Đây là bài tập lớn về cơ học vật liệu và kết cấu COMPOSITE ở lớp cao học xây dựng. Tùy mỗi bạn sẽ có các sơ đồ khác nhau được giao về làm tại nhà nộp lại cho giáo viên. Tài liệu ở dạng word nên rất tiện cho bạn nào có sơ đồ giống vậy để chỉnh sửa hoặc tham khảo.
Trang 1Tính toán tấm Composite
Số liệu đầu bài: I – B – 2 – b -
Cho tấm Composite có kích thớc và chịu tảI trọng nh hình vẽ:
Số liệu:
Tấm Composite hình chữ nhật gồm 6 lớp, có liên kết khớp trên biên Tấm cấu tạo lớp chữ thập đặt đối xứng (I): (0; 90; 0)đx Mỗi lớp là vật liệu trực hớng với bề dày các lớp (mm) theo thứ tự từ mặt trên đến mặt dới (B): 0,2; 0,3; 0,3; 0,3; 0,3; 0,2 Các hằng số đàn hồi theo các trục cấu tạo nh sau:
GPa
E1 120 ; E2 9GPa;12 0 , 3; G 8GPa
Yêu cầu:
- Xác định các ma trận độ cứng
- Tìm biểu thức tổng quát của độ võng, mômen trên tấm
- Tìm độ võng lớn nhất của tấm, lấy với một số hạng của chuỗi (m=n=1)
và lấy với ba số hạng của chuỗi (m=n=1; m=1, n=3; m=3, n=1)
- Vẽ biểu đồ mômen uốn trên mặt cắt x=a/2 khi lấy một số hạng của chuỗi (m=n=1)
- Vẽ biểu đồ ứng suất pháp theo chiều dày của tấm tại điểm x=a/2, y=b/2 khi lấy một số hạng của chuỗi (m=n=1)
Lời giải
I Xác định các ma trận độ cứng.
Tính hệ số Poisson 21 theo (2-19) [1]: 0 , 0225
120
9 3 , 0
1
2 12
E
E
1
Trang 21 Xác định ma trận độ cứng [Q] trong hệ trục chính vật liệu 12 theo (2-21) [1]:
GPa 82 , 120 0225 , 0 3 , 0 1
120
1 12 21
1
E Q
GPa 06 , 9 0225 , 0 3 , 0 1
9
1 12 21
2
E Q
GPa 72 , 2 0225 , 0 3 , 0 1
9 3 , 0
1 12 21
2 12 21
E Q
Q
GPa G
Q66 12 8
Vậy ma trận độ cứng [Q] tìm đợc là:
8 0 0
0 06 , 9 72 , 2
0 72 , 2 82 , 120
Q
2 Xác định các ma trận độ cứng trong hệ trục xy theo (2-27) [1]:
) (
) 2 2
(
) 2 (
) 2 (
) 2 (
) 2 (
) (
) 4 (
) 2 (
2
) 2 (
2
4 4 66 2 2 66 12
22 11 66
3 66 12
22 3
66 12
11 26
3 66 12
22 3 66 12
11 16
4 4 12 2 2 66 22
11 12
2 2 66 12
4 22 4 11 22
2 2 66 12
4 22 4 11 11
c s Q c s Q Q
Q Q Q
sc Q Q
Q c s Q Q
Q Q
c s Q Q
Q sc Q Q
Q Q
c s Q c s Q Q
Q Q
c s Q Q
c Q s Q Q
c s Q Q
s Q c Q Q
- Các lớp 0 0(lớp 1, 3, 4, 6): c cos 1; s sin 0
GPa Q
GPa Q
GPa Q
GPa Q
GPa Q
GPa Q
8 ) 1 0 (
8 1 0 ).
8 2 72 , 2 2 06 , 9 82 , 120 (
0 1 5 , 0 ).
8 2 72 , 2 06 , 9 ( 1 0 ).
8 2 72 , 2 82 , 120 (
0 1 0 ).
8 2 72 , 2 06 , 9 ( 1 0 ).
8 2 72 , 2 82 , 120 (
72 , 2 ) 1 0 (
72 , 2 1 0 ).
8 4 06 , 9 82 , 120 (
06 , 9 1 0 ).
8 2 72 , 2 (
2 1 06 , 9 0 82 , 120
82 , 120 1
0 ).
8 2 72 , 2 (
2 0 06 , 9 1 82 , 120
4 4 2
2 66
3 3
26
3 3
16
4 4 2
2 12
2 2 4
4 22
2 2 4
4 11
8 0 0
0 06 , 9 72 , 2
0 72 , 2 82 , 120
0
o
Q
- Các lớp 90 0(lớp 2, 5): c cos 0; s sin 1
2
Trang 3GPa Q
GPa Q
GPa Q
GPa Q
GPa Q
GPa Q
8 ) 0 1 (
8 0 1 ).
8 2 72 , 2 2 06 , 9 82 , 120 (
0 0 1 ).
8 2 72 , 2 06 , 9 ( 0 1 ).
8 2 72 , 2 82 , 120 (
0 0 1 ).
8 2 72 , 2 06 , 9 ( 0 1 ).
8 2 72 , 2 82 , 120 (
72 , 2 ) 0 1 (
72 , 2 0 1 ).
8 4 06 , 9 82 , 120 (
82 , 120 0
1 ).
8 2 72 , 2 (
2 0 06 , 9 1 82 , 120
06 , 9 0 1 ).
8 2 72 , 2 (
2 1 06 , 9 ) 0 (
82 , 120
4 4 2
2 66
3 3
26
3 3
16
4 4 2
2 12
2 2 4
4 22
2 2 4
4 11
8 0 0
0 82 , 120 72 , 2
0 72 , 2 06 , 9
90
o
Q
- Các khoảng cách tính toán đến mặt giới hạn các lớp là:
Lớp 1: zo = -0,8 mm, z1 = -0,6 mm;
Lớp 2: z1 = -0,6 mm, z2 = -0,3 mm;
Lớp 3: z2 = -0,3 mm, z3 = 0 mm;
Lớp 4: z3 = 0 mm, z4 = 0,3 mm;
Lớp 5: z4 = 0,3 mm, z5 = 0,6 mm;
Lớp 6: z5 = 0,6 mm, z6 = 0,8 mm
3 Xác định ma trận độ cứng màng [A]:
Các phần tử ma trận [A] đợc xác định theo công thức (4-32)[1]:
j j n
j
Q )
( A
1
MN/m ,
GPa.m
,
- , ,
,
.( 0 2 ) 9 , 06 ( 0 3 ) 120 , 82 ( 0 3 )] 10 3 126 26 10 3 126 26 82
,
120
.[
2
) z (z ) Q ( ) z (z ) Q ( ) z (z )
Q
(
) z (z ) Q ( ) z (z ) Q ( ) z (z )
Q
(
A
5 6 0 11 4
5 90 11 3
4 0
11
2 3 0 11 1
2 90 11 o
1 0
11
11
o o
o
o o
o
MN/m GPa.m
- , ,
,2 ) 120 , 82 ( 0 3 ) 9 , 06 ( 0 3 )] 10 3 81 , 55 10 3 81 , 55 0
.(
06
,
9
.[
2
) z (z ) Q ( ) z (z ) Q ( ) z (z )
Q
(
) z (z ) Q ( ) z (z ) Q ( ) z (z )
Q
(
A
5 6 0 22 4
5 90 22 3
4 0
22
2 3 0 22 1
2 90 22 o
1 0
22
22
o o
o
o o
o
MN/m GPa.m
- , ,
,
.( 0 2 ) 2 , 72 ( 0 3 ) 2 , 72 ( 0 3 )] 10 3 4 , 35 10 3 4 , 35 72
,
2
.[
2
) z (z ) Q ( ) z (z ) Q ( ) z (z )
Q
(
) z (z ) Q ( ) z (z ) Q ( ) z (z ) Q (
A
A
5 6 0 12 4
5 90 12 3
4 0
12
2 3 0 12 1
2 90 12 o
1 0 12 21
12
o o
o
o o
o
0 26
16 A
A
3
Trang 4MN/m GPa.m
- , , , ( 0 2 ) 8 ( 0 3 ) 8 ( 0 3 )] 10 3 12 , 80 10 3 12 , 80 8
.[
2
) z (z ) Q ( ) z (z ) Q ( ) z (z ) Q (
) z (z ) Q ( ) z (z ) Q ( ) z (z ) Q ( A
5 6 0 66 4
5 90 66 3
4 0 66
2 3 0 66 1
2 90 66 o
1 0 66 66
o o
o
o o
o
8 , 12 0
0
0 55 , 81 35 , 4
0 35 , 4 26 , 126
66 62 61
26 22 21
16 12 11
m MN A
A A
A A A
A A A A
4 Ma trận độ cứng uốn xoắn [D]:
Các phần tử ma trận [D] xác định theo công thức (4-34) [1]:
) (
) ( 3
1
1 3 1
n j
Q
Nm GPa.m
.
,
.
16 , 27 9
10
16
,
27
10 2 )]} ) 3 , 0 ( 0 [ 82 , 120 ] ) 6 , 0 ( ) 3 0 [(
06 , 9 ] ) 8 , 0 ( ) 6 , 0 [(
82 ,
120
{
3
1
)]
z (z ) Q ( ) z (z ) Q ( ) z (z )
Q
(
) z (z ) Q ( ) z (z ) Q ( ) z (z ) Q
[(
3
1
D
3
9 3
3 3
3 3
3
3 5 3 6 0 11 3
4 3 5 90 11 3
3 3 4 0
11
3 2 3 3 0 11 3
1 3 2 90 11 3
0 3 1 0 11
11
o o
o
o o
o
Nm GPa.m
.
- .
,
17 , 17 9
10
17
,
17
9 10 2 ]}
) 3 , 0 ( 0 [ 06 , 9 ] ) 6 , 0 ( ) 3 0 [(
82 , 120 ] ) 8 , 0 ( ) 6 , 0 [(
06
,
9
3
1
)]
z (z ) Q ( ) z (z ) Q ( ) z (z )
Q
(
) z (z ) Q ( ) z (z ) Q ( ) z (z ) Q
[(
3
1
D
3
3 3
3 3
3 3
3 5 3 6 0 22 3
4 3 5 90 22 3
3 3 4 0
22
3 2 3 3 0 22 3
1 3 2 90 22 3
0 3 1 0 22
22
o o
o
o o
o
Nm GPa.m
.
- .
,
93 , 0 9
10
93
,
0
9 10 2 ]}
) 3 , 0 ( 0 [ 72 , 2 ] ) 6 , 0 ( ) 3 0 [(
72 , 2 ] ) 8 , 0 ( ) 6 , 0 [(
72
,
2
3
1
)]
z (z ) Q ( ) z (z ) Q ( ) z (z )
Q
(
) z (z ) Q ( ) z (z ) Q ( ) z (z ) Q [(
3
1 D
D
3
3 3
3 3
3 3
3 5 3 6 0 12 3
4 3 5 90 12 3
3 3 4 0
12
3 2 3 3 0 12 3
1 3 2 90 12 3
0 3 1 0 12 21
12
o o
o
o o
o
D16 D26 0
Nm GPa.m
.
- .
,
73 , 2 9
10 73 , 2
9 10 2 ]}
) 3 , 0 ( 0 [ 8 ] ) 6 , 0 ( ) 3 0 [(
8 ] ) 8 , 0 ( ) 6 , 0 [(
8 3
1
)]
z (z ) Q ( ) z (z ) Q ( ) z (z ) Q (
) z (z ) Q ( ) z (z ) Q ( ) z (z ) Q [(
3
1 D
3
3 3
3 3
3 3
3 5 3 6 30 66 3
4 3 5 0 66 3
3 3 4 60 -66
3 2 3 3 60 -66 3
1 3 2 0 66 3
0 3 1 30 66 66
o o
o
o o
o
4
Trang 5Vậy ta có ma trận độ cứng uốn xoắn:
73 , 2 0 0
0 17 , 17 93 , 0
0 93 , 0 16 , 27
66 62 61
26 22 21
16 12 11
Nm D
D D
D D D
D D D D
5 Xác định ma trận độ cứng tơng tác màng uốn – xoắn [B]:
Do tấm cấu tạo đối xứng nên các phần tử Bik của ma trận [B] bằng không
Vậy: [B] = 0
II Biểu thức tổng quát của độ võng, mômen trên tấm
1 Biểu thức tổng quát độ võng:
- Do tấm có cấu tạo lớp đối xứng, chữ thập nên theo (4-42) [1] ta có phơng trình độ võng của tấm có dạng:
) 3 (
) , ( ) 2 ( 2 ) 2 (
0 ) ( ) 1 (
0 ) ( 4 4 22 2 2 4 66 12 4 4 11 2 0 2 22 2 0 2 66 0 2 66 0 2 2 0 2 66 2 0 2 11 y x p y w D y x w D D x w D y v A x v A y x u A y x v y u A x u A Tấm liên kết khớp bốn bên do đó hai phơng trình đầu (1) và (2) đợc thoả mãn khi chọn nghiệm u0 = 0 và v0 = 0 Nghiệm độ võng thoả mãn các điều kiện biên x = 0, x = a thì w = 0, Mx = 0 y = 0, y = b thì w = 0, My = 0 Chọn nghiệm độ võng có dạng nh sau: 1 1 sin sin , m n mn b y n a x m W y x w (4)
- Tải trọng cũng đợc triển khai theo chuỗi kép Fourier: 1 1 sin sin , m n mn b y n a x m p y x p (5)
Với các hệ số a b mn dxdy b y n a x m y x p ab p 0 0 sin sin , 4 Tại y= b/2, ta có: m n m b q dx a x m q n ab p a mn 1 cos 2 sin 4 sin 2 sin 4 0 Biểu thức
8 0 cos 1 2 sin 4 m b q m n m b q p mn (6)
5
nếu m,n chẵn nếu m,n lẻ
Trang 6- Tính các đạo hàm của hàm w:
b
y n a
x m W
a
m x
w
mn
m n
sin sin
5 , 3 ,
1 1 , 3 , 5 4
4 4 4
4
b
y n a
x m W
b
n y
w
mn
m n
sin sin
5 , 3 ,
1 1 , 3 , 5 4
4 4 4
4
b
y n a
x m W
b a
n m y
x
w
mn
m n
sin sin
1 , 3 , 5 1 , 3 , 5 2 2
4 2 2 2
2
4
- Thay vào phơng trình tìm W:
b
y n a
x m p
b
y n a
x m W
b
n D
b
y n a
x m W
b a
n m D
D b
y n a
x m W
a
m D
mn
m n mn
m n
mn
m n mn
m n
sin sin
sin
sin
sin sin
.
)
2 (
2 sin
sin
5 , 3 ,
1 1 , 3 , 5 5
,
3
,
1 1 , 3 , 5 4
4 4 22
3 ,
1 1 , 3 2 2
4 2 2 66
12 5
,
3
,
1 1 , 3 , 5 4
4 4 11
- Cân bằng các hệ số, ta tìm đợc Wmn :
4
4 22 2 2
2 2 66 12
4
4 1
)
2 (
2
b
n D b a
n m D D
a
m D
p
mn
4
4 22 2 2
2 2 66 12
4
4 1
4
2
2
1
8
b
n D b a
n m D D
a
m D m
b
q
W mn
Thay (7) vào (4) ta đợc phơng trình tổng quát của độ võng:
y n a
x m b
n D b a
n m D D
a
m D m
b
q y
x
w
.
2
2
1
.
8 )
,
(
4
4 22 2 2
2 2 66 12
4
4 1
4 5
, 3 ,
1 1 , 3 , 5
(8)
Viết gọn:
b
y n a
x m W
y x w
m n
mn
sin sin )
, (
5 , 3 ,
1 1 , 3 , 5
) 7 ( )
7
(9)
2 Phơng trình mômen uốn tổng quát trên tấm
Quan hệ ứng lực, biến dạng:
(10)
2
) 8
w
x
2 ) 8
w
y
y x
w
xy
2 )
8 ( 2
6
Trang 7III Tìm độ võng lớn nhất của tấm, lấy với một số hạng của chuỗi (m=n=1) và lấy với ba số hạng của chuỗi (m=n=1; m=1, n=3; m=3, n=1).
1 Tính với số hạng đầu tiên, m=1; n=1
Thay a=1,5m; b=1m ta có:
q
p11 8
5 4
4 2
2
2 2 4
4 4
11
53 , 3 1
1 17 , 17 1 5 , 1
1 1 ).
73 , 2 2 93 , 0 (
2 5
, 1
1 16 , 27
8
q q
- Độ võng lớn nhất của tấm tại điểm giữa tấm (x; y) = (a/2; b/2), ta có:
5
5.sin 2sin 2 3 , 53
53 , 3
) 2
,
2
(
q q
b a
w (11)
2 Tính với m=1, n=3:
4
4 2
2
2 2 4
4 4
13
181 1
3 17 , 17 1 5 , 1
3 1 ).
73 , 2 2 93 , 0 (
2 5
, 1
1 16 , 27 1 1
8
q q
- Độ võng lớn nhất của tấm tại điểm giữa tấm (x; y) = (a/2; b/2), ta có:
5 5
5 5
3 sin 2 sin 181 2 sin 2
sin 53
,
3
)
2
,
2
(
q q
q q
q b
a
(12)
3 Tính với m=3, n=1:
5 4
4 2
2
2 2 4
4 4
31
57 , 188 1
1 17 , 17 1 5 , 1
1 3 ).
73 , 2 2 93 , 0 (
2 5
, 1
3 16 , 27
.
1
.
3
8
q q
- Độ võng lớn nhất của tấm tại điểm giữa tấm (x; y) = (a/2; b/2), ta có:
5 5
5 5
3 sin 57 , 188 2 sin 2
sin 53
,
3
)
2
,
2
(
q q
q q
q b
a
(13)
IV Vẽ biểu đồ mômen uốn trên mặt cắt x=a/2 khi lấy một số hạng của chuỗi (m=n=1).
- Phơng trình độ võng của tấm theo Navie lấy số hạng đầu tiên (m=n=1):
b
y a
x q
y x
53 , 3 ) ,
(14)
- Các biến dạng uốn xoắn:
b
y a
x a
q x
w
x
53 ,
2 5 2
2
7
Trang 8
b
y a
x b
q y
w
y
53 ,
2 5 2
2
b
y a
x b
a
q y
x
w
xy
.
53 , 3
2 2
2 5
2
- Quan hệ ứng lực, biến dạng:
Thay giá trị vào, ta có:
b
y a
x b
a
y a
x b
y a
x a
q
M
M
M
xy
y
x
cos cos
53 , 3 2
sin sin 53 , 3
sin sin 53 , 3 73 , 2 0 0
0 17 , 17 93 , 0
0 93 , 0 16 , 27
3
2 3
2 3
b
y a
x q b
y a
x b
q a
q
sin sin 0 , 119 sin sin
53 , 3
93 , 0
53 , 3
16 , 27
2 3 2
(15)
b
y a
x q b
y a
x b
q a
q
sin sin 0 , 163 sin sin
53 , 3
17 , 17
53 , 3
93 , 0
2 3 2
(16)
b
y a
x b
y a
x b
a
q
cos cos 0 , 0167 cos cos
53 , 3
73 , 2
(17)
- Tại x=a/2, ta có:
b
y q
M x 0 , 119 sin ;
b
y q
M y 0 , 163 sin ; M xy 0
- Biểu đồ mômen uốn trên mặt cắt x = a/2:
Hình 1: Biểu đồ – M X Hình 2: Biểu đồ – M Y
V Vẽ biểu đồ ứng suất pháp theo chiều dày của tấm tại điểm x=a/2, y=b/2 khi lấy một số hạng của chuỗi (m=n=1).
- Quan hệ ứng suất, biến dạng đối với lớp thứ i trong toạ độ xy:
8
Trang 9
z
- Thay c¸c gi¸ trÞ vµo ph¬ng tr×nh, ta cã:
+ C¸c líp =00 (líp 1, 3, 4, 6):
z b
y a
x b
a q
z b
y a
x b
q
z b
y a
x a
q
xy
yy
xx
cos cos
53 , 3 2
sin sin 53 , 3
sin sin 53 , 3
8 0 0
0 06 , 9 72 , 2
0 72 , 2 82 , 120
3
2 3
2 3
b
y a
x q z
b
y a
x b
q a
q
xx sin sin 0 , 516 sin sin
53 , 3
72 , 2
53 , 3
82 , 120
2 3 2
3
b
y a
x q z
b
y a
x b
q a
q
yy sin sin 0 , 094 sin sin
53 , 3
06 , 9
53 , 3
72 , 2
2 3 2
3
b
y a
x q
z b
y a
x b
a
q
xy cos cos 0 , 098 cos cos
53 , 3
16
3
T¹i (x; y) = (a/2; b/2), ta cã:
xx 0 , 516 q.z; yy 0 , 094 q.z; xy 0
+ C¸c líp =900 (líp 2, 5):
z b
y a
x b
a q
z b
y a
x b
q
z b
y a
x a
q
xy
yy
xx
cos cos
53 , 3 2
sin sin 53 , 3
sin sin 53 , 3
8 0 0
0 82 , 128 72 , 2
0 72 , 2 06 , 9
3
2 3
2 3
b
y a
x q z
b
y a
x b
q a
q
xx sin sin 0 , 062 sin sin
53 , 3
72 , 2
53 , 3
06 , 9
2 3 2
3
b
y a
x q z
b
y a
x b
q a
q
yy sin sin 1 , 19 sin sin
53 , 3
82 , 128
53 , 3
72 , 2
2 3 2
3
b
y a
x q
z b
y a
x b
a
q
xy cos cos 0 , 098 cos cos
53 , 3
16
3
T¹i (x; y) = (a/2; b/2), ta cã:
xx 0 , 062 q.z; yy 1 , 19 q.z; xy 0
9
Trang 10- Từ kết quả trên, ta vẽ biểu đồ ứng suất pháp tại (x; y) = (a/2; b/2).
10
Trang 11Hình 4: Biểu đồ ứng suất pháp YY
11
Trang 12Bài 5b.
Cho tấm mỏng làm từ composite sợi có phơng hợp với trục x góc 300 Tấm chịu lực kéo dọc theo phơng x, phơng y nh trên hình vẽ Với tấm mỏng, có thể bỏ qua các ứng suất theo phơng z
Biết các hệ số đàn hồi trong hệ trục chính E1 = 100 GPa; E2 = E3 = 10GPa; 23 0 , 4; 13 12 0 , 2; G23 3GPa; G13 G12 4GPa Bề dày của tấm là 1,2cm
Yêu cầu: Tìm trị số lực tác động qX khi qY = 0, qXY = 0 và biết biến dạng dài tỷ đối của tấm theo phơng x là 10 4
XX
Bài giải:
- Tính hệ số Poisson 21 theo (2-19) [1]: 0 , 02
100
10 2 , 0
1
2 12
E
E
- Tính Qik theo (2-21) [1]:
GPa 4 , 100 02 , 0 2 , 0 1
100
1 12 21
1
E Q
GPa 04 , 10 02 , 0 2 , 0 1
10
1 12 21
2
E Q
GPa 008 , 2 02 , 0 2 , 0 1
10 2 , 0
1 12 21
2 12 21
Q Q
GPa G
Q66 12 4
- Tính Ui theo (2-31) [1]
Q Q Q Q GPa
8
1
66 12
22 11
Q Q GPa
2
1
22 11
Q Q Q Q GPa
8
1
66 12
22 11
Q Q Q Q GPa
8
1
66 12
22 11
12
