⎡

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − =

− =

Π ∞

= ∞

=

L

n n n

n dx

L x n L

n a N L

x n L

n a EI

W U

0

2

1

1

2

cos sin

2

1 π π π π

{ } ∫ ∑ ⎟⎠ − ⎞

⎜ ⎝ ⎛ ⎪⎩

⎪ ⎨ ⎧

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎣ ⎡

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − =

Π ∞

=

L

n n

L x k L

k L

x n L

n a EI

a 0

2

2

sin sin

2

1 π π π π

∂ ∂

dx

L x k L k L

x n L

n a N

n n

⎭ ⎬ ⎫ ⎥

⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ∑∞

=

π π

π π

cos cos

1

= Nhờ tính trực giao

L x kπ cos

L x kπ

sin , k =1,2, 3, đoạn (0, L): ∫L dx=

L x k L

x n

0

cos

cos π π k≠ n

= L

k = n; nhận được:

0

2

= ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎣ ⎡

− ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =

Π

N L

k EI a ak k

π ∂

∂

Với ak ≠ 0, biểu thức dấu ngoặc vuông phải khơng, viết:

2 2

L EI k

N = π

Chúng ta quan tâm đến giá trị nhỏ N, vượt qua giá trị dầm chuyển sang giai đoạn mất ổn định Trong công thức cuối thấy, N đạt nhỏ cho trường hợp k =1, biểu thức lực Euler có dạng:

2

L EI NE =π

Xây dựng phương trình ma trận

Sử dụng công thức biến phân tổng lượng tổng cọng biến phân công ngoại lực tốn uốn dầm viết:

Từ U = ∫LEJ[w x ] dx

0

2

) ( "

1

xác định: U =∫L w EJ w dx

0

" "

δ δ

Từ W =∫Lqw x dx

0

) (

viết W =∫Lq wdx

0

.δ

δ

0

" "

0

= −

=

Π ∫Lδw EJw dx ∫Lqδwdx

δ (1.21) Hàm chuyển vị w(x) theo cách làm ngày nên viết dạng vecto sau:

Nu w=

Các đại lượng liên quan {w} xác định theo cách sau: u

N w u

N

w δ δ δ

δ

δθ =− '=− ' ; "= ''

0

0

0

= ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡

− =

− =

Π ∫LδuTN"T EJN"udx ∫LδuTN"T pdx δuT EJ∫LN"TN"dxu ∫LN"T pdx

δ (1.22)

Ký hiệu: =EJ∫L dx

0

N" N"

K T =∫

L

pdx

0

T

N"

P , viết phương trình cuối dạng: P

Ku= (1.23)

Ví dụ 3: Xác định độ võng dầm, momen uốn lực cắt dầm nêu hình 1.5

Hình 1.5 Dầm thẳng chịu tải phân bố tuyến tính Điều kiện biên: w(0) = 0; -θ(0) = w’(0) = w(L) =

Ký hiệu ξ = x/L phép tính Hàm hình dáng, bàn chi tiết mục “hàm nội suy”, nhận sau:

[ ]N =[(ξ2 −ξ3) (ξ2 −2ξ3 +ξ4)]

Đạo hàm bậc hai [N]:

[ ] [( ) ( 2)]

2 12 12

1

" = − ξ − ξ + ξ L

N

Thay hai biểu thức vào công thức xác định thành phần K P :

⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡

+ +

− −

+ −

− +

− +

−

= ∫

8 , 0

0 144

192 48

4 72 96

36

72 96

36 36

24 ]

[ 3

0 3

3

2

3 L

EJ d

L EJ

K L ξ

ξ ξ

ξ ξ

ξ ξ

ξ ξ

ξ ξ

ξ

{ }

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩

⎨ ⎧

− + −

+ −

= ∫

60 /

30 /

3

0

0

4

0L d p L

p

P L ξ

ξ ξ ξ ξ

ξ ξ ξ

Vector {u} xác định từ quan hệ: EJ

L p u

u

0

1

48 /

120 /

⎭ ⎬ ⎫ ⎩

⎨ ⎧ = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧

Lời giải:

( 3) ( 4) ( 4)

4

0 7 12 5

240

48 120

1 )

( = ⎢⎣⎡ ξ −ξ + ξ − ξ +ξ ⎥⎦⎤= ξ − ξ + ξ

EJ L p EJ

L p x w

( 2)

2

0 7 36 30

120 "

)

(x =−EJw =− p L − ξ + ξ M

(8 15ξ)

30 '' ' )

(x =−EJw = p0L −

Kết vừa trình bày chưa đáp ứng điều kiện momen tĩnh gối trái phải triệt tiêu Cần thiết hiệu chỉnh hàm thử, trường hợp hàm hình dáng Có thể chọn hàm bậc cao cho [N], ví dụ chọn:

[ ]N =[(ξ2 −ξ3) (ξ3 −ξ4) (ξ4 −ξ5)]

Các phép tính tiếp theo:

[ ] ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ d L EJ K ∫ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − + − + − + − + − + − + − + − + − = 5 4 4 3 3 2 400 480 144 240 264 72 120 112 24 240 264 72 144 144 36 72 60 12 120 112 24 72 60 12 36 24 { } ( ) ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − − − − =∫ 105 / 60 / 30 / 1 0 4 3

0 p0 d p L

P ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ

Hệ phương trình đại số [K]{u}={P} có dạng:

⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 105 / 60 / 30 / 35 / 208 / 26 / 26 / 24 4 4

3 p L

u u u L

EJ

Từ xác định:

{ } p L[ ]T

u 4

120

0 −

=

Và { } (4 8 5 5)

120 ξ − ξ + ξ −ξ =

EJ L p w

Kết tính trính bày hình 1.6 Các hình từ xuống giới thiệu chuyển vị w(x), momen uốn M(x) lựcc cắt F(x),

Trong hình kết tính theo phương pháp giải tích ghi lại đường cong đánh dấu A, tính theo phương án đầu ví dụ đánh dấu B Kết tính theo phương án cải tiến trùng với đường A

Dao động ngang dầm

Từ phương trình xác định momen uốn dầm: ) ( 2 x M dx w d

EI =− (a)

tiến hành lấy đạo hàm hai vế phương trình, nhận biểu thức sau: ) ( 2 x F dx w d EI dx

d =−

(b) ) ( 2 2 x q dx w d EI dx d = (c)

Áp dụng ngun lý D’Alembert vào phương trình (c), có nghĩa thay lực quán tính vào vị trí tải tĩnh q(x):

) (x

q thay 2

2

dt w d m

− ,

trong m – khối lượng đơn vị dài dầm Có thể viết phương trình chuyển động ngang dầm:

0

2

4

= +

dt w d m dx

w d

EI (d)

Điều kiện biên xác định cho ví dụ nêu: ⎭

⎬ ⎫ = =

0 /

0 dx dw

w

x = x = L (e)

Áp dụng công thức Rayleigh để xác định tần số dao động riêng Dao động ngang dầm thể dạng điều hòa:

t x

u t x

w( , )= ( )cosω (f)

Thế động hệ thống:

∫

∫ ⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

= L L dx

dt w d x m T

dx dx

w d EI U

0

2 2

2 2

) ( 2

1

Giá trị maximum U T:

∫

∫ ⎟⎟ =

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

= L dx T Lm x u dx

dx u d EI U

0

2

0

2 2

max ( )

2

1 ω

Công thức Rayleigh áp dụng vào mang dạng:

∫

∫ ⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =

L L

dx u x m

dx dx

u d EI

0

2

2 2

) ( 2

ω (g)

Hàm u(x) là:

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛ − =

L x x

u( ) cos2π (h)

Thay u(x) vào công thức Rayleigh, xác định tần số thứ nhất:

; 792 , 22

2

m EI L

=

ω (i)

Thủ tục thực theo phương pháp Ritz tiến hành sau: )

( )

( )

( )

( ~

2

1f x a f x a f x

a x

u = + +L+ n n (j)

Thay biểu thức (j) vào công thức Rayleigh cho phép nhận ω2 hàm a

1, a2, Cần thiết chọn a1, a2, để ω đạt minimum

( ) ( ) ( )2 0

2

2

= ∂ ∂ = = ∂ ∂ = ∂ ∂

n

a a

a

ω ω

ω

L (k)

Điều dẫn đến hình thành hệ phương trình đại số gồm n phương trình, chứa n ẩn a1, a2, an

0 ) ( 2 2 = ∂ ∂ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∫ ∫ L j j L j dx u x m a dx dx w d EI

a ω j = 1, 2, , n (l)

Hãy chọn hàm u chứa thành phần:

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = L x a L x a x

u( ) 1 cos2π 2 cos4π (m)

Công thức (g) có dạng:

( )

( 2)

2 2 2 4 3 16 a a a a mL a a L EI + + + = π ω

Thỏa mãn điều kiện: ( ) ( )

2 2 = ∂ ∂ = ∂ ∂ a a ω ω

nhận hệ phương trình đại số:

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 2 3 2 16 0 16 a a mL a a L EI ω π Lời giải hệ phương trình:

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = 575 , 35 , 22 2 a a m EI L ω ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = 4488 , 1 124 2 a a m EI L ω

1.2 PHƯƠNG PHÁP RITZ GIẢI TẤM MỎNG

Phương pháp Ritz áp dụng tính độ võng, momen uốn, lực cắt mỏng dựa vào phương pháp xác định biến phân hàm lượng δΠ

Độ võng màng trình bày dạng chuỗi:

∑ =

= n

i i

if x y

a y x w ) , ( ) , (

~ (1.24)

Đưa hàm chuyển vị vào phiếm hàm, trường hợp hàm lượng toàn phần Π Các số ai xác định sau thực phép tính biến phân hàm lượng δΠ

Từ lý thuyết ghi lại biểu thức momen uốn tấm:

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ −

= 22 22 ; 22 22

x w y w D m y w x w D

mx υ y υ (1.25a)

( ) y x w D mxy ∂ ∂ ∂ − −

= υ (1.25b)

Năng lượng biến dạng uốn tính từ biểu thức:

dxdy y w x w y x w y w x w D

Ub ∫∫

⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂

= 22 22

2 2 2 2 ) ( 2 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Hãy xét điều kiện biên xử lý vấn đề Nếu tất cạnh bị ngàm, thành phần thứ hai biểu thức trở thành Điều kiện biên trường hợp trở thành: w = cạnh

Với bị ngàm cạnh, chịu tác động tải phân bố p(x,y), lượng tồn phần tính sau:

∫∫

∫∫ −

⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩

⎪ ⎨ ⎧

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎣ ⎡

− ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

∂ ∂ + ∂ ∂ =

Π dxdy pw x y dxdy

y w x

w y

x w y

w x

w D

) , ( )

1 (

2

2 2 2

2 2

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂

ν

Tùy thuộc điều kiện biên, hàm chuyển vị nên chọn hợp hồn cảnh Những cơng thức sau giúp bạn đọc chọn lựa hàm hình dáng cho phép tính gần

) ( ) ( )

,

(x y a X x Y y

w m n

m n mn

∑∑

= (1.27)

Bảng 1.1

Điều kiện biên Hàm hình dáng, ∑Xm(x)

∑

m a

x mπ sin

L , , ,

cos

1 =

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛ −

∑ m

a x m

m

π

∑

m a

x m a

x π

π

sin sin

( ) ∑

∑ ⎟−

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − −

+ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −

m m

m

a x m m

a x a x a

x a

x π

π sin

1

1

1 2

2

( −4 2)2 =0,1,2,3,L

∑ a x xm m

m

a x m m

a x a

x a x

m

π π sin

1

2

1 ⎟−∑

⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ −

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −

( )

a x m m

a x a x

m m

m π

π sin

1

1

2

2

∑

∑ ⎟⎟ − −

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

−

Ví dụ 3: Áp dụng phương pháp Ritz xác định mặt võng thép hình chữ nhật có cạnh axb, chịu tác động lực tập trung theo phương pháp tuyến điểm (x1, y1), hình 1.8 Tấm tựa bốn cạnh,

chiều dầy t = const Mô đun đàn hồi vật liệu E

Để áp dụng phương pháp Ritz cần thiết tìm phiếm hàm cho phương trình chuyển vị tác động lực Phiếm hàm tốn hàm lượng

Hàm chuyển vị mặt qua tấm: Hàm f(x,y) là:

b y n a

x m y

x

Hàm chuyển vị: b y n a x m a y x w

m n mn

π π sin sin ) , ( 1 ∑∑ = = =

Điều kiện biên:

Tại x = 0, x = a: w = 0; ∂w/∂x ≠ Tại y = 0, y = b: w = 0; ∂w/∂y ≠ Công biến dạng:

∫ = V dV u U 0

với đơn vị: =∫ε{ } { }σ ε ε

0

0 d

u T

hay u (σxεx σyεy σxεx 2τxyγxy 2τyzγyz 2τzxγzx)

1

0 = + + + + +

( ) dxdy

y w x w y x w w D U ∫∫ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + ∇

= 22 22

2 2

2 2(1 )

2 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ν ) ( 12 ν − = E t

D Công ngoại lực:

∫∫

= q x y w x y dxdy W ( , ) ( , )

Thay w đạo hàm w theo x, y vào biểu thức tính U:

( ) dxdy

y w x w y x w y w x w D U a b ∫∫ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = 0 2 2 2 2 2 2 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ν ∂ ∂ ∂ ∂ dxdy b y n a x m b n a m a D U a b

m n mn

∫∫ ∑∑ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ∞ = ∞ = 0 1 2 sin sin π π π π Công lực tập trung tác động:

b y n a x m a P W m n mn π π sin sin 1 ∑∑∞ = ∞ = = Phiếm hàm I:

I ≡Π = U-W

Tiến hành lấy đạo hàm (U - W) theo amn: ∂(∂U W) amn

−

nhận hệ phương trình đại số, amn đóng vai trị ẩn số

Sử dụng tính trực giao hàm lượng giác phạm vi ≤ x ≤ a ≤ y ≤ b:

∫ =⎩⎨⎧ ≠= a n m a n m dx a x n a x m

0 /2

0 sin

sin π π

∫ =⎩⎨⎧ ≠=

a

n m b

n m dx

b x n b

x m

0 /2

0 sin

sin π π

0 sin

sin

0

2

= −

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎣ ⎡

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ×

b y n a

x m P b

n a

m Dab

amn π π π π

với m = 1,2, ; n = 1,2,

Từ phương trình xác định amn:

b y n a

x m

b n a

m abD

P

amn 0

2

2 sin sin

4 π π

π π

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎣ ⎡

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =

Nghiệm toán:

b y n a

x m

b n a

m

b y n a

x m abD

P y

x w

m n

π π

π π

π π

sin sin

sin sin

4 ) , (

1 2

0

× ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎣ ⎡

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

= ∑∑∞

= ∞

=

Ví dụ 3b: Giải tốn uốn tấm, tỷ lệ cạnh a/b = 1,5 Tấm bị ngàm cạnh, chịu tác động tải phân bố theo phương pháp tuyến, hình 1.9

Sử dụng tính đối xứng cấu hình tấm, chọn gốc hệ tọa độ nằm tấm, hai trục qua đường đối xứng Hàm thử trình bày dạng:

⎥⎦ ⎤ ⎢⎣

⎡ − ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣

⎡ − =∑∑∞ ∞

a y m a

x m a

y x

w m n

m n

mn 1 (1) cos π 1 (1) cos π

4 )

,

( , m,n = 1,3,5

Điều kiện biên:

( ) 0, ⎟ =0 ⎠

⎞ ⎜ ⎝ ⎛

∂ ∂ =

± = ±

=

a x a

x x

w w

( ) 0, ⎟⎟ =0

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

∂ ∂ =

± = ±

=

b x b

x

y w w

Để nhanh chóng nhận kết quả, độ xác cịn bàn thêm, nhận m = n = 1: ⎟

⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛ + =

b y a

x a

w cosπ cosπ

11

Thay biểu thức vào cơng thức tính cơng biến dạng nhận được:

( ) ⎟

⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ + +

= ∇

= +∫ ∫

− +

− b ab

a a

b a D dxdy w D

U

a a b b

2 3 32

2 3

2 11

2 π

Công ngoại lực thực hiện:

ab a p dxdy y x w p W

a a b b

11

0 ( , ) =

= +∫ ∫

− + −

Từ phép tính tìm minimum tổng lượng tấm:

( ) 0

11

= ∂

− ∂

a W U

Xác định được:

( )4 ( )2

4 11

/ /

3

1 16

b a b

a D

a p a

+ +

=

π

Với a/b = 1,5 υ = 0,3, giá trị độ võng x = y = là:

3 max 0,0791

Et a p w =

Ví dụ 4: Ổn định

Thứ tự thực phép tính tính ổn định khuôn khổ phương pháp Ritz bao gồm xác định hàm lượng trường hợp chịu nén mặt phẳng phép tính đạo hàm phương trình lượng theo chuyển vị suy rộng nhằm xác định lực tới hạn

Xác định lực giới hạn tác động chữ nhật axb, tựa tự x = 0, x = a y = Cạnh y = b tự

Hàm chuyển vị tấm: w(x,y) =

n

m =

∞ = ∞

∑ ∑

1

amnϕm(x) Ψn(y)

Hàm lượng gồm lượng chịu uốn lượng biến dạng mặt trung hòa tấm U = U1 + U2

Trong U1 tính theo công thức:

( ) dxdy

y w x

w y

x w w

D

U ∫∫

⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩

⎪ ⎨ ⎧

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎣ ⎡

− ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + ∇

= 22 22

2 2

2

1 2(1 )

2 ∂

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂

ν

dxdy y w x w N y w N x w N

U ∫∫ x y xy

⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2

1 2

2 đó: ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − = y v x u Et Nx ∂ ∂ ν ∂ ∂

ν2 0

1 ⎟⎟⎠

⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − = x u y v Et Ny ∂ ∂ ν ∂ ∂

ν2 0

1 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = = x v y u Gt N

Nxy yx

∂ ∂ ∂

∂ 0 0

Trường hợp Nx = -σxt; Ny = Nxy = 0, hàm U2 trở thành: dxdy x w N U a b x 0 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ∫∫ ∂ ∂

Điều kiện biên:

tại x = x = a: w = 0; x w ∂

∂ ≠ 0;

Tại y = 0: w = 0; y w ∂

∂ ≠ 0;

Tại y = b: w ≠ 0; y w ∂ ∂

≠ 0; Hàm w(x,y): w(x,y) = n m = ∞ = ∞ ∑ ∑ 1

amn y b m x a n ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ sin π

Để nhanh chóng có kết quả, chọn số tính chuỗi cho w a x b y a y x

w( , )= 11 sinπ

Thay giá trị vừa viết vào phương trình U1, U2 hàm trở thành:

( ) dxdy

y w x w y x w w D U ∫∫ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + ∇

= 22 22

2 2

2

1 2(1 )

2 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ν = = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ) ( 2 11 a a b ab a D

a π ν π

6

1 2

11 ab a t a

U x ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + σ π

Tiến hành tính đạo hàm theo biểu thức:

0 ) (

11

1+ =

a U U

∂ ∂

a11 ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ) ( 2 ab a t a a b ab a

D π ν π σx π = 0;

Từ tính chất học toán, số a11 ≠ biểu thức dấu ngoặc lớn phải 0, từ

xác định lực Euler:

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = 2 2 2 ) ( 6 ) ( a b t b D a a t D E x π ν π ν π σ σ

Phương pháp Rayleigh-Ritz giải tốn dao động

Ví dụ a: Áp dụng phương pháp Rayleigh – Ritz xác định tần số riêng hình chữ nhật cạnh axb, chiều dày t = const, bốn mép bị ngàm

Thế chịu uốn tính sau:

( ) dxdy

y w x w y x w y w x w D U ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ ∂ ∂ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂

= ∫∫ 22 22

2 2 2 2

0 21

2

1 υ

,

trong ( 2)

3

1 12 −υ = Et

D - độ cứng tấm, với t – chiều dày

Khối lượng qui đổi tính biểu thức: m = ∫∫ρtw2dxdy, ρ - khối lượng đơn vị diện tích

Hàm chuyển vị tìm theo cách làm Ritz: ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = b y a x C

w cos2π cos2π Thế động tham gia dao động:

tab C b b a a ab D C

U π 2ρ

4 2 4 ; 3 ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + = M

Điều kiện để động đạt cực trị: , , ; 2

0 ∂ = =

∂ − ∂ ∂ k C U

Ck ω k M

M

0 = 2U

ω 4 4

4 2

0 3 2 3

3 ta D b a b a U ρ π ω = = + + × M

Trường hợp a = b thấy rằng: 37,2 4

ta D

ρ ω =

Ví dụ b: Xác định hai tần số thấp dầm tựa trên hai gối đơn, hai đầu theo phương pháp Rayleigh-Ritz

Hàm chuyển vị thành lập dạng chuỗi hữu hạn sau, nhằm thỏa mãn điều kiện biên:

Điều kiện biên: w(0) = w(L) = (b) Có thể viết lại phương trình (a) dạng:

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = L x L x A L x L x A x w 2 )

( (a’)

Thành phần ma trận khối lượng mij ma trận cứng kij, i, j = 1, 2:

30 2 11 mL dx L x L x m m L = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − =∫ ; 20 3 2 12 mL dx L x L x L x L x m m L = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − =∫ ; 105 3 22 mL dx L x L x m m L = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −

=∫ ; m21 = m12; 3

2 2 2 11 L EJ dx L x L x dx d EJ k L = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = ∫ 3 2 2 2 12 L EJ dx L x L x dx d L x L x dx d EJ k L = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −

= ∫ ; 3

2 3 2 22 12 L EJ dx L x L x dx d EJ k L = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = ∫

k21 = k12

0 12 6 1058 201 201 301

3 ⎥=

⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ mL L EJ ω

Phương trình đặc trưng từ hệ phương trình có dạng: EJ mL4 2 ; 20 105 12 30

4 β β β ⎟ = β =ω

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −

Từ nhận được:

; 2520 ; 120 2 mL EJ mL EJ = = ω ω

2 CÁC PHƯƠNG PHÁP NHÓM TRỌNG HÀM DƯ

Phương pháp hàm trọng lượng dư, gọi cách khác trọng hàm dư (weighted residual method) thích hợp giải gần tốn phương trình vi phân tuyến tính và/hoặc khơng tuyến tính Sử dụng phương pháp khơng qua giai đoạn tìm phiếm hàm

Bài toán kỹ thuật suy rộng viết dạng phương trình nêu (a) phần mở đầu: L(u) - p = miền V,

và điều kiện biên:

B(u) -q = biên S Hàm u dạng hàm xấp xỉ:

∑ = = N i i if a u ~

Với số lượng i hữu hạn, không thỏa mãn L (u~) = p miền V Sai số trường hợp biểu diễn dạng hàm sai số, ký hiệu R, mở đầu từ Residual function, ký tự mở đầu từ error ε:

R ≡ε = L (∑

=

N i

i if

a

1

) - p ≠ (1.28)

u cầu tính tốn phải xây dựng trọng hàm w, để tích w.f(R), hàm R, thỏa mãn điều kiện minimum tiêu chuẩn “nhỏ có thể” theo nghĩa cụ thể, hồn cảnh cụ thể Hàm f(R) chọn nhằm đạt f(R) = R = 0, điều xảy u~ tiến đến u Hàm u~ trường hợp phải thỏa mãn điều kiện biên, tiêu chuẩn “nhỏ có thể”:

0 )

( =

∫Vwf R dV (1.29)

2.1 PHƯƠNG PHÁP GALERKIN

Phương pháp Galerkin thích hợp cho toán học thuộc lý thuyết đàn hồi, biến dạng dẻo, lý thuyết trường cho phương trình vi phân

Hàm u dạng hàm xấp xỉ: ∑

=

= N

i i if

a u

1

~ , hàm sai số hay hàm dư ε = L(u~) - p

Cách làm Galerkin đặt ε trực giao với hệ hàm thử fi, từ nhận tích vơ hướng sau:

< ε, fi > = 0, i =1,2, (1.30)

Dưới dạng đầy đủ công thức cuối viết lại:

0 = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩

⎨ ⎧

− ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛

∫ ∑a f p fidV

i i i

L , i =1,2, (1.31)

Ví dụ 5: Giải phương trình vi phân:

( ) 2

2

= + + =

− u x

dx u d p u

L miền < x <1 với điều kiện biên:

u = x =0 u = x =1

Hàm xấp xỉ u~được tìm dạng: u~= x(1-x)( a1 + a2x + ) (a)

Hàm u~ thoả mãn điều kiện biên đặt trước

Nếu hạn chế chuỗi (a) với thành phần a1 a2, hàm u là:

u~ = x( 1-x) (a1 + a2x) (b)

Hàm sai số:

ε = L (u~) - p = x( -2 +x -x2)a1 + (2 - 6x + x2 - x3 )a2

Thay hàm u~ ε vào phương trình Galerkin (1.31), nhận hệ phương trình đại số:

( )

∫1 − =

0

0 x dx x

ε

∫1 − =

0

2(1 x)dx 0

x

Giải hai tích phân trên, hệ phương trình đại số có dạng:

⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎢ ⎣ ⎡

20 12

1

105 13 20

3 20 10

3

2

a a

(d)

Sau giải hệ phương trình, hệ số xác định sau: 369

71

1 =

a

41

2 =

a Từ hàm xấp xỉ u là:

u~ = x(1- x)( 369

71 +

41

x ) (e)

Phương pháp Galerkin suy rộng, sử dụng rộng rãi phép biến phân Theo hướng có thể viết hệ hàm trực giao hệ thống hàm fi sau:

∫ { L (u) - p} fidV = 0, i=1,2,3, ,N (1.32)

Mặt khác biến phân u khai triển dạng chuỗi:

δu = δa1f1 + δa2f2 + + δaNfN (1.33) δu = ∑δaifi

Thay biểu thức cuối vào (1.31) nhận hệ phương trình:

∫ { L (u) - p} δu dV = (1.34)

Ví dụ 6: Xác định độ võng dầm nêu ví dụ trình bày ví dụ 1, phần trước Phương trình vi phân miêu tả độ võng dầm có dạng:

0

2 2

2

= − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

q dx

w d EI dx

d

≤ x ≤ L Điều kiện biên:

tại x = x= L: w =0; w’’ = 0;

Độ võng tìm theo biểu thức (d) trình bày phương pháp Ritz: Hãy chọn lời giải thử nghiệm hai thành phần sau:

L x a

L x a

x

w~( )= 1sinπ + 2sin3π

q

L x L

EIa L

x L

EIa

R ⎟ −

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

= π sinπ 3π sin3π

4

1

Thủ tục phương pháp Galerkin đưa đến hệ phương trình đại số:

⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ = −

=

= −

=

∫ ∫

0 2

sin

0 2 sin

2

1

π

π π

π

L q L EIa Rdx L

x

L q L EIa Rdx L

x

L L

Từ hệ phương trình xác định:

EI qL a

EI qL

a1 5 2 54 243

4

π

π =

Trường hợp hệ số vô lớn, hàm w(x) viết dạng chung:

∑∞

=

− =

1

) ( sin )

(

i i L

x i a

x

w π

Áp dụng cơng thức Galerkin vào tốn nhận hệ phương trình:

0 )

1 ( sin )

(

0

4

= −

⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡

−

∫L dx

L x i q

dx x w d

EI π , i =1,2, ,∞

Sau giải hệ phương trình xác định giá trị hệ số ai, từ viết biểu thức cho

hàm độ võng dầm

L x k k EI

qL x

w

k

π

π sin

1

) (

, ,

1

5

∑∞ =

=

Kết tính theo phương pháp Galerkin trường hợp trùng với kết tính theo phương pháp Ritz

Ví dụ 7: Áp dụng cơng thức suy rộng Galerkin (1.34) giải phương trình Poisson miền hạn chế hình chữ nhật cạnh axb

Phương trình Poisson: C

y u x

u

= + 22

2

∂ ∂ ∂ ∂

(a)

Điều kiện biên: tại x = x = a: u =0;

tại y = y = b: u =0 (b)

Hàm xấp xỉ viết dạng:

u(x,y) = αx( x-a)(y-b)y (c)

Thay (c) vào (1.9) nhận được:

∫ ∫ ⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

− +

a b

C y

u x

u

0

2 2

∂ ∂ ∂

∂ δudxdy =

(d)

trong đó: δu = δα x(x-a)y(y-b) (e)

Sau thay (c) vào (d) được:

( )

[ ]

36 90

3

2

3b a b Ca b

a + −

α

= Từ đó: α = 2 2

2

b a

C

+ (f)

và hàm u:

u = 25 2 b a

C + (x

2 - ax) (y2 - by) (g)

Ví dụ 8: Áp dụng cơng thức Galerkin (1.34) giải tốn uốn thép có cạnh axb, ngàm mép tấm, chịu tải phân bố p(x,y) = const tác động pháp tuyến Độ cứng D, chiều dày t

u(x,y) = w(x,y) =

i= ∞

∑

1

cifi(x,y) (a)

Mỗi hàm fi, i=1, 2, , phải thỏa mãn điều kiện biên phương trình vi phân:

D.∇2 ∇2 u - p(x,y) = (b)

trong p(x,y) tải trọng tác động lên

Biểu thức (a) chọn cho u, trường hợp là: u(x,y) =

n

m =

∞ = ∞

∑ ∑

1

amn

4 (1-cos 2m x

a

π ) ( 1- cos2n y

b

π ) (c)

Chuỗi (c) thoả mãn điều kiện biên: x = 0; x = a: u = ∂u/ ∂x = 0;

tại y= 0; y = b: u = ∂u/ ∂x = 0; (d)

Nếu chọn m =1 n =1, hàm u(x,y) có dạng: u(x,y) = a11.1

4 (1-cos 2πx

a )(1-cos

2πy

b ) (e)

Sau thay u từ (e) vào phương trình Galerkin (1.34): ∫[D.∇2 ∇2 u - p(x,y)] δudxdy =

Kết nhận được:

0

b a

∫

∫ [D.a11.∇2 ∇2 fi(x,y) - p(x,y)] fi(x,y)dxdy = (f)

Thực phép lấy đạo hàm riêng ∇2 ∇2 f

1(x,y) = 2 2

4

4 b a

π

[ (1-cos b

π

2

y)cos a

π

2

x +cos a

π

2

x cos b

π

2

y +(1-cos a

π

2

x)cos b

π

2

y ] (g)

và thay (g) vào (f), hệ số chuỗi có dạng:

4 2 11

8Dπ b pa a =

Với trường hợp hình vng cạnh a, giá trị u tính tâm lớn nhất: umax = 0,00128

D pa4

Kết tính so với nghiệm “chính xác” tính phương pháp giải tích umax =

0,00126 D pa4

2.2 PHƯƠNG PHÁP TÍNH THỎA MÃN TRÊN MỘT SỐ ĐIỂM HOẶC MIỀN CHỌN LỰA

Hàm u dạng hàm xấp xỉ: ∑

=

= N

i i if

a u

1

Trong trường hợp tốn có lời giải xác u~ = u, phương trình (a) (b) phần mở đầu sẽ đúng: L (u) = p V B(u) = q S

Trường hợp u~ = u giá trị ε→ 0, trường hợp khác biểu thức ε hiểu theo cách ε ≠

Phương pháp chọn điểm tính tốn cố gắng đưa ε đến gần theo nghĩa bình quân, hiểu theo ý sau: < ε, wi > = ∫ { L (u~) - p} wi dV = 0, i =1,2,

tại số điểm miền, chọn trước Ngoài điểm chọn điều kiện đặt tốn khơng thỏa mãn

Thứ tự giải tốn sau:

1 Tìm hàm xấp xỉ thỏa mãn điều kiện biên:

∑ =

= N

i i if

a u

1

~

2 Xác lập hàm sai số: ε = L ( u~) - p =

i=

∑

1 Ν

ai L (fi) - p

3 Tại điểm chọn tiến hành ép buộc hàm ε =

∫{ L ( u~) - p }δi dV = 0, i =1,2, M (1.32)

trong hàm Dirac δ định nghĩa:

ξ ξ

− + ∫

c c

δ(x - ξ)dx = với c → 0, phạm vi hàm δ(x) = (1.33) Ví dụ 9: Xác định nghiệm phương trình vi phân nêu ví dụ 5:

0 )

( − = 22 +u+x= dx

u d p u

L miền < x <1 với điều kiện biên: u = x = u = x =1

Hàm u thử nghiệm sau: u~(x) = x(1-x)(a1 + a2x )

Chọn điểm tính x = 0,25 x = 0,5 Hàm sai số ε:

ε = L ( u~) - p = x + ( -2 + x - x2)a1 + ( 2- 6x + x2 - x3)a2

Tại x =0,25 x =0,5 hệ số a1, a2 phải thỏa mãn:

⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎢ ⎣

⎡ −

2 14

8 7 64

35 16

29

2

a a

Từ đó: a1 =

31

a2 =

217 40

u~(x) = 217

1

x(x-1)(42+40x)

Ví dụ 10: Xác định độ võng dầm liên tục dài L, EI = const, chịu tác động tải trọng phân bố q = const Dầm ngàm bên trái, gối tự bên đầu phía phải

Phương trình vi phân xác định độ võng dầm:

0

2 2

2

= − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

q dx

w d EI dx

d

(a)

Điều kiện biên:

tại x = 0: w = w’ = 0;

tại x = L: w = w’’ =0; (b)

Các điểm tính chọn x = 0,25L; 0,5L; 0,75L Lần thử chọn hàm w(x) theo chuỗi: w(x) =

k N

=

∑

0

ak x L

k

⎛ ⎝⎜

⎞

⎠⎟ (c)

Hàm (c) chưa thỏa mãn điều kiện cân phương trình vi phân (a) điều kiện biên Do từ (c) chọn thành phần nhằm thoả mãn biểu thức điều kiện biên nêu, cịn ba điểm chọn cho tính tốn, phả thỏa mãn điều kiện cân phương trình vi phân bậc bốn Hàm w(x) phải là:

6 5 4 3 2

0

)

( ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + =

L x a L x a L x a L x a L x a L x a a x

w (d)

Sau thoả mãn điều kiện biên, hệ số xác định từ hệ phương trình: a0 =

a1 =

a0 + a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 = 2a2 + 6a3 + 12a4 + 20a5 + 30a6 =

Tại điểm chọn x = 0,25L; 0,5L; 0,75L, sau thỏa mãn phương trình (8.23), hệ phương trình chứa là:

24a4 + 30a5 + 22,5a6 = EJ pL4

24a4 + 60a5 + 90a6 = EJ pL4

24a4 + 90a5 + 202,5a6 = EJ pL4

Từ đó: a0 = 0; a1 = 0; a2 = EJ pL

16 ; a3 = - EJ pL 48

; a4 = EJ pL 24

4

; a5 = 0; a6 =

Ký hiệu ξ = x/L phương trình độ võng dầm theo cách tính viết lại sau:

⎥⎦ ⎤ ⎢⎣

⎡ − +

= 4

24 48

5 16

1 )

( ξ ξ ξ

2.3 PHƯƠNG PHÁP TỔNG NHỎ NHẤT CÁC BÌNH PHƯƠNG CỦA SAI SỐ

Phương pháp tốn có tên gọi Least Squares sử dụng rộng rãi phương pháp tính Phương pháp trọng hàm coi cách làm hữu hiệu giải tốn phương trình vi phân Trong khn khổ phương pháp coi tích phân bình phương hàm sai số với trọng hàm dư miền khảo sát đạt minimum

min

2 =

∫V wR dV (1.34)

= ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

∫ w ∑a f p dV

V

i i i

L (1.35)

Điều kiện cần để hàm mục tiêu đạt minimum:

n i dV p f a w a V

i i i

i , , , L = = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂

∫ L ∑ (1.36)

Hay

( )f a f p dV i n

w

V

i i i

i =0 =1,2,L,

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

∫ L L ∑ (1.37)

Trong phương pháp trọng hàm nhận đơn vị

Ví dụ : Giải tốn dầm tựa hai đầu chịu tải trọng phân bố nêu phương pháp tổng nhỏ bình phương

Sử dụng hàm thử, hàm sai số nêu phương pháp Galerkin: L x a L x a x

w~( )= 1sinπ + 2sin3π

q L x L EIa L x L EIa

R ⎟ −

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

= π sinπ 3π sin3π

4

1

Hệ phương trình đại số hình thành từ điều kiện cần:

( )

[ ( )

( ) sin sin3 sin sin3

2 sin sin 4 2 2 2 2 2 = ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∫ ∫ dx L x L EIqa L x L EIqa L x L x L a a EI q dx L x L a EI dx L x L a EI a dx R a L L π π π π π π π π π π π ( ) [ ( )

( ) sin sin3 sin sin3

2 sin sin 4 2 2 2 2 2 = ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∫ ∫ dx L x L EIqa L x L EIqa L x L x L a a EI q dx L x L a EI dx L x L a EI a dx R a L L π π π π π π π π π π π Hoặc

( )

( )

[ ( )

( ) sin sin3 sin sin3

2

3 sin

sin

4

1

2

0

2

8 2 2

8 2

0 2

= ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧

+ + ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂

∂ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛ ∂

∂

∫ ∫

dx L

x L

EIqa L

x L

EIqa L

x L

x L

a a EI

q dx L

x L

a EI dx L

x L

a EI a

dx R a

L L

π π

π π

π π

π

π π

π π

Hoặc

( )

3

4

2

2 =

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

L L EIq L

L a

EI π

π π

Từ hệ phương trình xác định:

EI qL a

EI qL

a 5

4

5

243 4

π

π =

Chương

PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN

Phương pháp cịn có tên gọi thơng dụng, dễ nhớ phương pháp lưới Phương pháp chọn dùng giải phương trình vi phân thơng thường sau dùng cho phương trình vi phân đạo hàm riêng Phương pháp dùng cho toán chiều cách chia đoạn thẳng xem xét thành nhiều phân đoạn bước, gọi sai phân, với tổng số bước hữu hạn Trong toán hai chiều cần tiến hành chia miền xét thành lưới với mắt lưới nằm nút chọn lựa Không gian ba chiều chia làm lưới theo phương pháp tương tự

1 HÀM MỘT BIẾN

Với toán chiều, hàm liên tục y = y(x), với giá trị đầu y(x0) = y0, xác định giá

trị hàm vị trí x + Δx dựa vào chuỗi Taylor, dùng trường hợp tiến: y(x + Δx) = y(x) + Δx

1! y’(x) + Δx2

2! y’’(x) + Δx3

3! y’’’(x) + (2.1)

Khi tính thụt lùi chuỗi Taylor có dạng: y(x - Δx) = y(x) - Δx

1! y’(x) + Δx2

2! y’’(x) - Δx3

3! y’’’(x) + (2.2)

Nếu lấy hai thành phần đầu chuỗi, trừ (2.2) với (2.1) nhận được: y(x + Δx) - y(x - Δx) =

2Δx[y’(x)Δx - (-y’(x)Δx) ]

Từ cơng thức tính đạo hàm bậc 1, x là: y’(x) =

2Δx [y(x + Δx) - y(x - Δx) ] (2.3)

Nếu lấy ba thành phần đầu chuỗi để tính, phép tính đạo hàm bậc hai sau: y(x + Δx) - y(x - Δx) = 2y(x) + y’’(x) (Δx)2

Từ đó:

y’’(x) = 2

(Δx) [ y(x + Δx) - 2y(x) + y(x - Δx) ] (2.4)

Công thức rút từ cách làm trên, áp dụng tính đạo hàm bậc từ đến có dạng sau:

( 1)

'

2

−

+ −

Δ

= k k

k y y

x y

( )2 ( 1)

'' 2

−

+ − +

Δ

= k k k

k y y y

x y

( )3 '''

2

x yk

Δ

= (yk+2 - 2yk+1 - 2yk-1 - yk-2 )

( )4 )'

(

x y IV

k

Δ

Ứng dung phương pháp sai phân hữu hạn giải phương trình vi phân

Sử dụng biểu thức ghi (2.5) giải toán phương trình vi phân thường gặp học kết cấu Dầm thẳng, momen quán tính mặt cắt thay đổi theo luật I(x) = I0 (1 + x/L), với I0 momen

quán tính mặt cắt đầu dầm phía trái Hãy tính độ võng dầm vị trí ¼ chiều dài dầm, tính từ trái Phương trình vi phân uốn dầm:

M dx

y d x

EI( ) 22 =− (*) M – momen uốn dầm Momen uốn dầm tính sau:

(L x)

x p

M = −

2

0

Điều kiện biên:

M(0) = M(L) =

Phương trình vi phân (*) viết lại dang:

( ) ( ξ)

ξ ξ

+ − −

≡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − −

=

1

1 /

2 0

2 0

2

2

EI L p L

x L

x L x EI

L p dx

y d

trong ξ = x/L Điều kiện biên:

y(0) = y(L) =

Có thể dùng biến khơng thứ ngun u thay vào vị trí y:

( )0

4

2

/ pEIL

y u=

Phương trình vi phân có dạng:

( ) ( )

ξ ξ

ξ ξ

d d u u ''=− 1− /1+ '= cùng điều kiện biên: u(0) = u(1) =

Sử dụng cơng thức tính sai phân phần trên, h = Δx:

2

''

h

yk = (yk+1 -2yk + yk-1)

cho phép tính

Trường hợp 1: chia dầm làm đoạn ( n = 2)

, / = =

h ;

( 2) ( )

2 ''

1 50

5 ,

1

u u

u u u

u = − + = − − =−

Với ξ = 0,5 '' 1

1 8u

u =−

) , /( ) , ( ,

8 1 =− − +

− u từ tính u1 =0,020833

So với lời giải xác 0,017601, kết nêu sai số 18,4% Trường hợp 2: chia dầm làm đoạn, n = 4; h = 0,25

Tại k =1: '' (1/0,252)( 0 1 2) 0,25(1 0,25) (/1 0,25) 0,15

1 = u − u +u =− − + =−

u

Tại k =2: u2 =(1/0,25 )(u1−2u2 +u3)=−0,5(1−0,5) (/1+0,5)=−0,166667 Tại k =3: '' (1/0,252)( 2 3 4) 0,75(1 0,75) (/1 0,75) 0,107143

3 = u − u +u =− − + =−

u

Lập hệ phương trình đại số từ kết vừa có:

⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − 697 , 417 , 10 375 , 10 1 1 3 u u u

Kết tính:

{ }u =[0,013917 0,018452 0,012567]T

Sai số u2 so với lời giải xác 4,8% Trường hợp n = 8; h = 1/8

Sau tính nhận u4 = 0,17817, sai số 1,2% Trường hợp chung, dầm chia làm N đoạn, h = 1/N

( )2 ( 1)

" 2 / 1 + − − +

= k k k

k u u u

N u

Ký hiệu ξk = 1/N, k = 1, 2, , N viết lại phương trình nêu:

( k) ( k)

k k

u" =−ξ 1−ξ /1+ξ

Từ hai cơng thức hình thành quan hệ:

( )( ) ( ) k N k N k N N k N k N k N u u uk k k

+ − − = + − − = + − +

−1

1 / / /

Dưới dạng ma trận phương trình viết sau:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − + − − + − − + − + − + − + − − = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − − − − / / 2 / 3 / 3 / 2 / 1 1 1 1 1 1 3 N N N N N N N N N N N N N N N N u u u u u u N N N M M M M O O 0 0

Sau giải hệ phương trình xác định thành phần vecto {u}

Hình 2.3 Ba trường hợp tính tốn: (a) n =2, (b) n = 4, (c) n =

Ví dụ 2.1: Xác định độ võng dầm dài L, độ cứng EJ = const, chịu tác động lực phân bố q(x) hình tam giác, p0 đầu bên trái, p = đầu phía phải, hình 2.4

Hình 2.4 Dầm ngàm trái, tựa phải chịu tải phân bố tam giác

Chia dầm thành đoạn thẳng, chiều dài đoạn h = L/5 Phương trình vi phân yếu có dạng:

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − =

= ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

L x p x q dx

w d dx

d

EJ 2 ( ) 0

2 2

w(0) = 0; w’(0) = 0; w(L) = M(L) = (b) Tại điễm chọn làm nút tính tốn, biểu thức (a) trở thành:

j IV

j p

EJw = (c)

Công thức xác định đạo hàm bậc ghi (b) phần w(IV) (x) = 14

h (wk+2 - 4wk+1 +6wk - 4wk-1 + wk-2) (d) Giá trị pj đọc nút thứ j Từ (c) (d) tiến hành xây dựng hệ phương trình đại số:

j = 1: w-1 - 4w0 + 6w1 - 4w2 + w3 = (4/5)(p0h4)/(EJ)

j = 2: w0 - 4w1 + 6w2 - 4w3 + w4 = (3/5)(p0h4)/(EJ)

j = 3: w1 - 4w2 + 6w3 - 4w4 + w5 = (2/5)(p0h4)/(EJ)

j = 4: w2 - 4w3 + 6w4 + 4w5 = w6 = (1/5)(p0h4)/(EI) (e)

Từ điều kiện biên viết w0 = w5 = Chuyển vị nút ảo w-1 xác định từ w’0 = Biểu thức tính

như sau:

( 1)

'

2

w w h

w = − − + Từ w-1 = w1

Từ " 2 ( 4 5 6)

5

1

0 w w w

h

w = = − + xác định w6 = -w4

Điều kiện miêu tả hình 2.5

Hệ phương trình đại số viết (e) sau thay điều kiện biên:

EI h p w

w w w

4

4

5

5

4

1

0

⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫

⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫

⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

− − −

− −

−

Lời giải phương trình:

EI L p w

w w w

4

4

001788 ,

0

002793 ,

0

002553 ,

0

001243 ,

0

⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫

⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫

⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧

Momen uốn dầm lực cắt tính theo cơng thức:

) ( ' " )

( )

( " )

(x EIw x F x EIw x

M =− =−

Diễn đạt theo cách làm phương pháp sai phân hữu hạn, hai công thức vừa nêu biết là:

( 1 1)

2

1

+

− − +

−

= i i i

i w w w

h EI M

( 1 2)

2 2

2

+ + −

− + − +

− −

= i i i i

i w w w w

h EI F

Giá trị tính tốn M/(p0L2) F/(p0L) sau:

Bảng 2.1

x/L 0.4 0,6 1,0

M/(p0L2) -0,06215 0,02675 0,3113

F/(p0L) 0,40238 0,082 -0,0179 -0,0979

Tương tự cách làm tính độ võng dầm thẳng dài L, độ cứng EJ = const, chịu tác động lực phân bố q(x) = const thực theo cách sau Với nút k = 1,2,3,4,5 phương trình cân có dạng:

wk+2 - 4wk+1 +6wk - 4wk-1 + wk-2 = EJ qh4

Phương pháp xử lý w0 w5 theo cách nêu

2 PHƯƠNG PHÁP LƯỚI CHO BÀI TOÁN HAI CHIỀU

Động tác cần tiến hành tạo lưới cho mặt hai chiều Lưới chia dạng đơn giản gồm hai hệ đường thẳng trực giao, hệ thứ song song với trục Ox, hệ song song với Oy Bước lưới gồm: Δx - dọc trục Ox Δy - dọc trục Oy Chỉ số biến thiên vị trí dọc Ox ký hiệu bằng i, cịn dọc Oy ký hiệu k Theo qui ước này, công thức tính đạo hàm riêng u

y xm n

n m

∂ ∂

∂ +

sau:

Tại điểm x = xk, y = yi, đạo hàm riêng bậc từ đến có dạng:

x u u

x

uik ik ik

Δ −

= + −

2

1 , ,

∂ ∂

;

y u u

y

uik i k i k

Δ −

= + −

2

, ,

∂ ∂

(2.6)

∂ ∂

2

x uik =

u u u

x

i k, ik i k,

( )

+1− + −1

2

2

Δ ;

∂ ∂

2

y uik =

, ,

1

) (

2 y

u u

ui k ik i k Δ

+

− −

+ (2.7)

∂ ∂ ∂

2

x y uik = x y

u u

u

ui k i k i k i k Δ

Δ

+ −

− + − − + − −

+ +

4

1 , 1 , 1 , 1 ,

(2.8)

∂ ∂

4

x uik =

2 , ,

, ,

) (

4

x

u u

u u

uik ik ik ik ik Δ

+ −

+

− + − −

+

(2.9) ∂

∂

4

y uik =

, ,

1 ,

1 ,

2

) (

4

y

u u

u u

ui k i k ik i k i k Δ

+ −

+

− + − −

+

∂ ∂ ∂

4

2

x y uik = (Δ Δ )2 [ +1, +1 + +1, −1 + −1, +1 + −1, −1 + k i k i k i k

i u u u

u y x

+4uik −2(ui,k+1 +ui,k−1 +ui+1,k +ui−1,k)] (2.11) Các biểu thức vi phân momen uốn lực cắt:

( )

( ) ( ) ik

k i x y w x w D m , 2 2 , ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ Δ Δ + Δ Δ − ≈ υ ( )

( ) ( ) ik

k i y x w y w D m , 2 2 , ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ Δ Δ + Δ Δ − ≈ υ ( ) ( ) ( ) ( ) k i k i xy k i xy y w x D m m , ,

, 2 2 ⎥

⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ Δ Δ Δ Δ − − ≈

= υ (2.12)

và

( )

( ) ( ) ( ) ik

k i x y w x w x D f , 2 2 , 2 ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ Δ Δ + Δ Δ Δ Δ − ≈ ( ) ( ) ( ) ( ) k i k i y y w x w y D f , 2 2

, 2 ⎪⎭

⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ Δ Δ + Δ Δ Δ Δ − ≈ (2.13)

Thứ tự giải toán uốn thể qua toán xác định độ võng hình vng cạnh a, chịu tải trọng phân bố q, tác động theo phương pháp tuyến Cạnh x = ±a

2 tựa gối, dọc y = ± a

2 cạnh bị ngàm

Phương trình chung uốn tấm:

D q y w y x w x

w+ + =

4 2 4 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ D - độ cứng

Điều kiện biên: x = ±

2 a

: w = 0; 22 x

w ∂ ∂

= 0; y = ±

2 a

: w = 0; y w ∂ ∂

= 0;

Tấm chia thành lưới 4x4 với Δx = Δy = a/4

Hàm w cần thỏa mãn w = cho tất nút nằm cạnh x = ±a

2 y = ± 2 a

Hệ phương trình đại số để xác định hàm chuyển vị w(x,y) theo phương pháp sai phân hữu hạn:

ik y w y x w x w x ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + +

Δ 44 2 24 2 44

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= (u i+2,k - 4u i+1, k + 6uik - 4u i-1,k + ui-2,k)

+ β2 (u

i,k+2 - 4ui,k+1 + 6uik - 4ui,k-1 + ui,k-2 ) = D

x qikΔ

trong đó: β = 22 y x Δ Δ

;

Trong trường hợp β =1; qik = q = const

Thay giá trị Δx = Δ; y = a/4 vào phương trình cuối, thực phép tính cho tất nút, hệ phương trình đại số theo phương pháp lưới có dạng:

10w1 - 16w2 - 16w3 + w4 = C -8w1 + 21w2 + 4w3 - 16w4 + w6 = C -8w1 + 4w2 + 21w3 - 16w4 + w8 = C 2w1 -8w2 - 8w3 + 22w4 + w5 + w9 = C

trong C = D qa 256

4

Điều kiện biên 2

2

x w ∂ ∂

= x = a/2 thỏa mãn hệ phương trình: w2 + w6 =

w4 + w5 =

w7 =

Còn điều kiện y w ∂ ∂

= đưa đến: w3 - w8 =

w4 - w9 =0

w10 =

Giải hệ phương trình đại số cho phép xác định hàm u(x,y) tất nút lưới Ứng suất tính theo cơng thức:

2 , ,

1

2

) (

2 y

u u u

u y

k i ik k i

x Δ

+ − =

= + −

∂ ∂ σ

2 ,

,

2

) (

2 x

u u u

u x

k i ik k

i

y Δ

+ − =

= + −

∂ ∂

σ ;

y x

u u

u u

u y x

k i k i k i k i

xy Δ Δ

+ −

− =

∂ −

= + + + − − + − −

4

1 , 1 , 1 , 1 ,

∂ ∂ τ

Ví dụ 2.2: Tấm thép hình chữ nhật cạnh dài a, cạnh ngắn ¾a Tấm bị ngàm mép chiều dài a, hai mép cận kề tựa gối cứng, mép lại tự Tải tác động pháp tuyến có giá trị khơng đổi Sử dụng lưới bước ¼a xác định chuyển vị w(x,y)

Phương trình chung uốn tấm:

D q y

w y

x w x

w+ + =

4 2

4

4

2

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂

∂

(a)

trong D - độ cứng Điều kiện biên:

Tại mép ngàm y = 0: w = 0; w5 = w6 = w7 = w8 = w9 = (b)

∂w/∂y = 0: w13 = w1; w14 = w2; w15 = w3 (c)

∂2w/∂x2 = dọc trục x: w

8 = w10 = (d)

Tại mép tựa x = y = ¾a: w= 0: w12 = w20 = w27 = w28 = w29 = w30 = w31 =

∂2w/∂x2 = 0: w

13 = -w11 ; w21 = -w19

∂2w/∂y2 = 0: w

21 = w33; w22 = -w34; w23 = -w35, w24 = -w36 (e)

∂2w/∂x2 = dọc mép y =3a/4 : w

30 = w32 =

Tại mép tự x = 0: Nz = nút 16 24

w18 – w14 + (ν-2)(w8 – w25 + w23 – w10) + (6-ν)(w15 – w17) =

w26 – w22 + (ν-2)(w15 – w30 – w17 – w32) + (6-ν)(w23 – w25) =

Mz = nút 16, 24:

w15 + w17 + ν(w9 + w24) – 2(1+ν)w16 =

w23 + w25 + ν(w16 + w31) – 2(1+ν)w24 =

Sau xử lý điều kiện biên, hệ phương trình đại số cịn lại 12 ẩn, tính từ w13 đến w26 Phương trình ma

trận có dạng:

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − 0 0 1 1 1 1 , 0 0 , 0 0 0 , 0 0 , 0 , , 0 , , 0 , , 0 , , 0 19 0 0 19 0 0 19 0 0 18 0 0 8 0 21 0 0 21 0 0 21 0 0 0 20 26 25 24 23 22 21 18 17 16 15 14 13 D ph w w w w w w w w w w w w

Nghiệm phương trình mang dạng sau, đơn vị đo ph4/D

w13 = 0,25619 w14 = 0,38943 w15 = 0,45037

w16 = 0,51951 w17 = 0,70839 w18 = 1,07433

w21 = 0,3038 w22 = 0,46598 w23 = 0,54558

w24 = 0,63989 w25 = 0,96226 w25 = 2,27756

3 XOẮN DẦM

Bài toán xoắn dầm trụ mặt cắt hình chữ nhật, phần “Lý thuyết đàn hồi” xác định dạng: 2 2 = − = ∂ ∂ + ∂ ∂ ψ ψ ψ y

x biên

Từ công thức xác định hàm ứng suất Prandtl ψ Ví dụ 2.3 Xác định ứng suất xoắn dầm mặt cắt hình vng, cạnh a

(a)

(b) Hình 2.8 Mặt cắt hình vng lưới

Lưới mặt cắt thể hình 2.8, theo Δx = Δy = 1/3 Vị trí nút ψj,k j, k = 1,2,3,4 thể hình Điều kiện biên hàm Prandtl sau:

0 1,

1

, = k =

j ψ

ψ ψj,4 =0 ψ4,k =0 j = 1,2,3,4; k = 1,2,3,4 Từ cơng thứctính đạo hàm riêng:

∂ ∂

2

x uik =

u u u

x

i k, ik i k,

( )

+1− + −1

2 Δ ; ∂ ∂ 2

y uik =

, , ) ( y u u

ui k ik i k Δ

+

− −

và điều kiện biên xây dựng hệ phương trình đại số: ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ − = − + − = + − − = + − − = + + − 22222 , 22222 , 22222 , 22222 , , , 3 , , , , , 3 , 2 , 2 , 3 , 2 , ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ

Lời giải hệ phương trình:

{ } [ ]T

11111 , 11111 , 11111 , 11111 , = ψ

Trường hợp dùng lưới mịn hơn, hình phía phải, hệ phương trình đại số có dạng sau:

{ 0,125}

4 1 1 1 1 1 1 1 1 4 , , , 4 , 3 , , , , 2 , − = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − − − − ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ 0 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ 0859 , 10937 , 0859 , 10937 , 140625 , 10937 , 0859 , 10937 , 0859 , , , , 4 , 3 , , , , 2 , ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ

Ứng suất cắt xoắn xác định từ biểu thức:

( 3,4 3,2) ( 4,3 2,3)

2

2 ψ ψ

φ ψ φ τ ψ ψ φ ψ φ τ − Δ − = ∂ ∂ − = − Δ = ∂ ∂ = G x G G y G zy zx

4 BÀI TOÁN TRƯỜNG 2D VỚI BIÊN CONG

Trong trường hợp biên cong cần thiết hàm hóa biên dạng đa thức:

2 ) ,

(x y w ax a y a x a y

w = + + + + (2.15)

Từ hình 2.9 tính hằng:

( ) ( )

( ) ( 1)( (1) )

3 1 2 4 2 4 ; h h hh w w h w w h a h h hh w w h w w h a + − + − = + − + −

( ) ( )

( ) ( 1)( (1) )

3 1 4 4 ; h h hh w w h w w h a h h hh w w h w w h a + − + − = + − + − =

Hình 2.9 Biên cong

Tại điểm (x =0; y = 0): 4

0 2 2 ; a y w a x w = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ (2.17) Từ viết:

( ) ( ) ( ) ( )

4 4 4 1 2 2

2 2

1 2 2 w w w w w y w x w h ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − + + + + + + + ≈ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ α α α α α α α

α (2.18)

trong = , i=1,4 h

hi

i

α

Trường hợp hi nhánh nhỏ so với h, cơng thức có dạng:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 3 2 1 2 2 2 2 w w w w w w h ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − + + + + + + + ≈ ∇ α α α α α α α α α α α α α α α α (2.19)

Ví dụ 2.4: Xác định độ võng momen uốn tâm thép hình ellip, tựa mép tấm, chịu tác động tải phân bố p Kích thước cho trước: a = 0,15 m, b = 0,1 m, t = 0,05 m

Sử dụng tính chất đối xứng qua hai trục cấu hình tấm, đưa ¼ vào tính tốn.Theo cách ký hiệu hình 2.10 khoảng cách h1 = 0,044 m h2 = 0,0245 m, h3 =0,03 m Tại nút 1, 2,

và áp dụng cơng thức sai phân chuẩn, cịn nút áp dụng mơ hình trình bày phía phải hình 2.9

Để ý biên w = M =

Từ biểu thức ∇4w= p/D, sau biến đổi viết:

D M y w x w p y M x

M =−

∂ ∂ + ∂ ∂ − = ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 2 2 ;

Dưới dạng ma trận biểu thức cuối viết sau:

2

6

41 , 25 , 34 , 0

1 26 , 06 ,

0

4 0

2

0

0

0

0

0

2

ph

M M M M M M

− = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡

− −

− − − −

Giải hệ phương trình nhận giá trị sau cho vecto M:

{ } [ ]T

ph

M = 21,384 1,23 0,769 1,038 0,884 0,423 Và

{ } [ ]T

D ph

w 1,52 1,282 0,647 1,066 0,853 0,325

4

=

Momen uốn tính vị trí tấm:

( )

[ ]

4

1

2 2w 2w 2w 2w 0,187pb

h D

Mx = − +υ − =

( )

[ ] max

2

1

1

2 2w 2w 2w 2w 0,263pb M

h D

My = − +υ − = =

5 PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN TRÊN CƠ SỞ PHÉP BIẾN PHÂN

Phương pháp sai phân hữu hạn xem xét áp dụng hữu hiệu cho kết cấu có cấu hình chuẩn, hay nói rõ cấu hình đơn giản Ma trận cứng lập trường hợp thuộc dạng ba đường chéo năm đường chéo chính, ma trận đối xứng Với kết cấu có cấu hình phức tạp, tính đối xứng ma trận khơng cịn, ưu việt vốn có phương pháp khơng phát huy tác dụng mong đợi Ngày nhà nghiên cứu đề xuất thủ tục xử lý phương pháp sai phân hữu hạn sở phép biến phân kinh điển Tên gọi phương pháp có nguồn gốc từ cơng trình liên quan, đăng tải tạp chí tốn học, năm cuối sáu mươi, đầu bảy mươi kỷ XX Đây phương pháp sai phân xây dựng nguyên lý lượng (finite difference energy method) Từ nguyên lý công ảo đề cập sách “Cơ học kết cấu tàu thủy” thấy rõ xây dựng toán theo nguyên lý đảm bảo ma trận hệ phương trình đại số đối xứng dương

Trong chừng mức nhận xét, chuyển hóa ưu việt tiềm tàng phương pháp phần tử hữu hạn vào phương pháp sai phân hữu hạn Nói cách khác, hai phương pháp có tương đồng Tranh thủ tính tương đồng phương pháp sai phân hữu hạn tìm cách đổi Những ví dụ trình bày cách làm

Ví dụ 2.5: Giải tốn uốn dầm ví dụ 2.1, hinh 2.2, sở nguyên lý lượng Từ ngun lý cơng ảo viết công ảo hệ thống sau đây:

0 "

"

0

= −

=

Π ∫LEIw δw dx ∫L pδwdx

δ (a)

( )

5 0

"

" − =

= Π ∑∫ = dx w p w EIw i L i i

iδ δ

δ (b)

Đại lượng w” EI xem không đổi phạm vi phân đoạn, L0 L5 L/10, cịn L1 đến

L4 L/5 Lấy tích phân theo công thức cuối nhận được:

( )

10

10 ⎟⎠ =

⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =

Π L δW L δW δW δW δW L δW

δ (c)

trong δWi =δwi"( )EI wi" − piδwi Thay cơng thức tính đạo hàm bậc hai:

( )2 ( 1)

" 2

+

− − +

Δ

= i i i

i w w w

x

w vào δΠ nhận quan hệ:

( i i i )( ) ( i i i ) i

i w w w p w

L EI w

w

w δ δ δ

δ

δΠ = −1− + +1 2 −1−2 + +1 −

/

2 (d)

Điều kiện biên:

1

'

0 w w w w

w = = = − =

Từ đó:

( )

[EI/ L/5 3]{w1[(7w1−4w2 +w3) ( ) (− 4/5 p0 L/5)]

= Π δ δ ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] ( )

[ ]

5 / / / / / / 6 6 4 3 2 = + + − + + − + − − + − + − + − + − + w w w L p w w w w w L p w w w w w L p w w w w w δ δ δ δ (e)

Dùng ký hiệu ma trận viết phương trình (e) dạng sau:

(Kw P) 0

w − =

= Π δ T

δ (f)

Để ý đến điều kiện w4 + w6 = w6 = -w4 viết:

( ) EI L p w w w w w 5 / / / / / 1 0 0 1 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − (g)

Ma trận cứng hệ thống ma trận năm đường chéo, có tính đối xứng dương Giải hệ phương trình cho phép xác định chuyển vị các điểm tính Kết tính trùng với kết nhận từ ví dụ trước

( ) [ ]

⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − ⎪

⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − +

− =

Π

+ − +

−

1

1

1

1 2

i i i i

i i

i

w w w h

EI w

w

w δ δ

δ δ

i i i i iT

h EI

w k w w

w δ

δ =

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎢ ⎣ ⎡

− − −

− =

1

2

1

4 (h)

trong wi vec to chuyển vị nút, ki ma trận cứng lập cho phân đoạn Ma trận cứng vừa lập có tính đối xứng

Ví dụ 2.6: Xác định ứng suất cắt xoắn dầm mặt cắt hình vng nêu ví dụ 2.3

Hình 2.11 Chia lưới cho ví dụ 2.6

Phương trình Poisson viết cho trường hợp này:

2

2 2

= −

= ∂ ∂ + ∂

∂ ψ ψ ψ

y

x biên

Sử dụng nguyên lý công bù, nguyên lý trình bày sách “Cơ học kết cấu tàu thủy”, viết biểu thức xác định cơng bù ảo:

0

* =

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

− ∂

∂ ∂ ∂ + ∂

∂ ∂ ∂ =

Π ∫ dxdy

x x y

y δψ δψ

ψ δψ ψ

δ (a)

Hãy tạo lưới cho toán chiều đề nghị hình 2.11 Mỗi tam giác vng cân mặt cắt dầm qui ước mang tên gọi “phân tử”, tên gọi mươn từ phương pháp phần tử hữu hạn Thứ tự nút “phần tử” tam giác giới thiệu hình 2.11 Tích phân () thực cho toàn mặt cắt Đại lượng δψ cho tam giác nhận giá trị trung bình cọng δψ tính cho nút tam giác

Các cơng thức tính đạo hàm riêng Tính cho tam giác bên trái:

h y

h x

2

2 ψ ψ ψ ψ

ψ

ψ −

= ∂ ∂ −

= ∂ ∂

h y

h x

2

2 δψ δψ δψ δψ

δψ

δψ = −

∂ ∂ −

= ∂

∂

h y

h x

1 2

3 ψ ψ ψ ψ

ψ

ψ −

= ∂ ∂ −

= ∂ ∂

h y

h x

1 2

3 δψ δψ δψ δψ

δψ

δψ = −

∂ ∂ −

= ∂

∂

Công bù ảo dầm tổng công bù ảo phần tử tạo thành:

* =

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝

⎛ −

∂ ∂ ∂ ∂ + ∂

∂ ∂ ∂ =

Π ∑ ∫ dxdy

x x y

y

k

δψ δψ ψ δψ ψ

δ (b)

Hay

( )

∑

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎣ ⎡

+ + +

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝

⎛ −

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝

⎛ −

+ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝

⎛ −

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝

⎛ −

= Π

k

k k k k

k k k k

k k k

h h

h h

A 2 3 1 2 3

*

3

2 δψ δψ δψ

ψ ψ ψ ψ ψ

ψ ψ ψ

δ (b’)

trong A – diện tích tam giác thứ k, k,i=1,2,3

i

ψ giá trị ψ ba nút ba góc tam giác Biểu thức nên viết dạng ma trận:

( )

* =∑ − =

Π

k

k k k

kT k ψ p

ψ δ

δ (c)

với

⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎥

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎢ ⎣ ⎡

− −

− − − = ⎪

⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =

1 1

1

1

0 1

3

A

k k

k k k

k k p

ψ ψ ψ ψ

(d)

Điều nhận xét cơng thức (c) vừa lập có dạng tương tự cơng thức gặp phương pháp phần tử hữu hạn Mọi thủ tục tính tốn cho ma trận biểu thức trùng với thủ tục phương pháp phần tử hữu hạn

Sau xử lý điều kiện biên viết biểu thức (c) dạng:

(Kψ− P)=0

ψT

δ

trong ψ=[ψ2,2 ψ2,3 ψ3,2 ψ3,3]T

Kết tính theo sơ đồ nêu trùng với kết thu từ ví dụ Ví dụ 2.7: Xác định chuyển vị nút kết cấu 2D trình bày hình 12

Chiều dày t = 0,2 m, cạnh a m, bước h = Mô đun đàn hồi vật liệu E = 30 GN/m2 Từ nguyên lý công ảo áp dụng chung cho toán 3D:

∫

∫ −

=

Sp T V

T dV dS

W δε σ δu p δ

có thể viết biểu thức tính δW cho b tốn phẳng xem xét:

( )

∫ ∫

∫ −∫ = −

=

A Sp

T T

A Sp

T T

T dA dS dA dS

W δu D EDu δu p δ Du EDu δu p

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = ⎥

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = ⎥

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎢ ⎣ ⎡

∂ ∂

∂ ∂ =

− y

x

x y

y x

u u Et

u E

D

2

0

0

0

1

0

υ υ

υ υ

Hình 2.12

Thực phép tich phân theo diện tích A, nhận kết dạng: kv

v v v

EDu D

u T

A

T T

T

k k

k k E

dA δ δ

δ ⎥ =

⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡ =

∫

22 21

12 11 *

trong A diện tích tam giác, E* = tEA/(1 - υ2)h2

[ ]T

y y y x x

x u u u u u

u 1 2 3 1 2 3 =

v

[ ] [ ]

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎢ ⎣ ⎡

− − −

− =

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎢ ⎣ ⎡

− ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − − + −

⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧− =

β β

β γ

υ

0

0 1

1

1 1 1

11

k

[ ] [ ]

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −

− − =

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎢ ⎣ ⎡

− ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − − + − ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧− =

0

0 1

1 1 0 1

12

β β

υ β β

υ υ υ

[ ] [ ] ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧− − + − ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = 0 1 0 1 1 1 21 υ υ β β υ β β υ υ k [ ] [ ] ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧− − + − ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = 1 0 1 1 1 1

22 β γ

β β υ

k

với ( ) ( )

2

1 υ γ υ

β = − = −

Ma trận k tính cho tam giác phía trái, hình 2.11:

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − − = 0 0 1 * γ β β β β β υ β β β γ υ υ ĐX E k

Ma trận k tính cho tam giác phía phải, hình 2.11:

Vec to tải phần tử 7:

0

9

8

5

7

12 12

4

12 p

h p p h p p

h p p h

p = = = =

Điều kiện biên:

0

9

3 = = =

= x x x

ý u u u

u

Hệ phương trình đại số hình thành từ thủ tục nêu:

KV = P

Trong ma trận K mang dạng sau:

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡

− −

−

− −

− −

− −

− −

−

− −

− −

− −

− −

− −

− − −

− −

=

γ β α

α

α β β

β α α

γ υ

β β

γ β α

α

γ β α

β α

α α

γ α

υ α β β

γ β υ

γ β

υ

γ β

γ β

γ β

γ β

γ γ

0 0 0

0 0

0

0 0

0

0 0

0

2 0 0

0

4 2

2

2 0

0 0 0

2 0 0

2 0

0

0

2

2 2

*

E K

với α =(1+2)/2

Kết tính:

Nút ux uy

1 -2,5.10-4

2 -2,02.10-4 -0,44.10-4

3 -0,55.10-4

4 -0,059.10-4 -0,183.10-4 -0,0648.10-4 -0,48.10-4

6 0,062.10-4

7 0,15.10-4 -0,25.10-4 0,11.10-4 -0,55.10-4

9 -0,74.10-4

Đồ thị trình bày kết tính giới thiệu hình 2.14

6 DAO ĐỘNG DẦM

Phương trình dao động ngang dầm

0

2

4

= +

dt w d m dx

w d

EI (2.44)

Nếu viết w(x,t)= X(x).eiωt phương trình nêu mang dạng phương trình vi phân bậc 4:

0

4 4

=

− X

dx X

d β

(2.45)

trong m

EI A

EI

n

n ρ ω

ω

β = = (2.46)

Tần số riêng toán, giải đường giải tích là: m

EI

n n

4

2 β

ω = (2.47)

trong β1L = 4,73; β2L = 7,85

Hình 2.15 Dầm thẳng phân sai

Để xác định tần số riêng dầm dài L, độ cứng EI, diện tích mặt cắt ngang A, khối lượng riêng vật liệu ρ, tựa đầu cần chia chiều dài dầm thành đoạn Trường hợp chia L làm phần Số nút ghi từ trái sang phải: 0, 1, 2, Nút ảo phía trái, cách nút khoảng cách L/3 bên trái mang số thứ tự -1, nút ảo phía phải cách nút khoảng cách L/3 mang số thứ tự 4, hình 2.15

Hệ phương trình lập nút cho phương trình vi phân bậc là:

⎭ ⎬ ⎫ = −

+ − + −

= −

+ − + −

0

6

0

6

2 4

1 1

X X

X X X X

X X

X X X X

β β

(a)

trong

4

1

3 β

β ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

= L (b)

Điều kiện biên:

⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ =

= =

3 , 0

0

3

nút dx

dX

X X

X0 = X3 =0; X−1 = X1 X2 = X4 (c) Hệ phương trình đại số:

⎭ ⎬ ⎫ =

+

= −

2

1

7

4

X X

X

X X

X

β β

(d)

Hay { } { } { }0

1

0

4

7 4

1 ⎥ =

⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡ −

−

X

X β (e)

Tần số riêng xác định từ phương trình:

m EI L

m EI

L2 2

1

85 , 29 59

, 15

=

= ω

7 DAO ĐỘNG TẤM

Từ phương trình tĩnh học xác định chuyển vị ngang tấm: D

q y

w y

x w x

w

= +

+ 24 2 44

4

2

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂

∂

, D - độ cứng

Thay lực quán tính vào vị trí tải bên ngồi, phân bố theo luật xác định q(x,y) nhận phương trình chuyển động

0

2

2∇ − =

∇ mw

D

w ω (2.48)

Trong khuôn khổ phương pháp lưới công thức () triển khai dạng:

( w)ik

x4 ∇2∇2

Δ = (u i+2,k - 4u i+1, k + 6uik - 4u i-1,k + ui-2,k)

+2β(u i+1, k+1 + u i+1,k-1 - 2ui+1,k + 4uik -2ui,k-1 - 2ui-1,k + ui-1,k+1 + ui-1,k-1) +

+ β2 (u

i,k+2 - 4ui,k+1 + 6uik - 4ui,k-1 + ui,k-2 ) = mwik

D ,

2

ω

(2.49)

trong đó: β = 22 y x Δ Δ

;

Điều kiện biên tốn phù hợp với hồn cảnh cụ thể Trường hợp ngàm cạnh đối diện y = ± a

2 , hai cạnh lại x = ± a

2 tựa gối cứng nêu ví dụ , điều kiện biên ghi lại sau: x = ±

2 a

: w = 0; 22 x

w ∂ ∂

= 0; y = ±

2 a

: w = 0; y w ∂ ∂

= 0;

Biểu thức (2.21) viết lại dạng chung, quen thuộc toán tìm trị riêng, vecto riêng Dưới dạng ma trận viết:

BX

AX=λ (2.50)

Trong công thức A = [aij] ma trận vuông chứa thành phần xác định theo phương pháp sai

phân hữu hạn liên quan đến toán tử ∇2∇2(.), B = [b

ij] ma trận đường chéo chính, liên quan đến m,

λ = ω2

Xử lý phương trình (2.50) nhận tần số dao động kết cấu vector trình bày dạng dao động kết cấu đó, ứng với tần số riêng xác định

Ví dụ 2.5: Xác định hai tần số thấp dao động hình vng trình bày hình 2.16 Phương trình dao động tự do, không cản tấm:

0

2

2∇ − =

∇ mw

D

w ω

Hình 2.16a Tấm vng lưới Hình 2.16b Hình 2.16c Lực qn tính xác định nút:

( 5)

2

1 100 10 10

144m w w w w

h

F = + + +

( 6)

2

2 10 100 10 10

144m w w w w w w

h

F = + + + + +

( 6)

2

3 10 100 10

144m w w w w

h

F = + + +

( 8)

2

4 10 100 10 10

144m w w w w w w

h

F = + + + + +

( 9)

2

5 10 10 100 10 10

144m w w w w w w w w w

h

F = + + + + + + + +

( 9)

2

6 10 10 100 10

144m w w w w w w

h

F = + + + + +

( 8)

2

7 10 100 10

144m w w w w

h

F = + + +

( 9)

2

8 10 10 100 10

144m w w w w w w

h

F = + + + + +

( 9)

2

9 10 10 100

144m w w w w

h

F = + + +

Ký hiệu:

D ma D

h m

256 144 144

4

2 *

× =

= ω ω

λ phương trình sai phân viết cho nút sau Tại nút 1:

( 9)

*

9

6

4

2

2 36 162

36 648

2916 162

2916 122

, 13

51 120

51 180

765 120

765 3816

w w w

w w

w w

w w

w w w

w w

w w

w w

+ +

+ +

+ +

+ +

= + +

+ +

− −

+ −

( 1 2 3 4 5 6 7 8 9)

*

9

7

5

3

1

40 204

40 720

3672 720

2340 524

, 16 13240

64 144

64 1321

1134 132

768 3888

768

w w

w w

w w

w w

w

w w

w w

w w

w w

w

+ +

+ +

+ +

+ +

= +

+ +

− −

− −

+ −

λ

Tiếp tục tính nút thứ 9: Tại nút 9:

( 9)

*

9

7

5

3

1

122 , 13 2916

162 2916

648 36

162 36

2

3816 765

120 765

180 51

120 51

8

w w

w w

w w

w w

w

w w

w w

w w

w w

w

+ +

+ +

+ +

+ +

= +

− +

− −

− +

−

λ

Sau tập hợp nhận phương trình ma trận:

[ ]A{ }w =λ*[ ]B{ }w (2.51)

Hay

[ ] [ ]

(A −λ* B){ }w =0 (2.52)

Trị riêng phương trình xác định theo phương pháp thơng dụng, bàn khn khổ phương pháp tính dao động

Kết tính sau, xem hình 2.16b 2.16c: Với 1/λ* = 28,999 (tần số góc

m D a2

1 65 , 35 =

ω ) vecto riêng có dạng:

[0,275 0,533 0,276 0,533 0,533 0,276 0,533 0,276]

Với 1/λ* = 7,3336, (tần số góc

m D a2

1 90 , 70 =

ω ) vecto riêng có dạng:

[0,523 0,523 −1 −0,523 0,523]

−

8 ỔN ĐỊNH TẤM

Tấm mỏng tác động ứng suất nén, chiều hai chiều, hình 2.17, tùy thuộc tải nén, có nguy chuyển sang trạng thái ổn định

Hình 2.17

⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

∂ ∂ + ∂ ∂ +

∇4 0 22 0 22

y w n x

w n w

D λ x y (2.53)

Chia lưới theo cách giản đơn nhất, h = Δx = Δy, triển khai cơng thức (2.53) dạng sau:

( )

[

( ) ]

( ) ( )

[ 2 ]

2

8 20

1 , , , ,

1 ,

,

2 , , , ,

2

, 1 , 1 , 1 ,

1 , , , ,

4

= +

− +

+ −

+

+ +

+ +

+ +

+

+ +

−

− +

− +

− +

− +

− − − + + − + +

− +

+

j i j i j

i y j i j i j i x

j i j i j i j i j i j i j i j i

j i j i j i j i

w w w

n w

w w

n h

w w

w w

w w

w w

w w

w w

h D

λ

(2.54)

Áp dụng công thức (2.54) cho nút tính tốn, tiến hành áp đặt điều kiện biên, kết nhận hệ phương trình đại số , dạng ma trận là:

[ ]A{ }w −λ*[ ]B{ }w =0 (2.55)

Xác định λ* từ hệ phương trình (2.27) theo phương pháp toán giới thiệu Điều lưu ý là, trị

riêng nhỏ (thấp nhất) đóng vai trị hệ số tải giới hạn, có nghĩa tải gây ổn định Ví dụ 2.6: Xác định tải giới hạn cho vuông, tựa cạnh, chịu tải nén nx = ny = -λnx0

Cấu hình trình bày hình 2.18 Mỗi cạnh chia 3, h = Δ = a/3 Tấm chia làm phần tử, nút đánh số 1, 2, 3,

Phương trình vi phân yếu xét ổn định tấm:

2

4 + ∇ =

∇ w n w

D λ x (2.56)

Để ý đến tính đối xứng cấu hình tải bên ngồi, viết: w1 = w2 = w3 = w4 = w,

phương trình (2.28) viết dạng gọn sau đây:

(20 8 1)4 20 ( 1)4

4 − − − + − + h − + + w=

n w h

D λ x (2.57)

Đưa ký hiệu sau vào phép tính:

( )2 2

2

3h D a

D nx =π = π Có thể nhận được:

83 , 18

2 ≈

=

π

λcr 2

2

83 ,

a D n

ncr =λcr x ≈ π

Các phép tính giải tích đưa lại kết 2

2

2 a

D

ncr = π , so với lời giải phương pháp sai phân hữu hạn, sai số đạt 9%

Chương

PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

1 PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

Phương pháp phần tử hữu hạn phần tài liệu thuộc phương pháp chuyển vị học kết cấu

Tổng hệ thống đàn hồi tìm dạng: Π = U – W, trong đó: = ∫

V

T dV

U { } { }

2

1 ε σ

- công biến dạng, = ∫

S

T u dS

P

W { } { } - công ngoại lực thực hiện, {P} – vector ngoại lực, {u} – vec to chuyển vị Biến dạng ứng suất hệ thống kết cấu xác định từ lý thuyết đàn hồi: {ε}= [C]{σ}, {σ} = [D]{ε} Ma trận [C] [D] trình bày tính chất vật liệu

Tổng lượng hệ thống:

∫

∫ −

= Π

S T V

T{ }dV {P} {u}dS

} {

1 ε σ (3.1)

Điều kiện biên Hình 3.1 Cơng biến dạng, công ngoại lực điều kiện biên Biến phân hàm lượng δΠ:

⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩

⎪ ⎨ ⎧

− =

Π ∫ ∫

u

S T V

T{ }dV {P} {u}dS

} {

1 ε σ

δ

δ =∫ −∫

S T V

T[D]{ }dV {P} {u}dS

}

{ε ε δ

δ (3.2)

Điều kiện δΠ = cho phép viết:

∫

∫ =

S T V

T[D]{ }dV {P} {u}dS

}

{ε ε δ

δ (3.3)

Điều kiện động lực học p = p* phải thỏa mãn biên Sp thuộc S điều kiện động học u = u*

thỏa mãn biên Su thuộc S Điều cho phép viết (3.3) dạng sau:

0 }

{ }

]{ [ }

{ − ∫ =

∫

P

S T V

T D ε dV δ u pdS

ε

δ (3.3b)

Trong phương pháp tính phần tử hữu hạn (PTHH) tiến hành xử lý phương trình (3.4), đưa tốn hệ phương trình đại số tuyến tính, chuyển vị nút {u} đóng vai trị ẩn số Trường hợp chung vật thể 3D từ vật liệu đàn hồi, chuyển vị, biến dạng thể qua quan hệ:

Hàm chuyển vị: { }u =[u v w] [ ]T = N { }δ (3.5) {δ} – vecto chuyển vị nút, [N] – hàm hình dáng

Vector ngoại lực: { }P =[px py pz]T (3.6)

Vector biến dạng:

{ } [ ]{ } w v 0 0 0 0 v v v δ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ γ γ γ ε ε ε ε B u x z y z x y z y x z u x w y w z x y u z wy x u zx yz xy z y x = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + + + = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = [ ] ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = i i i i i i i i i i N x N z N y N z N x N y N z N y N x B ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 0 0 0 0

Công thức (3.3) trở thành:

0 } { ] [ } { } ]{ ][ [ ] [ } {

1 − =

= Π ∫ ∫ S T T V T

T B D B δ dV δ N p dS

δ (3.7)

Trong phương pháp phần tử hữu hạn, miền V mơ hình hóa thành E phần tử Ve, e = 1,

2, , E với giả thiết phần tử thỏa mãn điều kiện cân vừa nêu Thế phần tử ghi lại dạng πe, cịn tồn hệ tổng tất phần tử họp thành:

∑ = = Π E e e π (3.8)

Thế phần tử:

= ∫ −∫{ } { } S T Ve e T

e { } [D]{ }dV u p dS

2

1 ε ε

π

Tổng Π cho toàn hệ thống:

{ } ∑∫∫ ∑∫∫∫= ⎥ Δ − Δ = ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ Δ = Π E e S T T E e Ve T T p dS p N dV B D B 1 ] [ } { } { ] ][ [ ] [ } { (3.9)

Trong cơng thức trên, biểu thức có tên gọi sau

∫

=

e

V T

e B D B dV

k] [ ] [ ][ ]

[ , ma trận cứng phần tử,

∫

=

S S

T

e N p dS

P} [ ] { }

{ , vector lực mặt,

Phương trình cân tồn hệ:

[K]{Δ} = {P} (3.10)

với: E e

e

k K] [ ] [ ∑ = = , { } ∑ = = E e e P P }

{ (3.11)

2 THỨ TỨ GIẢI BÀI TOÁN CƠ HỌC KẾT CẤU THEO PHƯƠNG PHÁP PTHH

Bước 1: Phân chia vật thể xem xét thành số lượng hữu hạn phần tử Q trình cịn gọi “lý tưởng hóa” hay “rời rạc hóa” Thực tế q trình mơ hình hóa kết cấu, chuyển từ kết cấu thực tế thành tập hợp nhiều cấu vừa tách từ chủ thể, xem hình .2

Bước 2: Xây dựng mơ hình chuyển vị phần tử:

{ }u e =[ ]N{ }δ e

trong [N] –hàm hình dáng, {δ}e- vector bậc tự chuyển vị nút phần tử

Bước 3: Xác lập ma trận đặc trưng gọi ma trận cứng vector lực cho phần tử sở nguyên lý tối thiểu Trong toán thuộc học vật rắn phiếm hàm hệ thống hiểu tổng phần tử cấu thành

∑ =

− =

Π E

e

e

e W

1

) (π

Từ điều kiện δΠ = xây dựng hệ phương trình đại số miêu tả quan hệ lực – chuyển vị

Bước 4: Xử lý hệ phương trình giải hệ phương trình đại số tuyến tính Kết giải phương trình chuyển vị nút hệ tọa độ chung Cần thiết chuyển đổi chuyển vị từ hệ tọa độ chung sang hệ tọa độ cục bộ, gắn liền phần tử

Bước 5: Thực phép tính lực quan hệ ứng suất – biến dạng

Hình 3.3 Các bước tính phương pháp PTHH Minh họa thủ tục trình bày qua ví dụ xác định chuyển vị dầm liên tục, ngàm hai đầu Dầm dài L =2l, độ cứng dầm EI, chịu tác động lực tập trung P nhịp

1) Mơ hình hố dầm hình 3.4

Chia dầm làm hai phần tử, đánh số PT cho phần tử nằm bên trái, PT cho phần tử lại Với hai phần tử dầm có nút, đánh theo thứ tự: nút ngàm trái, nút dầm, nút ngàm phải Theo cách làm này, phần tử đầu có hai nút 2; nút thuộc phần tử bên phải

Hình 3.2 Mơ hình hóa

2) Bỏ qua trường hợp xoắn, kéo, nén dọc trục, tác động lực P dầm bị chuyển vị theo hướng thẳng đứng, hướng trục Oy xoay theo trục Oz Phương trình chuyển vị phần tử trình bày dạng quen thuộc:

{w}e = [N] {δ} (a)

Hàm hình dáng [N] nhận hệ hàm Hermite, trình bày phân bàn phần tử BEAM 2D Vector chuyển vị hai nút phần tử thứ {δ} = [ u1 u2 u3 u4 ]T, phần tử thứ hai

{δ} = [ u3 u4 u5 u6 ]T, từ điều kiện ngàm hai đầu thấy u1 = u1 = u5 = u6 = 0

3) Sử dụng phương pháp lượng xây dựng ma trận cứng vector lực toàn hệ thống: Các thành phần ma trận [k]:

⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

− − − =

22 21

12 11

2 2

3

4 12

2

6 12

12 ]

[

k k

k k

l ĐX

l l l l

l l

l EI

k e (b)

Tại phần tử 1, chuyển vị nút trịêt tiêu, lại phần w1-2 = N3 u3 + N4 u4 Ma trận [k]1

tính cho phần tử cần giữ lại phần k22 gồm bốn thành phần, ứng với u3 u4:

4

6 12 ]

[ (1) 3 ⎥

⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡ −

− =

l EI

k (c)

Với phần tử số hai ma trận cứng, giữ lại phần ứng với u3 u4 :

4

6 12 ]

[ (2) 3 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ =

l EI

k (d)

Tập hợp ma trận cứng từ hai ma trận phần tử:

[ ] ⎥

⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡

+ + − + =

=∑

= 4

6 12 12 ]

[ 3

2

1 l ĐX

EI k

K

e

e (e)

Từ U =

{u}T [K]{u }, viết biểu thức tính δU: δU = δ{u}T [K]{u} (f)

Trường hợp vector chuyển vị có dạng:

{ }

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ =

4

u u

u (g)

Biến phân δW công ngoại lực tính từ biểu thức: δW = -δ{u}T P/2

Thỏa mãn điều kiện δU - δW = 0 viết:

{ }

0

0 24

4

3

3 =

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎣

⎡ P

u u L

EI u T

δ (h)

4) Xây dựng hệ phương trình đại số [K]{u} = {P}: Vì δ{u}T ≠ 0, biểu thức ngoặc phải

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡

0

0 24

4

3

P u

u L

EI

Từ nhận giá trị cho u3 u4

0 ; 192

4

3

= = u

EI PL u

(j)

3 MA TRẬN CỨNG PHẦN TỬ MA TRẬN CỨNG HỆ THỐNG Ma trận cứng phần tử

Ma trận cứng phần tử tính hệ tọa độ cục bộ, gắn liền phần tử, xác định biểu thức:

∫

=

e

V T

e B D B dV

k] [ ] [ ][ ] [

Tập hợp ma trận cứng hệ thống Công thức chung phương pháp phần tử hữu hạn có dạng: [K}{Δ} = {P}

trong [ ] ∑

=

= E

e e

k K

1

; { } ∑

=

=

Δ E

e e

1

δ ; { } ∑

=

= E

e e

p P

1

;

Ví dụ 1: Lập ma trận cứng, vector tải cho giàn hình chữ L, cạnh đều, ngàm hai đầu Tải trọng phân bố q Độ cứng chịu uốn dầm EJ, độ cứng chịu xoắn GJT, diện tích mặt cắt ngang dầm A

Phần tử ngàm 3, gặp phần tử thứ hai, vng góc với phần tử đầu Phần tử thứ hai ngàm 2, xem hình Hệ toạ độ chung bố trí để trục Oy trùng với chiều dọc phần tử thứ hai, trục Oz hướng lên Hệ tọa độ cục gắn liền với phần tử, trục O’x’ trùng tâm dầm

Chuyển vị nút thể vector {δ} = [ wj θXj θYj]T, j = 1, 2,

z y

x

3

2 q

Hình 3.6 Giàn

Ma trận cứng phần tử 3-1, vector lực phần tử tính hệ tọa độ cục trùng với hệ tọa độ chung:

[ ] ⎥

⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡

= (1)

22 ) ( 21

) ( 12 ) ( 11

k k

k k

k với { }

6

5 4

0

6 12

6

2

2

) ( 22

⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎥

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡ =

L

T p qL

L EJ L

EJ L

GJ L

EJ L

EJ

k

Với phần tử 1-2, phép tính thực hệ tọa độ cục bộ:

[ ] ⎥

⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡

= (2)

22 ) ( 21

) ( 12 ) ( 11

k k

k k

k với { }

⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎥

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡ =

6 )

2 (

2

2

) (

11

1

0

0

6 12

L

T p qL

L EJ L

EJ L

GJ L

EJ L

EJ

Ma trận chuyển, tính cho trường hợp dầm trực giao, góc chuyển 90° [ ] ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = 1 0 0 R

Tính chuyển sang hệ tọa độ chung, ma trận cứng vector tải phần tử thứ hai tính theo cơng thức [k]chung = [R]{k]cục_bộ[R]T cịn {p}chung = [R]T{p}cục_bộ :

[ ] ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡

= (2)

22 ) ( 21 ) ( 12 ) ( 11 k k k k

k với { }

6 0 6 12 ) ( 2 ) ( 11 ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = L T qL p L GJ L EJ L EJ L EJ L EJ k

Sau tập hợp ma trận cứng vector tải nhận được:

[ ] [ ] [ ] 0 ) ( 22 ) ( 21 ) ( 12 ) ( 11 ) ( 22 ) ( 21 ) ( 12 ) ( 11 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + = + = k k k k k k k k k k

K ch { }

⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − + ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = 06 1 1 pL pL p ch

Từ thấy:

⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + − − 6 2 6 6 24 1 2 2 L L pL w L EJ L GJ L EJ L EJ L GJ L EJ L EJ L EJ L EJ Y X T T θ θ

Để ý đến quan hệ θX1 = θY1 viết lại hệ phương trình dạng:

⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − − 2 12 12 24 1 2 L pL w L EJ L GJ L EJ L EJ L EJ X T θ

với đường chéo tính tốn Cách xếp ma trận cứng dạng ma trận giải hẹp thuận lợi giải toán cỡ bé

Thịnh hành USA nước châu Âu cách xếp theo đường chân trời (sky line) Các thành phần có nghĩa nửa ma trận đối xứng thành phần đường chéo ma trận [K] chuyển địa vào vector {s}, độ lớn tổng thành phần nêu

Hình 3.7 Sắp xếp ma trận cứng skyline

4 ÁP ĐẶT TẢI

Tải bên tác động lên kết cấu tính theo biểu thức nêu phần bàn phần tử tiêu biểu Những vật thể mặt hình học đối xứng qua trục mang tính chất đặc trưng, kết cấu hai phần, bốn phần, tính qua trục qua hai trục, giống song hướng ngược Sử dụng tính đối xứng hình học đối xứng phản đối xứng (còn gọi đối xứng) tải trọng tháo dỡ phần đối xứng, giữ lại phần kết cấu tính

Hình 3.8 Cấu hình đối xứng, tải đối xứng

Hình 3.9 Cấu hình đối xứng, tải đối xứng (phản đối xứng)

Hình 3.10a Sử dụng tính đối xứng kết cấu

Hình 3.10b Sử dụng cấu hình đối xứng

Trường hợp kết cấu 2D đối xứng qua hai trục, có quyền giữ lại ¼ kết cấu cho việc tính tốn Mơ hình phù hợp tải trọng tác động trực tiếp mang tính đối xứng chí phản đối xứng

Hình 3.11

Hình 3.12b

Trường hợp có cấu hình đối xứng, tải đối xứng, nên tiến hành xử lý điều kiện biên trục đối xứng để đưa toán dạng “phản đối xứng”

5 XỬ LÝ ĐIỀU KIỆN BIÊN

Xử lý điều kiện biên điều bắt buộc trước giải hệ phương trình tìm chuyển vị Những cách làm thực tế xem xét

1) Thay điều kiện biên vào vị trí vector chuyển vị

Ma trận [K] xác lập cho hệ thống, nguyên tắc bậc bậc độ tự nút Thực tế tổng số bậc tự đó, khơng phải tất ẩn số Giả sử vector chuyển vị {U}, tức vector chứa ẩn theo nghĩa ban đầu gồm hai nhóm, nhóm thỏa mãn điều kiện biên, có nghĩa khơng cịn ẩn nhóm thứ hai chứa ẩn tốn:

{ }

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ =

2

U U

U , U2 - giá trị biết trước, U1 - ẩn cần tìm Bài tốn {K}{U} = {P} có

thể viết lại:

[ ] [ ]

[ ] [ ]⎥⎩⎨⎧ ⎭⎬⎫=⎩⎨⎧ ⎭⎬⎫ ⎦

⎤ ⎢

⎣ ⎡

2

1 22 21

12 11

P P U

U K K

K K

(3.12)

Tiến hành giải phương trình (70) theo cách sau:

[ ]K11{U1}+[ ]K12 {U2}={ }P1 (3.13) [ ]K11{U1}={ }P1 −[ ]K12 {U2} (3.14) [ ]K12 T{U1}+[ ]K22{U2}={ }P2 (3.16) Trường hợp {K11] không suy biến, nghiệm U1 tìm theo cách thức:

{ } [ ] ({ }1 [ ]12 { }2 )

1 11

1 K P K U

U = − −

(3.17)

Trường hợp {U1} biết trước, hay cịn nói theo cách thỏa mãn điều kiện biên, nghiệm {P2}

xác định từ biểu thức (3.16 )

Trường hợp {U2} chứa giá trị 0, cần tiến hành loại bỏ tất dòng cột ma trận [K]

tương ứng với dòng {U2} Cách tính tiếp tục cịn là:

[K11] {U1} = {P1} (3.18)

2) Phương pháp tăng thành phần ma trận cứng nằm đường chéo chính, tương ứng với chuyển vị biết trước, làm thay đổi đặc trưng ma trận, thỏa mãn điều kiện biên Giả sử {K} đượcc lập theo cách vừa trình bày trên, vector chuyển vị nút bậc với hệ thống phương trình, có thành phần thứ j xác định Uj = U* Thay Kjj Kjj + α, với α lớn Thay giá trị tương ứng

Có thể viết rằng: * U U K U n k k jk j α α ⎟= ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ∑ =

Nghiệm Uj ≈ U* ∑

= >> n k k jkU K U * α

Ví dụ 5: Xử lý điều kiện biên tốn

Hệ phương trình đại số tuyến tính thành lập từ phép tính có dạng:

⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 4 44 24 14 33 23 24 23 22 14 11 0 0 0 P P P P U U U U K K K K K K K K K K

Điều kiện biên đặt U1 = U*

Các bước việc xử lý điều kiện biên: - Thay đổi thành phần K11 ma trận cứng

⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ × = ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + * 15 44 24 14 33 23 24 23 22 14 15 11 10 0 0 0 10 P P P U U U U U K K K K K K K K K K

- Chuyển thành phần thứ 1-1 đường chéo đơn vị, có nghĩa chia tất thành phần dịng cột chứa đại lượng vơ lớn cho đại lượng

⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − = ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ * 14 * 44 24 33 23 24 23 22 0 0 0 0 U K P P P U U U U U K K K K K K K

- Hệ phương trình mang dạng:

* ; 0 1 * 14 4 44 24 33 23 24 23 22 U U U K P P P U U U K K K K K K K = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

6 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Phần việc quan trọng hàng đầu giải toán học theo phương pháp PTHH giải hệ phương trình đại số tuyến tính vừa lập dạng [K]{D} = {P} Vì ma trận [K] có đặc tính đáng để ý nên cách xử lý ma trận ý riêng Ma trận [K] thành lập khn khổ phương pháp PTHH có tính đối xứng, có cách tổ chức hợp lý lúc đánh số thứ tự cho bậc tự nút ma trận có giải hẹp

Phương pháp loại trừ Gauss

Dùng phương pháp loại trừ phải qua hai giai đoạn: a) chuyển hóa ma trận [K] ma trận tam giác, gọi q trình “tam giác hóa”, b) giải hệ phương trình với ma trận tam giác vừa lập q trình lùi

Tam giác hóa ma trận K

Ma trận K thành phần phương trình cân có dạng sau:

⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ n n nn n n n n P P P D D D K K K K K K K K K M M L M L M M L L 2 2 22 21 12 11

Tam giác hóa tiến hành loại trừ Dj, j = 1, 2, …, n –1, tính từ phương trình j + đến n Trong

trình cột, từ j = đến n – bị thay Lần thứ loại trừ tiến hành theo cách cụ thể:

(P K D K nDn)

K

D 1 12 2 1

11

1 − −

= L

Thay D1 vào phương trình sau (a) có dạng sau ma trận cứng sau lần

loại trừ

⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − − = ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − 11 21 11 21 2 1 11 12 11 11 21 12 11 21 22 12 11 0 P K K P P K K P P D D D K K K K K K K K K K K K K K K K K K K n n n n nn n n n n n M M L M L M M L L

Công thức chung xác định thành phần ma trận K vector P cho lần tính viết theo cách sau:

n j i K P K P P K K K K K i i i j i ij ij , , , , ) ( 11 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 11 ) ( ) ( ) ( ) ( L = ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ − = − =

Sau loại trừ D1 D2 Dn-1 nhận công thứcsau:

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − 1 3 1 1 33 22 11 0 0 0 0 0 0 0 n n s s n s n nn s sn s ss n n n P P P P P D D D D D K K K K K K K K K M M M M L M M M M O M M L M M O M L L L L L L L L

Quá trình ngược phương trình cuối:

1

1. −

− = n

n n n

nn D P

K từ 1

1 − − = n nn n n n K P D

Các nghiệm tìm lần lượt:

ii n

i

j ij j

Phân tích LU LDU

Ma trận [K] phương pháp phân thành tích hai ma trận [L] – dưới, [U] – trên, viết [K] = [L][U] Công thức minh họa tiếp theo:

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =

1

0

1 1 0

0 0 ]

[ 23

1 13

12

3

22 21 11

1

2 22

21

1 12

11

L M M

L L

L M

L L

L M

L L

n n nn

n n n nn

n

n n

U U

U U

U

L L

L L

L L L

K K

K K

K

K K

K

A

Các hệ số ma trận tam giác tính sau:

1 ;

1

1

1

=

< −

=

≥ −

=

∑ ∑

−

= −

=

ii ii j k

kj ik ij

ij

j k

kj ik ij

ij

U

j i L

U L K

U

j i U L K

L

Giải hệ phương trình theo cách sau Thay biểu thức [K] = [L][U] vào phương trình cân thấy:

[L][U]{D} = {P}

Nếu đặt {U}{D} = {Z}, phương trình cân trở thành:

[L]{Z} ={P}

L11Z1 = P1

L11Z2 + L21Z2 = P2

L11Z2 + L21Z2 + Ln1Zn = Pn

Nghiệm Z1 giải thay vào vị trí vế phải phương trình tiếp theo:

D1 + U12 D2 + +U1n Dn = Z1

U2 + U12 D2 + + U2n Dn = Z2

U3 + + U3n Dn = Z3

Dn = Zn

Ma trận [U] xác lập theo cách phân chia lại ma trận K (decomposition) cách làm Choleski Ma trận [K] phân thành [U]T.U, [U] chiếm trọn tồn nửa phần đường chéo [K]:

[ ]

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =

11 11 11

11 11

11

0 0

u u u

u u

u U

M M

M

L L

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎬ ⎫

> =

+ + = =

− =

= −

=

= =

=

∑

∑

− =

− =

j i u

n i

i j n i

u u K

u u

n i

u K

u

n j

u a u

K u

ij i

k

kj ki ii

ii ij

i k

ki ii

ii

j j

;

, , , ;

, , ,

, , , ;

, , ,

1

1

2 11 1

11 11

Ví dụ 2: Xác định chuyển vị dầm thẳng, tựa hai gối đặt hai đầu Dầm dài L, độ cứng EI, chịu tải phân bố q = const

Đây toán quen thuộc từ sức bền vật liệu, lời giải giải tích rõ ràng Dầm mơ hình hóa theo cách: a) xét dầm hệ thống liên tục, b) lợi dụng tính chất đối xứng cấu hình, tải, giữ lại phần đối xứng, tức nửa chiều dài dầm để xem xét xử lý

a) Cách giải không để ý đến tính đối xứng: chia dầm làm phần tử, đánh số dài nhau, L/2, ba nút 1, 2, ghi lại hình 3.13 Sử dụng công thức xác định độ cứng phần tử, vector tải cho phần tử BEAM 2D nêu tiếp điểm chương để tính tiếp sau

Hình 3.13 Dầm thẳng mơ hình phân tử hữu hạn Ma trận cứng phần tử 2:

[ ] [ ]

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

−

− −

−

− − =

=

2

2

3 ) ( ) (

3

,

3 12

12

5 , 3

3 12

12

L L L

L

L L

L L L

L

L L

L EI k

k (a)

Ma trận cứng toàn hệ thống:

[ ]

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡

− −

− −

− =

2 2

2

3

3 12

5 ,

3 12

24

0

2 /

0

3 12

12

L L ĐX

L L L

L L

L L

L L

L EI

K (b)

{ }P qL qL qL qL qL ⎥T ⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡

− −

− −

= =

48 48

48

2

(c)

Điều kiện biên: v1 = v3 = (d)

Sau xử lý điều kiện biên, hệ phương trình chứa ẩn có dạng sau:

⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫

⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧

− − = ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫

⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎡ −

48 /

2 /

48 / v

5 ,

3

24

0

,

2

3 2

2 2

2

3

qL qL qL

L ĐX

L L

L L

L L

L EI

θ θ θ

(e)

Sau giải xác định được: θ1 = -θ3 = -qL3/(24EI); v2 = -5qL4/(384EI) θ2 =

b) Sử dụng tính đối xứng hình học tải, chọn ½ dầm cho mơ hình tính

Điều kiện biên tâm đối xứng thể sau: chuyển vị v2 ≠ 0, đạt maximum; góc xoay dầm

tại nút 2, θ2 tính đạo hàm chuyển vị v’x=L/2 =

Sử dụng phần tử dầm 2D vào tính tốn Ma trận phần tử (a) tiếp tục dùng, vector tải tính cho phần tử có dạng:

{ }P qL qL qL qL ⎥T ⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡

− −

− =

48 48

4

2

(a)

Xử lý điều kiện biên v1 = 0, θ2 = đưa hệ phương trình đại số tới dạng: ⎭

⎬ ⎫ ⎩

⎨ ⎧

− − = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡ −

−

4 /

48 / v

12

3

8

2

3 qL

qL L

L L

L

EI θ

(b) Sau giải hệ phương trình nhận kết quả:

θ1 = -qL3/(24EI); v2 = -5qL4/(384EI)

Cách làm b) cho phép giảm bậc tự tốn, theo tiết kiệm thời gian tính tốn sở đảm bảo độ xác phép tính

7 NHỮNG PHẦN TỬ THƠNG DỤNG DÙNG TRONG CƠ HỌC KẾT CẤU

Phần tử chiều (1D) từ hai đến nhiều nút, hình 3.14a Trong thực tế sử dụng dùng phần tử tuyến tính phần tử cong

Phần tử phẳng (2D) thường dạng hình tam giác tứ giác, cạnh thẳng cong Nút phần tử dạng nằm đỉnh cạnh, xem hình 3.14b

2 nút a)

b)

c)

d)

3 nuùt nuùt

3 nuùt

6 nuùt nuùt

4 nuùt 8 nuùt 12 nuùt

4 nuùt 10 nuùt nút 20 nút

Hình 3.14 Phần tử thường dùng

Những phần tử nhóm a) từ hình 3.14 gồm phần tử chịu lực dọc trục có tên gọi phổ thông sách chuyên ngành ROD, BAR, TRUSS, phần tử chịu xoắn TOR, phần tử chịu uốn BEAM

7.1 Phần tử BAR hay gọi phần tử TRUSS, ROD

Xây dựng ma trận cứng phần tử tiến hành theo cách trực tiếp Phần tử 1-2 dài L, diện tích mặt cắt ngang A, làm từ vật liệu mô đun đàn hồi E, chịu tác động lực dọc trục F Chuyển vị nút tính theo cơng thức δ = FL/(AE) Hãy ký hiệu chuyển vị nút u1, nút u2 Lực tác động lên phần tử F

tính từ biểu thức F = (AE/L)δ Trường hợp cụ thể này:

2 22

12 21

11 u

L AE F

F u L AE F

F = = = = F1 =F11−F12 F2 =−F21 +F22

Hay

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡ −

−

2

1

1

1

F F u

u L

AE

Ma trận cứng ke có dạng:

[k] = EA L

1

1 − − ⎡ ⎣

⎢ ⎤

⎦ ⎥ Vector lực:

{F} =

0

L

∫ [N]T{p} dx = pL pL / /

2 ⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬

⎭ (l)

Dưới tác động lực tập trung P: {F} =

0

L

∫ P δ(ξ-x) [N]T dx =

P L L P

L

( − ) ⎧

⎨ ⎪ ⎩ ⎪

⎫ ⎬ ⎪ ⎭ ⎪ ξ

ξ Hình 3.15 Phần tử BAR (TRUSS)

Cách tính mang tính hình thức hiểu theo cách sau Để xác định ma trận [B] công thức chung:

∫

=

e

V T

e B D B dV

k] [ ] [ ][ ]

[

{ }

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣

⎡ − =

2

u u L x L

x L u Hàm biến dạng:

{ }ε { } N { }δ [ ]B{ }δ dx

d u dx

d =

⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ = =

trong [ ]=⎢⎣⎡− ⎥⎦⎤ L L

B 1

Thay [B] vào cơng thức tính [k]:

[ ] ⎥

⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡ −

− =

⎥⎦ ⎤ ⎢⎣

⎡− ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧− =∫

1

1 1

1 /

1 /

0 L

AE Adx L L E L

L k

L

7.2 Phần tử TRUSS không gian 3D

Chuyển vị nút phần tử hai nút, xét hệ tọa độ cục gắn liền phần tử: {δ}cục_bộ = [ u1 v1 w1 | u2 v2 w2 ]T

Trong hệ tọa độ chung vector có dạng: {δ}chung = [ U1 V1 W1 | U2 V2 W2 ]T

Quan hệ hai vector thể biểu thức:

[ ]

⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧

W V U R w u

v

trong ma trận chuyển [R] hiểu sau:

[ ] (( )) ( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( )⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =

Z z Y

z X

z

Z y Y

y X

y

Z x Y

x X

x R

, cos ,

cos ,

cos

, cos ,

cos ,

cos

, cos ,

cos ,

cos

Ma trận cứng tính hệ tọa độ cục bộ, cho phần tử 3D BAR có dạng:

[ ]

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣

⎡ −

=

1 0

0

0 0

0 0 0

0 0

ĐX L

EA k cb

Trong hệ tọa độ chung ma trận cứng phần tử tính {R]T[k]cb[R] Vector lực tác động phần tử

tính chuyển sang hệ tọa độ chung biểu thức [R]T{p}cb

Ví dụ 3: Sử dụng phần tử dầm chịu kéo, nén (BAR element) giải khung sau: Chiều dài thanh, qui đổi đơn vị l = l23 = 3m:

l l

l l l

l

cos ;

3 cos

23 24 23

12 = α = = β =

Ma trận phần tử: Phần tử số

[ ] ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = 0 0 1 0 0 1 , ) ( l AE k

Ma trận chuyển [T] [ ] ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = 1 3 1 30 cos 30 sin 30 sin 30 cos 30 cos 30 sin 30 sin 30 cos ) ( O O O O T o o o o o o o o

Ma trận [k(1)] hệ tọa độ chung tính theo biểu thức [T(1)][k(1)][T(1)]T:

[ ] ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − − − = 22 21 12 11 ) ( 3 3 3 3 3 3 16 3 k k k k l AE k

Phần tử số 2:

[ ] ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = 22 23 32 33 ) ( 0 0 1 0 0 1 k k k k l AE k

Phần tử số 3: [ ] ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = 0 0 1 0 0 1 2 , ) ( l AE k

Ma trận chuyển tính cho phần tử số [ ] ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − − − − − = 1 1 1 1 ) 45 cos( ) 45 sin( ) 45 sin( ) 45 cos( ) 45 cos( ) 45 sin( ) 45 sin( ) 45 cos( ) ( O O O O o o o o o o o o T

Ma trận [k(1)] hệ tọa độ chung tính theo biểu thức [T(3)][k(3)][T(3)]T:

[ ] ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − − − = 22 24 42 44 ) ( 1 1 1 1 1 1 1 1 k k k k l AE k

[ ] ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + = ) ( 44 ) ( 42 ) ( 33 ) ( 32 ) ( 24 ) ( 23 ) ( 23 ) ( 22 ) ( 22 ) ( 21 ) ( 12 ) ( 11 k k k k k k k k k k k k K

Kết tính theo cơng thức cuối ma trận cứng cỡ 8x8 Vec tơ chuyển vị vector lực hệ bậc Hệ phương trình cân có dạng:

{K}8x8 {δ}8x1 = {P}8x1

Điều kiện biên toán: u1 = v1 = u3 = v3 = u4 = v4 = Sau xử lý điều kiện biên, hệ

phương trình cân có dạng:

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ P u l AE v 855 , 032 , 032 , 505 , 2

Giải hệ phương trình nhận được: AE Pl u ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧− = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ 170 , 015 , v2

Lực kéo, nén (các phần tử BAR) tính sau: Phần tử số 1:

{ } ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧− = ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = 743 , 0 743 , 0 ] ][ [ 2 ) ( ) ( ) ( P u T k F v Phần tử số 2:

{ } ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − = ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = 015 , 0 015 , 0 ] [ 2 ) ( ) ( P u k F v Phần tử số 3:

{ } ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − = ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = 889 , 0 889 , 0 ] ][ [ 2 ) ( ) ( ) ( P u T k F v

7.3 Phần tử chịu xoắn TOR

Hình 3.17 Phần tử chịu xoắn TOR

[k] = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − 1 1 L GJT

Dầm thành mỏng tham gia xoắn theo hai dạng thức khác Trường hợp dầm bị xoắn, phần tử mặt cắt ngang chuyển vị mặt cắt gặp xoắn tự Cách tính dầm xoắn tự trình bày chương “dầm xoắn”, tài liệu Trường hợp thứ hai thường gặp xoắn uốn đồng thời, kéo theo chuyển vị khỏi khuôn khổ mặt cắt phẳng nêu Nói cách khác, trường hợp sau vượt khỏi khn khổ “strip theory” lý thuyết sử dụng xác lập các phần tử từ dầm liên tục Xoắn dạng mang tên gọi, xoắn “vênh” cách gọi đề nghị4

Nếu ký hiệu

ω η

EI GJT

=

2 , với I

ω - momen quán tính sector, viết hàm chuyển vị xoắn

“vênh” dầm thành mỏng dạng:

ϕx = α1 + α2x + α3eηx + α4e-ηx + ϕxp (3.19)

với ϕxp - nghiệm riêng

Thực bước tính trình bày phần xoắn dầm thành mỏng, ma trận cứng có dạng:

[ ] ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − − − − − = 3 2 1 1 η η η η η η η η η η η η η η η η η η η η η η η η η ω L sh L Lch ĐX L ch L sh L sh L L ch L sh L Lch L ch L sh L ch L sh b EI

k (3.20)

trong b ( chηL ηLshηL)

η − +

= 14 2

Vector lực tác động lên phần tử:

{ } ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = L Lsh L ch L L b m L m L Lsh L ch L L b m L m p x x x x η η η η η η η η η η η η η η 2 2 2 2 2 2 2 2 (3.21)

7.4 Phần tử BEAM 2D

Xây dựng ma trận cứng phân tử hệ tọa độ cục nhờ họ hàm Hermite, hình 3.19 N1 = H01(1) (x) = 13

l (2x

3 -3l x2 + l3) ; N

3 = H02(1) (x) = - 13 l (2x

3 -3lx2)

4 Thuật ngữ tiếng Anh torsion with warping Trong tiếng Pháp người ta sử dụng thuật ngữ gênée torsion, sách tiếng

N2 = H11(1) (x) = 12 l (x

3 -2lx2 +l2x) ; N

4 = H12(1) (x) = l

(x3 -lx2) (3.22)

Hình 3.19a Hàm hình dáng họ Hermite

Nếu thay ξ = x/l hàm có dạng:

N1 = 2ξ3 - 3ξ2 + 1; N2 = l(ξ3 -2 ξ2 + ξ); N3 = -2ξ3 +3 ξ2; N4 = l(ξ3 - ξ2)

Công thức xác định đạo hàm bậc hàm chuyển vị:

[ ]{ }δ 2 2

dx N d dx

w d

= = [N’’]{δ} Ma trận cứng tính theo cơng thức: =∫

e

V T

e B D B dV

k] [ ] [ ][ ]

[ hiểu là:

[k]e = ∫

l

0 [N’’]

T EI [N’’]dx

Kết tính trực tiếp cho phép nhận biểu thức cho ma trận cứng phần tử BEAM 2D: [k] =

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

− −

−

2 2

3

4 12

2

6 12

12

L DX

L L L L

L L

L EJ

(a)

Vector tải: {F} = ∫

L

Tqdx

N

0

]

[ (b)

Trường hợp q(x) = const vector tải có dạng:

{ }

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧

− =

12 12

2

2

qL qL qL

qL

F (c)

Trường hợp phân bố tải trọng hình thang: p(x) = ( 1)x p1

L p p

+ −

, trong p1, p2 - giá trị tải nút nút 2:

{ }

⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫

⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧

+ −

+ + + =

) 20 / 30 / (

35 , 15 ,

) 30 / 20 / (

15 , 35 ,

2

2

2

2

p p

L

p p

p p

L

p p

F (d)

Trường hợp dầm chịu tác động lực tập trung P, đặt nút cách nút đoạn ξ:

{F} = ∫ P.δ( ξ - x) [N]T dx,

trong δ(ξ - x) - hàm Dirac (e)

Thực tính [k] hình thức nêu đầu chương địi hỏi xác định ma trận [B]

Hàm chuyển vị v nên viết dạng hàm bậc ba: v = β1 + β2x + β3x2 + βx4

Các số xác định từ điều kiện biên phần tử: x = v = v1 β1 = v1, θ1 = dv/dx = β2

Theo cách nhận tiếp:

( 1) ( 2) ( 2) ( 2)

2

1 v v 2

1 v v

3 θ θ β θ θ

β = − − + = − − +

L L

L L

Vec to chuyển vị {v} = [N]{δ}mang dạng:

{ } ⎥{ }δ

⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

− ⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

− ⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

+ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

+ − =

L x L x L

x L

x L

x L

x x L

x L

x

2 3

3

2

3

3

2 2 2 3 2

3 v

Hình 3.21 Phần tử dầm BEAM 2D

Để ý rắng N { }δ [ ]B{ }δ dx

d

d =

⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡ = 22

2

dx v

viết [B] sau:

[ ] ⎥

⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛− + ⎟

⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ −

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛− + ⎟

⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛− +

= 62 123 62 62 123 62 L

x L L

x L

L x L L

x L

B

Kết tính cho phép nhận ma trận [k] thể (a)

Trường hợp phần tử BEAM chịu tải dọc trục, ma trận cứng tính hệ tọa độ cục bộ, gắn liền với phần tửcó dạng:

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡

−

− −

− −

− − −

=

L EI L

EI L

EI L

EI L

EI L

EI L

EI L

EI L

EA L

EA L

EI L

EI L

EI L

EI L

EI L

EI L

EI L

EI L

EA L

EA

ke

4

0

6

6 12

0

12

0

0

2

0

6

6 12

0

12

0

0

2

2

2

2

2

2

(f)

Ma trận chuyển: [ ] ;

0 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ =

C C

T với [ ]

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎢ ⎣

⎡ −

=

1 0

0 cos sin

0 sin cos

φ φ

φ φ

C ` (g)

trong φ - góc hướng trục Ox hệ tọa độ với O’x’ hệ tọa độ cục bộ, gắn liền với phần tử, hình 3.22

Trong hệ tọa độ chung xOy ma trận cứng phần tử, ký hiệu [ ]k~ , tính chuyển theo công thức:

[ ]k~ =[ ] [ ][ ]T T k K (h)

Vector chuyển vị nút tính hệ tọa độ chung:

{ }u~ =[ ]T { }u (i)

trong đó: { }u [u ]T

2 2 1

1 v θ u v θ

= , tính hệ tọa độ cục Vector tải nút tính hệ tọa độ chung:

{ }~f =[ ]T { }f (j)

trong đó: { }f =[fx1 fy1 m1 fx2 fy2 m2]T, tính hệ tọa độ cục

7.5 Phần tử dầm Timoshenko

Dầm Timoshenkotính ảnh hưởng ứng suất cắt thể hệ số ks Cơng thức tính ma trận [k]:

[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎥⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ++ − + + − + − + + + + − + + − = μ μμ μ μ μ μ μ μμ μ μ μ / 12 0 / / 12 12 0 0 2 3 L EJ L EJ L EJ ĐX L AE L EJ L EJ L EJ L EJ L EJ L EJ L EJ L AE L AE

k (3.23)

với s GAk L EJ 12 =

μ (3.24)

7.6 Phần tử BEAM 3D với 12 bậc tự

Hình 3.23 Phần tử BEAM 3D hệ tọa độ cục hệ tọa độ chung

Ngoại lực áp đặt lên phần tử thuộc kiểu, lực tập trung, lực phân bố theo qui luật tuyến tính bất kỳ, momen tập trung phân bố

Phân bố lực tính cho trường hợp phần tử dầm 2D, tổng hợp lại dạng:

{ }

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ =

2 )

( p

p

p e , đó: { }

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧

− =

6 /

6 /

0

1

L f

L f

m f f f

p

y z

x z y x

; { }

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧

− =

6 / /

0

2

L f

L f

m f f f

p

y z

x z y x

7.6 Phần tử dầm đàn hồi

Hình 3.24 Phần tử dầm đan hồi

Ma trận cứng phần tử dầm 2D, chịu tác động đàn hồi gồm hai vế, ma trận cứng dầm 2D miêu tả ke với ma trận cứng dầm ấy, ký hiệu ke,W có tính ảnh hưởng hệ số đàn hồi

Hệ số đàn hồi hiểu gồm ka – hệ số đồng trục dầm, kt – ngang dầm

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡

− −

−

− − − =

2

2

,

4 22

0

13

22 156

0 13

54

0

140

0 70

3 13

0

22

13 54

0 22

156

0

70

0 140

L k L k L

k L k

L k k

L k k

k k

L k L

k L

k L k

L k k

L k k

k k

k

t t

t t

t t

t t

a a

t t

t t

t t

t t

a a

W

e (3.25)

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − − − = L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EA L EA L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EA L EA ke 6 12 12 0 0 6 12 12 0 0 2 3 2 3 (3.26)

Ví dụ 4: Dùng phần tử BEAM 2D giải khung phẳng nêu hình 3.25

Khung gồm phần tử BEAM 2D, mang số Nút 1, 3, bố trí hình phía phải Độ tự phần tử gồm 1, 2, 7, 8, 9., phần tử 2: 7, 8, 4, 5,

Hình 3.25 Khung phẳng mơ hình tính PP PTHH

Ma trân cứng phần tử hệ tọa độ cục tính theo công thức (f), chuyển sang hệ tọa độ chung mang dạng công thức (h) với ma trận chuyển [T] tính theo (g):

[ ] ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = 0 927 , 375 , 0 375 , 927 , 0 927 , 375 , 0 375 , 927 , 0 0 T

Kết tính [k] hệ tọa độ chung sau:

[ ]

)

( ⎥10

⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = C B B A

k với

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = 10 477 , 406 , 477 , , 21 82 , 51 406 , 82 , 51 , 129 ] [ 20 477 , 406 , 477 , , 21 82 , 51 406 , 82 , 51 , 129 ]

[A B

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = 20 477 , 406 , 477 , , 21 82 , 51 406 , 82 , 51 , 129 ] [C

Ma trận cứng phần tử 2, tính hệ tọa độ cục bộ, trùng với hệ tọa độ chung:

[ ]

)

( ⎥10

⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = F E E D

k với

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎢ ⎣ ⎡

− − −

= ⎥

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =

20 75 ,

75 , 9375 , 0

0

0 , 150 ]

[ 20 75 ,

75 , 9375 , 0

0

0 , 150 ]

[D E

Sau tập hợp ma trận chung toàn hệ thống là:

[ ] 0 106

0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =

G E B

E F

B A

K với [ ]

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =

40 2735 , 406 ,

2735 , 84 , 22 82 , 51

406 , 82 , 51 , 279

G

Vecto tải phần tử 1, theo công thức (e), lập theo mô hình trình bày hình 3.26:

Hình 3.26 Hình 3.27 Trong hệ tọa độ cục bộ:

{ } [ ]T

p 103 34,18 58,59 15,82 35,16

)

( = −

Trong hệ tọa độ chung:

{ } [ ]{ } [ ]T

chung T p

p 103 12,82 31,68 58,59 5,932 14,66 35,15

) ( _

)

( = = − − −

Vecto tải phần tử số tính theo cơng thức (c) hệ tọa độ riêng (và hệ tọa độ chung):

{ } 103[0 16 21,33 16 21,33] _

)

( chung = − − −

p

Sau tập hợp hai vecto tải tính hệ tọa độ chung nhận vecto tải hệ thống:

{ }P =103[−12,82 31,68 58,59 −16 21,3 −5,932 −1,34 −56,48]

Sau xử lý điều kiện biên, u1 = v1 = θ1 = u2 = v2 = θ2 = thực giải phương trình đại số

tuyến tính [K]{δ} = {P} Kết tính chuyển vị nút 2:

{ } 10 6[ 11,11m 16,31m 1412rad] )

2

( = − − −

−

δ

Lực cắt momen uốn khung trình bày đồ thị hình 3.28 29

Hình 3.28

Hình 3.29

8 TRANG THÁI ỨNG SUẤT PHẲNG, TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG PHẲNG

Hình 3.30 Trạng thái biến dạng phẳng

Hình 9.31 Trạng thái ứng suất phẳng

Trong trường hợp dùng hệ tọa độ trụ cịn gặp tốn phẳng làm việc với vật trịn xoay, hình 3.32

Hình 3.32 Vỏ mỏng đối xứng qua trục đứng hệ tọa độ trụ

8.1 Phần tử hình chữ nhật

Phần tử cạnh nút, 12 bậc tự Phương trình chuyển vị:

w(x,y) = [P]{a} = [ x y x2 y2 xy x2y xy2 x3 y3 x3y xy3 ] {a} Phương trình uốn tấm: ∇2 ∇2 w =

Chuyển vị nút: {δ} = [C]{a}

Matrận [C] có kích thước 12x12, phụ thuộc vào toạ độ nút i, i= 1, 2, 3, {a} = [C]-1 {δ}

Từ đó: w = [N] {δ} = [P] [C]-1 {δ} và [N] = [P] [C]-1

Biểu thức Ni, i=1, 2, 3, sau khai triển:

[Ni] =

2 [ ( ξ0 + 1)(η0 + 1) (2 + ξ0 + η0 - ξ

2 - η2), aξ

i(ξ0 +1)2(ξ0 -1)( η0 +1),

bηi(ξ0 +1)( η0 +1)2(η0 -1) ],

trong đó: ξ = a

x x− c

η = b

y y− c

; ξ0 = ξξi η0 = ηηi

{ε} = [Q]{a} = [Q]{C]-1 {δ} từ đó:

[B] = [Q]{C]-1

[Q] =

0 0 0 0

0 0 0 0 6

0 0 0 4 6

− − − − − − − − ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥

x y xy

x y xy

x y x y

Ma trận cứng phần tử:

[k] = {[C]-1 }T ( ∫∫ [Q]T [D] [Q] dxdy ) [C]-1

Vector lực:

{pe} = { -[C]-1 }T ∫∫ [P]Tpdxdy

Matrận C hiểu sau đây:

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − = 2 3 2 3 2 2 2 3 2 3 2 2 2 3 2 3 2 2 2 3 2 3 2 2 3 3 2 0 3 3 2 0 3 3 2 0 3 3 2 0 b b a b ab a b a ab a b ab a b a ab b a b ab b a a b ab a b a b b a b ab a b a ab a b ab a b a ab b a b ab b a a b ab a b a b b a b ab a b a ab a b ab a b a ab b a b ab b a a b ab a b a b b a b ab a b a ab a b ab a b a ab b a b ab b a a b ab a b a C ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − − − = 2 6 4 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 ] [ y x y x xy y x xy y x Q

Hình 3.34 Phần tử CST Hình 3.35 Phần tử ba cạnh sáu nút

Phần tử mang tên gọi constant strain triangle – CST, linear triangle, ứng dụng phổ biến tốn phẳng

Phương trình chuyển vị:

U = u x y v x y

( , ) ( , ) ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬

⎭ = [N] {δ}, {δ} =

u v u v u v 1 2 3 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ) , ( ) , ( ) , ( 0 0 0 ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( 3 y x N y x N y x N y x N y x N y x N y x N với N1 =

2 A[y32(x-x2) - x32 ( y - y2) ], N2 =

2 A[y31(x-x3) - x31 ( y - y3) ],

N3 =

2 A[y21(x-x1) - x21 ( y - y1) ]

A =

2 ( x32 y21 - x21 y32 ), với qui ước: xij = xi - xj ; yij = yi - yj

Vector biến dạng: {ε} = [B] {δ],

[ ] ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − − − − − − − = 3 3 2 1 3 2 3 3 1 3 0 0 0 0 0 0 β β β α α α α α α β β β A y y y y y y x x x x x x x x x x x x y y y y y y A B

Π = U – W = V{ }δ T[ ]B T[D][ ]B{ } { } { }δ − δ T p [D] = ( ) ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − / 0 1 ) ( 12 ν ν ν ν Et

[ ] [ ]T [ ] e

e B D BV

Ký hiệu [ ] ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 3 3 0 0 0 β β β α α α α α α β β β

β tính [k] theo cơng thức:

[ ] ( )[ ] [ ]β ν ν ν β ν ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = 0 1 T A Et k [ ] ( ) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + + + + + + + + + + + + + + + + − = − − − − − − + − − − − + − − − − − + − − − 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 1 1 2 1 3 2 3 2 2 1 2 2 2 21 3 1 2 1 3 2 2 2 β α β β α α β α β β α α β β α α β α α β α β α νβ α β α νβ α β α β α νβ α β α β α νβ α α β β α β α β α νβ α β α νβ α β α α β β α α β β α β ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ĐX A Et k { } ∫[ ] ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = S y x T tdS p p N p

{ } [ ]T

y y y x x

x f f f f f

f

p = 1 2 3 1 2 3

trong

3 , , ; ) , ( ; ) , ( = =

=t∫ p N x y dS f t∫ p N x y dS i f S i y iy S i x ix

Ví dụ 5: Tính ứng suất biến dạng hình vng cạnh l trạng thái ứng suất phẳng Chiều dày t = const Mô đun đàn hồi vật liệu E, hệ số Poisson ν = 1/6

Nhờ tính đối xứng cấu hình đối xứng tải, đưa nửa vào tính tốn Phần dùng tính tốn chia làm phần tử tam giác, đánh số (1), (2), (3), (4) giới thiệu hình Số nút dùng tính toán Căn cách đánh số xác định tọa độ nút cho phần tử

Phần tử (1) x1 = ; y1 = 0;

x2 = 0; y2 = - ½ l

x3 = ½ l; y3 = - ½l

Phần tử (2) x1 = ; y1 = 0;

x3 = ½ l ; y3 = - ½l

x4 = ½l ; y4 =

Phần tử (3) x5 = ; y5 = 0;

x1 = 0; y1 = - ½ l

x4 = ½ l; y4 = - ½ l

Phần tử (4) x5 = ; y5 = 0;

x4 = ½ l; y4 = - ½ l

x6 = ½ l; y6 =

Vector tải có mặt thành phần {p} phần tử (1), mang giá trị P/2 Chuyển vị ngang nút số 1, số 2, số trục đối xứng bị hạn chế, nút bị hạn chế theo chiều đứng, v6 =

1

4

7

Sau tính hệ số cứng phần tử tiến hành tổng hợp ma trận cứng toàn hệ thống xử lý điều kiện biên, nhận hệ phương trình sau

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − − − − − − − − 0 0 0 v v v v v 728 , 214 , 728 , 086 , 0 456 , 214 , , , 456 , 0 514 , 086 , 728 , 0 214 , 214 , 0 728 , 0 0 214 , 086 , 728 , 0 514 , 428 , , 0 , 514 , 456 , 4 3 P u u u ĐX Et

Kết giải hệ phương trình đại số có dạng:

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ 3909 , 1090 , 7772 , 0066 , 1090 , 0692 , 9033 , 2728 , v v v v v 4 3 Et P u u u

Ứng suất tính nút thực theo (g) Ví dụ tính cho phần tử (4) nhận ứng suất sau

⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − − × = ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ × ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ − − ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ 536 , 465 , 583 , 0 3909 , 7772 , 0066 , 0109 , 208 , 208 , 0 / / / / / / 208 , 208 , 0 0 / 0 / 114 , t l P l l l l l l l l l l l l t l E xy y x υ υ υ υ τ σ σ

8.3 Phần tử vật thể tròn xoay

Quan hệ biến dạng-chuyển vị phần tử: { } [ ]{ }δ ; ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ε ε ε ε

ε θθ B

r w z u z w r ur u rz zz rr = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + = ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = k k j j i i k j i k j i k j i b c b c b c c c c r N r N r N b b b A B 0 0 ) / ( ) / ( ) / ( 0 ] [

Ma trận cứng:

[k] = [B]T[D][B] 2πrm A, với rm = ( ri + rj + rk)/3;

[D] = E( )

( )( )

1

1

−

+ −

ν

ν ν

1 1

1 1

0 2

1 1

ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν / ( ) / ( ) / ( ) / ( ) ( ) / [ ( )] / ( ) / ( ) − − − − − − − − ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ Vector tải biên xác định từ biểu thức:

{ } rds

f f L L L L L L dS f N p z r S k k j j i i S s T s ij π ] [ 1 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = = ∫ ∫

Vector lực nhiệt độ thay đổi, gây tính theo cách dùng cho phần tử nhóm phần tử phẳng

[ ]B D E T (E T )[ ]B r A

p III

V T

t υ π

α α 1 1 1 ] [ } { ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − = ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =∫

Biểu thức xác định lực khối viết dạng sau:

{ } rdA

f f L L L L L L dV f N p z r A k k j j i i V b T

b [ ] 2π

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = =∫ ∫

9 TẤM CHỊU UỐN

Tấm chịu uốn, thường ký hiệu PLATE, hiểu tập hợp màng, có khả mang tải mặt phẳng uốn ngang, chịu tải pháp tuyến, hình 3.39

Hình 3.39 Tấm uốn hiểu tập họp màng (a) uốn ngang (b)

9.1 Tấm tam giác ba nút, bậc tự

Phương trình chuyển vị:

w(x,y) = [P]{a}= [ x y x2 y2 x3 (x2y + xy2 ) y3 ] {a} Matrận cứng:[k] = t

A

∫∫ [B]T [D] [B] dxdy [D] =

( ) ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − / 0 1 ) ( 12 ν ν ν ν Et

[k] = {[C]-1 }T ( ∫∫ [β]T [D] [β] dxdy ) [C]-1

[C] =

1 0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

1 0 0

0 0 0

0 0 0

1

0 2

0

2 22 23

2 22

2 22

3 32 3 32 33 32 3 32 33

3 3 32 32

3 32 32 3

− − − − + + − − − − − + ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

y y y

y y

y y

x y x x y y x x y x y y

x y x y x y

x y x y x y

( ) ( ) ( ) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

[β] = -z

0 0 0 0 0 0 2 0 0 0

Trường hợp không nằm trùng mặt xOy hệ tọa độ chung, cần tính chuyển đặc trưng nhờ ma trận chuyển [λ]:

[T] =

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎢ ⎣ ⎡

R R R

0 0

0 0

0 0

, đó: [ ]

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =

oy x x

m y l

m l R

0 0

0

0

Matrận [T], 9x9 có dạng:

[ ]

9

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0

0 0

0 0

0 0

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡

=

y y

x x y

y x x y

y x x

m l

m l m

l m l m

l m l

λ

Matrận [k] vector lực tính chuyển sang hệ tọa độ chung theo công thức: [k]chung = [T]T[k][T], {p}chung = [T]T{p}

Tấm mỏng hình chữ nhật, cạnh a.b, nút, 12 bậc tự Bậc tư nút trình bày hình 3.41

Hình 3.41 Phần tử PLATE Phương trình chuyển vị:

w(x,y) = [P]{a} = [ x y x2 y2 xy x2y xy2 x3 y3 x3y xy3 ] {a} Phương trình thỏa mãn điều kiện liên tục toán uốn tấm:

∇2 ∇2 w =

Áp dụng phương trình cho chuyển vị nút nhận được: {δ} = [C]{a}

Matrận [C] có kích thước 12x12

Matrận cứng phần tử tính từ biểu thức [k]:

[k] = {[C]-1 }T ( ∫∫ [Q]T [D] [Q] dxdy ) [C]-1

Biểu thức tính vector lực

{pe} = { -[C]-1 }T ∫∫ [P]Tpdxdy

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − = 2 3 2 3 2 2 2 3 2 3 2 2 2 3 2 3 2 2 2 3 2 3 2 2 3 3 2 0 3 3 2 0 3 3 2 0 3 3 2 0 b b a b ab a b a ab a b ab a b a ab b a b ab b a a b ab a b a b b a b ab a b a ab a b ab a b a ab b a b ab b a a b ab a b a b b a b ab a b a ab a b ab a b a ab b a b ab b a a b ab a b a b b a b ab a b a ab a b ab a b a ab b a b ab b a a b ab a b a C ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − − − = 2 6 4 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 ] [ y x y x xy y x xy y x Q

9.2 Tấm Kirchhoff hình chữ nhật, nút, 16 bậc tự

Sử dụng hàm Hermite diễn đạt hàm hình dáng mỏng theo thuyết kinh điển Kirchoff nhận kết sau

{δ}=[N]{un}

với {un} =

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ i i i i y x w y w x w w

Hàm hình dáng có dạng:

[ ] [ ]T q p q p q p q p q p q p q p q p q p q p q p q p q p q p q p q p N 4 3 4 3 3 4 2 1 1 M M M = ( −ξ) ( +ξ) = ( −ξ ) ( +ξ)

= 1

8 2 a p

p ; = ( −ξ) ( −ξ) = (−1−ξ) (1+ξ) 4 a p p ( −η) ( +η) = ( −η )( −η)

= 1

8 2 b q

Vec to liên quan góc xoay [β]: [ ] [ ]β = B{ }un

[ ]

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡

∂ ∂ ∂∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ −

=

ab N

a N

b N

b a B

i i i

2

2 2

2

2

η ξ

η η

ξ ξ

; [ ]=∫∫1 [ ] [ ][ ]

1

1

η ξd d ab B D B

k T

Vec to tải:

{ }

⎥⎦ ⎤ − − −

−

⎢⎣

⎡ − −

=

36

6 36 6

36

6 36 6

ab b

a ab

b a

ab b

a ab

b a ab f p z

M

M M

Ví dụ 6: Xác định độ võng momen uốn điểm vuông, cạnh dài 2L, ngàm cạnh, chịu tác động lực tập trung

Hình 3.43b

Nếu coi nêu phần tử Kirchhoff, hàm chuyển vị nút đánh số tính cơng thức:

w(x, y) = p3(ξ)q3(η)w3

Ma trận [B] tính sau:

[B] =

-( ) ( )

( ) ( )

( )( )⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪

⎩ ⎪ ⎨ ⎧

− −

− +

−

− +

−

2

2

2

1

18

2

6

2

6

1

η ξ

ξ ξ

η

η η

ξ L

Matrận cứng k = [ ] D

a d

d L B B

D 2

2

2 1

1

1

18 , 47

] [ 0

0

0

= ⎥

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎢ ⎣ ⎡

− − −∫ ∫

η ξ υ

υ

Lời giải toán là: kw3 =

4 P

hay w3 =

2

10 ,

5 −

D Pa

Góc xoay: [ ] [ ( 1; 1)] 23 (0 0)

3 = −

− = = =

L w w

Bξ η

β

Momen uốn điểm tấm: P D

a w

My =−2423 =−0,1272 9.3 Phần tử SHELL

Trong phần mềm dùng tính độ bền kết cấu người ta sử dụng phần tử SHELL mô hình vỏ Phần tử SHELL tổ chức dạng phần tử ba cạnh, nút bốn cạnh nút Những phần tử bậc cao đưa vào chương trình tính tốn, xem phần giới thiệu phần mềm ANSYS, SESAM, SAP nêu sau

Phần tử vỏ phẳng, chiều dày không đổi chiều dày thay đổi kết hợp từ phần tử mỏng chịu uốn phần tử màng sở giả thiết, ứng xử màng không ảnh hưởng đến ứng xử uốn ngược lại

Ví dụ 7: Xác định độ võng thép hình vng cạnh a, dày t, bị ngàm cạnh Tải tập trung P tác động điểm tấm, hình 3.44a

Hình 3.44a Tấm vng ngàm cạnh

Hình 3.45 Kết tính cho ¼

Hình 3.44c Sử dụng ¼ tính tốn, tải tác động ¼ tải tồn

Mơ đun đàn hồi vật liệu E = 2,1.106 kG/cm2; hệ số Poisson υ = 0,3; Chiều dài a = 10 m, chiều dày t = mm, lực P = 400 kG

Chia làm phần tử SHELL đánh số 1, 2, 3, 4, hình 3.44b Nhờ tính đối xứng kết cấu dùng ¼ tính, hình 3.44c Từ phần tử tiến hành chia lưới gồm phần tử Điều kiện biên đường đối xứng là:

Tại đường 4-5: uy = 0, góc xoay theo trục 4-5

Tại đường 2-5: ux = 0, góc xoay theo trục 2-5

Tải tác động mơ hình tính cho ¼ ¼P = 100 kG

Độ võng lớn nút 5: 26,04 cm, điểm cạnh 4-5 2-5: 11,37 cm Biểu đồ ứng suất lớn Smax phần tử ¼ trình bày hình 3.45

10 VẬT THỂ 3D

Những phần tử nhóm SOLID dùng tính tốn có dạng sau:

10.1 Khối bốn mặt, bốn nút (tetrahedron element)

Vector chuyển vị:

{ } [ ]312{ }12

) , , ( ) , , ( ) , , ( x x N z y x w z y x v z y x u

u = δ

⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = [ ] ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = l k j i l k j i l k j i N N N N N N N N N N N N N 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

{ }ε =[ ]B{ }δ

[ ] ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = l l k k j i i l l k k j j i l l k k j j i i l k j i l k j i l k j i b d b d b b d a d a d a d d b c b c b c b c d d d d c c c c b b b b V B 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ; 4 3 2 1 1 1 z y x z y x z y x z y x V =

các nút 1, 2, 3, tương ứng nút i, j, k, l

1 1 ; 1 ; 1 ; l l k k j j i l l k k j j i l l k k j j i l l l k k k j j j i y x y x y x d z x z x z x c z y z y z y b z y x z y x z y x

a = =− =− =−

(a bx c y d z)

V z y x

Ni = i + i + i + i ) , , (

(a b x c y d z)

V z y x

Nj = j + j + j + j

1 ) , ,

(a b x c y d z)

V z y x

Nk = k + k + k + k ) , , (

(a b x c y d z)

V z y x

Nl = l + l + l + l ) , , (

{ }σ =[ ]D{ }ε

[ ] ( )( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )⎥⎥

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡

− − −

− −

− −

−

− −

− −

− +

− =

ν ν ν

ν ν

ν ν

ν ν

ν ν

ν ν

ν ν

ν ν ν

ν ν

ν

1

2 0

0

0

0

2 0

0

0

1

2 0

0

0

0

1

0

0

1

0

0

1

2 1

) ( E D

Matrận cứng phần tử :

[ ] [ ] [ ][ ]=∫

V T

dV B D B k

10.2 Khối mặt nút (hexahedron element)

{ } [ ] [ ]

[ ]{ }δ [ ]{ }δ *

0

0

0 w

v N

N N N u

u =

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧

= , cỡ 24x1

Ttrong {δ} – vecto chuyển vị nút, [N] – hàm hình dáng Ni(ξ, η, ζ) =

8(1+ξξi) (1+ηηi) (1+ζζi) ; i=1, 2, ,8

Matrận cứng phần tử :

[ ] [ ] [ ][ ]=∫

V T

dV B D B k

Ứng suất biến dạng:

{ }ε =[ ]B{ } { }δ ; σ =[ ][ ]D B{ }δ

11 NÉN MA TRẬN KHỐI KẾT CẤU (SUBSTRUCTURE)

Tính tốn thực tế có gặp trường hợp khó giải thiếu nhớ máy tính Một cách khắc phục sử dụng biện pháp nén tĩnh ma trận Đây việc chia ma trận cỡ lớn thành nhiều ma trận theo yêu cầu, xử lý vấn đề liên quan đề tài ma trận trước giải toán tổng thể Ma trận toán tổng thể lập sở kết tính bậc tự xác định bước trước Kết cuối tốn học không thay đổi

Nội dung cách làm giảm bậc tự toán cách thực giải toán theo phương pháp phần tử hữu hạn lập cho khối kết cấu, gọi substructure, trước thành lập ma trận cứng [K] vec to tải {P}của toán tổng thể Điều giải thích qua ví dụ nêu hình 3.49 Cần xây dựng phương trình cân phần tử BAR dài L, diện tích mặt cắt đầu trái A1, diện tích mặt

cắt trái 2A1

Hình 3.49

Điều cần làm loại bậc tự U2 nút dầm

Giả sử phương trình cân xây dựng theo phương pháp phần tử hữu hạn có dạng:

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ c a c a cc ca ac aa P P U U K K K K (a) Từ phương trình viết:

( c ca a)

cc

c K P K U

U = −1 − (b)

Đưa giá trị vào vị trí ma trận Uc tai (a) để nhận phương trình nén:

(Kaa KacKccKca)Ua Pa KacKccPc

1

1 −

− = −

− (c)

Ví dụ 1: Ma trận cứng phần tử nêu hình 3.49 xây dựng Hãy dùng công thức (a), (b) loại trừ thành phần U2, nén ma trận

⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − 3 1 25 28 28 48 20 20 17 P P P U U U L EA

Cần thiết tổ chức lại phương trình theo cách sau:

⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − 3 1 48 28 20 28 25 20 17 P P P U U U L EA

Công thức (c) thể đây:

[ ] ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + + = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − − ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − − − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 48 28 48 20

1 20 28

48 28 20 25 3 17

6 P P

P P U U L EA Hay ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + + = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − 125 1 12 1 1 13 P P P P U U L EA

Biểu thức tính U2:

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + +

= 2 1 3

1

2 10 14

3 24 U U P EA L U

Ví dụ 2: Ma trận cứng hệ thống gồm phân tử LINK, độ cúng EA1/L phần tử BAR hình 3.50

Hình 3.50 Hệ thống phần tử LINK, phần tử BAR Các ma trận cứng phần tử 1, 2, tính sau:

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 ]

[ (1)

L EA k ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − = 0 0 0 0 0 0 25 28 0 28 48 20 0 20 17 ]

[ (2)

L EA k ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − = 50 56 0 56 96 40 0 40 34 0 0 0 0 0 6 ]

[ (3)

L EA k

Sau tập hợp ba ma trận phần tử 1, 2, nhận ma trận chung hệ thống ∑

= = ) ( m m k

K Hệ

phương trình đại số thành lập theo phương pháp phần tử hữu hạn có dạng KU=P sau

⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − − − 5 1 0 0 50 56 0 56 96 40 0 40 59 28 0 28 48 20 0 20 23 P U U U U U L EA

Áp dụng phương pháp loại trừ Gauss để loại U2, U4 kết sau:

⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − − − − − − − − − 5 9656 56 9656 40 9656 40 9640 40 4828 20 4828 20 4828 20 4820 20 0 0 50 0 56 96 40 0 59 28 0 28 48 20 0 20 23 P U U U U U L EA x x x x x x x x

⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎢ ⎣ ⎡

− − −

−

5

3 13

22

1 0

0

2

2

0 19

13

P U

U U L

EA

Biểu thức tính U2 U4 :

( 3)

2

12

U U

U = +

( 5)

4

12

U U

U = +

Có thể thấy từ ví dụ này, nén tĩnh ma trận có hiệu phần tử tham gia tính tốn sử dụng nhiều lần q trình giải tốn Đây mơ hình phân nhóm kết cấu để tính tốn, theo kết cấu tổng thể coi tập hợp nhiều nhóm kết cấu nhỏ phụ thuộc Mỗi nhóm kết cấu nhỏ, đến lượt mơ hình hóa theo phương pháp phần tử hữu hạn giới hạn hình học nhóm đó, tiến hành nén ma trận theo cách vừa nêu cho ma trận lập cho nhóm Điều quan tâm kích cỡ ma trận nén nhỏ so với ma trận đầy trước nén Ma trận cứng toàn hệ thống tập hợp ma trận nén tất nhóm Nói cách chung nhóm kết cấu dùng như phần tử (element) hữu hạn riêng lẻ, bậc tự xác định bên Tập hợp ma trận cứng chung toàn hệ thống thời điểm tập hợp ma trận cứng phần tử hữu hạn riêng lẻ vừa đề cập

Khái niệm nhóm kết cấu (substructure) dùng phần tử dẫn đến khái niệm tiếp: siêu phần tử (super-element) Những tên gọi đề nghị cho nhóm kết cấu nhỏ bàn đến nhóm kết cấu bậc hay siêu phần tử bậc Nếu substructure tập hợp nhiều phần tử, song đối xử siêu phần tử kết cấu tổng thể lập tập hợp phần tử đặc biệt (đang gọi siêu phân tử) thành phần tử, gọi super-element bậc cao Trong chuyên môn người ta gọi nhóm kết cấu bậc hai Theo cách làm cịn có siêu phần tử bậc cao

Những lĩnh vực tính toán phải dùng đến thủ thuật bao gồm ngành chế tạo tàu không gian, tàu bay tàu thủy Tính tốn bền cơng trình ngồi khơi khơng thể thực không dùng thủ thuật siêu phân tử

Để hiểu tên gọi ý nghĩa phần tử, siêu phần tử xem xét ví dụ giản đơn sau

Ví dụ 3: Xây dựng ma trận cứng vecto tải cho dầm chịu lực dọc trục nêu hình 3.51, phương pháp siêu phần tử

Hình 3.51a

Phân tử dùng phần tử BAR, bậc tự 3, nêu ví dụ Phương trình cân phần tử:

⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩

⎪ ⎨ ⎧

+ + = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡ −

−

2

2 125

1

12

1 1

13

P P

P P U

L EA

Bậc tự U2 bị loại trình nén tĩnh để nhận (a) Bằng cách coi phần tử bậc

tự nhóm kết cấu bậc đầu tiên, bậc theo qui ước, hình 3.51b, phần (a) Hàm U2 tính theo U1,

U3 P2

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + +

= 2 1 3

1

2 10 14

3 24 U U P EA L U (b)

Hình 3.51b

Siêu phân tử bậc cao hơn, bậc 2, xác định cho siêu phần tử có bậc tự U1, U5 :

⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + + + + = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − 127 125 127 125 1 2 1 13 P P P P P P P U U U L EA (c)

Biểu thức tính U4:

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + +

= 4 3 5

1

4 10 14

2 24 U U P EA L U

Mơ hình trình bày phần (b) hình 3.51b

⎥

⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡

+ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ + +

= 3 2 4 1 5

1

3

12 12

7 13

9

U U P P

P EA

L

U

Bằng cách tương tự thành lập nhóm kết cấu bậc 3, phần (c) hình 3.51b

Áp đặt tải phương pháp theo cách làm qui ước đặt tải biên siêu phần tử Trong ví dụ áp tải nút cho mơ hình, sử dụng nhóm kết cấu cấp hai

⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎢ ⎣ ⎡

− − −

− ×

×

0

4

4

0 1

13

5

5

1 P

U U U L

EA

Loại trừ U5 nhận phương trình:

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡ −

− ×

× ×

5

5 1

1

1

13

P P U

U L

EA

⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

+ +

= 5 1 9

1

5

36 27

5 P U U

EA L U

Những ví dụ thực tế tính tốn sức bền tàu thủy, máy bay nêu giải thích cách chia kết cấu thực tế thành siêu phân tử cấp khác Hình 3.52 giới thiệu mơ hình tính bền tàu vận tải hàng lỏng cỡ nhỏ

Hình 3.52

Hình 3.53 Siêu phần tử tàu dầu

Ngành chế tạo tàu bay thường trước lĩnh vực dùng phương pháp phần tử hữu hạn tính độ bền kết cấu Hình 3.54 giới thiệu cách phân nhóm kết cấu thân tàu bay dùng vào năm bảy mươi

Hình 3.54a Thân tàu bay siêu phần tử từ thân tàu bay Mơ hình dùng nhóm kết cấu cấp tính độ bền cánh tàu bay nêu hình 3.54b

Kết cấu thân máy bay mơ hình phần tử hữu hạn có dạng trình bày hình 5.55

Hình 5.55a Áp dụng phương pháp super-element vào phân tích kết cấu thân tàu bay Theo cách chia thấy rõ khối kết cấu siêu phần tử phần thân trước máy bay, siêu phần tử phần giữa, cánh, siêu phân tử phần lái vv

12 SỬ DỤNG PHẦN MỀM SAP VÀ ANSYS TÍNH TỐN KẾT CẤU

Những chương trình tính độ bền kết cấu có ứng dụng rộng rãi: ANSYS, ASKA, NASTRAN, PICES, SAP, STARDYNE, STRUDL, SESAM, MAESTRO, StruCAD * 3D Phần mềm ANSYS, SAP thông dụng với số đông người dùng, hữu hiệu giải toán học kết cấu, giới thiệu

Hình 3.49 Miêu tả phần tử BEAM 3D (Frame/Cable) SAP

Hình 3.50a Phần tử SHELL SAP

Hình 3.50b Output từ phần tử SHELL SAP Trong phần mềm SAP sử dụng phần tử:

Plane - tương đương phần tử Membrane

Asolid - phần tử phẳng dùng mơ hình vật thể trịn xoay Solid - phần tử 3D dạng “viên gạch” nút

Link/Support – phần tử biên

Sử dụng SAP tính độ bền cục trình bày ví dụ đơn giản

; - RECTANGULAR PLATE USING SHELL ELEMENTS SYSTEM

JOINTS

1,7,1,43,7 X=0,5,0 Y=0,0,1 Z=0 RESTRAINTS

ADD=1 DOF=UZ,RX,RY ;CLAMPED EDGE ADD=1 43 DOF=UZ,RX,RY ;CLAMPED EDGE

ADD=7 49 DOF= RY ;SYMMETRY

ADD=43 49 DOF= RX, ;SYMMETRY

MATERIAL NAME=1 W=1

E=1.7472E7 U=.3 SHELL SECTION

NAME=1 TYPE=SHELL MAT=1 TH=1E-04 SHELL

J=1,2,8,9 SEC=1 GEN=1 31 JINC=1 LOADS

NAME=CONCENT TYPE=FORCE ADD=49 UZ=1E-4 NAME=UNIFORM

TYPE=GRAVITY ELEM=SHELL ADD=* UZ=1

OUTPUT

ELEM=JOINT TYPE=DISP,APPL,REAC LOAD=* ELEM=SHELL TYPE=STRESS LOAD=*

Phần trình bày bảng tính uốn theo SAP2000 Tấm ngàm bốn cạnh, chia thành 16 phần tử hình chữ nhật Tham gia vào phép tính ¼ nêu, gồm phần tử đánh số 1, 2, 3, Số nút cho phần tử:

Phần tử 1: – – – Phần tử 2: – – – Phần tử 3: – – – Phần tử 4: – – – Nút số nằm

Dữ liệu đầu vào ghi hệ thống đo sử dụng kG trọng lượng, cm chiều dài Mô đun đàn hồi E = 2.1E + 06 kG/cm2; hệ số Poisson ν = 0,3; Chiều dày t = 0,8cm

Kết tính chuyển vị, ứng suất trình bày bảng JOINTS - Toạ độ nút

X=0 Y=0 Z=0 X=50 Y=0 Z=0 X=100 Y=0 Z=0 X=0 Y=25 Z=0 X=50 Y=25 Z=0

X=100 Y=25 Z=0 X=0 Y=50 Z=0

X=50 Y=50 Z=0 X=100 Y=50 Z=0

SHELL - Các phần tử Shell

J = 1,2,4,5 Sec=1 Local=31 Pldir=0 Gen=1 Jinc=1

RESTRAINTS - Điều kiện biên

Pattern - phân bố lực pháp tuyến

Name=Pres

Add= V=0.4,0.4

Material - Vật liệu

Name= steel

E=2.1E+07 U=0.3 A=0 Shell Section

Name=1 Type=Shell Mat= steel Th=0.8

Load - Tải trọng

Name=1

Type=Surface Pressure Elem=Shell Face=5 Add=* P=1 Pat=Pres

Kết tính cho nút trình bày dạng bảng sau Ký hiệu dùng S – ứng suất tính bằng kG/cm2

JOINT S11-TOP S22-TOP S12-TOP S-TOP-MAX S-TOP-MIN ANGLE -3.49E-14 2.33E-15 -107.673554 107.673554 -107.673554 -45.000000 -735.804502 -2452.682 -233.625313 -704.581583 -2483.905 -7.612203 -726.045434 -217.813630 -273.131569 -98.866876 -844.992188 -66.467235 534.703142 671.587908 -399.083329 1008.055 198.235828 -49.865749 JOINT S11-BOT S22-BOT S12-BOT S-BOT-MAX S-BOT-MIN ANGLE 3.49E-14 -2.33E-15 107.673554 107.673554 -107.673554 45.000000 735.804502 2452.682 233.625313 2483.905 704.581583 82.387797 726.045434 217.813630 273.131569 844.992188 98.866876 23.532765 -534.703142 -671.587908 399.083329 -198.235828 -1008.055 40.134251 JOINT S13-AVG S23-AVG S-AVG-MAX ANGLE -2.844588 -1.497544 3.214704 -152.235270 -2.844588 16.326900 16.572849 99.883271 2.479553 -1.497544 2.896692 -31.130178 2.479553 16.326900 16.514110 81.364522

Đồ thị giới thiệu cấu hình phân bố ứng suất tỷ lệ a/b = ½ giới thiệu hình 3.50c phía trái Hình phía phải trình bày ứng suất ¼ vng

Hình 3.50c

Những phần tử tiêu biểu phục vụ tính độ bền kết cấu trong ANSYS (ANSYS, Houston, PA: Swanson

Analysis Systems Inc,):

LINK8 – phần tử TRUSS 3-D

Hình 3.51

Phần tử có khả chịu uốn, cắt, xoắn, kéo, nén Trong ANSYS BEAM44 dùng cho dầm dạng côn, không đối xứng BEAM24 có tính gần với BEAM4

Phần tử xác định qua nút, diện tích mặt cắt, hai giá trị momen quán tính qua trục y-y z-z: IZZ IYY, hai giá trị chiều dày TKY TKZ, góc xoay θ quanh trục x-x, momen quán tính độc cực IXX, đặc tính vật liệu Trường hợp IXX = người dùng không gán giá trị, IXX nhận bằng IYY + IZZ

BEAM23 – phần tử BEAM 2-D, nút, nút bậc tự SOLID45 - phần tử SOLID nút, nút bậc tự

Hình 3.52

Tải áp đặt lên phần tử dạng tải nút (Node Loads) tải phần tử (Element Loads) Áp lực áp đặt lên mặt phần tử tải bề mặt Nhiệt độ áp đặt lên phần tử dạng lực khối phân bố nút

Sử dụng phần tử SOLID45 sau:

ET,1,PLANE42 ET,2,SOLID45 MP,EX,1,2.1E5 MP,NUXY,1,0.3

K,1

K,2,2000

K,3,2300,200

K,4,1900,450

K,5,1,250

LSTR,1,2 LSTR,5,1

BSPLINE,2,3,4,5,,,-1,,,,-1,-0.25 AL,1,3,2

AL,ALL ESIZE,50 AMESH,ALL

Những phần tử có tính gần với SOLID45 gồm SOLID64 giành cho vật liệu không đẳng hướng, SOLID95 phần tử bậc cao

SOLID186 - phần tử SOLID 20 nút, thường dùng đồ án liên quan CAD/CAM SHELL63 - phần tử SHELL, nút, nút bậc tự

Hình 3.53

SHELL63 mang đủ tính chất hai kiểu mỏng: chịu uốn màng mỏng Tấm có khả chịu tải mặt phẳng tải pháp tuyến Mỗi nút có bậc tự do: bậc dọc hướng trục, bậc quanh hướng trục

SHELL63 mô tả đặc trưng từ vật liệu trực hướng, chiều dày thay đổi, cụ thể chiều dày nút góc khơng thiết Trường hợp chiều dày đại lượng const cần nhập liệu TK(I) Nếu chiều dày thay đổi người dùng phải nhập bốn giá trị chiều dày nút

Tải áp đặt lên phần tử ghi dạng tải lên nút tải phần tử Áp lực áp đặt lên mặt phần tử tải bề mặt Áp lực lên cạnh đưa vào dạng tải đơn vị chiều dài

Tài liệu hướng dẫn sử dụng phần tử ANSYS nhập liệu cần tiến hành theo cách sau: Các nút: I, J, K, L

Bậc tự do: UX,UY,UZ,ROTX, ROTY, ROTZ

Các số thực: TK(I), TK(J), TK(K), TK(L), EFS, THETA, RMI, CTOP, CBOT, …

Tính chất vật liệu: EX, EY, EZ, (PRXY, PRYZ, PRXZ NUXY, NUYZ, NUXZ), ALPX, ALPZ, DENS, GXY, DAMP

Tải khối (nhiệt độ): T1, T2, T3, T4, T5, T6, T7, T8 Khai báo SHELL 63 sau:

ET,1,SHELL63 MP,EX,1,2.1E11 MP,NUXY,1,0.3 MP,DENS,1,7800 R,1,0.02

K,1,-0.42,-0.35

Các phần tử có tính gần với SHELL63 SHELL41, SHELL43 SHELL181

PLANE25 – phần tử cạnh, miêu tả mặt trịn xoay Phần tử dùng mơ hình hóa kết cấu vật tròn

xoay, chịu uốn, cắt, xoắn

Hình 3.54

Ví dụ phân tích độ bền giàn khoan tự nâng

Giàn khoan tự nâng “Tam Đảo” hoạt động vùng biển Việt Nam Marine Structure Consultants, Netherlands, phân tích theo phương pháp PTHH

Mơ hình PTHH

Kết cấu thân giàn mơ hình hóa nhờ phần tử SHELL phần tử BEAM Các tấm, xà ngang, đà dọc mô hình SHELL nút, nút Phần tử BEAM áp đặt vào đà dọc, xà ngang thành hệ thống nâng hạ

Đã dùng 40505 phần tử SHELL, 2535 phần tử BEAM 3D phần tử biên miêu tả thành phần kết cấu cứng Mơ hình PTHH chung giàn trình bày hình 3.55 Mơ hình cụm kết cấu trình bày hình 3.56, 3.57 3.58 3.59

Tải

Ba trường hợp đặc trưng thực tính tốn:

Tải lớn tính cho trường hợp giàn bị sóng cao vịng 100 năm, gió mạnh cấp 12 tác động Giàn tư không làm việc song phải hứng chịu tác động môi trường mức khắc nghiệt

Tải tác động điều kiện giàn khai thác

Hình 3.55

Hình 3.57

Hình 3.59 Ứng suất cho phép xác định từ công thức:

chp Y

σ = ησ

trong η - hệ số sử dụng cho phép, maximum

η = 0,6 - áp lực tác động tĩnh Trường hợp giàn chịu gió bão, sóng lớn hệ số η = 0,8

Tiêu chuẩn bền dùng đánh giá độ bền tiêu chuẩn von Mises Kết tính kiểm tra dựa vào mơ hình PTHH nêu, tải cho chế độ làm việc trình bày hình 3.61

Hình 3.60 Ứng suất von Mises tính chogiàn Tam Đảo

SHELL SURFACE: MIDDLE 1.87D+08

13 PHÂN TÍCH KẾT CẤU BẰNG NGƠN NGỮ MATLAB

Những hàm viết ngơn ngữ Matlab phục vụ tính thành phần ma trận cứng phần tử ma trận chuyển [T] dùng cho phần tử thông dụng khoa Cơ học kết cấu Cơ học vật rắn trường đại học Lund soạn dùng thuận tiện nghiên cứu, học tập Thủ tục tiến hành sau: Lý tưởng hóa kết cấu, xây dựng mơ hình PTHH

2 Xây dựng ma trận cứng phần tử Ke, vector tải phần tử Tập hợp ma trận cứng toàn hệ thống, vecto tải toàn hệ Giải hệ phương trình đại số tuyến tính

5 Xác định ứng suất, biến dạng cho phần tử cho tồn hệ thống Trình bày kết tính đồ thị, cần

Matrận cứng phần tử [k] xây dựng cho kiểu phần tử Những ví dụ nêu trình bày ma trận cứng cho phần tử thường dùng Những phần tử người dùng xây dựng viết theo cách thức hành ngôn ngữ định

Tập hợp ma trận cứng toàn hệ thống, dạng ∑

=

= E

e e

k K

1

thực nhờ hàm assemb trình bày

Giải hệ phương trình đại số tuyến tính nhờ hàm Solveq nêu tiếp phần Hàm extract trình bày chuyển vị nút nêu phần

Ví dụ 7: Sử dụng phần tử TRUSS 3D, trình bày hàm Bar3e tính chuyển vị, ứng suất

thanh hệ thống kết cấu nêu sau

function [Ke]=bar3e(ex,ey,ez,ep)

% Ke=bar3e(ex,ey,ez,ep) E=ep(1); A=ep(2);

b=[ ex(2)-ex(1); ey(2)-ey(1); ez(2)-ez(1) ]; L=sqrt(b'*b);

Kle=E*A/L*[1 -1; -1 1];

n=b'/L; G=[ n zeros(size(n)); zeros(size(n)) n ]; Ke=G'*Kle*G;

function [es]=bar3s(ex,ey,ez,ep,ed)

% es=bar3s(ex,ey,ez,ep,ed)

b=[ ex(2)-ex(1); ey(2)-ey(1); ez(2)-ez(1) ]; L=sqrt(b'*b);

n=b'/L; G=[ n zeros(size(n)); zeros(size(n)) n ]; E=ep(1); A=ep(2); Kle=E*A/L*[ -1; -1 1]; N=E*A/L*[-1 1]*G*ed';

es=N;

Ví dụ sử dụng Bar3

echo on

% - Topology matrix Edof -

6; 8 10; 8; 10 11 12];

% - Stiffness matrix K and load vector f -

K=zeros(12);

f=zeros(12,1); f(11)=0.5e6*sin(pi/6); f(12)=-0.5e6*cos(pi/6);

% - Element properties

A=25.0e-4; E=2.1e11; ep=[E A];

% - Element coordinates -

ex1=[0 2]; ex2=[0 2]; ex3=[2 4]; ex4=[2 4]; ex5=[2 2]; ex6=[4 4]; ex7=[0 2]; ex8=[2 4]; ex9=[0 2]; ex10=[2 4]; ey1=[2 2]; ey2=[0 0]; ey3=[2 2]; ey4=[0 0]; ey5=[0 2]; ey6=[0 2]; ey7=[0 2]; ey8=[0 2]; ey9=[2 0]; ey10=[2 0];

% - Element stiffness matrices

Ke1=bar2e(ex1,ey1,ep); Ke2=bar2e(ex2,ey2,ep); Ke3=bar2e(ex3,ey3,ep); Ke4=bar2e(ex4,ey4,ep); Ke5=bar2e(ex5,ey5,ep); Ke6=bar2e(ex6,ey6,ep); Ke7=bar2e(ex7,ey7,ep); Ke8=bar2e(ex8,ey8,ep); Ke9=bar2e(ex9,ey9,ep); Ke10=bar2e(ex10,ey10,ep);

% - Assemble Ke into K -

K=assem(Edof(1,:),K,Ke1); K=assem(Edof(2,:),K,Ke2); K=assem(Edof(3,:),K,Ke3); K=assem(Edof(4,:),K,Ke4); K=assem(Edof(5,:),K,Ke5); K=assem(Edof(6,:),K,Ke6); K=assem(Edof(7,:),K,Ke7); K=assem(Edof(8,:),K,Ke8); K=assem(Edof(9,:),K,Ke9); K=assem(Edof(10,:),K,Ke10);

% - Solve the system of equations -

bc= [1 0;2 0;3 0;4 0]; a=solveq(K,f,bc)

% - Element forces

ed1=extract(Edof(1,:),a); ed2=extract(Edof(2,:),a); ed3=extract(Edof(3,:),a); ed4=extract(Edof(4,:),a); ed5=extract(Edof(5,:),a); ed6=extract(Edof(6,:),a); ed7=extract(Edof(7,:),a); ed8=extract(Edof(8,:),a); ed9=extract(Edof(9,:),a); ed10=extract(Edof(10,:),a); N1=bar2s(ex1,ey1,ep,ed1)

N2=bar2s(ex2,ey2,ep,ed2) N3=bar2s(ex3,ey3,ep,ed3) N4=bar2s(ex4,ey4,ep,ed4) N5=bar2s(ex5,ey5,ep,ed5) N6=bar2s(ex6,ey6,ep,ed6) N7=bar2s(ex7,ey7,ep,ed7) N8=bar2s(ex8,ey8,ep,ed8) N9=bar2s(ex9,ey9,ep,ed9) N10=bar2s(ex10,ey10,ep,ed10)

% - end -

echo off

Lời giải MATlab

Edof=[1 6;

% - Stiffness matrix K and load vector f - K=zeros(12);

f=zeros(12,1); f(11)=0.5e6*sin(pi/6); f(12)=-0.5e6*cos(pi/6); % - Element properties -

A=25.0e-4; E=2.1e11; ep=[E A];

ey6=[0 2]; ey7=[0 2]; ey8=[0 2]; ey9=[2 0]; ey10=[2 0]; % - Element stiffness matrices -

Ke1=bar2e(ex1,ey1,ep); Ke2=bar2e(ex2,ey2,ep);

Ke3=bar2e(ex3,ey3,ep); Ke4=bar2e(ex4,ey4,ep);

Ke5=bar2e(ex5,ey5,ep); Ke6=bar2e(ex6,ey6,ep);

Ke7=bar2e(ex7,ey7,ep); Ke8=bar2e(ex8,ey8,ep);

Ke9=bar2e(ex9,ey9,ep); Ke10=bar2e(ex10,ey10,ep);

% - Assemble Ke into K - K=assem(Edof(1,:),K,Ke1); K=assem(Edof(2,:),K,Ke2);

K=assem(Edof(3,:),K,Ke3); K=assem(Edof(4,:),K,Ke4); K=assem(Edof(5,:),K,Ke5); K=assem(Edof(6,:),K,Ke6); K=assem(Edof(7,:),K,Ke7); K=assem(Edof(8,:),K,Ke8); K=assem(Edof(9,:),K,Ke9); K=assem(Edof(10,:),K,Ke10);

% - Solve the system of equations - bc= [1 0;2 0;3 0;4 0];

a=solveq(K,f,bc)

a = 0.0024 -0.0045 -0.0016 -0.0042 0.0030 -0.0107

-0.0017 -0.0113

% - Element forces - ed1=extract(Edof(1,:),a); ed2=extract(Edof(2,:),a);

ed3=extract(Edof(3,:),a); ed4=extract(Edof(4,:),a); ed5=extract(Edof(5,:),a); ed6=extract(Edof(6,:),a); ed7=extract(Edof(7,:),a); ed8=extract(Edof(8,:),a); ed9=extract(Edof(9,:),a); ed10=extract(Edof(10,:),a); N1=bar2s(ex1,ey1,ep,ed1)

N1 = 6.2594e+005

N2=bar2s(ex2,ey2,ep,ed2) N2 = -4.2310e+005

N3=bar2s(ex3,ey3,ep,ed3) N3 = 1.7064e+005

N4=bar2s(ex4,ey4,ep,ed4) N4 = -1.2373e+004

N5=bar2s(ex5,ey5,ep,ed5) N8 = -2.4132e+005

N10 = 3.7105e+005

Hàm assem() sau:

function [K,f]=assem(edof,K,Ke,f,fe)

% K=assem(edof,K,Ke)

% [K,f]=assem(edof,K,Ke,f,fe)

% INPUT: edof: dof topology matrix

% K : the global stiffness matrix % Ke: element stiffness matrix % f : the global force vector % fe: element force vector

% OUTPUT: K : the new global stiffness matrix % f : the new global force vector

[nie,n]=size(edof); t=edof(:,2:n); for i = 1:nie

K(t(i,:),t(i,:)) = K(t(i,:),t(i,:))+Ke; if nargin==5

f(t(i,:))=f(t(i,:))+fe; end

end

function [d,Q]=solveq(K,f,bc)

% a=solveq(K,f)

% [a,Q]=solveq(K,f,bc)

% INPUT: K : global stiffness matrix, dim(K)= nd x nd % f : global load vector, dim(f)= nd x

% bc : boundary condition matrix

% dim(bc)= nbc x 2, nbc : number of b.c.'s % OUTPUT: a : solution including boundary values % Q : reaction force vector

% dim(a)=dim(Q)= nd x 1, nd : number of dof's

if nargin==2 ; d=K\f ;

elseif nargin==3; [nd,nd]=size(K); fdof=[1:nd]';

%

d=zeros(size(fdof)); Q=zeros(size(fdof));

%

pdof=bc(:,1); dp=bc(:,2); fdof(pdof)=[];

%

s=K(fdof,fdof)\(f(fdof)-K(fdof,pdof)*dp);

%

d(pdof)=dp; d(fdof)=s; end

Q=K*d-f;

Hàm extract(edof,a):

function [ed]=extract(edof,a)

% ed=extract(edof,a)

% INPUT: a: the global displacement vector % edof: topology matrix

% OUTPUT: ed: element displacement matrix

[nie,n]=size(edof);

%

t=edof(:,2:n);

%

for i = 1:nie

ed(i,1:(n-1))=a(t(i,:))'; end

Những chương trình lập ma trận [k] phần tử khác:

function [Ke]=bar2e(ex,ey,ep)

% Ke=bar2e(ex,ey,ep) E=ep(1); A=ep(2);

b=[ ex(2)-ex(1); ey(2)-ey(1) ]; L=sqrt(b'*b);

Kle=E*A/L*[ -1; -1 1];

n=b'/L; G=[ n zeros(size(n)); zeros(size(n)) n ]; Ke=G'*Kle*G;

[ ]

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡

− −

− −

=

2

2

2

3

4 12

0

2

4

6 12

6 12

0 0

0

L L

DX J

AL

L L L

L

L J

AL J

AL

L EJ k

function [Ke,fe]=beam2e(ex,ey,ep,eq); % Ke=beam2e(ex,ey,ep)

% [Ke,fe]=beam2e(ex,ey,ep,eq) -

b=[ ex(2)-ex(1); ey(2)-ey(1) ]; L=sqrt(b'*b); n=b/L;

E=ep(1); A=ep(2); I=ep(3);

qx=0; qy=0; if nargin>3; qx=eq(1); qy=eq(2); end

Kle=[E*A/L -E*A/L ; 12*E*I/L^3 6*E*I/L^2 -12*E*I/L^3 6*E*I/L^2; 6*E*I/L^2 4*E*I/L -6*E*I/L^2 2*E*I/L; -E*A/L E*A/L ; -12*E*I/L^3 -6*E*I/L^2 12*E*I/L^3 -6*E*I/L^2; 6*E*I/L^2 2*E*I/L -6*E*I/L^2 4*E*I/L]; fle=L*[qx/2 qy/2 qy*L/12 qx/2 qy/2 -qy*L/12]';

G=[n(1) n(2) 0 0; -n(2) n(1) 0 0; 0 0 0; 0 n(1) n(2) 0; 0 -n(2) n(1) 0; 0 0 1]; Ke=G'*Kle*G; fe=G'*fle;

Thủ tục BEAM2t dùng cho dầm Timoshenko

Hình 3.62 Dầm Timoshenko

[ ]

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) (( ) )

( ) ( )

( )

( ) ⎥⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡

+ ++ − +

+ − +

− +

+ + +

− +

+

−

=

μ μμ μ

μ μ μ

μ

μμ μ μ

μ

1 /

1

12

0

1 /

6

1 /

4

6

12

1

12

0

0

2

2

2

2

L EJ L

EJ L

EJ DX

L AE

L EJ L

EJ L

EJ L

EJ L

EJ L

EJ L

EJ L

AE L

AE

k

với

s

GAk L

EJ

2

12 =

μ

function [Ke,fe]=beam2t(ex,ey,ep,eq)

% function [Ke,fe]=beam2t(ex,ey,ep,eq)

% ep = [E G A I ks ] element properties, % E: Young's modulus % G: shear modulus % A: Cross section area % I: Moment of inertia

% ks: shear correction factor if nargin==3; eq=[0 0]; end

b=[ex(2)-ex(1);ey(2)-ey(1)]; L=sqrt(b'*b); n=b/L;

E=ep(1); Gm=ep(2); A=ep(3); I=ep(4); ks=ep(5);

%

m=(12/L^2)*(E*I/(Gm*A*ks));

%

Kle=E/(1+m)*[A*(1+m)/L -A*(1+m)/L 0; 12*I/L^3 6*I/L^2 -12*I/L^3 6*I/L^2; 6*I/L^2 4*I*(1+m/4)/L -6*I/L^2 2*I*(1-m/2)/L; -A*(1+m)/L A*(1+m)/L 0;

-12*I/L^3 -6*I/L^2 12*I/L^3 -6*I/L^2; 6*I/L^2 2*I*(1-m/2)/L -6*I/L^2

4*I*(1+m/4)/L];

%

fle=L*[eq(1)/2 eq(2)/2 eq(2)*L/12 eq(1)/2 eq(2)/2 -eq(2)*L/12]';

%

G=[n(1) n(2) 0 0; -n(2) n(1) 0 0; 0 0 0; 0 n(1) n(2) 0; 0 -n(2) n(1) 0; 0 0 1];

%

Chương trình tính [k] hệ tọa độ riêng, ký hiệu Ke, ma trận chuyển ký hiệu G với tên gọi Beam2w dùng cho dầm đàn hồi Trong cơng thức tính ma trận cứng hệ số tải đàn hồi theo hướng pháp tuyến ký hiệu kt, theo hướng dọc trục ký hiệu ka

Ma trận cứng thứ dầm đàn hồi với hệ số đàn hồi kt ka, ký hiệu ][k se

được viết sau:

[ ]

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡

− −

− =

2 2

4 22 156

0

140

3 13

0

13 54

0 22

156

0

70

0 140

420

L k

L k k

DX

k

L k L k L

L k k

L k k

k k

L k

t t t

a

t t

t t

t t

a a

e s

Ma trận cứng dầm tổng [k], thành phần thứ tính beam2e [kse] đề cập Công thức xác định Ke - ma trận cứng dầm đàn hồi = ([ ]k +[ ]kse )

function [Ke,fe]=beam2w(ex,ey,ep,eq)

% Ke=beam2w(ex,ey,ep)

% [Ke,fe]=beam2w(ex,ey,ep,eq) b=[ ex(2)-ex(1); ey(2)-ey(1) ]; L=sqrt(b'*b); n=b/L;

E=ep(1); A=ep(2); I=ep(3); ka=ep(4); kt=ep(5); qx=0; qy=0; if nargin>3; qx=eq(1); qy=eq(2); end

K1 =[E*A/L -E*A/L ; 12*E*I/L^3 6*E*I/L^2 -12*E*I/L^3 6*E*I/L^2; 6*E*I/L^2 4*E*I/L -6*E*I/L^2 2*E*I/L; -E*A/L E*A/L ; -12*E*I/L^3 -6*E*I/L^2 12*E*I/L^3 -6*E*I/L^2; 6*E*I/L^2 2*E*I/L -6*E*I/L^2 4*E*I/L]; K2=L/420*[140*ka 70*ka ; 156*kt 22*kt*L 54*kt -13*kt*L ; 22*kt*L 4*kt*L^2 13*kt*L -3*kt*L^2; 70*ka 140*ka ; 54*kt 13*kt*L 156*kt -22*kt*L ; -13*kt*L -3*kt*L^2 -22*kt*L 4*kt*L^2]; Kle=K1+K2;

fle=L*[qx/2 qy/2 qy*L/12 qx/2 qy/2 -qy*L/12]'; G=[n(1) n(2) 0 0;

-n(2) n(1) 0 0; 0 0 0; 0 n(1) n(2) 0; 0 -n(2) n(1) 0; 0 0 1]; Ke=G'*Kle*G; fe=G'*fle;

Những hàm giúp xác định lực chuyển vị hệ tọa độ cục gắn liền phần tử theo ba hàm có tên tương ứng beam2s, beam2ts, beam2ws giới thiệu tiếp

Dữ liệu đầu beam2s beam2ts: es = [N V M]; edi = [u v], hàm beam2ws

es = ⎥

⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡

2 2

1 1

M V N

M V N

Hàm beam2s

% es=beam2s(ex,ey,ep,ed,eq)

% [es,edi,eci]=beam2s(ex,ey,ep,ed,eq,n)

EA=ep(1)*ep(2); EI=ep(1)*ep(3); b=[ ex(2)-ex(1); ey(2)-ey(1) ]; L=sqrt(b'*b);

if length(ed(:,1)) >

disp('Only one row is allowed in the ed matrix !!!') return

end

qx=0; qy=0; if nargin>4; qx=eq(1); qy=eq(2); end ne=2; if nargin>5; ne=n; end;

C=[0 0 0; 0 0 1; 0 0 0; L 0 0; L^3 L^2 L 1; 3*L^2 2*L 0]; n=b/L;

G=[n(1) n(2) 0 0; -n(2) n(1) 0 0; 0 0 0; 0 n(1) n(2) 0; 0 -n(2) n(1) 0; 0 0 1];

M=inv(C)*(G*ed'-[0 0 -qx*L^2/(2*EA) qy*L^4/(24*EI) qy*L^3/(6*EI)]' ); A=[M(1) M(4)]'; B=[M(2) M(3) M(5) M(6)]';

x=[0:L/(ne-1):L]'; zero=zeros(size(x)); one=ones(size(x)); u=[x one]*A-(x.^2)*qx/(2*EA);

du=[one zero]*A-x*qx/EA;

v=[x.^3 x.^2 x one]*B+(x.^4)*qy/(24*EI);

% dv=[3*x.^2 2*x one zero]*B+(x.^3)*qy/(6*EI);

d2v=[6*x 2*one zero zero]*B+(x.^2)*qy/(2*EI); d3v=[6*one zero zero zero]*B+x*qy/EI;

N=EA*du; M=EI*d2v; V=-EI*d3v; es=[N V M];

edi=[u v]; eci=x;

Haøm beam2ts

function [es,edi,eci]=beam2ts(ex,ey,ep,ed,eq,n)

% [es,edi,eci]=beam2ts(ex,ey,ep,ed,eq,n) if nargin==5; n=2; end;

if nargin==4; n=2; eq=[0 0]; end; ne=n;

%

EA=ep(1)*ep(3); EI=ep(1)*ep(4);

GAK=ep(2)*ep(3)*ep(5); alfa=EI/GAK;

%

b=[ex(2)-ex(1);ey(2)-ey(1)]; L=sqrt(b'*b); n=b/L;

%

qx=eq(1);qy=eq(2);

%

L^3 L^2 L 1; 3*(L^2+2*alfa) 2*L 0];

%

G=[n(1) n(2) 0 0; -n(2) n(1) 0 0; 0 0 0; 0 n(1) n(2) 0; 0 -n(2) n(1) 0; 0 0 1];

%

M=inv(C)*(G*ed'-[0 0 -qx*L^2/(2*EA) qy*L^4/(24*EI)-qy*L^2/(2*GAK) qy*L^3/(6*EI)]' );

C2=[M(1) M(4)]';

C4=[M(2) M(3) M(5) M(6)]';

%

x(1:ne,1)=[0:(L/(ne-1)):L]';

%

one=ones(size(x)); zero=zeros(size(x));

%

u=[x one]*C2-qx/(2*EA)*x.^2; du=[one zero]*C2-qx*x/EA;

%

v=[x.^3 x.^2 x one]*C4+qy/(24*EI)*(x.^4)-qy/(2*GAK)*(x.^2); dv=[3*x.^2 2*x one zero]*C4+qy*(x.^3)/(6*EI)-qy*x/GAK;

%

teta=[3*(x.^2+2*alfa*one) 2*x one zero]*C4+qy*(x.^3)/(6*EI); dteta=[6*x 2*one zero zero]*C4+qy*(x.^2)/(2*EI);

%

N=EA*du; M=EI*dteta; V=GAK*(dv-teta);

%

es=[N V M]; edi=[u v teta]; eci=[x];

Haøm beam2ws

function es=beam2ws(ex,ey,ep,ed,eq)

% es=beam2ws(ex,ey,ep,ed,eq) if length(ed(:,1)) >

disp('Only one row is allowed in the ed matrix !!!') return

end

b=[ ex(2)-ex(1); ey(2)-ey(1) ]; L=sqrt(b'*b); n=b/L;

if nargin==4; qx=0; qy=0; end

if nargin==5; qx=eq(1); qy=eq(2); end

E=ep(1); A=ep(2); I=ep(3); ka=ep(4); kt=ep(5);

22*kt*L 4*kt*L^2 13*kt*L -3*kt*L^2; 70*ka 140*ka ;

54*kt 13*kt*L 156*kt -22*kt*L ; -13*kt*L -3*kt*L^2 -22*kt*L 4*kt*L^2];

Kle=K1+K2;

fle=L*[qx/2 qy/2 qy*L/12 qx/2 qy/2 -qy*L/12]'; G=[n(1) n(2) 0 0;

-n(2) n(1) 0 0; 0 0 0; 0 n(1) n(2) 0; 0 -n(2) n(1) 0; 0 0 1]; P=(Kle*G*ed'-fle);

es=[-P(1) -P(2) -P(3) P(4) P(5) P(6)];

Ví dụ sử dụng Matlab giải tốn uốn dầm khuôn khổ phương pháp PTHH

Chương trình beam.m sau nhiều cách thể

echo on

% - Topology -

Edof=[1 6; 9; 10 11 12];

% - Stiffness matrix K and load vector f -

K=zeros(12); f=zeros(12,1); f(5)=-10000;

% - Element stiffness matrices -

E=2.1e11; A=45.3e-4; I=2510e-8; ep=[E A I]; ex=[0 3]; ey=[0 0];

Ke=beam2e(ex,ey,ep)

% - Assemble Ke into K -

K=assem(Edof,K,Ke);

% - Solve the system of equations and compute reactions

bc=[1 0; 0; 11 0]; [a,Q]=solveq(K,f,bc);

% - Section forces -

Ed=extract(Edof,a);

es1=beam2s(ex,ey,ep,Ed(1,:)); es2=beam2s(ex,ey,ep,Ed(2,:)); es3=beam2s(ex,ey,ep,Ed(3,:));

% - Results -Hình

a ; Q; es1; es2; es3

% - end -

echo off

es1=beam2s(ex1,ey1,ep1,Ed(1,:),eq1, 20)

Ỵ es1 = 1.0e+05 *

-2,2467 0,1513 0,1981

-2,2467 0,1513 0,1662

-2,2467 0,1513 -0,4070

Chương trình BEAM3e cho phân tử BEAM 3D Input:

ex = [ x1 x2] ; ey = [ y1 y2] ; ez = [ z1 z2] ;

eo - cosin hệ cục chung

ep = [E G A Iy Iz Kv],

với Kv - độ cúng xoắn St Venant

function [Ke,fe]=beam3e(ex,ey,ez,eo,ep,eq)

4m

6m E

E

IA

A 75kN/m

I C

1kN

1

1

2

A

1

E

1

I

2

Hình 3.63

5

6

9

11 12 10

2

1

2

% Ke=beam3e(ex,ey,ez,eo,ep)

% [Ke,fe]=beam3e(ex,ey,ez,eo,ep,eq)

% E: Young's modulus % G: Shear modulus % A: Cross section area

% Iy: moment of inertia,local y-axis % Iz: moment of inertia,local z-axis % Kv: Saint-Venant's torsion constant

b=[ ex(2)-ex(1); ey(2)-ey(1); ez(2)-ez(1) ]; L=sqrt(b'*b); n1=b/L;

lc=sqrt(eo*eo'); n3=eo/lc;

if nargin==5; eq=[0 0 0]; end

qx=eq(1); qy=eq(2); qz=eq(3); qw=eq(4); E=ep(1); Gs=ep(2);

A=ep(3);

Iy=ep(4); Iz=ep(5); Kv=ep(6);

a=E*A/L ; b=12*E*Iz/L^3 ; c=6*E*Iz/L^2; d=12*E*Iy/L^3 ; e=6*E*Iy/L^2 ; f=Gs*Kv/L; g=2*E*Iy/L ; h=2*E*Iz/L ;

Kle=[ a 0 0 -a 0 0 ; b 0 c -b 0 c ; 0 d -e 0 -d -e ; 0 f 0 0 -f 0 ; 0 -e 2*g 0 e g ; c 0 2*h -c 0 h ; -a 0 0 a 0 0 ; -b 0 -c b 0 -c ; 0 -d e 0 d e ; 0 -f 0 0 f 0 ; 0 -e g 0 e 2*g ; c 0 h -c 0 2*h];

fle=L/2*[qx qy qz qw -1/6*qz*L 1/6*qy*L qx qy qz qw 1/6*qz*L -1/6*qy*L]'; n2(1)=n3(2)*n1(3)-n3(3)*n1(2);

n2(2)=-n1(3)*n3(1)+n1(1)*n3(3); n2(3)=n3(1)*n1(2)-n1(1)*n3(2); An=[n1';

n2; n3];

G=[ An zeros(3) zeros(3) zeros(3); zeros(3) An zeros(3) zeros(3); zeros(3) zeros(3) An zeros(3); zeros(3) zeros(3) zeros(3) An ]; Ke1=G'*Kle*G; fe1=G'*fle;

% - if nargout==0

disp('Element stiffness matrix: '); disp(Ke1);

if nargin==6

disp('Element load vector: '); disp(fe1);

end return end

Ke=Ke1;

if nargin==6 fe=fe1; end

Tính tốn lực chuyển vị mặt cắt dầm, hệ tọa độ cục thực nhờ hàm beam3s

% es=beam3s(ex,ey,ez,eo,ep,ed) % es=beam3s(ex,ey,ez,eo,ep,ed,eq)

% [es,edi,eci]=beam3s(ex,ey,ez,eo,ep,ed,eq,n) % INPUT: ex = [x1 x2]

% ey = [y1 y2]

% ez = [z1 z2] node coordinates

% eo = [xz yz zz] orientation of local z-axis % ep = [E G A Iy Iz Kv] element properties:

% E = Young's modulus % G = Shear modulus

% A = the cross section area

% Iy= the moment of inertia, local y-axis % Iz= the moment of inertia, local z-axis % Kv= Saint-Venant's torsion constant %

%

% eq = [qx qy qz qw] the distributed axial, transversal and % torsional loads

%

% OUTPUT: %

% es = [N1 Vy1 Vz1 T1 My1 Mz1; section forces in n points % N2 Vy2 Vz2 T2 My2 Mz2; along the local x-axis % .;

% Nn Vyn Vzn Tn Myn Mzn] %

% edi = [u1 v1 w1 fi1; displacements in n points % u2 v2 w2 fi2; along the local x-axis % ;

% un wn fin]

if nargin<=7 n=2; end; if nargin>6

qx=eq(1); qy=eq(2); qz=eq(3); qw=eq(4); else

qx=0;qy=0;qz=0;qw=0; end

%

b=[ ex(2)-ex(1); ey(2)-ey(1); ez(2)-ez(1) ]; L=sqrt(b'*b);n1=b/L;

%

lc=sqrt(eo*eo');n3=eo/lc;

%

EIy=ep(1)*ep(4); EIz=ep(1)*ep(5); EA=ep(1)*ep(3); GKv=ep(2)*ep(6);

%

n2(1)=n3(2)*n1(3)-n3(3)*n1(2); n2(2)=-n1(3)*n3(1)+n1(1)*n3(3); n2(3)=n3(1)*n1(2)-n1(1)*n3(2);

%

An=[n1'; n2; n3];

%

G=[ An zeros(3) zeros(3) zeros(3); zeros(3) An zeros(3) zeros(3); zeros(3) zeros(3) An zeros(3); zeros(3) zeros(3) zeros(3) An ];

%

0; % placement vector minus the

0; % particular solution to the 0; % beam's diff.eq:s

0; 0;

-qx*L^2/2/EA; qy*L^4/24/EIz; qz*L^4/24/EIy; -qw*L^2/2/GKv; -qz*L^3/6/EIy; qy*L^3/6/EIz];

%

C=[0 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 1; 0 0 0 -1 0 0; 0 0 0 0 0 0; L 0 0 0 0 0; 0 L^3 L^2 L 0 0 0; 0 0 0 L^3 L^2 L 0; 0 0 0 0 L 1; 0 0 0 -3*L^2 -2*L -1 0 0; 0 3*L^2 2*L 0 0 0 0]; m=inv(C)*u;

for i=1:n

eci(i,1)=((i-1)*L/(n-1))'; x=eci(i,1);

es(i,:)=([EA 0 0 0 0 0; 0 -6*EIz 0 0 0 0; 0 0 -6*EIy 0 0 0; 0 0 0 GKv 0; 0 0 -6*EIy*x -2*EIy 0 0;

0 6*EIz*x 2*EIz 0 0 0 0;]*m + [-qx*x; -qy*x;

-qz*x; -qw*x; -qz*x^2/2; qy*x^2/2])';

edi(i,:)=([x 0 0 0 0 0; 0 x^3 x^2 x 0 0 0; 0 0 0 x^3 x^2 x 0;

0 0 0 0 0 x 1]*m + [-qx*x^2/2/EA; qy*x^4/24/EIz; qz*x^4/24/EIy; -qw*x^2/2/GKv])'; end;

Hàm planre giúp xác định ma trận [k], ký hiệu Ke vector lực fe phần tử bốn cạnh toán

phẳng

function [Ke,fe]=planre(ex,ey,ep,D,eq)

% Ke=planre(ex,ey,ep,D)

% [Ke,fe]=planre(ex,ey,ep,D,eq)

% OUTPUT: Ke : element stiffness matrix (8 x 8) % fe : equivalent nodal forces (8 x 1) ptype=ep(1);

bx=0 ; by=0 ;

if nargin==5; bx=eq(1) ; by=eq(2) ; end Ke=zeros(8);

a=(ex(2)-ex(1))/2; b=(ey(2)-ey(1))/2; xgp=[-1 1 -1]/sqrt(3);

ygp=[-1 -1 1]/sqrt(3);

% - plane stress -

if ptype==1

colD=size(D,2); if colD>3

Cm=inv(D);

Dm=inv(Cm([1 4],[1 4])); else

Dm=D; end

for i=1:4

x=xgp(i)*a; y=ygp(i)*b;

B=[-(b-y) b-y b+y -(b+y) ; -(a-x) -(a+x) a+x a-x ;

-(a-x) -(b-y) -(a+x) b-y a+x b+y a-x -(b+y)]/(4*a*b);

Ke=Ke+B'*Dm*B*a*b*t; end

fe=a*b*[bx by bx by bx by bx by]'*t;

% - plane strain -

elseif ptype==2 colD=size(D,2); if colD>3

Dm=D([1 4],[1 4]); else

Dm=D; end

for i=1:4

x=xgp(i)*a; y=ygp(i)*b;

B=[-(b-y) b-y b+y -(b+y) ; -(a-x) -(a+x) a+x a-x ;

-(a-x) -(b-y) -(a+x) b-y a+x b+y a-x -(b+y)]/(4*a*b);

Ke=Ke+B'*Dm*B*a*b*t; end

fe=a*b*[bx by bx by bx by bx by]'*t; else

error('Error ! Check first argument, ptype=1 or allowed') return

Tính ứng suất biến dạng phần tử nhóm thực theo lệnh sau: [es, et] =planrs(ex, ey, ep, D, ed)

Thông số đầu vào ex, ey, ep D xác định planre Vector ed chứa chuyển vị nút phần tử , tính nhờ hàm extract: ed = [u1 u2 u8]

Dữ liệu đầu có nghĩa es = σT và et = εT

function [es,et]=planrs(ex,ey,ep,D,ed)

% [es,et]=planrs(ex,ey,ep,D,ed)

ptype=ep(1); t=ep(2);

rowed=size(ed,1); rowex=size(ex,1);

% -plane stress -

if ptype==1

colD=size(D,2); if colD>3

Cm=inv(D);

Dm=inv(Cm([1 4],[1 4])); else

Dm=D; end

if rowex==1 incie=0; else incie=1; end x=0 ; y=0 ;

et=[];es=[];ie=1; for i=1:rowed

a=(ex(ie,2)-ex(ie,1))/2 ; b=(ey(ie,2)-ey(ie,1))/2 ; B=[-(b-y) b-y b+y -(b+y) ; -(a-x) -(a+x) a+x a-x ;

-(a-x) -(b-y) -(a+x) b-y a+x b+y a-x -(b+y)]/(4*a*b); ee=B*ed(i,:)';

if colD>3

ss=zeros(colD,1); ss([1 4])=Dm*ee; ee=Cm*ss;

else

ss=Dm*ee; end

et=[et; ee']; es=[es; (D*ee)']; ie=ie+incie; end

% - plane strain -

elseif ptype==2 colD=size(D,2);

if rowex==1 incie=0; else incie=1; end

x=0 ; y=0 ;

et=[];es=[];ie=1;ee=zeros(colD,1); for i=1:rowed

a=(ex(i,2)-ex(i,1))/2 ; b=(ey(i,2)-ey(i,1))/2 ; B=[-(b-y) b-y b+y -(b+y) ; -(a-x) -(a+x) a+x a-x ;

-(a-x) -(b-y) -(a+x) b-y a+x b+y a-x -(b+y)]/(4*a*b);

e=B*ed(i,:)';

et=[et; ee']; es=[es; (D*ee)']; end

else

error('Error ! Check first argument, ptype=1 or allowed') return

end

Hàm plani4e giúp xác định ma trận [k], ký hiệu Ke vector lực fe phần tử bốn cạnh

toán phẳng Qui ước người dùng ghi ptype = xem xét toán trạng thái ứng suất phẳng, ptype = bàn đến trạng thái biến dạng phẳng Giá trị ptype đăng ký vector ep = [ptype t n] Toạ độ xi, i=1,2,3,4 , yi, i=1,2,3,4 ghi ex[]và ey[]

function [Ke,fe]=plani4e(ex,ey,ep,D,eq)

% Ke=plani4e(ex,ey,ep,D)

% [Ke,fe]=plani4e(ex,ey,ep,D,eq)

% INPUT: ex = [x1 x2 x3 x4] element coordinates % ey = [y1 y2 y3 y4]

%

% ep =[ptype t ir] element property % ptype: analysis type % ir: integration rule % t : thickness

% D constitutive matrix

% eq = [bx; by] bx: body force in x direction % by: body force in y direction % OUTPUT: Ke : element stiffness matrix (8 x 8)

% fe : equivalent nodal forces (8 x 1)

ptype=ep(1); t=ep(2); ir=ep(3); ngp=ir*ir; if nargin==4 b=zeros(2,1); else b=eq; end

% - gauss points

if ir==1

g1=0.0; w1=2.0;

gp=[ g1 g1 ]; w=[ w1 w1 ]; elseif ir==2

g1=0.577350269189626; w1=1;

gp(:,1)=[-g1; g1;-g1; g1]; gp(:,2)=[-g1;-g1; g1; g1]; w(:,1)=[ w1; w1; w1; w1]; w(:,2)=[ w1; w1; w1; w1]; elseif ir==3

g1=0.774596669241483; g2=0.;

w1=0.555555555555555; w2=0.888888888888888; gp(:,1)=[-g1;-g2; g1;-g1; g2; g1;-g1; g2; g1]; gp(:,2)=[-g1;-g1;-g1; g2; g2; g2; g1; g1; g1]; w(:,1)=[ w1; w2; w1; w1; w2; w1; w1; w2; w1]; w(:,2)=[ w1; w1; w1; w2; w2; w2; w1; w1; w1]; else

disp('Used number of integration points not implemented'); return

end

wp=w(:,1).*w(:,2);

xsi=gp(:,1); eta=gp(:,2); r2=ngp*2;

% - shape functions - N(:,1)=(1-xsi).*(1-eta)/4; N(:,2)=(1+xsi).*(1-eta)/4;

dNr(1:2:r2,3)= (1+eta)/4; dNr(1:2:r2,4)=-(1+eta)/4; dNr(2:2:r2+1,1)=-(1-xsi)/4; dNr(2:2:r2+1,2)=-(1+xsi)/4; dNr(2:2:r2+1,3)= (1+xsi)/4; dNr(2:2:r2+1,4)= (1-xsi)/4; Ke=zeros(8,8);

fe=zeros(8,1); JT=dNr*[ex;ey]';

% - plane stress

-if ptype==1

colD=size(D,2); if colD>3

Cm=inv(D);

Dm=inv(Cm([1 4],[1 4])); else

Dm=D; end

for i=1:ngp

indx=[ 2*i-1; 2*i ]; detJ=det(JT(indx,:)); if detJ<10*eps

disp('Jacobideterminant equal or less than zero!') end

JTinv=inv(JT(indx,:)); dNx=JTinv*dNr(indx,:); B(1,1:2:8-1)=dNx(1,:); B(2,2:2:8) =dNx(2,:); B(3,1:2:8-1)=dNx(2,:); B(3,2:2:8) =dNx(1,:); N2(1,1:2:8-1)=N(i,:); N2(2,2:2:8) =N(i,:);

Ke=Ke+B'*Dm*B*detJ*wp(i)*t; fe=fe+N2'*b*detJ*wp(i)*t; end

% - plane strain -

elseif ptype==2

colD=size(D,2); if colD>3

Dm=D([1 4],[1 4]); else

Dm=D; end

for i=1:ngp

indx=[ 2*i-1; 2*i ]; detJ=det(JT(indx,:)); if detJ<10*eps

disp('Jacobideterminant equal or less than zero!') end

N2(1,1:2:8-1)=N(i,:); N2(2,2:2:8) =N(i,:);

Ke=Ke+B'*Dm*B*detJ*wp(i)*t; fe=fe+N2'*b*detJ*wp(i)*t; end

else

error('Error ! Check first argument, ptype=1 or allowed') return

end

Tính ứng suất biến dạng nhờ hàm plani4s(ex, ey, ep, D, ed) sau đây:

function [es,et,eci]=plani4s(ex,ey,ep,D,ed)

% [es,X]=plani4s(ex,ey,ep,D,ed)

% INPUT: ex = [x1 x2 x3 x4] element coordinates % ey = [y1 y2 y3 y4]

% ep = [ptype t ir ] ptype: analysis type % ir: integration rule

% t : thickness It: integration rule % D constitutive matrix

% ed = [u1 u2 u8; element displacement vector % .] one row for each element ptype=ep(1); t=ep(2); ir=ep(3); ngp=ir*ir;

% - gauss points - if ir==1

g1=0.0; w1=2.0;

gp=[ g1 g1 ]; w=[ w1 w1 ]; elseif ir==2

g1=0.577350269189626; w1=1;

gp(:,1)=[-g1; g1;-g1; g1]; gp(:,2)=[-g1;-g1; g1; g1]; w(:,1)=[ w1; w1; w1; w1]; w(:,2)=[ w1; w1; w1; w1]; elseif ir==3

g1=0.774596669241483; g2=0.;

w1=0.555555555555555; w2=0.888888888888888; gp(:,1)=[-g1;-g2; g1;-g1; g2; g1;-g1; g2; g1]; gp(:,2)=[-g1;-g1;-g1; g2; g2; g2; g1; g1; g1]; w(:,1)=[ w1; w2; w1; w1; w2; w1; w1; w2; w1]; w(:,2)=[ w1; w1; w1; w2; w2; w2; w1; w1; w1]; else

disp('Used number of integration points not implemented'); return

end

wp=w(:,1).*w(:,2);

xsi=gp(:,1); eta=gp(:,2); r2=ngp*2;

% - shape functions

N(:,1)=(1-xsi).*(1-eta)/4; N(:,2)=(1+xsi).*(1-eta)/4; N(:,3)=(1+xsi).*(1+eta)/4; N(:,4)=(1-xsi).*(1+eta)/4; dNr(1:2:r2,1)=-(1-eta)/4; dNr(1:2:r2,2)= (1-eta)/4; dNr(1:2:r2,3)= (1+eta)/4; dNr(1:2:r2,4)=-(1+eta)/4; dNr(2:2:r2+1,1)=-(1-xsi)/4; dNr(2:2:r2+1,2)=-(1+xsi)/4; dNr(2:2:r2+1,3)= (1+xsi)/4; dNr(2:2:r2+1,4)= (1-xsi)/4;

% - plane stress

-if ptype==1

rowex=size(ex,1); colD =size(D ,2);

if colD>3 Cm=inv(D);

Dm=inv(Cm([1 4],[1 4])); else

Dm=D; end

if rowex==11 incie=0; else incie=1; end

es=[]; et=[]; eci=[]; ie=1; for ied=1:rowed

eci=[eci N*[ex(ie,:);ey(ie,:)]']; JT=dNr*[ex(ie,:);ey(ie,:)]';

for i=1:ngp

indx=[ 2*i-1; 2*i ]; detJ=det(JT(indx,:)); if detJ<10*eps

disp('Jacobideterminant equal or less than zero!') end

JTinv=inv(JT(indx,:)); dNx=JTinv*dNr(indx,:); B(1,1:2:8-1)=dNx(1,:); B(2,2:2:8) =dNx(2,:); B(3,1:2:8-1)=dNx(2,:); B(3,2:2:8) =dNx(1,:); ee=B*ed(ied,:)';

if colD>3

ss=zeros(colD,1); ss([1 4])=Dm*ee; ee=Cm*ss;

else

ss=Dm*ee; end

et=[et; ee']; es=[es; ss']; end

ie=ie+incie; end

% - plane stress

-elseif ptype==2

rowed=size(ed,1); rowex=size(ex,1); colD =size(D ,2);

if rowex==11 incie=0; else incie=1; end

es=[]; et=[]; eci=[]; ie=1; ee=zeros(colD,1); for ied=1:rowed

JT=dNr*[ex(ie,:);ey(ie,:)]'; for i=1:ngp

indx=[ 2*i-1; 2*i ]; detJ=det(JT(indx,:)); if detJ<10*eps

disp('Jacobideterminant equal or less than zero!') end

JTinv=inv(JT(indx,:)); dNx=JTinv*dNr(indx,:); B(1,1:2:8-1)=dNx(1,:); B(2,2:2:8) =dNx(2,:); B(3,1:2:8-1)=dNx(2,:); B(3,2:2:8) =dNx(1,:); e=B*ed(ied,:)';

if colD>3 ee([1 4])=e; else ee=e; end

et=[et; ee']; es=[es; (D*ee)']; end

ie=ie+incie; end

else

error('Error ! Check first argument, ptype=1 or allowed') return

end

Hàm plante giúp xác định ma trận [k], ký hiệu Ke vector lực fe phần tử bốn cạnh

toán phẳng Qui ước người dùng ghi ptype = xem xét toán trạng thái ứng suất phẳng, ptype = bàn đến trạng thái biến dạng phẳng Giá trị ptype đăng ký vector ep = [ptype t ] Toạ độ xi, i=1,2,3 , yi, i=1,2,3 ghi ex[]và ey[]

function [Ke,fe]=plante(ex,ey,ep,D,eq)

% Ke=plante(ex,ey,ep,D)

% [Ke,fe]=plante(ex,ey,ep,D,eq)

ptype=ep(1); t=ep(2);

bx=0.; by=0.; if nargin==5; bx=eq(1); by=eq(2); end

C=[ ex(1) ey(1) 0 ex(1) ey(1) ex(2) ey(2) 0 ex(2) ey(2) ex(3) ey(3) 0 ex(3) ey(3)]; A=1/2*det([ones(3,1) ex' ey']);

% - plane stress -

if ptype==1

0 1 0]*inv(C);

colD=size(D,2); if colD>3

Cm=inv(D);

Dm=inv(Cm([1 4],[1 4])); else

Dm=D; end

Ke=B'*Dm*B*A*t;

fe=A/3*[bx by bx by bx by]'*t;

% - plane strain -

elseif ptype==2

B=[0 0 0 0 0

0 1 0]*inv(C); colD=size(D,2);

if colD>3

Dm=D([1 4],[1 4]); else

Dm=D; end

Ke=B'*Dm*B*A*t;

fe=A/3*[bx by bx by bx by]'*t;

else

error('Error ! Check first argument, ptype=1 or allowed') return

end

Tính ứng suất biên dạng phần tử tam giác nhờ hàm plants(ex,ey,ep,D,ed)

function [es,et]=plants(ex,ey,ep,D,ed)

% [es,et]=plants(ex,ey,ep,D,ed)

ptype=ep(1); rowed=size(ed,1); rowex=size(ex,1);

% - plane stress

-if ptype==1

colD=size(D,2); if colD>3 Cm=inv(D);

Dm=inv(Cm([1 4],[1 4])); else

Dm=D; end

if rowex==1 incie=0; else incie=1; end

et=[];es=[];ie=1; for i=1:rowed

ex(ie,1) ey(ie,1) ex(ie,2) ey(ie,2) ex(ie,2) ey(ie,2) ex(ie,3) ey(ie,3) ex(ie,3) ey(ie,3)]; B=[0 0 0;

0 0 1;

0 1 0]*inv(C);

ee=B*ed(i,:)'; if colD>3

ss=zeros(colD,1); ss([1 4])=Dm*ee; ee=Cm*ss;

else

ss=Dm*ee; end

et=[et;ee']; es=[es;ss']; ie=ie+incie; end

% - plane strain

-elseif ptype==2 colD=size(D,2);

if rowex==1 incie=0; else incie=1; end et=[];es=[];ie=1;ee=zeros(colD,1); for i=1:rowed

C=[ ex(ie,1) ey(ie,1) ex(ie,1) ey(ie,1) ex(ie,2) ey(ie,2) ex(ie,2) ey(ie,2) ex(ie,3) ey(ie,3) ex(ie,3) ey(ie,3)]; B=[0 0 0

0 0

0 1 0]*inv(C); e=B*ed(i,:)';

if colD>3 ee([1 4])=e; else ee=e; end

et=[et;ee']; es=[es;(D*ee)']; ie=ie+incie; end

else

error('Error ! Check first argument, ptype=1 or allowed') return

end

Vector lực:

{pe} = { -[C]-1 }T ∫∫ [P]Tpdxdy

Ma trận C:

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − = 2 3 2 3 2 2 2 3 2 3 2 2 2 3 2 3 2 2 2 3 2 3 2 2 3 3 2 0 3 3 2 0 3 3 2 0 3 3 2 0 b b a b ab a b a ab a b ab a b a ab b a b ab b a a b ab a b a b b a b ab a b a ab a b ab a b a ab b a b ab b a a b ab a b a b b a b ab a b a ab a b ab a b a ab b a b ab b a a b ab a b a b b a b ab a b a ab a b ab a b a ab b a b ab b a a b ab a b a C ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − − − = 2 6 4 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 ] [ y x y x xy y x xy y x Q

function [Ke,fe]=platre(ex,ey,ep,D,eq)

% Ke=platre(ex,ey,ep,D)

% [Ke,fe]=platre(ex,ey,ep,D,eq)

Lx=ex(3)-ex(1); Ly=ey(3)-ey(1); t=ep(1,1);

%

D=t^3/12*D;

%

A1=Ly/(Lx^3); A2=Lx/(Ly^3); A3=1/Lx/Ly; A4=Ly/(Lx^2); A5=Lx/(Ly^2); A6=1/Lx; A7=1/Ly; A8=Ly/Lx; A9=Lx/Ly;

C16=2/3*A8*D(1,1)-8/15*A9*D(3,3); C17=2/3*A9*D(2,2)-2/15*A8*D(3,3); C18=2/3*A8*D(1,1)-2/15*A9*D(3,3); C19=1/3*A9*D(2,2)+2/15*A8*D(3,3); C20=1/3*A8*D(1,1)+2/15*A9*D(3,3); C21=D(1,2);

%

Keq=zeros(12,12);

Keq(1,1:12)=[C1 C5 -C6 C2 C9 -C8 C4 C11 -C12 C3 C7 -C10]; Keq(2,2:12)=[C13 -C21 C9 C15 -C11 C19 -C7 C17 0]; Keq(3,3:12)=[C14 C8 C18 C12 C20 -C10 C16]; Keq(4,4:12)=[C1 C5 C6 C3 C7 C10 C4 C11 C12]; Keq(5,5:12)=[C13 C21 -C7 C17 -C11 C19 0]; Keq(6,6:12)=[C14 C10 C16 -C12 C20]; Keq(7,7:12)=[C1 -C5 C6 C2 -C9 C8]; Keq(8,8:12)=[C13 -C21 -C9 C15 0]; Keq(9,9:12)=[C14 -C8 C18]; Keq(10,10:12)=[C1 -C5 -C6]; Keq(11,11:12)=[C13 C21]; Keq(12,12)=[C14];

Keq=Keq'+Keq-diag(diag(Keq));

%

if nargin==5 R1=eq*Lx*Ly/4; R2=eq*Lx*Ly^2/24; R3=eq*Ly*Lx^2/24;

%

feq(:,1)=[R1 R2 -R3 R1 R2 R3 R1 -R2 R3 R1 -R2 -R3]';

end

Ke=Keq; fe=feq;

Tính ứng suất biến dạng qua hàm platrs(ex,ey,ep,D,ed) Vector ep = [t], ghi chiều dày Vector chuyển vị nút ghi vào hàm extract:

ed = [u1 u2 u12];

Kết tính ghi vào ma trận:

es = [M V ]; et = κT

function [es,et]=platrs(ex,ey,ep,D,ed)

% [es,et]=platrs(ex,ey,ep,D,ed)

Lx=ex(3)-ex(1); Ly=ey(3)-ey(1);t=ep(1,1);

%

D=t^3/12*D;

%

A1=D(2,2)/2/Ly; A2=D(1,1)/2/Lx; A3=D(1,2)/2/Ly; A4=D(1,2)/2/Lx; A5=D(3,3)/2/Ly; A6=D(3,3)/2/Lx; A7=4*D(3,3)/Lx/Ly; B1=6*D(2,2)/Ly/Ly/Ly; B2=6*D(1,1)/Lx/Lx/Lx; B3=-3*D(2,2)/Ly/Ly; B4=3*D(1,1)/Lx/Lx; B5=D(1,2)/Lx/Ly;

%

my=A1*(-ed(:,2)-ed(:,5)+ed(:,8)+ed(:,11))+A4*(ed(:,3)-ed(:,6)-ed(:,9)+ed(:,12));

mxy=A6*(ed(:,2)-ed(:,5)-ed(:,8)+ed(:,11))+A5*(-ed(:,3)-ed(:,6)+ed(:,9)+ed(:,12))

+A7*(ed(:,1)-ed(:,4)+ed(:,7)-ed(:,10));

m1=0.5.*(mx+my)+sqrt(0.25.*(mx-my).^2+mxy.^2); m2=0.5.*(mx+my)-sqrt(0.25.*(mx-my).^2+mxy.^2); alfa=0.5*180/pi*atan2(mxy,(mx-my)/2);

vx=B5*(-ed(:,2)+ed(:,5)-ed(:,8)+ed(:,11))+B4*(ed(:,3)+ed(:,6)+ed(:,9)+ed(:,12)) +B2*(-ed(:,1)+ed(:,4)+ed(:,7)-ed(:,10));

vy=B3*(ed(:,2)+ed(:,5)+ed(:,8)+ed(:,11))+B5*(ed(:,3)-ed(:,6)+ed(:,9)-ed(:,12)) +B1*(-ed(:,1)-ed(:,4)+ed(:,7)+ed(:,10));

es=[mx my mxy vx vy]; et=-inv(D)*[mx;my;mxy]; et=et';

Ma trận SOLID nut, tên “viên gạch”

function [Ke,fe]=soli8e(ex,ey,ez,ep,D,eq)

% Ke=soli8e(ex,ey,ez,ep,D)

% [Ke,fe]=soli8e(ex,ey,ez,ep,D,eq)

% - % PURPOSE

% Calculate the stiffness matrix for a node (brick) % isoparametric element

% INPUT: ex = [x1 x2 x3 x8]

% ey = [y1 y2 y3 y8] element coordinates % ez = [z1 z2 z3 z8]

% ep = [ir] ir integration rule %

% D constitutive matrix %

% eq = [bx; by; bz] bx: body force in x direction % by: body force in y direction % bz: body force in z direction % OUTPUT: Ke : element stiffness matrix

% fe : equivalent nodal forces

% -

ir=ep(1); ngp=ir*ir*ir;

if nargin==5 eq=zeros(3,1); end

% - gauss points - if ir==1

g1=0.0; w1=2.0;

gp=[ g1 g1 ]; w=[ w1 w1 ]; elseif ir==2

g1=0.577350269189626; w1=1;

gp(:,1)=[-1; 1; 1;-1;-1; 1; 1;-1]*g1; w(:,1)=[ 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1]*w1; gp(:,2)=[-1;-1; 1; 1;-1;-1; 1; 1]*g1; w(:,2)=[ 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1]*w1; gp(:,3)=[-1;-1;-1;-1; 1; 1; 1; 1]*g1; w(:,3)=[ 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1]*w1; elseif ir==3

g1=0.774596669241483; g2=0.;

w1=0.555555555555555; w2=0.888888888888888;

w(:,1)=[I1 I1 I1]'*w1;

w(:,1)=[I2 I2 I2]'*w2+w(:,1);

I1=[-1;-1;-1; 0; 0; 0; 1; 1; 1]'; I2=[ 0; 0; 0; 1; 1; 1; 0; 0; 0]'; gp(:,2)=[I1 I1 I1]'*g1; gp(:,2)=[I2 I2 I2]'*g2+gp(:,2); I1=abs(I1); I2=abs(I2);

w(:,2)=[I1 I1 I1]'*w1;

w(:,2)=[I2 I2 I2]'*w2+w(:,2);

I1=[-1;-1;-1;-1;-1;-1;-1;-1;-1]'; I2=[ 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0]'; I3=abs(I1);

gp(:,3)=[I1 I2 I3]'*g1; gp(:,3)=[I2 I3 I2]'*g2+gp(:,3); w(:,3)=[I3 I2 I3]'*w1;

w(:,3)=[I2 I3 I2]'*w2+w(:,3); else

disp('Used number of integration points not implemented'); return

end;

wp=w(:,1).*w(:,2).*w(:,3);

xsi=gp(:,1); eta=gp(:,2); zet=gp(:,3); r2=ngp*3;

% - shape functions -

N(:,1)=(1-xsi).*(1-eta).*(1-zet)/8; N(:,5)=(1-xsi).*(1-eta).*(1+zet)/8; N(:,2)=(1+xsi).*(1-eta).*(1-zet)/8; N(:,6)=(1+xsi).*(1-eta).*(1+zet)/8; N(:,3)=(1+xsi).*(1+eta).*(1-zet)/8; N(:,7)=(1+xsi).*(1+eta).*(1+zet)/8; N(:,4)=(1-xsi).*(1+eta).*(1-zet)/8; N(:,8)=(1-xsi).*(1+eta).*(1+zet)/8; dNr(1:3:r2,1)=-(1-eta).*(1-zet); dNr(1:3:r2,2)= (1-eta).*(1-zet); dNr(1:3:r2,3)= (1+eta).*(1-zet); dNr(1:3:r2,4)=-(1+eta).*(1-zet); dNr(1:3:r2,5)=-(1-eta).*(1+zet); dNr(1:3:r2,6)= (1-eta).*(1+zet); dNr(1:3:r2,7)= (1+eta).*(1+zet); dNr(1:3:r2,8)=-(1+eta).*(1+zet); dNr(2:3:r2+1,1)=-(1-xsi).*(1-zet); dNr(2:3:r2+1,2)=-(1+xsi).*(1-zet); dNr(2:3:r2+1,3)= (1+xsi).*(1-zet); dNr(2:3:r2+1,4)= (1-xsi).*(1-zet); dNr(2:3:r2+1,5)=-(1-xsi).*(1+zet); dNr(2:3:r2+1,6)=-(1+xsi).*(1+zet); dNr(2:3:r2+1,7)= (1+xsi).*(1+zet); dNr(2:3:r2+1,8)= (1-xsi).*(1+zet); dNr(3:3:r2+2,1)=-(1-xsi).*(1-eta); dNr(3:3:r2+2,2)=-(1+xsi).*(1-eta); dNr(3:3:r2+2,3)=-(1+xsi).*(1+eta); dNr(3:3:r2+2,4)=-(1-xsi).*(1+eta); dNr(3:3:r2+2,5)= (1-xsi).*(1-eta); dNr(3:3:r2+2,6)= (1+xsi).*(1-eta); dNr(3:3:r2+2,7)= (1+xsi).*(1+eta); dNr(3:3:r2+2,8)= (1-xsi).*(1+eta); dNr=dNr/8.;

Ke=zeros(24,24); fe=zeros(24,1); JT=dNr*[ex;ey;ez]';

% - three dimensional case - for i=1:ngp

indx=[ 3*i-2; 3*i-1; 3*i ]; detJ=det(JT(indx,:));

if detJ<10*eps

disp('Jacobideterminant equal or less than zero!') end

N2(1,1:3:24-2)=N(i,:); N2(2,2:3:24-1)=N(i,:); N2(3,3:3:24) =N(i,:); Ke=Ke+B'*D*B*detJ*wp(i); fe=fe+N2'*eq*detJ*wp(i); end

% -end -

Hàm Solid8s tính ứng suất phần tử SOLID nút

function [es,et,eci]=soli8s(ex,ey,ez,ep,D,ed)

% [es,et,eci]=soli8s(ex,ey,ez,ep,D,ed)

% - % PURPOSE

% Calculate element normal and shear stress for a % node (brick) isoparametric element

%

% INPUT: ex = [x1 x2 x3 x8]

% ey = [y1 y2 y3 y8] element coordinates % ez = [z1 z2 z3 z8]

%

% ep = [Ir] Ir: integration rule %

% D constitutive matrix %

% ed = [u1 u2 u24; element displacement vector % .] one row for each element %

% OUTPUT: es = [ sigx sigy sigz sigxy sigyz sigxz ; % ]

% element stress matrix, one row for each element % -

ir=ep(1); ngp=ir*ir*ir;

% - gauss points - if ir==2

g1=0.577350269189626; w1=1;

gp(:,1)=[-1; 1; 1;-1;-1; 1; 1;-1]*g1; w(:,1)=[ 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1]*w1; gp(:,2)=[-1;-1; 1; 1;-1;-1; 1; 1]*g1; w(:,2)=[ 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1]*w1; gp(:,3)=[-1;-1;-1;-1; 1; 1; 1; 1]*g1; w(:,3)=[ 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1]*w1; elseif ir==3

g1=0.774596669241483; g2=0.;

w1=0.555555555555555; w2=0.888888888888888;

I1=[-1; 0; 1;-1; 0; 1;-1; 0; 1]'; I2=[ 0;-1; 0; 0; 1; 0; 0; 1; 0]'; gp(:,1)=[I1 I1 I1]'*g1; gp(:,1)=[I2 I2 I2]'*g2+gp(:,1); I1=abs(I1); I2=abs(I2);

w(:,1)=[I1 I1 I1]'*w1; w(:,1)=[I2 I2 I2]'*w2+w(:,1); I1=[-1;-1;-1; 0; 0; 0; 1; 1; 1]'; I2=[ 0; 0; 0; 1; 1; 1; 0; 0; 0]'; gp(:,2)=[I1 I1 I1]'*g1; gp(:,2)=[I2 I2 I2]'*g2+gp(:,2); I1=abs(I1); I2=abs(I2);

w(:,2)=[I1 I1 I1]'*w1; w(:,2)=[I2 I2 I2]'*w2+w(:,2); I1=[-1;-1;-1;-1;-1;-1;-1;-1;-1]'; I2=[ 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0]'; I3=abs(I1);

gp(:,3)=[I1 I2 I3]'*g1; gp(:,3)=[I2 I3 I2]'*g2+gp(:,3); w(:,3)=[I3 I2 I3]'*w1; w(:,3)=[I2 I3 I2]'*w2+w(:,3); else

end

wp=w(:,1).*w(:,2).*w(:,3);

xsi=gp(:,1); eta=gp(:,2); zet=gp(:,3); r2=ngp*3;

% - shape functions -

N(:,1)=(1-xsi).*(1-eta).*(1-zet)/8; N(:,5)=(1-xsi).*(1-eta).*(1+zet)/8; N(:,2)=(1+xsi).*(1-eta).*(1-zet)/8; N(:,6)=(1+xsi).*(1-eta).*(1+zet)/8; N(:,3)=(1+xsi).*(1+eta).*(1-zet)/8; N(:,7)=(1+xsi).*(1+eta).*(1+zet)/8; N(:,4)=(1-xsi).*(1+eta).*(1-zet)/8; N(:,8)=(1-xsi).*(1+eta).*(1+zet)/8; dNr(1:3:r2,1)=-(1-eta).*(1-zet); dNr(1:3:r2,2)= (1-eta).*(1-zet); dNr(1:3:r2,3)= (1+eta).*(1-zet); dNr(1:3:r2,4)=-(1+eta).*(1-zet); dNr(1:3:r2,5)=-(1-eta).*(1+zet); dNr(1:3:r2,6)= (1-eta).*(1+zet); dNr(1:3:r2,7)= (1+eta).*(1+zet); dNr(1:3:r2,8)=-(1+eta).*(1+zet); dNr(2:3:r2+1,1)=-(1-xsi).*(1-zet); dNr(2:3:r2+1,2)=-(1+xsi).*(1-zet); dNr(2:3:r2+1,3)= (1+xsi).*(1-zet); dNr(2:3:r2+1,4)= (1-xsi).*(1-zet); dNr(2:3:r2+1,5)=-(1-xsi).*(1+zet); dNr(2:3:r2+1,6)=-(1+xsi).*(1+zet); dNr(2:3:r2+1,7)= (1+xsi).*(1+zet); dNr(2:3:r2+1,8)= (1-xsi).*(1+zet); dNr(3:3:r2+2,1)=-(1-xsi).*(1-eta); dNr(3:3:r2+2,2)=-(1+xsi).*(1-eta); dNr(3:3:r2+2,3)=-(1+xsi).*(1+eta); dNr(3:3:r2+2,4)=-(1-xsi).*(1+eta); dNr(3:3:r2+2,5)= (1-xsi).*(1-eta); dNr(3:3:r2+2,6)= (1+xsi).*(1-eta); dNr(3:3:r2+2,7)= (1+xsi).*(1+eta); dNr(3:3:r2+2,8)= (1-xsi).*(1+eta); dNr=dNr/8.;

% - three dimensional case -

rowed=size(ed,1); rowex=size(ex,1);

if rowex==11 incie=0; else incie=1; end es=[]; et=[]; eci=[]; ie=1;

for ied=1:rowed

eci=[eci N*[ex(ie,:);ey(ie,:);ez(ie,:)]']; JT=dNr*[ex(ie,:);ey(ie,:);ez(ie,:)]';

for i=1:ngp

indx=[ 3*i-2; 3*i-1; 3*i ]; detJ=det(JT(indx,:));

if detJ<10*eps

disp('Jacobideterminant equal or less than zero!') end

JTinv=inv(JT(indx,:)); dNx=JTinv*dNr(indx,:); B(1,1:3:24-2)=dNx(1,:); B(2,2:3:24-1)=dNx(2,:); B(3,3:3:24) =dNx(3,:); B(4,1:3:24-2)=dNx(2,:); B(4,2:3:24-1)=dNx(1,:); B(5,1:3:24-2)=dNx(3,:); B(5,3:3:24) =dNx(1,:); B(6,2:3:24-1)=dNx(3,:); B(6,3:3:24) =dNx(2,:); ee=B*ed(ied,:)';

et=[et; ee']; es=[es; (D*ee)']; end

ie=ie+incie; end

% -end -

Hàm Solid8f tính vector tải cho phần tử SOLID nút

% ef=soli8f(ex,ey,ez,ep,es)

% - % PURPOSE

% Calculate the element force vector for a node (brick) % isoparametric element

%

% INPUT: ex = [x1 x2 x3 x8]

% ey = [y1 y2 y3 y8] element coordinates % ez = [z1 z2 z3 z8]

%

% ep = [ir] ir integration rule %

% es element stress matrix

% bz: body force in z direction %

% OUTPUT: ef=[f1 f2 f24]

% -

ir=ep(1); ngp=ir*ir*ir;

% - gauss points -

if ir==2

g1=0.577350269189626; w1=1;

gp(:,1)=[-1; 1; 1;-1;-1; 1; 1;-1]*g1; w(:,1)=[ 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1]*w1; gp(:,2)=[-1;-1; 1; 1;-1;-1; 1; 1]*g1; w(:,2)=[ 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1]*w1; gp(:,3)=[-1;-1;-1;-1; 1; 1; 1; 1]*g1; w(:,3)=[ 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1]*w1; elseif ir==3

g1=0.774596669241483; g2=0.;

w1=0.555555555555555; w2=0.888888888888888; I1=[-1; 0; 1;-1; 0; 1;-1; 0; 1]';

I2=[ 0;-1; 0; 0; 1; 0; 0; 1; 0]'; gp(:,1)=[I1 I1 I1]'*g1;

gp(:,1)=[I2 I2 I2]'*g2+gp(:,1) I1=abs(I1);

I2=abs(I2);

w(:,1)=[I1 I1 I1]'*w1;

w(:,1)=[I2 I2 I2]'*w2+w(:,1); I1=[-1;-1;-1; 0; 0; 0; 1; 1; 1]'; I2=[ 0; 0; 0; 1; 1; 1; 0; 0; 0]'; gp(:,2)=[I1 I1 I1]'*g1;

gp(:,2)=[I2 I2 I2]'*g2+gp(:,2); I1=abs(I1);

I2=abs(I2);

w(:,2)=[I1 I1 I1]'*w1;

w(:,2)=[I2 I2 I2]'*w2+w(:,2); I1=[-1;-1;-1;-1;-1;-1;-1;-1;-1]'; I2=[ 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0]'; I3=abs(I1);

gp(:,3)=[I1 I2 I3]'*g1;

gp(:,3)=[I2 I3 I2]'*g2+gp(:,3); w(:,3)=[I3 I2 I3]'*w1;

w(:,3)=[I2 I3 I2]'*w2+w(:,3); else

disp('Used number of integration points not implemented'); return

end

wp=w(:,1).*w(:,2).*w(:,3);

xsi=gp(:,1); eta=gp(:,2); zet=gp(:,3); r2=ngp*3;

% - shape functions -

N(:,2)=(1+xsi).*(1-eta).*(1-zet)/8; N(:,6)=(1+xsi).*(1-eta).*(1+zet)/8; N(:,3)=(1+xsi).*(1+eta).*(1-zet)/8; N(:,7)=(1+xsi).*(1+eta).*(1+zet)/8; N(:,4)=(1-xsi).*(1+eta).*(1-zet)/8; N(:,8)=(1-xsi).*(1+eta).*(1+zet)/8; dNr(1:3:r2,1)=-(1-eta).*(1-zet); dNr(1:3:r2,2)= (1-eta).*(1-zet); dNr(1:3:r2,3)= (1+eta).*(1-zet); dNr(1:3:r2,4)=-(1+eta).*(1-zet); dNr(1:3:r2,5)=-(1-eta).*(1+zet); dNr(1:3:r2,6)= (1-eta).*(1+zet); dNr(1:3:r2,7)= (1+eta).*(1+zet); dNr(1:3:r2,8)=-(1+eta).*(1+zet); dNr(2:3:r2+1,1)=-(1-xsi).*(1-zet); dNr(2:3:r2+1,2)=-(1+xsi).*(1-zet); dNr(2:3:r2+1,3)= (1+xsi).*(1-zet); dNr(2:3:r2+1,4)= (1-xsi).*(1-zet); dNr(2:3:r2+1,5)=-(1-xsi).*(1+zet); dNr(2:3:r2+1,6)=-(1+xsi).*(1+zet); dNr(2:3:r2+1,7)= (1+xsi).*(1+zet); dNr(2:3:r2+1,8)= (1-xsi).*(1+zet); dNr(3:3:r2+2,1)=-(1-xsi).*(1-eta); dNr(3:3:r2+2,2)=-(1+xsi).*(1-eta); dNr(3:3:r2+2,3)=-(1+xsi).*(1+eta); dNr(3:3:r2+2,4)=-(1-xsi).*(1+eta); dNr(3:3:r2+2,5)= (1-xsi).*(1-eta); dNr(3:3:r2+2,6)= (1+xsi).*(1-eta); dNr(3:3:r2+2,7)= (1+xsi).*(1+eta); dNr(3:3:r2+2,8)= (1-xsi).*(1+eta); dNr=dNr/8.;

% - three dimensional case - [rowes,colD]=size(es);

rowex=size(ex,1);

if rowex==1 incie=0; else incie=1; end ef=[]; ir=0; ie=1;

for ied=1:rowes/ngp

JT=dNr*[ex(ie,:);ey(ie,:);ez(ie,:)]'; indx=[1:3]';

fint=zeros(24,1); for i=1:ngp

ir=ir+1;

detJ=det(JT(indx,:)); if detJ<10*eps

disp('Jacobideterminant equal or less than zero!') end

JTinv=inv(JT(indx,:)); dNx=JTinv*dNr(indx,:); B(1,1:3:24-2)=dNx(1,:); B(2,2:3:24-1)=dNx(2,:); B(3,3:3:24) =dNx(3,:); B(4,1:3:24-2)=dNx(2,:); B(4,2:3:24-1)=dNx(1,:); B(5,1:3:24-2)=dNx(3,:); B(5,3:3:24) =dNx(1,:); B(6,2:3:24-1)=dNx(3,:); B(6,3:3:24) =dNx(2,:);

fint=fint+B'*es(ir,:)'*wp(i)*detJ; indx=indx+3;

end

ef=[ef; fint']; ie=ie+incie; end

14 DAO ĐỘNG KỸ THUẬT

Phương trình dao động có cản:

{ }( ) [ ]{ } [ ]{ } { }( ) ]

[M U&& t + C U& + K U = P t MU&&(t)+ &CU(t)+KU(t)=P(t) Nếu bỏ qua lực cản xét dao động, phương trình dao động có dạng:

{ }( ) [ ]{ ( )} { }( ) ]

[M U&& t + K U t = P t MU&&(t)+KU(t)=P(t) Trường hợp 0P(t)≡ công thức cuối trở thành:

{ }( ) [ ]{ ( )} ]

[M U&& t + K U t = MU&&(t)+KU(t)=0

14.1 XÂY DỰNG MA TRẬN KHỐI LƯỢNG

Trường hợp chung, với vật thể 3D, định vị hệ tọa độ Oxyz, tách phần tử vơ cùng nhỏ dV = dxdydz để tìm hiểu chuyển động khối lượng dm = ρdxdydz Dịch chuyển khối lượng (u, v, w), vận tốc thành phần du/dx, dv/dy, dw/dz

Biểu thức tính động chuyển động khối lương dm là:

(u v w )dm (u v w ) dxdydz

dT 2 2 2 ρ

2

1

& & & &

&

& + + = + +

=

Động hệ thống tính theo cách này:

(u v w )dm (u v w ) dxdydz

T 2 2 2 ρ

2

1

& & & &

&

& + + = + +

= ∫∫∫ ∫∫∫

Như cách làm quen thuộc chuyển vị hệ thống xây dựng theo mơ hình:

[ ]N { }u ;

u= v=[N]{v}; w=[N]{w}

Vận tốc tính theo công thức:

[ ] { } [ ] { } [ ] { }w

t N t w w v

t N t v v u

t N t u u

∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂

∂ = ∂ ∂ = ∂

∂ = ∂ ∂

= & &

& ; ;

Công thức áp dụng cho phần tử thuộc kết cấu mang dạng:

{ } [ ] [ ]{ } { } [ ] [ ]{ } { } [ ] [ ]{ }

( )

∫∫∫ + +

=

Ve

T T T

T T

T

e u N N u v N N v w N N w

T & & & & & &

2

) (

Ký hiệu {δ} – vecto chuyển vị nút thuộc phần tử gồm [u, v, w]T, công thức xác định dT(e) là:

{ } [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] ρ { } { }δ δ [ ] { }δ

δ& e & &T e &

Ve T

T T

T

e dV m

N N N N N N T

2

0

0

0

2

1 ( )

)

( =

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎢ ⎣ ⎡

= ∫∫∫

Từ viết biểu thức xác định ma trận khối lượng tập trung:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

) (

0

0

0

e

Ve T

T T

e dV

N N N N N N

m ∫∫∫ ρ

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎢ ⎣ ⎡

=

Phần tử dầm chịu kéo nén

Ma trận cứng phần tử trình bày phần tĩnh học [k]e = ⎥

⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡ −

− 1

1 L EA

x Ad N N m

L T

e =∫

0

] [ ] [ ]

[ ρ

trong đó: A - diện tích mặt cắt ngang, ρ - mật độ vật liệu Trường hợp khối lượng phân bố dọc dầm:

( )

[ ] ⎥

⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = −

⎭ ⎬ ⎫ ⎩

⎨ ⎧ − =∫

2

1 /

/ /

/ ]

[

0

AL x

d L x L x L

x L x A m

L e

ρ

ρ

Trường hợp khối lượng phân bố hai nút, nút m= ρAL/2:

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡

= ∫

1

0

0 ] [

0

AL dx

A m

L e

ρ ρ

Dầm uốn

Phương trình chuyển vị phần tử trình bày dạng quen thuộc:

{w}e = [N] {δ} (a)

Hàm hình dáng [N] nhận hệ hàm Hermite, trình bày phần hàm nội suy: N1 = H01(1) (x) = 13

l (2x

3 -3l x2 + l3) ; N

3 = H02(1) (x) = - 13 l (2x

3 -3lx2)

N2 = H11(1) (x) = 12 l (x

3 -2lx2 +l2x) ; N

4 = H12(1) (x) = 1 l (x

3 -lx2) (b)

Nếu thay ξ = x/l hàm có dạng:

N1 = 2ξ3 - 3ξ2 + 1; N2 = l(ξ3 -2 ξ2 + ξ); N3 = -2ξ3 +3 ξ2; N4 = l(ξ3 - ξ2) (b’)

U tính cơng thức: U = dx x EJ

x M

L

∫ (( ))

2

1

= dx

dx w d EJ

L

0

2

2

∫ ⎜⎜⎝⎛ ⎟⎟⎠⎞ ; (c)

Thế phần tử : πe = ξ

ξ d

d w d EJ

2 2

0

2

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

∫ ; (d)

Cách làm tương tự cho phép xây dựng hàm động phần tử :

∫

=

0

2 ξ

ρ

d w Al

Te & (e)

Từ biểu thức 2

2

dx w d

= [ 2

2

dx

d N(x)]{δ} = [N’’]{δ} tính tiếp:

πe =

2 {δ}

T

0

l

∫ [N’’]T EJ [N’’]dx {δ} = {δ}

T [k]{δ} (g)

và từ đó: [k]e =

0

l

∫ [N’’]T EJ [N’’]dx (h)

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = 22 21 12 11 2 12 6 12 12 ] [ k k k k l ĐX l l l l l l l EJ

k e (i)

Công thức chung xác định ma trận khối lượng: =∫L [ ] [ ]T

e N N dx

m ] [ ρ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = 2 22 156 13 13 54 22 156 420 ] [ L ĐX L L L L L L L A m e e ρ

Phần tử chịu uốn kéo, nén

Phần tử BEAM kết hợp với phần tử TRUSS:

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − − = L L L L L L L L L L L L AL m e 22 13 22 156 13 54 0 140 0 70 13 22 13 54 22 156 0 70 0 140 420 ] [ 2 ρ

Phần tử TRUSS không gian 3D

Để ý chuyển vị tuyến tính phần tử mơ hình hố công thức:

1 ) (

3 [ ] { }

) ( ) ( ) ( }

{ e x

x x N x w x v x u δ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = Δ , đó: ( ) ( ) ( ) ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = l x l x l x l x l x l x N / 0 / 0 / 0 / 0 / 0 / ] [

Thay biểu thức [N] vào cơng thức tính m N N Adx

L T

e =∫

0 ] [ ] [ ]

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 ]

[m e ρAl ()

Phần tử chịu uốn 3D

Phần tử chịu uốn BEAM không gian 3D có 12 bậc tự do:

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) (2 ) ( )

1 0 0 0 0 / 0 0 0 0 0 0 / ] [ 2 3 3 2 2 3 3 3 3 3 lx x l lx x l x l lx x l lx x l lx x l l x x l lx x l l lx x l l lx x l l x N − − − + − − − − − + − − + − + − − =

Ma trận [ ] [ ] [ ] (e)

Ve

T

e N N dV

m =∫∫∫ρ là:

[ ] ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − = 105 105 0 210 11 35 13 210 11 0 35 13 0 0 140 0 420 13 105 140 420 13 0 105 0 0 0 420 13 70 0 210 11 35 13 420 13 0 70 210 11 0 35 13 0 0 0 0 2 2 2 l l A J l ĐX l l l l l l l A J A J l l l l Al me ρ

Phần tử phẳng cạnh

Phương trình chuyển vị nút mỏng, phẳng , cạnh với bậc tự có dạng:

1 ) (

9 [ ( , )] { }

) , ( ) , ( ) , ( }

{ e x

x

x N x y

y x w y x v y x u δ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = Δ , với ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 )] , ( [ N N N N N N N N N y x N ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 12 ] [ ĐX At

m e ρ

Nếu coi khối lượng phân bố ba nút, cơng thức cuối có dạng:

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ] [ ĐX At

Tấm khốí kim tự tháp

[ ]

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡

=

2

0

1 0

0 0

0 0

1 0 0

0 0 0

0 0 0

1 0 0 0

0 0 0

0 0 0 0

20

ĐX V

m e ρ

14.2 DAO ĐỘNG TỰ DO, KHÔNG CẢN

Phương trình chuyển động: 0 Kx x

M&&+ =

trong M - ma trận khối lượng hệ thống, K - ma trận cứng, x – chuyển vị Nghiệm tìm dạng:

(ω +ϕ)

=Xcos t x

Ký hiệu λ = ω2 phương trình dao động viết:

MX

KX=λ (K−ω2M)X=0

Từ toán trị riêng, vector riêng suy rộng KX=λMX xác định n giá trị riêng: λ1 ≤ λ2 ≤ λn-1 ≤ λn

và vector riêng tương ứng, X1 Xn Mỗi cặp giá trị (λi, Xi) thỏa mãn phương trình: n

i

i i

i = MX =1 L,2, ,

KX λ

Phương trình thỏa mãn trường hợp:

( Xi) iM( Xi)

K α =λ α , với α – số Điều kiện trực giao theo M theo K hiểu là:

ij j T

iMX =δ

X T j i ij

iKX =λδ

X

trong δ laø delta Kronecker

Xác định trị riêng hay tần số riêng từ phương trình tần số:

det(K - ω2M) =

Dạng dao động hay vector riêng xác định từ quan hệ:

(K−λiM)Xi =0

Ví dụ : Xác định trị riêng, vector riêng toán sau: MΦ

KΦ=λ

trong đó:

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎢ ⎣ ⎡

− − −

− =

2

1 ;

2

1

0

M K

Từ tính được: λ1 = 2; λ2 = 4; λ3 =

Để xác định vector riêng dạng chuẩn hóa cần xử lý hai phương trình:

0 1 1 1 = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − −

φ { }φ1T [ ]M { }φ1 =1 Vector φ1 mang giá trị sau:

{ } ⎥T

⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 2 1 φ

Bằng cách tương tự xác định:

{ } [ ]T

1

2 = −

φ { }

T ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = 2 φ

Ví dụ : Xác định tần số dạng dao động dọc dầm tiết diện thay đổi hình 3.64 Dầm dài L, gồm hai đoạn, phần đầu dài L/2, diện tích tiết diện A1 = 2A; phần hai dài L/2, tiết diện A2 = A Chia dầm làm hai

phần tử, phần tử dài L/2, trùng với hai phân đoạn vừa miêu tả Áp dụng cách làm nêu, xác định ma trận cứng, ma trận khối lượng cho phần tử TRUSS cho toàn hệ:

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = 1 1 1 1 ] [ ; 1 1 1 1 ] [ 2 ) ( 1 ) ( L AE l E A k L AE l E A k vaø ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 12 1 1 ] [ ; 1 1 ] [ 2 ) ( 1 ) ( AL l A m AL l A m ρ ρ ρ ρ Sau tập hợp ma trận:

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − = = ∑ ∑ = = = = 1 2 12 ] [ ] [ ; 1 2 2 ] [ ] [ ) ( ) ( AL m M L AE k K E e e e E e e e ρ

Chuyển vị xét dạng hàm điều hoà với biên độ dao động X: w(t)=Xeiωt, từ

[[K]−ω2[M]]{ }X =0 (K−ω2M)X=0

Để xác định tần số riêng cần thiết giải phương trình K - ω2M = K - λ M =

0 1 2 12 1 2 2 = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − AL L

AE λ ρ

Ký hiệu

E L 24

2

2 ρ ω

β = , phương trình có dạng:

0 ) ( ) (

) ( ) ( ) (

0 )

1 ( ) (

2

2

2

2

= −

+ −

+ − −

+ −

+ − −

β β

β β

β

β β

Từ đó:

0 ) )( (

18β2 − β2 β2 − =

Khi β2 = 0: ω

12 = 0;

Khi β2 = ½: ω

12 = 12E / (ρL2) ; ω1 = 3,46 2

L E

ρ

Khi β2 = 2: ω

22 = 48E / (ρL2) ; ω2 = 6,92 2

L E

ρ

Áp dụng tính trực giao khảo sát dạng dao động dọc trục dầm sau: Phương trình tần số:

0

1 12

1

2 =

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −

⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡ −

− AL

L

AE ω ρ

Nghiệm phương trình:

) /( 159 , ;

) /( 985 ,

1

1

1 E ρL ω E ρL

ω = =

Vector riêng:

{ } { }

⎭ ⎬ ⎫ ⎩

⎨ ⎧− = ⎭

⎬ ⎫ ⎩

⎨ ⎧ =

1 5775 , ;

1 5775 ,

2

1 φ

φ

Từ 2{ }1 [ ]{ }1

1 φ φ =

α T M xác định: α 1,526/ ρAL

1 =

Từ 2{ }2 [ ]{ }2

2 φ φ =

α T M xác định: α 2,053/ ρAL

2 =

[ ] ⎥

⎦ ⎤ ⎢

⎣

⎡ −

= Φ

0530 , 5260 ,

1860 , 8812 ,

AL ρ

Ví dụ : Xác định tần số dao động riêng khung phẳng nêu hình 3.65

Dữ liệu liên quan khung phẳng: mô đun đàn hồi E = 200 GN/m2, khối lượng riêng ρ = 7800 kg/m3

Momen quán tính mặt cắt phần tử 2: J =2356 cm4 = 2356x10-5 m4; diện tích mặt cắt A = 32 cm2 = 32x10-4 m2

Momen quán tính mặt cắt phần tử 3: J = 5254 cm4 = 5254x10-5 m4; diện tích mặt cắt A = 66 cm2 = 66x10-4 m2

2

A

B

3

D C

x y

z

3m 3m

1,73m

Chiều dài phần tử 1: l = 1,7322 +32 =3,464m; tải phân bố trọng lượng thân: 7800 x 32 x10-4 = 24,96 kg/m

Bán kính cung uốn x m

x x A J r 10 581 , 10 32 10 356 , − − − = = = [m]e,1 + [m]e,2

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − − = L L L L L L L L L L L L AL m e 22 13 22 156 13 54 0 140 0 70 13 22 13 54 22 156 0 70 0 140 420 ] [ 2 , ρ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − − − = 2 2 , 3 36 36 0 0 0 3 36 36 0 0 0 420 ] [ L L L L L L L L L L L L AL m e ρ

Tính hệ tọa độ cục gắn liền với phần tử:

[ ] ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = 96 , 71 , 15 18 , 32 0 82 , 28 43 , 25 , 96 , 25 , 05 , 11 71 , 15 18 , 32 0 41 , 14 0 82 , 28 ~ DX m

Chuyển sang hệ tọa độ chung ma trận khối lượng phần tử có dạng:

[ ] ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − − = 97 , 85 , 66 , 29 60 , 13 45 , 34 , 31 43 , 63 , 01 , 97 , 63 , 57 , 13 45 , 85 , 66 , 29 01 , 45 , 89 , 11 60 , 13 45 , 34 , 31 DX m

[ ] ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − = 97 , 85 , 66 , 29 60 , 13 45 , 34 , 31 43 , 63 , 01 , 97 , 63 , 57 , 13 46 , 85 , 89 , 27 96 , 24 DX m

Phần tử số 3: dài 3m, p = 51,48kg/m; r = 8,915x10-2m Sau tính chuyển sang hệ tọa độ chung, ma trận m3 có dạng:

[ ] ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = 40 , 13 48 , 51 31 , 24 53 , 57 97 , 30 , 14 40 , 13 74 , 25 0 48 , 51 30 , 14 70 , 19 31 , 24 53 , 57 DX m

Sau xử lý điều kiện biên, ma trận khối lượng toàn hệ thống viết lại sau:

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = 89 , 19 79 , 11 37 , 79 31 , 24 49 , 82 83 , 93 , 46 , 16 93 , 55 , 93 , 55 , 57 0 48 , 12 60 , 13 45 , 30 , 56 ] [ DX M (a)

Trường hợp dùng mơ hình tập trung khối lượng nút, ma trận tồn hệ thống có dạng sau đây:

[ ] ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 88 , 86 66 , 114 66 , 114 90 , 71 67 , 80 67 , 80 M (b)

Ma trận cứng phần tử đề cập tính theo cách sau: Phần tử 1:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]; 44 , 36 , 36 , 36 , 0 76 , 184 ; ~ 11 21 12 11 22 21 12 11 k k k k k k k k k − = = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ =

Ma trận chuyển với phần tử nghiêng 60° so với trục Ox:

[ ] ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 0 , 866 , 0 866 , , ] [ ; 0 R R R T

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = = 44 , 18 , 04 , 18 , 90 , 138 41 , 79 04 , 41 , 79 21 , 47 ; ~ 1 1 a a a a a T k k k k k T k T k

Ma trận cứng phần tử số 2:

[ ] [ ] ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = 29 , 14 , , 14 , 09 , 0 33 , 213 ; a a a a a k k k k k k

Ma trận cứng phần tử số 3:

[ ] [ ] ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = 99 , 13 0 , 440 0 , 66 , ; a a a a a k k k k k k

Sau tập hợp ma trận cứng toàn hệ tiến hành xử lý điều kiện biên, ma trận cứng hệ thống mang dạng: ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − = 27 , 20 14 , 09 , 442 99 , 99 , 217 14 , 14 , 72 , 11 14 , 09 , 96 , 99 , 140 0 33 , 213 04 , 41 , 79 54 , 260 ] [ DX

K (c)

Công thức K - ω2M = K - λ M = , K tính theo (c), M tính theo (a) (b),

áp dụng vào mang lại kết sau: Khi sử dụng ma trận khối lượng dạng (a), kết tính là:

ω1 = 183,8 rad/sec f1 = 29,3 Hz ω2 = 711,6 rad/sec f1 = 113,26 Hz ω3 = 1415,6 rad/sec f3 = 225,3 Hz

ω4 = 1567,3 rad/sec f4= 252,62 Hz ω5 = 2505 rad/sec f5 = 398,72 Hz ω6 = 3686,0 rad/sec f6 = 586,65 Hz

Khi sử dụng ma trận khối lượng dạng (b):

ω1 = 159,5 rad/sec f1 = 25,4 Hz ω2 = 381,2 rad/sec f1 = 60,7 Hz ω3 = 503,8 rad/sec f3 = 80,2 Hz ω4 = 1332,9 rad/sec f4= 212,1 Hz ω5 = 1963,8 rad/sec f5 = 312,5 Hz ω6 = 2252,3 rad/sec f6 = 358,5 Hz

Dựa vào tính đối xứng hình học tấm, đưa ¼ vào tính tốn Chọn phần tử hình vng, cạnh bằng ¼ phần vừa chọn, a = 0,375 m

Sử dụng công thức xác định khối lượng tập trung nút cho trường hợp tấm, thành phần đường chéo ma trận khối lượng xác định sau:

; 28125 , ; 14063 , 99 22

11 a m a m

m = ρ = ρ = ρ = ρ =

; 00659 , 48 ; 01318 , 24 11 , 11 44 10 , 10

33 a m m a m

m = ρ = ρ = = ρ = ρ =

; 5625 , ; 01318 , 24 2 66 12 , 12

55 = ρa = ρ =m m =ρa = ρ

m ; 02637 , 12 88

77 a m

m = ρ = ρ =

Ma trận cứng [K] tính theo hướng dẫn phần tĩnh phương pháp phần tử hữu hạn, ví dụ từ “Sổ tay Cơ học kết cấu” nêu

[ ] ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − − − − − − − − − = , , 0 0 , , 0 0 0 0 0 , 33 , 13 33 , 0 33 , 67 , 12 0 , 0 12 0 , 0 67 , 26 33 , 33 , , 33 , 13 67 , 67 , ĐX D K

trong độ cứng D tính biểu thức: ( ) υ + = 12 Et D

Trị riêng nhỏ tính từ K−λM =0 là: ρ

λ1 =1,748D/

Tần số riêng dao động mode thứ nhất:

( υ)ρ λ ω − = = 32 , 1 D

Dạng dao động ứng với tần số thứ xác định từ K−λ1Mφ1 =0 là::

{ } [ ]T

366 , 518 , 366 , 707 , 259 , 259 , , 366 , 518 , 366 , 707 ,

1 = − − − −

φ

14.3 ÁP DỤNG PHẦN MỀM ANSYS TÍNH TỐN DAO ĐỘNG

Các phần mềm thích hợp để tính tốn dao động thân tàu dùng rộng rãi kể NASTRAN, ANSYS, SAP2000 Hướng dẫn sơ sử dụng phân mềm ANSYS phân tích dao động thân tàu sau

Phần mềm ANSYS ( Houston, PA: Swanson Analysis Systems Inc, ) hãng Swanson ứng dụng nhiều ngành kỹ thuật, có học kết cấu, động lực học chất rắn, chất lỏng vv… Đây phần mềm sử dụng hiệu giải toán dao động phương pháp phần tử hữu hạn

Ba cách xử lý toán động lực học vật rắn nhờ phần mềm ANSYS là: (1) phân tích mode dao động, (2) phân tích dao động điều hịa, (3) phân tích dao động chuyển tiếp Kết xử lý thể hai qui trình hậu xử lý gồm hậu xử lý tổng quát (General Postprocessor), cách ghi ANSYS POST1 hậu xử lý hàm thời gian (Time History Postprocessor), ghi POST26 Hậu xử lý POST1 cho phép xem kết tồn mơ hình thời điểm xác định tần số xác định Hậu xử lý POST26 cho phép xem trình dao động theo thời gian phạm vi tần số

Phân tích mode dao động

Dùng cách xử lý trường hợp vắng mặt ngoại lực Các bước phân tích sau: • Xây dựng mơ hình FEM

• Chọn phương pháp xác định trị riêng, vector riêng • Xem kết

Tạo thuận tiện cho tính tốn người sử dụng nên viết text file nhập liệu dạng file ASCII Có thể sử dụng Notepad Microsoft viết file txt cho mục đích Mỗi file gồm phần qui ước: Phần 1: chuẩn bị liệu

/PREP7 ! khai báo phần nhập liệu /TITLE, ! Tên đề tài

C*** Ghi dẫn cần thiết

ET, ! kiểu phần tử, ví dụ 1,BEAM3 Phần tử BEAM3 dùng cho ví dụ cụ thể R, ! Ví dụ 1,1,1,1 Đặc trưng phần tử vừa khai báo (BEAM3)

MP, ! Ví dụ EX,1,3E7 Tính chất vật liệu

MP, ! Ví dụ PRXY,,0.3 Tiếp tục tính chất vật liệu

N, ! Bố trí nút E, ! Bố trí phần tử

ANTYPE,MODAL !MODE-FREQUENCY ANALYSIS

MODOPT, LANB,3 ! Tìm trị riêng pp Lanczos

Các phương pháp dùng phần gồm:

SUBSP – Subspace iteration dùng xử lý hệ phương trình đại số, xem thêm phần phương pháp tính LANB – Block Lanczos, phương pháp Lanczos, ghi phần phương pháp tính sách này,

REDUC – phương pháp Householder reduced, xem phần phương pháp tính sách UNSYM – Unsymmetric matrix dùng cho trường hợp ma trận không đối xứng

DAMP – Damped system QRDAMP – QR damped

Phần 2: Giải tốn vừa hình thành

MXPAND, ! Số MODE cần khai triển

D, ! Áp đặt điều kiện biên M, ! Khai báo master d.o.f

FINISH !

/SOLU ! phần giải toán, gọi Solution

SOLVE ! Thủ tục giải

Phần 3: Xuất kết

Kiểu phần tử dùng ANSYS phong phú, số lượng đến 150 kiểu Tính tốn dao động kỹ thuật nên dùng phần tử dễ dùng Tóm tắt phần tử thường gặp xem sách “Sổ tay Cơ học kết cấu”, NXB “Xây dựng”, 2008

Ví dụ sau minh họa cách viết file nhập liệu cho tốn nhằm tính tần số thấp dao động dọc dầm trụ, tựa tự hai đầu Phương pháp tính chọn: Block Lanczos, viết tắt LANB Lời giải nhờ phần mềm ANSYS so sánh với kết giải tích trình bày output file /COM, ANSYS INPUT FILE, 2008

/PREP7

MP,PRXY,,0.3

/TITLE, VER, LONGITUDINAL VIBRATION OF BAR C*** FROM VIBRATION THEORY AND APPLICATION

ANTYPE,MODAL !MODE-FREQUENCY ANALYSIS MODOPT, LANB,3 ! Tìm trị riêng pp Lanczos !MXPAND,3 ! Tính tần số, 1, 2,

ET,1,BEAM3 ! Phần tử BEAM3, phần tử tuyến tính, 2D R,1,1,1,1

MP,EX,1,3E7 ! Tính chất vật liệu MP,DENS,1,73E-5 ! Tính chất vật liệu K,1

K,2,800 L,1,2

ESIZE,,11 ! Kích cỡ phần tử

LMESH,1 ! Tạo mesh

OUTPR,BASIC,1 ! Print out

D,ALL,UY,,,,,ROTZ ! Điều kiện biên, cho phép UX d.o.f FINISH

/SOLU SOLVE FINI /SOLU

*GET,FREQ1,MODE,1,FREQ *GET,FREQ2,MODE,2,FREQ *GET,FREQ3,MODE,3,FREQ *DIM,LABEL,CHAR,3,2 *DIM,VALUE,,3,3

LABEL(1,1) = ' f1',' f2',' f3' LABEL(1,2) = ', (Hz) ',' (Hz) ',' (Hz) ' *VFILL,VALUE(1,1),DATA,0,126.70,253.40

*VFILL,VALUE(1,2),DATA,FREQ1,FREQ2,FREQ3

*VFILL,VALUE(1,3),DATA,0,ABS(FREQ2/126.70 ),ABS(FREQ3/253.40 ) /COM

/OUT, MODAL,vrt

/COM, | ĐÍCH | ANSYS | TYLE /COM,

*VWRITE,LABEL(1,1),LABEL(1,2),VALUE(1,1),VALUE(1,2),VALUE(1,3) (1X,A8,A8' ',F10.2,' ',F10.2,' ',1F5.3)

/OUT FINI

*LIST, MODAL,vrt Kết tính:

| DICH | ANSYS | TYLE f1, (Hz) 0.00 0.00 0.000 f2 (Hz) 126.70 127.13 1.003 f3 (Hz) 253.40 256.86 1.014

Dao đông ngang dầm tự (không tựa) dầm xem xét thể code sau: ANTYPE,MODAL !MODE-FREQUENCY ANALYSIS

MODOPT, LANB,5 ! Tìm trị riêng pp Lanczos MP,EX,1,3E7

MP,DENS,1,73E-5 K,1

K,2,800 L,1,2 ESIZE,,11 LMESH,1 OUTPR,BASIC,1

D,ALL,UX,,,,,ROTZ ! Điều kiện biên, UY d.o.f FINISH

Kết tính tần số thấp cho kết sau:

0,0 6,046 12,157 Hz

Mơ hình tính nêu thích hợp với việc tính tần số dao động thân tàu dầm liên tục, nằm đàn hồi

Ví dụ nêu tiếp xác định tần số dao động dạng dao động thép hình chữ nhật cạnh axb = 0,35 x 0,42 (m), cạnh ngàm, cạnh cịn lại tự File liệu trình bày theo qui trình nêu /PREP7

ANTY,MODAL MODOPT,LANB,5

MXPAND,4 ! xác định tần số thấp ET,1,SHELL63 ! phần tử SHELL 63

MP,EX,1,2.1E11 ! Tính chất vật liệu hệ SI, N/m2

MP,NUXY,1,0.3 ! Hệ số Poisson 0,3

MP,DENS,1,7800 ! mật độ (khối lượng riêng) kg/m3

R,1,0.012

K,1,-0.42,-0.35 K,2,0.42,-0.35 K,3,0.42,0.35 K,4,-0.42,0.35 L,1,2

L,2,3 L,3,4 L,4,1 AL,ALL ESIZE,0.035 AMESH,ALL

NSEL,S,LOC,X,-0.42 !NSEL,A,LOC,X,.42 D,ALL,ALL

EPLOT

NSEL,S,LOC,X,0.35 M,ALL,UZ

NSEL,ALL OUTPR,ALL,1 FINISH /SOLU SOLVE FINI

Hình 3.68a Mode thứ

Hình 3.68b Mode thứ

Hình 3.68c Mode thứ

Kết tính sau:

Dao động thực sở sử dụng phần tử SHELL SOLID Kết tính tần số thứ khuôn khổ phương pháp phần tử hữu hạn đưa lại kết gần với nghiệm xác dùng kiểu phần tử đúng, chọn phương pháp số thích hợp

Kết tính tần số nhỏ dung phần tử SHEL63 SOLID190: | ĐÍCH | ANSYS | TYLE

SHELL63

f (Hz) 128.09 128.72 1.005 SOLSH190

f (Hz) 128.09 128.72 1.005

Ví dụ sử dụng phần mềm tính dao động thân tàu

Áp dụng cách chia tàu thành strip kinh điển, 20-Station Beam dùng phần mềm ANSYS tính tần số dao động đứng tàu vật tải hàng khô dài 135,5 m

Dữ liệu đầu vào ghi bảng A:

Bảng A Khoảng sườn ½ chiều rộng,

m Khối lượng, t/m Nước kèm, t/m mI,

(1) (2) (3) (4) (5)

0 – 7,9 2,45

1 – 4.8 17,4 22,0 6,1

2 -3 7,3 47,6 68,0 14,1

3 -4 8,2 128,3 103,0 26,9

4 -5 8,5 196,1 130,0 30,5

5 -6 8,5 229,3 130,0 30,6

6 -7 8,5 217,1 130,0 30,6

7 -8 8,5 180,0 130,0 30,6

8 -9 8,5 138,4 130,0 30,6

9 -10 8,5 164,5 130,0 30,6

10 -11 8,5 225,7 130,0 30,6 11 -12 8,5 224,7 130,0 30,6 12 -13 8,5 226,2 130,0 30,6 13 -14 8,5 219,7 130,0 30,6 14 -15 8,4 178,2 117,0 30,6

15 -16 8,2 102,4 103 29,0

16 -17 7,9 79,8 87,7 15,30

17 -18 7,3 74,5 68 9,47

18 -19 6,1 33,5 38 6,42

19 -20 3,8 17,3 13,6 3,06

Mô đun đàn hồi vật liệu làm vỏ tàu E = 2,05x1011 N/m2, khối lượng riêng tính 7800 kg/m3 File input xây dựng theo hướng dẫn ghi chương “Phương pháp tính” tài liệu

/PREP7

JPGPRF,500,100,1 /SHOW,JPEG

/TITLE, VERTICAL VIBRATION OF CARGO SHIP C*** FROM SHIP VIBRATION, TRAN CONG NGHI

ANTYPE,MODAL !MODE-FREQUENCY ANALYSIS MXPAND,6

ET,1,BEAM3

MODOPT, LANB,6 ! Tìm tri riêng pp Lanczos MP,EX,1,2.1E11

R,2, 5.82,6.1,10.4 R,3, 17.06,14.1,10.4 R,4, 34.1,26.9,10.4 R,5, 48.1,30.5,10.4 R,6, 53.03,30.5,10.4 R,7, 51.2,30.6,10.4 R,8, 45.8,30.6,10.4 R,9, 39.6,30.6,10.4 R,10, 43.5,30.6, 10.4 R,11, 52.5,30.6,10.4 R,12, 52.3,30.6,10.4 R,13, 52.5,30.62,10.4 R,14, 51.6,30.6, 10.4 R,15, 43.5,29.0,10.4 R,16, 30.26,15.3,10.4 R,17, 24.7,9.47,10.4 R,18, 21.03,6.42,10.4 R,19, 10.55,3.06,10.4 R,20, 4.55,0.61,10.4 N,1

N,21,135.5 FILL

REAL,1 E,1,2 REAL,2 E,2,3 REAL,3 E,3,4 REAL,4 E,4,5 REAL,5 E,5,6 REAL,6 E,6,7 REAL,7 E,7,8 REAL,8 E,8,9 REAL,9 E,9,10 REAL,10 E,10,11 REAL,11 E,11,12 REAL,12 E,12,13 REAL,13 E,13,14 REAL,14 E,14,15 REAL,15 E,15,16 REAL,16 E,16,17 REAL,17 E,17,18 REAL,18 E,18,19 REAL,19

Mode thứ

Mode thứ hai

Mode thứ ba

E,19,20 REAL,20 E,20,21 /PNUM,ELEM,1 EPLOT

OUTPR,BASIC,1 D,ALL,UX

M,10,UY

FINISH /SOLU SOLVE FINI

Kết tính, đơn vị Hz: Mode Tần số

1.3224 3.1210 5.3887 8.4686 11.900 15.778

14.4 ÁP DỤNG PHẦN MỀM SAP2000N TÍNH TỐN DAO ĐỘNG

Phần mềm SAP2000 mang tên “Integrated Finite Element Analysis and Design of Structures” Computers and Structures, Inc., USA đưa thị trường Phần động lực học phần mềm thực kiểu phân tích: (1) phân tích mode dao động – tính tần số, dạng dao động (2) phân tích phổ Trong SAP sử dụng phương pháp gọi Ritz-vector Analysis xác định tần số riêng

Phân tích phổ SAP thực sau khai báo Spec, viết tắt từ Response-Spectrum Analysis Cách thức khai báo liệu phần động lực học sau

SPEC Data Block

CSYS= hệ tọa độ

NAME= tên gọi ANG= góc MODC=kiểu tập hợp mode ACC=(U1 , U1 , U3 ) FUNC=hàm miêu tả phổ đáp ứng

Ví dụ: SPEC

NAME=RESPEC1 DAMP=0.02

ACC=Ú FUNC=ACCSPEC SF=123.4 FUNCTION Data Block

NAME=Tên gọi DT=Δt NPL=số giá trị hàm PRINT=(Y or N) Ví dụ:

FUNCTION

NAME=ACCSPEC NPL=1 0.0 30

0.2 70 0.3 HISTORY Data Block

Block định nghĩa hàm thời gian Nội dung cần đưa vào: CSYS=

MODE= CSYS= ACC= LOAD=

Ví dụ lập file chuẩn bị liệu tính tần số dạng dao động ngang beam trình bày theo cách sau Dầm thép, chịu tải tính kG lực (kgf), chiều dài đo cm Dầm chia làm 10 phần tử dài Nútt thứ phía trái ngàm, nút cuối 11 tựa gối cứng Tính tốn tần số riêng thấp dạng dao động

FREQUENCY AND MODE SHAPE - vibration of beam SYSTEM

FORCE=KGF LENGTH=CM DOF=UZ,RY

MODES

TYPE=EIGEN N=6 ;;;Xác định tần số thấp

JOINTS

X=0 11 X=610 LGEN=1,11,1 RESTRAINTS

ADD=1 11 10 DOF=ALL MATERIAL

NAME=1 M=7.8E-3 E=2.1E6 U=0.3 FRAME SECTION

NAME=1 MAT=1 A=6.5 I=36100 MPL=.1 FRAME

J=1,2 SEC=1 NSEG=4 GEN=1,10,1 IINC=1 JINC=1, Kết tính sau:

Mode Chu kỳ (s) Tần số (Hz)

1 0,147 6,787

2 0,0534 18,7024

3 0,0273 36,6152

4 0,0166 60,2881

Chương

TÍNH TỐN ĐỘ TIN CẬY

Ký hiệu, viết tắt dùng chương

k, C - hệ số nói chung, coefficient generally

f - viết tắt từ failure, hiểu theo nghĩa hư hoại, phá hủy g(Z) - hàm trạng thái giới hạn, limit state function

Pf - xác suất hư hoại (phá hủy), failure probability p(x) - hàm phân bố xác suất, probability density function Q - tải, load

R - độ bền , strength S, L - tải, load

u – thông số vị trí, location parameter SF - hệ số an toàn, safety factor

VX - hệ số phương sai, coefficient of variantion

Z mô đun chống uốn, section modulus α - thông số tỷ lệ , scale parameter ξ - thơng số hình dáng, shape parameter β - số an toàn, số tin cậy, safety index β0 - số an tồn đích, starget safety index

γ - hệ số an toàn, safety factor λ - hệ số xê dịch, bias factor

η hệ số sử dụng, usage factor = 1/γ φ hệ số bền, resistance factor

ψ hệ số kết hợp tải, load combination factor ρ hệ số tương quan, correlation coefficient μ - giá trị trung bình, mean value

σ - độ lệch chuẩn, standard deviation

Viết tắt tiếng Anh

ASD Allowable stress design Cov Coefficient of Variation COV Covariance

FLS Fatigue limit state

FORM First-Order reliability method SORM Second –Order reliability method LRFD Load and Resistance factored design PD Plastic design

1 ĐỘ TIN CẬY

Thiết kế kết cấu thiết phải thỏa mãn điều kiện khác hiệu ứng mà tải trọng gây ra, tức đòi hỏi5, ký hiệu S, đảm bảo an toàn kết cấu khả năng6, ký hiệu R, (khả đáp ứng, khả chống trả, lực) chống lại tác động tải

Mỗi thành phần kết cấu bị rơi vào trạng thái an tồn trạng thái khơng an tồn, gọi trạng thái bị hư hoại (failure) Đường ranh giới hai trạng thái gọi chung kỹ thuật trạng thái giới hạn (limit state), diễn đạt cơng thức g(Z) = R – S trình bày hình 4.1 Những khả xẩy với thành phần kết cấu thể sau:

g(Z) < tải S vượt sức bền R, trường hợp hư hoại g(Z) > sức bền R “lớn” tải S, trạng thái an toàn g(Z) = trạng thái giới hạn

Hình 4.1

Trên sở phân tích điều bất khả tín7 hay cịn gọi điều khơng chắn tải bên ngồi độ bền kết cấu, độ tin cậy kết cấu8 tiến hành đánh giá xác suất hư hoại kết cấu

2 TÍNH TỐN ĐỘ TIN CẬY KẾT CẤU

Kết cấu cụ thể xác định nhờ tập hợp biến ngẫu nhiên Z với phân bố xác suất fZ(z) Có thể

chia Z làm hai nhóm nhỏ, nhóm an tồn nhóm bị hư hoại Hai nhóm có giới hạn chung mặt hư hoại, gọi trạng thái giới hạn, nêu hình 4.1

Xác suất hư hoại kết cấu tính công thức:

( ) ∫

≤

= ≤ =

0 ) (

) (

) (

Z g

Z

f P g Z f z dz

P (4.1)

Độ tin cậy R tính từ biểu thức:

( ( ) 0)

1

1− = − ≤

= P P g Z

R f R=P(g(Z)>0) (4.2)

5 Những từ chuyên ngành thường dùng đây: Demand, viết tắt D, Loads viết tắt L, ký hiệu S 6 Những từ kỹ thuật thường dùng: Requirement, viết tắt R, Capacity, Strength, Resistance viết tắt R 7 Uncertainty

Hình 4.2 Hàm phân bố xác suất tải S, độ bền R giới hạn an toàn R-S

3 XÁC ĐỊNH CHỈ SỐ AN TOÀN (SAFETY INDEX), XÁC SUẤT HƯ HOẠI9 3.1 Chỉ số an toàn Cornell

Hàm trạng thái giới hạn:

g(Z) = R – S (4.3)

Trong R, S biến ngẫu nhiên đại diện cho độ bền tải tác động Chỉ số an tồn tính sau10:

2

) (

S R

S R g

Z g

σ σ

μ μ σ

β

+ − =

= (4.4)

Trong đó: μR, μS giá trị trung bình R, S,

σR, σS độ lệch chuẩn R, S

z

2

z

g(Z)=0

β

Hình 4.2a Chỉ số tin cậy Quan hệ số an toàn xác suất hư hoại:

( )−β

Φ =

f

P (4.5)

Hàm Φ(-β) – phân bố chuẩn trình bày bảng 4.1

Báng 4.1 Hàm phân bố chuẩn

β Φ(-β) β Φ(-β) β Φ(-β) β Φ(-β) β Φ(-β) 0.5 0.15866 0.02275 0.0015 3.17E-05 0.1 0.46017 1.1 0.13567 2.1 0.01786 3.1 0.00097 4.1 2.07E-05 0.2 0.42074 1.2 0.11507 2.2 0.0139 3.2 0.00069 4.2 1.33E-05 0.3 0.38209 1.3 0.0968 2.3 0.01072 3.3 0.00048 4.3 8.50E-06 0.4 0.34458 1.4 0.08076 2.4 0.0082 3.4 0.00034 4.4 5.40E-06

9 Failure Probability, P f

0.5 0.30854 1.5 0.06681 2.5 0.00621 3.5 0.00023 4.5 3.40E-06 0.6 0.27425 1.6 0.0548 2.6 0.00466 3.6 0.00016 4.6 2.10E-06 0.7 0.24196 1.7 0.04457 2.7 0.00347 3.7 0.00011 4.7 1.30E-06 0.8 0.21186 1.8 0.03593 2.8 0.002555 3.8 7.2E-05 4.8 8.00E-07 0.9 0.18406 1.9 0.02872 2.9 0.001866 3.9 4.8E-05 4.9 5.00E-07 Dạng gần quan hệ nêu sau:

( 1,6)

exp 475 ,

0 −β

=

f

P (4.6)

hay

β

−

= 10

f

P (4.7)

Ví dụ 1: Tính số an tồn cho trạm chứa dầu biển

Với trạm chứa dầu biển, từ chuyên ngành gọi FSO, hoạt động người ta xác định hàm mật độ xác suất (PDF)11 tải độ bền thân trạm dạng momen uốn dọc momen kháng khả chống uốn thân tàu Cả hai biến tải S độ bền R phục tùng luật phân bố tự nhiên Gauss với giá trị trung bình tương ứng μS = 20000Tm μR = 30000Tm Giá trị độ

lệch: σR = 2500Tm, σS = 3000Tm Tính xác suất hư hoại thân trạm

Chỉ số tin cậy theo cách làm Cornell:

56 , 3000 2500

20000 30000

2

2

2 + =

− =

+ − =

S R

S R

σ σ

μ μ β

Xác suất hư hoại: 23 ,

5 −

= E

Pf

Hàm trạng thái giới hạn tuyến tính

Trạng thái giới hạn tuyến tính trình bày quan hệ:

∑ =

+ = +

+ +

+

= n

i i i n

n

n a a X a X a X a a X

X X X g

1

2 1

1, , , )

( (4.8)

trong biến Xi biến ngẫu nhiên không liên quan

Chỉ tiêu tin cậy β tính theo cơng thức:

( )

∑ ∑ =

=

+ =

n

i i Xi

n

i i Xi

a a a

1

2

σ μ

β (4.9)

Hàm trạng thái giới hạn phi tuyến

Hàm trạng thái giới hạn dạng phi tuyến tuyến tính hóa nhờ khai triển Taylor:

( ) ∑( )

= ∂

∂ − +

≈ n

i i

i i n

n

X g x X x

x x g X X X g

1

* *

* *

1, , , ) , , ,

( (4.10)

trong biến Xi biến ngẫu nhiên không liên quan

( ) ∑( )

= ∂

∂ −

+

≈ n

i i

X i Xn

X X n

X g X

g X X X g

i

1

1, , , ) , , ,

(

2

1 μ μ μ

μ , tính theo gía trị trung bình (4.11) Chỉ tiêu tin cậy β tính theo công thức:

( )

( ) i

i n

i

Xi i

Xn X

X

X g a a

g

∂ ∂ = =

∑ =

; , , ,

1

2

2

σ μ μ

μ

β , tính theo gía trị trung bình (4.12)

Ví dụ 2: Tính số tin cậy dầm L tựa đơn chịu tải phân bố q = const tải tập trung P nhịp

Biến ngẫu nhiên: P, q, ứng suất chảy Y vật liệu Đại lượng hình học đặc trưng dầm xác định từ thực tế: L – chiều dài, Z – mođun chống uốn

Trong tính tốn sử dụng hệ số xê dịch, hay hệ số lệch (bias factor), ký hiệu λ, tỷ lệ giá trị trung bình biến với giá trị danh nghĩa biến

Các gía trị λ dùng ví dụ: λq = 1,0; λP = 0,85; λY = 1,12

Các gía trị V dùng ví dụ: Vq = 10%; VP =11%; VY = 11,5%

L

p

q

Hình 4.3 Hàm trạng thái giới hạn dùng cho dầm uốn:

( )

8

,

,q Y Y Z PL qL2 P

g = − −

Thay giá trị sau vào phép tính g β: q = 3,0; μq = 3,0; P= 12; μP = 10,2; Y = 36; μY =

40,3 L = 18, Z = 80 viết hàm g dạng sau:

(P q Y) Y P q g , , =80 −54 −5382

Chỉ số tin cậy:

( ) 80.4,64 ( 54.1,12) ( 5832.0,025) 3,01 25

, 5832

, 10 54 , 40 80

2

2

2

= −

+ −

+

− −

= +

=

∑ ∑ =

=

n

i i Xi

n

i i Xi

a a a

σ μ β

Những điều cần để ý sử dụng cơng thức tính tốn số tin cậy là, số phụ thuộc vào dạng thức cụ thể hàm trạng thái giới hạn Ví dụ nêu sau giải thích điều nêu

Ví dụ 3: Tính tốn số an toàn dầm thép dài L chịu tải tập trung P nhịp

Dầm thép có mơ đun chống uốn trạng thái dẻo Z = ZP, ứng suất chảy Y Bốn đại lượng ngẫu nhiên

{ }

⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫

⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧

× × =

⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫

⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧

= −

2

3

/ 10 600

10 100

8 10

m kN

m m kN

Y Z L P

X

μ μ μ μ μ

[ ]

( ) ⎥⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

× ×

×

= − −

2

6 12

3

/ 10 10

0

0 10

400

0

0

10 10

0

0

m kN m

m kN

COVX

Hàm trạng thái giới hạn chứa momen:

( )

4 ,

, ,

1

PL Y Z L P Y Z

g = −

Trạng thái giới hạn chia cho đại lượng dương, ví dụ Z, giới hạn g = khơng thay đổi:

( ) ( )

Z L P Y Z g Z PL Y L P Y Z

g , , ,

4 ,

,

,

2 = − =

p

L

Hình 4.4

Kết tính số tin cậy cho hai hàm không trùng giải cho vấn đề Hàm g1 phi tuyến khai triển theo công thức:

( Z) Z( Z) L ( P) P ( L)

Y L P Y

Z Z Y P L

g μ μ μ μ +μ −μ +μ −μ −μ −μ − μ −μ ⎥⎦

⎤ ⎢⎣

⎡ −

≈

4

4

1

48 , =

β

Với g2 tính:

( ) ( ) ( ) ( ) ( L)

Z P P Z

L Z Z

Z L P Z

L P

Y Z Y P L

g μ

μ μ μ μ

μ μ μ

μ μ μ μ

μ μ

μ ⎥+ − + − − − − −

⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡

− ≈

4

4

4

2

48 , =

β

Những trường hợp chưa hồn tồn ổn thỏa tương tự xử lý theo phương pháp thích hợp

3.2 Chỉ số an toàn Hasofer-Lind

Cách làm Hasofer Lind chuyển hàm trạng thái giới hạn sang không gian gọi không gian chuẩn (standard space)12 , chuyển biến ngẫu nhiên R S sang u1 u2 theo công thức:

;

1

R R

R u

σ μ

−

= (4.13)

;

2

S S

S u

σ μ

−

= (4.14)

Biến R S:

R R

u

R= 1σ +μ (4.15)

S S

u

S = 2σ +μ (4.16)

Trong hệ tọa độ đoạn thẳng thể phương trình:

( R S) (u R u S)

S R Z

g( )= − = μ −μ + 1σ − 2σ (4.17)

Đường g(Z) hệ tọa độ này, vng góc với β có dạng trình bày hình 4.5

Hình 4.5

Ví dụ 4: Giả sử biến ngẫu nhiên R S tương ứng với momen uốn kết cấu cho trước phục tùng phân bố Gauss Giá trị trung bình μS = 90 μR = 150 Giá trị độ lệch: σR = 20, σS = 30 Tính

Pf theo phương pháp Hasofer-Lind

Hàm trạng thái ứng suất: g(Z) = R – S R = 20.u1 + 150

S = 30.u2 + 90

Hàm g(Z) chuyển sang dạng: g(u) = 20u1 + 30u2 + 60

Đoạn thẳng từ đểm O hệ tọa độ đến đường g(u):

( 30) 1,664

20 60

2

2 + − =

=

β

Xác suất hư hoại:

( )− =Φ(−1,664)=4,9% Φ

= β

f

4 PHÉP TÍNH THỐNG KÊ VÀ BIẾN NGẪU NHIÊN

Biến ngẫu nhiên, ví dụ biến Z hàm g(Z) nêu trên, dùng phần tài liệu hàm thực xác định không gian cụ thể Biến ngẫu nhiên trình bày qua hàm mật độ xác suất p(z) hàm phân bố tích lũy Fz(z) = P[Z ≤ z]

Các giá trị đặc trưng biến ngẫu nhiên: Momen bậc n:

[ ], =1,2, =E Zn n

n

μ (4.18)

Momen trung tâm bậc n:

( )

[ n]

n E Z μ1

ς = − (4.19)

trong đó: μ1 - momen bậc 1, hay gọi thông dụng kỳ vọng Z,

ζ2 = Var[Z] - bình phương độ lệch Z

2

ς

σ = - độ lệch (4.20)

Giá trị trung bình tâm hàm mật độ xác suất

Cov – Hệ số hiệp phương sai (Coefficient of Variance) thước đo độ không chắn biến ngẫu nhiên Z, định nghĩa sau13:

Cov =

1

μ ς

(4.21)

Phân bố xác suất

Phân bố tự nhiên hay phân bố Gauss

Hàm mật độ xác suất hàm phân bố tích lũy phân bố tự nhiên có dạng:

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎣ ⎡

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛ − −

=

2

2 exp

1 )

(

X X X

x x

p

σ μ σ

π (4.22)

( )

∫ ∞ ∞ −

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛− =

ξ ξ

π d

x FX

2

2 exp

1

(4.23)

Phân bố logarit tự nhiên

0 )

ln( exp

1 )

(

2

ln ln ln

≥ ⎥

⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎣ ⎡

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝

⎛ −

−

= x x

x p

X X

X σ

μ σ

π (4.24)

( ) ⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝

⎛ −

Φ =

X X X

x x

F

ln ln

) ln(

σ μ

(4.25)

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

+ =

2 exp

2 ln

lnX X

X

σ μ

μ (4.26)

( )

[exp 1]

ln

2 −

= X X

X μ σ

σ (4.27)

Phân bố Rayleigh

0

1 exp )

(

2

2 ≥

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎣ ⎡

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − −

−

= x u x u x

x p

α

α (4.28)

trong đó: u – thơng số vị trí, α - thơng số tỷ lệ , μx = u+α π/2, σX =α (4−π)/2 Phân bố Weibull

(x u) x u x u

x

p ≥

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎣ ⎡

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − −

=

ξ ξ

ξ

α ξ

α

1 exp )

( (4.30)

u x u

x x

FX ≥

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎣ ⎡

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − − =

ξ α

2 exp )

( (4.31)

trong đó: u – thơng số vị trí, α - thông số tỷ lệ , ξ - thông số hình dáng ⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + Γ + =

ξ α

μx u 1 (4.32)

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

+ Γ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

+ Γ =

ξ ξ

α

σ 2 1

X (4.33)

5 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH 5.1 TÍNH THEO FORM

Trong phương pháp FORM – First Order Reliability Method, dùng phương pháp chyển mặt trạng th giới hạn từ khơng gian X sang khơng gian U, hình 4.6 4.7, thay mặt hyperbol tiếp tuyến tại điểm tính tốn u*

Hình 4.6 Mapping phương pháp FORM

Hình 4.7 Chuyển không gian

Hư hoại hư hoại

Áp dụng phương thức chuyển Rosenblatt cho trường hợp

Hình 4.8 Phép chuyển Rosenblatt Hàm chuyển:

( )

(F Z Z Z ) i n Ui =Φ i i | 1, , i 1 =1,2, ,

−

− (4.34)

Trường hợp biến ngẫu nhiên Z độc lập:

( )

(F Z ) i n

Ui =Φ−1 i i =1,2, , (4.35)

Mặt trạng thái giới hạn g(Z) = không gian Z chuyển thành trạng thái giới hạn tương ứng g(u) = không gian U

Điểm thiết kế:

* * =βα

u (4.36)

Vector pháp tuyến với mặt hư hoại u* :

) (

) (

* * *

u u

g g ∇ ∇ − =

α (4.37)

Mặt trạng thái giới hạn hành g(u) = dạng hàm gần đúng:

g(u) = β + αTu = (4.38)

Giới hạn an toàn bậc xác định theo cách sau:

M = g(u) = β + αTu (4.39)

Phép gần xác định xác suất hư hoại:

( )−β

Φ ≈

f

P (4.40)

Thuật toán xác định số xác suất β khuôn khổ FORM

Bước Giả thiết điểm thiết kế *

i

u định vị, điểm *'

i

u hệ tọa độ U tính theo quan hệ:

i i

U U i i

u u

σ μ

− =

*

*' (4.41)

Trong *' α*β

i i

u =− ;

i

u

Hình 4.9 Tính theo phương pháp FORM

Bước Xác định phân bố chuẩn tương đương cho biến ngẫu nhiên không-chuẩn điểm

thiết kế:

( ) N

U X

N

u u F u σ

μ = *−Φ ( *) (4.42)

và ( ( )) ) (

) (

* *

u f

u F

U U N

U

−

Φ =

σ (4.43)

Bước Tính cosine hướng điểm thiết kế ( αi*, i=1,2, ,n ):

n i

u g u

g

n

i i

i

i 1,2, ,

1

2

* ' '

* =

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂

∂ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂

∂ =

∑

=

α (4.44)

Trong đó: N

U i i

i

u g u

g σ

* *

' ⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂

∂ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂

∂

Bước Giải phương trình xác định β:

( )

[μ −α*σ β, , μ −α* σN β ]=0

U U N U N

U U N

Ui i i n n in

g (4.45)

Bước Sử dụng β vừa nhận xác định điểm thiết kế mới:

β σ α

μ N

U i N U

i i i

u* = − * (4.46)

Bước Lặp bước đến bước độ hội tụ β đạt yêu cầu đề

q

L L L

B

A C D

Hình 4.10 Dầm ba nhịp chịu tải phân bố q = const Phương sai chuẩn σI = 1,5 10-4 m4, σE = 0,5.10-4m4, σq = 0,4kN/m

Biến ngẫu nhiên: tải phân bố q, chiều dài nhịp dầm L, mô đun đàn hồi vật liệu E, momen quán tính mặt cắt ngang dầm I Trạng thái giới hạn xem xét bị xê dịch, giới hạn cho phép L/360 Độ võng tối đa 0,0069qL4/(EI), nằm vị trí 0,446L tính từ đầu dầm Hàm trạng thái giới hạn có dạng:

( ) EI qL L I E L q g 0069 , 360 , , , = −

Có thể viết biểu thức sau:

Từ g = ⇒ 0,0069 360

5 EI− × 4q= ⇒ EI - 310,5q =

Giá trị biến hệ tọa độ Z:

q q E

E I

I Z E Z q

I Z σ μ σ μ σ μ − = − = −

= 2 3

1 ; ;

q q

E E

I

I Z E Z q Z

I =μ + 1σ ; =μ + 2σ ; =μ + 3σ Thay vào hàm g:

( )( ) ( ) ( ) [ ][ ( )] [ ( )] ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ = + − + + = + − + + = + − + + − − 12895 , 124 750 4000 3000 , 10 , 310 10 , 10 10 , 10 , 310 2 4 7 Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z

Z E I I q q

E σ μ σ μ σ

μ

Xây dựng hàm g β αi:

0 12895 , 124 750 4000

3000 1 2 3

2 * =βα ⇒ βα + βα + β α α − βα + = i i z 2

1 4000 750 124,2

3000 12895 α α βα α α β − + + − =

Từ tính được:

( )

( ) ( ) (2 )2

1 2 2 , 124 750 4000 750 3000 750 3000 − + + + + + − = βα βα βα α ( )

( ) ( ) (2 )2

1 2 2 , 124 750 4000 750 3000 750 4000 − + + + + + − = βα βα βα α ( )

( ) ( ) (2 )2

1 2 , 124 750 4000 750 3000 , 124 − + + + + − = βα βα α

; 58 , 333 , ;

58 , 333 ,

0 3

2

1 =α =− =− α = =

α

và β =

Các phép tính lặp thực theo bảng 4.2

Bảng 4.2 Số lần lặp Đại lượng Giá trị

đầu 1

β 3,664 3,429 3,213 3,175 3,173 3,173

α1 -0,58 -0,532 -0,257 -0,153 -0,168 0,179 -0,182

α2 -0,58 -0,846 -0,965 -0,988 -0,985 -0,983 -0,983

α3 0,58 0,039 0,047 0,037 0,034 0,034 0,034

Kết tính lặp cho phép rút β = 3,17

Ví dụ 6: Xác định giá trị trung bình momen quán tính mặt cắt dầm cơng xơn trình bày hình Độ võng tối đa cho phép L/180 Cơng thức tính độ võng đầu tự dầm: qL4/(8EI)

Giá trị trung bình biến: q = 12kN/m; L = 10m; E = 200x106kN/m2

Lệch chuẩn: σq = 1kN/m; σL ≈ 0; σI = 10% từ giá trị trung bình; σE = 20x106kN/m2

Hàm trạng thái giới hạn: EI qL L g

8 180

4

− =

Giả sử g = 0: ( ) 22500

8 10 180

4

= −

⇒ =

− EI q

EI q L Ký hiệu:

I q E

E q

q I

Z E

Z q

Z

σ μ σ

μ σ

μ −

= −

= −

= 2 3

1 ; ;

q q

E E

I

I Z E Z q Z

I =μ + 3σ ; =μ + 2σ ; =μ + 1σ Từ g = viết:

(μE +Z2σE)(μI +Z3σI)−22500(μq +Z1σq)=0

( )

[200.10 20.106 ][ 3(0,1 )] 22500[12 1(1)]

2

6 +Z +Z − +Z =

I

I μ

μ

Sau chuẩn hóa:

(1,125.10 ) 135

, 10

10

100 1

2 3

1

1+ + + − − =

− Z

Z Z Z

Z μ μ

μ μ

Xây dựng hàm g β αi Trong phần β xác định

i i i

z* =βα =3α

( )3 10 ( )3 ( )( )3 0,135 (1,125.10 )( )3 10

100 1

2 3

1

1+ + + − − =

− α

α α μ α μ α

μ μ

2 3

1

9 30 30

100

10 375 , 135 ,

α α α α

α μ

+ +

+ +

= −

I

Từ tính tiếp:

( ) [ ( )] [ ( )]2 2

3

2

2

3 10

3 10

10 125 ,

10 125 ,

α μ μ α

μ μ α

I I I

I + + +

+ −

=

−

−

( )

[ ]

( ) [ ( )] [ ( )]2

2

3

2

3

3 10

3 10

10 125 ,

3 10

α μ μ α

μ μ

α μ μ α

I I I

I

I I

+ +

+ +

−

+ −

=

−

( )

[ ]

( ) [ ( )] [ ( )]2

2

3

2

2

3 10

3 10

10 125 ,

3 10

α μ μ α

μ μ

α μ μ α

I I I

I

I I

+ +

+ +

−

+ −

=

−

Các phép tính lặp thực theo bảng 4.3

Bảng 4.3 Số lần lặp Đại lượng Giá trị

đầu 1

μI 5.10-4 2,266.10-3 2,027.10-3 2,288.10-3 2,286.10-3 2,289.10-3

α1 0,58 0,888 0,363 0,439 0,395 0,397

α2 -0,58 -0,326 -0,659 -0,635 -0,650 -0,649

α3 -0,58 -0,326 -0,659 -0,635 -0,650 -0,649

Chỉ số tin cậy β = μI = 2,29.10-3 m4

Thuật toán xác định số tin cậy dạng phương trình ma trận

1 Xây dựng hàm trạng thái tham số tương thích cho biến ngẫu nhiên Xi, với i =

1,2, ,n

2 Chọn điểm thiết kế ban đầu {xi*}, gán giá trị n – biến Xi Giải phương trình trạng thái giới hạn g

= cho biến ngẫu nhiên lại Lưu ý để điểm chọn nằm đường giới hạn hư hoại 3 Xác định {zi*} theo công thức sau:

Xi Xi i i

x z

σ μ

− = *

*

4 Tính đạo hàm riêng hàm trạng thái giới hạn theo zi:

Xi i i

i i

i X

g Z

X X

g Z

g σ

∂ ∂ = ∂ ∂ ∂

∂ = ∂

∂

Để thuận tiện lúc tính nên sử dụng vector {G} hỗ trợ sau:

{ }

⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫

⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =

n

G G G G

M

2

với

i i

Z g G

∂ ∂ −

= tính điểm thiết kế

5 Đánh giá β theo cách sau:

{ } { } { } { }G G

z G

T

T *

=

β với { }

⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫

⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =

* * * *

n

z z z z

M

{ } { } { }G G

G

T

= α

7 Xác định điểm thiết kế cho n – biến:

β αi

i

z* = Xác định xi:

Xi i Xi

i z

x* =μ + *σ

9 Giải phương trình g = xác định biến chưa đề cập 10 Lặp bước đến β { }*

i

x hội tụ

Ví dụ : Thực tính độ tin cậy dầm ba nhịp hình 4.10 theo phương pháp sử dụng ma trận Phương trình trạng thái giới hạn ( )

EI qL L I E L q g 0069 , 360 , ,

, = − hiểu sau:

( ) 3

1 0,0069

360 , , X X L X L X X X

g = −

2 Lần lặp thứ gán x1* x2* vào X1, X2 Giá trị x3* xác định sau giải phương trình g =

53 , 51 0069 , 360 10 ; 10 4 * * * * *

1 ⎥=

⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⇒ = = − L x x L x x x Tính zi*:

8 , 103 ; ; 3 * * 2 * * 1 * * = − = = − = = − = X X X X X

X z x z x

x z σ μ σ μ σ μ

4 Xác định vector {G}:

{ } { } ( )*

1 * * 1

1 0,0069

* *

X X

X

Z x x

L x X g Z g G i i σ σ =− ∂ ∂ − = ∂ ∂ − =

{ } { } ( )* 2

2 * * 2

2 0,0069

* *

X X

X

Z x x

L x X g Z g G i i σ σ =− ∂ ∂ − = ∂ ∂ − =

{ } { } ( )*

1 * 3

3 0,0069

* *

X X

X

Z x x

L X g Z g G i i σ σ = ∂ ∂ − = ∂ ∂ − = hay là:

{ } 10

1078 , 472 , 604 , − ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − − = G Tính β:

{ } { }

{ } { } 2,578

* = = G G z G T T β

{ } { }

{ } { } ⎪

⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪

⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − − = =

025 ,

800 ,

600 ,

G G

G

T

α

7 Xác định điểm thiết kế cho n – biến: 062 , ;

546 ,

1 * 2

2

*

1 =α β =− z =α β =−

z Xác định xi:

6

* 2 *

* 1 *

1 = X +z X =5,68.10− ; x = X +z X =9,69.10

x μ σ μ σ

9 Giải g = xác định giá trị x3: x3* = 17,7

10 Lặp từ bước đến bước hội tụ

Trường hợp biến ngẫu nhiên liên quan với

Trường hợp cần đưa ma trận liên quan (correlation matrix) tham gia cơng thức tính β {α} Giả sử X, Y hai biến ngẫu nhiên liên quan với Hiệp phương sai (covariance) hai biến ngẫu nhiên X, Y hiểu sau:

COV(X,Y) = E[(X- μX)(Y- μY)] = E[XY - XμY - μXY + μXμY] Hệ số tương quan (coefficient of correlation / correlation coefficient):

Y X XY

Y X COV Y

X Cov

σ σ

ρ ≡ ( , )= ( , )

Ma trận liên quan trường hợp n biến ngẫu nhiên Xi, i=1,2, ,n:

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =

nn n

n

n n

ρ ρ

ρ

ρ ρ

ρ

ρ ρ

ρ ρ

L M O M M

L L

2

2 22

21

1 12

11

]

[ với

Xj Xi

j i ij

X X COV

σ σ

ρ = ( , )

Trường hợp n biến ngẫu nhiên không liên quan ma trận hiệp phương sai có dạng:

[ ]

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =

2

2

1

0

0

0

Xn X

X

C

σ σ

σ

L M O M M

L L

và

[ ]

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =

1

0

0

0

0

1

L M O M M

L L

ρ

Những cải biên tính β α có mặt [ρ]như sau:

{ } { } { }G [ ]{ }G

z G

T T

ρ

β = * với { }

⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫

⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =

* * * *

n

z z z z

Tính vector {α}:

{ } { }G [ ]{ }G

G

T ρ

α =

Ví dụ : Xác định β cho hàm trạng thái giới hạn: G(X1 , X2) = 3X1 – 2X2

Với μX1 = 16,6; σX1 = 2,45

μX2 = 18,8; σX2 = 2,83

và Cov(X1 , X2 ) = 2,0

Hai biến phục tùng hàm phân bố Gauss

1 Hàm trạng thái giới hạn phân bố xác suất trình bày đề Chọn điểm thiết kế ban đầu x1* = 17 Từ g = xác định x2* = 25,5

3 Bỏ qua giai đoạn Tính vector {z*}:

37 , ;

163 ,

0 *

2 *

1 = z =

z

5 Xác định vector {G}:

{ } { } 1

1

1 ( 3)

* *

X X

X

Zi X i

g Z

g

G σ = − σ

∂ ∂ − = ∂

∂ − =

{ } { } 2

2

2

* *

X X

X

Zi X i

g Z

g

G σ = σ

∂ ∂ − = ∂

∂ − = Đánh giá β:

[ ]

( )

( ) ( )( )

( )( )

⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =

1 288 ,

288 , 1

83 , 45 ,

2 2,45 2,83

1 ,

,

2

2

2

2

X X

X X

X X Cov

X X Cov

σ σ

σ σ ρ

{ } { }

{ } [ ]{ } 1,55

*

= =

G G

z G

T T

ρ β

7 Tính {α}

{ } { }

{ } [ ]{ } ⎭⎬ ⎫ ⎩

⎨ ⎧− = =

499 ,

726 , G

G G

T ρ

α

8 * 1 ( 0,726)( )1,55 1,13

1 =α β = − =−

z

9 * 1 13,8

1 *

1 = X +z X =

x μ σ

10 Giải g = 0, xác định * 20,7

2 =

x

11 Tính lặp β điểm thiết kế hội tụ Kết tính đọc từ bảng 4.4:

Bảng 4.4

Lần lặp 2

*

x 17 13,8

*

x 25,5 20,7

β 1,55 1,55 ↓

*

x 13,8 13,8

*

x 20,7 20,7

5.2 TÍNH THEO SORM

Trong phương pháp SORM, viết tắt từ Second Order Reliability Method, mặt trạng thái ứng suất xác định gần nhờ hàm paraboloid tiếp tuyến, hình 4.12

Hình 4.12 Hình 4.13 Minh họa phương pháp tính SORM

( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ( ) )

( ) ( )[ ( )] ( ) ( ( ) )

⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩

⎪ ⎨ ⎧

⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡

+ − −

− Φ

− − Φ +

+ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩

⎨ ⎧

+ − −

− Φ

− − Φ + −

− Φ ≈

∏ ∏

∏ ∏

∏

− =

− −

=

−

− =

− −

=

− −

=

−

1

2 / 1

1

2 /

1

2 / 1

1

2 / 1

1

2 /

1

Re

1

1

1

n j

k n

j

k

n j

k n

j

k n

j

k f

j j

j j

j

P

β β

β β

β β

β β

β β

β β

β

12.47)

(Pf,SORM)

1 −

Φ − ≈

β (4.48)

Ví dụ : Đánh giá độ tin cậy chống lật giàn kiểu tự nâng theo phương pháp độ tin cậy bậc

Dưới trình bày kết tính độ tin cậy kết cấu giàn tự nâng (jack-up rig) chân làm việc vùng biển Việt nam Bảng tính thực Viện học Việt nam14

Momen lật giàn (capsizing moment) MC

S WIND

C M M

M = +

trong MWIND – momen gió, MS – momen sóng dịng chảy

Momen hồi phục (righting moment): Mr = CΔM

Trong CΔ - hệ số xê dịch tính đến biến dạng giàn, M – momen hồi phục tính theo giả thiết giàn

không bị biến dạng,

Hệ số an toàn lật SF > Theo tiêu chuẩn DNV SF = 1,25 g = Mr - SF.MC

Giá trị trung bình g: μG =μMr −SF.μMC Độ lệch chuẩn: .

MC Mr

G σ SFσ

σ = +

Chỉ số an toàn:

( )

( )2 2( )2

MS MW M

MS MW M

G G

SF C

SF C

μ μ

μ

μ μ

μ σ

μ β

+ +

+ −

= =

Δ Δ

Xác suất lật giàn:

( × ≥ )= ( ≤0)

=P SF M M P g

Pf C r

Giàn jack-up nêu ví dụ chịu tác động momen: M = 964,22MNm, Mr = 864,43MNm Hệ số xê

dịch CΔ tính đến hiệu ứng P - Δ mang giá trị: 0,896

Momen lật gió vận tốc tính tốn v = 57,54m/s thổi: Mwind = 268,3MNm Momen lật sóng

dịng chảy, có tính đến hệ số động lực giàn dao động sóng: MS = 580,33MNm

Giá trị trung bình đại lượng kể trên:

μM = 964,22 MNm, μMr = 864,43MNm, μMW = 268,3MNm, μMC = 268,32 +312,01 =

580,33MNm

σMW = 23,99MNm, σMC = 28,29MNm

Chỉ số an toàn: 2,92 66

, 47

02 , 139 = =

β

Xác suất phá hủy: Pf =Φ(−2,92)=0,00175

6 PHÂN TÍCH NHỮNG ĐIỀU KHƠNG CHẮC CHẮN15 TỪ TẢI VÀ ĐỘ BỀN

Những điều không chắn sai sót khó tránh phân tích độ tin cậy, gọi điều bất khả tín, thuộc nhóm:

• Khiếm khuyết vốn có kết cấu đồng hành với tượng vật lý • Từ đo đạc

• Từ thống kê

• Mơ hình hóa kết cấu, mơ hình hóa tải • Lỗi người phạm lúc phân tích

6.1 Bất khả tín vốn có

Những đổi thay tác động từ môi trường điều nhận biết song khó đánh giá xác mặt định lượng, khó miêu tả cụ thể phép tất định, coi bất khả tín vốn có Đánh giá tác động gió đến cơng trình phụ thuộc vào xác định áp lực gió song kết đo, tính áp lực chưa đảm bảo độ tin Dự báo hoạt động gió cịn chứa nghi ngờ Chiều cao sóng, chu kỳ sóng, hướng sóng biển đại lượng ngẫu nhiên, ảnh hưởng trực tiếp đến việc đánh giá tác động tải từ môi trường biển đến cơng trình biển Khó khăn thiếu độ chắn miêu tả sóng thực tế Động đất gây nhiều nguy hại cho công trình nhiên chưa có cách dự báo xác, chưa đánh giá tác hại cách toàn diện yếu tố thiết kế cơng trình Trở ngại lớn cho nhà thiết kế khó giảm bớt điều bất khả tín phép tính tăng cường phép đo làm lâu

6.2 Bất khả tín phép đo

Những sai sót đồng hành phép đo người thiết bị gây Bằng nỗ lực hướng, cơng cụ đo xác, thích hợp, thiết bị đọc đảm bảo độ xác tính tốn người giảm bớt điều bất khả tín

6.3 Bất khả tín thống kê

Sai sót nhóm thiếu hụt thơng tin, liệu Có thể giảm thiểu điều chưa chắn nhóm biện pháp tăng cường thu nhập liệu, cải tiến cách xử lý liệu

6.4 Bất khả tín mơ hình

Mơ hình tính dựa sở lý tưởng hóa kết cấu, mơ hình hóa tải Những sai sót lúc lập mơ hình có gốc từ vật lý từ chọn phân bố tải không sát thực tế Mô hình hóa kết cấu điều kiện thực tế chưa thể đảm bảo tính đồng dạng hồn tồn đồng thời yêu cầu đồng dạng hình học, đồng dạng động học đồng dạng động lực học

7 CHỌN HÀM PHÂN BỐ

Các hàm phân bố dùng phân tích độ tin cậy kết cấu trình bày phần 4.2 Qui luật phân bố tự nhiên tỏ phù hợp với nhiều tượng vật lý tự nhiên, áp dụng vào nghiên cứu độ bền kết cấu thường gặp Luật Gauss tìm thấy chỗ đứng miêu tả tác động thiên nhiên sóng, gió, mưa, nắng, thay đổi nhiệt độ môi trường phản ứng đối tượng trước tác động Tuy nhiên người ta quan sát nhận rằng, tác động phạm vi diễn đạt hàm tuyến tính chấp nhận luật Gauss, giai đoạn phi tuyến chưa hồn tồn phục tùng phân bố Gauss Nhìn chung, chọn phân bố xác suất cho công việc đánh giá bền kết cấu cơng trình miền cịn chứa nhiều quan ngại độ xác, độ chắn phép tính cần đánh giá định lượng

8 PHÂN TÍCH ĐỘ TIN CẬY HỆ THỐNG 8.1 Hệ thống nối tiếp

Xác suất hư hoại hệ thống:

( 0) (β α ) (β,ρ)

1

, m

m i

T i i m

i i sys

f P M P u

P ⎥= −Φ

⎦ ⎤ ⎢

⎣

⎡ −

= ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎣

⎡ ≤

=

=

= U

U (4.49)

trong đó:

Φm – hàm phân bố chuẩn m chiều,

β = [β1 , β2, ] – vector số độ tin cậy m thành phần hư hoại ,

ρ - ma trận liên quan tương đương

Ví dụ 8: Kết cấu trình bày hình 4.14, chi tiết bên trái, chi tiết bên phải, có đặc tính sau: R1 =

1,5R, R2 = R Tải P R phục tùng phân bố chuẩn độc lập với: μP = 4kN, μR = 4kN; σP =

0,8kN, σR = 0,4kN Xác định xác suất hư hại hệ thống P

R Z

g

2 2

3 ) (

1 = −

P R

Z g

2 )

(

2 = −

Chuẩn hóa biến ngẫu nhiên: ,

4 ;

4 ,

4

2

− = −

= R x P

x

; 691 , 816 , 577 ,

; 846 , 686 , 728 ,

2

2

2

1

+ −

=

+ −

=

x x

Z

x x

Z

Từ : β1 =3,846; β2 =1,691 xác định xác suất hư hoại hai thành phần kết cấu:

2L L

( )

( ) 0,04794 00006 ,

2

,

1

,

= − Φ =

= − Φ =

β β

f f

P P

Xác suất hư hoại hệ thống kết cấu:

∑

≤ ≤ f sys fi

i

f P P

P , , ,

max

Từ đây:

0480 , 04796

,

0 ≤Pf,sys ≤

8.2 Hệ thống song song

Xác suất hư hoại hệ thống:

( 0) (β α ) ( β,ρ)

1

, ⎥=Φ −

⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡

− =

⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡

≤ =

=

= m

m i

T i i m

i i sys

f P M P u

P I I (4.50)

Ví dụ 9: Hệ thống gồm thành phần nối song song, đó: β1 = 3,57, β2 = 3,41, β3 = 4,24, β4 =

5,48 Xác định giới hạn xác suất hư hoại

( ) ( ) ( )

( ) ⎪⎪⎭

⎪ ⎪ ⎬ ⎫

= − Φ =

= − Φ =

= − Φ =

= − Φ =

− −

− −

8

4 ,

5

3 ,

4

2 ,

4

1 ,

10 1266 ,

10 1176 ,

10 2481 ,

10 7894 ,

β β β β

f f f

f

P P P

P

) ( )

(Qi Pf,sys P Qi P

∏ ≤ ≤

Giới hạn xác suất:

8 ,

20 2,1266.10

10 3779 ,

1 − ≤ Pf sys ≤ −

Giới hạn tương ứng số tin cậy: 23

, 48

,

5 ≤βsys ≤

9 XÁC ĐỊNH CÁC HỆ SỐ SỬ DỤNG TẢI (S) VÀ TRỞ LỰC (R) Mơ hình hóa tải S

Tải tổng quát Qi dùng phân tích độ tin cậy thể quan hệ:

Qi= Ai Bi Ci

trong Ai đại diện cho tải danh nghĩa, Bi đại lượng tính đến ảnh hưởng phương thức áp tải đến

kết cấu, Ci thành phần tính đến ảnh hưởng phương pháp tính gần đúng, cách mơ hình hóa Các đại

lượng đặc trưng có xuất xứ từ tải Qi tính sau:

C B A

Q μ μ μ

μ ≈

C B A

Q λ λ λ

λ ≈

( )2 ( )2 ( )2 2

C B A B C A A C B

Q μ μ σ μ μ σ μ μ σ

σ ≈ + +

2 2

C B A

Q V V V

V ≈ + +

Mơ hình hóa trở lực R

- Tính chất vật liệu: thiếu tính chắn độ bền vật liệu, giá trị mô đun đàn hồi, ứng suất giới hạn, thành phần hóa học

- Chế tạo vật liệu: khơng đảm bảo tính xác ch kích thước, hình dáng vật liệu, ảnh hưởng đến giá trị momen quán tính mặt cắt, mơ đun chống uốn

- Mơ hình hóa kết cấu, mơ hình hóa tải Mơ hình R phép tính độ tin cậy: R = RnMFP

trong M – thơng số phản ánh thay đổi độ bền vật liệu, F – biến phản ánh độ không chắn chế tạo vật liệu, P – hệ số tính đến ảnh hưởng qui trình phân tích, đánh giá

Trở lực danh nghĩa Rn thể cho kết cấu cụ thể, ví dụ kết cấu hệ khung, Rn

dầm thép mang dạng sau: Rn = Y.W

trong Y – ứng suất chảy vật liệu, Z – mô đun dẻo chống uốn Các đại lượng đặc trưng liên quan R:

P F M n

R R μ μ μ

μ =

P F M

R λ λ λ

λ =

2 2

P F M

R V V V

V ≈ + +

Dữ liệu thống kê đặc tính thép xây dựng trình bày bảng 4.5 Bảng 4.5

Kiểu kết cấu μP VP μM VM μF VF μR* VR

Chịu kéo, giới hạn chảy 1,0 1,05 0,10 1,0 0,05 1,05 0,11

Chịu kéo, giới hạn bền 1,0 1,10 0,10 1,0 0,05 1,10 0,11

Dầm liên tục 1,06 0,07 1,05 0,10 1,00 0,05 1,11 0,13

Dầm đàn hồi, ổn định ngang-xoắn

1,03 0,09 1,00 0,06 1,00 0,05 1,11 0,12 Dầm không đàn hồi, ổn

định ngang-xoắn

1,03 0,09 1,00 0,10 1,00 0,05 1,11 0,14

Cột 1,02 0,10 1,05 0,10 1,00 0,05 1,07 0,15

Khả chịu cắt dầm thép: Y

A VS

3

= ; λP = 1,02; VP = 0,07

trong A – diện tích mặt cắt ngang dầm λR = 0,106

9.1 Nguyên lý thiết kế ASD

Thiết kế theo ứng suất cho phép16 dùng thực tế biểu diễn biểu thức:

L Allow

Allow σ ησ

σ

σ ≤ ; = (4.51)

trong đó: σAllow - ứng suất cho phép

η - hệ số sử dụng

σL – ứng suất tiêu biểu, trường hợp trùng với ứng suất chảy σY

Phương pháp dùng ASD đánh giá tải cho phép đến chưa tháo gỡ khó khăn liên quan bất khả tín tải, tổ hợp tải vv…

Thủ tục LRFD – The Load and Resistance Factored Design

Tiêu chuẩn thiết kế theo LRFD phát biểu sau: độ bền danh nghĩa tính tốn lớn tổng tải danh nghĩa tính tốn, hiểu dạng công thức:

∑

≥ i ni

n Q

R γ

φ (4.53)

trong đó: hệ số tải hay hệ số bền (resistance factor) φ, ký hiệu γR, phản ánh độ bất khả tín (khơng

chắc chắn) thành phần kết cấu xác định kích thước, hình dáng, ứng suất cục bộ, ảnh hưởng kim loại gốc, ứng suất dư, qui trình chế tạo sản phẩm vv… Hệ số an tồn liên quan tải γi tính

đến độ bất khả tín tải Qi, phản ánh thiếu xác đánh giá cường độ tải áp đặt, tính

tốn ứng suất tải gây

Hình 4.15 Hình 4.16

Thủ tục nêu 4.4 tuân thủ công thức (4.53)

9.2 Thiết kế theo trạng thái giới hạn LSD

Thiết kế theo trạng thái giới hạn17 nhằm xem xét đánh giá điều kiện hư hoại kết cấu, khung cảnh khả chịu tải kết cấu giảm sút, tác động tải bên ngồi có chiều hướng tăng lên

Thiết kế LSD phát biểu khuôn khổ ASD LRFD Trong khuôn khổ ASD phương trình thiết kế diễn đạt biểu thức:

D

D S

R ≥η (4.54)

Hệ số an toàn η thể sau:

( S)

R S

B

B βσ σ

α

η = exp −2,33 (4.55)

trong đó:

η - hệ số an tồn (hệ số sử dụng)

α - hệ số tính đến ảnh hưởng qua lại tải động, tải thời hệ thống BS - đô lệch tải maximum

BR - độ lệch khả thành phần kết cấu

β - số an toàn hàng năm

σ - tổng bất khả tín (khơng chắn) S R σS - bất khả tín đánh giá tải lớn năm

Hệ số σ có dạng:

2

R

S σ

σ

σ = + (4.56)

9 Kiểm định độ tin cậy Xác suất đạt đích18

Phương pháp LRFD giúp vào việc kiểm tra độ tin cậy thành phần kết cấu thân tàu Chỉ số an toàn β tính tốn theo thuyết độ tin cậy, ví dụ phương pháp FORM không nhỏ số an tồn đích β0, thể điều kiện an tồn thiết kế:

β > β0

trong đó: β0 – số an tồn đạt đích

β - số an tồn xác định đường tính tốn

Hệ số an toàn riêng (Partial Safety Factor)

Hệ số an toàn riêng γi xác định từ biểu thức:

i i i

x x ~

*

=

γ

trong biến xi* xác định theo xi* =μXi +zi*σXi thỏa mãn g(x1*, x2*, , xn*) = 0,

i

x~ - giá trị thiết kế danh nghĩa biến Xi Thủ tục tính:

1 Xây dựng hàm trạng thái tham số tương thích cho biến ngẫu nhiên Xi, i=1,2,

,n

2 Chọn điểm thiết kế ban đầu {xi*}, gán giá trị n – biến Xi Giải phương trình trạng thái giới hạn g

= cho biến ngẫu nhiên lại Lưu ý để điểm chọn nằm đường giới hạn hư hoại Tính giá trị trung bình tương ứng e

Xi

μ phương sai chuẩn tương đương e Xi

σ Sử dụng vector {G} hỗ trợ sau:

{ }

⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫

⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =

n

G G G G

M

2

với

i i

Z g G

∂ ∂ −

= tính điểm thiết kế

5 Tính vector {α}:

{ } [ ]{ } { }G [ ]{ }G

G

T ρ

ρ α =

6 Xác định điểm thiết kế cho n – biến:

0

β αi

i

z* =

trong βđích độ tin cậy đạt đích phải tìm

7 Xác định xi:

Xi i Xi

i z

x* =μ + *σ

8 Giải phương trình g = xác định biến chưa đề cập, giả thiết ~xi =μXi

Xi i Xi

i Xi

Xi i Xi Xi i

i z V V

z

x α β

μ σ μ

μ

γ = * = + * =1+ * =1+

Từ :

Xi i

i Xi

V x

β α μ

+ =

1

*

9 Lặp bước đến { }α hội tụ 10 Sau hội tụ phép tính, sử dụng cơng thức

i i

i x

x ~

*

=

γ tính hệ số thiết kế

Ví dụ : Xác định hệ số an toàn riêng để trường hợp g = R – Q có số tin cậy đạt đích β0 = βđích = 3,0 Biết VR = 10%; VQ = 12%

Phương trình thiết kế viết dạng:

γRμR ≥ γQμQ φμR ≥ γQμQ

Những bước thực chu trình lặp: Xác định hàm trạng thái có

2 Chọn điểm thiết kế ban đầu r* = q* Với trường hợp μR = μQ

3 Bước không thực Tính vector {G}:

Q R

R R R

R V

R g

G1 σ =−σ =− μ =−0,1μ =−0,1μ ∂

∂ − =

điểmT.K

Q Q

Q Q

Q V

Q g

G2 σ =+σ =− μ =0,12μ ∂

∂ − =

điểmT.K

5 Tính vector {α}:

{ } [ ]{ }

{ } [ ]{ } ( ) ( ) ⎭⎬

⎫ ⎩

⎨ ⎧− = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩

⎨ ⎧− +

− = =

769 ,

641 , 12

,

1 , 12

,

,

1

2

Q Q Q

Q T

G G

G

μ μ μ

μ ρ

ρ α

6 Xác định điểm thiết kế mới:

31 , , 769 ,

* = = =

đich

β αQ

Q

z Tính q*:

( Q Q) Q Q

Q

Q z V

q* =μ*σ =μ 1+ * =1,28μ

8 Giải g = xác định r* = 1,28μQ

9 Đánh giá μR = f(μQ):

( ) Q

Q R

R R

V

r μ μ

β α

μ 1,58

10 , , 641 ,

28 ,

1 0

*

= −

= +

=

10 Thực tính lặp:

Bảng 4.6

Lần lặp

r* (khởi động) μQ 1,28μQ 1,22μQ

q* (khởi động) μQ 1,28μQ 1,22μQ

μR (khởi động) μQ 1,58μQ 1,60μQ

αR -0,641 -0,796 -0,800

αQ 0,769 0,605 0,600

r* (kết thúc) 1,28μ

Q 1,22μQ 1,22μQ

q* (kết thúc) 1,28μ

Q 1,22μQ 1,22μQ

μR (kết thúc) 1,58μQ 1,60μQ 1,60μQ

763 , 60

,

22 ,

*

= =

= ≡

Q Q R

R

r

μ μ μ

φ γ

22 , 22 ,

*

= =

=

Q Q Q

Q

q

μ μ μ

γ

Ví dụ : Phương trình trạng thái giới hạn dầm uốn gồm trở lực R, tải cố định, ví dụ trọng lượng thân dầm, ký hiệu D (dead load) tải biến động ký hiệu L (live load) có dạng:

g(R, D, L) = R – (D + L) = R – D – L

Phương trình thiết kế tương ứng với hàm nêu: φRn ≥ γDDn + γLLn

Trong Rn, Dn, Ln - giá trị danh nghĩa tải

R phục tùng luật logarit, D phục tùng luật tự nhiên, L phân bố cực trị

VR = 10%; λR = 1,10; VD = 10%; λD = 1,05; VL = 25%; λL = 1,0;

Xác định hệ số an toàn riêng để β = 3,0

Trong ba ẩn có hai số cân nhắc, tính tốn Ẩn thứ ba tìm điều kiện thỏa mãn giả thuyết μL/μD = const, giả sử = 3,0

Các bước tính toán theo thủ tục nêu Xác định hàm trạng thái có

2 Chọn điểm thiết kế ban đầu Giả sử d* = μD l* = μL = 3μD Từ g = xác định r* = 4μD, μR

= 4μD

3 Xác định thông số tương đương cho R L

R R* ≈r*V

σ

( ) ( )

[ R ]

R r r μ

μ* ≈ *1−ln * +ln Kết tính: σR* ≈r*VR =0,52μD

( ) ( )

[ R ] D

R r r μ μ

μ* ≈ *1−ln * +ln =4

D e

L μ

σ =0,7173

D e

L μ

μ =2,872 Tính {G}:

e R e

R

R g

G σ =−σ

∂ ∂ − =

điểmT.K

D D D

D V

D g

G σ =+σ = μ

∂ ∂ − =

điểmT.K

e L e

L

L g

G σ =+σ

∂ ∂ − =

điểmT.K

G1 = -0,52μD; G2 = 0,10μD; G3 = 0,717μD;

5 Tính vector {α}:

Các ma trận thành phần: [ ] { }

⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪

⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − − = ⎥

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =

D D D

G

μ μ μ ρ

717 ,

10 ,

52 , ;

1 0

0

0

Vector {α}: { } [ ]{ }

{ } [ ]{ } ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪

⎩ ⎪ ⎨ ⎧− = =

8045 ,

1122 ,

5832 ,

G G

G

T ρ

6 Xác định điểm thiết kế mới:

3366 , 0 , 1122 ,

* =α β = =

D D

z

414 , , 8045 ,

* =α β = =

L L

z

7 Tính điểm thiết kế :

( D D) D

D D D

D z z V

d* =μ + *σ =μ 1+ * =1,034μ

D D

D e

L L e

L z

l* =μ + *σ =2,872μ +2,414.0,7173μ =4,604μ Giải g = xác định r* = d* + l* = 5,637μD

9 ( ) D D

R R

R V

r μ μ

β α

μ 7,298

13 , , ) 5832 , (

637 ,

*

= −

+ = +

=

10 Thực tính lặp:

Bảng 4.7

Lần lặp

r* (khởi động) 4μ

D 5,638μD 6,683μD 6,908μD 6,921μD

d* (khởi động) μ

D 1,034μD 1,020μD 1,016μD 1,015μD

l* (khởi động) 3μ

D 4,604μD 5,663μD 5,892μD 5,906μD

μR (khởi động) 4μD 7,29μD 8,249μD 8,425μD 8,429μD

αR -0,5832 -0,4868 -0,4618 -0,4588 -0,4586

αD 0,1122 0,0664 0,0532 0,0511 0,0510

αL 0,8045 0,8710 0,8854 0,8871 0,8872

r* (kết thúc) 5,638μ

D 6,683μD 6,908μD 6,921μD 6,921μD

D* (kết thúc) 1,034μ

D 1,020μD 1,016μD 1,015μD 1,015μD

l* (kết thúc) 4,604μ

D 5,663μD 5,892μD 5,906μD 5,906μD

μR (kết thúc) 7,29μD 8,249μD 8,425μD 8,429μD 8,429μD

Kết tính:

9032 , 429

,

921 , 10 , /

* *

= ×

= =

=

D D R

R n

r R

r

μ μ λ

μ φ

066 , 015

, 05 ,

*

= =

=

D D D

D D

d

μ μ μ

λ γ

969 ,

906 , ,

*

= =

=

D D L

L L

l

μ μ μ

λ γ

10 THỦ TỤC PHÂN TÍCH ĐỘ TIN CẬY KẾT CẤU

Bước 1: Xác định đặc trưng kỹ thuật chức đối tượng

• Cấu hình đối tượng, kết cấu kích thước kết cấu • Điều kiện môi trường đối tượng hoạt động • Điều kiện khai thác đối tượng

Bước 2: Xây dựng hàm trạng thái giới hạn

Xây dựng hai nhóm phương trình trạng thái giới hạn: nhóm khai thác19 nhóm độ bền Mỗi nhóm phương trình bao gồm bốn mức khác trạng thái giới hạn

• Hàm trạng thái giới hạn làm hỏng kết cấu

• Hàm trạng thái giới hạn cho dầm cứng • Hàm trạng thái giới hạn cho ổn định vỏ

• Hàm trạng thái giới hạn mỏi kết cấu nhạy cảm

Bước 3: Xác lập đặc trưng thống kê cho biến ngẫu nhiên Bước 4: Chọn phương pháp tính độ tin cậy

Bước 5: Tính xác suất hư hoại cho dạng hỏng hóc đối tượng xem xét 11 ĐỘ BỀN THÂN TÀU

Thân tàu xét dầm có độ bền thân R, liên tục chịu tác động momen uốn dạng kết hợp S Độ bền thân tàu đánh giá qua mô đun chống uốn mặt cắt

1.1 Tải tính tốn

Momen uốn tàu xét ba trạng thái: nước tĩnh, sóng momen động Momen uốn tàu nước tĩnh xem xét theo cách hướng dẫn chương “Độ bền tàu” sách Momen uốn bổ sung sóng momen động chịu ảnh hưởng từ nhiều phía: đặc trưng hình học thân tàu, kết cấu thân tàu, vận tốc khai thác, hướng sóng, trạng thái biển vv… Các đại lượng thuộc tải tác động lên tàu biến ngẫu nhiên trước đưa vào mô hình tính độ bền thân tàu cần phải xử lý phương pháp tốn thích hợp, số có phương pháp thống kê, xác suất

1) Momen uốn tàu nước tĩnh MS

Momen MS tác động lên thân tàu phụ thuộc vào hiệu phân bố trọng lượng tàu thời

điểm khai thác với phân bố lực dọc tàu Giá trị momen uốn, lực cắt tàu tính theo cách coi giá trị danh nghĩa, tính khn khổ LRFD

2) Momen uốn sóng gây

Momen MW sónggây (wave-induced) xét biến ngẫu nhiên, phụ thuộc hồn tồn vào

đặc tính hình học thân tàu, vận tốc khai thác, chiều cao, chu kỳ, hướng tác động sóng biển, dịng chảy vv… Tính tốn RAO chuyển động tàu, RAO momen uốn lực cắt hoăc ứng suất tàu sóng thực khn khổ phương pháp phân tích phổ Momen MW tham gia vào tính tốn dạng đặc

tính đại lượng ngẫu nhiên, gắn kết với sóng biển qua hàm RAO 3) Momen động

Momen uốn động slamming /hoặc whipping giải phương pháp phân tích phổ 4) Kết hợp momen uốn sóng momen động

Phương pháp phân tích phổ dùng vào trường hợp xác định phổ momen uốn kết hợp, dự báo dài hạn cho momen uốn nảy sinh

11.2 Tổ hợp tải

1) Tổ hợp momen uốn nước tĩnh sóng

Momen giới hạn giới hạn bền thân tàu Mu xác định công thức:

Mu = MSW + kWDMWD

Hệ số liên quan kWD nhận đơn vị tính tàu biển 2) Tổ hợp momen uốn nước tĩnh, sóng momen động

Mu = MSW + kW(MW + kDMD)

Hệ số kD – hệ số tương quan momen uốn sóng momen động, tính riêng cho trường hợp

( ) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡

+

= −

LPP LPP

LPP

kD 0,2 0,3

2 , 14 158

53080 exp

Điều kiện sagging:

( ) ⎥

⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡

+

= −

LPP LPP

LPP

kD 0,2 0,3

2 , 14 158

21200 exp

trong LPP – thay ký hiệu LPP , đơn vị đo ft

Giá trị kD tính cho trường hợp hogging: 0,254 ÷ 0,706, trường hợp sagging: 0,58 ÷ 0,87 11.3 Trạng thái giới hạn momen uốn tàu

( W W D D D)

W SW SW u

MM γ M k γ M γ k M

φ ≥ + +

( W W D D D)

W SW SW y

McF Z γ M k γ M γ k M

φ ≥ + +

D D D W W SW SW u

MM γ M γ M γ k M

φ ≥ + +

D D D W W SW SW y

McF Z γ M γ M γ k M

φ ≥ + +

trong đó:

c – hệ số tính ảnh hưởng ổn định φM - hệ số bền momen uốn giới hạn

Fy - độ bền chảy danh nghĩa

kW, kWD, kD – giải thích

Z - mơ đun chống uốn thân tàu

11.4 Tính tốn hệ số an toàn riêng thân tàu

Căn momen giới hạn để xác định hệ số an toàn riêng thân tàu làm việc điều kiện bị momen uốn nước tĩnh, sóng momen động tác động

Hàm trạng thái giới hạn:

( D D D)

W SW SW U

MM M k M k M

g=φ −γ − γ +γ

Đặc tính xác suất biến ngẫu nhiên có mặt đánh giá bền thân tàu:

Các đại lượng đo đơn vị đo chiều dài gồm chiều dài tàu, chiều rộng, chiều cao tàu, mớn nước, chiều dày kết cấu vv… phục tùng phân bố tự nhiên (phân bố Gauss)

Các đại lượng vật lý:

Độ bền tàu vỏ thép thông thường Fy: giá trị trung bình 1,11Fy; COV = 0,07; phân bố lognormal

Độ bền tàu vỏ thép độ bền cao Fy: giá trị trung bình 1,22Fy; COV = 0,09; phân bố lognormal

Độ bền giới hạn Fu: giá trị trung bình 1,05Fu; COV = 0,05; phân bố tự nhiên

Mô đun đàn hồi E: giá trị trung bình 1,024E; COV = 0,05; phân bố tự nhiên Hệ số Poisson: ν = 0,3

Mô đun chống uốn Z: giá trị trung bình 1,04Z; COV = 0,05; phân bố tự nhiên Momen uốn trạng thái đàn hồi My = FyZy: COV = 0,15; phân bố lognormal

Momen uốn trạng thái dẻo MP = FyZP: COV = 0,18; phân bố lognormal

Các hệ số an toàn riêng cho hàm trạng thái giới hạn tính chọn theo hướng dẫn giành cho tàu biển, nêu Chỉ số xác suất đạt đích β0 =

Giá trị trung bình hệ số giản ước độ bền (φM) = 0,44

Giá trị trung bình hệ số tải tàu nước tĩnh (γSW) = 1,04

Giá trị trung bình hệ số tải tàu sóng (γW) = 1,22

Giá trị trung bình hệ số tải động (γD) = 1,0â5

Tỷ lệ thành phần momen uốn tàu:

35 , 25 ,

/ W = ÷

SW M

M

35 , 25 ,

/ W = ÷

D M

M

35 , , / W = ÷

WD M

M

Tỷ lệ giá trị trung bình giá trị danh nghĩa momen, COV momen: Tỷ lệ momen COV

Mu 1,1 0,15

MSW 1,0 0,15

MW 1,0 0,1 đến 0,2

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Chương

1 Finlayson, B.A., (1972), “The Method of Weighted Residuals and Variational Principles”, Academic Press, NY

2 Wallerstein D V., (2002), “A Variational Approach To Structural Analysis”, Wiley-Interscience, John Wiley & Sons Inc

Chương

1 Hoffman, J.D., (2001), “Numerical Methods for Engineers and Scientists”, 2nd edition, Marcel Dekker, Inc NY

2 Yang W.Y., Cao W., Morris J., (2005), “Applied Numerical Methods Using MATLAB”, Wiley-Interscience, John Wiley & Sons Inc

Chương

1 Hutton, D.V., (2004), “Fundamentals of Finite Element Analysis”, Mc GrawHill Higher Education, The Mc Graw Hill Inc., NY

2 Stolarski, T., Nakasone, Y., Yoshimoto, S., (2006), “Engineering Analysis with ANSYS Software”, Elsevier Butterworth Heinemann, London

3 Zienkievicz, O.C and Taylor, R.L., (2000), “The Finite Element Method, Vol 1, Vol 2”, 5th ed., Butterworth Heinemann, London

Chương

1 Ayyub, B.M , Beach, J., and Packard, T., (1995),“Methodology for the Development of Reliability-Based Design Criteria for Surface Ship Structures”, Naval Engineers Journal, ASNE

2 Mansour, A.E Jan, H.Y., Zigelman, C.I., Chen, Y.N., Harding, S.J.,(1984), “Implementation of Reliability Methods to Marine Structures”, Trans SNAME, Vol 92

3 Melchers, R.E., (2002), “Structural Reliability Analysis and Prediction”, John Wiley & Sons, New York, USA

4 Nowak, A.S and Collins K.R., (2000), “Reliability of Structures”, McGraw-Hill