Đây là bài tập lớn môn cơ học vật rắn biến dạng. Nội dung của bài tập này xoay quanh các vấn đề sau: Tìm các ứng suất chính và các phương chính. Tìm biến dạng dựa vào ứng suất theo định luật Hooke Cho trước chuyển vị dùng công thức Cauchy để tìm biến dạng. Từ biến dạng đi tìm ứng suất theo định luật Hooke Xác định lực khối. Xác định luật bề mặt Bài toán phẳng trong hệ tọa độ vuông góc
Bài tập lớn môn cơ học vật rắn biến dạng GV: Phạm Tấn Hùng HV: Trần Nguyên Phơng MSHV: 1480813 Trang 1 Bi 1: Cho trng thỏi ng sut ti mt im nh bng 1: Bng 1: STT 2 ,/ x KN cm y z xy xz yz 09 -5 6 -7 3 -2 1 a. Hóy biu din trng thỏi ng sut ny lờn phõn t: Hỡnh 1 - Trng thỏi ng sut ca phõn t theo cỏc thụng s cho bng 1. b. Xỏc nh cỏc bt bin ca tenx ng sut: Tenx ng sut cú dng nh sau: 5 3 2 3 6 1 2 1 7 T Cỏc bt bin ca tenx ng sut c xỏc nh theo cụng thc sau: 2 1 5 6 7 6 / x y z I kN cm 222 2 2 2 2 2 ( 5)*6 6*( 7) ( 7)*( 5) 3 1 ( 2) 51 / x y y z z x xy yz zx I kN cm Bài tập lớn môn cơ học vật rắn biến dạng GV: Phạm Tấn Hùng HV: Trần Nguyên Phơng MSHV: 1480813 Trang 2 2 2 2 3 2 2 2 2 det( ) 2 ( ) ( 5)*6*( 7) 2*3*1*( 2) ( 5)*1 6*( 2) ( 7)*3 242 / x y z xy yz xz x yz y xz z xy IT kN cm c. Xỏc nh cỏc thnh phn ng sut chớnh: xỏc nh c cỏc thnh phn ca ng sut chớnh ta i gii phng trỡnh bc ba sau õy: 32 1 2 3 0I I I , vi l mt lng vụ hng. Thay cỏc bt bin ca tenx ng sut ó xỏc nh trong phn b trờn vo phng trỡnh bc ba ta c: 32 6 51 242 0 . Gii phng trỡnh bc ba ny ta c cỏc ng sut chớnh nh sau: 2 2 2 6.782 / 4.119 / 8.662 / I II III kN cm kN cm kN cm Ta cú tenx ng sut ca h trc chớnh nh sau: 6.782 0 0 0 4.119 0 0 0 8.662 T d. Xỏc nh cỏc phng chớnh: tỡm cỏc phng chớnh ta gii bi toỏn vect riờng: yx 2 2 2 0 1 x i xy xz y i yz zx zy z i l m n l m n Phng chớnh n 1 = (l 1 , m 1 , n 1 ) ng vi ng sut chớnh I = 6.782 kN/cm 2 : 1 1 1 2 2 2 1 1 1 5 6.782 3 2 3 6 6.782 1 0 2 1 7 6.782 1 l m n l m n Bài tập lớn môn cơ học vật rắn biến dạng GV: Phạm Tấn Hùng HV: Trần Nguyên Phơng MSHV: 1480813 Trang 3 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 11 11 2 2 2 1 1 1 1 11.782 3 2 3 0.782 1 0 2 1 13.782 1 11.782* 3* 2* 0 3* 0.782* 0 2* 13.782 0 1 4.026 0.147 1 l m n l m n l m n l m n l m n l m n ml nl l m n l 11 11 0.241 4.026 0.970 0.147 0.035 ml nl Vy phng chớnh n 1 = (0.241 ; 0.970 ; 0.035) v ' 11 nn Phng n 2 = (l 2 , m 2 , n 2 ) ng vi ng sut chớnh II = -4.119 kN/cm 2 : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 4.119 3 2 3 6 4.119 1 0 2 1 7 4.119 1 l m n l m n 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 22 2 2 2 2 2 2 2 0.881 3 2 3 10.119 1 0 2 1 2.881 1 0.881* 3* 2* 0 3* 10.119* 0 2* 2.881 0 1 4.540 3.498 1 0 l m n l m n l m n l m n l m n l m n lm nm l m n m 22 22 .172 4.540 0.781 3.498 0.602 lm nm Vy phng chớnh n 2 = (-0.781 ; 0.172 ; 0.602) v ' 22 nn Bài tập lớn môn cơ học vật rắn biến dạng GV: Phạm Tấn Hùng HV: Trần Nguyên Phơng MSHV: 1480813 Trang 4 Phng n 3 = (l 3 , m 3 , n 3 ) ng vi ng sut chớnh III = -8.662 kN/cm 2 : 3 3 3 2 2 2 3 3 3 5 8.662 3 2 3 6 8.662 1 0 2 1 7 8.662 1 l m n l m n 3 3 3 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 3 3 3 33 23 2 2 2 3 3 3 3 3.662 3 2 3 14.662 1 0 2 1 1.662 1 3.662* 3* 2* 0 3* 14.662* 0 2* 1.662 0 1 3.345 4.627 1 0.1 l m n l m n l m n l m n l m n l m n lm nm l m n m 33 33 73 3.345 0.579 4.627 0.800 lm nm Vy phng chớnh n 3 = (-0.579 ; 0.173 ; -0.800) v ' 33 nn e. Tớnh li cỏc bt bin theo cỏc thnh phn ng sut chớnh: 22 1 6.782 4.119 8.662 5.999 / 6 / I II III I kN cm kN cm 2 22 6.782*( 4.119) ( 4.119)*( 8.662) ( 8.662)*6.782 51.002 / 51 / I II II III III I I kN cm kN cm 22 3 6.782*( 4.119)*( 8.662) 241.973 / 242 / I II III I kN cm kN cm Qua kt qu tớnh toỏn cỏc bt bin theo cõu b v cõu e ta thy sai s khụng vt qua sai s cho phộp nờn kt qu tớnh toỏn ta cú th tm chp nhn c. Bài tập lớn môn cơ học vật rắn biến dạng GV: Phạm Tấn Hùng HV: Trần Nguyên Phơng MSHV: 1480813 Trang 5 f. Xỏc nh cỏc thnh phn bin dng(tenx bin dng), bit 42 0.3, 2.10 /E kN cm Tenx bin dng cú dng nh sau: 11 22 11 22 11 22 xx xy xz xx xy xz yx yy yz yx yy yz zx zy zz zx zy zz T Da vo nh lut Hooke xỏc nh cỏc thnh phn bin dng khi ta ó bit cỏc thnh phn ng sut: 4 4 11 ( ) 5 0.3*(6 7) 2.35*10 2*10 xx x y z E 4 4 11 ( ) 6 0.3*( 5 7) 4.8*10 2*10 yy y x z E 4 4 11 ( ) 7 0.3*( 5 6) 3.65*10 2*10 zz z x y E 4 4 1 1 1 1 2(1 ) (1 ) (1 0.3) 3 1.95*10 2 2 2 2*10 xy xy xy xy xy G E E 4 4 1 1 1 1 2(1 ) (1 ) (1 0.3) 1 0.65*10 2 2 2 2*10 yz yz yz yz yz G E E 4 4 1 1 1 1 2(1 ) (1 ) (1 0.3) ( 2) 1.3*10 2 2 2 2*10 xz xz xz xz xz G E E Vy tenx bin dng: 4 2.35 1.95 1.3 10 1.95 4.8 0.65 1.3 0.65 3.65 T Bài tập lớn môn cơ học vật rắn biến dạng GV: Phạm Tấn Hùng HV: Trần Nguyên Phơng MSHV: 1480813 Trang 6 Bi 2: Cho vt rn hỡnh tr cú kớch thc nh bng 2: Bng 2: STT Cỏc thnh phn chuyn v Hỡnh dng vt th 09 zx EJ M zyLxL E u )]()[( 2 2222 yz EJ M yxL E v )( )]([ 2 )( 222 zyx EJ M zxL E w 1. Vi cỏc thnh phn chuyn v cho trc, hóy dựng cụng thc Cauchy tỡm bin dng ca vt th chu lc: () x uM L x z x E EJ () y vM L x z y E EJ () z wM L x z z E EJ 1 1 1 0 2 2 2 xy xy vu yy x y E E 1 1 1 0 2 2 2 zx zx w u M M z x z x x z E EJ E EJ 1 1 1 1 ( 1) 2 2 2 2 yz yz w v M M M y y y y z EJ EJ EJ Bài tập lớn môn cơ học vật rắn biến dạng GV: Phạm Tấn Hùng HV: Trần Nguyên Phơng MSHV: 1480813 Trang 7 2. Vi bin dng va tỡm c, dựng nh lut Hooke tỡm cỏc thnh phn ng sut: gión n th tớch: ( ) ( ) ( ) ( )(1 2 ) ( ) 1 2 2(1 ) 2(1 ) 1 (L x) 1 2 (1 ) x y z MMM L x z L x z L x z E EJ E EJ E EJ M L x z E EJ E M E L x z E EJ EM z EJ 22 1 (L x) (1 )(1 2 ) 1 2 (1 ) (1 ) (L x) (1 ) (1 2 ) 2 (1 ) (1 2 ) E E M z EJ E ME z J 2 2 ( ) (L x) 2(1 ) (1 ) (1 ) 1 (L x) (1 ) x E M M G L x z z E EJ J M z J 2 2 ( ) ( ) 2(1 ) (1 ) (1 ) 1 () (1 ) y E M M G L x z L x z E EJ J M L x z J 2 2 ( ) ( ) 2(1 ) (1 ) (1 ) () (1 ) z E M M G L x z L x z E EJ J M L x z J Cỏc thnh phn ng sut: Bài tập lớn môn cơ học vật rắn biến dạng GV: Phạm Tấn Hùng HV: Trần Nguyên Phơng MSHV: 1480813 Trang 8 22 2 (1 ) 1 (L x) (L x) (1 ) (1 2 ) 2 (1 ) (1 2 ) (1 ) xx G E ME M zz JJ 22 2 (1 ) 1 (L x) ( ) (1 ) (1 2 ) 2 (1 ) (1 2 ) (1 ) yy G E ME M z L x z JJ 22 2 (1 ) (L x) ( ) (1 ) (1 2 ) 2 (1 ) (1 2 ) (1 ) zz G E ME M z L x z JJ 0 xy xy G 0 zx zx G ( 1) ( 1) 2(1 ) 2 (1 ) yz yz E M M G y y EJ J 3. Dựng cỏc phng trỡnh cõn bng, hóy tỡm lc khi tỏc dng lờn vt th: xỏc nh lc khi tỏc dng lờn vt th ta dựng phng trỡnh cõn bng tnh hc Navier-Cauchy: 0 0 0 yx x zx x xy y zy y yz xz z z f x y z f x y z f x y z 2 (1 ) (1 ) (1 2 ) (1 ) x E x 0 yx y , 0 zx z , 0 xy x , 0 y y , 0 zy z , 0 xz x ( 1) 2 (1 ) yz M yJ 2 2 (1 ) (1 2 ) (1 ) z ME M z J J Thay cỏc giỏ tr tớnh toỏn trờn vo phng trỡnh cõn bng tnh hc Navier- Cauchy ta c lc khi nh sau: Bài tập lớn môn cơ học vật rắn biến dạng GV: Phạm Tấn Hùng HV: Trần Nguyên Phơng MSHV: 1480813 Trang 9 2 2 (1 ) (1 ) (1 2 ) (1 ) 0 (1 ) 2 (1 ) (1 2 ) 2 (1 ) x y z E f f ME M f JJ 4. S dng iu kin biờn theo ng sut, xỏc nh lc b mt tỏc dng lờn tt c cỏc mt ca vt th: iu kin biờn theo ng sut: * * * x yx zx x xy y zy y xz yz z z l m n f l m n f l m n f Thay cỏc ng sut vo ta c: ** ** ** 00 0 0 x x x x y yz y y yz y yz z z yz z z l m n f l f l m n f m n f l m n f m n f a) Xột mt ỏy di tng ng vi n 1 = (1,0,0) * 22 * * (1 ) 1 (L x) (L x) (1 ) (1 2 ) 2 (1 ) (1 2 ) (1 ) 0 0 xx y z f E ME M zz JJ f f b) Xột mt ỏy trờn tng ng vi n 2 = (-1,0,0) * 22 * * (1 ) 1 (L x) (L x) (1 ) (1 2 ) 2 (1 ) (1 2 ) (1 ) 0 0 xx y z f E ME M zz JJ f f c) Xột mt hụng tng ng vi n 3 = (0, y/r, z/r) Bài tập lớn môn cơ học vật rắn biến dạng GV: Phạm Tấn Hùng HV: Trần Nguyên Phơng MSHV: 1480813 Trang 10 * * 22 * 2 22 0 (1 ) 1 (L x) ( ) (1 ) (1 2 ) 2 (1 ) (1 2 ) (1 ) ( 1) 2 (1 ) ( 1) 2 (1 ) (1 ) (L x) (1 ) (1 2 ) 2 (1 ) (1 2 ) (1 ) x y y yz z yz z f yz f rr E ME M y z L x z J J r M yz Jr yz f rr M y Jr E ME z J () Mz L x z Jr Bi 3: Cho thanh cú chiu di L chu lc nh hỡnh v. Cho hm ng sut Airy dng a thc. Hóy: STT Thanh chu lc Hm ng sut Airy 09 2 2 3 1 2 3 2 3 5 45 ,x y A x A x y A y A x y A y a. Tỡm liờn h gia cỏc h s trong a thc hm ng sut Airy l iu hũa: hm ng sut Airy ,xy l hm iu hũa thỡ ,xy phi tha phng trỡnh sau: 4 4 4 4 2 2 4 20 x x y y M: 4 4 4 45 4 2 2 4 0, 12 , 120A y A y x x y y [...].. .Bài tập lớn môn cơ học vật rắn biến dạng GV: Phạm Tấn Hùng Thay cỏc giỏ tr va tỡm c vo phng trỡnh trờn ta c: 4 4 4 2 2 2 4 0 x 4 x y y 0 2*12 A4 y 120 A5 y 0 A4 5 A5 0 b Xỏc nh cỏc thnh phn ng sut phỏp v ng sut... 0 x (2) Ti y = c cú y 0 2 A1 2 A2c 2 A4c3 q (3) c Ti x = L cú xy dy P 4 A2 Lc 4 A4 Lc3 P (4) c V phng trỡnh: A4 5 A5 0 (5) HV: Trần Nguyên Phơng MSHV: 1480813 Trang 11 Bài tập lớn môn cơ học vật rắn biến dạng GV: Phạm Tấn Hùng tỡm cỏc h s ca hm ng sut Airy ta phi gii h 5 phng trỡnh trờn: 2 A1 2 A2 c 2 A4c 3 0 (1) 2 A2 3 A4 c 0 (2) 3 2 A1 2 A2c 2 A4c q (3) 3 4 A2 Lc 4 A4