Vậy nên nhóm toán chúng tôi xây dựng chuyên đề này ngoài mục đích giúp học sinh nâng cao kiến thức còn giúp các em làm quen với một số dạng toán có trong đề thi vào lớp 10 trung học p[r]
(1)A MỞ ĐẦU
Trong vài năm trở lại đề thi vào lớp 10 trung học phổ thơng , tốn phương trình bậc hai có sử dụng tới hệ thức Vi- Et xuất hiện phổ biến Trong nội dung thời lượng phần sách giáo khoa lại ít, lượng tập chưa đa dạng
Ta thấy để giải tốn có liên qua đến hệ thức Vi – Et, học sinh cần tích hợp nhiều kiến thức đại số , thơng qua học sinh có cách nhìn tổng qt hai nghiệm phương trình bậc hai với hệ số
Vậy nên nhóm tốn chúng tơi xây dựng chun đề ngồi mục đích giúp học sinh nâng cao kiến thức giúp em làm quen với số dạng tốn có trong đề thi vào lớp 10 trung học phổ thông
Nội dung chuyên đề gồm :
I. Ứng dụng
II. Ứng dụng III. Ứng dụng IV. Ứng dụng V. Ứng dụng VI. Ứng dụng VII. Ứng dụng VIII. Ứng dụng
Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai ẩn Lập phương trình bậc hai
Tìm hai số biết tổng tích chúng
Tính giá trị biểu thức nghiệm phương trình
Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình cho hai nghiệm khơng phụ thuộc vào tham số
Tìm giá trị tham số phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm
Xác định dấu nghiệm phương trình bậc hai
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức nghiệm
B NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ :
ỨNG DỤNG CỦA HỆ THỨC VI-ÉT TRONG GIẢI TOÁN
Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a≠0) (*) Có hai nghiệm 1
2 b x
a − − ∆
= ; 2
2 b x
a − + ∆ =
Suy ra: 1 2
2
b b b b
x x
a a a
− − ∆ − + ∆ − −
+ = = =
2
1 2 2
( )( )
4 4
b b b ac c
x x
a a a a
− − ∆ − + ∆ − ∆
= = = =
(2)- Tích nghiệm P : P = x x1 2 c a =
Như ta thấy hai nghiệm phương trình (*) có liên quan chặt chẽ với hệ số a, b, c Đây nội dung Định lí VI-ÉT, sau ta tìm hiểu sốứng dụng định lí giải
tốn
I NHẨM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH : 1 Dạng đặc biệt:
Xét phương trình (*) ta thấy :
a) Nếu cho x = ta có (*) a.12 + b.1 + c = a + b + c =
Như vây phương trình có nghiệm x1=1 nghiệm cịn lại x2 c a = b) Nếu cho x = −1 ta có (*) a.(−1)2 + b(−1) + c = a − b + c =
Như phương trình có nghiệm x1= −1 nghiệm lại x2 c a − = Ví dụ: Dùng hệ thức VI-ÉT để nhẩm nghiệm phương trình sau:
1) 2 5 3 0
x + x+ = (1) 2) 3x2+8x−11 0= (2) Ta thấy :
Phương trình (1) có dạng a − b + c = nên có nghiệm x1= −1 2 x =−
Phương trình (2) có dạng a + b + c = nên có nghiệm x1 =1 2 11 x = −
Bài tập áp dụng: Hãy tìm nhanh nghiệm phương trình sau:
1 35 37 2 0
x − x+ = 7x2+500x−507 0= 49 50 0
x − x− = 4321x2+21x−4300 0=
2 Cho phương trình , có hệ số chưa biết, cho trước nghiệmtìm nghiệm cịn lại hệ số của phương trình :
Vídụ: a) Phương trình x2−2px+5 0= Có nghiệm 2, tìm p nghiệm thứ hai
b) Phương trình x2+5x+q=0 có nghiệm 5, tìm q nghiệm thứ hai
c) Cho phương trình : x2−7x+q=0, biết hiệu nghiệm 11 Tìm q hai nghiệm
phương trình
d) Tìm q hai nghiệm phương trình : x2−qx+50 0= , biết phương trình có nghiệm có
một nghiệm lần nghiệm Bài giải:
a) Thay x1=2 v phương trình ban đầu ta :
1 4
4
p p
− + = ⇒ = T x x1 2 =5 suy 2
1 5
2 x
x = =
b) Thay x1 =5 v phương trình ban đầu ta
25 25+ +q=0⇒ = −q 50 T x x1 2 = −50 suy 2
1
50 50 10
x x
− −
(3)c) Vì vai trị x1 x2 bình đẳng nên theo đề giả sử x1−x2 =11 theo VI-ÉT ta có x1+x2 =7, ta giải hệ sau:
1 2
11
7
x x x
x x x
− = =
⇔
+ = = −
Suy q=x x1 2 = −18
d) Vì vai trị x1 x2 bình đẳng nên theo đề giả sử x1=2x2 theo VI-ÉT ta có x x1 2 =50 Suy
2
2 2
2
2
5
2 50
5
x
x x
x
= −
= ⇔ = ⇔
=
Với x2 = −5 th ì x1 = −10 Với x2 =5 th ì x1=10
II LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
1 Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm x x 1; 2
Ví dụ : Cho x1 =3; x2 =2 lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm
Theo hệ thức VI-ÉT ta có
1
5
S x x P x x
= + =
= =
x x1; 2là nghiệm phương trình có dạng:
2 0 5 6 0
x −Sx+P= ⇔x − x+ =
Bài tập áp dụng:
1 x1 = vµ x2 = -3
2 x1 = 3a vµ x2 = a
3 x1 = 36 vµ x2 = -104
4 x1 = 1+ vµ x2 = 1−
2 Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai nghiệm phương trình cho trước:
V í dụ: Cho phương trình : x2 −3x+2 0= có nghiệm phân biệt x x1; 2 Khơng giải phương trình trên,
lập phương trình bậc có ẩn y thoả mãn : 1 2
1 y x
x
= + 2 1 y x
x = +
Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó:
1
1 2 1 2
1 2
1 1
( ) ( )
2
x x
S y y x x x x x x
x x x x x x
+
= + = + + + = + + + = + + = + =
1 2 1
1 2
1 1
( )( ) 1 1
2
P y y x x x x
x x x x
= = + + = + + + = + + + =
Vậy phương trình cần lập có dạng: y2−Sy+P=0
hay 9 0 2 9 9 0
2
y − y+ = ⇔ y − y+ =
Bài tập áp dụng:
1/ Cho phương trình 3x2+5x−6 0= có nghiệm phân biệt x x1; 2 Khơng giải phương trình, Hãy lập
phương trình bậc hai có nghiệm 1 1
2 y x
x
= + 2 2 1 y x
x = +
(Đáp số:
6
(4)2/ Cho phương trình : x2 −5x− =1 có nghiệm x x1; 2 Hãy lập phương trình bậc có ẩn y thoả mãn
4 1
y =x y2 =x24 (có nghiệm luỹ thừa bậc nghiệm phương trình cho)
(Đáp số : y2−727y+ =1 0)
3/ Cho phương trình bậc hai: x2−2x−m2 =0 có nghiệm x x1; 2 Hãy lập phương trình bậc hai có
các nghiệm y y1; 2 cho :
a) y1=x1−3 y2 =x2−3 b) y1=2x1−1 y2 =2x2−1 (Đáp số a) y2−4y+ −3 m2 =0 b) y2−2y−(4m2 −3) 0= )
III TÌM HAI SỐ BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG
Nếu hai số có Tổng S Tích P hai sốđó hai nghiệm phương trình :
2 0
x −Sx+P= (điều kiện để có hai sốđó S2 − 4P ≥ )
Ví dụ : Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = −3 tích P = ab = −4
Vì a + b = −3 ab = −4 n ên a, b nghiệm phương trình : x2 +3x−4 0= giải phương trình ta x =1 x = −2
Vậy a = b = −4
nếu a = −4 b =
Bài tập áp dụng: Tìm số a b biết Tổng S Tích P
1 S = P = 2 S = −3 P =
3 S = P = 20 S = 2x P = x2 − y2 Bài tập nâng cao: Tìm số a b biết
1 a + b = a2 + b2 = 41 a −b = ab = 36
3 a2 + b2 = 61 v ab = 30
Hướng dẫn: 1) Theo đề biết tổng hai số a b , để áp dụng hệ thức VI- ÉT cần tìm tích
của a v b
T ( ) ( )
2
2 2 2 81
9 81 81 20
2
a b
a b+ = ⇒ a b+ = ⇔a + ab b+ = ⇔ab= − + = Suy : a, b nghiệm phương trình có dạng :
2
4
9 20
5
x
x x
x
=
− + = ⇔
=
Vậy: Nếu a = b =
nếu a = b =
2) Đã biết tích: ab = 36 cần tìm tổng : a + b
Cách 1: Đặt c = −b ta có : a + c = a.c = −36
Suy a,c nghiệm phương trình :
2
4 36
9
x
x x
x
= −
− − = ⇔
=
Do a = −4 c = nên b = −9
nếu a = c = −4 nên b =
Cách 2: Từ (a b− )2 =(a+b)2−4ab⇒(a b+ )2 =(a b− )2+4ab=169
( )2 132 13
13 a b a b
a b + = −
⇒ + = ⇒
(5)*) Với a+b= −13 ab = 36, nên a, b nghiệm phương trình :
2
4
13 36
9
x
x x
x
= −
+ + = ⇔
= −
Vậy a = 4− b = 9−
*) Với a+b=13 ab = 36, nên a, b nghiệm phương trình :
2
4 13 36
9
x
x x
x
=
− + = ⇔
=
Vậy a = b =
3) Đã biết ab = 30, cần tìm a + b:
T ừ: a2 + b2 = 61 ⇒(a b+ )2 =a2+b2+2ab=61 2.30 121 11+ = = 11 11 a b a b
+ = −
⇒ + =
*) Nếu a+b= −11 ab = 30 a, b hai nghiệm phương trình:
2
5 11 30
6
x
x x
x
= −
+ + = ⇔
= −
Vậy a = 5− b = 6− ; a = 6− b = 5−
*) Nếu a+b=11 ab = 30 a, b hai nghiệm phương trình :
2
5 11 30
6
x
x x
x
=
− + = ⇔
=
Vậy a = b = ; a = b =
IV TÍNH GIÁ TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC NGHIỆM
Đối toán dạng điều quan trọng phải biết biến đổi biểu thức nghiệm cho
biểu thức có chứa tổng nghiệm S tích nghiệm P để áp dụng hệ thức VI-ÉT rổi tính giá trị biểu thức 1 Biến đổi biểu thức để làm xuất : (x1+x2) x x1 2
Ví dụ a) x12+x22 =(x12+2x x1 2+x22) 2− x x1 2 =(x1+x2)2−2x x1 2 b) 3 ( )( 2) ( ) ( )2
1 2 1 2 2
x +x = x +x x −x x +x = x +x x +x − x x
c) 4 2 2 ( 2)2 2 2 2 ( )1 ( )2 2 ( 2) 2 2 x +x = x + x = x +x − x x = x +x − x x − x x
d)
1 2 1 x x
x x x x
+ + =
Ví dụ x1−x2 =?
Ta biết (x1−x2)2 =(x1+x2)2−4x x1 2 ⇒x1−x2 = ± (x1+x2)2−4x x1 2 Từ biểu thức biến đổi biến đổi biểu thức sau:
1 2
x −x ( =(x1−x2)(x1+x2)=…….) 3
1
x −x ( = (x1−x2)(x12+x x1 2+x22)=(x1−x2) ( x1+x2)2−x x1 2 =…… ) 4
1
x −x ( = (x12 +x22)(x12−x22) =…… ) 6
1
x +x ( = ( )x12 3+( )x22 3=(x12+x22)(x14−x x12 22 +x24)= …… ) Bài tập áp dụng
5 6
x −x x15+x25 x17 +x27
1
1
1
x − +x −
2 Khơng giải phương trình, tính giá trị biểu thức nghiệm
a) Cho phương trình : x2−8x+15 0= Khơng giải phương trình, tính
1 2
x +x (34)
1 1 x +x
(6)3 2
x x
x + x
34 15
( )
2
x +x (46) b) Cho phương trình : 8x2−72x+64 0= Khơng giải phương trình, tính:
1
1 1 x +x
9
2 2
x +x (65)
c) Cho phương trình : x2−14x+29 0= Khơng giải phương trình, tính:
1
1 1 x +x
14 29
2 2
x +x (138) d) Cho phương trình : 2x2−3x+ =1 Khơng giải phương trình, tính:
1
1 1
x +x (3)
1
1
1 x x
x x
− −
+ (1)
3 2
x +x (1)
2 1
x x
x + + x +
5
e) Cho phương trình x2−4 3x+ =8 có nghiệm x1 ; x2, khơng giải phương trình, tính
2
1 2
3 2
6 10
Q
5
x x x x
x x x x
+ +
=
+
HD:
( )
2 2
1 2 2
3 2
1 2 1 2 1 2 1 2
6 10 6( ) 6.(4 3) 2.8 17
Q
5 5 2 5.8 (4 3) 2.8 80
x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
+ + + − −
= = = =
+ + − −
V TÌM HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAO CHO HAI NGHIỆM NÀY KHƠNG PHỤ THUỘC (HAY ĐỘC LẬP) VỚI THAM SỐ
Để làm toán loại này, ta làm theo bước sau:
- Đặt điều kiện cho tham sốđể phương trình cho có hai nghiệm x1 x2 (thường a ≠ ∆ ≥ 0)
- Áp dụng hệ thức VI-ÉT viết S = x1 + x2 v P = x1 x2 theo tham số
- Dùng quy tắc cộng thếđể tính tham số theo x1 x2 Từđó đưa hệ thức liên hệ nghiệm
x1 x2
Ví dụ 1: Cho phương trình : (m−1)x2−2mx+m−4 0= có nghiệm x x1; 2 Lập hệ thức liên hệ
giữa x x1; 2 cho chúng không phụ thuộc vào m Để phương trình có nghiệm x1 x2 th ì :
2
1
1
4
' ( 1)( 4)
5 m m
m m
m m
m m m
≠ ≠
− ≠ ≠
⇔ ⇔ ⇔
≥ − − − ≥ − ≥ ≥
Theo hệ th ức VI- ÉT ta có :
1 2
1 2
2
2 (1)
1
4
(2)
1
m
x x x x
m m
m
x x x x
m m
+ = + = +
− −
⇔
−
= = −
− −
(7)Rút m từ (1) ta có :
1
1
2
2
1 x x m
m− = + − ⇔ − = x +x − (3)
Rút m từ (2) ta có :
1
1
3
1
1 x x m
m− = − ⇔ − = −x x (4)
Đồng vế (3) (4) ta có:
( 2) ( ) ( 2)
1 2
2
2 3
2 x x x x x x x x
x +x − = −x x ⇔ − = + − ⇔ + + − =
Ví dụ 2:Gọi x x1; 2 nghiệm phương trình : (m−1)x2−2mx+m−4 0= Chứng minh biểu thức ( 2)
3
A= x +x + x x − không phụ thuộc giá trị của m Để phương trình có nghiệm x1 x2 th ì :
2
1
1
4
' ( 1)( 4)
5 m m
m m
m m
m m m
≠ ≠
− ≠ ≠
⇔ ⇔ ⇔
≥ − − − ≥ − ≥ ≥
Theo hệ thức VI- ÉT ta c ó :
1
1 2
1
1 m
x x
m m x x
m
+ =
−
−
=
−
thay v A ta c ó:
( 1 2) 1 2 8( 1)
3 8
1 1
m m m m m
A x x x x
m m m m
− + − − −
= + + − = + − = = =
− − − −
Vậy A = với m ≠1
m ≥ Do biểu thức A không phụ thuộc vào m Nhận xét:
- Lưu ý điều kiện cho tham sốđể phương trình cho có nghiệm
- Sau dựa vào hệ thức VI-ÉT rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích nghiệm sau đồng
các vế ta sẽđược biểu thức chứa nghiệm không phụ thuộc vào tham số Bài tập áp dụng:
1 Cho phương trình : x2 −(m+2)x+(2m−1)=0 có nghiệm x x1; 2 Hãy lập hệ thức liên hệ x x1; 2 cho x x1; 2 độc lập đối với m
Hướng dẫn: Dễ thấy ∆ =(m+2)2−4 2( m−1)=m2−4m+ =8 (m−2)2+4 0> phương trình cho ln có nghiệm phân biệt x1 x2
Theo hệ thức VI- ÉT ta có
1 2
1 2
2(1)
1
(2)
2
m x x
x x m
x x
x x m m
= + −
+ = +
⇔
+
= − =
(8)( )
1
1 2
1
2
2 x x
x +x − = + ⇔ x +x −x x − =
2 Cho phương trình : x2+(4m+1)x+2(m−4)=0
Tìm hệ thức liên hệ x1 x2 cho chúng không phụ thuộc vào m
Hướng dẫn: Dễ thấy ∆ =(4m+1)2−4.2(m−4) 16= m2+33 0> phương trình cho ln có
nghiệm phân biệt x1 x2
Theo hệ thức VI- ÉT ta có
1 2
1 2
(4 1) ( ) 1(1)
2( 4) 16(2)
x x m m x x
x x m m x x
+ = − + = − + −
⇔
= − = +
Từ (1) (2) ta có:
1 2 2
(x x ) 2x x 16 2x x (x x ) 17
− + − = + ⇔ + + + =
VI.TÌM GIÁ TRỊ THAM SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH THOẢ MÃN BIỂU THỨC CHỨANGHIỆM ĐÃ CHO
Đối với toán dạng này, ta làm sau:
- Đặt điều kiện cho tham sốđể phương trình cho có hai nghiệm x1 x2 (thường a ≠ ∆ ≥ 0)
- Từ biểu thức nghiệm cho, áp dụng hệ thức VI-ÉT để giải phương trình (có ẩn tham số)
- Đối chiếu với điều kiện xác định tham sốđể xác định giá trị cần tìm
Ví dụ 1: Cho phương trình : mx2−6(m−1)x+9(m−3)=0
Tìm giá trị tham số m để nghiệmx1 x2 thoả mãn hệ thức : x1+x2 =x x1 2
Bài giải: Điều kiện để phương trình c ó nghiệm x1 x2 l :
( ) ( ) ( )
0 0
' 9 27 ' 1
' 21 9( 3)
m m m m
m m m m m
m m m
≠ ≠
≠ ≠
⇔ ⇔ ⇔
∆ = − + − + ≥ ∆ = − ≥ ≥ −
∆ = − − − ≥
Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó:
1
1
6( 1) 9( 3)
m
x x
m m x x
m −
+ =
−
=
v t gi ả thi ết: x1+x2 =x x1 2 Suy ra:
6( 1) 9( 3)
6( 1) 9( 3) 6 27 21
m m
m m m m m m
m m
− −
= ⇔ − = − ⇔ − = − ⇔ = ⇔ =
(thoả mãn điều kiện xác định )
Vậy với m = phương trình cho có nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : x1+x2 =x x1 2
Ví dụ 2: Cho phương trình : x2−(2m+1)x+m2+2 0=
Tìm m để nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : 3x x1 2−5(x1+x2)+7 0=
Bài giải: Điều kiện để phương trình có nghiệm x1&x2 :
2
' (2m 1) 4(m 2)
∆ = + − + ≥
2
4m 4m 4m
⇔ + + − − ≥
7
4
m m
(9)Theo hệ thức VI-ÉT ta có: 2
2
2
x x m
x x m
+ = +
= +
từ giả thiết 3x x1 2−5(x1+x2)+7 0= Suy
2
2
3( 2) 5(2 1) 10
2( )
3 10 4
( )
3
m m
m m
m TM
m m
m KTM
+ − + + =
⇔ + − − + =
=
⇔ − + = ⇔
=
Vậy với m = phương trình có nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : 3x x1 2−5(x1+x2)+7 0=
Bài tập áp dụng
1 Cho phương trình : mx2+2(m−4)x+m+7 0=
Tìm m để nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : x1−2x2 =0 Cho phương trình : x2+(m−1)x+5m−6 0=
Tìm m để nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức: 4x1+3x2 =1 Cho phương trình : 3x2−(3m−2)x−(3m+1)=0
Tìm m để nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : 3x1−5x2 =6
Hướng dẫn cách giải:
Đối với tập dạng ta thấy có điều khác biệt so với tập Ví dụ ví dụ chỗ
+ Trong ví dụ biểu thức nghiệm chứa sẵn tổng nghiệm x1+x2 tích nghiệm x x1 2nên ta vận
dụng trực tiếp hệ thức VI-ÉT để tìm tham số m
+ Còn tập biểu thức nghiệm lại khơng cho sẵn vậy, vấn đềđặt ởđây
là làm để từ biểu thức cho biến đổi biểu thức có chứa tổng nghiệm x1+x2 tích nghiệm
1
x x từđó vận dụng tương tự cách làm trình bày Ví dụ ví dụ
BT1: - ĐKX Đ: & 16
15
m≠ m≤
-Theo VI-ÉT: 2
( 4) (1)
m
x x
m m x x
m − −
+ =
+
=
- Từ x1−2x2 =0 Suy ra: 2 1 2 1 2
1
3
2( )
2( )
x x x
x x x x
x x x
+ =
⇒ + =
+ =
(2)
- Thế (1) vào (2) ta đưa phương trình sau:
1
127 128 1; 128
m + m− = ⇒m = m = −
BT2: - ĐKXĐ: 22 25 0 11 96 11 96
m m m
∆ = − + ≥ ⇔ − ≤ ≤ +
- Theo VI-ÉT:
1
1 (1)
5
x x m
x x m
+ = −
= −
- Từ : 4x1+3x2 =1 Suy ra: [ ] [ ]
1
1 2
2
2
1 2
1 3( )
1 3( ) 4( ) 4( )
7( ) 12( )
x x x
x x x x x x
x x x
x x x x x x
= − +
⇒ = − + + −
= + −
⇔ = + − + −
(10)- Thế (1) vào (2) ta có phương trình : 12 ( 1) 0
1 m m m
m = − = ⇔
=
(thoả mãn ĐKXĐ) BT3: - Vì (3 2)2 4.3(3 1) 9 24 16 (3 4)2 0
m m m m m
∆ = − + + = + + = + ≥ với số thực m nên phương
trình ln có nghiệm phân biệt
- -Theo VI-ÉT: 2
3 (1) (3 1)
3 m
x x
m x x
−
+ =
− +
=
- Từ giả thiết: 3x1−5x2 =6 Suy ra: [ ] [ ]
1
1 2
2
2
1 2
8 5( )
64 5( ) 3( )
8 3( )
64 15( ) 12( ) 36
x x x
x x x x x x
x x x
x x x x x x
= + +
⇒ = + + + −
= + −
⇔ = + − + −
(2)
- Thế (1) vào (2) ta phương trình:
0
(45 96) 32
15 m
m m
m = + = ⇔
= −
(thoả mãn )
VII XÁC ĐỊNH DẤU CÁC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Cho phương trình: 0
ax +bx+c= (a ≠ 0) Hãy tìm điều kiện để phương trình có
nghiệm: trái dấu, dấu, dương, âm …
Ta lập bảng xét dấu sau:
Dấu nghiệm x1 x2 S =x1+x2 P=x x1 ∆ Điều kiện chung
trái dấu ± m P < 0 ∆ ≥ 0 ∆ ≥ ; P < 0.
cùng dấu, ± ± P > 0 ∆ ≥ 0 ∆ ≥ ; P > 0
cùng dương, + + S > P > 0 ∆ ≥ 0 ∆ ≥ ; P > ; S > 0
cùng âm − − S < P > 0 ∆ ≥ 0 ∆ ≥ ; P > ; S < 0.
Ví dụ: Xác định tham số m cho phương trình:
( )
2
2x − 3m+1 x+m −m−6 0= có nghiệm trái dấu
Để phương trình có nghiệm trái dấu
2
2
(3 1) 4.2.( 6)
0 ( 7)
2
6
0 ( 3)( 2)
2
m m m
m m
m
m m
P P P m m
∆ = + − − − ≥
∆ ≥ ∆ = − ≥ ∀
⇔ ⇔ ⇔ − < <
− −
< = < = − + <
Vậy với 2− <m<3 phương trình có nghi ệm trái dấu Bài tập tham khảo:
1 mx2−2(m+2)x+3(m−2)=0 có nghiệm dấu
2 3 2 2( 1) 0
mx + m+ x+m= có nghiệm âm
3.( 1) 2 0
m− x + x+m= có nghiệm khơng âm
(11)Áp dụng tính chất sau bất đẳng thức: trường hợp ta ln phân tích được:
A m C
k B + =
−
(trong A, B biểu thức khơng âm ; m, k số) (*) Thì ta thấy : C m≥ (v ì A ≥0) ⇒minC=m⇔ A=0
C≤k (v ìB ≥0) ⇒maxC =k⇔B=0
Ví dụ 1: Cho phương trình : (2 1) 0
x + m− x−m=
Gọi x1 x2 nghiệm phương trình Tìm m để : 2
1
A=x +x − x x có giá trị nhỏ
Bài giải: Theo VI-ÉT: 2
(2 1)
x x m
x x m
+ = − −
= −
Theo đề b ài : ( )
2 2
1 2 A=x +x − x x = x +x − x x
( )2
2
2
4 12
(2 3) 8
m m
m m
m
= − +
= − +
= − − ≥ −
Suy ra: minA= − ⇔8 2m− =3 hay m =
Ví dụ 2: Cho phương trình : x2−mx+m− =1
Gọi x1 x2 nghiệm phương trình Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn
nhất biểu thức sau:
( )
1 2
1 2
2
2
x x B
x x x x
+ =
+ + +
Ta có: Theo hệ thức VI-ÉT :
1
x x m
x x m
+ =
= −
( )
1 2
2 2 2
1 2
2 3 2( 1)
2 ( ) 2
x x x x m m
B
x x x x x x m m
+ + − + +
⇒ = = = =
+ + + + + + +
Cách 1: Thêm bớt đểđưa dạng phần (*) hướng dẫn
Ta biến đổi B sau:
( ) ( )2
2
2
2 1
1
2
m m m m
B
m m
+ − − + −
= = −
+ +
Vì ( ) ( )
2
2
1 0
2 m
m B
m −
− ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≤
+ Vậy max B=1 ⇔ m =
(12)( ) ( ) ( )
( )
2 2 2
2 2
1 1
2 4 2 1
2 2
2 2 2
m m m m m m m
B
m m m
+ + − + + − + +
= = = −
+ + +
Vì ( ) ( )
( )
2
2
2
2 0
2
2
m
m B
m +
+ ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥ −
+
Vậy
2
B= − ⇔m= −
Cách 2:Đưa giải phương trình bậc với ẩn m B tham số, ta tìm điều kiện cho tham số B để
phương trình cho ln có nghiệm với mọi m
2
2
2
2 m
B Bm m B
m +
= ⇔ − + − =
+ (Với m ẩn, B tham số) (**)
Ta có: 1 (2 1) 2
B B B B
∆ = − − = − +
Để phương trình (**) ln có nghiệm với m ∆ ≥
hay −2B2+B+ ≥1 0⇔2B2−B− ≤1 0⇔(2B+1)(B−1)≤0
1
2 2
1 1
1
2 1
2
1 B B
B B
B B
B B
B
≤ − + ≤
− ≥ ≥
⇔ ⇔ ⇔ − ≤ ≤
+ ≥
≥ −
− ≤
≤ Vậy: max B=1 ⇔ m =
1
min
2
B= − ⇔m= −
Bài tập áp dụng
1 Cho phương trình : x2+(4m+1)x+2(m−4)=0.Tìm m để biểu thức A=(x1−x2)2 có
giá trị nhỏ
2 Cho phương trình x2−2(m−1)x− −3 m=0 Tìm m cho nghiệm x x1; 2 thỏa mãn điều
kiệnx12+x22 ≥10
3 Cho phương trình : x2−2(m−4)x+m2 − =8 xác định m để phương trình có nghiệm x x1; 2thỏa mãn
a) A=x1+x2−3x x1 2 đạt giá trị lớn
b) 2 2
B=x +x −x x đạt giá trị nhỏ
4 Cho phương trình : x2−(m−1)x−m2+m−2 0= Với giá trị m, biểu thức C=x12+x22 dạt giá
trị nhỏ
5 Cho phương trình x2+(m+1)+m=0 Xác định m để biểu thức E=x12+x22 đạt giá trị nhỏ
C KẾT LUẬN
Do thời gian có hạn mục đích chuyên đề áp dụng cho học sinh đại trà, riêng mục VII VIII dành cho học sinh giỏi nên lượng tập đơn giản chưa thật đa dạng, đầy đủ, khơng tránh khỏi thiếu sót, rât mong các đồng nghiệp tham gia góp ý xây dựng để chuyên đề chúng tơi có khả áp dụng rộng rãi có tính thiết thực hơn!
(13)Người viết