CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG

Trong mỗi hệ tọa độ, các đại lượng này được biểu diễn qua một số các giá trị gọi là thành phần của các đại lượng.. Quy luật biến đổi các thành phần tenxơ khi thay đổi hệ tọa độ mang tín

Chương 1

CƠ SỞ TOÁN HỌC

1.1 TENXƠ VÀ CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC (CHMTLT)

Các đại lượng vật lý, hình học… đặc trưng cho tính chất của môi trường liên tục có bản chất không phụ thuộc vào việc lựa chọn hệ tọa độ Trong mỗi hệ tọa độ, các đại lượng này được biểu diễn qua một số các giá trị gọi là thành phần của các đại lượng Khi thay đổi hệ trục tọa độ, các thành phần này thay đổi, song theo một quy tắc nhất định Những đại lượng trong CHMTLT có thành phần thay đổi theo quy luật được gọi

là tenxơ Như vậy, tenxơ như một đối tượng toán học, tồn tại độc lập với các hệ trục tọa độ

Các định luật vật lý của CHMTLT thường được biểu diễn bằng ngôn ngữ tenxơ, dưới

dạng các phương trình tenxơ Quy luật biến đổi các thành phần tenxơ khi thay đổi hệ

tọa độ mang tính tuyến tính và đồng nhất nên các phương trình tenxơ đã đúng trong

hệ tọa độ này thì cũng đúng trong hệ tọa độ khác

Sức mạnh của các phép tính tenxơ trong CHMTLT chính là ở tính bất biến của các hệ thức tenxơ đối với phép biến đổi tọa độ

Nếu phép biến đổi giới hạn chỉ ở những hệ tọa độ vuông góc thì tenxơ được gọi là

tenxơ đề các Tenxơ đề các sử dụng khá nhiều trong CHMTLT nên thuật ngữ “tenxơ”

trong giáo trình này được hiểu là “tenxơ đề các” nếu không có chú thích gì thêm

Tenxơ phân loại theo hạng hay cấp ứng với số thành phần của nó

Ví dụ: Trong không gian Ơclít ba chiều, chẳng hạn không gian vật lý thông thường, tenxơ hạng N có 3N thành phần

* Tenxơ hạng không: 30 = 1 thành phần

Tenxơ hạng không chỉ có một thành phần trong hệ tọa độ bất kỳ Đó là đại lượng

vô hướng (scalar)

a a’, song a = a’

1.2 VƠ HƯỚNG VÀ VÉCTƠ

1.2.1 Khái niệm

Vơ hướng: Các đại lượng vật lý chỉ cĩ độ lớn, như khối lượng, chiều dài, thời gian… (tenxơ hạng 0)

Ký hiệu: vơ hướng a, b, c (chữ thường, nét nghiêng)

Véctơ: Các đại lượng vật lý đặc trưng bởi trị số và hướng, như lực Fi, vận tốc vi, gia

tốc ai …

Ký hiệu: véctơ a ,,b c (chữ in đậm) hoặc a, , b c (chữ thường, cĩ gạch dưới)

Trị số véctơ a , ký hiệu là a hoặc a

Hai véctơ bằng nhau nếu cùng hướng và độ dài

Véctơ đơn vị: cĩ độ dài đơn vị, ký hiệu là ê hoặc iˆ

Véctơ âm so với véctơ đã cho là véctơ cĩ cùng mơđun nhưng hướng ngược lại

a+b

Hình 1.2 Các phép tính vector

Nhân véctơ với nghịch đảo môđun của nó sẽ nhận được véctơ đơn vị có cùng hướng:

b

b

Biểu diễn véctơ:

Trong hệ tọa độ trực giao đề các (hệ tọa độ thuận), bất cứ véctơ nào cũng được biểu

diễn ở dạng tổ hợp tuyến tính của ba véctơ khác không, không đồng phẳng cho trước

của hệ, gọi là véctơ cơ sở

Hệ véctơ cơ sở trực chuẩn: hệ véctơ đơn vị tạo nên tam diện thuận trong hệ tọa độ đề

các Ví dụ: ˆ,i ˆˆj , k - hệ véctơ cơ sở trực chuẩn như trên hình 1.3

Véctơ a bất kỳ được biểu diễn theo hệ cơ sở trực chuẩn như sau:



Giao hoán: a.b = b.a

Phân bố: a.(b+c) = a.b + b.c

v = v xiˆv yˆjv zkˆ Trong đó:

a.b =

2 / 1 2 2 2 2 / 1 2 2

z z y y x x

b b b a a a

b a b a b a

c trực giao với a và b sao cho a, b, c tạo thành hệ thuận

ˆi x ˆj = ˆk , ˆj x ˆk = ˆi , ˆk x ˆj = ˆi

ˆj x ˆi = -ˆk, ˆk x ˆj = - ˆi, ˆi x ˆk = - ˆj

Mĩc đơn ở biểu thức trên chỉ thứ tự nhân

Biểu thức: a x b.c cĩ nghĩa là (a x b).c ở đây khơng cần ngoặc đơn vì biểu thức này

chỉ cĩ ý nghĩa khi ta tính tích véctơ trước

z y x

z y x

c c c

b b b

a a a

Cĩ trị số bằng thể tích hình hộp xiên cĩ cạnh a, b, c Như vậy ở tích hỗn hợp, tích

véctơ và tích vơ hướng cĩ thể đổi chỗ cho nhau

Hình 1.8 Biểu diễn tích hỗn hợp

Xác định véctơ đơn vị trực giao với hai hướng cho trước: phải xác định ˆn vuông góc

1.3 KÝ HIỆU CHỈ SỐ VÀ BIỂU TƯỢNG

Thành phần tenxơ hạng bất kỳ có thể biểu diễn rỏ và gọn nhờ ký hiệu chỉ số

Ví dụ: a i , b j , T ij , ε ijk , R pq …

Chỉ số tự do (hoặc có nghĩa) là chỉ số gặp một lần trong biểu thức, có thể nhân các

giá trị từ 1, 2,…, n (n nguyên dương, xác định khoảng biến thiên của chỉ số)

Chỉ số tổng (hoặc câm) là chỉ số lặp lại hai lần trong biểu thức Chỉ số câm mất đi khi

tổng được thực hiện và có thể thay nó bằng bất kỳ chữ khác mà không thay đổi giá trị phần tử

Quy ước phép lấy tổng: Chỉ số lặp hai lần có nghĩa chỉ số này lấy tất cả các giá trị

trong khoảng biến thiên của chỉ số và mọi thành phần tương ứng với mỗi một giá trị của chỉ số được cộng lại

+ Tenxơ hạng nhất (các véctơ): a i , a i , a ij b j , F ikk , R p

+ Còn tenxơ hạng không (vô hướng) λ, ε kk

Trong không gian vật lý thông thường: véctơ a bất kỳ hoàn toàn được cho bởi ba thành phần ai (xem §1.2)

a a a

Tenxơ hạng 2 (điađic) A ij ( i,j = 1,2,3) có 9 thành phần:

Tổng quát, tenxơ hạng N trong không gian n chiều có nN thành phần

Ký hiệu chỉ số (hay biểu tượng Gibbs) thật thuận tiện để viết các hệ phương trình rút gọn

j i

,0

,1

δ 11 = δ 22 = δ 33 =1; δ 12 = δ 23 =δ 31 =δ 21 = δ 32 =δ 13 = 0

Ký hiệu hoán vịεijk (tenxơ hạng ba Levi-Chivit)

1 nếu i, j, k = 1, 2, 3 hoặc lập thành hoán vị chẵn từ 1, 2, 3

ε ijk = -1 nếu lập thành hoán vị lẻ từ 1, 2,3 (1.16)

0 nếu hai chỉ số bất kỳ bằng nhau

' 1

Theo định nghĩa của cosin chỉ phương (1.10) ta có:

Nói chung, a ij a ji (Xem Hình 1.9)

Biểu diễn véctơ đơn vị ˆi trong hệ tọa độ j '

i = δpq ank aml δkl = δnm

Suy ra:

akp akq = δpq và ank amk =δnm (1.22)

Đây là điều kiện trực giao của ma trận quay gồm 9 phương trình Ma trận chuyển đổi

hệ tọa độ [aij]– là ma trận quay trực giao

Phép biến đổi tuyến tính dạng (1.20) hay (1.21) chính là qui luật biến đổi thành phần

tenxơ đề các bậc nhất khi xoay hệ trục tọa độ

Theo quy tắc biến đổi véctơ (1.21) của ui’ vj’ ta có:

ui’vj' = ( api up ) ( aqj vq ) = api aqj up vq (1.23)

Mở rộng công thức (1.23), ta có qui tắc biến đổi tenxơ đề các bất kỳ hạng hai:

Tij’ = api aqj Tpq (1.24) Nhân (1.24) với aki alj, sử dụng điều kiện trực giao (1.22), thu được

Tij = aip ajq T’pq (1.25) Tổng quát hóa cho tenxơ đề các hạng N

Tenxơ đề các là đại lượng có các thành phần khi chuyển từ hệ tọa độ này sang hệ tọa

độ khác thì biến đổi theo qui luật (1.26) và (1.27)

x3 một góc 300

Lời giải:

x1’ x2’ x3’

x1 cos300 cos1200 cos900

x2 cos600 cos300 cos900

x3 cos900 cos900 cos00

02

32

1

02

12

02

32

1

02

12

2 =

344,1

232,2

1.4.2 Các phép tính tenxơ

Cộng tenxơ đềcác (tenxơ cùng hạng): Tổng hoặc hiệu hai tenxơ A và B cùng hạng là tenxơ T cùng hạng, mỗi thành phần của T là tổng hoặc hiệu hai thành phần tương ứng cùng chỉ số của hai tenxơ A và B

Aijk… ±Bijk… = Tijk… (1.28)

Tích vô hướng với tenxơ cho tenxơ mới cùng hạng

bi = λai hoặc b = a

Bij = λAij hoặc B = λA

Nhân tenxơ (nhân ngoài)

Tích ngoài của hai tenxơ hạng tùy ý là một tenxơ mới mà mỗi thành phần của nó được biểu diễn bằng tích có thể có của từng thành phần tenxơ này với từng thành phần tenxơ kia theo đúng thứ tự chỉ số Tổng hạng các tenxơ thành phần là hạng của tenxơ nhận được

6

64

4

32

Phép nhân trong: kết hợp đồng thời phép nhân ngoài và phép cuộn tenxơ

Ví dụ: tích vô hướng aibi hay a b

N N

A A

A

A A

A

A A

2 22

21

1 12

M A

A A

- Ma trận đơn vị I: nếu các phần tử trên đường chéo bằng đơn vị

1

01

21

13 12

11 3

A A

21

13 12

11 3 2

B B

B

B B

B

13 13 11

11 3 2 3 2

3

2

B A B

A

B A B

A B

13 11

3

2

kA kA

kA kA

Quy tắc: tổng lấy từ 1 đến P cho chỉ số câm (chỉ số lặp).

1.5.3 Định thức ma trận vuông

Ký hiệu: A hay det [A ij ij ]

Định thức con của phần tử Aij: ký hiệu Mij là định thức còn lại của ma trận vuông [Aij] sau khi loại bỏ hàng và cột chứa Aij

Phần phụ đại số:

1

*det (i là hàng bất kỳ , không lấy tổng theo i)

  



 N

i ij ij

A

1

*det (j là cột bất kỳ , không lấy tổng theo j) (1.38)

det [[Aij] [Bjk]]= det [Aij]det [Bjk] (1.40) + Ma trận suy biến: [Aij] suy biến nếu A = 0 ij

+ Định thức ma trận vuông [Tij] có thể biểu diễn bằng chỉ số theo nhiều cách:

det [Tij]= ijk T

i1 Tj2 Tk3 (1.41) =ijk T

1i T2j T3k (1.42) ijk det [T

ij] = lmn Tli Tmj Tnk (1.43)

= lmn T

il Tjm Tkn (1.44) det [Tij] = 1/6 ijk lmn T

li Tmj Tnk (1.45) = 1/6 ijk lmn Til Tjm Tkn (1.46) + Ma trận liên hợp: thu được bằng cách thay mỗi phần tử bằng phần phụ đại số sau đó đổi hàng và cột

+ Ma trận nghịch đảo: Nếu ma trận vuông [Aij] không suy biến thì sẽ tồn tại ma trận

nghịch đảo [Aij]-1, xác định như sau:

[Aij]-1[Aij] = [Aij][Aij]-1= I (ma trận đơn vị)

1.6 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH & BÀI TOÁN TRỊ RIÊNG

n n

b x x

b x x

1 1

1 11

 (1.48)

n x n

) (

]

 hay σij xj = bi

bi, σij - những số hạng đã biết, xi - ẩn số

Nếu    b i  0 hệ được gọi là thuần nhất

Nếu    b i  0 hệ được gọi là không thuần nhất

Nghiệm hệ phương trình (1.48)    1 )

j ij

i i

Có 4 trường hợp:

Trường hợp 1: det [σij]#0, {bi } # 0

Nghiệm duy nhất và không tầm thường

Trường hợp 2: det [σij]#0, {bi } =0

Nghiệm duy nhất và là nghiệm tầm thường

Trường hợp 3: det [σij]=0, {bi } =0

Có vô số nghiệm Các phương trình của hệ phụ thuộc tuyến tính Đây là trường hợp có liên quan tới bài toán trị riêng

Trường hợp 4: det [σij]=0, {bi } # 0

Tồn tại vô số nghiệm, nếu mọi Δi trong (6.2) bằng 0 Nếu không sẽ không

có nghiệm

121][

6

72

82

3 2 1

3 2 1

3 2 1

ij A

x x x

x x x

x x x

Tìm nghiệm bằng hai cách:

?][

][

][]

[)

A adj

A

A adj A

i

* Ma trận phần phụ đại số C:

311

101

110

a C

101

110

T C adjA

101

110]

ij A

678

311

101

1101

j ij

11

1]det[

,1116

117

128

:)

(

1 1

Cramer

ii

31

3]det[

,3611

712

821

21

2]det[

,2161

172

181

3 3 3

2 2 2

A x

000

311

101

110

0,

0]det[

1

j ij

i

j ij

b A

112

121

02

2 1

3 2 1

3 2 1

x x x

x x x

không phụ thuộc tuyến tính

Nếu không, hệ phương trình sẽ vô nghiệm

233

)(2

2

)(1

2

3 2 1

3 2 1

3 2 1

c x

x x

b x

x x

a x

x x

(σij - λδij) xj = 0 (1.51b) Với λ là một số, δij – ký hiệu Kronecker

(1.51a) hay (1.51b) sẽ có nghiệp không tầm thường nếu phương trình:

Det[σij - λδij] = 0 (1.52)

là phương trình đa thức bậc n đối với λ

Bài toán biểu thị dẫn đến phương trình dạng (1.51) được gọi là bài toán trị riêng + Phương trình đa thức bậc n (1.52) được gọi là phương trình đặc trưng, nghiệm của nó được gọi là trị riêng của ma trận [σij]

+ Ứng với mỗi trị riêng có một nghiệm {xj}#0, tức là nghiệm không tầm thường của (1.51), được gọi là vectơ riêng hay vectơ đặc trưng

+ λk là trị riêng Khi đó, theo (1.51)

[σij] {xj (k)}= λk {xj (k)} 

k

)( , không lấy tổng theo k (1.53a)

hay σij xj (k)= λk xj (k) 

k

)

Các phương trình (1.53a) là phụ thuộc tuyến tính, cho nên các véc tơ riêng

x1(k), x2(k), … , xn(k) không xác định được một cách tường minh mà được xác định dưới dạng thừa số của một các vec tơ trên, chẳng hạn xl(k) và phải khác 0

Có thể chứng minh tính chất sau:

Ma trận đối xứng thực có trị riêng thực và các vectơ riêng trực giao

) 2 ( 3 ) 2 ( 2 ) 2 ( 1

) 1 ( 3 ) 1 ( 2 ) 1 ( 1

ˆˆˆ

ˆˆˆ

ˆˆˆ

x x x

x x x

x x x

(1) (1) 1 (2) (2) 2 (3) (3) 3

k j

00

00

3 2 1

b



  (1.67) Như vậy, phương trình (1.48) có thể tách ra bằng phép biến đổi (1.64a)

Ta gọi y là tọa độ chuẩn, x - tọa độ suy rộng

(i)Với V xác định theo (1.68): Ma trận thực, đối xứng [σij] và dạng toàn phương

(1.68) được xem là xác định dương nếu V>0 với mọi {σxi} thực #{0}

Điều kiện cần và đủ để [σij] và V xác định dương là (theo Frazer, Duncan và Collar, 1938):

σ3- I1σ2 + I2σ -I3 = 0 (1.73) Với

1 (4 )

3

I b

1 3 1

I b

1 2

1 3

2

b a

Ứng với mỗi điểm x của không gian và mỗi thời điểm thời gian t, tenxơ T (x,t)

có một giá trị Tập hợp mọi giá trị tạo thành trường tenxơ: (x,t) (T (x,t)

Bán kính véctơ x (hay xi) biến đổi trong miền đã cho của không gian,

t thay đổi trong khoảng thời gian đã cho

Trường tenxơ liên tục (hay khả vi) nếu thành phần của trường là liên tục (khả vi)

Nếu các thành phần là hàm số chỉ phụ thuộc vào x thì trường tenxơ được gọi là dừng

Trong hệ tọa độ đề các trực giao, bán kính véctơ của điểm bất kỳ được biểu diễn:

x = xi ˆii

Các trường tenxơ có hạng khác nhau có thể viết dưới dạng chỉ số và biểu tượng:

 Trường vô hướng = (xi , t) hay = (x,t )

 Trường véctơ vi = vi(xi , t) hay v = v(x,t)

 Trường tenxơ hạng 2 Tij = Tij(xk , t) hay T = T(x,t)

1.7.2 Vi phân trường tenxơ

Vi phân các thành phần tenxơ theo tọa độ xi được ký hiệu bằng toán tử vi phân

()aa

()()

x

j j

'

' ' (1.80)

Có thể dùng ký hiệu nabla (để viết toán tử này dưới dạng tenxơ:

vvx



k j i

2vxx

Txx

 grad  = = i

i

iˆx

kˆjˆiˆ

1.7.4 Các định lý trong trường tenxơ

1.7.4.1 Định lý phân kỳ Gauss chuyển từ tích phân khối sang tích phân mặt

Công thức thường dùng của định lý: đối với trường véctơ v = v(x),



V

div v 

S.nˆ

dV v dS (1.82)

Với ˆn là véctơ đơn vị pháp tuyến ngoài của mặt S giới hạn thể tích V mà trong đó v

được xác định Công thức được viết dưới dạng chỉ số:

S – miền phẳng kín giới hạn bởi chu tuyến kín C (không tự cắt chính nó) trên mặt

phẳng x1, x2 Cho hàm M(x1,x2), N(x1, x2) liên tục và có đạo hàm liên tục trong miền

2

x

Mx

NNdx

Mdx (1.85)

Có thể tổng quát hóa định lý trên thành định lý Xtốc (n =3)

1.7.4.3 Định lý Xtốc

Đối với mọi hàm F = Fi ˆii liên tục và khả vi, tích phân của hàm F dọc theo chu tuyến

kín C có thể chuyển sang tích phân theo mặt S có biên là chu tuyến C (xem hình vẽ):

Hình 1.13 Đường cong khơng gian

Trong khơng gian vật lý thơng thường, cho bán kính véctơ x là hàm của vơ hướng u:

xi = xi(u) với u - thơng số Điểm cuối xi vẽ nên một đường cong khơng gian khi thơng

FxF

)x,ncos(

x

Fx

Fx

,ncosx

Fx

FdS

(rotF)dx

F

3 2

1 1 2

2 1

3 3

1 1

3

2 2 3

S

n C

Hình 1.12 Mặt S và biên là đường cong C

dxi là vận tốc vi điểm cuối xi vạch nên đường cong

 Tương tự 2i

2 idt

xddt

 - gia tốc của điểm x

 Nếu u  s (chiều dài cung đo từ một điểm cố định trên đường cong) thì

i

i Tds

dx  - véctơ tiếp tuyến đơn vị với đường cong Nếu Ni và Bi là véctơ pháp tuyến và phó pháp tuyến chính đơn vị (như hình vẽ)

i

i i i

KTτBdS

dN

τNdS

dB,KNdS

1.8.2 Các phương trình đường thẳng và mặt

 Phương trình thơng số để điểm (x1, x2, x3) nằm trên đường thẳng nối

(y1, y2, y3) và (z1, z2, z3) (Xem Hình 1.15 a)

3 3

3 3 2 2

2 2 1 1

1 1

y z

y x y z

y x y z

y x

















(1.89) Trên (Hình 1.15b) biểu diễn véctơ vị trí xi nối yi và z với tọa độ:

xi = zi - yi (1.90)

3 3 yi

yi

xi zi

0 zi 0

2

2

xi

 Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm khơng thẳng hàng (α1, α2, α3), (β1, β2, β3) và (γ1, γ2, γ3): ax1+ bx2 + cx3 +1 = 0 (1.91) Với a, b, c thu được từ điều kiện cả ba điểm trên cùng nằm trên một mặt phẳng: 0 α γ α γ α γ α β α β α β α x α x α x 3 3 2 2 1 1 3 3 2 2 1 1 3 3 2 2 1 1           (1.92)

yi xi zi - xi zi 2 0

1

Hình 1.16 Mặt phẳng chứa ba điểm khơng thẳng hàng

(y 1 ,y 2 ,y 3 )

(x 1 ,x 2 ,x 3 ) (z 1 ,z 2 ,z 3 )

z i - y i

Hình 1.15 Biểu diễn đường thẳng

(b) (a)