Một số ứng dụng của đại số trong việc giải phương trình đa thức

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————— ĐINH NỮ VIỆT TRINH MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠI SỐ TRONG VIỆC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Đà Nẵng - Năm 2020 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– ĐINH NỮ VIỆT TRINH MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠI SỐ TRONG VIỆC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Lê Thị Hoài Thu Đà Nẵng - Năm 2020 ii Lời cảm ơn Lời xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới giáo Lê Thị Hồi Thu tận tình hướng dẫn tơi suốt q trình thực để tơi hồn thành luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo - Khoa học - Quan hệ quốc tế Khoa khoa học Trường Đại học Quảng Bình - Đại học sư phạm Đà Nẵng tạo điều kiện thuận lợi suốt trình học tập trường thời gian tơi hồn thành đề tài Tôi xin cảm ơn Sở giáo dục đào tạo Quảng Bình Trường THCS THPT Bắc Sơn - nơi công tác tạo điều kiện cho tơi hồn thành khóa học Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tất thầy giáo tận tình dạy bảo tơi suốt thời gian học tập khóa học Đồng thời xin gửi lời cảm ơn đến anh chị lớp phương pháp tốn sơ cấp khóa 36 nhiệt tình giúp đỡ tơi q trình học tập lớp, động viên, cổ vũ để tơi hồn thành nhiệm vụ Đinh Nữ Việt Trinh iii Mục lục MỞ ĐẦU 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 1.2 1.3 Vành 1.1.1 1.1.2 1.1.3 Vành 1.2.1 trường Vành Miền nguyên Trường đa thức Định nghĩa 3 6 1.2.2 Phép chia phép chia có dư 1.2.3 Nghiệm đa thức 1.2.4 Phần tử đại số phần tử siêu việt 1.2.5 Đa thức bất khả quy Đa thức trường số 11 11 12 ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA ĐẠI SỐ, QUY TẮC DẤU CỦA DESCARTES 14 2.1 Định lý đại số 14 2.1.1 Định lý Đại số 14 2.1.2 Sơ lược lịch sử "Định lý Đại số" 14 2.1.3 Chứng minh định lý Đại số 16 2.2 Quy tắc dấu Descartes 19 ỨNG DỤNG QUY TẮC DẤU DESCARTES TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC 28 3.1 Vài nét lịch sử giải phương trình đa thức 28 3.2 Một số ứng dụng 3.2.1 Tìm số nghiệm phương trình 3.2.2 Tìm nghiệm hữu tỉ đa thức 29 29 38 iv 3.2.3 Ứng dụng khác 44 Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 49 PHỤ LỤC 51 v Danh mục ký hiệu N R C Q R [x] deg f (x) Tập hợp số tự nhiên Tập hợp số thực Tập hợp số phức Tập hợp số hữu tỉ tập hợp đa thức với hệ số thực Bậc đa thức f (x) Zn Vành số nguyên theo mod n MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Phương trình chủ đề nhà tốn học quan tâm từ sớm Việc nghiên cứu giải phương trình đa thức có trước việc nghiên cứu thân đa thức Để giải phương trình, trước hết ta cần thơng tin nghiệm nó, chẳng hạn: phương trình có hay khơng có nghiệm; có nghiệm có nghiệm? Định lý đại số học khẳng định đa thức biến hệ số phức bậc n ≥ có n nghiệm phức (kể bội) Nhưng thông tin cụ thể loại nghiệm đa thức (như số nghiệm thực, số nghiệm phức; số nghiệm dương, số nghiệm âm) lại cần đến Quy tắc dấu Descartes Giải phương trình nói chung giải phương trình đa thức nói riêng nội dung chương trình mơn Tốn THCS THPT Việc nghiên cứu sâu vấn đề giúp nâng cao kiến thức, lực chuyên môn, phục vụ tốt công tác giảng dạy Với lí trên, hướng dẫn TS Lê Thị Hoài Thu, chọn nghiên cứu đề tài: Một số ứng dụng Đại số việc giải phương trình đa thức Mục đích nghiên cứu Mục tiêu luận văn giới thiệu Quy tắc dấu Descartes, Định lý đại số, đồng thời đưa ví dụ việc ứng dụng để giải phương trình đa thức Các kết thơng tin viết dựa vào báo “A genaralization of Descartes’ rule of signs and fundamental theorem of algebra” Pentti Haukkanen Descartes’ Rule of signs - How can it be? Stewart A Levin (2002) Đối tượng phạm vi nghiên cứu 47 Đối chiếu với đồ thị ta thấy −3 −2 −1 −1 −2 −3 f Vậy đa thức f (x) = x5 + 2x4 − x − có nghiệm dương có nghiệm âm 48 KẾT LUẬN Luận văn trình bày Quy tắc dấu Descartes - phương pháp dự đoán số nghiệm đa thức số ứng dụng việc giải phương trình đa thức Nội dung luận văn là: 1) Trình bày khái niệm tính chất cấu trúc đại số đa thức trường số chuẩn bị cho chương sau : vành, miền nguyên, trường vành đa thức; làm sở cho việc trình bày nội dung chương 2) Trình bày Định lý Đại số Quy tắc dấu Descartes trọng tâm quy tắc dấu 3) Giới thiệu số ứng dụng Quy tắc dấu Descartes việc giải phương trình đa thức thơng qua số ví dụ 4) Phần phụ lục giới thiệu vài nét đời Descartes 49 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Tự Cường (2001), Đại số đại, tập 1, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Hữu Việt Hưng (2000), Đại số tuyến tính, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Trần Tuấn Nam, Đàm Văn Nhỉ, Lưu Bá Thắng (2015) Một số ứng dụng Đại số đại vào giải Toán sơ cấp Nhà xuất Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh [4] Nguyễn Tiến Quang (2008), Đại số đại cương Nhà xuất giáo dục Tiếng Anh [5] B Anderson, J Jackson, M Sitharam, ((1998) 447–451), Descartes’ rule of signs revisited, , Am Math Mon 105 (5) [6] Drucker, D.S (1979), A second look at Descartes’ Rule of Signs, Mathematis Magazine ,p 237–238 [7] A Eigenwillig (2007) On multiple roots in Descartes’ Rule and their distance to roots of higher derivatives, J Comput Appl Math 200 (1) 226 [8] B Fine, G Rosenberger, (1997), The Fundamental Theorem of Algebra , Springer-Verlag, New York [9] Steward A Levin, (2002), Descartes’ Rule of Signs - How hard can it be [10] Pentti Haukkanen Timo Tossavainen, (2011), A genaralization of Descartes’ rule of signs and fundamental theorem of algebra, , Applied Mathematics and Computation 218 50 [11] Steven Miller and Dan File (2003) Fundamental theorem of algebra,Lecture notes from the Reading Classics, Autumn 2003 51 PHỤ LỤC Kiến thức phần mục tiêu luận văn Trong phần này, chúng tơi giới thiệu vài nét đời Descartes René Descartes (1596–1650) triết gia, nhà khoa học, nhà toán học người Pháp, số người xem cha đẻ triết học đại Sinh La Haye, Touraine (trước tỉnh, gọi vùng Pháp), Descartes gia đình quý tộc nhỏ, có truyền thống khoa bảng tín hữu Cơng giáo Rơma Lên tám tuổi, ơng gửi theo học trường học dòng Tên La Flèche Anjou, ông học suốt năm Bên cạnh mơn học cổ điển, Descartes cịn học toán thầy theo trường phái Kinh viện, học phái chủ trương dùng lý luận loài người để hiểu lý thuyết Kitô giáo Thiên Chúa giáo La Mã có ảnh hưởng mạnh mẽ đến suốt đời Descartes Sau trường, ông theo học luật Đại học Poitiers, tốt nghiệp năm 1616 Tuy vậy, ông chưa hành nghề luật; năm 1618 ông phục vụ cho Hoàng tử Maurice de Nassau, nhà lãnh đạo Liên hiệp tỉnh Hà Lan, với ý định theo đuổi đời binh nghiệp Những năm tiếp theo, Descartes phục vụ quân đội khác, ông bắt đầu tập trung vào toán học triết học Ông hành hương sang đất Ý từ năm 1623 đến 1624, sau từ 1624 đến 1628, ơng Pháp Trong thời gian Pháp, Descartes chuyên tâm nghiên cứu triết học làm thí nghiệm quang học Năm 1628, sau bán hết tài sản Pháp, ông chuyển sang sống Hà Lan, sống hầu hết quãng đời lại Descartes sống nhiều thành phố khác Hà Lan, Amsterdam, Deventer, Utrecht, Leiden Dường năm Hà Lan, Descartes viết tác phẩm lớn 52 đầu tiên, Essais philosophiques (Các tiểu luận triết học), xuất năm 1637 Tác phẩm gồm bốn phần: tiểu luận hình học, quang học, phần thứ ba băng, Discours de la méthode (Bàn luận phương pháp), ơng trình bày nghiên cứu triết học Sau đời tác phẩm khác, kể Meditationes de Prima Philosophia (Suy ngẫm Triết học Tiên khởi, năm 1641, viết lại năm 1642) Principia Philosophiae (Các nguyên lý triết học, năm 1644) Cuốn sau ông dành tặng cho Công chúa Elisabeth xứ Bohemia, người bạn thân thiết ông Hà Lan Năm 1649 Nữ hoàng Christina nước Thụy Điển mời Descartes đến giảng dạy cho bà triết học triều đình Stockholm Cái lạnh khắc nghiệt xứ Bắc Âu làm ông mắc bệnh viêm phổi qua đời năm 1650 Đóng góp quan trọng Descartes với tốn học việc hệ thống hóa hình học giải tích, hệ trục tọa độ vng góc mang tên ơng Ơng nhà tốn học phân loại đường cong dựa theo tính chất phương trình tạo nên chúng Ơng có đóng góp vào lý thuyết đẳng thức Descartes người dùng chữ cuối bảng chữ để ẩn số dùng chữ bảng chữ để giá trị biết Ông sáng tạo hệ thống ký hiệu để mô tả lũy thừa số (chẳng hạn biểu thức x2 ) Mặt khác, ơng thiết lập phương pháp, gọi phương pháp dấu hiệu Descartes, để tìm số nghiệm âm, dương phương trình đại số DAI HOC DA NANG TRUNG >\I H)C Sf PH\M S6:�QD-DHSP C)NG HOA XA H)I CHU NGHiA VIE T NAM Dqc l�p - Tf - H�nb phuc Ja NJng, - thang QVYETDJNH nam JCJ V� vi�c giao di tai va trach nhi�m hmrng din Juan van thac si HltU TRfONG TRfNG >\I H)C Sf PH\M Ca� c� Nghi djnh s6 32/CP 04/4/1994 cua Chinh phu v� viec IA �p · D�1 h9c Da Nang; Can c_u Thong tu s6 O8/2O14/fT-BGDDT 20/3/2014 cua BQA G"' iao duc , va o.ao t�o ve VlyC ban h.anh Quy che to chrc va ho�t d{mg cia d�i h9c vung va cac ca �1 _, _ "A g1ao dlc d�1 h9c v1en; _ Can cr Quy�t djnh s6 695O/QD-DHDN O I /12/2O14 cua Giam d6c Dai hoc D� Nang ?an h ��h �uy djnh nhi�m v1 , quy�n h�n cua D�i h9c Da Ning, cac ca s& gi�o d�c , dan v1_ tf d�1 h9c v1en va cac \Ic thu{k; Can _cu Thong tu s6 15/2,O14ITT-BGDDT 15/5/2014 cua B9 Giao d1c va Dao t�o ve vi�c ban hanh Quy che Dao t�o trinh d> thac sT; Can cr Quy€t djnh, 1O6O/QD-DHSP Olli 1/2016 cua Hi�u tru&ng Truong D�i h9c Su ph�m - DHDN ve vi�c ban hanh Quy djnh dao t�o trinh d> th�c sT; Xet d� nghi cua Ban chi nhi�m Khoa Toan v� vi�c Quyit djnh giao d� tai va trach nhi�m hu&ng dĐn lun van thc si; A ã A Xet d nghi cia ong Tru&ng Phong Dao t�o, QUYETDJNH: Di�u 1: Giao cho h9c vien Dinh Nfr Vi�t Trinh, nganh Phro-ng pbap toan so- dp d�t t�i dan vj ph6i hqp dao t�o Truong D�i h9c Quang Binh, khoa 36, th'c hi�n d� tai lu�n van Mqt s6 ung d_mg cua d�i s6 vi�c giai phmrng trinh da thfrc, duai S' hu6ng d§n ctia TS Le Thi Hoai Thu, TrtrlgD�i hqc Quang Binh Diiu 2: H9c vien cao h9c va nguoi hu6ng d§n c6 ten a DiSu I duqc huong cac quySn lqi va tht,rc hi�n nhi�m v,1 dung theo Quy ch� dao t�o trinh d> th�c sT BQ Giao d1c va Dao t�o ban hanh va Quy djnh v� dao �o trinh dQ th�c si cua Truong D�i h9c Su ph�m D�i h9c 0a Ning Di�u 3: Cac 6ng (ba) Tnong Phong T6 chuc - Hanh chinh, Dao t�o, K� h��ch Tai chinh Khoa Toan, nguoi htr&ng d§n lu�n van va h9c vien c6 ten tren can cu Quyet djnh thi hanh{ RIEU TRU 0NG < "o o � � • Noi nMn: - hu 0i�u 3; - Luu: VT 0ao t10 PGS.TS LUU TRANG \ cgNG HoA xA ugr cHU NcHi,q vIET NAM DAr Hec o,q, NANc rntloNc D+I HQC sUPH4.M DQc l$p - TU - H4nh phric BIEN BAN HQP HQr DoNG CHAM LU4.N VAN TH4.C Sr tai MQt sti img dpng cua d4i so viQc gi6i phucrng trinh da thric Ngdnh: Phuong phSp to6n so c6p TCn AA Theo Quy6t dinh thdnh 10p H6i d6ng ch6m lufln v6n th4c si s6 E%IQD-EHSP r,gilyMf th6ngfindm2020 Ngdy hgp HQi d6ng: 3o thdngfndm 2020 Danh s6ch c6c thdnh viOn HQi d6ng: CTIONG VI TRONG HQI DONG HO VA TEN STT TS Phpm Quy Muoi Chir tich TS Nguy6n Ngoc ChAu Thu kjz J PGS.TS Truong C6ng Quj'nh Phin biQn I PGS.TS Trin VIn An Phin biQn TS NguySn Thdnh Chung a Thdnh vi6n c6 mdt Thu Uv vi6n r b Thdnh vi6n ving m{t: ki Hgi ddng b5o c6o qudtrinh Hgc viOn cao hgc trinh bdy 1u4n vdn C6c phin biQn dgc nh4n xdt vir nOu cdu hoi (c6 v6n 10 bin kdm theo) tri ldi c6c cAu h6i cira thdnh vi6n HQi ddng Hqi d6ng hgp riong ei5 Oanfr 9- hgc tflp, nghiCn criru cria hgc vi€n cao hgc vd dqc ly lfch khoa hgc (c6 v6n ban kdm theo) Hqc vi6n cao hgc gia 11 Trudng ban ki6m phiSu c6ng b6 ktit qud I / 12.KCtluAn cira HQi d6ng a) K5t lufln chung: ) ) b) YCu cAu chinh, sua v6 nQi ,) c) C5c j, ki0n kh6c: d) Di6m ddnh giil: Bing s6: B ing chfr: / a"* 13 T6c gi6luQn vdn ph6t biOu Y ki6n 14 Chir tich HQi dting tuy6n bti bti mpc rrilJ rY uQr ooNc CHU TICH HQI DONG rr,\r dG'L / /t^ l$ uur cQNc uoa xA sOl curi Ncuia ?9_:l_ry :lY _t: : vrrr NAM Ii*rli: ,,^ raN NUAN xET r,uAN vAN urec sY Tdn tld tii luAn vf,n: M6t sdrtng dgng cria dai sd viQc giii phuong trinh da thirc nginh: Phtrong phrip Toin so cdp Hg vi t6n hoc vi6n: Einh Nfi Vi6t Trinh Hg vi t6n ngudi nhAn x6t Trdn VXn An Mi nginh: Chuy6n Chr?c danh khoa hoc, hgc Co quan c6ng tic: vi: 8.46.01.13 Ph6 giiio str, Ti6'n si Vi6n Su ph?m Trr nhi€n, Trudng Dgi hoc Vinh XOr I Tinh cap thi6i ciia dd tii C6c bii ouxc NHAN xET to6n vd da tl'rirc, giAi phuong trinh cla thirc Ia cac l6p bii todn duoc quan tAm nhi6u h'ong chuong trinh toan hoc phd th6ng Cdc bdi to6n ndy ngodi vi6c chi tdn tai nghiOm hay kh6ng tdn tai nghi€m nhi6u cdn y6u cAu chi ciic th6ng tir-r khdc vd nghi€m nhu: ndu c6 nghiOm thi c6 bao nhi€u nghi6m, sdnghiOm b6i, sdnghiOm thuc, sdnghi€m thuAn phuc, sdnghiOm dddng, sd nghiOm dm, tr6n ld st? dung dinh li Hai tlong sd cdc phuor-rg ph6p co bAn dai sd vd quy c1d nghiOn cttu cac lop bii toan tic dA'u c/ra Descartes Didu chi ro tinh cap thi6i ctia d6 tal II Co sd khoa hoc vd thtrc ti6n Dua vio chuong h'irdr, sdch giao khoa hinh hoc phd th6ng, n6i dung chrrong trinh h'ong cdc ky thi h'ung hoc phd th6ng, cac ky thi hoc sirrh gi6i ntr6c vd qudc td CAc vdn d6 c